Sıfırla logaritmik denklemlerin çözümü. Logaritmik denklemleri çözme

Bugün hiçbir ön dönüşüme veya kök seçimine gerek olmayan en basit logaritmik denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Ancak bu tür denklemleri çözmeyi öğrenirseniz, o zaman çok daha kolay olacaktır.

En basit logaritmik denklem log a f(x) = b formundaki bir denklemdir; burada a, b sayılardır (a > 0, a ≠ 1), f(x) belirli bir fonksiyondur.

Tüm logaritmik denklemlerin ayırt edici bir özelliği, logaritma işaretinin altında x değişkeninin bulunmasıdır. Eğer problemde başlangıçta verilen denklem buysa buna en basit denir. Diğer logaritmik denklemler özel dönüşümlerle en basit hale getirilir (bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”). Bununla birlikte, çok sayıda incelik dikkate alınmalıdır: Fazladan kökler ortaya çıkabilir, bu nedenle karmaşık logaritmik denklemler ayrı ayrı ele alınacaktır.

Bu tür denklemler nasıl çözülür? Eşittir işaretinin sağındaki sayıyı, soldaki ile aynı tabandaki bir logaritma ile değiştirmek yeterlidir. O zaman logaritmanın işaretinden kurtulabilirsiniz. Şunu elde ederiz:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Her zamanki denklemi elde ettik. Kökleri orijinal denklemin kökleridir.

Derece çıkarmak

Çoğu zaman, dışarıdan karmaşık ve tehditkar görünen logaritmik denklemler, karmaşık formüller gerektirmeden yalnızca birkaç satırda çözülür. Bugün tam da bu tür sorunlara bakacağız; sizden tek yapmanız gereken, formülü dikkatli bir şekilde kanonik forma indirgemek ve logaritmanın tanım alanını ararken kafanızın karışmamasıdır.

Bugün muhtemelen başlıktan da tahmin ettiğiniz gibi logaritmik denklemleri kanonik forma geçiş formüllerini kullanarak çözeceğiz. Bu video dersinin ana "püf noktası" derecelerle çalışmak, daha doğrusu dereceyi temelden ve argümandan çıkarmak olacaktır. Kurala bakalım:

Benzer şekilde, dereceyi tabandan türetebilirsiniz:

Görebildiğimiz gibi, logaritmanın argümanından dereceyi çıkardığımızda sadece önümüzde ek bir faktör varsa, o zaman dereceyi tabandan çıkardığımızda sadece bir faktör değil, tersine çevrilmiş bir faktör elde ederiz. Bunun hatırlanması gerekiyor.

Son olarak en ilginç şey. Bu formüller birleştirilebilir ve şunu elde ederiz:

Elbette, bu geçişleri yaparken, tanımın kapsamının olası genişlemesi veya tam tersine, tanımın kapsamının daralmasıyla ilgili bazı tuzaklar vardır. Kendiniz karar verin:

günlük 3 x 2 = 2 ∙ günlük 3 x

İlk durumda x, 0'dan farklı bir sayı olabiliyorsa, yani x ≠ 0 gereksinimi varsa, o zaman ikinci durumda yalnızca x ile tatmin oluruz; bunlar yalnızca eşit değildir, aynı zamanda 0'dan kesinlikle büyüktür, çünkü logaritmanın tanımı, argümanın kesinlikle 0'dan büyük olmasıdır. Bu nedenle size 8-9. sınıf cebir dersinden harika bir formülü hatırlatacağım:

Yani formülümüzü şu şekilde yazmamız gerekiyor:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

O zaman tanımın kapsamı daralmayacaktır.

Ancak bugünkü video eğitiminde kareler olmayacak. Görevlerimize bakarsanız sadece kökleri göreceksiniz. Bu nedenle, bu kuralı uygulamayacağız ama yine de aklınızda tutmanız gerekiyor ki, doğru zamanda, bir argümanda ikinci dereceden bir fonksiyon veya bir logaritmanın tabanını gördüğünüzde, bu kuralı hatırlayacak ve tüm işlemleri uygulayacaksınız. dönüşümleri doğru şekilde gerçekleştirin.

Yani ilk denklem şu:

Bu sorunu çözmek için formülde bulunan terimlerin her birine dikkatlice bakmayı öneriyorum.

İlk terimi rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

İkinci terime bakıyoruz: log 3 (1 − x). Burada hiçbir şey yapmaya gerek yok, burada her şey zaten dönüşmüş durumda.

Son olarak 0, 5. Önceki derslerde de söylediğim gibi logaritmik denklem ve formülleri çözerken ondalık kesirlerden sıradan kesirlere geçmenizi şiddetle tavsiye ederim. Hadi şunu yapalım:

0,5 = 5/10 = 1/2

Ortaya çıkan terimleri dikkate alarak orijinal formülümüzü yeniden yazalım:

log 3 (1 - x) = 1

Şimdi kanonik forma geçelim:

günlük 3 (1 − x ) = günlük 3 3

Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz:

1 - x = 3

−x = 2

x = −2

İşte bu, denklemi çözdük. Ancak yine de işi riske atalım ve tanımın alanını bulalım. Bunu yapmak için orijinal formüle geri dönelim ve şunu görelim:

1 - x > 0

−x > −1

X< 1

Kök x = −2 bu gereksinimi karşılıyor, dolayısıyla x = −2 orijinal denklemin bir çözümü. Şimdi elimizde kesin ve net bir gerekçe var. İşte bu, sorun çözüldü.

Gelelim ikinci göreve:

Her terime ayrı ayrı bakalım.

İlkini yazalım:

İlk dönemi dönüştürdük. İkinci dönemle çalışıyoruz:

Son olarak eşittir işaretinin sağındaki son terim:

Ortaya çıkan formüldeki terimler yerine ortaya çıkan ifadeleri değiştiririz:

günlük 3 x = 1

Kanonik forma geçelim:

günlük 3 x = günlük 3 3

Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz ve şunu elde ederiz:

x = 3

Yine de tedbiri elden bırakmamak için orijinal denkleme geri dönüp bir göz atalım. Orijinal formülde x değişkeni yalnızca bağımsız değişkende mevcuttur, bu nedenle,

x > 0

İkinci logaritmada x kökün altındadır ama yine argümanda bu nedenle kök 0'dan büyük olmalıdır, yani radikal ifade 0'dan büyük olmalıdır. Kök x = 3'e bakıyoruz. bu gereksinimi karşılar. Dolayısıyla x = 3 orijinal logaritmik denklemin bir çözümüdür. İşte bu, sorun çözüldü.

Bugünkü video eğitiminde iki önemli nokta var:

1) logaritmaları dönüştürmekten korkmayın ve özellikle logaritmanın işaretinden kuvvetleri çıkarmaktan korkmayın, aynı zamanda temel formülümüzü hatırlayın: bir argümandan bir kuvveti çıkarırken, değişiklik yapılmadan basitçe çıkarılır çarpan olarak kullanılır ve tabandan bir güç kaldırıldığında bu güç tersine çevrilir.

2) ikinci nokta kanonik formun kendisiyle ilgilidir. Logaritmik denklem formülünün dönüşümünün en sonunda kanonik forma geçişi yaptık. Size şu formülü hatırlatayım:

a = log b b a

Elbette "herhangi bir sayı b" ifadesiyle, logaritmanın bazında dayatılan gereklilikleri karşılayan sayıları kastediyorum, yani.

1 ≠ b > 0

Böyle bir b için ve temelini zaten bildiğimiz için bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilecektir. Ancak bu gereksinimi karşılayan herhangi bir b için bu geçiş gerçekleştirilebilir ve logaritmanın işaretinden kurtulabileceğimiz kanonik bir form elde ederiz.

Tanım alanını ve ekstra kökleri genişletmek

Logaritmik denklemlerin dönüştürülmesi sürecinde tanım alanının örtülü bir şekilde genişletilmesi meydana gelebilir. Çoğu zaman öğrenciler bunu fark etmezler, bu da hatalara ve yanlış cevaplara yol açar.

En basit tasarımlarla başlayalım. En basit logaritmik denklem şudur:

loga f(x) = b

X'in bir logaritmanın yalnızca bir bağımsız değişkeninde mevcut olduğuna dikkat edin. Bu tür denklemleri nasıl çözeriz? Kanonik formu kullanıyoruz. Bunu yapmak için b = log a a b sayısını hayal edin, denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

log a f (x) = log a a b

Bu girdiye kanonik form denir. Sadece bugünkü derste değil, aynı zamanda herhangi bir bağımsız ve test çalışmasında da karşılaşacağınız logaritmik denklemleri buna indirgemelisiniz.

Kanonik forma nasıl ulaşılacağı ve hangi tekniklerin kullanılacağı pratik meselesidir. Anlaşılması gereken en önemli şey, böyle bir kaydı alır almaz sorunun çözülmüş olduğunu düşünebilmenizdir. Çünkü bir sonraki adım şunu yazmaktır:

f(x) = a b

Başka bir deyişle logaritma işaretinden kurtulup basitçe argümanları eşitliyoruz.

Bütün bu konuşmalar neden? Gerçek şu ki, kanonik biçim yalnızca en basit sorunlara değil aynı zamanda diğer sorunlara da uygulanabilir. Özellikle bugün karar vereceklerimiz. Görelim.

İlk görev:

Bu denklemdeki sorun nedir? Gerçek şu ki, fonksiyon aynı anda iki logaritmadadır. Bir logaritmanın diğerinden çıkarılmasıyla problem en basit haline indirilebilir. Ancak tanımlama alanında sorunlar ortaya çıkıyor: ekstra kökler görünebilir. Logaritmalardan birini sağa taşıyalım:

Bu giriş kanonik forma çok daha benzer. Ancak bir nüans daha var: Kanonik biçimde argümanlar aynı olmalıdır. Sol tarafta 3 tabanındaki logaritmayı, sağda ise 1/3 tabanındaki logaritmayı görüyoruz. Bu üslerin aynı sayıya getirilmesi gerektiğini biliyor. Örneğin negatif güçlerin ne olduğunu hatırlayalım:

Daha sonra çarpan olarak logun dışındaki “−1” üssünü kullanacağız:

Lütfen dikkat: Tabandaki derece ters çevrilir ve kesir haline getirilir. Farklı tabanlardan kurtularak neredeyse kanonik bir notasyon elde ettik ancak bunun karşılığında sağdaki “−1” faktörünü elde ettik. Bu faktörü bir kuvvete dönüştürerek argümana dahil edelim:

Tabii ki, kanonik formu aldıktan sonra, logaritmanın işaretini cesurca çizeriz ve argümanları eşitleriz. Aynı zamanda, kesirin “−1” üssüne yükseltildiğinde basitçe ters çevrildiğini - bir oran elde edildiğini hatırlatmama izin verin.

Oranın temel özelliğini kullanalım ve onu çapraz olarak çarpalım:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Önümüzde yukarıdaki ikinci dereceden denklem var, bu yüzden onu Vieta formüllerini kullanarak çözüyoruz:

(x − 8)(x − 2) = 0

x1 = 8; x 2 = 2

İşte bu. Sizce denklem çözüldü mü? HAYIR! Böyle bir çözüm için 0 puan alacağız çünkü orijinal denklem x değişkeniyle birlikte iki logaritma içeriyor. Bu nedenle tanım alanının dikkate alınması gerekmektedir.

Ve eğlencenin başladığı yer burasıdır. Çoğu öğrencinin kafası karışıyor: Logaritmanın tanım alanı nedir? Elbette tüm argümanların (iki tane var) sıfırdan büyük olması gerekir:

(x - 4)/(3x - 4) > 0

(x - 5)/(2x - 1) > 0

Bu eşitsizliklerin her biri çözülmeli, düz bir çizgi üzerinde işaretlenmeli, kesiştirilmeli ve ancak bundan sonra kesişme noktasında hangi köklerin bulunduğu görülmelidir.

Dürüst olacağım: Bu tekniğin var olma hakkı var, güvenilir ve doğru cevabı alacaksınız, ancak içinde çok fazla gereksiz adım var. Öyleyse çözümümüzü tekrar gözden geçirelim ve görelim: Kapsamı tam olarak nereye uygulamamız gerekiyor? Başka bir deyişle, ekstra köklerin tam olarak ne zaman ortaya çıktığını açıkça anlamanız gerekir.

Başlangıçta iki logaritmamız vardı. Daha sonra bir tanesini sağa kaydırdık ama bu durum tanım alanını etkilemedi.
Sonra tabandaki kuvveti kaldırıyoruz ama hala iki logaritma var ve her birinde bir x değişkeni var.
Son olarak logun işaretlerinin üzerini çizeriz ve klasik kesirli rasyonel denklemi elde ederiz.

Tanımın kapsamı son adımda genişletilir! Log işaretlerinden kurtulup kesirli-rasyonel bir denkleme geçtiğimizde, x değişkenine yönelik gereksinimler çarpıcı biçimde değişti!

Sonuç olarak, tanım alanı çözümün en başında değil, yalnızca belirtilen adımda, argümanların doğrudan eşitlenmesinden önce düşünülebilir.

Optimizasyon fırsatının yattığı yer burasıdır. Bir yandan her iki argümanın da sıfırdan büyük olması gerekiyor. Öte yandan, bu argümanları daha da eşitliyoruz. Dolayısıyla bunlardan en az biri pozitifse ikincisi de pozitif olacaktır!

Dolayısıyla iki eşitsizliğin aynı anda karşılanmasının gereğinden fazla olduğu ortaya çıktı. Bu kesirlerden sadece birini dikkate almak yeterlidir. Tam olarak hangisi? Daha basit olan. Örneğin sağdaki kesire bakalım:

(x - 5)/(2x - 1) > 0

Bu tipik bir kesirli rasyonel eşitsizliktir; bunu aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz:

İşaretler nasıl yerleştirilir? Tüm köklerimizden açıkça daha büyük olan bir sayıyı alalım. Mesela 1 milyar Ve onun kesirini değiştiriyoruz. Pozitif bir sayı elde ederiz, yani. x = 5 kökünün sağında bir artı işareti olacaktır.

Sonra işaretler değişir, çünkü hiçbir yerde çokluğun kökleri yoktur. Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklarla ilgileniyoruz. Bu nedenle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Şimdi cevapları hatırlayalım: x = 8 ve x = 2. Açıkçası bunlar henüz cevap değil, yalnızca cevaba adaylar. Hangisi belirtilen kümeye aittir? Elbette x = 8. Ama x = 2 tanım alanı açısından bize uymuyor.

Toplamda, ilk logaritmik denklemin cevabı x = 8 olacaktır. Artık tanım alanını hesaba katan yetkin, sağlam temellere sahip bir çözümümüz var.

Gelelim ikinci denkleme:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Denklemde ondalık kesir varsa ondan kurtulmanız gerektiğini hatırlatayım. Başka bir deyişle 0,5'i ortak kesir olarak yeniden yazalım. Bu tabanı içeren logaritmanın kolaylıkla hesaplanabildiğini hemen fark ederiz:

Bu çok önemli bir an! Hem tabanda hem de argümanda derecelerimiz olduğunda, bu derecelerin göstergelerini aşağıdaki formülü kullanarak türetebiliriz:

Orijinal logaritmik denklemimize geri dönelim ve yeniden yazalım:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Kanonik forma oldukça yakın bir tasarım elde ettik. Ancak terimler ve eşittir işaretinin sağındaki eksi işareti kafamızı karıştırıyor. Birini 5 tabanına göre logaritma olarak temsil edelim:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 – log 5 (x − 5)

Sağdaki logaritmaları çıkarın (bu durumda argümanları bölünmüştür):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Müthiş. Böylece kanonik formu elde ettik! Günlük işaretlerinin üstünü çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Bu, çapraz olarak çarpılarak kolayca çözülebilecek bir orandır:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Açıkçası, ikinci dereceden indirgenmiş bir denklemimiz var. Vieta'nın formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

İki kökümüz var. Ancak bunlar nihai yanıtlar değil, yalnızca adaylardır çünkü logaritmik denklem aynı zamanda tanım alanının kontrol edilmesini de gerektirir.

Size hatırlatıyorum: ne zaman aramaya gerek yok Her argümanların sayısı sıfırdan büyük olacaktır. Bir bağımsız değişkenin (x - 9 veya 5/(x - 5)) sıfırdan büyük olmasını gerektirmek yeterlidir. İlk argümanı düşünün:

x - 9 > 0

x > 9

Açıkçası, yalnızca x = 10 bu gereksinimi karşılar. Bu son cevaptır. Bütün sorun çözüldü.

Bir kez daha bugünkü dersin ana düşünceleri:

X değişkeni birkaç logaritmada göründüğünde, denklem temel olmaktan çıkar ve tanım alanının hesaplanması gerekir. Aksi takdirde cevaba kolayca fazladan kökler yazabilirsiniz.
Eşitsizliği hemen değil, tam olarak log işaretlerinden kurtulduğumuz anda yazarsak, alanın kendisiyle çalışmak önemli ölçüde basitleştirilebilir. Sonuçta argümanlar birbirine eşitlendiğinde yalnızca birinin sıfırdan büyük olmasını istemek yeterlidir.

Elbette, bir eşitsizliği oluşturmak için hangi argümanı kullanacağımızı kendimiz seçiyoruz, bu nedenle en basit olanı seçmek mantıklıdır. Örneğin, ikinci denklemde, kesirli rasyonel ikinci argümanın aksine, doğrusal bir fonksiyon olan (x − 9) argümanını seçtik. Katılıyorum, x − 9 > 0 eşitsizliğini çözmek, 5/(x − 5) > 0 eşitsizliğini çözmekten çok daha kolaydır. Ancak sonuç aynı.

Bu açıklama ODZ aramasını büyük ölçüde basitleştirir, ancak dikkatli olun: yalnızca argümanlar tam olarak aynıysa iki yerine bir eşitsizlik kullanabilirsiniz. birbirine eşittir!

Elbette birileri şimdi şunu soracaktır: Farklı olan ne? Evet, oluyor. Örneğin, adımın kendisinde, bir değişken içeren iki argümanı çarptığımızda, gereksiz köklerin ortaya çıkma tehlikesi vardır.

Kendiniz karar verin: Öncelikle argümanların her birinin sıfırdan büyük olması gerekir, ancak çarpma işleminden sonra çarpımlarının sıfırdan büyük olması yeterlidir. Sonuç olarak bu kesirlerin her birinin negatif olması durumu gözden kaçırılmaktadır.

Bu nedenle, karmaşık logaritmik denklemleri yeni anlamaya başlıyorsanız, hiçbir koşulda x değişkenini içeren logaritmaları çarpmayın; bu, sıklıkla ekstra köklerin ortaya çıkmasına yol açacaktır. Fazladan bir adım atmak, bir terimi diğer tarafa taşımak ve kanonik bir form oluşturmak daha iyidir.

Peki bu tür logaritmalarla çarpmadan yapamıyorsanız ne yapmanız gerektiğini bir sonraki video dersimizde tartışacağız :)

Bir kez daha denklemdeki kuvvetler hakkında

Bugün logaritmik denklemlerle ilgili, daha doğrusu logaritmanın argümanlarından ve tabanlarından kuvvetlerin çıkarılmasıyla ilgili oldukça kaygan bir konuyu inceleyeceğiz.

Hatta çift kuvvetlerin kaldırılmasından bahsedeceğimizi bile söyleyebilirim, çünkü gerçek logaritmik denklemleri çözerken zorlukların çoğu çift kuvvetlerle ortaya çıkar.

Kanonik formla başlayalım. Diyelim ki log a f(x) = b şeklinde bir denklemimiz var. Bu durumda b sayısını b = log a a b formülünü kullanarak yeniden yazarız. Aşağıdakiler ortaya çıkıyor:

log a f (x) = log a a b

Daha sonra argümanları eşitliyoruz:

f(x) = a b

Sondan bir önceki formüle kanonik form denir. İlk bakışta ne kadar karmaşık ve korkutucu görünse de, herhangi bir logaritmik denklemi bu amaçla azaltmaya çalışırlar.

Öyleyse deneyelim. İlk görevle başlayalım:

Ön not: Daha önce de söylediğim gibi, logaritmik bir denklemdeki tüm ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesi daha iyidir:

0,5 = 5/10 = 1/2

Bu gerçeği dikkate alarak denklemimizi yeniden yazalım. Hem 1/1000'in hem de 100'ün on'un kuvvetleri olduğuna dikkat edin ve sonra nerede olurlarsa olsunlar kuvvetleri çıkaralım: argümanlardan ve hatta logaritma tabanından:

Ve burada birçok öğrencinin aklına şu soru geliyor: "Sağdaki modül nereden geldi?" Aslında neden sadece (x − 1) yazmıyorsunuz? Tabi ki şimdi (x − 1) yazacağız ama tanım tanım kümesini hesaba katmak bize bunu yazma hakkını veriyor. Sonuçta başka bir logaritma zaten (x - 1) içeriyor ve bu ifadenin sıfırdan büyük olması gerekiyor.

Fakat logaritmanın tabanından kareyi çıkardığımızda modülü tam olarak tabanda bırakmamız gerekir. Nedenini açıklayayım.

Gerçek şu ki, matematiksel açıdan bakıldığında derece almak, kök almakla eşdeğerdir. Özellikle (x − 1) 2 ifadesinin karesini aldığımızda aslında ikinci kökü almış oluyoruz. Ancak karekök bir modülden başka bir şey değildir. Kesinlikle modülçünkü x − 1 ifadesi negatif olsa bile karesi alındığında "eksi" yine de sönecektir. Kökün daha fazla çıkarılması bize herhangi bir eksi olmadan pozitif bir sayı verecektir.

Genel olarak, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için şunu bir kez ve tamamen hatırlayın:

Aynı kuvvete yükseltilmiş herhangi bir fonksiyonun eşit kuvvetinin kökü, fonksiyonun kendisine değil modülüne eşittir:

Logaritmik denklemimize dönelim. Modülden bahsederken acısız bir şekilde çıkarabileceğimizi savundum. Bu doğru. Şimdi nedenini açıklayacağım. Açıkçası iki seçeneği göz önünde bulundurmak zorunda kaldık:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Bu seçeneklerin her birinin ele alınması gerekecektir. Ancak bir sorun var: orijinal formül zaten herhangi bir modül olmadan (x − 1) fonksiyonunu içeriyor. Logaritmanın tanım alanına göre, hemen x − 1 > 0 yazma hakkına sahibiz.

Çözüm sürecinde gerçekleştirdiğimiz modüller ve diğer dönüşümlerden bağımsız olarak bu gereksinimin karşılanması gerekmektedir. Bu nedenle ikinci seçeneği düşünmenin bir anlamı yok - asla ortaya çıkmayacak. Eşitsizliğin bu dalını çözerken bazı rakamlar elde etsek bile bunlar yine de nihai cevaba dahil edilmeyecektir.

Artık logaritmik denklemin kanonik formundan kelimenin tam anlamıyla bir adım uzaktayız. Birimi şu şekilde temsil edelim:

1 = log x - 1 (x - 1) 1

Ek olarak sağdaki −4 faktörünü de argümana dahil ediyoruz:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var. Logaritma işaretinden kurtuluyoruz:

10 −4 = x − 1

Ancak taban bir fonksiyon olduğundan (asal sayı değil), ayrıca bu fonksiyonun sıfırdan büyük olmasını ve bire eşit olmamasını da isteriz. Sonuçta ortaya çıkacak sistem şu şekilde olacaktır:

x − 1 > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılandığı için (sonuçta x − 1 = 10 −4), eşitsizliklerden biri sistemimizden silinebilir. İkinci koşulun da üzeri çizilebilir çünkü x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Bu, logaritmanın tanım alanının tüm gereksinimlerini otomatik olarak karşılayan tek köktür (ancak, sorunumuzun koşullarında açıkça yerine getirildiği için tüm gereksinimler elenmiştir).

Yani ikinci denklem:

3 günlük 3 x x = 2 günlük 9 x x 2

Bu denklem öncekinden temel olarak nasıl farklı? Keşke logaritmanın tabanları - 3x ve 9x - birbirlerinin doğal kuvvetleri olmadığı için. Bu nedenle önceki çözümde kullandığımız geçiş mümkün değildir.

En azından derecelerden kurtulalım. Bizim durumumuzda tek derece ikinci argümandadır:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Ancak x değişkeni de tabanda olduğundan modül işareti kaldırılabilir. x > 0 ⇒ |x| = x. Logaritmik denklemimizi yeniden yazalım:

3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x

Argümanların aynı olduğu ancak tabanların farklı olduğu logaritmalar elde ettik. Bundan sonra ne yapmalı? Burada pek çok seçenek var, ancak bunlardan yalnızca ikisini ele alacağız; bunlar en mantıklı ve en önemlisi bunlar çoğu öğrenci için hızlı ve anlaşılır tekniklerdir.

İlk seçeneği zaten düşündük: belirsiz bir durumda, değişken tabanlı logaritmaları sabit bir tabana dönüştürün. Örneğin, bir ikiliye. Geçiş formülü basittir:

Elbette c değişkeninin rolü normal bir sayı olmalıdır: 1 ≠ c > 0. Bizim durumumuzda c = 2 olsun. Şimdi önümüzde sıradan bir kesirli rasyonel denklem var. Soldaki tüm unsurları topluyoruz:

Açıkçası, hem birinci hem de ikinci kesirlerde mevcut olduğundan log 2 x faktörünü kaldırmak daha iyidir.

log 2 x = 0;

3 günlük 2 9x = 4 günlük 2 3x

Her günlüğü iki terime ayırıyoruz:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

günlük 2 3x = günlük 2 3 + günlük 2 x

Bu gerçekleri dikkate alarak eşitliğin her iki tarafını da yeniden yazalım:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 günlük 2 3 + 3 günlük 2 x = 4 günlük 2 3 + 4 günlük 2 x

2 günlük 2 3 = günlük 2 x

Şimdi geriye kalan tek şey logaritmanın işaretinin altına ikiyi girmek (kuvvet haline dönüşecek: 3 2 = 9):

günlük 2 9 = günlük 2 x

Önümüzde klasik kanonik form var, logaritma işaretinden kurtulup şunu elde ediyoruz:

Beklendiği gibi bu kökün sıfırdan büyük olduğu ortaya çıktı. Geriye tanım alanını kontrol etmek kalıyor. Sebeplerine bakalım:

Ancak kök x = 9 bu gereksinimleri karşılar. Bu nedenle nihai karardır.

Bu çözümden çıkan sonuç basittir: Uzun hesaplamalardan korkmayın! Sadece başlangıçta rastgele yeni bir üs seçtik ve bu, süreci önemli ölçüde karmaşıklaştırdı.

Ama sonra şu soru ortaya çıkıyor: Hangi temel? optimal? İkinci yöntemde bundan bahsedeceğim.

Orijinal denklemimize geri dönelim:

3 günlük 3x x = 2 günlük 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| =x

3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x

Şimdi biraz düşünelim: Hangi sayı veya fonksiyon optimal temel olabilir? Açıkçası, en iyi seçenek zaten argümanlarda bulunan c = x olacaktır. Bu durumda log a b = log c b /log c a formülü şu şekli alacaktır:

Başka bir deyişle ifade basitçe tersine çevrilir. Bu durumda argüman ve temel yer değiştirir.

Bu formül çok faydalıdır ve karmaşık logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır. Ancak bu formülü kullanırken çok ciddi bir tuzak var. Taban yerine x değişkenini değiştirirsek, daha önce gözlemlenmeyen kısıtlamalar uygulanır:

Orijinal denklemde böyle bir sınırlama yoktu. Bu nedenle x = 1 durumunu ayrı ayrı kontrol etmeliyiz. Bu değeri denklemimizde yerine koyalım:

3 günlük 3 1 = 4 günlük 9 1

Doğru sayısal eşitliği elde ederiz. Bu nedenle x = 1 bir köktür. Önceki yöntemde tam olarak aynı kökü çözümün en başında bulduk.

Ancak şimdi bu özel durumu ayrı ayrı ele aldığımıza göre, x ≠ 1 olduğunu rahatlıkla varsayabiliriz. O zaman logaritmik denklemimiz aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:

3 günlük x 9x = 4 günlük x 3x

Öncekiyle aynı formülü kullanarak her iki logaritmayı genişletiyoruz. Log x x = 1 olduğuna dikkat edin:

3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)

3 günlük x 9 + 3 = 4 günlük x 3 + 4

3 günlük x 3 2 − 4 günlük x 3 = 4 − 3

2 günlük x 3 = 1

Böylece kanonik forma geldik:

günlük x 9 = günlük x x 1

x=9

İkinci kökü elde ettik. x ≠ 1 koşulunu karşılıyor. Bu nedenle, x = 1 ile birlikte x = 9 son cevaptır.

Gördüğünüz gibi hesaplamaların hacmi biraz azaldı. Ancak gerçek bir logaritmik denklemi çözerken adım sayısı çok daha az olacaktır çünkü her adımı bu kadar ayrıntılı açıklamanıza gerek yoktur.

Bugünkü dersin temel kuralı şudur: Eğer problem, aynı derecenin kökünün çıkarıldığı çift dereceli bir derece içeriyorsa, o zaman çıktı bir modül olacaktır. Ancak logaritmanın tanım alanına dikkat edilirse bu modül kaldırılabilir.

Ancak dikkatli olun: Bu dersten sonra çoğu öğrenci her şeyi anladığını düşünüyor. Ancak gerçek problemleri çözerken mantıksal zincirin tamamını yeniden üretemezler. Sonuç olarak denklem gereksiz kökler edinir ve cevabın yanlış olduğu ortaya çıkar.

Bu derste logaritmalarla ilgili temel teorik gerçekleri gözden geçireceğiz ve en basit logaritmik denklemleri çözmeyi ele alacağız.

Merkezi tanımı, logaritmanın tanımını hatırlayalım. Üstel bir denklemin çözülmesini içerir. Bu denklemin tek bir kökü vardır ve buna b'nin a tabanına göre logaritması denir:

Tanım:

B'nin a tabanına göre logaritması, b'yi elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken üstür.

Size hatırlatalım temel logaritmik kimlik.

İfade (ifade 1) denklemin köküdür (ifade 2). İfade 1'deki x değerini x yerine ifade 2'ye koyun ve ana logaritmik özdeşliği elde edin:

Yani her değerin bir değerle ilişkilendirildiğini görüyoruz. b'yi x() ile, c'yi y ile gösteririz ve böylece logaritmik bir fonksiyon elde ederiz:

Örneğin:

Logaritmik fonksiyonun temel özelliklerini hatırlayalım.

Burada bir kez daha dikkat edelim, çünkü logaritma altında logaritmanın tabanı olarak kesinlikle pozitif bir ifade olabilir.

Pirinç. 1. Logaritmik fonksiyonun farklı tabanlardaki grafiği

Fonksiyonun grafiği siyah renkte gösterilmiştir. Pirinç. 1. Eğer argüman sıfırdan sonsuza artarsa, fonksiyon eksiden artı sonsuza artar.

Fonksiyonun grafiği kırmızıyla gösterilmiştir. Pirinç. 1.

Bu fonksiyonun özellikleri:

Kapsam: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca monotondur. Monoton (kesinlikle) arttığında, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir. Monoton (kesinlikle) azaldığında, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

Logaritmik fonksiyonun özellikleri, çeşitli logaritmik denklemleri çözmenin anahtarıdır.

En basit logaritmik denklemi ele alalım; diğer tüm logaritmik denklemler kural olarak bu forma indirgenir.

Logaritmanın tabanları ve logaritmanın kendisi eşit olduğundan, logaritmanın altındaki fonksiyonlar da eşittir, ancak tanım alanını kaçırmamalıyız. Logaritmanın altında yalnızca pozitif bir sayı görünebilir, elimizde:

f ve g fonksiyonlarının eşit olduğunu bulduk, dolayısıyla ODZ'ye uymak için herhangi bir eşitsizliği seçmenin yeterli olduğunu gördük.

Böylece, bir denklemin ve bir eşitsizliğin olduğu karma bir sistemimiz var:

Kural olarak, bir eşitsizliği çözmek gerekli değildir; denklemi çözmek ve bulunan kökleri eşitsizliğin yerine koymak ve böylece bir kontrol yapmak yeterlidir.

En basit logaritmik denklemleri çözmek için bir yöntem formüle edelim:

Logaritmanın tabanlarını eşitleyin;

Sublogaritmik fonksiyonları eşitleyin;

Kontrol gerçekleştirin.

Belirli örneklere bakalım.

Örnek 1 - denklemi çözün:

Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkına sahibiz, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ilk logaritmayı seçiyoruz:

Örnek 2 - denklemi çözün:

Bu denklem, logaritmanın tabanlarının birden küçük olması nedeniyle öncekinden farklıdır, ancak bu, çözümü hiçbir şekilde etkilemez:

Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:

Yanlış bir eşitsizlik aldık, bu da bulunan kökün ODZ'yi karşılamadığı anlamına geliyor.

Örnek 3 - denklemi çözün:

Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkımız var, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ikinci logaritmayı seçiyoruz:

Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:

Açıkçası, yalnızca ilk kök ODZ'yi karşılar.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Örnekler:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Logaritmik denklemler nasıl çözülür:

Logaritmik bir denklemi çözerken, onu \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) biçimine dönüştürmeye çalışmalı ve ardından \(f(x)'e geçiş yapmalısınız. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Örnek:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Çözüm:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
Muayene:\(10>2\) - DL için uygun
Cevap:\(x=10\)

ODZ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Çok önemli! Bu geçiş yalnızca aşağıdaki durumlarda yapılabilir:

Orijinal denklemi yazdınız ve sonunda bulunanların ODZ'ye dahil olup olmadığını kontrol edeceksiniz. Bu yapılmazsa fazladan kökler ortaya çıkabilir, bu da yanlış karar anlamına gelir.

Soldaki ve sağdaki sayı (veya ifade) aynıdır;

Sol ve sağdaki logaritmalar “saftır” yani çarpma, bölme vb. olmamalıdır. – Eşittir işaretinin her iki tarafında yalnızca tek logaritmalar.

Örneğin:

Denklem 3 ve 4'ün logaritmanın gerekli özelliklerini uygulayarak kolayca çözülebileceğini unutmayın.

Örnek . \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) denklemini çözün

Çözüm :

		ODZ'yi yazalım: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Logaritmanın önünde solda katsayı, sağda logaritmanın toplamı bulunur. Bu bizi rahatsız ediyor. Şu özelliğe göre ikisini \(x\) üssüne taşıyalım: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Logaritmaların toplamını şu özelliğe göre bir logaritma olarak temsil edelim: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Denklemi \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) formuna indirdik ve ODZ'yi yazdık, bu da \(f(x) formuna geçebileceğimiz anlamına geliyor =g(x)\ ).
		İşe yaradı. Bunu çözüyoruz ve köklerini alıyoruz.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Köklerin ODZ'ye uygun olup olmadığını kontrol ediyoruz. Bunu yapmak için, \(x>0\) yerine \(x\) yerine \(5\) ve \(-5\) koyarız. Bu işlem ağızdan yapılabilir.
\(5>0\), \(-5>0\)		İlk eşitsizlik doğru, ikincisi değil. Bu, \(5\)'in denklemin kökü olduğu, ancak \(-5\)'nin olmadığı anlamına gelir. Cevabını yazıyoruz.

Cevap : \(5\)

Örnek : \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) denklemini çözün

Çözüm :

		ODZ'yi yazalım: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		kullanılarak çözülen tipik bir denklem. \(\log_2⁡x\) öğesini \(t\) ile değiştirin.
\(t=\log_2⁡x\)
		Her zamanki gibi aldık. Köklerini arıyoruz.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Ters değiştirme yapma
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Sağ tarafları logaritma olarak temsil ederek dönüştürüyoruz: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) ve \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Artık denklemlerimiz \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) şeklindedir ve \(f(x)=g(x)\)'e geçiş yapabiliriz.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ODZ'nin köklerinin yazışmalarını kontrol ediyoruz. Bunu yapmak için, \(x\) yerine \(x>0\) eşitsizliğinde \(4\) ve \(2\)'yi değiştirin.
\(4>0\) \(2>0\)		Her iki eşitsizlik de doğrudur. Bu, hem \(4\) hem de \(2\)'nin denklemin kökleri olduğu anlamına gelir.

Cevap : \(4\); \(2\).