Harmonik bir osilatörün çözümü. Harmonik osilatör: türleri ve uygulamaları

Basit bir fiziksel sistemi ele alalım - Hooke kuvvetinin etkisi altında yatay bir yüzey üzerinde sürtünme olmadan salınabilen maddi bir nokta (bkz. Şekil 2).

Yükün yer değiştirmesi küçükse (deforme olmamış yayın uzunluğundan çok daha az) ve yayın sertliği k'ye eşitse, yüke etki eden tek kuvvet Hooke kuvvetidir. Daha sonra denklem

yükün hareketi (Newton'un İkinci Yasası) şu şekildedir:

Terimleri eşitliğin sol tarafına kaydırıp maddi noktanın kütlesine bölerek (m'ye kıyasla yayın kütlesini ihmal ediyoruz) hareket denklemini elde ederiz.

(*) ,

salınım periyodu.

Daha sonra fonksiyonu alarak

ve zamana göre farklılaştırdıktan sonra, öncelikle yükün hareket hızının şuna eşit olduğuna ikna olduk:

ve ikinci olarak, tekrarlanan farklılaşmadan sonra,

yani X(t) aslında bir yay üzerindeki yük denkleminin bir çözümüdür.

Böyle bir sisteme, genel olarak, bir hareket denklemine (*) sahip olan mekanik, elektriksel veya diğer herhangi bir sisteme harmonik osilatör denir. X(t) tipi bir fonksiyona harmonik salınıcının hareket kanunu denir.
denir genlik,döngüsel veya doğal frekans,başlangıç aşaması. Doğal frekans, osilatörün parametreleri tarafından belirlenir, genlik ve başlangıç fazı, başlangıç koşulları tarafından belirlenir.

X(t) hareket kanunu serbest salınımları temsil eder. Bu tür salınımlar, sönümsüz sarkaçlar (matematiksel veya fiziksel), ideal bir salınım devresindeki akım ve voltaj ve diğer bazı sistemler tarafından gerçekleştirilir.

Harmonik titreşimler hem bir yönde hem de farklı yönlerde toplanabilir. Eklemenin sonucu aynı zamanda harmonik bir salınımdır, örneğin,

Bu, titreşimlerin üst üste binmesi (süperpozisyon) ilkesidir.

Matematikçiler, Fourier serileri adı verilen bu türden bir seri teorisi geliştirdiler. Ayrıca Fourier integralleri (frekanslar sürekli olarak değişebilir) ve hatta karmaşık frekanslarla çalışan Laplace integralleri gibi bir takım genellemeler de vardır.

§15. Sönümlü osilatör. Zorlanmış titreşimler.

Gerçek mekanik sistemler her zaman en azından küçük miktarda sürtünmeye sahiptir. En basit durum sıvı veya viskoz sürtünmedir. Bu, büyüklüğü sistemin hareket hızıyla orantılı olan (ve doğal olarak hareket yönünün tersine yönlendirilen) sürtünmedir. Hareket X ekseni boyunca meydana gelirse, hareket denklemi (örneğin, yay üzerindeki bir ağırlık için) şu şekilde yazılabilir:

Nerede – viskoz sürtünme katsayısı.

Bu hareket denklemi şu şekle dönüştürülebilir:

Burada
– zayıflama katsayısı, – hala osilatörün doğal frekansıdır (artık harmonik olarak adlandırılamaz; viskoz sürtünmeli sönümlü bir osilatördür).

Matematikçiler bu tür diferansiyel denklemleri çözebilirler. Çözümün fonksiyon olduğu gösterildi

Son formül aşağıdaki gösterimi kullanır: – başlangıç genliği, zayıf sönümlü salınımların frekansı
,
. Ayrıca zayıflamayı karakterize eden diğer parametreler de sıklıkla kullanılır: logaritmik zayıflama azalması
, sistem dinlenme süresi
, sistem kalite faktörü
Burada pay, sistem tarafından depolanan enerjidir ve payda, T periyodu boyunca enerji kaybıdır.

Güçlü zayıflama durumunda
Çözeltinin periyodik olmayan bir formu vardır.

Sürtünme kuvvetlerine ek olarak, osilatöre bir dış kuvvetin etki ettiği durumlar sıklıkla vardır. Daha sonra hareket denklemi forma indirgenir

sağdaki ifadeye genellikle azaltılmış kuvvet denir, ifadenin kendisi
zorlama kuvveti denir. Keyfi bir itici güç için denklemin çözümünü bulmak mümkün değildir. Genellikle harmonik bir itici güç dikkate alınır
. Bu durumda çözüm, uzun süre sıfıra eğilim gösteren (**) tipinde sönümlü bir parçayı ve sabit (zorlanmış) salınımları temsil eder.

Zorunlu salınımların genliği

ve zorunlu salınımların aşaması

Doğal frekansın itici kuvvetin frekansına yaklaştıkça zorlanmış salınımların genliğinin arttığına dikkat edin. Bu fenomen şu şekilde bilinir: rezonans. Eğer sönüm büyükse rezonans artışı da büyük değildir. Bu rezonansa "donuk" denir. Düşük zayıflamalarda "keskin" rezonansın genliği oldukça önemli ölçüde artabilir. Sistem idealse ve içinde sürtünme yoksa, zorlanmış salınımların genliği sınırsız bir şekilde artar.

Ayrıca itici güç frekansında

İtici kuvvetin genliğinin maksimum değeri, şuna eşit olarak elde edilir:

Ders 1

SALINIMLAR. DALGALAR. OPTİK

Salınımları inceleyen ilk bilim adamları Galileo Galilei ve Christiaan Huygens'ti. Galileo salınım periyodunun genlikten bağımsızlığını ortaya koydu. Huygens sarkaçlı saati icat etti.

Denge konumundan hafifçe rahatsız edildiğinde kararlı salınımlar sergileyen herhangi bir sisteme harmonik osilatör denir. Klasik fizikte bu tür sistemler, küçük sapma açılarına sahip matematiksel bir sarkaç, küçük salınım genliklerine sahip bir yük ve doğrusal kapasitans ve endüktans elemanlarından oluşan bir elektrik devresidir.

(1.1.1)

Nerede X A

Salınımlı bir malzeme noktasının hızı

Periyodik olarak tekrarlanan bir süreç (1.1.1) ile örtüşmeyen denklemlerle tanımlanıyorsa buna anharmonik denir. Harmonik olmayan salınımlar gerçekleştiren bir sisteme harmonik olmayan osilatör denir.

1.1.2 . Tek serbestlik dereceli sistemlerin serbest titreşimleri. Harmonik titreşimlerin karmaşık gösterimi

Doğada bir sistemin denge konumuna yaklaşırken yaptığı küçük salınımlar çok yaygındır. Denge konumundan çıkarılan bir sistem kendi haline bırakılırsa, yani üzerine hiçbir dış kuvvet etki etmezse, böyle bir sistem serbest, sönümsüz salınımlar gerçekleştirecektir. Bir serbestlik derecesine sahip bir sistem düşünelim.

Nerede

, (1.1.4)

İfade (1.1.5), serbest harmonik salınımların denklemi (1.1.3) ile örtüşmektedir, ancak şu şartla:

, Nerede A=Xe-iα

1.1.3 . Çeşitli fiziksel yapıdaki salınım hareketlerine örnekler

Harmonik osilatör. Yay, fiziksel ve matematiksel sarkaçlar

Harmonik osilatör(140.6) formundaki bir denklemle açıklanan salınımları gerçekleştiren bir sistem olarak adlandırılır;

Harmonik bir osilatörün salınımları periyodik hareketin önemli bir örneğidir ve klasik ve kuantum fiziğindeki birçok problemde kesin veya yaklaşık bir model olarak hizmet eder. Harmonik osilatörün örnekleri arasında yay, fiziksel ve matematiksel sarkaçlar ve salınım devresi (devre elemanlarının doğrusal olarak kabul edilebileceği kadar küçük akımlar ve gerilimler için) yer alır.

1. Yaylı sarkaç- bir kütle yüküdür T mükemmel elastik bir yay üzerinde asılıdır ve elastik bir kuvvetin etkisi altında harmonik salınımlar gerçekleştirir. F = – kx, Nerede k- yay sertliği. Bir sarkacın hareket denklemi

(142.1) ve (140.1) ifadelerinden, yay sarkacının yasaya göre harmonik salınımlar gerçekleştirdiği sonucu çıkmaktadır. x=A s ile (w 0 T + J) döngüsel frekansla

Formül (142.3), Hooke yasasının karşılandığı sınırlar dahilindeki elastik titreşimler için geçerlidir (bkz. (21.3)), yani yayın kütlesi, cismin kütlesiyle karşılaştırıldığında küçük olduğunda. (141.5) ve (142.2)'ye göre bir yay sarkacının potansiyel enerjisi şuna eşittir:

2. Fiziksel sarkaç- yerçekiminin etkisi altında, bir noktadan geçen sabit bir yatay eksen etrafında salınan katı bir cisimdir HAKKINDA kütle merkeziyle çakışmayan İLE cesetler (Şek. 201).

Sarkaç denge konumundan belirli bir açıyla eğilirse A, daha sonra, katı bir cismin dönme hareketinin dinamiği denklemine (18.3) göre, moment M geri getirme kuvveti şu şekilde yazılabilir:

Nerede J- sarkacın askı noktasından geçen eksene göre atalet momenti Ah ben... sarkacın kütle merkezi ile arasındaki mesafe, F t = – mg sin a » – mga. - geri getirme kuvveti (eksi işareti, yönlerin ft Ve A her zaman tam tersi; günah A » A sarkacın küçük salınımlarına karşılık gelir, yani. sarkacın denge konumundan küçük sapmaları). Denklem (142.4) şu şekilde yazılabilir:

(140.1)'in çözümü bilinen (142.1) ile aynı:

(142.6) ifadesinden, küçük salınımlar için fiziksel sarkacın, w 0 döngüsel frekansı (bkz. (142.5)) ve periyoduyla harmonik salınımlar gerçekleştirdiği sonucu çıkar.

Nerede L=J/(ml) - fiziksel sarkacın uzunluğunun azaltılması.

Nokta HAKKINDA' düz çizginin devamında işletim sistemi, noktadan uzak HAKKINDA sarkacın verilen uzunlukta bir mesafede asılı kalması L, isminde salıncak merkezi fiziksel sarkaç (Şekil 201). Steiner teoremini (16.1) uygulayarak şunu elde ederiz:

yani. OO' her zaman daha fazlası İşletim sistemi. Askı noktası HAKKINDA sarkaç ve salınım merkezi HAKKINDA' sahip olmak Değiştirilebilirlik özelliği: Süspansiyon noktası salınımın merkezine taşınırsa önceki nokta HAKKINDA süspansiyon

salınımın yeni merkezi olacak ve fiziksel sarkacın salınım periyodu değişmeyecek.

3. Matematiksel sarkaç- Bu idealleştirilmiş kütleli maddi bir noktadan oluşan sistem T, Uzatılamaz, ağırlıksız bir iplik üzerinde asılıdır ve yerçekiminin etkisi altında salınır. Matematiksel sarkacın iyi bir tahmini, ince, uzun bir ip üzerinde asılı duran küçük, ağır bir toptur. Matematiksel bir sarkacın eylemsizlik momenti

Nerede ben- sarkacın uzunluğu.

Matematiksel bir sarkaç şu şekilde temsil edilebildiğinden fiziksel sarkacın özel bir durumu, tüm kütlesinin tek bir noktada yoğunlaştığını varsayarsak - kütle merkezi, daha sonra ifadeyi (142.8) formül (1417) ile değiştirerek, matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının periyodu için bir ifade elde ederiz.

(142.7) ve (142.9) formüllerini karşılaştırdığımızda, uzunluğun kısaltılması durumunda şunu görüyoruz: L fiziksel sarkaç uzunluğa eşittir ben Matematiksel bir sarkaç varsa bu sarkaçların salınım periyotları aynıdır. Buradan, fiziksel sarkacın kısaltılmış uzunluğu- bu, salınım periyodu belirli bir fiziksel sarkacın salınım periyoduna denk gelen böyle bir matematiksel sarkacın uzunluğudur.

İdeal harmonik osilatör. İdeal osilatör denklemi ve çözümü. Salınımların genliği, frekansı ve fazı

SALINIMLAR

HARMONİK TİTREŞİMLER

İdeal harmonik osilatör. İdeal osilatör denklemi ve çözümü. Salınımların genliği, frekansı ve fazı

Salınım, doğadaki ve teknolojideki en yaygın süreçlerden biridir. Salınımlar zaman içinde tekrarlanan süreçlerdir. Yüksek binalar ve yüksek gerilim kabloları rüzgarın, sürüş sırasında yara saatinin sarkacının ve yaylar üzerindeki bir arabanın, yıl boyunca nehir seviyesinin ve hastalık sırasında insan vücudunun sıcaklığının etkisi altında salınır. Ses hava basıncındaki dalgalanmalardır, radyo dalgaları elektrik ve manyetik alanların gücündeki periyodik değişikliklerdir, ışık da elektromanyetik dalgalanmalardır. Depremler - toprağın titreşimleri, gelgitler ve akıntılar - ayın çekiciliğinden kaynaklanan deniz ve okyanus seviyelerindeki değişiklikler vb.

Salınımlar mekanik, elektromanyetik, kimyasal, termodinamik vb. olabilir. Bu çeşitliliğe rağmen tüm salınımlar aynı diferansiyel denklemlerle tanımlanır.

Denge konumundan yer değiştirme, rahatsız edici kuvvetle doğrudan orantılıysa, harmonik bir osilatörün doğrusal olduğu düşünülebilir. Harmonik bir osilatörün salınım frekansı genliğe bağlı değildir. Bir osilatör için süperpozisyon ilkesi karşılanır - eğer birkaç rahatsız edici kuvvet etki ediyorsa, o zaman bunların toplam eyleminin etkisi, etki eden bireysel kuvvetlerin etkilerinin eklenmesinin bir sonucu olarak elde edilebilir.

Harmonik titreşimler denklemle tanımlanır (Şekil 1.1.1)

(1.1.1)

Nerede X-salınım miktarının denge konumundan yer değiştirmesi, A- Maksimum yer değiştirmenin değerine eşit salınımların genliği, - Zaman anındaki yer değiştirmeyi belirleyen salınımların fazı, - Hareketin başlangıç anında yer değiştirmenin değerini belirleyen başlangıç fazı zaman, – salınımların döngüsel frekansı.

Bir tam salınımın süresine periyot denir ve bu süre içinde tamamlanan salınımların sayısıdır.

Salınım frekansı, birim zaman başına gerçekleştirilen salınımların sayısını belirler; ilişki ve ardından periyot yoluyla döngüsel frekansla ilişkilidir.

Böylece harmonik osilatörün hızı ve ivmesi de harmonik yasasına göre genliklerle ve sırasıyla değişir. Bu durumda hız, yer değiştirmenin fazında ve ivmenin önündedir (Şekil 1.1.2).

Harmonik bir osilatörün (1.1.1) ve (1.1.2) hareket denklemlerinin karşılaştırılmasından şu sonuç çıkar: veya

Bu ikinci dereceden diferansiyel denkleme harmonik osilatör denklemi denir. Çözümü iki sabit içeriyor A ve başlangıç koşullarının ayarlanmasıyla belirlenir

Kararlı denge, sistemin potansiyel enerjisinin minimum olduğu bir konuma karşılık gelir ( Q– sistemin genelleştirilmiş koordinatı). Sistemin denge konumundan sapması, sistemi geri döndürme eğiliminde olan bir kuvvetin ortaya çıkmasına neden olur. Denge konumuna karşılık gelen genelleştirilmiş koordinatın değeri ile gösterilir, ardından denge konumundan sapma

Potansiyel enerjiyi minimum değerden sayacağız. Ortaya çıkan fonksiyonu kabul edip onu bir Maclaurin serisine genişletelim ve genişletmenin ilk terimini bırakalım, elimizde: o

Nerede . Daha sonra tanıtılan notasyonları dikkate alarak:

, (1.1.4)

Sisteme etki eden kuvvetin ifadesini (1.1.4) dikkate alarak şunu elde ederiz:

Newton'un ikinci yasasına göre sistemin hareket denklemi şu şekildedir: ,

ve iki bağımsız çözümü vardır: ve , dolayısıyla genel çözüm şöyledir:

Formül (1.1.6)'dan, frekansın yalnızca mekanik sistemin kendine özgü özellikleri tarafından belirlendiği ve genliğe ve hareketin başlangıç koşullarına bağlı olmadığı sonucu çıkar.

Salınımlı bir sistemin koordinatlarının zamana bağımlılığı, karmaşık ifadenin gerçek kısmı şeklinde belirlenebilir. , Nerede A=Xe-iα– karmaşık genlik, modülü olağan genlikle çakışır ve argümanı başlangıç fazıyla çakışır.

Kimyagerin El Kitabı 21

Kimya ve kimya teknolojisi

Harmonik hareket kanunu

Dönme hareketinin salınım hareketine dönüştürüldüğü mekanik (esas olarak eksantrik ve kam mekanizmaları). Sürülen bağlantının hareket kanunu harmoniğe yakın olabilir. Bu uyarıcılar bazı elek türlerinde, titreşimli santrifüjlerde ve sonsuz karıştırıcılarda kullanılır.

Klasik mekanikte, bir nokta sisteminin hareket yasasını bulmak için (qi'yi zamanın fonksiyonu olarak koordine eder), Newton denklemleri sistemini çözmek gerekir. Rastgele seçilen bir koordinat sistemiyle, bu potansiyelli denklemlerin (VII, 7) genel çözümü, q (t)'nin harmonik formuna yol açmaz. Bununla birlikte, q koordinatlarının doğrusal kombinasyonlarının yardımıyla, her biri belirli bir frekansa sahip bir harmonik yasaya göre değişen yeni koordinatlar oluşturmanın mümkün olduğunu göstermek kolaydır (c. Bu tür koordinatlar

Aslında bir bağla birbirine bağlanan iki atomun titreşimleri, bir yay tarafından bir arada tutulan bir çift kürenin titreşimlerine benzer. Küçük kaymalar için geri çağırma kuvveti yer değiştirmeyle orantılıdır ve eğer böyle bir sistem harekete geçirilirse salınımlar basit harmonik hareket yasasıyla tanımlanacaktır.

Rejeneratör için en iyi çalışma koşulları, pistonun harmonik bir hareket yapmaması ve her vuruşun sonunda durması durumunda yaratılacaktır. Ancak basitliği nedeniyle piston hareketinin harmonik kanunu kullanılarak oldukça yüksek bir verim elde edilebilir.

Çalışma ortamı bir boru hattında veya herhangi bir başka basınç kanalında salındığında, akış kesiti üzerindeki akış hızlarının dağılımı, ortamın sürekli hareketi durumunda bu dağılımı tanımlayan yasadan farklıdır. Bu nedenle, sıvının laminer akışı yuvarlak silindirik bir boruda salındığında, hızların parabolik dağılımı bozulur; bu, hidrolikten bilindiği gibi, sıvının bir boru içindeki laminer sabit hareketinin karakteristiğidir. Boru boyunca basınç gradyanındaki harmonik değişiklikle hız dağılımı formül (9.42) kullanılarak bulunabilir. Bunu yapmak için (s) yerine basınç gradyanındaki harmonik değişim yasasının Laplace görüntüsünü formülde değiştirmelisiniz ve ardından ters dönüşümü gerçekleştirmelisiniz. Bu şekilde elde edilen (t, r) fonksiyonu eserde verilmiştir.

Endüstriyel makinelerin tasarımlarında pistonların aralıklı hareket ettiği bir çevrimin uygulanmasına gerek olmadığı açıktır. Herhangi bir piston hareketi kanunu için, özellikle harmonik bir kanun için (bir krank tahriki için), ideal bir Stirling makinesinin termodinamik verimliliği birliğe eşittir.

Bu kurulumlarda, çubukların basitleştirilmiş, harmoniklere yakın bir hareket yasası benimsendi - pompalama makinesinin mafsallı dört çubuklu bağlantısının yerini krank mekanizmaları aldı. Bu varsayım genel olarak kabul edilir ve deneylerin gösterdiği gibi deney koşulları açısından tamamen haklıdır.

İki atomlu bir molekülün iç durumu, elektron kabuğunun durumunun yanı sıra molekülün bir bütün olarak dönme hareketinin özellikleri ve çekirdeklerin titreşim hareketi belirtilirse belirlenir. Dönme ve titreşimlerin ilk yaklaşım olarak molekülün elektronik durumundan bağımsız olduğu kabul edilir. İki atomlu bir molekülün dönme ve titreşim hareketlerini tanımlamaya yönelik en basit model, molekülün katı bir döndürücü olarak dönmesinin ve harmonik yasaya göre çekirdeklerin titreşimlerinin bağımsız olarak değerlendirildiği katı rotator - harmonik osilatör modelidir. Bu modelin klasik bir açıklaması için bkz. IV., 5. Kuantum mekaniği formüllerini (VII.19), (VII.20) ve (UP.22) kullanarak iki atomlu bir molekülün enerjisinin ifadesini aynı yaklaşımla yazalım.

Titreşimlerin genliğinde bir değişiklik ve harmonikten şok titreşim moduna geçiş, profili iticinin çalışma masası ve bir blok ile hareket yasası ile belirlenen değiştirilebilir eksantriklerin takılmasıyla elde edilir. üzerine koaksiyel silindirler monte edilmiştir.

Bölüm e'de, moleküllerin enerjisinin, uzaysal koordinatlara () göre veya momentuma (/z) göre ikinci dereceden belirli sayıda terimin toplamı ile ifade edilmesi durumunda, dağılım biçiminin Kanun, kinetik ifadesinde tam olarak kaç terimin ve potansiyel enerji ifadesinde ne kadar terimin yer aldığına bağlı değildir. Ancak potansiyel kinetik enerjiyi ifade eden aynı sayıda terim dikkate alınırsa yasanın türetilmesi basitleşir. Fiziksel olarak bu, moleküllerin toplam hareketinin 5 bağımsız harmonik osilatör sayısıyla temsil edildiği varsayımına karşılık gelir. Bu durumda molekülün enerjisi şu şekilde yazılabilir:

Sabit ivmeli spektrometrelerde, kaynağın ve soğurucunun bağıl hızı, doğrusal veya harmonik bir yasaya göre periyodik olarak değişir; bu, incelenen spektrumun belirli bir hız aralığında kaydedilmesini mümkün kılar. Tipik olarak bu tür spektrometrelerde bilgi, bellek kanalları hız döngüsüyle eşzamanlı olarak açıldığında, zaman modunda çalışan çok kanallı bir analizörün belleğine kaydedilir.

Kuantum yasalarının ifadelerinden biri, periyodik hareketler gerçekleştiren bir cismin enerji seviyelerinin ayrıklığıdır. Örnek olarak bir osilatörün harmonik salınımını düşünün. Klasik harmonik osilatörün enerjisi sürekli olarak değişebilir. Bu enerji yA 2'ye eşittir (x = A'daki potansiyel enerjinin en yüksek değeri). Elastik sabit

Zorlanmış titreşimler. Harmonik bir yasaya göre değişen, Pif itici kuvvetinin etkisi altında, bir serbestlik derecesine sahip doğrusal elastik bir sistemin uzunlamasına salınımlarını ele alalım. Başlangıçta esnek olmayan direnç kuvvetlerinin olmadığı varsayımını kabul ediyoruz. Bu durumda hareket denklemi (Şekil 3.7, a) tx = -Py + P (/) biçimindedir; bu, P = cx, dm = sosyal ve P (/) = Po sin (oi) ikamelerinden sonra verir.

Klasik bir sistemle karşı karşıya olsaydık, belirli başlangıç koşulları altında, prensipte, normal koordinatlardan yalnızca birinin değişeceği bir hareketi tetiklemek mümkün olurdu. Daha sonra, bu normal koordinat değiştiğinde, tüm bağ uzunluklarında değişiklikler meydana gelir. , bağ açıları vb. gözlenir, bu koordinatla orantılı olarak katsayılar ile normal koordinatlar bir harmonik kanuna göre değişirse, molekülün tüm geometrik parametreleri de bir harmonik kanuna göre değişir ve tüm geometrik parametreler geçer. XY2 molekülü su tipi için normal titreşimlerin örneği Şekil 8'de gösterilmektedir.

Bir maddenin elektronları denge konumlarından hafifçe kaydırılırsa, bu durumda büyüklüğünün yer değiştirmeyle orantılı olduğu kabul edilen bir onarıcı etkinin etkisine maruz kalırlar. Bu durumda elektronların hareketinin basit bir harmonik salınım olduğu ortaya çıkar. Işığın bu tür bir dizi elektriksel osilatör içeren bir sistemden geçişi, Maxwell'in teorisine göre ışığın elektromanyetik salınımlarının bileşenlerinden biri olduğu ortaya çıkan ek bir elektrik kuvvetinin ortaya çıkmasına eşdeğerdir. Işık içinden geçtiğinde, elektrik alanı karşılık gelen frekansta değişir ve enerjinin korunumu yasasına göre salınan elektronun hareketini etkiler. Maddedeki ışığın yayılma hızı (ve dolayısıyla kinetik enerjisi) vakumdakinden daha azdır; dolayısıyla ışıkla etkileşime giren elektronların kinetik enerjisi artar. Böylece ışık, moleküldeki elektronların hareketini değiştirme eğiliminde olur ve elektronu orijinal konumunda tutmaya çalışan kuvvete ters yönde etki eder.

Bu ölçüm seçeneği, dış silindirin hareketsiz olarak monte edilmesi, iç silindirin bir burulma çubuğu üzerine monte edilmesi ve buna etki eden torkun harmonik kanuna göre ayarlanması durumunda, boru şeklindeki bir numunenin burulma titreşimleri sırasında da uygulanabilir. Şimdi tork ile silindirin dönme açısı arasındaki faz farkını ve ayrıca bükülme açısının genliğini ölçersek, O'yu belirlemeye yönelik hesaplama şeması yukarıda belirtilen formüllere indirgenecektir (VI.15) ve (VI.16). Ancak torkun silindirin açısal hızına oranını ölçersek bu, sistemin empedansını belirleme problemine karşılık gelir.

Sonuç olarak, sıvıların dinamiğinin tam ve fiziksel olarak makul bir niceliksel tanımı açısından bakıldığında, dikkate alınan tüm modellerin, sudaki difüzyon ve salınımları tanımlamak için yalnızca bir ilk yaklaşım olduğunu, çünkü bir dizi basitleştirmenin kullanıldığını not ediyoruz. onların inşaatı. Yalnızca uzun hareketsiz yaşam süreleri sınırında (bu düşük sıcaklıklarda meydana gelebilir) veya iyonların hidrasyon kabuğundaki su moleküllerinin güçlü elektrostriksiyonuyla, harmonik yaklaşım ve atlamalı difüzyonun basit bir modeli [denklem (4-5) tablosu. 4] yasaldır. Yüksek sıcaklıklarda ve su molekülleri arasındaki bağların iyonlar tarafından zayıflatıldığı çözeltilerde, titreşimler keskin bir şekilde uyumsuz hale gelir, gevşeme ve yayılma hareketleriyle yavaşlar. Bu durumda sıvının davranışı, serbest parçacıklardan oluşan bir sistemin davranışıyla daha tutarlıdır [denklem (37)]. Yayılma ve salınım hareketleri arasında herhangi bir korelasyon olmadığı varsayımı da tartışmalı bir konudur. Son zamanlarda Raman ve ark.

Bir sonraki bölümde. Şekil 11.3'te, ayrı ayrı serbestlik derecelerinin ısı kapasitesine katkılarının tahmin edilmesini mümkün kılan bir dizi basit örnek analiz edilecektir. Bu durumda, iki olası enerji durumuna ve bir harmonik osilatöre sahip parçacıklardan oluşan bir sisteme daha fazla dikkat edilecektir, çünkü onların örneğini kullanarak, moleküler hareket ile moleküler hareket arasındaki ilişkiyi nispeten basit ve aynı zamanda oldukça tam olarak analiz etmek mümkündür. Sistemin ısı kapasitesi. Daha karmaşık sistemler için, serbestlik dereceleri üzerinden düzgün dağılıma ilişkin klasik yasaya dayalı olarak ortalama sıcaklıklardaki ısı kapasitesini kolayca tahmin etmek genellikle mümkündür.

Kuantum mekaniğinde mikropartiküllerin hareket yasaları klasik olanlardan önemli ölçüde farklıdır. Bir yandan (örneğin çarpışmalar sırasında) bölünemez yük ve kütleye sahip parçacıklar gibi davranırlar, diğer yandan ise belirli bir frekansa (dalga boyu) sahip ve dalga fonksiyonu a13 ile karakterize edilen dalgalar gibi davranırlar - bu özellik Bkz. sayfalardan alınmıştır. Hukuk teriminin geçtiği yerde hareket harmonik Novoalekseevka'daki Noterler Novoalekseevka'daki Noterler bölümünde ücretsiz ilanlar. Henüz duyuru yok, ilk siz olun!

Modern noterlerin öncülleri eski Mısır'da bulunabilir, […] Harmonik osilatör F(klasik mekanikte) - denge konumundan çıkarıldığında geri çağırıcı bir kuvvet uygulayan bir sistem , yer değiştirmeyle orantılı X

(Hooke yasasına göre):

Nerede F = − k x (\displaystyle F=-kx) k

- sistem sağlamlık katsayısı. F Eğer Sisteme etki eden tek kuvvet olduğuna göre sisteme denir. basit veya muhafazakar harmonik osilatör

. Böyle bir sistemin serbest salınımları, denge konumu etrafındaki periyodik hareketi (harmonik salınımlar) temsil eder. Frekans ve genlik sabittir ve frekans, genliğe bağlı değildir.

Harmonik bir osilatörün mekanik örnekleri, matematiksel bir sarkaç (küçük sapma açılarına sahip), bir burulma sarkacı ve akustik sistemlerdir. Harmonik bir osilatörün diğer analogları arasında, elektrik harmonik osilatörün altını çizmeye değer (bkz. LC devresi).

1 / 5

Ansiklopedik YouTube

Temel parçacıklar | kuantum alan teorisi | kroki numarası 6 | kuantum osilatörü

Doğrusal bir osilatörün zorlanmış salınımları | Genel fizik. Mekanik | Evgeniy Butikov

Temel parçacıklar | kuantum alan teorisi | kroki numarası 5 | klasik osilatör

Osilatörler: nedir ve nasıl kullanılır? I-TT.RU'dan yatırımcılara yönelik eğitim

Sytrus 01 / 16 Osilatör şekliyle çalışma

Altyazılar

Serbest titreşimler

Muhafazakar harmonik osilatör Muhafazakar harmonik osilatörün bir modeli olarak kütlesel bir yük alıyoruz M F = − k x (\displaystyle F=-kx) .

, yaya sertlikle sabitlenmiştir , yer değiştirmeyle orantılıİzin vermek

- yükün denge konumuna göre yer değiştirmesi. Daha sonra Hooke yasasına göre, bir geri çağırıcı kuvvet buna etki edecektir:

F = - k x .

(\displaystyle F=-kx.) − Bir ω 2 günah ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 Bir günah ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

Genlik azalır. Bu, herhangi bir değere sahip olabileceği anlamına gelir (sıfır dahil - bu, yükün denge konumunda hareketsiz olduğu anlamına gelir). Eşitliğin her zaman doğru olması gerektiğinden sinüs ile de azaltabilirsiniz. T. Böylece salınım frekansının koşulu aynı kalır:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).)

U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 günah 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

o zaman toplam enerjinin sabit bir değeri vardır

E = 12kA2 .(\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).) Basit harmonik hareket- bu basit bir harekettir , yer değiştirmeyle orantılı harmonik osilatör

, ne zorlanan ne de sönümlenen periyodik hareket. Basit harmonik hareket yapan bir cisim, büyüklükteki yer değiştirmeyle doğru orantılı olan tek bir değişken kuvvete maruz kalır. , yer değiştirmeyle orantılı denge konumundan ters yönde yönlendirilir.

Bu hareket periyodiktir: vücut sinüzoidal bir yasaya göre denge konumu etrafında salınır. Sonraki her salınım bir öncekiyle aynıdır ve salınımların periyodu, frekansı ve genliği sabit kalır. Denge konumunun koordinatı sıfıra eşit olan bir noktada olduğunu varsayarsak yer değiştirme

Nerede Vücudun herhangi bir zamanda denge konumundan çıkışı aşağıdaki formülle verilir: x (t) = Bir çünkü ⁡ (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),) A- salınımların genliği,

- frekans, φ - başlangıç aşaması.

Basit harmonik hareket, daha karmaşık hareket türlerini analiz etmenin bazı yollarının temelini oluşturur. Bu yöntemlerden biri, özü daha karmaşık bir hareket türünün bir dizi basit harmonik harekete ayrıştırılmasına dayanan Fourier dönüşümüne dayanan bir yöntemdir.

Basit harmonik hareketin meydana geldiği bir sistemin tipik bir örneği, bir kütlenin bir yaya bağlandığı idealleştirilmiş bir kütle-yay sistemidir. Yay sıkıştırılmaz veya gerilmezse, yüke değişken kuvvetler etki etmez ve yük mekanik denge durumunda olur. Bununla birlikte, yük denge konumundan çıkarılırsa yay deforme olacak ve yüke kendi tarafından bir kuvvet etki edecek ve bu da yükü denge konumuna döndürme eğiliminde olacaktır. Yük-yay sistemi durumunda böyle bir kuvvet, Hooke kanununa uyan yayın elastik kuvvetidir:

F = − k x , (\displaystyle F=-kx,) F- geri yükleme kuvveti, , yer değiştirmeyle orantılı- yükün hareketi (yay deformasyonu), F = − k x (\displaystyle F=-kx)- yay sertliği katsayısı.

Basit harmonik hareketin meydana geldiği herhangi bir sistemin iki temel özelliği vardır:

Bir sistem dengeden çıktığında, sistemi tekrar dengeye getirecek bir geri çağırıcı kuvvetin bulunması gerekir.
Geri getirme kuvveti yer değiştirmeyle tam olarak veya yaklaşık olarak orantılı olmalıdır.

Yük yayı sistemi bu koşulların her ikisini de karşılar.

Yük, bir kez yer değiştirdiğinde onu hızlandıran ve başlangıç noktasına, yani denge konumuna döndürme eğiliminde olan bir geri getirme kuvvetine maruz kalır. Yük denge konumuna yaklaştıkça geri çağırıcı kuvvet azalır ve sıfıra yaklaşır. Ancak durumda , yer değiştirmeyle orantılı = 0 yük, geri getirme kuvvetinin etkisi nedeniyle elde edilen belirli bir miktarda harekete (impulse) sahiptir. Bu nedenle yük denge konumunu aşar ve yayı tekrar deforme etmeye başlar (ancak ters yönde). Geri çağırıcı kuvvet, hız sıfır olana kadar onu yavaşlatma eğiliminde olacaktır; ve kuvvet yine yükü denge konumuna döndürmeye çalışacaktır.

Sistemde enerji kaybı olmadığı sürece yük yukarıda anlatıldığı gibi salınım yapacaktır; böyle bir harekete periyodik denir.

Daha ileri analizler, yük-yay sistemi durumunda hareketin basit harmonik olduğunu gösterecektir.

Basit harmonik hareketin dinamiği

Tek boyutlu uzaydaki titreşimler için Newton'un İkinci Yasasını dikkate alarak ( f= Muhafazakar harmonik osilatörün bir modeli olarak kütlesel bir yük alıyoruz d² , yer değiştirmeyle orantılı/D T² ) ve Hooke yasası ( F = −kx yukarıda açıklandığı gibi), ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemimiz var:

m d 2 x d t 2 = - k x , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) Muhafazakar harmonik osilatörün bir modeli olarak kütlesel bir yük alıyoruz- vücut ağırlığı, , yer değiştirmeyle orantılı- denge konumuna göre hareketi, F = − k x (\displaystyle F=-kx)- sabit (yay sertliği katsayısı).

Bu diferansiyel denklemin çözümü sinüzoidaldir; bir çözüm şudur:

x (t) = Bir çünkü ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)

Nerede Vücudun herhangi bir zamanda denge konumundan çıkışı aşağıdaki formülle verilir:, ω ve φ sabit büyüklüklerdir ve denge konumu başlangıç konumu olarak alınır. Bu sabitlerin her biri hareketin önemli bir fiziksel özelliğini temsil eder: Vücudun herhangi bir zamanda denge konumundan çıkışı aşağıdaki formülle verilir: genlik, ω = 2π A- dairesel frekans ve φ - başlangıç aşaması.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 çünkü 2 ⁡ (ω t + φ) .

(\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi))

Evrensel dairesel hareket

Basit harmonik hareket bazı durumlarda evrensel dairesel hareketin tek boyutlu izdüşümü olarak düşünülebilir. Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa R merkezi düzlemin koordinatlarının orijini olan x−y Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa, o zaman koordinat eksenlerinin her biri boyunca böyle bir hareket genlikle basit harmoniktir

ve dairesel frekans ω.

Basit bir sarkaç gibi bir ağırlık ℓ Küçük açıların yaklaşımında, basit bir sarkacın hareketi basit harmoniğe yakındır. Uzunluktaki bir çubuğa bağlı böyle bir sarkacın salınım periyodu serbest düşüş ivmesi ile G

formülle verilir

T = 2 π ℓg . serbest düşüş ivmesi ile(\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

Bu, salınım periyodunun sarkacın genliğine ve kütlesine bağlı olmadığını, yerçekiminin ivmesine bağlı olduğunu gösterir.

bu nedenle, sarkacın aynı uzunluğu ile Ay'da daha yavaş sallanacaktır, çünkü orada yerçekimi daha zayıftır ve yerçekiminin ivmesi daha düşüktür.

Nerede Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur:ℓ m g günah ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,) Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur: = BEN 2 .

- eylemsizlik momenti; bu durumda,

mℓ

ℓ m g θ = I α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha )

Aynı modeli temel alarak buna viskoz sürtünme kuvvetini de ekleyeceğiz. Viskoz sürtünme kuvveti, yükün ortama göre hareket hızına karşı yönlendirilir ve bu hız ile doğru orantılıdır. Daha sonra yüke etki eden toplam kuvvet şu şekilde yazılır:

F = − k x − α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)

Benzer eylemleri gerçekleştirerek sönümlü bir osilatörü tanımlayan diferansiyel denklem elde ederiz:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0)

Gösterim burada tanıtılmaktadır: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Katsayı γ (\displaystyle \gamma) sönüm sabiti denir. Bunun aynı zamanda frekans boyutu da vardır.

Çözüm üç duruma ayrılıyor.

x (t) = Bir e − γ t s ben n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

Nerede ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- serbest salınımların frekansı.

x (t) = (A + B t) e − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),

Nerede β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2) ))).

Kritik sönüm, osilatörün en hızlı şekilde denge konumuna yöneldiği yerin kritik sönümleme olması açısından dikkat çekicidir. Sürtünme kritik değerden azsa denge konumuna daha hızlı ulaşacak, ancak atalet nedeniyle dengeyi "aşacak" ve salınım yapacaktır. Sürtünme kritikten büyükse, osilatör üstel olarak denge konumuna yönelecektir, ancak ne kadar yavaş olursa sürtünme de o kadar büyük olur.

Bu nedenle, kadranlı göstergelerde (örneğin ampermetrelerde), genellikle iğnenin okumalarını okumak için mümkün olduğunca çabuk sakinleşmesi için kritik zayıflama sağlamaya çalışırlar.

Bir osilatörün sönümlenmesi sıklıkla kalite faktörü adı verilen boyutsuz bir parametreyle de karakterize edilir. Kalite faktörü genellikle harfle gösterilir Q (\displaystyle Q). Tanım gereği kalite faktörü şuna eşittir:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gama )))

Kalite faktörü ne kadar yüksek olursa, osilatör salınımlarının azalması o kadar yavaş olur.

Kritik sönümlemeli bir osilatörün kalite faktörü 0,5'tir. Buna göre kalite faktörü osilatörün davranışını gösterir. Kalite faktörü 0,5'ten büyükse osilatörün serbest hareketi salınımları temsil eder; teorik olarak zamanla denge konumunu sınırsız sayıda geçecektir. 0,5'ten küçük veya ona eşit bir kalite faktörü, osilatörün salınımsız hareketine karşılık gelir; serbest hareket halindeyken denge konumunu en fazla bir kez geçecektir.

Kalite faktörü bazen osilatör kazancı olarak da adlandırılır, çünkü bazı uyarma yöntemlerinde, uyarma frekansı rezonans salınım frekansıyla çakıştığında genlikleri yaklaşık olarak ayarlanır. Q (\displaystyle Q) düşük frekansta aynı yoğunlukta uyarıldığında olduğundan kat daha fazla.

Ayrıca kalite faktörü, salınımların genliğinin azaldığı salınım döngülerinin sayısına yaklaşık olarak eşittir. e (\displaystyle e)çarpı çarpı π (\displaystyle \pi ).

Salınımlı hareket durumunda sönümleme ayrıca şu parametrelerle de karakterize edilir:

Yaşam süresi titreşimler (diğer adıyla bozunma süresi, bu aynı dinlenme zamanı) τ - salınımların genliğinin azalacağı süre e bir kere.

τ = 1/γ.(\displaystyle \tau =1/\gamma .)

Bu süre, salınımların zayıflaması (durması) için gereken süre olarak kabul edilir (her ne kadar resmi olarak serbest salınımlar süresiz olarak devam etse de).

Zorlanmış titreşimler

Osilatör salınımlarına, kendisine bazı ek dış etkiler uygulandığında zorlanmış denir. Bu etki çeşitli yollarla ve çeşitli yasalara göre üretilebilir. Örneğin kuvvet uyarımı, belirli bir yasaya göre yalnızca zamana bağlı olan bir kuvvetin yükü üzerindeki etkisidir. Kinematik uyarım, belirli bir yasaya göre yay bağlantı noktasının hareketinin osilatör üzerindeki etkisidir. Örneğin yükün sürtünme yaşadığı ortamın belirli bir yasaya göre hareket etmesi durumunda sürtünmeden etkilenmek de mümkündür.

Kuantum alanında ve diğer alanlardaki keşifler. Aynı zamanda, çeşitli çalışmaların yapılabileceği ve mikro dünya olgularının açıklanabileceği yeni cihazlar ve cihazlar icat edilmektedir. Bu tür mekanizmalardan biri, çalışma prensibi eski uygarlıkların temsilcileri tarafından bilinen harmonik bir osilatördür.

Harmonik bir osilatör, sabit katsayılı bir diferansiyel ile tanımlanan, hareket halindeki mekanik bir sistemdir. Bu tür cihazların en basit örnekleri yay üzerindeki ağırlık, sarkaç, akustik sistemler, moleküler parçacıkların hareketi vb.'dir.

Geleneksel olarak, bu cihazın aşağıdaki türleri ayırt edilebilir:

Cihaz Uygulaması

Bu cihaz, esas olarak salınımlı sistemlerin doğasını incelemek için çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Foton elemanlarının davranışını incelemek için kuantum harmonik bir osilatör kullanılır. Deney sonuçları çeşitli alanlarda kullanılabilir. Böylece, bir Amerikan enstitüsünden fizikçiler, birbirlerinden oldukça uzak mesafelerde bulunan berilyum atomlarının kuantum düzeyinde etkileşime girebileceğini keşfettiler. Üstelik bu parçacıkların davranışı, uyumlu bir osilatöre benzer şekilde ileri-geri hareket eden makrokozmostaki cisimlere (metal toplara) benzer. Berilyum iyonları, fiziksel olarak büyük mesafelere rağmen, en küçük enerji birimlerini (kuantum) değiş tokuş ediyordu. Bu keşif, BT teknolojilerinde önemli ilerlemelere olanak tanırken, aynı zamanda bilgisayar ekipmanı ve elektronik üretiminde yeni bir çözüm sunuyor.

Harmonik osilatör müzik eserlerinin değerlendirilmesinde kullanılır. Bu yönteme spektroskopik inceleme denir. En istikrarlı sistemin dört müzisyenden oluşan bir kompozisyon (dörtlü) olduğu tespit edildi. Ve modern eserler çoğunlukla uyumsuzdur.

F(klasik mekanikte) - denge konumundan çıkarıldığında geri çağırıcı bir kuvvet uygulayan bir sistem , yer değiştirmeyle orantılı :

- sistem sağlamlık katsayısı. F Eğer Sisteme etki eden tek kuvvet olduğuna göre sisteme denir. basit veya muhafazakar harmonik osilatör

Harmonik bir osilatörün mekanik örnekleri, matematiksel bir sarkaç (küçük sapma açılarına sahip), bir yay üzerindeki bir bob, bir burulma sarkacı ve akustik sistemlerdir. Harmonik bir osilatörün mekanik olmayan analogları arasında, bir elektriksel harmonik osilatörün ayırt edilmesi mümkündür (bkz. LC devresi).

, yaya sertlikle sabitlenmiştir , yer değiştirmeyle orantılı- maddi bir noktanın denge konumuna göre yer değiştirmesi ve F- Bir noktaya etki eden herhangi bir nitelikteki kuvveti geri getiren kuvvet

Nerede F = − k x (\displaystyle F=-kx)= sabit Daha sonra Newton'un ikinci yasasını kullanarak ivmeyi şu şekilde yazabiliriz:

Genlik azalır. Bu, herhangi bir değere sahip olabileceği anlamına gelir (sıfır dahil - bu, maddi noktanın denge konumunda hareketsiz olduğu anlamına gelir). Eşitliğin her zaman doğru olması gerektiğinden sinüs ile de azaltabilirsiniz. T. Böylece salınım frekansının koşulu aynı kalır:

Basit harmonik hareketin meydana geldiği herhangi bir sistemin iki temel özelliği vardır:

Basit harmonik hareketin meydana geldiği bir sistemin tipik bir örneği, bir kütlenin bir yaya bağlandığı ve yatay bir yüzeye yerleştirildiği idealleştirilmiş bir kütle-yay sistemidir. Yay sıkıştırılmaz veya gerilmezse, yüke hiçbir değişken kuvvet etki etmez ve yük mekanik denge durumunda olur. Ancak yük denge konumundan çıkarılırsa yay deforme olacak ve yay tarafına bir kuvvet etki ederek yükü denge konumuna döndürme eğiliminde olacaktır. Yük-yay sistemi durumunda böyle bir kuvvet, Hooke kanununa uyan yayın elastik kuvvetidir:

Nerede F = − k x (\displaystyle F=-kx)çok özel bir anlamı vardır; yay sertliği katsayısıdır.

Yük bir kez yer değiştirdiğinde, onu hızlandıran ve başlangıç noktasına, yani denge konumuna geri döndürme eğiliminde olan bir geri getirme kuvvetine maruz kalır. Yük denge konumuna yaklaştıkça geri çağırıcı kuvvet azalır ve sıfıra yaklaşır. Ancak durumda , yer değiştirmeyle orantılı = 0 yük, geri getirme kuvvetinin etkisi nedeniyle elde edilen belirli bir miktarda harekete (impulse) sahiptir. Bu nedenle yük denge konumunu aşar ve yayı tekrar deforme etmeye başlar (ancak ters yönde). Geri çağırıcı kuvvet, hız sıfır olana kadar onu yavaşlatma eğiliminde olacaktır; ve kuvvet yine yükü denge konumuna döndürmeye çalışacaktır.

Enerji kaybı yoksa yük yukarıda anlatıldığı gibi salınım yapacaktır; bu hareket periyodiktir.

Gerçek uzayda ve faz uzayında aynı anda gösterilen basit harmonik hareket. Gerçek Uzay - gerçek uzay; Faz Uzayı - faz uzayı; hız - hız; konum - konum (konum).

Bir yayın üzerinde dikey olarak asılı bir yük olması durumunda elastik kuvvetle birlikte yerçekimi kuvveti de etki eder, yani toplam kuvvet

Bir yay üzerindeki ağırlığın titreşim frekansının (veya periyodunun) ölçümleri, bir vücudun kütlesini belirlemek için kullanılan cihazlarda kullanılır - kütle ölçerler olarak adlandırılan bu cihazlar, terazilerin ağırlıksızlık nedeniyle çalışamadığı durumlarda uzay istasyonlarında kullanılır.

Basit harmonik hareket bazı durumlarda evrensel dairesel hareketin tek boyutlu izdüşümü olarak düşünülebilir.

Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa merkezi düzlemin orijini olan merkezi düzlemin koordinatlarının orijini olan x−y Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa, o zaman koordinat eksenlerinin her biri boyunca böyle bir hareket genlikle basit harmoniktir

Basit bir sarkaç gibi bir ağırlık ℓ , formülle verilir

Nerede serbest düşüş ivmesi ile- serbest düşüş ivmesi. Bu, salınım periyodunun sarkacın genliğine ve kütlesine bağlı olmadığını, ancak serbest düşüş ivmesi ile bu nedenle sarkacın aynı uzunluğu ile Ay'da daha yavaş sallanacaktır çünkü orada yerçekimi daha zayıftır ve yerçekiminin ivmesi daha düşüktür.

Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur:

Nerede Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur:- eylemsizlik momenti; bu durumda Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur: = BEN 2. Titreşim genliğinin çubuğun uzunluğundan önemli ölçüde daha az olduğu durumlarda küçük açılar elde edilir.

mℓ

Sönümlü bir osilatör düşünüldüğünde, viskoz sürtünme kuvvetinin eklendiği muhafazakar bir osilatörün modeli temel alınır. Viskoz sürtünme kuvveti, yükün ortama göre hareket hızına karşı yönlendirilir ve bu hız ile doğru orantılıdır. Daha sonra yüke etki eden toplam kuvvet şu şekilde yazılır:

Newton'un ikinci yasasını kullanarak sönümlü bir osilatörü tanımlayan bir diferansiyel denklem elde ederiz:

Salınımlı hareket durumunda sönümleme ayrıca şu parametrelerle de karakterize edilir:

Bu süre, salınımların zayıflaması (durması) için gereken süre olarak kabul edilir (her ne kadar resmi olarak serbest salınımlar süresiz olarak devam etse de).

Zorlanmış titreşimler