Kesirli rasyonel denklemler nasıl çözülür? Rasyonel denklemler

Çözmeyi zaten öğrendik ikinci dereceden denklemler. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri değerlendiriyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri çakışmadığı için geçersiz değerler ikinci eşitsizliği çözerek elde edilen değişkenlerin her ikisi de çözümdür verilen denklem.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm şartları şuraya aktarın: Sol Taraf böylece sağ taraf 0 olur.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri azaltın ortak payda.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

En başta tüm terimleri şuraya taşıyalım: Sol Taraf 0 sağda kalacak şekilde şunu elde ederiz:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.

Kaynakça

  1. Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. için öğretici Eğitim Kurumları. - M.: Eğitim, 2006.
  1. Festival pedagojik fikirler "Herkese açık ders" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri değerlendiriyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri, ikinci eşitsizliği çözerken elde edilen değişkenin geçersiz değerleriyle çakışmadığı için her ikisi de bu denklemin çözümüdür.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Sağ taraf 0 olacak şekilde tüm terimleri sol tarafa taşıyın.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

Başlangıçta, 0 sağda kalacak şekilde tüm terimleri sola kaydırırız:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.

Kaynakça

  1. Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. Genel eğitim kurumları için ders kitabı. - M.: Eğitim, 2006.
  1. Pedagojik fikirler festivali "Açık Ders" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

Bu denklemi basitleştirmek için en düşük ortak payda kullanılır. Bu yöntem, belirli bir denklemi denklemin her iki tarafında bir rasyonel ifadeyle yazamadığınız (ve çapraz çarpma yöntemini kullanamadığınız) durumlarda kullanılır. Bu yöntem, size 3 veya daha fazla kesirli rasyonel bir denklem verildiğinde kullanılır (iki kesir olması durumunda çapraz çarpımı kullanmak daha iyidir).

  • Kesirlerin en küçük ortak paydasını (veya en küçük ortak katını) bulun. NOZ: en küçük sayı, her paydaya eşit olarak bölünebilir.

    • Bazen NPD bariz bir sayıdır. Örneğin x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 denklemi verilirse 3, 2 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 6 olduğu açıktır.
    • BOH açık değilse, en büyük paydanın katlarını yazın ve bunların arasından diğer paydaların katı olacak olanı bulun. Çoğu zaman NOD basitçe iki paydanın çarpılmasıyla bulunabilir. Örneğin denklem x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 olarak verilirse NOS = 8*9 = 72 olur.
    • Bir veya daha fazla payda bir değişken içeriyorsa süreç biraz daha karmaşık hale gelir (ancak imkansız değildir). Bu durumda NOC, her paydaya bölünen bir ifadedir (bir değişken içerir). Örneğin, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) denkleminde, çünkü bu ifade her paydaya bölünür: 3x(x-1)/(x) -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

  • Her kesrin payını ve paydasını, NOC'yi her kesrin karşılık gelen paydasına bölmenin sonucuna eşit bir sayı ile çarpın. Hem payı hem de paydayı aynı sayıyla çarptığınız için kesri etkili bir şekilde 1 ile çarpmış olursunuz (örneğin, 2/2 = 1 veya 3/3 = 1).

    • Örneğimizde, 2x/6 elde etmek için x/3'ü 2/2 ile çarpın ve 3/6 elde etmek için 1/2'yi 3/3 ile çarpın (3x +1/6 kesrinin çarpılmasına gerek yoktur çünkü bu kesir paydası 6'dır).
    • Değişken paydada olduğunda da benzer şekilde ilerleyin. İkinci örneğimizde, NOZ = 3x(x-1), yani 5(3x)/(3x)(x-1) elde etmek için 5/(x-1)'i (3x)/(3x) ile çarpın; 1/x 3(x-1)/3(x-1) ile çarpıldığında 3(x-1)/3x(x-1) elde edilir; 2/(3x) (x-1)/(x-1) ile çarpıldığında 2(x-1)/3x(x-1) elde edilir.

  • x'i bulun. Artık kesirleri ortak bir paydaya indirdiğinize göre paydadan kurtulabilirsiniz. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını ortak paydayla çarpın. Daha sonra ortaya çıkan denklemi çözün, yani "x" i bulun. Bunu yapmak için değişkeni denklemin bir tarafında izole edin.

    • Örneğimizde: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. 2 kesir ekleyebilirsiniz aynı payda denklemini şu şekilde yazın: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Denklemin her iki tarafını da 6 ile çarpın ve paydalardan kurtulun: 2x+3 = 3x +1. Çözün ve x = 2 elde edin.
    • İkinci örneğimizde (paydasında bir değişken varken), denklem şöyle görünür (ortak bir paydaya indirildikten sonra): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Denklemin her iki tarafını N3 ile çarparak paydadan kurtulursunuz ve şunu elde edersiniz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) veya 15x = 3x - 3 + 2x -2 veya 15x = x - 5 Çözün ve şunu elde edin: x = -5/14.

    • Konuyla ilgili sunum ve ders: "Rasyonel denklemler. Algoritma ve rasyonel denklem çözme örnekleri"

    Ek materyaller
    Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

    8. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
    Makarychev Yu.N.'nin ders kitabı için bir kılavuz. Mordkovich A.G.'nin ders kitabı kılavuzu.

    İrrasyonel Denklemlere Giriş

    Arkadaşlar ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik. Ancak matematik sadece bunlarla sınırlı değildir. Bugün rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Rasyonel denklemler kavramı birçok yönden bu kavrama benzer. rasyonel sayılar. Artık sayılara ek olarak bazı $x$ değişkenleri de eklendi. Böylece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve tamsayıya çıkarma işlemlerinin yer aldığı bir ifade elde etmiş oluyoruz.

    $r(x)$ olsun rasyonel ifade. Böyle bir ifade, $x$ değişkenindeki basit bir polinom veya polinomların oranı olabilir (rasyonel sayılarda olduğu gibi bir bölme işlemi uygulanır).
    $r(x)=0$ denklemine denir rasyonel denklem.
    $p(x)=q(x)$ formundaki herhangi bir denklem (burada $p(x)$ ve $q(x)$ rasyonel ifadelerdir) de şu şekilde olacaktır: rasyonel denklem.

    Rasyonel denklemleri çözme örneklerine bakalım.

    Örnek 1.
    Denklemi çözün: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

    Çözüm.
    Tüm ifadeleri sol tarafa taşıyalım: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
    Denklemin sol tarafı temsil edilirse normal sayılar o zaman iki kesri ortak bir paydaya getirirdik.
    Hadi şunu yapalım: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
    Denklemi elde ettik: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

    Bir kesir ancak ve ancak kesrin payının sıfır olması durumunda sıfıra eşittir sıfıra eşit ve payda sıfırdan farklıdır. Daha sonra payı ayrı ayrı sıfıra eşitleyip payın köklerini buluyoruz.
    $3(x^2+2x-3)=0$ veya $x^2+2x-3=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
    Şimdi kesrin paydasını kontrol edelim: $(x-3)*x≠0$.
    İki sayının çarpımı, bu sayılardan en az biri sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşittir. Sonra: $x≠0$ veya $x-3≠0$.
    $x≠0$ veya $x≠3$.
    Pay ve paydada elde edilen kökler çakışmıyor. Bu yüzden cevapta payın her iki kökünü de yazıyoruz.
    Cevap: $x=1$ veya $x=-3$.

    Payın köklerinden biri aniden paydanın köküyle çakışırsa, hariç tutulmalıdır. Bu tür köklere yabancı denir!

    Rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

    1. Denklemin içerdiği tüm ifadeleri eşittir işaretinin sol tarafına taşıyın.
    2. Denklemin bu kısmını şuna dönüştürün: cebirsel kesir: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
    3. Ortaya çıkan payı sıfıra eşitleyin, yani $p(x)=0$ denklemini çözün.
    4. Paydayı sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi çözün. Paydanın kökleri payın kökleriyle çakışıyorsa cevaptan çıkarılmalıdır.

    Örnek 2.
    Denklemi çözün: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

    Çözüm.
    Algoritmanın noktalarına göre çözelim.
    1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
    2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
    $\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
    3. Payı sıfıra eşitleyin: $3x^2+7x-10=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
    4. Paydayı sıfıra eşitleyin:
    $(x-1)(x+1)=0$.
    $x=1$ ve $x=-1$.
    Köklerden biri $x=1$ payın köküne denk geliyorsa bunu cevaba yazmayız.
    Cevap: $x=-1$.

    Değişkenlerin değişimi yöntemini kullanarak rasyonel denklemleri çözmek uygundur. Bunu gösterelim.

    Örnek 3.
    Denklemi çözün: $x^4+12x^2-64=0$.

    Çözüm.
    Değiştirmeyi tanıtalım: $t=x^2$.
    O zaman denklemimiz şu şekli alacaktır:
    $t^2+12t-64=0$ - sıradan ikinci dereceden denklem.
    $t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dolar.
    Ters yerine koymayı tanıtalım: $x^2=4$ veya $x^2=-16$.
    İlk denklemin kökleri bir çift sayıdır $x=±2$. İkincisi ise köklerinin olmamasıdır.
    Cevap: $x=±2$.

    Örnek 4.
    Denklemi çözün: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
    Çözüm.
    Yeni bir değişken tanıtalım: $t=x^2+x+1$.
    O zaman denklem şu şekli alacaktır: $t=\frac(15)(t+2)$.
    Daha sonra algoritmaya göre ilerleyeceğiz.
    1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
    2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
    3. $t^2+2t-15=0$.
    $t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dolar.
    4. $t≠-2$ - kökler çakışmıyor.
    Ters ikameyi tanıtalım.
    $x^2+x+1=-5$.
    $x^2+x+1=3$.
    Her denklemi ayrı ayrı çözelim:
    $x^2+x+6=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - hayır kökler.
    Ve ikinci denklem: $x^2+x-2=0$.
    Bu denklemin kökleri $x=-2$ ve $x=1$ sayıları olacaktır.
    Cevap: $x=-2$ ve $x=1$.

    Örnek 5.
    Denklemi çözün: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

    Çözüm.
    Şimdi yerine geçeni tanıtalım: $t=x+\frac(1)(x)$.
    Daha sonra:
    $t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ veya $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
    Denklemi elde ettik: $t^2-2+t=4$.
    $t^2+t-6=0$.
    Bu denklemin kökleri çifttir:
    $t=-3$ ve $t=2$.
    Ters ikameyi tanıtalım:
    $x+\frac(1)(x)=-3$.
    $x+\frac(1)(x)=2$.
    Ayrı ayrı karar vereceğiz.
    $x+\frac(1)(x)+3=0$.
    $\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
    İkinci denklemi çözelim:
    $x+\frac(1)(x)-2=0$.
    $\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
    $\frac((x-1)^2)(x)=0$.
    Bu denklemin kökü $x=1$ sayısıdır.
    Cevap: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

    Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

    Denklemleri çözün:

    1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

    2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
    3. $x^4-7x^2-18=0$.
    4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
    5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

    « Rasyonel denklemler Polinomlarla" konusu en sık karşılaşılan konulardan biridir. test görevleri Matematikte Birleşik Devlet Sınavı. Bu nedenle tekrar etmekte fayda var Özel dikkat. Pek çok öğrenci diskriminant bulma, göstergeleri sağdan sola aktarma ve denklemi ortak paydaya getirme problemi ile karşı karşıya kalmaktadır, bu yüzden benzer görevler zorluklara neden olur. Web sitemizdeki Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken rasyonel denklemleri çözmek, her türlü karmaşıklıktaki sorunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmanıza ve testi başarıyla geçmenize yardımcı olacaktır.

    Birleşik Matematik Sınavına başarıyla hazırlanmak için Shkolkovo eğitim portalını seçin!

    Bilinmeyenleri hesaplama kurallarını bilmek ve doğru sonuçları kolayca elde etmek için çevrimiçi hizmetimizi kullanın. Shkolkovo portalı, hazırlık için gerekli her şeyi içeren türünün tek örneği bir platformdur. Birleşik Devlet Sınavı materyalleri. Öğretmenlerimiz her şeyi sistematize edip anlaşılır bir biçimde sundular. matematik kuralları. Ek olarak, okul çocuklarını, temeli sürekli güncellenen ve genişletilen standart rasyonel denklemleri çözme konusunda ellerini denemeye davet ediyoruz.

    Teste daha etkili hazırlık için özel yöntemimizi izlemenizi ve kuralları ve çözümleri tekrarlayarak başlamanızı öneririz. basit görevler yavaş yavaş daha karmaşık olanlara geçiyoruz. Böylece mezun kendisi için en çok şeyi vurgulayabilecektir. zor konular ve onları incelemeye odaklanın.

    için hazırlanmaya başlayın son test bugün Shkolkovo ile ve sonuç çok uzun sürmeyecek! En çok seç kolay örnekönerilenlerden. İfadede hızlı bir şekilde ustalaştıysanız daha fazlasına geçin zor görev. Bu şekilde bilginizi matematikteki USE görevlerini uzmanlık düzeyinde çözme noktasına kadar geliştirebilirsiniz.

    Eğitim yalnızca Moskova'dan mezun olanlar için değil, diğer şehirlerden gelen okul çocukları için de geçerlidir. Örneğin, günde birkaç saatinizi portalımızda çalışarak geçirin; çok yakında her türlü karmaşıklıktaki denklemlerle başa çıkabileceksiniz!