Matematiksel beklenti ve özellikleri.

Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri.

Karakteristik fonksiyon.

Ders No.5

Bölüm 2. Rastgele değişkenler.

Konu 1. Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve sayısal özellikleri.

Dersin amacı: Rastgele değişkenleri tanımlamanın yolları hakkında bilgi vermek.

Ders soruları:

Edebiyat:

L1 - Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Olasılık teorisi. Matematiksel istatistik. - 2. baskı. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 s.

L2 - Gmurman, V. E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik: Ders Kitabı. üniversiteler için el kitabı/V. E. Gmurman. - 9. baskı, silindi. - M.: Daha yüksek. okul, 2005. - 479 s.: hasta.

L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Satırlar. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik. Metodolojik gelişmeler. – Tambov: TSTU Yayınevi, 2009.

L4 - Plotnikova S.V. Matematiksel istatistik. Metodolojik gelişmeler. – Tambov: TSTU Yayınevi, 2005. (pdf dosyası)

Birçok problemi çözerken dağıtım fonksiyonu yerine F(x) ve p.v. p(x) karakteristik fonksiyonu uygulanır. Bu özelliğin yardımıyla, örneğin kelimenin bazı sayısal özelliklerinin belirlenmesi tavsiye edilebilir. ve z.r. işlevler

Karakteristik fonksiyon sl.v. a.e'nin Fourier dönüşümü denir. p(x):

, (2.6.1)

karakteristik fonksiyonun argümanı olan parametre nerede, - m.o. sl.v. (bkz. § 2.8.).

Ters Fourier dönüşümünü uygulayarak a.e.'yi belirleyen bir formül elde ederiz. sl.v. karakteristik fonksiyonu ile

. (2.6.2)

Boyuttan beri p(x) boyutun tersi X, o zaman miktar ve dolayısıyla boyutsuzdur. Argümanın ters boyutu var X.

Gösterimin kullanılması (2.5.7) a.e. p(x) delta fonksiyonlarının toplamı biçiminde, formül (1)'i ayrık r.v'ye genişletebiliriz.

. (2.6.3)

Bazen karakteristik fonksiyon yerine logaritmasını kullanmanın daha uygun olduğu ortaya çıkar:

e. (2.6.4)

İşlev e ikinci olarak adlandırılabilir ( logaritmik)karakteristik fonksiyon sl.v. .

Karakteristik fonksiyonun en önemli özelliklerini not edelim.

1. Karakteristik fonksiyon aşağıdaki koşulları karşılar:

. (2.6.5)

2. Simetrik dağılım için p(x)= p(-x)(1)'deki sanal kısım sıfırdır ve bu nedenle karakteristik fonksiyon gerçek bir çift fonksiyondur . Aksine, yalnızca gerçek değerleri alırsa o zaman eşit olur ve karşılık gelen dağılım simetrik olur.

3. Eğer s.v. r.v'nin doğrusal bir fonksiyonudur. , o zaman karakteristik fonksiyonu şu ifadeyle belirlenir:

, (2.6.6)

Nerede A Ve B- kalıcı.

4. Toplamın karakteristik fonksiyonu bağımsız s.v. terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir, yani eğer

. (2.6.7)

Bu özellik özellikle kullanışlıdır, çünkü aksi takdirde a.e. sl.v miktarı bazen zorluklara neden olan evrişimin birden fazla tekrarıyla ilişkilidir.

Dolayısıyla, dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve karakteristik fonksiyon arasındaki kesin ilişki dikkate alındığında, karakteristik fonksiyon, r.v.'yi tanımlamak için eşit şekilde kullanılabilir.

Örnek 2.6.1.İki darbeden oluşan bir kod kombinasyonu, girişimli bir iletişim kanalı üzerinden iletilir. Bu darbeler üzerindeki parazitin bağımsız etkisi nedeniyle, bunların her biri belirli bir olasılıkla bastırılabilir. Q=0,2. Şunları belirlemek gerekir: I) c.v.'nin dağılım serisi. - girişim nedeniyle bastırılan darbelerin sayısı; 2) dağıtım işlevi; 3) olasılık yoğunluğu; 4) r.v.'nin karakteristik fonksiyonu. .

Ayrık s.v. üç değer alabilir (darbelerin hiçbiri bastırılmaz), (bir darbe bastırılır), (her iki darbe de bastırılır). Bu değerlerin olasılıkları sırasıyla eşittir:

Bu arada, az önce öğrencinin düzgün süreklilik hakkında hiçbir şey bilmemesi gerektiğini savundunuz ve şimdi ona delta fonksiyonları mı sunuyorsunuz? Neyse, hiçbir şey söylemeyeceğim.

Kişisel olarak beni ilgilendiren özellikler ne olursa olsun, sizi bu konuyu tartışma isteğiyle tekrar gördüğüme sevindim. Seninle ilgileniyorum. Öğrenci kendisine sorulabilecek her şeyi bilmelidir, ancak her şeyden önce kavramlar sistemine, bunların karakterizasyonuna ve aralarındaki ilişkilere hakim olmalı ve içinde bulunduğu disiplinin bölümünün dar çemberiyle sınırlı kalmamalıdır. şu anda çalışıyor ve aynı zamanda şu veya bu koşulu karşılamayan çok sayıda işlevi sürekli hatırlayan yürüyen bir referans kitabı olmamalıdır.
Orijinal problemde, verilen HF fonksiyonunun herhangi bir rastgele değişken olup olmadığının belirlenmesi gerekiyordu. HF kavramı tanıtıldığında öğrenci böyle bir görev alır. Ve bu tür sorunları çözmenin amacı, CP ile PR arasındaki ilişkiye dair anlayışın pekiştirilmesinin yanı sıra CP'nin özellikleri hakkındaki bilgilerin pekiştirilmesidir.
Belirli bir fonksiyonun HF olduğunu göstermenin iki yolu vardır: ya Fourier'e göre ona karşılık gelen fonksiyonu bulmalı ve normalizasyon koşulunu karşıladığını ve pozitif olduğunu kontrol etmelisiniz ya da verilenin negatif olmayan kesinliğini kanıtlamalısınız. fonksiyonu ve Bochner-Khinchin teoremine bakın. Aynı zamanda, bir SV'nin diğer Rademacher SV'lerin doğrusal kombinasyonu şeklinde temsil edilmesine ilişkin teoremlerin kullanılması, HF'nin temel özelliklerinin anlaşılmasına hiçbir şekilde katkıda bulunmaz; üstelik, yukarıda belirttiğim gibi, çözümünüz şunları içermektedir; örtülü bir Fourier serisi, yani aslında birinci yönteme karşılık geliyor.
Belirli bir fonksiyonun herhangi bir SV'nin HF'si olamayacağını göstermek gerektiğinde, HF'nin özelliklerinden birinin başarısızlığını tespit etmek yeterlidir: sıfırda birim değer, modülün bir ile sınırlı olması, doğru değerlerin elde edilmesi ​​PDF anları için tekdüze süreklilik. Belirli bir fonksiyon aracılığıyla hesaplanan moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi, bu özelliklerden herhangi birinin yerine getirilmemesinin, belirli bir fonksiyonun uygunsuzluğunun tanınması için aynı temel olarak hizmet edebilmesi anlamında, düzgün sürekliliğin matematiksel olarak eşdeğer bir kontrolüdür. Bununla birlikte, moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi resmileştirilmiştir: farklılaştırın ve kontrol edin. Genel durumda tekdüze sürekliliğin kanıtlanması gerekir; bu, bir problemi çözme başarısını öğrencinin yaratıcı potansiyeline, "tahmin etme" yeteneğine bağlı kılar.
Bir SV'nin "inşası" tartışmasının bir parçası olarak, basit bir problemi düşünmeyi öneriyorum: Haydi, HF formunu kullanarak bir SV inşa edelim: Nerede

ak	(y)=	BENİM				+∞∫ ϕ k	(X)			(x)dx;
µk(y)				∫ (ϕ (x)						f(x)dx.
Rastgele bir değişkenin karakteristik fonksiyonu
Y = e itX olsun, burada			X -	bilinen bir yasaya sahip rastgele değişken
dağılım, t – parametre, i =				− 1.
Karakteristik fonksiyon rastgele değişkenİsminde
Y = e itX fonksiyonunun matematiksel beklentisi:
					∑ e itx k p k , DSV için,
				k = 1
υ X (t )= M =
					∫ e itX f (x )dx , NSV için.
Böylece karakteristik								υ X(t)		ve dağıtım kanunu

rastgele değişkenler benzersiz bir şekilde ilişkilidir Fourier dönüşümü. Örneğin, bir X rastgele değişkeninin dağılım yoğunluğu f(x), karakteristik fonksiyonu aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir. ters Fourier dönüşümü:

	f(x)=		+∞ υ (t) e− itX dt.
		2 π−∞ ∫
Karakteristik fonksiyonun temel özellikleri:
	Z = aX + b miktarının karakteristik fonksiyonu, burada X rastgeledir
karakteristik fonksiyonun değeri υ X (t) eşittir
	υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) .
	X rastgele değişkeninin k'inci mertebesinin başlangıç ​​momenti şuna eşittir:
	α k (x )= υ X (k ) (0)i - k ,

burada υ X (k) (0), t = 0'daki karakteristik fonksiyonun k'inci türevinin değeridir.

3. Toplamın karakteristik fonksiyonu	Y = ∑ X k bağımsız
	k = 1

rastgele değişkenler terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir:

υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(T).
ben = 1
4. Normalin karakteristik fonksiyonu			rastgele değişken
m ve σ parametreleri şuna eşittir:
υ X (t) = eitm –	t 2 σ 2

DERS 8 İki boyutlu rastgele değişkenler. İki boyutlu dağıtım yasası

İki boyutlu bir rastgele değişken (X,Y), aynı deney sonucunda değerler alan iki tek boyutlu rastgele değişkenin kümesidir.

İki boyutlu rastgele değişkenler, bileşenlerinin Ω X , Ω Y değer kümeleri ve ortak (iki boyutlu) dağılım yasasıyla karakterize edilir. X,Y bileşenlerinin türüne bağlı olarak ayrık, sürekli ve karışık iki boyutlu rastgele değişkenler ayırt edilir.

İki boyutlu bir rastgele değişken (X, Y), x0y düzleminde rastgele bir nokta (X, Y) olarak veya orijinden (X, Y) noktasına yönlendirilen rastgele bir vektör olarak geometrik olarak temsil edilebilir.

İki boyutlu dağıtım fonksiyonu iki boyutlu rastgele değişken

(X ,Y ) iki olayın (X) birlikte gerçekleşme olasılığına eşittir<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Geometrik olarak iki boyutlu dağılım fonksiyonu F(x, y)

rastgele bir noktanın (X,Y) vuruşu
sonsuz		ile çeyrek daire	en üstte
(x,y) noktası solda ve onun altında yer almaktadır.
Bileşen X değerleri aldı
x gerçek sayısından daha küçük, bu
	dağıtım		FX(x) ve
Y bileşeni – gerçekte daha az
sayılar y,			dağıtım
Bilginize(y).

İki boyutlu dağılım fonksiyonunun özellikleri:

1. 0 ≤ F(x ,y )≤ 1.

olasılık

. (x,y)

Kanıt. Bu özellik, dağılım fonksiyonunun olasılık olarak tanımından kaynaklanmaktadır: olasılık, 1'i aşmayan, negatif olmayan bir sayıdır.

2. F (–∞, y) =F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), eğer x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), eğer y 2 >y 1 ise.

Kanıt. F(x ,y )'nin azalan olmayan bir fonksiyon olduğunu kanıtlayalım.

değişken x. Olasılığı göz önünde bulundurun

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

p(X)'ten beri< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Aynı şekilde y için de.

4. Tek boyutlu özelliklere geçiş:

	F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Dikdörtgen bir alana çarpma olasılığı
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ).										(β,γ)
Dağıtım işlevi - çoğu
evrensel
dağıtım
kullanılmış		nasıl olduğuna dair açıklamalar								(β,δ)
sürekli,		ve ayrık						(α,δ)
iki boyutlu rastgele değişkenler.

Dağıtım matrisi

İki boyutlu bir rastgele değişken (X,Y), Ω X ve Ω Y bileşenlerinin değer kümeleri sayılabilir kümeler ise ayrıktır. Bu tür niceliklerin olasılıksal özelliklerini tanımlamak için iki boyutlu bir dağılım fonksiyonu ve bir dağılım matrisi kullanılır.

Dağıtım matrisi X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) bileşeninin değerlerini, Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 bileşeninin değerlerini içeren dikdörtgen bir tablodur. , …,y m ) ve p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m değerlerinin tüm olası çiftlerinin olasılıkları.

xi\yj
	X ben )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Y bileşeninin olasılık dağılım serisine geçiş:
	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

ben = 1

İki boyutlu dağıtım yoğunluğu

İki boyutlu bir rastgele değişken (X ,Y ), eğer sürekli ise

F(x,y) dağılım fonksiyonu her argüman için sürekli, türevlenebilir bir fonksiyondur ve ikinci bir fonksiyonu vardır.

karışık türev ∂ 2 F(x, y).

∂ x ∂y

İki boyutlu dağılım yoğunluğu f(x, y ) koordinatları olan bir noktanın yakınındaki olasılık yoğunluğunu karakterize eder ( x, y ) ve dağılım fonksiyonunun ikinci karma türevine eşittir:

∫∫ f(x, y) dxdy.

İki boyutlu yoğunluğun özellikleri:

1.f(x ,y )≥ 0.

2. Normalleştirme koşulu:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .

Formülle sayı doğrusunun tamamında verilmiştir

X. f. Rastgele değişken X, tanımı gereği X'tir. f. olasılık dağılımı

X. f.'nin kullanımıyla ilgili yöntem ilk olarak A. M. Lyapunov tarafından kullanıldı ve daha sonra ana analitik yöntemlerden biri haline geldi. Olasılık teorisi yöntemleri. Örneğin olasılık teorisinde limit teoremlerinin kanıtlanmasında özellikle etkili bir şekilde kullanılır. 2 momentli bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler için merkezi limit teoremi, temel ilişkiye indirgenir

X'in temel özellikleri. f. 1) ve pozitif tanımlı, yani.

Herhangi bir sonlu karmaşık sayı ve argüman koleksiyonu için

2) tüm eksen boyunca eşit şekilde sürekli

4)özellikle, yalnızca karşılık gelen olasılık simetrikse, yani gerçek değerleri alır (ve eşit bir fonksiyondur).

5) X. f. ölçüyü açıkça tanımlar; bir itiraz var:

Uçları sıfır m ölçüsüne sahip olan herhangi bir aralık (a, 6) için. Eğer integrallenebilirse (kesinlikle Riemann anlamında anlaşılırsa), o zaman karşılık gelen dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

6) X.f. iki olasılık ölçüsünün evrişimi (iki bağımsız rastgele değişkenin toplamı) onların X'idir. f.

Aşağıdaki üç özellik, bir rastgele değişkenin momentlerinin varlığı ile X. fonksiyonunun düzgünlük derecesi arasındaki bağlantıyı ifade eder.

7) Eğer biraz doğal P, o zaman tüm doğallar için X'ten r mertebesinde türevler vardır. f. rastgele değişken X ve eşitlik geçerlidir

8) Varsa o zaman

9) Herkes için ise

o zaman herkes için geçerli

X.f yöntemini kullanma temel olarak X. fonksiyonlarının yukarıdaki özelliklerine ve ayrıca aşağıdaki iki teoreme dayanmaktadır.
Bochner teoremi (X. fonksiyonlarının sınıfının açıklaması). F fonksiyonu verilsin ve f(0)=1 olsun. F'nin X olabilmesi için. f. Belirli bir olasılık ölçüsünün sürekli ve pozitif tanımlı olması gerekli ve yeterlidir.
Levy teoremi (yazışma). Olasılık ölçülerinin bir dizisi olsun ve bunların X.f dizisi olsun. Daha sonra belirli bir olasılık ölçüsüne zayıf bir şekilde yakınsar (yani, keyfi bir sürekli sınırlı fonksiyon için, ancak ve ancak her noktada belirli bir sürekli f fonksiyonuna yakınsarsa; yakınsama durumunda, fonksiyon şu şekildedir: göreceli (anlamında) Bir olasılık ölçümleri ailesinin zayıf yakınsaması), karşılık gelen X fonksiyonları ailesinin sıfırındaki eşsürekliliğe eşdeğerdir.
Bochner teoremi, Fourier-Stieltjes dönüşümüne, Lévy's'deki olasılık ölçümlerinin bir yarı grubu (evrişim işlemine göre) ile sıfırda bire eşit pozitif belirli sürekli fonksiyonların bir yarı grubu (noktasal çarpmaya göre) arasında bakmamızı sağlar. teorem bunun cebirsel olduğunu belirtir. izomorfizm aynı zamanda topolojiktir. homeomorfizm, eğer olasılık ölçümlerinin yarı grubunda zayıf yakınsaklığın topolojisini ve pozitif tanımlı fonksiyonların yarı grubunda - sınırlı kümeler üzerinde düzgün yakınsaklığın topolojisini kastediyorsak.
X. f.'nin ifadeleri bilinmektedir. temel olasılıksal hastalıklar (bkz.), örneğin, X. f. Ortalama varyanslı Gauss ölçüsü
Negatif olmayan tam sayı rastgele değişkenler için X, X.f. ile birlikte analogu kullanılır -

X. f ile ilişkili. oran
X. f. sonlu boyutlu bir uzaydaki olasılık ölçümleri benzer şekilde tanımlanır:

Nerede x> araç . Yukarıda formüle edilen gerçekler X için de geçerlidir. f. olasılık ölçümleri

Yaktı.: Lukach E., Karakteristik fonksiyonlar, çev. İngilizce'den, M., 1979; Feller V., Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları, cilt 2. çev. İngilizce'den, M., 1967; Prokhorov Yu.V., Rozanov Yu., Olasılık Teorisi. Temel kavramlar. Sınır teoremleri. Rastgele süreçler, 2. baskı, M., 1973; 3olotarev V. M., Tek boyutlu kararlı dağılımlar, Moskova, 1983.
NH. Vakhania.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Diğer sözlüklerde "KARAKTERİSTİK FONKSİYON" un ne olduğuna bakın: Karakteristik fonksiyon: Termodinamikteki karakteristik fonksiyon, bir sistemin termodinamik özelliklerinin belirlendiği bir fonksiyondur. Bir kümenin karakteristik işlevi, bir kümedeki bir öğenin üyeliğini belirleyen bir işlevdir;

Termodinamikte, termodinamiğin durumunu belirleyen bağımsız parametrelerin durumunun bir fonksiyonu. sistemler. X.f.'ye. termodinamik ve entropi potansiyellerini içerir. X aracılığıyla... Fiziksel ansiklopedi karakteristik fonksiyon

- İlgili bağımsız termodinamik parametrelerden oluşan bir termodinamik sistemin durumunun bir fonksiyonu olup, özelliği, bu fonksiyon ve bu parametrelere göre türevleri aracılığıyla tüm termodinamik ... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu Karakteristik fonksiyon

Termodinamikte, termodinamiğin durumunu belirleyen bağımsız parametrelerin durumunun bir fonksiyonu. sistemler. X.f.'ye. termodinamik ve entropi potansiyellerini içerir. X aracılığıyla...- işbirlikçi oyunlar teorisinde, oyundaki herhangi bir koalisyonun minimum kazanç miktarını belirleyen bir oran. İki koalisyon birleştiğinde H.f. birleşmemiş fonksiyonlar için bu tür fonksiyonların toplamından daha az olmayacaktır... ... Ekonomik ve matematiksel sözlük

Termodinamikte, termodinamiğin durumunu belirleyen bağımsız parametrelerin durumunun bir fonksiyonu. sistemler. X.f.'ye. termodinamik ve entropi potansiyellerini içerir. X aracılığıyla...- Temel işlevlerle ilgili durumların belirlenmesi Bu işlevler, farklı işlevlere sahip farklı sistemler ve termodinamin sistemlerini koruma altına alır. atitikmenys: ingilizce. karakteristik fonksiyon rus. karakteristik fonksiyon... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas - būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. karakteristik fonksiyon vok. Charakteristische Funktion, f rus. karakteristik fonksiyon, f pranc. Fonksiyon özelliği, f…