Gaz moleküllerinin hareketi istatistiksel fizik yasalarına uyar. Ortalama olarak tüm moleküllerin hızları ve enerjileri aynıdır. Bununla birlikte, herhangi bir zamanda, bireysel moleküllerin enerjisi ve hızı, ortalama değerden önemli ölçüde farklı olabilir.
Kullanarak olasılık teorisi Maxwell, belirli bir sıcaklıkta bir gazda belirli bir değer aralığında hızlara sahip moleküllerin meydana geldiği bağıl frekans için bir formül türetmeyi başardı.
Maxwell'in dağıtım yasası moleküllerin bağıl sayısını belirler dN/N, hızları aralıkta yer alan ( sen, sen + du).
Şuna benziyor:
Nerede N- toplam gaz molekülü sayısı; - hızları belirli bir aralıkta olan moleküllerin sayısı; u hız aralığının alt sınırıdır; D u hız aralığının değeridir; T- gaz sıcaklığı; e= 2,718… - doğal logaritmanın tabanı;
k= 1,38×10 -23 J/K - Boltzmann sabiti; M 0 molekülün kütlesidir.
Bu formülü elde ederken Maxwell aşağıdaki varsayımlara dayanıyordu:
1. Gaz çok sayıda maddeden oluşur Nözdeş moleküller.
2. Gaz sıcaklığı sabittir.
3. Gaz molekülleri termal kaotik harekete maruz kalır.
4. Gaz kuvvet alanlarından etkilenmez.
Not formül (8.29)'daki üstel işaretin altında molekülün kinetik enerjisinin miktara oranı vardır. kT bu enerjinin ortalama (moleküller üzerinde) değerini karakterize eder.
Maxwell dağılımı, belirli bir gazın toplam molekül sayısının dN/N oranının u ila u + du aralığında bir hıza sahip olduğunu gösterir.
Dağıtım fonksiyonlarının grafiği (Şekil 8.5) asimetrik. Maksimum konum, en sık meydana gelen hızı karakterize eder. en olası hız u m. Hızları aşan sen ben, düşük hızlardan daha yaygındır. Artan sıcaklıkla birlikte maksimum dağılım daha yüksek hızlara doğru kayar.
Aynı zamanda eğri daha düz hale gelir (molekül sayısı çok fazla olduğundan eğrinin altındaki alan değişemez) N sabit kalır).
Pirinç. 8.5
En olası hızı belirlemek için Maxwell dağılım fonksiyonunu maksimuma kadar incelemeniz gerekir (birinci türevi sıfıra eşitleyin ve u'yu çözün). Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Size bağlı olmayan faktörleri göz ardı ettik. Farklılaşmayı gerçekleştirdikten sonra denkleme ulaşırız:
.
İlk faktör (üs) u = ¥'de kaybolur ve üçüncü faktör (u) u'da kaybolur. =
0. Ancak grafikten (Şekil 8.5) u değerlerinin olduğu açıktır. =
0 ve u = ¥ fonksiyonun (8.29) minimumuna karşılık gelir. Bu nedenle değer sen maksimuma karşılık gelen, ikinci parantezin sıfıra eşitliğinden elde edilir: 
. Buradan
. (8.30)
Moleküllerin hız dağılım fonksiyonu için notasyonu tanıtalım (8.29):
. (8.31)
Bazı fiziksel büyüklüklerin ortalama değerinin j( X) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Olsun N Belirli bir sıcaklıkta rastgele termal hareket halindeki özdeş moleküller. Moleküller arasındaki her çarpışmadan sonra hızları rastgele değişir. Hayal edilemeyecek kadar çok sayıda çarpışma sonucunda, belirli bir hız aralığında molekül sayısı sabit kaldığında sabit bir denge durumu oluşur.
Her çarpışma sonucunda moleküllerin hız projeksiyonları Δυ x, Δυ y, Δυ z kadar rastgele bir değişim yaşar ve her hız projeksiyonundaki değişiklikler birbirinden bağımsızdır. Kuvvet alanlarının parçacıklara etki etmediğini varsayacağız. Bu koşullar altında d parçacıklarının sayısını bulalım. N toplamdan Nυ ila υ+Δυ aralığında bir hıza sahiptir. Aynı zamanda, belirli bir υ i parçacığının hızının kesin değeri hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz, çünkü moleküllerin her birinin çarpışmaları ve hareketleri ne deneyde ne de teoride izlenemez. Bu tür ayrıntılı bilgilerin pratik değeri pek olmayacaktır.
İdeal bir gazın moleküllerinin hız dağılımı ilk kez 1860 yılında ünlü İngiliz bilim adamı J. Maxwell tarafından olasılık teorisi yöntemleri kullanılarak elde edildi.
Moleküllerin hız dağılım fonksiyonuna ilişkin formülün türetilmesi Yu.I. Tyurin ve arkadaşlarının (Bölüm 1) veya I.V. Savelyeva (cilt 1). Bu türetmenin sonuçlarını kullanacağız.
Hız vektörel bir büyüklüktür. İçin x ekseninde hız projeksiyonu (X(2.2.1)'den hızın inci bileşeni) elimizdeki
 |
Daha sonra
 |
(2.3.1) |
A 1'in şuna eşit bir sabit olduğu yer:
Fonksiyonun grafiksel gösterimi Şekil 2.2'de gösterilmektedir. Moleküllerin hıza olan oranının sıfır olmadığı görülebilir. , (bu, A1 sabitinin fiziksel anlamıdır).
Pirinç. 2.2
Yukarıdaki ifade ve grafik aşağıdakiler için geçerlidir: Gaz moleküllerinin hızın x bileşenlerine göre dağılımı.Şurası açıktır ki, ona göre sen- Ve z-hız bileşenleri de elde edilebilir:
Nerede 
, veya
 |
(2.3.2) |
Formül (2.3.2)'ye geometrik bir yorum yapılabilir: d nxyz– bu, kenarları dυ x, dυ y, dυ z olan, yani d hacmindeki paralel yüzlü moleküllerin sayısıdır V=dυ x dυ y dυ z (Şekil 2.3), hız uzayında orijinden belirli bir mesafede bulunur.
Bu değer (d nxyz) hız vektörünün yönüne bağlı olamaz. Bu nedenle moleküllerin yönlerinden bağımsız olarak hıza göre, yani hızın mutlak değerine göre dağılım fonksiyonunu elde etmek gerekir.
Hızları her yönde υ ila υ+dυ aralığında olan tüm molekülleri bir birim hacimde toplayıp serbest bırakırsanız, bir saniye içinde kendilerini dυ kalınlığında küresel bir katmanda bulacaklar ve yarıçap υ (Şekil 2.4). Bu küresel katman yukarıda bahsedilen paralelyüzlerden oluşur.
Katmandaki toplam molekül sayısı (2.3.2)'den aşağıdaki gibidir.
Küresel bir hacim katmanındaki tüm parçacıkların oranı nerede V hızları υ ila υ+dυ aralığındadır.
dυ = 1 için şunu elde ederiz: olasılık yoğunluğu , veya Moleküllerin hız dağılım fonksiyonu:
 |
(2.3.4) |
Bu fonksiyon, mutlak hızları belirli bir hızı içeren birim hız aralığında yer alan birim gaz hacmindeki moleküllerin fraksiyonunu belirtir.
Şunu belirtelim: 
o zaman (2.3.4)'ten şunu elde ederiz:
 |
(2.3.5) |
Bu fonksiyonun grafiği Şekil 2.5'te gösterilmektedir.
Pirinç. 2.5
Sonuçlar:
Parçacık hız dağılımının klasik tanımının uygulanabilirlik sınırlarını ele alalım. Bunu yapmak için Heisenberg belirsizlik ilişkisini kullanıyoruz. Bu ilişkiye göre bir parçacığın koordinatları ve momentumu aynı anda belirli bir değere sahip olamaz. Aşağıdaki koşullar yerine getirilirse klasik bir açıklama mümkündür:
Burada 
– Planck sabiti, kuantum (mikroskobik) süreçlerin ölçeğini belirleyen temel bir sabittir.
Dolayısıyla, eğer bir parçacık bir hacimde ise 
o zaman bu durumda hareketini klasik mekaniğin yasalarına göre tanımlamak mümkündür.
Gaz moleküllerinin en olası, karekök ortalaması ve aritmetik ortalama hızları
Birim parçacık konsantrasyonunda, birim hız aralığı başına parçacık sayısının hızın mutlak değeriyle nasıl değiştiğini düşünelim.
Maxwell dağılım fonksiyonu grafiği
 ,
|
Şekil 2.6'da gösterilmiştir.
Pirinç. 2.6
Grafikten “küçük” υ için, yani. ile elimizde; daha sonra maksimum A'ya ulaşır ve daha sonra üstel olarak azalır.
Maksimum bağımlılığın meydana geldiği hızın büyüklüğü, en olası hız denir.
Bu hızı türevin eşitliği koşulundan bulalım.
RMS hızı ilişkiyi kullanarak buluyoruz: Aritmetik ortalama hız:| . | . |
Hızı υ'dan υ+dυ'ya kadar olan moleküllerin sayısı nerede? Burada yerine koyarsak F(υ) ve hesapladığımızda elde ederiz.
Herhangi bir gazın molekülleri sonsuz kaotik hareket halindedir. Moleküllerin hızları çeşitli değerler alabilir. Moleküller çarpışır ve çarpışmalar sonucunda moleküllerin hızları değişir. Zamanın herhangi bir anında, her bir molekülün hızı hem büyüklük hem de yön açısından rastgeledir.
Ancak gaz kendi haline bırakılırsa, farklı termal hareket oranları, belirli bir sıcaklıkta, belirli bir gaz kütlesinin molekülleri arasında çok özel bir yasaya göre dağıtılır, yani. Moleküllerin hıza göre bir dağılımı vardır.
Moleküler hız dağılımı yasası teorik olarak Maxwell tarafından türetilmiştir. Maxwell yasası aşağıdaki formülle ifade edilir:
hızları aralıkta bulunan moleküllerin sayısı nerede; – belirli bir gaz kütlesinin toplam molekül sayısı; – doğal logaritmanın tabanı; – aralıktan belirtilen hız değeri; – Belirli bir sıcaklıkta gaz moleküllerinin en olası hızı.
Büyük olasılıkla hız Belirli bir gaz kütlesindeki en fazla sayıda molekülün sahip olduğu hıza yakın hız denir. Değer gaz sıcaklığına bağlıdır.
Formül (10.6), hızların yönüne bakılmaksızın, hızları belirli bir hız aralığında bulunan moleküllerin sayısını verir.
Daha spesifik bir soru sorarsak, yani hız bileşenleri ve , ve , ve arasında yer alan bir gazdaki molekül sayısı nedir?
veya 
, (10.8)
bir gaz molekülünün kinetik enerjisi nerede; – molekülün kütlesi; – Boltzmann sabiti; – mutlak gaz sıcaklığı. Formüller (10.7) ve (10.8) aynı zamanda Maxwell dağıtım formülleri. Dağılım yasasına (10.6) karşılık gelen moleküllerin hız dağılım eğrisi, Şekil 2'de gösterilmektedir. 10.1. Apsis ekseni, tek bir gaz molekülünün alabileceği hız değerlerini gösterir.
Eğrinin maksimumu en olası hıza karşılık gelir. Eğri göreli olarak asimetriktir, çünkü Bir gaz, çok yüksek hızlara sahip nispeten az sayıda molekül içerir.
Biraz düşünelim aralık , (Şekil 10.1). Küçükse, gölgeli şeridin alanı dikdörtgenin alanına yakındır:
onlar. gölgeli şeridin alanı, hızları aralıkta yer alan moleküllerin sayısını temsil eder. Ve tüm eğrinin altındaki alan, belirli bir gaz kütlesindeki toplam molekül sayısıyla orantılıdır.
Eğrinin hangi değerde maksimuma sahip olacağını bulalım. Maksimumu, genel matematik kurallarını kullanarak, birinci türevi sıfıra göre eşitleyerek buluyoruz:
,
.
O zamandan beri 
.
Türevini alarak şunu elde ederiz, yani. eğrinin maksimumu en olası hıza karşılık gelir.
Maxwell teorik olarak aritmetik ortalama hızı hesaplamak için kullanılabilecek formüller buldu. Gaz moleküllerinin termal hareketini karakterize edebilecek hızları listeleyelim.
1. En olası hız. (10.9)
2. Hızın ortalama karekökü:
; 
. (10.10)
3. Aritmetik ortalama hız. (10.11)
Tüm hızlar, bir mol gazın kütlesi olan ile doğru orantılı ve ters orantılıdır.
Şek. Şekil 10.1'de sıcaklık için grafik I, sıcaklık için grafik II çizilmiştir. Sıcaklık arttıkça eğrinin maksimumunun sağa doğru kaydığı görülebilir, çünkü Sıcaklık arttıkça moleküler hızlar artar. Daha hızlı moleküller vardır, eğrinin sağ kolu yükselir, daha az yavaş molekül vardır, sol dal daha dik hale gelir. Ve tüm eğri azalır çünkü eğrinin altındaki alan aynı kalmalıdır çünkü gazın toplam molekül sayısı aynı kalmıştır ve tabii ki gaz ısıtıldığında değişememektedir.
Maxwell Yasası bir İstatistik Yasasıdır yani çok sayıda molekül için geçerli olan bir yasa.
Ayrıca Maxwell yasası gaz üzerindeki dış etkiyi hesaba katmaz; gaza etki eden kuvvet alanları yoktur.
10.4. Dış alanda ideal gaz.
Barometrik formül. Boltzmann dağılımı
Dünya yüzeyinde dikey bir hava sütunu düşünün (Şekil 10.2). Kolonun yüksekliği nispeten küçükse (birkaç yüz metreyi geçmezse), gazın yoğunluğu ve birim hacim başına molekül sayısı (konsantrasyon) yaklaşık olarak aynı olacaktır. Bununla birlikte, sütunun yüksekliği yaklaşık bir kilometre veya daha fazlaysa, moleküllerin yükseklik boyunca düzgün dağılımı ihlal edilir. yer çekimi Molekülleri Dünya yüzeyine yakın yoğunlaştırma eğilimindedir. Sonuç olarak, Dünya yüzeyinden uzaklaştıkça hava yoğunluğu ve atmosferik basınç azalacaktır.
Yükseklikle basıncın değişimi yasasını belirleyelim (barometrik formülü bulacağız).
Barometrik formül atmosferik basıncın nasıl bağlı olduğunu gösterir P yükseklikten H Dünya yüzeyinin üstünde. Basıncın Dünya yüzeyine yakın bir yükseklikte olmasına izin verin. Basınç biliniyor. Yükseklikle basınçtaki değişimi bulmak gerekir.
Türetmede gaz sıcaklığının sabit kaldığını varsayıyoruz. Dünya yüzeyinin üzerinde bir kesite sahip silindirik bir gaz (hava) sütunu seçelim. Kolonun tabanından yüksekte yer alan sonsuz küçük kalınlıkta bir gaz tabakasını düşünelim.
Katmanın üst ve alt tabanına etki eden kuvvetler arasındaki fark, bu katmanda bulunan gazın ağırlığına eşittir;
Katmandaki sonsuz küçük gaz kütlesi aşağıdaki formülle hesaplanır:
,
gaz katmanının hacmi nerede.
O halde gaz yoğunluğu nerede; – yer çekiminin hızlanması.
Katmanın her iki tabanındaki basınç farkı:
.
Ayrıca bir eksi işareti de koymanız gerekiyor
çünkü eksi işaretinin fiziksel bir anlamı vardır. Yükseklik arttıkça gaz basıncının azaldığını gösterir. Yüksekliğe çıktığınızda gaz basıncı bir miktar azalacaktır.
Gaz yoğunluğunu Mendeleev-Clapeyron denkleminden buluyoruz.
(10.12)'deki ifadeyi değiştirerek, şunu elde ederiz:
Bu ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklemdir:
.
İntegral alalım:
.
Barometrik formülü alalım
Şek. 10.3, iki sıcaklık değeri için basınç-yükseklik grafiklerini gösterir T 1 ve T 2 (T 2 > T 1). Gaz sıcaklığının değişmesiyle basınç P Dünya yüzeyinde 0 değişmeden kalır, çünkü birim taban alanına ve sınırsız yüksekliğe sahip, dünya yüzeyinin üzerinde bulunan dikey bir gaz kolonunun ağırlığına eşittir. Bir gazın ağırlığı sıcaklığa bağlı değildir.
Barometrik formülden, gaz üzerindeki dış etkinin yerçekimi kuvveti olduğu durum için Boltzmann dağılımını elde etmek çok kolaydır.
Bir yükseklikteki gaz basıncı, bu yükseklikte birim hacim başına düşen molekül sayısıyla doğru orantılıdır, , o yükseklikteki moleküllerin konsantrasyonudur ve , – Yüksekte gaz moleküllerinin konsantrasyonu.
Herhangi biri 
. (10.14)
Formül (10.14) yerçekimi alanındaki moleküller için Boltzmann dağılımı olarak adlandırılır.
Şek. Şekil 10.4, iki sıcaklık değeri için moleküler konsantrasyonlara karşı yüksekliğe ilişkin grafikleri göstermektedir T 1 ve T 2 (T 2 >T 1) yerçekimi alanında. Moleküler konsantrasyon N 0 Dünya yüzeyinde sıcaklık arttıkça azalır ( N 0 (T 2) < N 0 (T 1)) gaz kolonu içindeki moleküllerin yeniden dağıtılması nedeniyle. Kinetik enerjisi daha büyük olan moleküller daha yükseğe çıkar.
Molekülün yükseklikteki potansiyel enerjisi ise, o zaman
Formül (10.15) yalnızca moleküllerin yerçekimi alanında hareket ettiği durum için geçerli değildir. Boltzmann dağılımını ifade eden bu formül, potansiyel fonksiyonu olan herhangi bir kuvvet alanı için geçerlidir:
Perrin Deneyimi (1870–1942).
Avogadro sayısının tanımı
Fransız fizikçi Perrin, Avogadro sayısını deneysel olarak belirlemek için Boltzmann dağılımını kullandı.
Mikroskop, emülsiyonun üst katmanına yönlendirildi (Şekil 10.5), mikroskopla anlık bir fotoğraf çekildi ve fotoğraftaki Brown parçacıklarının sayısı sayıldı. Daha sonra mikroskop tüpü 0,01 mm alçaltılarak tekrar fotoğraflar çekildi ve fotoğraftaki Brown parçacıklarının sayısı sayıldı. Kabın tabanında daha fazla Brown parçacıklarının olduğu, emülsiyon yüzeyinde daha az olduğu ve genel olarak Brown parçacıklarının yükseklik dağılımının Boltzmann dağılımına karşılık geldiği ortaya çıktı. Sakız topları sıvı (emülsiyon) içerisinde olduğundan Arşimet'in kaldırma kuvveti dikkate alınarak potansiyel enerjileri şu şekilde yazılabilir: 
, Nerede M 0 – topun kütlesi, M g – topun yer değiştirdiği sıvı hacminin kütlesi. Daha sonra Boltzmann dağılımı yazılabilir. 
.
Eğer N 1 ve N 2 – yüksekliklerde ölçülen parçacık konsantrasyonları H 1 ve H 2, o zaman 
; , A 
.
O zaman belirleyebiliriz 
Ve 
.
Boyut
topların ve emülsiyonun malzemesinin yoğunlukları nerede ve nerede.
Boltzmann sabitini deneysel olarak belirledikten sonra k Perrin bağımlılıktan kurtuldu 
Avogadro sayısının değeri. Tam değer:
(10.17)
Konu 11
İŞ, İÇ ENERJİ VE ISI.
TERMODİNAMİĞİN BİRİNCİ YASASI
Termodinamikçeşitli enerji türlerinin ısıya ve tersi yönde dönüşüm koşullarını ve bu durumda gözlemlenen niceliksel ilişkileri inceleyen bir bilimdir. Termodinamik, doğada ve teknolojide gözlemlenen çok çeşitli olayları kapsar. Isıtma mühendisliği için özellikle önemlidir, çünkü ısıtma ve soğutma makinelerinin geliştirilmesinin temelini oluşturur. Termodinamikte bu kelime sıklıkla kullanılır vücut. Termodinamikte bir cisme hava, su, cıva veya herhangi bir gaz denilebilir. Belirli bir hacmi kaplayan herhangi bir madde.
Bir termodinamik sistem birkaç cisim içerebilir, ancak aynı zamanda tek bir cisimden de oluşabilir; çoğu zaman bu cisim ideal bir gazdır.
Bir termodinamik sistem, birbirleriyle ve diğer cisimlerle enerji alışverişi yapabilen, söz konusu cisimlerin herhangi bir topluluğudur.Örneğin bir termodinamik sistem ideal bir gaz olabilir.
Bir termodinamik sistemin durumu termodinamik parametrelerle karakterize edilir. Termodinamik parametreler sistemin durumunu karakterize eden büyüklüklerdir. Termodinamik parametreler basınç, hacim, sıcaklık, bir maddenin yoğunluğu vb. miktarları içerir. Örneğin ideal bir gazın durumunun parametreleri basınçtır. P, hacim V, sıcaklık T. Bir termodinamik sistemin durumunun parametrelerini ilişkilendiren denklem denir. durum denklemi.Örneğin Mendeleev-Clapeyron denklemi: .
Termodinamik sistemin durumuna denir denge, eğer tüm parametreleri belirli bir değere sahipse ve sabit dış koşullar altında zamanla değişmiyorsa.
Termodinamik bir sistem dengeden çıkarılıp kendi haline bırakılırsa orijinal durumuna geri döner. Bu süreç denir gevşeme.
Termodinamikte, bir sistemin bir durumdan diğerine olası tüm geçişlerinin yasaları incelenir. Bir sistemin bir durumdan diğerine geçişi,en az bir durum parametresinde bir değişikliğin eşlik ettiği,süreç denir. Bir durumdan diğerine geçiş sırasında sistem parametrelerindeki değişimi belirleyen denkleme süreç denklemi denir.
Termodinamik, yalnızca birbirini sürekli takip eden denge durumları olarak kabul edilen cisimlerin termodinamik denge durumlarını ve yavaş süreçleri inceler. Sistemlerin termodinamik denge durumlarına geçişindeki genel kalıpları inceliyor.
Denge süreçleri– termodinamik parametrelerin değişim oranının sonsuz küçük olduğu prosesler, ör. Termodinamik parametrelerdeki değişiklikler sonsuz uzun sürelerde meydana gelir. Bu modeli, Çünkü tüm gerçek süreçler dengesizdir.
Denge süreci, bir dizi denge durumundan geçen bir süreçtir.
Dengesizlik süreci- Sonlu bir zamanda termodinamik parametrelerde sonlu bir değerde bir değişikliğin meydana geldiği bir süreç.
Dengesiz bir süreç grafiksel olarak gösterilemez.
Termodinamik, olguları incelemek için özel bir yöntem kullanır. Termodinamik yöntem. Termodinamik bir sürecin nasıl gerçekleştiğine bakar.
Termodinamik, çok büyük olgusal malzemenin genelleştirilmesi olan iki temel yasaya dayanmaktadır. Bu yasalar tüm termodinamik biliminin ortaya çıkmasına neden oldu ve bu nedenle başlangıçlar adını aldı.
11.1. İdeal bir gazın iç enerjisi.
Serbestlik derecesi sayısı
Serbestlik derecesi sayısı Cismin uzaydaki konumunu belirlemek için girilmesi gereken en küçük bağımsız koordinat sayısıdır. – serbestlik derecesi sayısı.
düşünelim tek atomlu gaz. Böyle bir gazın molekülü maddi bir nokta olarak düşünülebilir; maddi noktanın (Şekil 11.1) uzaydaki konumu üç koordinatla belirlenir.
Molekül üç yönde hareket edebilir (Şekil 11.2).
Sonuç olarak üç öteleme serbestlik derecesine sahiptir.
Bir molekül maddi bir noktadır.
Dönme hareketinin enerjisi, çünkü maddi bir noktanın, noktadan geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti sıfırdır
Tek atomlu bir gaz molekülü için serbestlik derecesi sayısıdır.
düşünelim iki atomlu gaz. İki atomlu bir molekülde her atom maddi bir nokta olarak alınır ve atomların birbirine sıkı bir şekilde bağlı olduğuna inanılır; bu, iki atomlu bir molekülün dambıl modelidir. İki atomlu sıkı bağlı molekül(deforme olmayan bir bağlantıyla birbirine bağlanan iki malzeme noktası kümesi), Şekil 1. 11.3.
Molekülün kütle merkezinin konumu üç koordinatla verilir (Şekil 11.4), bunlar üç serbestlik derecesidir, belirlerler Bir molekülün öteleme hareketi. Ancak molekül aynı zamanda eksenler etrafında dönme hareketleri de gerçekleştirebilir ve bunlar, belirleyen iki serbestlik derecesi dahadır. molekül rotasyonu. Bir molekülün bir eksen etrafında dönmesi imkansızdır çünkü Maddi noktalar bu noktalardan geçen bir eksen etrafında dönemezler.
İki atomlu bir gaz molekülü için serbestlik derecesi sayısıdır.
düşünelim triatomik gaz. Bir molekülün modeli, birbirine sıkı bir şekilde bağlı olan üç atomdan (maddi noktalar) oluşur (Şekil 11.5).
Triatomik bir molekül sıkı bağlı bir moleküldür.
Üç atomlu bir gaz molekülü için serbestlik derecesi sayısıdır.
Çarpıştıklarında gaz molekülleri hızlarını değiştirir. Moleküllerin hızı rastgele değişir. Belirli bir molekülün hangi sayısal hıza sahip olacağını önceden tahmin etmek imkansızdır: bu hız rastgeledir.
Moleküllerin hız modülleri üzerindeki dağılımı, dağıtım fonksiyonu kullanılarak tanımlanır. f(v):
burada oran, hızları şu aralıkta olan moleküllerin fraksiyonuna eşittir: v ile v+dv. dv- aralık genişliği (Şekil 2).
Pirinç. 2. Hız aralığı
Görünümü bilmek f(v), molekül sayısını bulabilirsiniz Δ NV bu moleküllerden N, Hızları hız aralığı dahilinde olan v ile v + Δv. Davranış
(14)
Bir molekülün hızının belirli bir hız aralığında bir değere sahip olma olasılığını verir dv.
İşlev f(v) normalleştirme koşulunu karşılamalıdır, yani koşul karşılanmalıdır:
(15)
(17.3) ifadesinin sol tarafı, molekülün 0 ila ∞ aralığında bir hıza sahip olma olasılığını verir. Bir molekülün hızının mutlaka bir anlamı olduğundan, belirtilen olasılık belirli bir olayın olasılığıdır ve dolayısıyla 1'e eşittir.
Dağılım fonksiyonu Maxwell tarafından teorik olarak bulunmuştur. Şuna benziyor:
(16)
Nerede t 0 - moleküler kütle.
İfade (16) denir Maxwell dağılım fonksiyonu.
(16)'dan, moleküler hız dağılımının tipinin gazın doğasına (molekül kütlesi) ve sıcaklığa bağlı olduğu sonucu çıkmaktadır. T. Basınç ve hacim moleküllerin hız dağılımını etkilemez.
Şekil 3. Maxwell dağılım fonksiyonu grafiği
Maxwell dağılım fonksiyonunun şematik bir grafiği Şekil 2'de verilmiştir. 3. Grafiği analiz edelim.
1. Sıfıra yaklaşan hızlarda (v ->0) ve sonsuza kadar (v -> ∞) dağıtım fonksiyonu da sıfıra eğilimlidir. Bu, çok büyük ve çok küçük moleküler hızların olası olmadığı anlamına gelir.
2. Hız vB, Dağıtım fonksiyonunun maksimumuna karşılık gelen değer en muhtemel olacaktır. Bu, moleküllerin çoğunun olasılığa yakın hızlara sahip olduğu anlamına gelir.
En olası hızı hesaplamak için bir formül alabilirsiniz:
(17)
nerede — Boltzmann sabiti; t 0 - moleküler kütle.
3. Normalizasyon koşuluna (15) uygun olarak eğrinin sınırladığı alan f(v) ve x ekseni bire eşittir.
4. Dağıtım eğrisi asimetriktir. Bu, hızları en muhtemel olandan daha yüksek olan moleküllerin fraksiyonunun, en muhtemel olandan daha düşük hızlara sahip olan moleküllerin fraksiyonundan daha büyük olduğu anlamına gelir.
5. Eğrinin şekli gazın sıcaklığına ve doğasına bağlıdır. Şek. Şekil 4'te aynı gazın farklı sıcaklıklardaki dağılım fonksiyonu gösterilmektedir. Isıtıldığında, "hızlı" moleküllerin oranı arttıkça ve "yavaş" moleküllerin oranı azaldıkça eğrinin maksimumu azalır ve sağa kayar. Her iki eğrinin altındaki alan sabit ve bire eşit kalır.
Maxwell tarafından ortaya konulan moleküler hız dağılımı kanunu ve bundan doğan sonuçlar yalnızca denge durumundaki bir gaz için geçerlidir. Maxwell yasası istatistikseldir ve yalnızca çok sayıda parçacığa uygulanabilir.
Pirinç. 4. Farklı sıcaklıklarda Maxwell dağılımları
Maxwell dağıtım fonksiyonunu kullanma f(v) moleküllerin durumunu karakterize eden bir dizi ortalama değer bulabilirsiniz.
Aritmetik ortalama hız - tüm moleküllerin hızlarının toplamının molekül sayısına bölümü:
. (18)
Ortalama kare hız, moleküllerin ortalama kinetik enerjisini belirleyen (bkz. formül (10)), tanım gereği şuna eşittir:
<v HF> = 
(19)
Ders 5
Gaz moleküllerinin birbirleriyle (1 saniyede ~10 9 çarpışma) ve kabın duvarlarıyla çok sayıda çarpışması sonucunda moleküllerin hıza göre belirli bir istatistiksel dağılımı oluşur. Bu durumda moleküler hız vektörlerinin tüm yönleri eşit derecede olasıdır ve hız modülleri ve bunların koordinat eksenlerine izdüşümleri belirli yasalara tabidir.
Çarpışma sırasında moleküllerin hızları rastgele değişir. Bir dizi çarpışmada moleküllerden birinin diğer moleküllerden enerji alacağı ve enerjisinin belirli bir sıcaklıktaki ortalama enerji değerinden önemli ölçüde daha yüksek olacağı ortaya çıkabilir. Böyle bir molekülün hızı yüksek olacaktır ancak yine de sınırlı bir değere sahip olacaktır, çünkü mümkün olan maksimum hız ışık hızıdır - 3·10 8 m/s. Sonuç olarak, bir molekülün hızı genellikle 0'dan bazılarına kadar değerlere sahip olabilir. υ maks. Ortalama değerlere göre çok yüksek hızların nadir olduğu gibi çok küçük hızların da nadir olduğu ileri sürülebilir.
Teori ve deneylerin gösterdiği gibi, moleküllerin hıza göre dağılımı rastgele değil, oldukça kesindir. Kaç molekülün veya moleküllerin hangi kısmının belirli bir hıza yakın belirli bir aralıkta yer alan hızlara sahip olduğunu belirleyelim.
Belirli bir gaz kütlesinin içermesine izin verin N moleküller bu arada dN Moleküller arasında değişen hızlara sahiptirler. υ ile υ +dυ. Açıkçası bu moleküllerin sayısıdır dN toplam molekül sayısıyla orantılı N ve belirtilen hız aralığının değeri dυ
Nerede A- orantılılık katsayısı.
Şu da açık ki dN hıza bağlıdır υ , çünkü aynı büyüklükteki aralıklarla, ancak farklı mutlak hız değerlerinde, molekül sayısı farklı olacaktır (örnek: 20 - 21 yaşlarında ve 99 - 100 yaşlarında yaşayan insan sayısını karşılaştırın). Bu, katsayı anlamına gelir A formül (1)'deki hız bir fonksiyonu olmalıdır.
Bunu dikkate alarak formda (1)'i yeniden yazıyoruz.
(2)
(2)'den şunu elde ederiz:
(3)
İşlev F(υ ) dağıtım fonksiyonu olarak adlandırılır. Fiziksel anlamı formül (3)'ten gelir.
eğer (4)
Buradan, F(υ ), hızları hıza yakın bir birim hız aralığında yer alan moleküllerin bağıl fraksiyonuna eşittir υ . Daha kesin olarak dağılım fonksiyonu, herhangi bir gaz molekülünün belirli bir hıza sahip olma olasılığı anlamına gelir. birim aralığı yakın hız υ . Bu yüzden onu çağırıyorlar olasılık yoğunluğu.
(2)'yi 0'dan itibaren tüm hız değerleri üzerinden integre ederek elde ederiz
(5)
(5)'ten şu sonuç çıkıyor
(6)
Denklem (6) denir normalleştirme koşulu işlevler. Bir molekülün 0'dan 0'a kadar olan hız değerlerinden birine sahip olma olasılığını belirler. Molekülün hızının bir anlamı vardır: Bu olay güvenilirdir ve olasılığı bire eşittir.
İşlev F(υ ) 1859 yılında Maxwell tarafından bulunmuştur. O seçildi Maxwell dağılımı:
(7)
Nerede A– hıza bağlı olmayan katsayı, M– moleküler kütle, T– gaz sıcaklığı. Normalizasyon koşulunu (6) kullanarak katsayıyı belirleyebiliriz A:
Bu integrali alırsak, şunu elde ederiz: A:
Katsayı dikkate alındığında A Maxwell dağılım fonksiyonu şu şekildedir:
(8)
Artırırken υ (8)'deki faktör büyüdükçe daha hızlı değişir υ 2. Dolayısıyla dağılım fonksiyonu (8) orijinden başlar, belirli bir hız değerinde maksimuma ulaşır, daha sonra azalarak asimptotik olarak sıfıra yaklaşır (Şekil 1).
Şekil 1. Moleküllerin Maxwell dağılımı
hıza göre. T 2 > T 1
Maxwell dağılım eğrisini kullanarak, hızları belirli bir hız aralığında bulunan moleküllerin bağıl sayısını grafiksel olarak bulabilirsiniz. υ ile dυ(Şekil 1, gölgeli şeridin alanı).
Açıkçası, eğrinin altındaki alanın tamamı moleküllerin toplam sayısını verir N. Denklem (2)'den (8)'i hesaba katarak, hızları şu aralıkta olan moleküllerin sayısını buluyoruz: υ ile dυ
(9)
(8)'den, dağıtım fonksiyonunun spesifik formunun gazın türüne (molekülün kütlesi) bağlı olduğu da açıktır. M) ve sıcaklığa bağlıdır ve gazın basıncına ve hacmine bağlı değildir.
Yalıtılmış bir sistem dengeden çıkarılıp kendi haline bırakılırsa, belli bir süre sonra dengeye dönecektir. Bu süreye denir dinlenme zamanı. Farklı sistemler için farklıdır. Gaz denge durumundaysa moleküllerin hıza göre dağılımı zamanla değişmez. Tek tek moleküllerin hızları sürekli değişiyor, ancak moleküllerin sayısı dN hızları şu aralıkta yer alır: υ ile dυ her zaman sabit kalır.
Moleküllerin Maxwell hız dağılımı her zaman sistem denge durumuna ulaştığında kurulur. Gaz moleküllerinin hareketi kaotiktir. Termal hareketin rastgeleliğinin tam tanımı aşağıdaki gibidir: Moleküllerin hızları Maxwell'e göre dağıtılırsa moleküllerin hareketi tamamen kaotiktir.. Buradan sıcaklığın ortalama kinetik enerji tarafından belirlendiği sonucu çıkar. yani kaotik hareketler. Kuvvetli bir rüzgarın hızı ne kadar büyük olursa olsun onu “sıcak” yapmaz. En güçlü rüzgar bile hem soğuk hem de sıcak olabilir çünkü gazın sıcaklığı rüzgarın yönsel hızına göre değil, moleküllerin kaotik hareket hızına göre belirlenir.
Dağılım fonksiyonunun grafiğinden (Şekil 1), hızları aynı d aralıklarında bulunan moleküllerin sayısının olduğu açıktır. υ , ancak farklı hızlara yakın υ , eğer hız daha fazlaysa υ fonksiyonun maksimumuna karşılık gelen hıza yaklaşır F(υ ). Bu hız υ n'ye en olası (en olası) denir.
(8)'in türevini alıp sıfıra eşitleyelim:
Çünkü 
,
o zaman son eşitlik şu durumlarda sağlanır:
(10)
Denklem (10) şu durumlarda sağlanır:
VE 
İlk iki kök, fonksiyonun minimum değerlerine karşılık gelir. Daha sonra şu durumdan dağıtım fonksiyonunun maksimumuna karşılık gelen hızı buluruz:
Son denklemden:
(11)
Nerede R– evrensel gaz sabiti, μ – molar kütle.
(8)'den (11)'i hesaba katarak dağıtım fonksiyonunun maksimum değerini elde edebiliriz.
(12)
(11) ve (12)'den şu sonuç çıkıyor: artan T veya azalırken M maksimum eğri F(υ ) sağa kayar ve küçülür, ancak eğrinin altındaki alan sabit kalır (Şekil 1).
Birçok problemi çözmek için Maxwell dağılımını indirgenmiş haliyle kullanmak uygundur. Göreceli hızı tanıtalım:
Nerede υ – verilen hız, υ n- en olası hız. Bunu dikkate alarak denklem (9) şu şekli alır:
(13)
(13) evrensel bir denklemdir. Bu formda dağıtım fonksiyonu gazın türüne veya sıcaklığa bağlı değildir.
Eğri F(υ ) asimetriktir. Grafikten (Şekil 1), moleküllerin çoğunun, hızlardan daha yüksek olduğu açıktır. υ n. Eğrinin asimetrisi, moleküllerin aritmetik ortalama hızının eşit olmadığı anlamına gelir υ n. Aritmetik ortalama hız, tüm moleküllerin hızlarının toplamının sayılarına bölünmesine eşittir:
(2)’ye göre bunu dikkate alalım.
(14)
(14) değerini yerine koymak F(υ ) (8)'den aritmetik ortalama hızı elde ederiz:
(15)
Tüm moleküllerin hızlarının karelerinin toplamının sayılarına oranını hesaplayarak moleküllerin hızının ortalama karesini elde ederiz:
Oyuncu değişikliğinden sonra F(υ ) (8)'den şunu elde ederiz:
Son ifadeden hızın ortalama karekökünü buluyoruz:
(16)
(11), (15) ve (16)'yı karşılaştırarak, ve'nin sıcaklığa eşit derecede bağlı olduğu ve yalnızca sayısal değerler açısından farklı olduğu sonucuna varabiliriz: (Şekil 2).
Şekil 2. Mutlak hız değerleri üzerinden Maxwell dağılımı
Maxwell dağılımı denge durumundaki gazlar için geçerlidir; söz konusu moleküllerin sayısı yeterince büyük olmalıdır. Az sayıda molekül için Maxwell dağılımından önemli sapmalar (dalgalanmalar) gözlemlenebilir.
Moleküler hızların ilk deneysel tespiti, kıç 1920'de. Stern'ün cihazı aynı eksene monte edilmiş farklı yarıçaplara sahip iki silindirden oluşuyordu. Silindirlerden gelen hava derin bir vakuma pompalandı. İnce bir gümüş tabakasıyla kaplanmış bir platin iplik eksen boyunca gerildi. Filamentten elektrik akımı geçtiğinde, filaman yüksek bir sıcaklığa (~1200 o C) kadar ısınıyor ve bu da gümüş atomlarının buharlaşmasına yol açıyor.
İç silindirin duvarında içinden hareketli gümüş atomlarının geçtiği dar, uzunlamasına bir yarık yapıldı. Dış silindirin iç yüzeyinde birikerek, yarığın tam karşısında açıkça görülebilen ince bir şerit oluşturdular.
Silindirler sabit bir ω açısal hızıyla dönmeye başladı. Artık yarıktan geçen atomlar artık doğrudan yarığın karşısına yerleşmedi, ancak belirli bir mesafe kadar yer değiştirdiler, çünkü uçuşları sırasında dış silindirin belirli bir açıyla dönme zamanı vardı. Silindirler sabit bir hızla döndüğünde, atomların dış silindir üzerinde oluşturduğu şeridin konumu belirli bir mesafe kadar kayıyordu. ben.
Parçacıklar tesis sabitken 1 noktasına yerleşir; kurulum döndüğünde parçacıklar 2 noktasına yerleşir.
Elde edilen hız değerleri Maxwell'in teorisini doğruladı. Ancak bu yöntem moleküllerin hız dağılımının doğası hakkında yaklaşık bilgi sağladı.
Maxwell dağılımı deneylerle daha doğru bir şekilde doğrulandı Lammert, Easterman, Eldridge ve Costa. Bu deneyler Maxwell'in teorisini oldukça doğru bir şekilde doğruladı.
Bir ışındaki cıva atomlarının hızının doğrudan ölçümleri 1929'da yapıldı. Lammert. Bu deneyin basitleştirilmiş bir diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.
Şekil 3. Lammert deneyinin şeması
1 - hızla dönen diskler, 2 - dar yarıklar, 3 - fırın, 4 - kolimatör, 5 - moleküllerin yörüngesi, 6 - dedektör
Ortak bir eksen üzerine monte edilmiş iki disk (1), birbirine göre belirli bir açıyla kaydırılmış radyal yuvalara (2) sahipti φ . Yarıkların karşısında, eriyebilir metalin yüksek sıcaklığa ısıtıldığı fırın 3 vardı. Isıtılmış metal atomları, bu durumda cıva, fırından dışarı uçtu ve kolimatör 4 kullanılarak gerekli yöne yönlendirildi. Kolimatörde iki yarık bulunması, parçacıkların diskler arasında düz bir yol (5) boyunca hareketini sağladı. Daha sonra, disklerdeki yarıklardan geçen atomlar bir dedektör (6) kullanılarak kaydedildi. Açıklanan kurulumun tamamı derin vakuma yerleştirildi. .
Diskler sabit bir ω açısal hızıyla döndüğünde, yalnızca belirli bir hıza sahip olan atomlar yarıklardan serbestçe geçebiliyordu. υ . Her iki yarıktan geçen atomlar için eşitliğin sağlanması gerekir:
nerede Δ T 1 - moleküllerin diskler arasındaki uçuş süresi, Δ T 2 - diskleri belirli bir açıyla döndürme zamanı φ . Daha sonra:
Disklerin açısal dönüş hızını değiştirerek, belirli bir hıza sahip molekülleri ışından izole etmek mümkün oldu. υ ve dedektör tarafından kaydedilen yoğunluktan, bunların ışındaki göreceli içeriğine karar verilir.
Bu şekilde Maxwell'in moleküler hız dağılımı yasasını deneysel olarak doğrulamak mümkün oldu.