Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Bu süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zenon'un açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldığını anlıyor ama kimse aldatmanın neyden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz, düşüncenin ataleti nedeniyle, karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak, “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Fakat bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaklar. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. Eğlencenin başladığı yer burasıdır.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paraların farklı miktarda kirleri var, kristal yapısı ve atomların düzeni her madeni para için benzersizdir...
Ve şimdi en ilginç sorum var: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, ayrı sayılar içeren birkaç resme kesin. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı şamanların "kesme ve dikme kurslarıdır". Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Aynı dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde edersiniz.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (tek resim) (birkaç resimden oluşan kompozisyon: eksi işareti, dört rakamı, derece işareti). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
Parantezler sayısal, değişmez ve değişken ifadelerde eylemlerin gerçekleştirilme sırasını belirtmek için kullanılır. Parantezli bir ifadeden, parantezsiz aynı derecede eşit bir ifadeye geçmek uygundur. Bu tekniğe açma parantezleri denir.
Parantezleri genişletmek, parantezlerin bir ifadeden kaldırılması anlamına gelir.
Parantezleri açarken kayıt çözümlerinin özellikleriyle ilgili bir nokta daha özel ilgiyi hak ediyor. Parantezli başlangıç ifadesini ve parantez açıldıktan sonra elde edilen sonucu eşitlik olarak yazabiliriz. Örneğin ifade yerine parantezleri genişlettikten sonra
3−(5−7) 3−5+7 ifadesini elde ederiz. Bu ifadelerin her ikisini de 3−(5−7)=3−5+7 eşitliği olarak yazabiliriz.
Ve bir önemli nokta daha. Matematikte, gösterimleri kısaltmak için, bir ifadede veya parantez içinde ilk önce artı işareti görünüyorsa, artı işaretinin yazılmaması gelenekseldir. Örneğin, yedi ve üç gibi iki pozitif sayıyı toplarsak, yedinin de pozitif bir sayı olmasına rağmen +7+3 değil, yalnızca 7+3 yazarız. Benzer şekilde, örneğin (5+x) ifadesini görürseniz - parantezden önce yazılmayan bir artı olduğunu ve beşten önce bir artı +(+5+x) olduğunu bilin.
Toplama sırasında parantez açma kuralı
Parantez açılırken parantezlerin önünde bir artı varsa bu artı parantezlerle birlikte atlanır.
Örnek. 2+(7+3) ifadesinde parantezleri açın. Parantezlerin önünde artı var yani parantez içindeki sayıların önündeki işaretleri değiştirmiyoruz.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Çıkarma işleminde parantez açma kuralı
Parantezlerden önce bir eksi varsa, bu eksi parantezlerle birlikte atlanır, ancak parantez içindeki terimler işaretlerini tersine değiştirir. Parantez içindeki ilk terimden önce işaret gelmemesi + işareti anlamına gelir.
Örnek. 2 − (7 + 3) ifadesindeki parantezleri genişletin
Parantezlerin önünde eksi var yani parantez içindeki sayıların önündeki işaretleri değiştirmeniz gerekiyor. Parantez içinde 7 rakamının önünde herhangi bir işaret bulunmaz, bu yedinin pozitif olduğu anlamına gelir, önünde + işareti olduğu kabul edilir.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Parantezleri açarken, parantezlerin önündeki eksiyi ve parantezlerin kendisini 2 - (+ 7 + 3) örnekten çıkarırız ve parantez içindeki işaretleri zıt işaretlerle değiştiririz.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Çarpma işleminde parantezlerin genişletilmesi
Parantezlerin önünde çarpma işareti varsa, parantez içindeki her sayı parantez önündeki çarpanla çarpılır. Bu durumda bir eksiyi bir eksi ile çarpmak bir artı verir ve bir eksiyi bir artı ile çarpmak, tıpkı bir artıyı bir eksi ile çarpmak gibi, bir eksi verir.
Böylece çarpımlardaki parantezler çarpma işleminin dağılma özelliğine uygun olarak genişletilir.
Örnek. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Parantez parantezle çarpılırken, birinci parantez içindeki her terim ikinci parantez içindeki her terimle çarpılır.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Aslında kuralların hepsini hatırlamaya gerek yok, sadece birini hatırlamak yeterli: c(a−b)=ca−cb. Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız (a−b)=a−b kuralını elde edersiniz. Ve eğer eksi birin yerine koyarsak, −(a−b)=−a+b kuralını elde ederiz. Peki, c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.
Bölme işleminde parantezlerin açılması
Parantezlerden sonra bölme işareti varsa, parantez içindeki her sayı, parantezden sonraki bölene bölünür ve bunun tersi de geçerlidir.
Örnek. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
İç içe parantezler nasıl genişletilir
Bir ifade iç içe geçmiş parantez içeriyorsa, bunlar dıştaki veya içteki parantezlerden başlayarak sırayla genişletilir.
Bu durumda, parantezlerden birini açarken kalan parantezlere dokunmamanız, onları olduğu gibi yeniden yazmanız önemlidir.
Örnek. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Bu derste parantez içeren bir ifadeyi parantezsiz bir ifadeye nasıl dönüştüreceğinizi öğreneceksiniz. Başında artı ve eksi işareti bulunan parantezlerin nasıl açılacağını öğreneceksiniz. Dağılım çarpma yasasını kullanarak parantezlerin nasıl açılacağını hatırlayacağız. Göz önünde bulundurulan örnekler, yeni ve önceden çalışılmış materyalleri tek bir bütün halinde birleştirmenize olanak sağlayacaktır.
Konu: Denklem çözme
Ders: Parantezleri Genişletmek
Başında “+” işareti bulunan parantezlerin nasıl genişletileceği. Birleşmeli toplama yasasını kullanma.
Bir sayıya iki sayının toplamını eklemek gerekiyorsa, bu sayıya önce ilk terimi, sonra ikinci terimi ekleyebilirsiniz.
Eşittir işaretinin solunda parantezli bir ifade, sağında ise parantezsiz bir ifade bulunur. Bu, eşitliğin sol tarafından sağa doğru hareket edildiğinde parantezlerin açılmasının meydana geldiği anlamına gelir.
Örneklere bakalım.
Örnek 1. 
Parantezleri açarak eylemlerin sırasını değiştirdik. Saymak daha kolay hale geldi.
Örnek 2. 
Örnek 3.
Her üç örnekte de sadece parantezleri kaldırdık. Bir kural formüle edelim:
Yorum.
Parantez içindeki ilk terim işaretsizse artı işaretiyle yazılmalıdır.
Örneği adım adım takip edebilirsiniz. Öncelikle 889'a 445'i ekleyin. Bu işlem zihinsel olarak yapılabilir ancak çok kolay değildir. Parantezleri açalım ve değiştirilen prosedürün hesaplamaları önemli ölçüde kolaylaştıracağını görelim.
Belirtilen prosedürü izlerseniz, önce 512'den 345'i çıkarmanız ve ardından sonuca 1345 eklemeniz gerekir. Parantezleri açarak prosedürü değiştireceğiz ve hesaplamaları önemli ölçüde basitleştireceğiz.
Örnek ve kuralın açıklanması.
Bir örneğe bakalım: . Bir ifadenin değerini, 2 ile 5'i toplayıp, elde edilen sayıyı ters işaretle alarak bulabilirsiniz. -7 alıyoruz.
Öte yandan orijinal sayıların zıt sayıları toplandığında da aynı sonuç elde edilebilir.
Bir kural formüle edelim:
Örnek 1. 
Örnek 2.
Parantez içinde iki değil üç veya daha fazla terim olması durumunda kural değişmez.
Örnek 3. 
Yorum. İşaretler yalnızca terimlerin önünde ters çevrilir.
Parantezleri açmak için bu durumda dağılma özelliğini hatırlamamız gerekiyor.
Öncelikle ilk parantezi 2 ile, ikincisini ise 3 ile çarpın.
İlk parantezden önce bir “+” işareti gelir, bu da işaretlerin değiştirilmeden bırakılması gerektiği anlamına gelir. İkinci işaretin önünde “-” işareti bulunur, bu nedenle tüm işaretlerin ters yönde değiştirilmesi gerekir
Referanslar
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor Salonu, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - Aydınlanma, 1989.
- Rurukin A.N., Çaykovski I.V. Matematik dersi 5-6. sınıflar için ödevler - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. -ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: Ortaokulun 5-6. sınıfları için ders kitabı-muhatap. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Aydınlanma, 1989.
- Matematikte çevrimiçi testler ().
- Madde 1.2'de belirtilenleri indirebilirsiniz. kitaplar().
Ev ödevi
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - Yüksek Lisans: Mnemosyne, 2012. (bağlantı bkz. 1.2)
- Ödev: Sayı 1254, Sayı 1255, Sayı 1256 (b, d)
- Diğer görevler: No. 1258(c), No. 1248
Denklemin o kısmı parantez içindeki ifadedir. Parantezleri açmak için parantezlerin önündeki işarete bakın. Artı işareti varsa, ifadedeki parantezlerin açılması hiçbir şeyi değiştirmez; yalnızca parantezleri kaldırın. Eksi işareti varsa, parantezleri açarken, başlangıçta parantez içinde olan tüm işaretleri zıt işaretlerle değiştirmeniz gerekir. Örneğin, -(2x-3)=-2x+3.
İki parantez çarpımı.
Denklem iki parantezin çarpımını içeriyorsa, parantezleri standart kurala göre genişletin. Birinci parantez içindeki her terim, ikinci parantez içindeki her terimle çarpılır. Ortaya çıkan sayılar toplanır. Bu durumda iki “artı” ya da iki “eksi”nin çarpımı terime “artı” işareti verir, faktörlerin farklı işaretlere sahip olması durumunda ise “eksi” işareti alır.
Düşünelim.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Parantezleri açarak, bazen bir ifadeyi yükselterek. Kare ve küp formüllerinin ezbere bilinmesi ve hatırlanması gerekir.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Üçten büyük ifadelerin oluşturulmasına yönelik formüller Pascal üçgeni kullanılarak yapılabilir.
Kaynaklar:
- parantez genişletme formülü
Parantez içine alınmış matematiksel işlemler, değişen karmaşıklık derecelerinde değişkenler ve ifadeler içerebilir. Bu tür ifadeleri çarpmak için genel formda bir çözüm aramanız, parantezleri açmanız ve sonucu basitleştirmeniz gerekecektir. Köşeli parantezler değişkensiz, yalnızca sayısal değerler içeren işlemler içeriyorsa, parantezleri açmanıza gerek yoktur, çünkü bir bilgisayarınız varsa kullanıcısı çok önemli bilgi işlem kaynaklarına erişebilir - bunları kullanmak, işlemi basitleştirmekten daha kolaydır. ifade.
Talimatlar
Sonucu genel biçimde elde etmek istiyorsanız, bir parantez içindeki her birini (veya eksilenleri) diğer tüm parantezlerin içeriğiyle sırayla çarpın. Örneğin orijinal ifade şu şekilde yazılsın: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). O zaman sıralı çarpma (yani parantezlerin açılması) şu sonucu verecektir: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
İfadeleri kısaltarak sonucu basitleştirin. Örneğin, önceki adımda elde edilen ifade şu şekilde basitleştirilebilir: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Bilinmeyen değişkenler olmadan yalnızca sayısal değerleri içeren çarpma işlemi yapmanız gerekiyorsa bir hesap makinesi kullanın. Dahili yazılım
Öğretim konusuyla ilgili metodolojik makaleler dizisine devam ediyorum. Bireysel çalışmanın özelliklerini dikkate almanın zamanı geldi 7.sınıf öğrencilerine matematik öğretmeni. 7.sınıf cebir dersinin en önemli konularından biri olan “parantez açma” konusunun sunum biçimleri üzerine düşüncelerimi büyük bir mutlulukla paylaşacağım. Sınırsızlığı kavramaya çalışmamak için, başlangıç aşamasında duralım ve eğitmenin bir polinomu bir polinomla çarpma konusundaki çalışma yöntemini analiz edelim. Nasıl matematik öğretmeni zor durumlarda çalışır zayıf öğrenci klasik açıklama biçimini kabul etmiyor mu? Güçlü bir yedinci sınıf öğrencisi için hangi görevler hazırlanmalıdır? Bunları ve diğer soruları ele alalım.
Görünüşe göre bunda bu kadar karmaşık olan ne? Herhangi bir mükemmel öğrenci, "Parantezler armut bombardımanı kadar kolaydır" diyecektir. “Tek terimlilerle çalışmak için bir dağıtım yasası ve kuvvetlerin özellikleri, herhangi bir sayıda terim için genel bir algoritma var. Her birini birbiriyle çarpın ve benzerlerini getirin.” Ancak geride kalanlarla çalışırken her şey o kadar basit değildir. Matematik öğretmeninin tüm çabalarına rağmen öğrenciler en basit dönüşümlerde bile her boyutta hata yapmayı başarıyorlar. Hataların doğası, çeşitliliği bakımından dikkat çekicidir: küçük harf ve işaret eksikliklerinden ciddi çıkmaz "durma hatalarına" kadar.
Bir öğrencinin dönüşümleri doğru şekilde tamamlamasını engelleyen nedir? Yanlış anlaşılma neden mümkündür?
Çok sayıda bireysel sorun var ve materyalin özümsenmesi ve pekiştirilmesinin önündeki ana engellerden biri, dikkati zamanında ve hızlı bir şekilde değiştirmenin zorluğu, büyük miktarda bilgiyi işlemenin zorluğudur. Büyük bir hacimden bahsediyor olmam bazılarına garip gelebilir ama zayıf bir 7. sınıf öğrencisi dört dönem boyunca bile yeterli hafıza ve dikkat kaynağına sahip olmayabilir. Katsayılar, değişkenler, dereceler (göstergeler) müdahale eder. Öğrenci işlemlerin sırasını karıştırır, hangi tek terimlilerin zaten çarpıldığını ve hangilerinin dokunulmadığını unutur, nasıl çarpıldığını hatırlayamaz vb.
Matematik Öğretmeni için Sayısal Yaklaşım
Elbette algoritmanın yapısının ardındaki mantığın açıklanmasıyla başlamanız gerekir. Bu nasıl yapılır? Bir sorun ortaya koymamız gerekiyor: Bir ifadedeki eylemlerin sırası nasıl değiştirilir? 
yani sonuç değişmez mi? Belirli sayıları kullanarak belirli kuralların nasıl çalıştığını açıklayan örnekleri sıklıkla veririm. Ve ancak o zaman onları harflerle değiştiriyorum. Sayısal yaklaşımı kullanma tekniği aşağıda açıklanacaktır.
Motivasyon sorunları.
Bir dersin başında, bir matematik öğretmeninin, çalışılan konunun alaka düzeyini anlamıyorsa öğrenciyi bir araya getirmesi zordur. 6-7. sınıf müfredatında polinomları çarpma kuralını kullanma örnekleri bulmak zordur. Öğrenmenin gerekliliğini vurgularım ifadelerdeki eylemlerin sırasını değiştirmeÖğrenci bunun benzer terimleri ekleme deneyiminden kaynaklanan sorunları çözmeye yardımcı olduğunu bilmelidir. Denklemleri çözerken bunları bir araya toplaması gerekiyordu. Örneğin 2x+5x+13=34'te 2x+5x=7x'i kullanıyor. Bir matematik öğretmeninin öğrencinin dikkatini buna odaklaması yeterlidir.
Matematik öğretmenleri genellikle parantez açma tekniğini şu şekilde ifade eder: "çeşme" kuralı.
Bu görüntü iyi hatırlanıyor ve kesinlikle kullanılmalıdır. Peki bu kural nasıl kanıtlanır? Açık özdeşlik dönüşümlerini kullanan klasik biçimi hatırlayalım:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Bir matematik öğretmeninin burada herhangi bir konuda yorum yapması zordur. Mektuplar kendileri adına konuşuyor. Ve güçlü bir 7. sınıf öğrencisinin ayrıntılı açıklamalara ihtiyacı yoktur. Ancak, bu "gerçek karmakarışıklığın" hiçbir içeriğini açıkça göremeyen zayıflarla ne yapmalı?
“Çeşme”nin klasik matematiksel gerekçelendirmesinin algılanmasını engelleyen temel sorun, birinci faktörün alışılmadık şekilde yazılmasıdır. Ne 5. sınıfta ne de 6. sınıfta öğrenci birinci parantezi ikinci dönemin her dönemine sürüklemek zorunda kalmadı. Çocuklar yalnızca çoğunlukla parantezlerin solunda bulunan sayılarla (katsayılarla) ilgilendiler, örneğin:
6. sınıfın sonunda öğrenci, bir nesnenin görsel bir görüntüsünü oluşturdu - parantezlerle ilişkilendirilen işaretlerin (eylemlerin) belirli bir kombinasyonu. Ve yeni bir şeye yönelik olağan görüşten herhangi bir sapma, yedinci sınıf öğrencisinin kafasını karıştırabilir. Matematik öğretmeninin açıklama yaparken kullandığı “sayı+parantez” çiftinin görsel imgesidir.
Aşağıdaki açıklama sunulabilir. Öğretmen şöyle düşünüyor: "Parantezin önünde bir sayı varsa, örneğin 5, o zaman şunu yapabiliriz: prosedürü değiştir bu ifadede? Kesinlikle. O zaman hadi yapalım 
. 5 sayısı yerine parantez içinde 2+3 toplamını girersek sonucun değişip değişmeyeceğini düşünün. Herhangi bir öğrenci öğretmene şunu söyleyecektir: "Nasıl yazdığın ne fark eder: 5 ya da 2+3." Müthiş. Bir kayıt alacaksınız. Matematik öğretmeni öğrencinin nesnenin resim-görüntüsünü görsel olarak hatırlaması için kısa bir ara verir. Daha sonra parantezlerin de sayı gibi her terime “dağıtıldığı” veya “sıçradığı” gerçeğine dikkat çekiyor. Bu ne anlama gelir? Yani bu işlem sadece rakamla değil parantezle de yapılabilir. İki çift faktörümüz var ve . Çoğu öğrenci onlarla kolayca kendi başına başa çıkabilir ve sonucu öğretmene yazar. Ortaya çıkan çiftleri 2+3 ve 6+4 parantezlerinin içerikleriyle karşılaştırmak önemlidir ve bunların nasıl açıldıkları netleşecektir.
Gerekirse sayılarla yapılan örneğin ardından matematik öğretmeni harf ispatı yapar. Önceki algoritmanın aynı kısımlarında çocuk oyuncağı olduğu ortaya çıktı.
Parantez açma becerisinin oluşturulması
Parantezleri çarpma becerisinin oluşturulması, bir matematik öğretmeninin konuyla ilgili çalışmasının en önemli aşamalarından biridir. Ve hatta “çeşme” kuralının mantığını açıklama aşamasından daha önemli. Neden? Değişikliklerin gerekçesi ertesi gün unutulacak, ancak beceri zamanla oluşturulup pekiştirilirse kalacaktır. Öğrenciler işlemi sanki çarpım tablosunu hafızadan alıyormuş gibi mekanik olarak gerçekleştirirler. Ulaşılması gereken şey budur. Neden? Eğer bir öğrenci parantezi her açtığında parantezlerin neden bu şekilde açıldığını hatırlarsa, çözdüğü problemi unutacaktır. Bu nedenle matematik öğretmeni dersin geri kalan zamanını anlayışı ezberlemeye dönüştürmeye ayırır. Bu strateji genellikle diğer konularda kullanılır.
Bir öğretmen, öğrencisinin parantez açma becerisini nasıl geliştirebilir? Bunu yapmak için 7. sınıf öğrencisinin pekiştirmek için yeterli miktarda bir dizi alıştırmayı tamamlaması gerekir. Bu başka bir sorunu gündeme getiriyor. Zayıf bir yedinci sınıf öğrencisi, artan dönüşüm sayısıyla baş edemez. Küçük olanlar bile. Ve hatalar birbiri ardına düşer. Bir matematik öğretmeni ne yapmalı? Öncelikle her terimden her terime ok çizilmesi tavsiye edilir. Bir öğrenci çok zayıfsa ve bir çalışma türünden diğerine hızlı bir şekilde geçiş yapamıyorsa veya öğretmenin basit komutlarını takip ederken konsantrasyonunu kaybediyorsa, o zaman matematik öğretmeni bu okları kendisi çizer. Ve hepsi birden değil. İlk olarak, öğretmen sol parantezdeki ilk terimi sağ parantezdeki her terimle birleştirir ve onlardan karşılık gelen çarpma işlemini yapmalarını ister. Ancak bundan sonra oklar ikinci terimden aynı sağ parantez içine yönlendirilir. Başka bir deyişle, öğretmen süreci iki aşamaya ayırır. Birinci ve ikinci işlemler arasında kısa bir duraklama (5-7 saniye) sağlamak daha iyidir.
1) Oklardan biri ifadelerin üstüne, diğeri altına çizilmelidir.
2) En azından satır aralarını atlamak önemli birkaç hücre. Aksi takdirde kayıt çok yoğun olacak ve oklar yalnızca önceki satıra tırmanmakla kalmayacak, aynı zamanda bir sonraki alıştırmadaki oklarla da karışacaktır.
3) 3'e 2 formatındaki parantezlerin çarpılması durumunda, oklar kısa parantezden uzun parantez içine doğru çizilir. Aksi takdirde bu “çeşmeler”den iki değil üç tane olacak. Oklar için boş alan olmaması nedeniyle üçüncünün uygulanması gözle görülür şekilde daha karmaşıktır.
4) oklar her zaman aynı noktaya işaret eder. Öğrencilerimden biri bunları yan yana koymaya çalıştı ve ortaya şu çıktı:
Bu düzenleme öğrencinin her aşamada çalıştığı dönemin seçilmesine ve kaydedilmesine olanak sağlamamaktadır.
Öğretmenin parmak çalışması
4) Dikkati ayrı bir çarpımlı terim çiftine odaklamak için matematik öğretmeni iki parmağını bunların üzerine koyar. Bu öğrencinin görüşünü engellemeyecek şekilde yapılmalıdır. En dikkatsiz öğrenciler için “nabız” yöntemini kullanabilirsiniz. Matematik öğretmeni, ilk parmağını okun başlangıcına (terimlerden birine) yerleştirir ve sabitler ve ikinci parmağı da ucuna (ikinci terime) "vurur". Dalgalanma, dikkatin öğrencinin çarptığı terime odaklanmasına yardımcı olur. Sağ parantezdeki ilk çarpma işlemi tamamlandıktan sonra matematik öğretmeni şöyle diyor: “Şimdi diğer terimle çalışıyoruz.” Öğretmen "sabit parmağını" ona doğru hareket ettirir ve "titreşen" parmağını diğer parantezdeki terimlerin üzerinde gezdirir. Nabız, arabadaki bir "dönüş sinyali" gibi çalışır ve dalgın bir öğrencinin dikkatini gerçekleştirdiği işleme odaklamanıza olanak tanır. Çocuk küçük yazıyorsa parmak yerine iki kalem kullanılır.
Tekrarlama optimizasyonu
Bir cebir dersinde başka herhangi bir konuyu incelerken olduğu gibi, çarpma polinomları daha önce ele alınan materyalle entegre edilebilir ve olmalıdır. Bunu yapmak için matematik öğretmeni, üzerinde çalıştığınız şeyin çeşitli matematiksel nesnelerde uygulamasını bulmanızı sağlayan özel köprü görevleri kullanır. Konuları yalnızca tek bir bütün halinde bağlamakla kalmıyor, aynı zamanda tüm matematik dersinin tekrarını da çok etkili bir şekilde organize ediyorlar. Ve öğretmen ne kadar çok köprü kurarsa o kadar iyidir.
Geleneksel olarak, 7. sınıf cebir ders kitapları, parantez açma işlemlerini doğrusal denklemlerin çözümüyle birleştirir. Sayı listesinin sonunda her zaman aşağıdaki sıradaki görevler vardır: denklemi çözün. Parantez açılırken kareler küçültülmekte ve denklem 7. sınıf araçları kullanılarak kolaylıkla çözülmektedir. Ancak bazı nedenlerden dolayı ders kitaplarının yazarları doğrusal bir fonksiyonun grafiğini oluşturmayı rahatlıkla unutuyorlar. Bu eksikliği düzeltmek için matematik öğretmenlerine örneğin doğrusal fonksiyonların analitik ifadelerinde parantez kullanmalarını tavsiye ederim. Bu tür alıştırmalarda öğrenci yalnızca aynı dönüşümleri gerçekleştirme becerilerini geliştirmekle kalmaz, aynı zamanda grafikleri tekrarlar. İki “canavarın” kesişme noktasını bulmayı, çizgilerin göreceli konumunu belirlemeyi, eksenlerle kesişme noktalarını bulmayı vb. isteyebilirsiniz.
Kolpakov A.N. Strogino'da matematik öğretmeni. Moskova