Normal bir altıgenin neye benzediğini biliyor musun?
Bu soru tesadüfen sorulmadı. Çoğu 11. sınıf öğrencisi bunun cevabını bilmiyor.
Düzgün altıgen, tüm kenarların eşit olduğu ve tüm açıların da eşit olduğu bir altıgendir..
Demir somunu. Kar tanesi. Arıların yaşadığı petek hücresi. Benzen molekülü. Bu nesnelerin ortak noktası nedir? - Hepsinin düzenli altıgen şekle sahip olması.
Pek çok okul çocuğu, düzenli altıgenle ilgili problemler gördüklerinde kafaları karışıyor ve bunları çözmek için bazı özel formüllerin gerekli olduğuna inanıyor. Öyle mi?
Düzgün altıgenin köşegenlerini çizelim. Altı tane eşkenar üçgenimiz var. 
Düzenli bir üçgenin alanının: olduğunu biliyoruz.
O zaman normal bir altıgenin alanı altı kat daha fazladır.
Düzgün altıgenin bir kenarı nerededir?
Normal bir altıgenin merkezinden herhangi bir köşeye olan mesafenin aynı olduğunu ve normal altıgenin kenarına eşit olduğunu lütfen unutmayın.
Bu, düzgün bir altıgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapının bu altıgenin kenarına eşit olduğu anlamına gelir..
Düzenli bir altıgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapını bulmak zor değildir.
Eşittir.
Artık düzenli altıgen içeren tüm KULLANIM problemlerini kolayca çözebilirsiniz.
Kenarı ile düzgün bir altıgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapını bulun.
Böyle bir dairenin yarıçapı eşittir.
Cevap: .
Yarıçapı 6 olan bir dairenin içine çizilmiş düzgün altıgenin bir kenarı nedir?
Düzgün altıgenin bir kenarının, onu çevreleyen dairenin yarıçapına eşit olduğunu biliyoruz.
Dörtten fazla köşesi olan en meşhur şekil düzgün altıgendir. Geometride sıklıkla problemlerde kullanılır. Ve hayatta, petekler kesildiğinde tam olarak böyle görünür.
Yanlış olandan ne farkı var?
Öncelikle altıgen 6 köşeli bir şekildir. İkincisi, dışbükey veya içbükey olabilir. Birincisi farklıdır, çünkü dört köşe diğer ikisinden geçen düz bir çizginin bir tarafında yer alır.
Üçüncüsü, düzenli bir altıgen, tüm kenarlarının eşit olmasıyla karakterize edilir. Üstelik şeklin her köşesi de aynı anlamı taşıyor. Tüm açılarının toplamını belirlemek için şu formülü kullanmanız gerekecektir: 180° * (n - 2). Burada n şeklin köşe sayısı yani 6'dır. Basit bir hesaplama 720° değerini verir. Yani her açı 120 dereceye eşittir.
Günlük aktivitelerde, kar tanesi ve fındıkta düzenli altıgen bulunur. Kimyacılar bunu benzen molekülünde bile görüyorlar.
Sorunları çözerken hangi özellikleri bilmeniz gerekir?
Yukarıda belirtilenlere şunu eklemek gerekir:
- merkezden çizilen şeklin köşegenleri onu eşkenar altı üçgene böler;
- düzenli bir altıgenin kenarı, etrafını çevreleyen dairenin yarıçapına denk gelen bir değere sahiptir;
- Böyle bir rakam kullanarak düzlemi doldurmak mümkündür ve aralarında boşluk ve örtüşme olmayacaktır.
Tanıtılan tanımlar
Geleneksel olarak, düzenli bir geometrik şeklin kenarı Latince "a" harfiyle gösterilir. Sorunları çözmek için alan ve çevre de gereklidir; bunlar sırasıyla S ve P'dir. Bir daire düzenli bir altıgen içine yazılabilir veya onun etrafında tanımlanabilir. Daha sonra yarıçaplarının değerleri girilir. Sırasıyla r ve R harfleriyle gösterilirler.
Bazı formüller bir iç açı, yarı çevre ve apothem (çokgenin merkezinden herhangi bir kenarın ortasına dik olan) içerir. Bunlar için kullanılan harfler şunlardır: α, р, m.
Bir figürü tanımlayan formüller
Yazılı bir dairenin yarıçapını hesaplamak için aşağıdakilere ihtiyacınız olacaktır: r = (a * √3) / 2, r = m ile. Yani aynı formül apothem için de geçerli olacaktır.
Bir altıgenin çevresi tüm kenarların toplamı olduğundan şu şekilde belirlenecektir: P = 6 * a. Kenarın yazılı dairenin yarıçapına eşit olduğu gerçeği dikkate alındığında, düzgün altıgen için çevre için aşağıdaki formül bulunur: P = 6 * R. Yazılı dairenin yarıçapı için verilen formülden, a ve r arasındaki ilişki türetilir. Daha sonra formül şu formu alır: P = 4 r * √3.
Düzgün bir altıgenin alanı için aşağıdakiler yararlı olabilir: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Görevler
1 numara. Durum. Her bir kenarı 4 cm olan düzgün bir altıgen prizma vardır ve içine hacminin bulunması gereken bir silindir yazılıdır.
Çözüm. Bir silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır. İkincisi prizmanın kenarına denk gelir. Ve düzgün bir altıgenin kenarına eşittir. Yani silindirin yüksekliği de 4 cm'dir.
Tabanının alanını bulmak için altıgen içine yazılan dairenin yarıçapını hesaplamanız gerekecektir. Bunun formülü yukarıda verilmiştir. Bu r = 2√3 (cm) anlamına gelir. Daha sonra dairenin alanı: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (cm2).
Cevap. V = 150,72 cm3.
2 numara. Durum. Düzgün bir altıgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapını hesaplayın. Kenarının √3 cm olduğu biliniyor, çevresi neye eşit olacak?
Çözüm. Bu problem aşağıdaki formüllerden ikisinin kullanılmasını gerektirir. Üstelik hiçbir değişiklik yapmadan uygulanmalı, sadece tarafın değerini yerine koyup hesaplanmalıdır.
Böylece yazılı dairenin yarıçapı 1,5 cm'ye eşit olur Çevre için şu değerin doğru olduğu ortaya çıkar: 6√3 cm.
Cevap. r = 1,5 cm, P = 6√3 cm.
3 numara. Durum.Çevreleyen dairenin yarıçapı 6 cm'dir Bu durumda düzgün altıgenin bir kenarının değeri ne olacaktır?
Çözüm. Altıgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapı formülünden, tarafı hesaplamanız gereken formül kolayca elde edilir. Yarıçapın ikiyle çarpıldığı ve üçün köküne bölündüğü açıktır. Paydadaki irrasyonellikten kurtulmak gerekir. Dolayısıyla eylemlerin sonucu şu şekli alır: (12 √3) / (√3 * √3), yani 4√3.
Cevap. a = 4√3 cm.
Bir daire içine yazılmış düzenli bir altıgen inşaatı. Bir altıgenin yapısı, kenarının çevrelenen dairenin yarıçapına eşit olması gerçeğine dayanmaktadır. Bu nedenle inşa etmek için daireyi altı eşit parçaya bölmek ve bulunan noktaları birbirine bağlamak yeterlidir (Şekil 60, a).
Düz bir kenar ve 30X60° kare kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Bu yapıyı gerçekleştirmek için, dairenin yatay çapını 1 ve 4 açılarının ortaortayı olarak alıyoruz (Şekil 60, b), 1-6, 4-3, 4-5 ve 7-2 kenarlarını oluşturuyoruz, ardından 5-6 ve 3-2 numaralı tarafları çiziyoruz.
Bir daire içine yazılan eşkenar üçgenin oluşturulması. Böyle bir üçgenin köşeleri bir pusula ve açıları 30 ve 60° olan bir kare veya yalnızca bir pusula kullanılarak oluşturulabilir.
Bir daire içine yazılmış bir eşkenar üçgen oluşturmanın iki yolunu düşünelim.
İlk yol(Şekil 61,a), 7, 2, 3 üçgeninin üç açısının da 60° içermesi ve 7 noktasından geçen dikey çizginin 1 açısının hem yüksekliği hem de açıortayı olması gerçeğine dayanmaktadır. 0-1-2 eşittir 30°, sonra kenarı buluruz
1-2, 1 noktasından ve 0-1 kenarından 30°'lik bir açı oluşturmak yeterlidir. Bunu yapmak için, çapraz çubuğu ve kareyi şekilde gösterildiği gibi takın, istenen üçgenin kenarlarından biri olacak 1-2 çizgisini çizin. 2-3. tarafı oluşturmak için çapraz çubuğu kesikli çizgilerle gösterilen konuma yerleştirin ve 2. noktadan geçen düz bir çizgi çizin; bu, üçgenin üçüncü tepe noktasını belirleyecektir.
İkinci yol Bir daire içine yerleştirilmiş düzenli bir altıgen inşa edip sonra köşelerini bir noktadan birleştirirseniz, bir eşkenar üçgen elde edeceğiniz gerçeğine dayanmaktadır.
Bir üçgen oluşturmak için (Şekil 61, b), çapın tepe noktası 1'i işaretleyin ve çapsal bir çizgi 1-4 çizin. Daha sonra yarıçapı D/2'ye eşit olan 4. noktadan başlayarak 3. ve 2. noktalarda daireyle kesişene kadar bir yay tanımlıyoruz. Ortaya çıkan noktalar istenilen üçgenin diğer iki köşesi olacaktır.
Bir daire içine yazılmış bir kare oluşturma. Bu inşaat bir kare ve pusula kullanılarak yapılabilir.
Birinci yöntem, karenin köşegenlerinin çevrelenen dairenin merkezinde kesiştiği ve eksenlerine 45° açıyla eğimli olduğu gerçeğine dayanmaktadır. Buna dayanarak, Şekil 2'de gösterildiği gibi 45° açıyla çapraz çubuğu ve kareyi yerleştiriyoruz. 62, a ve 1 ve 3 noktalarını işaretleyin. Daha sonra bu noktalardan çapraz çubuk kullanarak 4-1 ve 3-2 karesinin yatay kenarlarını çiziyoruz. Daha sonra düz bir kenar kullanarak kare 1-2 ve 4-3'ün dikey kenarlarını karenin ayağı boyunca çiziyoruz.
İkinci yöntem, karenin köşelerinin, çapın uçları arasına alınmış dairenin yaylarını ikiye böldüğü gerçeğine dayanmaktadır (Şekil 62, b). Karşılıklı olarak dik olan iki çapın uçlarında A, B ve C noktalarını işaretliyoruz ve bunlardan y yarıçapı ile yayları birbirleriyle kesişene kadar tanımlıyoruz.
Daha sonra, yayların kesişme noktalarından, şekilde düz çizgilerle işaretlenmiş yardımcı düz çizgiler çiziyoruz. Çemberle kesiştikleri noktalar 1 ve 3 numaralı köşeleri belirleyecektir; 4 ve 2. Bu şekilde elde edilen istenilen karenin köşelerini seri olarak birbirine bağlıyoruz.
Bir daire içine yazılmış düzenli bir beşgen inşaatı.
Normal bir beşgeni bir daireye sığdırmak için (Şekil 63), aşağıdaki yapıları yapıyoruz.
Çember üzerinde 1 noktasını işaretliyoruz ve onu beşgenin köşelerinden biri olarak alıyoruz. AO segmentini ikiye bölüyoruz. Bunu yapmak için A noktasından AO yarıçaplı bir yayı M ve B noktalarında daireyle kesişene kadar tanımlıyoruz. Bu noktaları düz bir çizgiyle birleştirerek K noktasını elde ediyoruz ve bunu daha sonra 1 noktasına birleştiriyoruz. A7 segmentine eşit bir yarıçap, K noktasından H noktasında AO çap çizgisiyle kesişene kadar bir yay tanımlarız. 1 noktasını H noktasına bağlayarak beşgenin kenarını elde ederiz. Daha sonra, 1. köşeden daire ile kesişme noktasına kadar bir yayı tanımlayan 1H segmentine eşit bir pusula çözümü kullanarak, 2 ve 5 numaralı köşeleri buluyoruz. Aynı pusula çözümü ile 2 ve 5 numaralı köşelerden çentikler açarak geri kalanını elde ediyoruz. köşeler 3 ve 4. Bulunan noktaları sırayla birbirine bağlarız.
Belirli bir kenar boyunca düzenli bir beşgen oluşturmak.
Belirli bir kenar boyunca düzenli bir beşgen oluşturmak için (Şekil 64), AB parçasını altı eşit parçaya böleriz. AB yarıçaplı A ve B noktalarından, kesişimi K noktasını verecek yayları tanımlarız. Bu noktadan ve AB çizgisi üzerindeki 3. bölümden dikey bir çizgi çizeriz.
Beşgenin 1-köşe noktasını elde ederiz. Daha sonra yarıçapı AB'ye eşit olan 1 noktasından, daha önce A ve B noktalarından çizilen yaylarla kesişene kadar bir yay tanımlarız. Yayların kesişme noktaları, 2 ve 5 numaralı beşgen köşelerini belirler. Bulunan köşeleri, birbirleriyle dizi.
Bir daire içine yazılmış düzenli bir yedigen inşaatı.
D çapında bir daire verilsin; içine düzenli bir yedigen yerleştirmeniz gerekir (Şek. 65). Dairenin dikey çapını yedi eşit parçaya bölün. Yarıçapı D çemberinin çapına eşit olan 7 noktasından, F noktasında yatay çapın devamı ile kesişene kadar bir yay tanımlarız. F noktasına çokgenin kutbu adını veririz. VII noktasını yedigenin köşelerinden biri olarak alarak, F kutbundan dikey çapın eşit bölümleri boyunca ışınlar çizeriz; daire ile kesişimi yedigenin VI, V ve IV köşelerini belirleyecektir. IV, V ve VI noktalarından / - // - /// köşelerini elde etmek için daireyle kesişene kadar yatay çizgiler çizin. Bulunan köşeleri sırayla birbirine bağlarız. Bir yedigen, F kutbundan gelen ışınlar çizilerek ve dikey çapın tek bölmeleri yoluyla oluşturulabilir.
Yukarıdaki yöntem herhangi bir sayıda kenarı olan düzenli çokgenler oluşturmak için uygundur.
Bir dairenin herhangi bir sayıda eşit parçaya bölünmesi de Tablodaki veriler kullanılarak yapılabilir. Düzenli yazılı çokgenlerin kenarlarının boyutlarını belirlemeyi mümkün kılan katsayılar sağlayan Şekil 2.
Düzgün altıgen Altıgen, altı köşesi olan bir çokgendir. Bu şekle sahip herhangi bir nesneye altıgen de denir. Dışbükey altıgenin iç açılarının toplamı ... Vikipedi
Satürn Altıgeni- Voyager 1 tarafından keşfedilen ve 2006'da tekrar gözlemlenen, Satürn'ün kuzey kutbunda altıgen kararlı bir atmosfer oluşumu ve ... Vikipedi
Düzenli çokgen- Düzenli yedigen Düzenli çokgen, tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir. Düzenli bir çokgenin tanımı, tanımına bağlı olabilir... Vikipedi
Düzenli yedigen- Düzgün yedigen, yedi kenarı olan düzgün bir çokgendir. İçindekiler... Vikipedi
Düzenli üçgen- Düzenli üçgen. Düzenli (veya eşkenar) bir üçgen, normal çokgenlerden ilki olan, üç tarafı olan normal bir çokgendir. Her taraf... Vikipedi
Düzenli altıgen dokuz kenarı olan düzgün bir çokgendir. Kuralların Özellikleri ... Vikipedi
Normal 17-gon- Düzenli decidagon, düzenli çokgenler grubuna ait geometrik bir şekildir. On yedi kenarı ve on yedi açısı vardır, tüm açıları ve kenarları birbirine eşittir, tüm köşeleri aynı daire üzerindedir. İçindekiler 1... ...Wikipedia
Düzenli altıgen- düzenli çokgenler grubuna ait geometrik bir şekil. On yedi kenarı ve on yedi açısı vardır, tüm açıları ve kenarları birbirine eşittir, tüm köşeleri aynı daire üzerindedir. İçindekiler... Vikipedi
Düzenli sekizgen- (sekizgen) bir grup düzenli çokgenden geometrik bir şekil. Sekiz kenarı ve sekiz açısı vardır ve tüm açılar ve kenarlar birbirine eşittir... Vikipedi
Normal 65537-gon- 65537 kare mi daire mi? Normal 65537 üçgen (altmış beş bin beş yüz otuz yedi), 65537'den oluşan bir grup normal çokgenden geometrik bir şekil ... Vikipedi
Kitabın
- "Sihirli Kenarlar" No. 25'i ayarlar. Bölümlü 3 küpün birleştirilmesi için set. Her küpün kesitin geçtiği yerlerde hareketli parçaları vardır. Bu, küpü bir bütün olarak ve kesit olarak görmenizi sağlar. Toplanan üç küp, sorunları çözmenizi sağlar...
Matematiksel özellikler
Düzenli bir altıgenin özelliği, kenarlarının eşitliği ve çevrelenen dairenin yarıçapıdır, çünkü
Bütün açılar 120°'ye eşittir.
Yazılı dairenin yarıçapı şuna eşittir:
Düzgün altıgenin çevresi:
Düzenli bir altıgenin alanı aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
Altıgenler bir düzlemi döşer, yani bir düzlemi boşluklar veya örtüşmeler olmadan doldurarak parke adı verilen bir yapı oluşturabilirler.
Altıgen parke (altıgen parke)- yan yana yerleştirilmiş eşit düzenli altıgenlere sahip bir düzlemin döşenmesi.
Altıgen parke, üçgen parkenin ikilisidir: bitişik altıgenlerin merkezlerini birleştirirseniz, çizilen bölümler üçgen parke verecektir. Altıgen parke için Schläfli sembolü (6,3)'tür; bu, parkenin her köşesinde üç altıgenin buluştuğu anlamına gelir.
Altıgen parke, bir düzlem üzerindeki dairelerin en yoğun paketlenmesidir. İki boyutlu Öklid uzayında en iyi dolgu, dairelerin merkezlerini, her dairenin diğer altı daireyle çevrelendiği, düzenli altıgenlerden oluşan bir parkenin köşelerine yerleştirmektir. Bu paketin yoğunluğu. 1940 yılında bu ambalajın en yoğun olduğu kanıtlandı.
Kenarı olan normal bir altıgen evrensel bir örtüdür, yani herhangi bir çap seti, kenarı olan normal bir altıgen (Pala'nın lemması) ile kaplanabilir.
Pergel ve cetvel kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Aşağıda Öklid'in Elementler, Kitap IV, Teorem 15'te önerdiği yapım yöntemi bulunmaktadır.
Doğada, teknolojide ve kültürde düzenli altıgen
Düzlemin düzgün altıgenlere bölünmesini gösterin. Altıgen şekil, duvarlardan diğerlerinden daha fazla tasarruf etmenizi sağlar, yani bu tür hücrelere sahip peteklerde daha az balmumu harcanır.
Bazı karmaşık kristaller ve moleküller Grafit gibi altıgen bir kristal kafese sahiptir.
Bulutlardaki mikroskobik su damlacıklarının toz parçacıklarına çekilip donması sonucu oluşur. Başlangıçta çapı 0,1 mm'yi geçmeyen görünen buz kristalleri, üzerlerindeki havadan gelen nemin yoğunlaşması sonucu aşağı düşerek büyür. Bu, altı köşeli kristal formlar üretir. Su moleküllerinin yapısından dolayı kristalin ışınları arasında yalnızca 60° ve 120°'lik açılar mümkündür. Ana su kristali düzlemde düzenli bir altıgen şeklindedir. Daha sonra böyle bir altıgenin köşelerinde yeni kristaller biriktirilir ve üzerlerinde yeni kristaller biriktirilir ve bu şekilde çeşitli kar tanesi yıldız şekilleri elde edilir.
Oxford Üniversitesi'nden bilim adamları, böyle bir altıgenin görünümünü laboratuvar koşullarında simüle etmeyi başardılar. Bu oluşumun nasıl oluştuğunu öğrenmek için araştırmacılar, 30 litrelik bir şişe suyu döner tablanın üzerine yerleştirdiler. Satürn'ün atmosferini ve normal dönüşünü simüle etti. Bilim insanları içeriye kaptan daha hızlı dönen küçük halkalar yerleştirdiler. Bu, deneycilerin yeşil boya kullanarak görselleştirdiği minyatür girdaplar ve jetler oluşturdu. Halka ne kadar hızlı döndüyse girdaplar da o kadar büyüdü ve yakındaki akışın dairesel şeklinden sapmasına neden oldu. Bu şekilde deneyin yazarları ovaller, üçgenler, kareler ve tabii ki istenen altıgen gibi çeşitli şekiller elde etmeyi başardılar.
Eski bir volkanik patlamanın sonucu olarak oluşan yaklaşık 40.000 birbirine bağlı bazalt (daha az sıklıkla andezit) sütundan oluşan doğal bir anıt. Kuzey İrlanda'nın kuzeydoğusunda, Bushmills kasabasının 3 km kuzeyinde yer alır.
Sütunların tepeleri, uçurumun dibinden başlayıp deniz yüzeyinin altında kaybolan bir tür sıçrama tahtası oluşturuyor. Sütunların çoğu altıgendir, ancak bazılarının dört, beş, yedi ve sekiz köşesi vardır. En yüksek sütun yaklaşık 12 m yüksekliğindedir.
Yaklaşık 50-60 milyon yıl önce, Paleojen döneminde Antrim bölgesi, erimiş bazalt çökeltilere nüfuz ederek geniş lav platoları oluşturduğundan yoğun volkanik aktiviteye maruz kalmıştı. Madde hızla soğudukça maddenin hacmi azalıyordu (benzer durum çamur kuruduğunda da görülüyor). Yatay sıkıştırma, karakteristik bir altıgen sütun yapısıyla sonuçlandı.
Somunun kesiti düzenli altıgen şeklindedir.