Annem çerçeveyi yıkadı
Uzun yaz tatillerinin sonunda, yavaş yavaş yüksek matematiğe dönmenin ve yeni bir bölüm oluşturmaya başlamak için boş Verdov dosyasını ciddiyetle açmanın zamanı geldi - . İtiraf ediyorum, ilk satırlar kolay değil ama ilk adım yolun yarısı, bu yüzden herkesin giriş makalesini dikkatlice incelemesini öneriyorum, bundan sonra konuya hakim olmak 2 kat daha kolay olacak! Hiç abartmıyorum. …Önümüzdeki 1 Eylül arifesinde, birinci sınıfı ve ilkokulu hatırlıyorum…. Harfler heceleri, heceler kelimeleri, kelimeler kısa cümleleri oluşturur - Annem çerçeveyi yıkadı. Turnver ve matematik istatistiklerinde ustalaşmak, okumayı öğrenmek kadar kolaydır! Ancak bunun için anahtar terimleri, kavramları ve tanımları ve ayrıca bu dersin konusu olan bazı özel kuralları bilmeniz gerekir.
Ama önce, lütfen okul yılının başlangıcı (devam etmesi, tamamlanması, uygun şekilde işaretlenmesi) için tebriklerimi kabul edin ve hediyeyi kabul edin. En iyi hediye bir kitaptır ve bağımsız çalışma için aşağıdaki literatürü öneriyorum:
1) Gmurman V.E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik
Ondan fazla yeniden basımı yapılmış efsanevi bir ders kitabı. Anlaşılırlığı ve materyalin son derece basit sunumuyla öne çıkıyor ve ilk bölümlerin 6-7. Sınıflardaki öğrenciler için zaten tamamen erişilebilir olduğunu düşünüyorum.
2) Gmurman V.E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikteki problemleri çözme kılavuzu
Aynı Vladimir Efimovich'in ayrıntılı örnekler ve problemlerle dolu bir çözüm kitabı.
GEREKLİ OLARAK Her iki kitabı da internetten indirin veya kağıt orijinallerini alın! 60'lı ve 70'li yılların versiyonu da işe yarayacak, bu aptallar için daha da iyi. Her ne kadar "kuklalar için olasılık teorisi" ifadesi oldukça saçma gelse de, neredeyse her şey temel aritmetik işlemlerle sınırlı olduğundan. Ancak bazı yerlerde atlıyorlar türevler Ve integraller, ancak bu yalnızca bazı yerlerde geçerlidir.
Sunumda da aynı netliği yakalamaya çalışacağım ancak kursumun şuna yönelik olduğu konusunda uyarmalıyım: problem çözme ve teorik hesaplamalar minimumda tutulur. Bu nedenle, ayrıntılı bir teoriye, teoremlerin kanıtlarına (teoremler-teoremler!) ihtiyacınız varsa, lütfen ders kitabına bakın. Peki kim ister sorunları çözmeyi öğren olasılık teorisi ve matematiksel istatistikte mümkün olan en kısa sürede, beni takip et!
Başlangıç için bu kadar yeterli =)
Makaleleri okurken, dikkate alınan türlerdeki ek görevlerle (en azından kısaca) tanışmanız tavsiye edilir. Sayfada Yüksek matematik için hazır çözümlerÇözüm örneklerini içeren ilgili pdf'ler yayınlanacaktır. Önemli yardımlar da sağlanacak IDZ 18.1 Ryabushko(daha basit) ve IDZ'yi Chudesenko'nun koleksiyonuna göre çözdü(daha zor).
1) Miktar iki olay ve olaya, bunun gerçekleşeceği denir veya etkinlik veya etkinlik veya her iki olay da aynı anda. Olayların gerçekleşmesi durumunda uyumsuz, son seçenek kaybolur, yani ortaya çıkabilir veya etkinlik veya etkinlik .
Kural ayrıca daha fazla sayıda terim için de geçerlidir; örneğin etkinlik 
ne olacak en az bir olaylardan 
, A olaylar uyumsuzsa – o zaman tek bir şey ve tek bir şey bu miktardan olay: veya etkinlik , veya etkinlik , veya etkinlik , veya etkinlik , veya etkinlik .
Pek çok örnek var:
Olaylar (zar atarken 5 puan görünmeyecek) ortaya çıkacak olanlardır veya 1, veya 2, veya 3, veya 4, veya 6 puan.
Etkinlik (düşecek daha fazla yok iki nokta) 1'in görüneceğidir veya 2puan.
Etkinlik 
(çift sayıda nokta olacak) görünen şey veya 2 veya 4 veya 6 puan.
Olay şu ki desteden kırmızı kart (kalp) çekilecek veya tef) ve olay 
– “resim”in çıkarılacağı (jack veya bayan veya kral veya as).
Ortak etkinliklerde durum biraz daha ilginç:
Olay şu: Desteden bir sopa çekilecek veya Yedi veya yedi sinek Yukarıda verilen tanıma göre, en azından bir şey- veya herhangi bir kulüp veya herhangi bir yedi veya bunların "kesişimi" - yedi kulüp. Bu olayın 12 temel sonuca (9 sinek kartı + 3 kalan yedili) karşılık geldiğini hesaplamak kolaydır.
Olay şu ki yarın saat 12.00'de gelecek Toplanabilir ortak etkinliklerden EN AZ BİRİ yani:
– veya yalnızca yağmur / yalnızca fırtına / yalnızca güneş olacak;
– veya yalnızca bazı olay çiftleri meydana gelecektir (yağmur + fırtına / yağmur + güneş / fırtına + güneş);
– veya üç olayın tümü aynı anda görünecektir.
Yani olay 7 olası sonucu içermektedir.
Olay cebirinin ikinci ayağı:
2) iş iki olay ve bu olayların ortaklaşa gerçekleşmesinden oluşan bir olayı çağırmak, diğer bir deyişle çarpma, bazı koşullar altında meydana geleceği anlamına gelir. Ve etkinlik , Ve etkinlik . Benzer bir ifade daha fazla sayıda olay için de geçerlidir; örneğin bir iş, belirli koşullar altında gerçekleşeceğini ima eder. Ve etkinlik , Ve etkinlik , Ve etkinlik , …, Ve etkinlik .
İki madeni paranın atıldığı bir test düşünün ve aşağıdaki olaylar:
– 1. madeni paranın üzerinde turalar görünecektir;
– 1. para tura gelecek;
– 2. madalyonun üzerinde turalar görünecektir;
– 2. madeni para tura gelecek.
Daha sonra:
Ve 2'de) kafalar görünecek;
– olay şu ki her iki madeni parada da (1. Ve 2'sinde) tura olacak;
– olay şu ki 1. madalyonun tura gelmesi Ve 2. para yazıdır;
– olay şu ki 1. madalyonun tura gelmesi Ve 2. madeni paranın üzerinde kartal bulunmaktadır.
Olayları görmek kolaydır uyumsuz (çünkü örneğin aynı anda 2 tura ve 2 yazı olamaz) ve biçim tam grup (dikkate alındığından beri Tüm iki madeni para atmanın olası sonuçları). Bu olayları özetleyelim: . Bu girdi nasıl yorumlanır? Çok basit; çarpma mantıksal bağ anlamına gelir VE ve ekleme – VEYA. Böylece miktarın anlaşılır insan dilinde okunması kolaydır: “iki kafa görünecek veya iki kafa veya ilk para tura gelecek Ve 2. kuyrukta veya ilk para tura gelecek Ve 2. madeni paranın üzerinde bir kartal var"
Bu bir örnekti bir testte birden fazla nesne söz konusudur, bu durumda iki madeni para. Pratik problemlerdeki diğer bir yaygın şema ise yeniden test etme Örneğin aynı zar art arda 3 kez atıldığında. Gösterim olarak aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:
– 1. atışta 4 puan alacaksınız;
– 2. atışta 5 puan alacaksınız;
– 3. atışta 6 puan alacaksınız.
Daha sonra olay 
yani ilk atışta 4 puan alacaksın Ve 2. atışta 5 puan alacaksınız Ve 3. atışta 6 puan alacaksınız. Açıktır ki, küp söz konusu olduğunda, yazı tura atmamızdan önemli ölçüde daha fazla kombinasyon (sonuç) olacaktır.
...Anlıyorum ki analiz edilen örnekler belki çok ilgi çekici değil ama bunlar sorunlarda sıklıkla karşılaşılan şeyler ve bunlardan kaçış yok. Bir madeni paranın yanı sıra, bir küp ve bir deste kart, rengarenk topların olduğu kutular, hedefe ateş eden birkaç isimsiz kişi ve sürekli bazı detayları taşlayan yorulmak bilmez bir işçi sizi bekliyor =)
Olayın olasılığı
Olayın olasılığı olasılık teorisinin merkezi kavramıdır. ...Çok mantıklı bir şey ama bir yerden başlamamız gerekiyordu =) Tanımına birkaç yaklaşım var:
;
Olasılığın geometrik tanımı
;
Olasılığın istatistiksel tanımı
.
Bu makalede, eğitim görevlerinde en yaygın olarak kullanılan olasılığın klasik tanımına odaklanacağım.
Tanımlar. Belirli bir olayın olasılığı büyük bir Latin harfiyle gösterilir ve olayın kendisi bir tür argüman olarak parantez içine alınır. Örneğin:
Ayrıca küçük harf olasılığı belirtmek için yaygın olarak kullanılır. Özellikle olayların ve olasılıklarının hantal tanımlarından vazgeçebilirsiniz. 
aşağıdaki tarzın lehine::
– yazı tura atıldığında yazı gelme olasılığı;
– bir zar atışının 5 puanla sonuçlanma olasılığı;
– desteden kulüp rengindeki bir kartın çekilme olasılığı.
Bu seçenek, çözümün kaydını önemli ölçüde azaltmanıza olanak tanıdığı için pratik sorunları çözerken popülerdir. İlk durumda olduğu gibi burada da “konuşan” alt simgeler/üst simgeler kullanmak uygundur.
Herkes yukarıda yazdığım rakamları uzun zamandır tahmin etti ve şimdi bunların nasıl ortaya çıktığını öğreneceğiz:
Olasılığın klasik tanımı:
Belirli bir testte bir olayın meydana gelme olasılığına oran denir; burada:
– hepsinin toplam sayısı eşit derecede mümkün, temel bu testin sonuçları, tam bir etkinlik grubu;
- miktar temel sonuçlar, elverişli etkinlik.
Yazı tura atıldığında yazı veya tura düşebilir; bu olaylar tam grup dolayısıyla toplam sonuç sayısı; aynı zamanda her biri temel Ve eşit derecede mümkün. Olay sonuç (kafalar) tarafından tercih edilir. Olasılığın klasik tanımına göre: 
.
Benzer şekilde, bir zarın atılmasının bir sonucu olarak, tam bir grup oluşturan temel eşit derecede olası sonuçlar ortaya çıkabilir ve olay tek bir sonuç (beş atılması) tarafından tercih edilir. Bu yüzden: 
BU YAPILMASI KABUL EDİLMEZ (her ne kadar kafanızdan yüzdeleri tahmin etmek yasak olmasa da).
Bir birimin kesirlerini kullanmak gelenekseldir ve açıkçası, olasılık içinde değişebilir. Ayrıca eğer öyleyse olay şu şekildedir: imkansız, Eğer - güvenilir ve eğer , o zaman bahsediyoruz rastgele etkinlik.
! Herhangi bir problemi çözerken başka bir olasılık değeri alırsanız hatayı arayın!
Olasılığın belirlenmesine yönelik klasik yaklaşımda, uç değerler (sıfır ve bir) tamamen aynı mantıkla elde edilir. İçinde 10 kırmızı top bulunan bir torbadan rastgele 1 top çekilsin. Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:
tek bir denemede düşük olasılıklı bir olay meydana gelmeyecektir.
Bu nedenle, bu olayın olasılığı diyelim ki 0,00000001 ise, piyangoda büyük ikramiyeyi tutturamayacaksınız. Evet, evet, belirli bir dolaşımdaki tek bilete sahip olan sizsiniz. Ancak daha fazla sayıda biletin ve daha fazla sayıda çekilişin size pek bir faydası olmayacaktır. ...Başkalarına bundan bahsettiğimde neredeyse her zaman şu yanıtı duyuyorum: "ama biri kazanıyor." Tamam, o zaman şu deneyi yapalım: lütfen bugün veya yarın herhangi bir piyango için bir bilet alın (gecikmeyin!). Ve eğer kazanırsanız... en azından 10 kilorubleden fazla kazanırsanız, kaydolduğunuzdan emin olun - bunun neden olduğunu açıklayacağım. Yüzde olarak elbette =) =)
Ancak üzülmeye gerek yok, çünkü bunun tersi bir prensip var: Eğer bir olayın olasılığı bire çok yakınsa, o zaman tek bir denemede gerçekleşecektir. neredeyse kesin olacak. Bu nedenle paraşütle atlamadan önce korkmanıza gerek yok, tam tersine gülümseyin! Sonuçta her iki paraşütün de başarısız olması için tamamen düşünülemez ve fantastik koşulların ortaya çıkması gerekir.
Bütün bunlar şiir olmasına rağmen, olayın içeriğine bağlı olarak, ilk prensip neşeli, ikincisi hüzünlü olabilir; hatta her ikisi de paraleldir.
Belki şimdilik bu kadar yeter sınıfta Klasik olasılık problemleri Formülden en iyi şekilde yararlanacağız. Bu makalenin son bölümünde önemli bir teoremi ele alacağız:
Tam bir grubu oluşturan olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir. Kabaca söylemek gerekirse, eğer olaylar tam bir grup oluşturuyorsa, o zaman %100 olasılıkla bunlardan biri gerçekleşecektir. En basit durumda, tam bir grup zıt olaylardan oluşur, örneğin:
– yazı tura atılması sonucunda tura gelecektir;
– yazı tura atmanın sonucu tura olacaktır.
Teoreme göre: 
Bu olayların eşit derecede mümkün olduğu ve olasılıklarının aynı olduğu kesinlikle açıktır. 
.
Olasılıkların eşitliğinden dolayı, eşit olasılıklı olaylara sıklıkla denir. eşit derecede muhtemel . Ve işte sarhoşluğun derecesini belirlemek için bir tekerleme =)
Küp örneği: olaylar zıttır, dolayısıyla 
.
Söz konusu teorem, ters olayın olasılığını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlaması açısından uygundur. Yani, beşin gelme olasılığı biliniyorsa, atılmama olasılığını hesaplamak kolaydır:
Bu, beş temel sonucun olasılıklarını özetlemekten çok daha basittir. Bu arada, temel sonuçlar için bu teorem de doğrudur:
. Örneğin, atıcının hedefi vurma olasılığı varsa, o zaman hedefi ıskalama olasılığı da vardır.
! Olasılık teorisinde harflerin başka amaçlarla kullanılması istenmeyen bir durumdur.
Bilgi Günü şerefine ödev vermeyeceğim =), ancak aşağıdaki soruları cevaplayabilmeniz çok önemli:
– Ne tür etkinlikler var?
– Bir olayın şansı ve eşit olasılığı nedir?
– Olayların uyumluluğu/uyumsuzluğu kavramını nasıl anlıyorsunuz?
– Karşıt olaylardan oluşan tam bir grup nedir?
– Olayların toplanması ve çarpımı ne anlama geliyor?
– Olasılığın klasik tanımının özü nedir?
– Tam bir grup oluşturan olayların olasılıklarını toplama teoremi neden faydalıdır?
Hayır, hiçbir şeyi sıkıştırmanıza gerek yok, bunlar yalnızca olasılık teorisinin temelleridir - kafanıza hızla sığacak bir tür başlangıç kitabı. Ve bunun bir an önce gerçekleşmesi için derslere alışmanızı öneririm
Olasılık teorisi, rastgele olayların kalıplarını inceleyen bir matematik dalıdır: rastgele olaylar, rastgele değişkenler, bunların özellikleri ve bunlar üzerindeki işlemler.
Uzun bir süre olasılık teorisinin net bir tanımı yoktu. Sadece 1929'da formüle edildi. Olasılık teorisinin bir bilim olarak ortaya çıkışı Orta Çağ'a ve kumarın (pul, zar, rulet) matematiksel analizine yönelik ilk girişimlere kadar uzanır. 17. yüzyılın Fransız matematikçileri Blaise Pascal ve Pierre Fermat, kumarda kazanç tahminlerini incelerken, zar atıldığında ortaya çıkan ilk olasılıksal kalıpları keşfettiler.
Olasılık teorisi, kitlesel rastgele olayların altında belirli kalıpların yattığı inancından bir bilim olarak ortaya çıktı. Olasılık teorisi bu kalıpları inceler.
Olasılık teorisi, oluşumu kesin olarak bilinmeyen olayların incelenmesiyle ilgilidir. Bazı olayların diğerleriyle karşılaştırıldığında ortaya çıkma olasılık derecesini yargılamanıza olanak tanır.
Örneğin: bir madeni paranın atılması sonucunda "tura" veya "yazı" sonucunu kesin olarak belirlemek imkansızdır, ancak tekrarlanan atışlarda yaklaşık olarak aynı sayıda "tura" ve "yazı" ortaya çıkar, bu da şu anlama gelir: “tura” veya “yazı”nın düşme olasılığı %50'ye eşittir.
Test bu durumda belirli bir dizi koşulun uygulanmasına, yani bu durumda yazı tura atılması denir. Mücadele sınırsız sayıda oynanabilir. Bu durumda koşullar kümesi rastgele faktörleri içerir.
Test sonucu: etkinlik. Olay şöyle olur:
- Güvenilir (her zaman test sonucunda ortaya çıkar).
- İmkansız (asla olmaz).
- Rastgele (test sonucunda oluşabilir veya oluşmayabilir).
Örneğin, bir parayı atarken imkansız bir olay - paranın kenarına düşmesi - rastgele bir olay - "tura" veya "yazı" görünümü. Spesifik test sonucu denir temel olay. Test sonucunda yalnızca temel olaylar meydana gelir. Tüm olası, farklı, spesifik test sonuçlarının kümesine ne ad verilir? temel olayların alanı.
Teorinin temel kavramları
Olasılık- Bir olayın meydana gelme olasılığının derecesi. Bazı olası olayların gerçekte meydana gelmesinin nedenleri karşıt nedenlerden daha ağır bastığında, bu olaya olası, aksi takdirde olası olmayan veya olasılık dışı denir.
Rastgele değişken- bu, test sonucunda şu veya bu değeri alabilen ve hangisinin önceden bilinmediği bir miktardır. Örneğin: itfaiye istasyonu başına günlük sayı, 10 atışla isabet sayısı vb.
Rastgele değişkenler iki kategoriye ayrılabilir.
- Ayrık rastgele değişken test sonucunda belirli bir olasılıkla belirli değerleri alabilen, sayılabilir bir küme (elemanları numaralandırılabilen bir küme) oluşturan bir niceliktir. Bu küme sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin, hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısı ayrık bir rastgele değişkendir çünkü bu nicelik sayılabilir de olsa sonsuz sayıda değer alabilir.
- Sürekli rastgele değişken sonlu veya sonsuz bir aralıktan herhangi bir değer alabilen bir niceliktir. Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.
Olasılık alanı- A.N. tarafından tanıtılan konsept. Kolmogorov'un 20. yüzyılın 30'lu yıllarında olasılık kavramını resmileştirmesi, olasılık teorisinin katı bir matematik disiplini olarak hızlı bir şekilde gelişmesine yol açtı.
Bir olasılık uzayı üçlüdür (bazen açılı parantez içine alınır: , burada
Bu, öğeleri temel olaylar, sonuçlar veya noktalar olarak adlandırılan keyfi bir kümedir;
- (rastgele) olaylar olarak adlandırılan alt kümelerin sigma cebiri;
- olasılık ölçüsü veya olasılık, yani. sigma-toplamlı sonlu ölçü öyle ki .
De Moivre-Laplace teoremi- Laplace tarafından 1812'de kurulan olasılık teorisinin limit teoremlerinden biri. Aynı rastgele deneyi iki olası sonuçla tekrar tekrar tekrarladığınızda elde edilen başarı sayısının yaklaşık olarak normal dağıldığını belirtir. Yaklaşık bir olasılık değeri bulmanızı sağlar.
Bağımsız denemelerin her biri için, bazı rastgele olayların meydana gelme olasılığı ()'ye eşitse ve bu olayın gerçekten meydana geldiği denemelerin sayısı ise, o zaman eşitsizliğin doğru olma olasılığı (büyük değerler için) şuna yakındır: Laplace integralinin değeri.
Olasılık teorisinde dağılım fonksiyonu- rastgele bir değişkenin veya rastgele vektörün dağılımını karakterize eden bir fonksiyon; bir rastgele değişken X'in x'ten küçük veya ona eşit bir değer alma olasılığı; burada x, isteğe bağlı bir gerçek sayıdır. Bilinen koşullar karşılanırsa tamamen bir rastgele değişken belirler.
Beklenti- rastgele bir değişkenin ortalama değeri (bu, olasılık teorisinde dikkate alınan rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır). İngiliz dili literatüründe, Rusça'da - ile gösterilir. İstatistiklerde gösterim sıklıkla kullanılır.
Bir olasılık uzayı verilsin ve onun üzerinde bir rastgele değişken tanımlansın. Bu, tanımı gereği ölçülebilir bir fonksiyondur. Daha sonra, eğer uzay üzerinde bir Lebesgue integrali varsa, buna matematiksel beklenti veya ortalama değer denir ve ile gösterilir.
Rastgele bir değişkenin varyansı- belirli bir rastgele değişkenin yayılımının ölçüsü, yani matematiksel beklentiden sapması. Rus ve yabancı edebiyatta belirtilmiştir. İstatistiklerde veya gösterimi sıklıkla kullanılır. Varyansın kareköküne standart sapma, standart sapma veya standart yayılma denir.
Bir olasılık uzayında tanımlanmış bir rastgele değişken olsun. Daha sonra
burada sembol matematiksel beklentiyi belirtir.
Olasılık teorisinde iki rastgele olaya denir. bağımsız Bunlardan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa. Benzer şekilde, iki rastgele değişken denir bağımlı Bunlardan birinin değeri diğerinin değerlerinin olasılığını etkiliyorsa.
Büyük sayılar yasasının en basit biçimi Bernoulli teoremidir; bu teoreme göre, eğer bir olayın olasılığı tüm denemelerde aynıysa, o zaman deneme sayısı arttıkça olayın sıklığı olayın olasılığına doğru yönelir ve rastgele olmaktan çıkar.
Olasılık teorisindeki büyük sayılar kanunu, sabit bir dağılımdan alınan sonlu bir örneğin aritmetik ortalamasının, o dağılımın teorik ortalamasına yakın olduğunu belirtir. Yakınsama türüne bağlı olarak, yakınsamanın olasılıkla gerçekleştiği durumlarda büyük sayılar zayıf yasası ile yakınsamanın neredeyse kesin olduğu büyük sayılar güçlü yasası arasında bir ayrım yapılır.
Büyük sayılar yasasının genel anlamı, çok sayıda özdeş ve bağımsız rastgele faktörün ortak eyleminin, limit dahilinde şansa bağlı olmayan bir sonuca yol açmasıdır.
Sonlu örnek analizine dayalı olasılık tahmin yöntemleri bu özelliğe dayanmaktadır. Bunun açık bir örneği, seçmenlerden oluşan bir örneklem üzerinde yapılan ankete dayalı olarak seçim sonuçlarının tahmin edilmesidir.
Merkezi limit teoremleri- Olasılık teorisinde, yaklaşık olarak aynı ölçeğe sahip (hiçbir terimin baskın olmadığı veya toplama belirleyici bir katkıda bulunmadığı) yeterince büyük sayıda zayıf bağımlı rastgele değişkenin toplamının normale yakın bir dağılıma sahip olduğunu belirten bir teorem sınıfı.
Uygulamalardaki birçok rastgele değişken, zayıf bağımlı birkaç rastgele faktörün etkisi altında oluştuğundan dağılımları normal kabul edilir. Bu durumda faktörlerden hiçbirinin baskın olmaması koşulunun sağlanması gerekir. Bu durumlarda merkezi limit teoremleri normal dağılımın kullanımını doğrular.
“Kazalar tesadüfi değildir”... Kulağa bir filozofun söylediği gibi gelebilir ama aslında rastlantısallığı incelemek büyük matematik biliminin kaderidir. Matematikte şans konusu olasılık teorisiyle ele alınır. Makalede formüller ve görev örnekleri ile bu bilimin temel tanımları sunulacaktır.
Olasılık teorisi nedir?
Olasılık teorisi rastgele olayları inceleyen matematik disiplinlerinden biridir.
Konuyu biraz daha açık hale getirmek için küçük bir örnek verelim: Eğer bir parayı havaya atarsanız, yazı veya tura gelebilir. Madeni para havadayken bu olasılıkların her ikisi de mümkündür. Yani olası sonuçların olasılığı 1:1'dir. 36 kartlık desteden bir kart çekerseniz olasılık 1:36 olarak gösterilecektir. Burada, özellikle matematiksel formüllerin yardımıyla keşfedilecek ve tahmin edilecek hiçbir şey yok gibi görünüyor. Bununla birlikte, belirli bir eylemi birçok kez tekrarlarsanız, belirli bir modeli tanımlayabilir ve buna dayanarak diğer koşullardaki olayların sonucunu tahmin edebilirsiniz.
Yukarıdakilerin hepsini özetlemek gerekirse, klasik anlamda olasılık teorisi, olası olaylardan birinin sayısal bir değerde meydana gelme olasılığını inceler.
Tarihin sayfalarından
Olasılık teorisi, formüller ve ilk görevlerin örnekleri, kart oyunlarının sonucunu tahmin etme girişimlerinin ilk ortaya çıktığı uzak Orta Çağ'da ortaya çıktı.
Başlangıçta olasılık teorisinin matematikle hiçbir ilgisi yoktu. Pratikte yeniden üretilebilecek bir olayın ampirik gerçekleri veya özellikleriyle gerekçelendirildi. Bir matematik disiplini olarak bu alanda ilk çalışmalar 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır. Kurucuları Blaise Pascal ve Pierre Fermat'tı. Uzun süre kumar üzerine çalıştılar ve belli kalıpları gördüler ve bunları halka anlatmaya karar verdiler.
Aynı teknik, Pascal ve Fermat'ın araştırmalarının sonuçlarına aşina olmamasına rağmen Christiaan Huygens tarafından icat edildi. Disiplinin tarihinde ilk sayılan “olasılık teorisi” kavramı, formülleri ve örnekleri onun tarafından ortaya atılmıştır.
Jacob Bernoulli'nin çalışmaları, Laplace ve Poisson teoremlerinin önemi de azımsanmayacak düzeydedir. Olasılık teorisini daha çok bir matematik disiplini haline getirdiler. Olasılık teorisi, formüller ve temel görev örnekleri Kolmogorov'un aksiyomları sayesinde bugünkü halini aldı. Tüm değişikliklerin sonucunda olasılık teorisi matematiğin dallarından biri haline geldi.
Olasılık teorisinin temel kavramları. Olaylar
Bu disiplinin ana kavramı “olay”dır. Üç tür olay vardır:
- Güvenilir. Zaten olacak olanlar (para düşecek).
- İmkansız. Hiçbir koşulda gerçekleşmeyecek olaylar (paranın havada asılı kalması).
- Rastgele. Olacakları veya olmayacakları. Tahmin edilmesi çok zor olan çeşitli faktörlerden etkilenebilirler. Bir madeni paradan bahsedersek, sonucu etkileyebilecek rastgele faktörler vardır: madalyonun fiziksel özellikleri, şekli, orijinal konumu, atış kuvveti vb.
Örneklerdeki tüm olaylar, farklı bir role sahip olan P hariç, büyük Latin harfleriyle gösterilmiştir. Örneğin:
- A = “öğrenciler derse geldi.”
- Ā = “öğrenciler derse gelmedi.”
Pratik görevlerde olaylar genellikle kelimelerle yazılır.
Olayların en önemli özelliklerinden biri olasılıklarının eşit olmasıdır. Yani, eğer bir parayı atarsanız, düşene kadar ilk düşüşün tüm çeşitleri mümkündür. Ancak olaylar da aynı derecede mümkün değildir. Bu, birisi kasıtlı olarak bir sonucu etkilediğinde meydana gelir. Örneğin, ağırlık merkezinin kaydırıldığı "işaretli" oyun kartları veya zarlar.
Etkinlikler aynı zamanda uyumlu ve uyumsuz olabilir. Uyumlu olaylar birbirinin oluşumunu dışlamaz. Örneğin:
- A = “öğrenci derse geldi.”
- B = “öğrenci derse geldi.”
Bu olaylar birbirinden bağımsızdır ve birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemez. Uyumsuz olaylar, birinin meydana gelmesinin diğerinin meydana gelmesini dışlaması gerçeğiyle tanımlanır. Aynı madeni paradan bahsedersek, "yazı" kaybı aynı deneyde "tura" çıkmasını imkansız hale getirir.
Etkinliklerle ilgili eylemler
Olaylar buna göre çoğaltılabilir ve toplanabilir; disipline mantıksal "VE" ve "VEYA" bağlaçları eklenir.
Tutar, A veya B olayının ya da ikisinin aynı anda meydana gelebilmesi gerçeğine göre belirlenir. Uyumsuzlarsa son seçenek imkansızdır; A ya da B atılacaktır.
Olayların çoğalması A ve B'nin aynı anda ortaya çıkmasından ibarettir.
Artık temelleri, olasılık teorisini ve formülleri daha iyi hatırlamak için birkaç örnek verebiliriz. Aşağıda problem çözme örnekleri.
Görev 1: Şirket üç tür iş için sözleşme almak üzere bir yarışmaya katılmaktadır. Meydana gelebilecek olası olaylar:
- A = “Firma ilk sözleşmeyi alacak.”
- Ve 1 = “Firma ilk sözleşmeyi alamayacak.”
- B = “firma ikinci bir sözleşme alacak.”
- B 1 = “firma ikinci bir sözleşme alamayacak”
- C = “firma üçüncü bir sözleşme alacak.”
- C 1 = “firma üçüncü bir sözleşme alamayacak.”
Olaylara ilişkin eylemleri kullanarak aşağıdaki durumları ifade etmeye çalışacağız:
- K = “şirket tüm sözleşmeleri alacak.”
Matematiksel formda denklem şu forma sahip olacaktır: K = ABC.
- M = “şirket tek bir sözleşme alamayacak.”
M = A 1 B 1 C 1.
Görevi karmaşıklaştıralım: H = “şirket bir sözleşme alacak.” Şirketin hangi sözleşmeyi (birinci, ikinci veya üçüncü) alacağı bilinmediğinden, olası olayların tamamının kaydedilmesi gerekir:
H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
Ve MÖ 1 1, firmanın birinci ve üçüncü sözleşmeyi almadığı, ancak ikinciyi aldığı bir dizi olaydır. Diğer olası olaylar uygun yöntem kullanılarak kaydedildi. Disiplindeki υ sembolü “OR” bağlacı anlamına gelir. Yukarıdaki örneği insan diline çevirirsek, şirket ya üçüncü sözleşmeyi ya ikinciyi ya da birinciyi alacaktır. Benzer şekilde “Olasılık Teorisi” disiplinindeki diğer koşulları da yazabilirsiniz. Yukarıda sunulan formüller ve problem çözme örnekleri, bunu kendi başınıza yapmanıza yardımcı olacaktır.
Aslında olasılık
Belki de bu matematik disiplininde bir olayın olasılığı merkezi kavramdır. Olasılığın 3 tanımı vardır:
- klasik;
- istatistiksel;
- geometrik.
Her birinin olasılık çalışmasında yeri vardır. Olasılık teorisi, formüller ve örnekler (9. sınıf) esas olarak şuna benzeyen klasik tanımı kullanır:
- A durumunun olasılığı, onun gerçekleşmesini destekleyen sonuçların sayısının tüm olası sonuçların sayısına oranına eşittir.
Formül şuna benzer: P(A)=m/n.
A aslında bir olaydır. A'nın tersi bir durum ortaya çıkarsa Ā veya A 1 olarak yazılabilir.
m olası olumlu durumların sayısıdır.
n - gerçekleşebilecek tüm olaylar.
Örneğin, A = “kalp renginden bir kart çek.” Standart bir destede 36 kart vardır ve bunların 9'u kupadır. Buna göre sorunu çözme formülü şöyle görünecektir:
P(A)=9/36=0,25.
Sonuç olarak desteden kalp renginde bir kartın çekilme olasılığı 0,25 olacaktır.
Yüksek matematiğe doğru
Artık olasılık teorisinin ne olduğu, formüller ve okul müfredatında karşılaşılan problem çözme örnekleri çok az biliniyordu. Ancak olasılık teorisi üniversitelerde öğretilen yüksek matematikte de bulunmaktadır. Çoğunlukla teorinin geometrik ve istatistiksel tanımları ve karmaşık formüllerle çalışırlar.
Olasılık teorisi çok ilginçtir. Olasılığın istatistiksel (veya frekans) tanımıyla formülleri ve örnekleri (yüksek matematik) küçük çapta çalışmaya başlamak daha iyidir.
İstatistiksel yaklaşım klasik yaklaşımla çelişmez ancak onu biraz genişletir. İlk durumda bir olayın hangi olasılıkla meydana geleceğini belirlemek gerekliyse, bu yöntemde olayın ne sıklıkta gerçekleşeceğini belirtmek gerekir. Burada Wn(A) ile gösterilebilecek yeni bir “göreceli frekans” kavramı tanıtılmaktadır. Formül klasik olandan farklı değil:
Tahmin için klasik formül hesaplanırsa, deney sonuçlarına göre istatistiksel formül hesaplanır. Örneğin küçük bir görevi ele alalım.
Teknolojik kontrol departmanı ürünleri kalite açısından kontrol eder. 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. Kaliteli bir ürünün sıklık olasılığı nasıl bulunur?
A = “kaliteli bir ürünün görünümü.”
Wn(A)=97/100=0,97
Yani kaliteli bir ürünün frekansı 0,97’dir. 97'yi nereden buldun? Kontrol edilen 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. 100'den 3 çıkarıp 97 elde ediyoruz, bu kaliteli mal miktarıdır.
Kombinatorik hakkında biraz
Olasılık teorisinin başka bir yöntemine kombinatorik denir. Temel prensibi şudur: Eğer belirli bir A seçimi m farklı şekilde yapılabiliyorsa ve bir B seçimi de n farklı şekilde yapılabiliyorsa, o zaman A ve B'nin seçimi çarpma yoluyla yapılabilir.
Örneğin A şehrinden B şehrine giden 5 yol vardır. B şehrinden C şehrine 4 yol vardır. A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidebilirsiniz?
Çok basit: 5x4=20 yani A noktasından C noktasına yirmi farklı yoldan ulaşabilirsiniz.
Görevi karmaşıklaştıralım. Solitaire'de kartları yerleştirmenin kaç yolu vardır? Destede 36 kart var; bu başlangıç noktasıdır. Yol sayısını bulmak için, başlangıç noktasından her seferinde bir kartı "çıkarmanız" ve çarpmanız gerekir.
Yani 36x35x34x33x32...x2x1= sonuç hesap makinesi ekranına sığmadığından basitçe 36! olarak belirtilebilir. İmza "!" sayının yanındaki sayı dizisinin tamamının birbiriyle çarpıldığını gösterir.
Kombinatorikte permütasyon, yerleştirme ve kombinasyon gibi kavramlar vardır. Her birinin kendine has formülü var.
Bir kümenin elemanlarının sıralı bir kümesine düzenleme denir. Yerleştirmeler tekrarlanabilir, yani bir öğe birkaç kez kullanılabilir. Ve tekrarlama olmadan, öğeler tekrarlanmadığında. n tüm öğelerdir, m yerleştirmeye katılan öğelerdir. Tekrarlama olmadan yerleştirme formülü şöyle görünecektir:
A n m =n!/(n-m)!
Yalnızca yerleştirme sırası farklılık gösteren n elemanın bağlantılarına permütasyon denir. Matematikte şöyle görünür: P n = n!
M'nin n elementinin kombinasyonları, hangi elementlerin olduğu ve toplam sayılarının ne olduğunun önemli olduğu bileşiklerdir. Formül şöyle görünecek:
a n m =n!/m!(n-m)!
Bernoulli'nin formülü
Olasılık teorisinde, her disiplinde olduğu gibi, kendi alanında onu yeni bir seviyeye taşıyan seçkin araştırmacıların çalışmaları bulunmaktadır. Bu çalışmalardan biri, belirli bir olayın bağımsız koşullar altında meydana gelme olasılığını belirlemenizi sağlayan Bernoulli formülüdür. Bu, bir deneyde A'nın ortaya çıkmasının, aynı olayın daha önceki veya sonraki denemelerde meydana gelip gelmemesine bağlı olmadığını göstermektedir.
Bernoulli denklemi:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.
(A) olayının gerçekleşme olasılığı (p) her deneme için sabittir. N sayıda deneyde durumun tam olarak m kez ortaya çıkma olasılığı yukarıda sunulan formülle hesaplanacaktır. Buna göre q sayısının nasıl bulunacağı sorusu ortaya çıkıyor.
A olayı p sayıda meydana gelirse, buna göre gerçekleşmeyebilir. Birim, bir disiplindeki bir durumun tüm sonuçlarını belirtmek için kullanılan bir sayıdır. Bu nedenle q, bir olayın gerçekleşmeme olasılığını gösteren bir sayıdır.
Artık Bernoulli'nin formülünü (olasılık teorisi) biliyorsunuz. Aşağıda problem çözme örneklerini (birinci seviye) ele alacağız.
Görev 2: Bir mağaza ziyaretçisi 0,2 olasılıkla satın alma işlemi gerçekleştirecektir. Mağazaya bağımsız olarak 6 ziyaretçi girdi. Bir ziyaretçinin satın alma işlemi gerçekleştirme olasılığı nedir?
Çözüm: Kaç ziyaretçinin (biri veya altısı) alışveriş yapması gerektiği bilinmediğinden, olası tüm olasılıkları Bernoulli formülünü kullanarak hesaplamak gerekir.
A = “ziyaretçi alışveriş yapacak.”
Bu durumda: p = 0,2 (görevde belirtildiği gibi). Buna göre q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (mağazada 6 müşteri olduğu için). m sayısı 0'dan (tek bir müşteri satın alma işlemi yapmayacak) 6'ya (mağazaya gelen tüm ziyaretçiler bir şey satın alacak) kadar değişecektir. Sonuç olarak çözüme ulaşıyoruz:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Hiçbir alıcı 0,2621 olasılıkla alım yapmayacak.
Bernoulli'nin formülü (olasılık teorisi) başka nasıl kullanılır? Aşağıda problem çözme örnekleri (ikinci seviye) yer almaktadır.
Yukarıdaki örnekten sonra C ve r'nin nereye gittiğine dair sorular ortaya çıkıyor. P'ye göre, 0'ın üssü bir sayı bire eşit olacaktır. C'ye gelince, aşağıdaki formülle bulunabilir:
C n m = n! /m!(n-m)!
İlk örnekte sırasıyla m = 0 olduğundan, C = 1 olup bu prensipte sonucu etkilemez. Yeni formülü kullanarak iki ziyaretçinin ürün satın alma olasılığının ne olduğunu bulmaya çalışalım.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Olasılık teorisi o kadar da karmaşık değil. Örnekleri yukarıda sunulan Bernoulli formülü bunun doğrudan kanıtıdır.
Poisson formülü
Poisson denklemi düşük olasılıklı rastgele durumları hesaplamak için kullanılır.
Temel formül:
Pn(m)=λm/m! × e (-λ) .
Bu durumda λ = n x p. İşte basit bir Poisson formülü (olasılık teorisi). Aşağıda problem çözme örneklerini ele alacağız.
Görev 3: Fabrika 100.000 parça üretti. Arızalı parçanın meydana gelmesi = 0,0001. Bir partide 5 adet hatalı parça olma olasılığı nedir?
Gördüğünüz gibi evlilik pek olası olmayan bir olaydır ve bu nedenle hesaplama için Poisson formülü (olasılık teorisi) kullanılır. Bu tür problemleri çözme örnekleri disiplindeki diğer görevlerden farklı değildir; gerekli verileri verilen formüle yerleştiriyoruz:
A = “Rastgele seçilen bir parça kusurlu olacaktır.”
p = 0,0001 (görev koşullarına göre).
n = 100000 (parça sayısı).
m = 5 (kusurlu parçalar). Verileri formülde değiştiririz ve şunu elde ederiz:
R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.
Yukarıda yazılan çözüm örnekleri olan Bernoulli formülü (olasılık teorisi) gibi, Poisson denkleminin de bilinmeyen bir e değeri vardır. Aslında şu formülle bulunabilir:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Ancak e'nin hemen hemen tüm değerlerini içeren özel tablolar vardır.
De Moivre-Laplace teoremi
Bernoulli şemasında deneme sayısı yeterince büyükse ve A olayının tüm şemalarda meydana gelme olasılığı aynıysa, o zaman A olayının bir dizi testte belirli sayıda meydana gelme olasılığı şu şekilde bulunabilir: Laplace'ın formülü:
n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
Laplace formülünü (olasılık teorisi) daha iyi hatırlamak için aşağıda sorun örnekleri verilmiştir.
Öncelikle X m'yi bulalım, verileri (hepsi yukarıda listelenmiştir) formülde yerine koyalım ve 0,025 elde edelim. Tabloları kullanarak değeri 0,3988 olan ϕ(0,025) sayısını buluruz. Artık tüm verileri formülde değiştirebilirsiniz:
P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.
Yani uçucunun tam olarak 267 kez çalışma olasılığı 0,03'tür.
Bayes formülü
Aşağıda yardımı ile problem çözme örnekleri verilecek olan Bayes formülü (olasılık teorisi), bir olayın olasılığını, onunla ilişkilendirilebilecek koşullara göre tanımlayan bir denklemdir. Temel formül aşağıdaki gibidir:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A ve B kesin olaylardır.
P(A|B) koşullu bir olasılıktır, yani B olayının doğru olması koşuluyla A olayı gerçekleşebilir.
P (B|A) - B olayının koşullu olasılığı.
Dolayısıyla, “Olasılık Teorisi” adlı kısa dersin son kısmı Bayes formülüdür, aşağıda problemlerin çözüm örnekleri yer almaktadır.
Görev 5: Depoya 3 firmadan telefon getirildi. Aynı zamanda ilk tesiste üretilen telefonların payı %25, ikinci tesiste %60, üçüncü tesiste ise %15'tir. Ayrıca ilk fabrikada kusurlu ürün oranının ortalama %2, ikinci fabrikada %4 ve üçüncü fabrikada %1 olduğu da bilinmektedir. Rastgele seçilen bir telefonun arızalı olma olasılığını bulmanız gerekiyor.
A = “rastgele seçilen telefon.”
B 1 - ilk fabrikanın ürettiği telefon. Buna göre tanıtım B 2 ve B 3 görünecektir (ikinci ve üçüncü fabrikalar için).
Sonuç olarak şunu elde ederiz:
P(B1) = %25/%100 = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - böylece her seçeneğin olasılığını bulduk.
Şimdi istenen olayın koşullu olasılıklarını, yani şirketlerdeki kusurlu ürün olasılığını bulmanız gerekiyor:
P(A/B1) = %2/%100 = 0,02;
P(A/B2) = 0,04;
P(A/B3) = 0,01.
Şimdi verileri Bayes formülünde yerine koyalım ve şunu elde edelim:
P(A) = 0,25x0,2 + 0,6x0,4 + 0,15x0,01 = 0,0305.
Makale olasılık teorisini, formülleri ve problem çözme örneklerini sunuyor, ancak bu geniş bir disiplinin buzdağının yalnızca görünen kısmı. Ve yazılanlardan sonra hayatta olasılık teorisine ihtiyaç olup olmadığı sorusunu sormak mantıklı olacaktır. Sıradan bir insanın cevap vermesi zordur; ikramiyeyi birden fazla kez kazanan birine sormak daha iyidir.
GİRİİŞ
Pek çok şeyin bizim için anlaşılmaz olmasının nedeni kavramlarımızın zayıf olması değildir;
ama bunlar bizim kavram kapsamımıza dahil olmadığı için.
Kozma Prutkov
Ortaöğretim uzmanlaşmış eğitim kurumlarında matematik eğitiminin temel amacı, öğrencilere matematiği bir dereceye kadar kullanan diğer program disiplinlerini incelemek, pratik hesaplamalar yapma becerisi, oluşum ve gelişim için gerekli bir dizi matematiksel bilgi ve beceri kazandırmaktır. mantıksal düşünmenin.
Bu çalışmada, program ve Orta Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Standartları (Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı. M., 2002) tarafından sağlanan “Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistiklerin Temelleri” matematik bölümünün tüm temel kavramları yer almaktadır. ), tutarlı bir şekilde tanıtılıyor, çoğu kanıtlanmamış ana teoremler formüle ediliyor. Temel sorunlar ve bunları çözme yöntemleri ve bu yöntemleri pratik sorunların çözümüne uygulamak için kullanılan teknolojiler dikkate alınır. Sunuma ayrıntılı yorumlar ve çok sayıda örnek eşlik ediyor.
Metodolojik talimatlar, çalışılan materyale ilk aşinalık sağlamak, dersler hakkında not alırken, pratik derslere hazırlanmak, edinilen bilgi, beceri ve yetenekleri pekiştirmek için kullanılabilir. Ayrıca kılavuz, lisans öğrencileri için bir referans aracı olarak da faydalı olacak ve daha önce çalışılan konuları hızlı bir şekilde hatırlamalarına olanak tanıyacaktır.
Çalışmanın sonunda öğrencilerin öz kontrol modunda gerçekleştirebilecekleri örnekler ve görevler bulunmaktadır.
Yönergeler yarı zamanlı ve tam zamanlı öğrencilere yöneliktir.
TEMEL KAVRAMLAR
Olasılık teorisi, kitlesel rastgele olayların nesnel kalıplarını inceler. Gözlemsel sonuçların toplanması, tanımlanması ve işlenmesine yönelik yöntemlerin geliştirilmesiyle ilgilenen matematiksel istatistiğin teorik temelidir. Gözlemler yoluyla (testler, deneyler), yani. kelimenin geniş anlamıyla deneyim, gerçek dünyanın fenomenlerinin bilgisi oluşur.
Pratik faaliyetlerimizde, sonucu tahmin edilemeyen, sonucu şansa bağlı olaylarla sıklıkla karşılaşıyoruz.
Rastgele bir olay, meydana gelme sayısının deneme sayısına oranıyla karakterize edilebilir; her birinde, tüm denemelerde aynı koşullar altında meydana gelebilir veya meydana gelmeyebilir.
Olasılık teorisi, rastgele olayların (olayların) incelendiği ve toplu olarak tekrarlandığında örüntülerin belirlendiği bir matematik dalıdır.
Matematiksel istatistik, bilimsel temelli sonuçlar elde etmek ve kararlar vermek için istatistiksel verileri toplama, sistemleştirme, işleme ve kullanma yöntemlerinin incelenmesiyle ilgilenen bir matematik dalıdır.
Bu durumda istatistiksel veriler, incelenen nesnelerin bizi ilgilendiren özelliklerinin niceliksel özelliklerini temsil eden bir dizi sayı olarak anlaşılmaktadır. İstatistiksel veriler özel olarak tasarlanmış deney ve gözlemler sonucunda elde edilir.
İstatistiksel veriler özü itibariyle birçok rastgele faktöre bağlıdır, bu nedenle matematiksel istatistik, teorik temeli olan olasılık teorisi ile yakından ilgilidir.
I. OLASILIK. OLASILIKLARIN TOPLANMASI VE ÇARPLANMASI TEOREMLERİ
1.1. Kombinatoriğin temel kavramları
Kombinatorik adı verilen matematik dalında kümelerin dikkate alınması ve bu kümelerin elemanlarının çeşitli kombinasyonlarının bileşimi ile ilgili bazı problemler çözülmektedir. Örneğin 0, 1, 2, 3,:, 9 gibi 10 farklı sayı alıp bunların kombinasyonlarını yaparsak farklı sayılar elde ederiz, örneğin 143, 431, 5671, 1207, 43 vb.
Bu kombinasyonlardan bazılarının yalnızca rakamların sırasına göre (örneğin, 143 ve 431), diğerlerinin - içerdikleri rakamlarda (örneğin, 5671 ve 1207) ve diğerlerinin de rakam sayısında farklılık gösterdiğini görüyoruz. (örneğin, 143 ve 43).
Böylece ortaya çıkan kombinasyonlar çeşitli koşulları karşılar.
Kompozisyon kurallarına bağlı olarak üç tür kombinasyon ayırt edilebilir: permütasyonlar, yerleşimler, kombinasyonlar.
Öncelikle konsepti tanıyalım faktöriyel.
1'den n'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına ne ad verilir? n-faktöriyel ve yaz.
Hesaplayın: a) ; B) ; V) .
Çözüm. A) .
b) O zamandan beri 
o zaman parantezlerin dışına çıkarabiliriz
Sonra alırız
V) 
.
Yeniden düzenlemeler.
Birbirinden yalnızca elemanların sırasına göre farklılık gösteren n adet elemanın kombinasyonuna permütasyon denir.
Permütasyonlar sembolüyle gösterilir P n burada n, her permütasyona dahil edilen öğelerin sayısıdır. ( R- Fransızca bir kelimenin ilk harfi permütasyon- yeniden düzenleme).
Permütasyon sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir
veya faktöriyel kullanarak:
Bunu hatırlayalım 0!=1 ve 1!=1.
Örnek 2. Altı farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
Çözüm. Gerekli yol sayısı 6 elementin permütasyon sayısına eşittir, yani.
Yerleşimler.
Gönderen gönderiler M içindeki elementler N her birinde, elementlerin kendileri (en az bir tane) veya düzenlenme sırasına göre birbirlerinden farklı olan bu tür bileşiklere denir.
Yerleşimler sembolle gösterilir; M- mevcut tüm elemanların sayısı, N- her kombinasyondaki eleman sayısı. ( A- Fransızca bir kelimenin ilk harfi ayarlama"yerleştirme, sıraya koyma" anlamına gelir).
Aynı zamanda inanılıyor ki nm.
Yerleşim sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir
,
onlar. olası tüm yerleşimlerin sayısı M tarafından elemanlar Nürüne eşittir N en büyüğü olan ardışık tam sayılar M.
Bu formülü faktöriyel formda yazalım:
Örnek 3. Beş başvuru sahibi için üç kuponun çeşitli profillerdeki sanatoryumlara dağıtılması için kaç seçenek derlenebilir?
Çözüm. Gerekli seçenek sayısı, 3 öğenin 5 öğesinin yerleşim sayısına eşittir, yani.
.
Kombinasyonlar.
Kombinasyonların tümü olası kombinasyonlardır M tarafından elemanlar N birbirinden en az bir öğe ile farklılık gösteren (burada M Ve N- doğal sayılar ve n m).
Kombinasyon sayısı M tarafından elemanlar N( ile gösterilir) İLE-Fransızca bir kelimenin ilk harfi kombinasyon- kombinasyon).
Genel olarak sayısı M tarafından elemanlar N yerleşimlerin sayısına eşit M tarafından elemanlar N, permütasyon sayısına bölünür N elemanlar:
Yerleştirme ve permütasyon sayıları için faktöriyel formülleri kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 4. 25 kişilik bir ekipte 4 kişiyi belli bir alanda çalışmak üzere ayırmanız gerekiyor. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözüm. Seçilen dört kişinin sırası önemli olmadığından bunu yapmanın yolları vardır.
İlk formülü kullanarak buluyoruz
.
Ayrıca problemleri çözerken kombinasyonların temel özelliklerini ifade eden aşağıdaki formüller kullanılır:
(tanım gereği ve varsayarlar);
.
1.2. Kombinatoryal problemleri çözme
Görev 1. Fakültede okutulan 16 konu bulunmaktadır. Pazartesi günü programınıza 3 konu koymanız gerekiyor. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözüm. 16 öğenin yerleşimini 3'e göre düzenleyebildiğiniz gibi, 16 öğeden üçünü planlamanın da birçok yolu vardır.
Görev 2. 15 nesneden 10 nesneyi seçmeniz gerekir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?
Görev 3. Yarışmaya dört takım katıldı. Koltukları aralarında dağıtmak için kaç seçenek mümkündür?
.
Problem 4. 80 asker ve 3 subay varsa, üç asker ve bir subaydan oluşan bir devriye kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm. Devriyedeki bir askeri seçebilirsiniz
yollar ve memurlar yollar. Herhangi bir subay, her bir asker ekibiyle gidebileceğinden, yalnızca belirli sayıda yol vardır.
Görev 5. Eğer biliniyorsa bulun.
O zamandan beri, alıyoruz
,
,
Bir kombinasyonun tanımı gereği şu şekildedir , . O. .
1.3. Rastgele bir olay kavramı. Olay türleri. Olayın olasılığı
Belirli koşullar altında gerçekleştirilen, birkaç farklı sonucu olan herhangi bir eylem, olgu, gözlem olarak adlandırılacaktır. test.
Bu eylemin veya gözlemin sonucuna denir. etkinlik .
Bir olay belirli koşullar altında gerçekleşebilir veya gerçekleşemez ise buna denir. rastgele . Bir olayın olacağı kesinse buna denir güvenilir ve bunun açıkça gerçekleşemeyeceği durumlarda, - imkansız.
Olaylar denir uyumsuz , eğer her seferinde yalnızca bir tanesinin görünmesi mümkünse.
Olaylar denir eklem yeri Verilen koşullar altında bu olaylardan birinin meydana gelmesi, aynı test sırasında bir diğerinin meydana gelmesini dışlamıyorsa.
Olaylar denir zıt , eğer test koşulları altında tek sonuç olan bunlar uyumsuzsa.
Olaylar genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: A, B, C, D, : .
Tam bir olaylar sistemi A 1 , A 2 , A 3 , : , An , belirli bir test sırasında en az birinin meydana gelmesi zorunlu olan bir dizi uyumsuz olaydır.
Tam bir sistem iki uyumsuz olaydan oluşuyorsa, bu tür olaylara zıt olaylar denir ve A ve .
Örnek. Kutuda 30 adet numaralandırılmış top bulunmaktadır. Aşağıdaki olaylardan hangilerinin imkansız, güvenilir veya aykırı olduğunu belirleyin:
numaralı bir top çıkardı (A);
çift sayılı bir top aldım (İÇİNDE);
tek sayılı bir top aldım (İLE);
numarasız bir top aldım (D).
Bunlardan hangisi tam bir grup oluşturur?
Çözüm . A- güvenilir olay; D- imkansız olay;
İçinde ve İLE- zıt olaylar.
Etkinlik grubunun tamamı aşağıdakilerden oluşur: A Ve D, V Ve İLE.
Bir olayın olasılığı, rastgele bir olayın meydana gelme olasılığının objektif bir ölçüsü olarak kabul edilir.
1.4. Olasılığın klasik tanımı
Bir olayın meydana gelme objektif olasılığının ölçüsünü ifade eden sayıya ne ad verilir? olasılık bu olay ve sembolüyle gösterilir R(A).
Tanım. Olayın olasılığı A belirli bir olayın gerçekleşmesini destekleyen sonuçların sayısının oranıdır A, numaraya N tüm sonuçlar (tutarsız, yalnızca mümkün ve eşit derecede mümkün), yani .
Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını dikkate alarak tüm olası tutarsız sonuçları hesaplamak gerekir. N, ilgilendiğimiz sonuçların sayısını seçin ve oranı hesaplayın Mİle N.
Bu tanımdan aşağıdaki özellikler çıkar:
Herhangi bir testin olasılığı, negatif olmayan ve birini geçmeyen bir sayıdır.
Gerçekte, gerekli olayların sayısı m dahilindedir. Her iki parçayı da bölmek N, alıyoruz
2. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir çünkü .
3. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır çünkü .
Sorun 1. 1000 biletlik bir piyangoda 200 kazanan vardır. Bir bilet rastgele alınır. Bu biletin kazanma olasılığı nedir?
Çözüm. Farklı sonuçların toplam sayısı N=1000. Kazanmaya elverişli sonuçların sayısı m=200'dür. Formüle göre şunu elde ederiz:
.
Sorun 2. 18 parçadan oluşan bir partide 4 hatalı parça var. 5 parça rastgele seçilir. Bu 5 parçadan ikisinin bozuk olma olasılığını bulunuz.
Çözüm. Eşit derecede mümkün olan tüm bağımsız sonuçların sayısı N 18'e 5'lik kombinasyon sayısına eşittir;
A olayını destekleyen m sayısını sayalım. Rastgele alınan 5 parçadan 3'ü iyi, 2'si kusurlu olmalıdır. Mevcut 4 kusurlu parçadan iki kusurlu parçayı seçme yollarının sayısı, 4'e 2'lik kombinasyon sayısına eşittir:
Mevcut 14 kaliteli parçadan üç kaliteli parçayı seçme yollarının sayısı eşittir
.
Herhangi bir iyi parça grubu, herhangi bir kusurlu parça grubuyla birleştirilebilir; dolayısıyla toplam kombinasyon sayısı Mşuna eşittir:
A olayının gerekli olasılığı, bu olay için uygun m sonuçlarının sayısının eşit derecede olası tüm bağımsız sonuçların n sayısına oranına eşittir:
.
Sonlu sayıda olayın toplamı, bunlardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.
İki olayın toplamı A+B sembolüyle gösterilir ve toplamı N A 1 +A 2 + : +A n sembolüyle olaylar.
Olasılık toplama teoremi.
Birbiriyle bağdaşmayan iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.
Sonuç 1. A 1, A 2, :,A n olayı tam bir sistem oluşturuyorsa, bu olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir.
Sonuç 2. Zıt olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir.
.
Problem 1. 100 adet piyango bileti var. 5 biletin 20.000 ruble, 10 biletin 15.000 ruble, 15 biletin 10.000 ruble, 25 biletin 2.000 ruble kazandığı biliniyor. ve geri kalanı için hiçbir şey yok. Satın alınan biletin en az 10.000 ruble kazanma olasılığını bulun.
Çözüm. A, B ve C, satın alınan biletin sırasıyla 20.000, 15.000 ve 10.000 rubleye eşit bir kazanç elde etmesinden oluşan etkinlikler olsun. A, B ve C olayları uyumsuz olduğundan, o zaman
Görev 2. Bir teknik okulun yazışma departmanı şehirlerden matematik sınavları alıyor A, B Ve İLE. Şehirden sınav alma olasılığı Aşehirden 0,6'ya eşit İÇİNDE- 0.1. Bir sonraki testin şehirden gelme olasılığını bulun İLE.
Bazı programcılar, düzenli ticari uygulamalar geliştirme alanında çalıştıktan sonra makine öğreniminde uzmanlaşmayı ve veri analisti olmayı düşünüyor. Genellikle belirli yöntemlerin neden işe yaradığını anlamıyorlar ve çoğu makine öğrenimi yöntemi sihir gibi görünüyor. Aslında makine öğrenimi matematiksel istatistiklere, o da olasılık teorisine dayanmaktadır. Bu nedenle bu yazıda olasılık teorisinin temel kavramlarına dikkat edeceğiz: olasılık, dağılım tanımlarına değineceğiz ve birkaç basit örneği analiz edeceğiz.
Olasılık teorisinin geleneksel olarak 2 bölüme ayrıldığını biliyor olabilirsiniz. Ayrık olasılık teorisi, sonlu (veya sayılabilir) sayıda olası davranış seçeneğine (zar atma, madeni para atma) sahip bir dağılımla tanımlanabilecek olayları inceler. Sürekli olasılık teorisi, örneğin bir parça veya daire gibi yoğun bir kümeye dağılmış olayları inceler.
Olasılık teorisi konusunu basit bir örnekle ele alabiliriz. Kendinizi bir nişancı geliştiricisi olarak hayal edin. Bu türdeki oyunların geliştirilmesinin ayrılmaz bir parçası atış mekaniğidir. Tüm silahların kesinlikle doğru bir şekilde ateş ettiği bir atıcının oyuncuların pek ilgisini çekmeyeceği açıktır. Bu nedenle silahınıza spread eklemek zorunludur. Ancak silah etki noktalarını basitçe rastgele belirlemek ince ayar yapılmasına izin vermeyecektir, bu nedenle oyun dengesini ayarlamak zor olacaktır. Aynı zamanda rastgele değişkenler ve bunların dağılımları kullanılarak bir silahın belirli bir yayılımda nasıl performans göstereceği analiz edilebilir ve gerekli ayarlamaların yapılmasına yardımcı olunabilir.
Temel sonuçların alanı
Diyelim ki birçok kez tekrarlayabileceğimiz rastgele bir deneyden (örneğin yazı tura atmak), bazı resmileştirilebilir bilgileri (tura veya yazı) çıkarabildiğimizi varsayalım. Bu bilgiye temel sonuç denir ve genellikle Ω (Omega) harfiyle gösterilen tüm temel sonuçların kümesini dikkate almak faydalıdır.
Bu alanın yapısı tamamen deneyin doğasına bağlıdır. Örneğin, yeterince büyük bir dairesel hedefe ateş etmeyi düşünürsek, temel sonuçların uzayı, kolaylık olması açısından, merkezi sıfıra yerleştirilen bir daire olacaktır ve sonuç, bu dairenin içindeki bir nokta olacaktır.
Ek olarak, temel sonuç kümeleri - olaylar dikkate alınır (örneğin, ilk ona ulaşmak, hedefi olan küçük yarıçaplı eşmerkezli bir dairedir). Ayrık durumda her şey oldukça basittir: Sonlu bir zaman içinde temel sonuçlar dahil veya hariç olmak üzere herhangi bir olayı elde edebiliriz. Sürekli durumda, her şey çok daha karmaşıktır: eklenebilen, çıkarılabilen, bölünebilen ve çarpılabilen basit gerçek sayılarla analoji yoluyla cebir adı verilen, dikkate alınması gereken oldukça iyi bir küme ailesine ihtiyacımız var. Cebirdeki kümeler kesişebilir ve birleştirilebilir ve işlemin sonucu cebirde olacaktır. Bu, tüm bu kavramların arkasında yatan matematik açısından çok önemli bir özelliktir. Minimal bir aile yalnızca iki kümeden oluşur; boş küme ve temel sonuçların uzayı.
Ölçü ve olasılık
Olasılık, çok karmaşık nesnelerin nasıl çalıştıklarını anlamadan davranışları hakkında çıkarımlar yapmanın bir yoludur. Dolayısıyla olasılık, bir sayıyı döndüren bir olayın (bu çok iyi kümeler ailesinden) bir fonksiyonu olarak tanımlanır; bu, böyle bir olayın gerçekte ne sıklıkta meydana gelebileceğinin bazı özellikleridir. Kesin olarak matematikçiler bu sayının sıfır ile bir arasında olması gerektiği konusunda hemfikirdi. Ek olarak, bu fonksiyonun gereksinimleri vardır: imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır, tüm sonuç kümesinin olasılığı birimdir ve iki bağımsız olayı (ayrık kümeler) birleştirme olasılığı olasılıkların toplamına eşittir. Olasılığın diğer adı olasılık ölçüsüdür. En sık kullanılan, uzunluk, alan, hacim kavramlarını herhangi bir boyuta (n-boyutlu hacim) genelleştiren ve dolayısıyla geniş bir küme sınıfına uygulanabilen Lebesgue ölçüsüdür.
Bir dizi temel sonuç, bir küme ailesi ve bir olasılık ölçüsünün toplamına birlikte denir. olasılık alanı. Bir hedefe atış örneği için nasıl bir olasılık uzayı oluşturabileceğimizi düşünelim.
Kaçırılması imkansız olan R yarıçaplı büyük bir yuvarlak hedefe ateş etmeyi düşünün. Bir dizi temel olayla, merkezi R yarıçapının koordinatlarının orijininde olan bir daire oluşturuyoruz. Bir olayın olasılığını tanımlamak için alanı (iki boyutlu kümeler için Lebesgue ölçüsü) kullanacağımız için, ölçülebilir (bu ölçümün mevcut olduğu) kümeler ailesini kullanacağız.
Not Aslında bu teknik bir noktadır ve basit problemlerde ölçü ve kümeler ailesini belirleme süreci özel bir rol oynamaz. Ancak bu iki nesnenin var olduğunu anlamak gerekir çünkü olasılık teorisiyle ilgili birçok kitapta teoremler şu sözlerle başlar: “ (Ω,Σ,P) bir olasılık uzayı olsun...».
Yukarıda belirtildiği gibi, temel sonuçların tüm uzayının olasılığı bire eşit olmalıdır. Okuldan iyi bilinen bir formüle göre bir dairenin alanı (iki boyutlu Lebesgue ölçüsü, λ 2 (A) olarak adlandırdığımız, burada A bir olaydır) π *R 2'ye eşittir. Daha sonra P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) olasılığını ortaya koyabiliriz ve bu değer herhangi bir A olayı için zaten 0 ile 1 arasında olacaktır.
Hedefteki herhangi bir noktayı vurmanın eşit derecede olası olduğunu varsayarsak, atıcının hedefin bir alanını vurma olasılığının araştırılması bu setin alanını bulmaya gelir (buradan olasılık şu sonuca varabiliriz: Belirli bir noktaya çarpma olasılığı sıfırdır çünkü noktanın alanı sıfırdır).
Örneğin, atıcının ilk 10'a girme olasılığının ne olduğunu bulmak istiyoruz (A olayı - atıcı istenen seti tutturur). Modelimizde “on”, merkezi sıfır ve yarıçapı r olan bir daire ile temsil edilmektedir. O halde bu daireye girme olasılığı P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2'dir.
Bu, "geometrik olasılık" problemlerinin en basit türlerinden biridir - bu problemlerin çoğu bir alan bulmayı gerektirir.
Rastgele değişkenler
Rastgele değişken, temel sonuçları gerçek sayılara dönüştüren bir fonksiyondur. Örneğin, ele alınan problemde, çarpma noktasından hedefin merkezine olan mesafe olan ρ(ω) rastgele değişkenini tanıtabiliriz. Modelimizin basitliği, temel sonuçların uzayını açıkça tanımlamamıza izin verir: Ω = (ω = (x,y) öyle sayılar ki x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . O halde rastgele değişken ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .
Olasılıksal uzaydan soyutlama araçları. Dağıtım fonksiyonu ve yoğunluk
Uzayın yapısının iyi bilinmesi iyidir ancak gerçekte durum her zaman böyle değildir. Bir mekanın yapısı bilinse bile karmaşık olabilir. İfadeleri bilinmiyorsa rastgele değişkenleri tanımlamak için, F ξ (x) = P(ξ) ile gösterilen bir dağılım fonksiyonu kavramı vardır.< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
Dağıtım fonksiyonunun çeşitli özellikleri vardır:
- Öncelikle 0 ile 1 arasındadır.
- İkinci olarak, x argümanı arttığında azalmaz.
- Üçüncüsü, -x sayısı çok büyük olduğunda dağılım fonksiyonu 0'a yakındır ve x'in kendisi büyük olduğunda dağılım fonksiyonu 1'e yakındır.
Muhtemelen bu yapının anlamı ilk okunduğunda çok açık değildir. Yararlı bir özellik, dağıtım fonksiyonunun, bir miktarın bir aralıktan değer alma olasılığını aramanıza izin vermesidir. Yani, P (rastgele değişken ξ aralıktaki değerleri alır) = F ξ (b)-F ξ (a). Bu eşitliğe dayanarak aralığın a ve b sınırları yakınsa bu değerin nasıl değişeceğini inceleyebiliriz.
d = b-a olsun, sonra b = a+d olsun. Ve bu nedenle, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Küçük d değerleri için yukarıdaki fark da küçüktür (eğer dağılım sürekliyse). p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d oranını dikkate almak mantıklıdır. Yeterince küçük d değerleri için, bu oran d'den bağımsız olarak bazı sabit p ξ (a)'dan çok az farklıysa, o zaman bu noktada rastgele değişken p ξ (a)'ya eşit bir yoğunluğa sahiptir.
Not Türev kavramıyla daha önce karşılaşan okuyucular p ξ (a)'nın F ξ (x) fonksiyonunun a noktasında türevi olduğunu fark edebilirler. Her durumda, Mathprofi web sitesinde bu konuyla ilgili bir makalede türev kavramını inceleyebilirsiniz.
Şimdi dağılım fonksiyonunun anlamı şu şekilde tanımlanabilir: a noktasındaki türevi (yukarıda tanımladığımız yoğunluk p ξ), bir rastgele değişkenin a noktasında (a noktasının komşusu) merkezli küçük bir aralığa ne sıklıkla düşeceğini tanımlar. ) diğer noktaların mahalleleriyle karşılaştırıldığında . Başka bir deyişle, dağılım fonksiyonu ne kadar hızlı büyürse, rastgele bir deneyde böyle bir değerin ortaya çıkma olasılığı da o kadar artar.
Örneğe geri dönelim. Merkezden hedefteki rastgele isabet noktasına kadar olan mesafeyi ifade eden ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 rastgele değişkeni için dağılım fonksiyonunu hesaplayabiliriz. Tanım gereği, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 Bu rastgele değişkenin yoğunluğunu p ρ bulabiliriz. Aralığın dışında sıfır olduğunu hemen belirtelim, çünkü bu aralıktaki dağıtım fonksiyonu değişmez. Bu aralığın sonunda yoğunluk belirlenmez. Aralığın içinde, bir türev tablosu (örneğin, Mathprofi web sitesinden) ve temel türev alma kuralları kullanılarak bulunabilir. t2/R2'nin türevi 2t/R2'ye eşittir. Bu, reel sayıların tüm eksenindeki yoğunluğu bulduğumuz anlamına gelir. Yoğunluğun bir diğer yararlı özelliği, bir fonksiyonun bir aralıktan değer alma olasılığıdır ve bu aralıktaki yoğunluğun integrali kullanılarak hesaplanır (bunun ne olduğunu Mathprofi'deki uygun, uygunsuz ve belirsiz integrallerle ilgili makalelerde öğrenebilirsiniz). web sitesi). İlk okumada f(x) fonksiyonunun bir aralığı üzerindeki integrali kavisli bir yamuğun alanı olarak düşünülebilir. Kenarları, Öküz ekseninin bir parçası, bir boşluk (yatay koordinat ekseni), eğri üzerindeki (a,f(a)), (b,f(b)) noktalarını (a,0) noktalarına bağlayan dikey bölümlerdir, (b,0 ) Ox ekseninde. Son taraf, f fonksiyonunun (a,f(a)) ile (b,f(b)) arasındaki grafiğinin bir parçasıdır. (-∞; b] aralığı boyunca integralden bahsedebiliriz, yeterince büyük negatif değerler için, a, aralıktaki integralin değeri, a sayısındaki değişime kıyasla ihmal edilebilir derecede değişecektir. Aralıklar üzerindeki integral, benzer şekilde tanımlanır)