Ortogonal vektör sistemleri. Ortogonal vektör sistemi

Ortogonal fonksiyon sistemi

fonksiyonlar sistemi ((φ N(X)}, N= 1, 2,..., ρ ağırlığıyla dik ( X) segmentte [ A, B], yani öyle ki

Örnekler. Trigonometrik sistem 1, çünkü nx, günah nx; N= 1, 2,..., - O.s. F. [-π, π] segmentinde ağırlık 1 ile. Bessel fonksiyonları n = 1, 2,..., J ν ( X), her ν > - 1/2 O. s için oluşur. F. ağırlıkla X segmentte.

Eğer her fonksiyon φ ( X) O. s. F. bu mu x) sayıya göre

O. s'nin sistematik çalışması. F. Matematiksel fizik denklemlerinin sınır değeri problemlerini çözmek için Fourier yöntemiyle bağlantılı olarak başlatıldı. Bu yöntem, örneğin, Sturm-Liouville problemine [ρ( denklemi için) çözümler bulmaya yol açar (bkz. Sturm-Liouville problemi). X) sen" ]" + Q(X) sen = λ en sınır koşullarını sağlayan en(A) + selam"(A) = 0, sen(B) + Merhaba"(B) = 0, burada H Ve N- kalıcı. Bu kararlar sözdedir. problemin özfonksiyonları O.s'yi oluşturur. F. ağırlıkla ρ ( X) segmentte [ A, B].

Son derece önemli bir O. s sınıfı. F. - Ortogonal polinomlar - P. L. Chebyshev tarafından en küçük kareler yöntemiyle enterpolasyon ve moment problemi üzerine yaptığı çalışmalarda keşfedildi. 20. yüzyılda O. s. F. esas olarak integral teorisi ve Lebesgue ölçüsü temelinde gerçekleştirilir. Bu durum, bu çalışmaların bağımsız bir matematik dalı olarak ayrılmasına katkıda bulunmuştur. O. s teorisinin ana görevlerinden biri. f. - bir fonksiyonun ayrıştırılması problemi F(X) p ( şeklinde bir dizide X)) - O. s. F. Resmi olarak ifade edersek P( X)) - normalleştirilmiş O. s. f. ve terim terim entegrasyon olanağına izin verin, ardından bu seriyi φ ile çarpın N(X) ρ( X) ve entegrasyon A ile B, şunu elde ederiz:

Oranlar Sp, fonksiyonun sisteme göre Fourier katsayıları olarak adlandırılır (φ N(X))), aşağıdaki ekstremal özelliğe sahiptir: doğrusal form x):

Aynı durum için verilen hatalarla karşılaştırıldığında en küçük değere sahiptir N formun diğer doğrusal ifadeleri

Seri ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) ihtimalli Sp(*) formülü kullanılarak hesaplanan , fonksiyonun Fourier serisi olarak adlandırılır F(X) normalleştirilmiş O. s'ye göre. F. (φ N(X)). Uygulamalar için birincil öneme sahip soru, fonksiyonun benzersiz bir şekilde tanımlanıp tanımlanmadığıdır. F(X) Fourier katsayıları ile. O. s. Bunun gerçekleştiği f.'ye tam veya kapalı denir. Kapalı O. s için koşullar. F. birkaç eşdeğer formda verilebilir. 1) Herhangi bir sürekli fonksiyon F(X) φ fonksiyonlarının doğrusal kombinasyonları ile ortalama olarak herhangi bir doğruluk derecesi ile tahmin edilebilir. k(X), yani C n φ n (x) ortalama olarak fonksiyona yakınsar F(X)]. 2) Herhangi bir işlev için F(X), karesini ρ( ağırlığına göre entegre ediyoruz X), Lyapunov-Steklov kapalılık koşulu sağlanır:

3) [ aralığında integrallenebilir sıfırdan farklı bir fonksiyon yoktur. A, B] tüm fonksiyonlara dik kare φ N(X), N = 1, 2,....

İntegrallenebilir bir kareye sahip fonksiyonları bir Hilbert uzayının elemanları olarak düşünürsek (bkz. Hilbert uzayı), o zaman normalleştirilmiş O.S. F. bu uzayın koordinat birim vektör sistemleri ve normalleştirilmiş O.s'deki seri açılımı olacaktır. F. - vektörün birim vektörlerde genişletilmesi. Bu yaklaşımla normalleştirilmiş operasyonel sistemler teorisinin birçok kavramı ortaya çıkmıştır. F. net bir geometrik anlam kazanır. Örneğin formül (*), vektörün birim vektör üzerine izdüşümünün, vektör ile birim birimin skaler çarpımına eşit olduğu anlamına gelir; Lyapunov-Steklov eşitliği, sonsuz boyutlu bir uzay için Pisagor teoremi olarak yorumlanabilir: bir vektörün uzunluğunun karesi, koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerinin karelerinin toplamına eşittir; izolasyon O. s. F. bu sistemin tüm vektörlerini içeren en küçük kapalı alt uzayın tüm uzayla çakıştığı vb. anlamına gelir.

Yandı: Tolstov G.P., Fourier Serisi, 2. baskı, M., 1960; Natanson I.P., Yapısal fonksiyonlar teorisi, M. - L., 1949; onun tarafından, Gerçek değişkenli fonksiyonlar teorisi, 2. baskı, M., 1957; Jackson D., Fourier serileri ve ortogonal polinomlar, çev. İngilizce'den, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Dik seriler teorisi, çev. Alman, M., 1958'den.

Büyük Sovyet Ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde “Ortogonal fonksiyon sistemi” nin ne olduğuna bakın:

- (Yunanca ortogonios dikdörtgen) (ayrılabilir) Hilbert uzayı L2(a,b)'ye (ikinci dereceden integrallenebilir fonksiyonlar) ait olan ve F ction g(x) koşullarını sağlayan sonlu veya sayılabilir fonksiyonlar sistemi. O. s ağırlığında f.,* anlamı... ... Fiziksel ansiklopedi

Fonksiyon sistemi??n(x)?, n=1, 2,..., segmentinde belirtilen ORTOGONAL DÖNÜŞÜM Öklid vektör uzayının doğrusal dönüşümü, değişmeyen uzunluklar veya (buna eşdeğer olan) vektörlerin skaler çarpımları korunarak. .. Büyük Ansiklopedik Sözlük

[a, b] aralığında belirtilen ve aşağıdaki diklik koşulunu karşılayan (φn(x)) n = 1, 2, ... fonksiyonlar sistemi: k≠l için, burada ρ(x) bir fonksiyondur ağırlık denir. Örneğin trigonometrik sistem 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Ansiklopedik Sözlük

[a, b] aralığında tanımlanan ve izi karşılayan ((фn(х))), n=1, 2, ... fonksiyonlar sistemi, k için diklik koşulu l'ye eşit değildir, burada p(x) ) ağırlık adı verilen belirli bir fonksiyondur. Örneğin trigonometrik sistem 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük

Bkz. Sanat. Ortogonal fonksiyon sistemi. Fiziksel ansiklopedi. 5 cilt halinde. M.: Sovyet Ansiklopedisi. Genel yayın yönetmeni A. M. Prokhorov. 1988... Fiziksel ansiklopedi

1) O. s. vektörler, (diklik) ve (normalleştirilebilirlik) için skaler çarpımı (. , .) ile Öklid (Hilbert) uzayının sıfır olmayan vektörlerinin kümesidir. M. I. Voitsekhovsky. 2) O.s. uzayın fonksiyonları ve fonksiyonlar sistemi... ... Matematik Ansiklopedisi

Belirli bir ortogonalleştirme işlemi uygulanarak veya fn( fonksiyonları genişletilerek ortogonal sistemin (jn(x)) [a, b]fonksiyonları aralığındaki bir kareyle integrallenebilir belirli bir fonksiyonlar sistemi (fn(x)) için yapı X). … … Matematik Ansiklopedisi

Tanım 1. ) eğer tüm elemanları ikili dik ise dik olarak adlandırılır:

Teorem 1. Sıfır olmayan vektörlerden oluşan ortogonal bir sistem doğrusal olarak bağımsızdır.

(Sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım: ve elbette, Eşitliği şu şekilde skaler olarak çarpalım: . Sistemin dikliğini dikkate alarak şunu elde ederiz: }

Tanım 2.Öklid uzayının vektör sistemi ( ) dik ise ve her elemanın normu bire eşitse ortonormal denir.

Teorem 1'den hemen anlaşılıyor ki, ortonormal bir eleman sistemi her zaman doğrusal olarak bağımsızdır. Buradan da şu sonuç çıkıyor: N– boyutlu bir Öklid uzayında ortonormal bir sistem N vektörler bir temel oluşturur (örneğin, ( ben, j, k ) saat 3'te X– boyutlu uzay). Böyle bir sisteme denir. ortonormal temel, ve vektörleri temel vektörler.

Bir vektörün ortonormal bazdaki koordinatları, skaler çarpım kullanılarak kolayca hesaplanabilir: Aslında eşitliği çarpmak Açık belirtilen formülü elde ederiz.

Genel olarak tüm temel nicelikler: vektörlerin skaler çarpımı, bir vektörün uzunluğu, vektörler arasındaki açının kosinüsü vb. ortonormal temelde en basit forma sahiptir. Skaler çarpımı ele alalım: , çünkü

Ve diğer tüm terimler sıfıra eşittir. Buradan hemen şunu anlıyoruz: ,

* Keyfi bir temel düşünün. Bu temelde skaler çarpım şuna eşit olacaktır:

(Burada αi Ve β j – tabandaki vektörlerin koordinatları ( F) ve temel vektörlerin skaler çarpımlarıdır).

Miktarlar γ ben bir matris oluşturmak G, isminde Gram matrisi. Matris formundaki skaler çarpım şöyle görünecektir: *

Teorem 2. herhangi bir şekilde N– boyutlu Öklid uzayında ortonormal bir temel vardır. Teoremin kanıtı doğası gereği yapıcıdır ve denir.

9. Gram-Schmidt dikleştirme süreci.

İzin vermek ( a 1 ,...,a n ) - keyfi temel N– boyutlu Öklid uzayı (böyle bir temelin varlığı, N– uzayın boyutu). Belirli bir temele dayalı bir ortonormal oluşturma algoritması aşağıdaki gibidir:

1.b 1 =a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b2^e 1, Çünkü (e 1, a 2)- projeksiyon bir 2 Açık e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b2|, |e 2|= 1.

3.b3^a 1, b 3^a 2 , b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2 , e 3 = b 3/|b3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. bk^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S ben=1 bin(e ben, a k)e ben , ek k = b k/|bk|, |e k|= 1.

İşlemi sürdürerek ortonormal bir temel elde ederiz ( e 1 ,...,e n }.

Not 1. Ele alınan algoritmayı kullanarak herhangi bir doğrusal kabuk için ortonormal bir temel oluşturmak mümkündür; örneğin, derecesi üç olan ve beş boyutlu vektörlerden oluşan bir sistemin doğrusal kabuğu için ortonormal bir temel.

Örnek.X =(3,4,0,1,2), sen =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Not 2.Özel durumlar

Gram-Schmidt süreci aynı zamanda doğrusal olarak bağımsız vektörlerin sonsuz dizisine de uygulanabilir.

Ek olarak Gram-Schmidt süreci doğrusal bağımlı vektörlere uygulanabilir. Bu durumda sorun olur 0 (sıfır vektör) adımda J , Eğer bir j vektörlerin doğrusal bir birleşimidir a 1 ,...,a j -1 . Eğer bu gerçekleşebilirse, çıktı vektörlerinin ortogonalliğini korumak ve ortonormalleştirme sırasında sıfıra bölünmeyi önlemek için algoritmanın boş vektörleri kontrol etmesi ve bunları atması gerekir. Algoritma tarafından üretilen vektörlerin sayısı, vektörler tarafından oluşturulan alt uzayın boyutuna (yani, orijinal vektörler arasında ayırt edilebilen doğrusal olarak bağımsız vektörlerin sayısına) eşit olacaktır.

10. Geometrik vektör uzayları R1, R2, R3.

Sadece uzayların doğrudan geometrik anlam taşıdığını vurgulayalım.

R1, R2, R3. n > 3 için Rn uzayı soyut, tamamen matematiksel bir nesnedir.

1) İki vektörden oluşan bir sistem verilsin A Ve B . Sistem doğrusal olarak bağımlıysa, vektörlerden biri diyelim A , bir başkası aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir:

A= k B.

Daha önce de belirtildiği gibi, böyle bir bağımlılıkla bağlanan iki vektöre eşdoğrusal denir. Yani, iki vektörden oluşan bir sistem ancak ve ancak doğrusal olarak bağımlıdır

bu vektörler eşdoğrusal olduğunda. Bu sonucun yalnızca R3 için değil aynı zamanda herhangi bir doğrusal uzay için de geçerli olduğuna dikkat edin.

2) R3'teki sistemin üç vektörden oluştuğunu varsayalım. a, b, c . Doğrusal bağımlılık, vektörlerden birinin, örneğin A , geri kalanı aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir:

A= k b+ ben C . (*)

Tanım. Üç vektör a, b, c R3'te aynı düzlemde veya aynı düzleme paralel uzananlara eş düzlemli denir

(soldaki şekilde vektörler gösterilmiştir a, b, c bir düzlemden ve sağda aynı vektörler farklı kökenlerden çizilmiştir ve yalnızca bir düzleme paraleldir).

Yani, eğer R3'teki üç vektör doğrusal olarak bağımlıysa, eş düzlemlidirler. Bunun tersi de doğrudur: eğer vektörler a, b, c R3'ten gelenler aynı düzlemdeyse doğrusal olarak bağımlıdırlar.

vektör çizimleri vektör A, vektöre B uzayda vektör denir C , aşağıdaki gereksinimleri karşılayan:

Tanım:

Eş düzlemli olmayan vektörlerin sıralı bir üçlüsünü düşünün a, b, c üç boyutlu uzayda. Bu vektörlerin kökenlerini noktada birleştirelim. A(yani uzayda keyfi olarak bir nokta seçiyoruz A ve her vektörü, orijini noktayla çakışacak şekilde paralel olarak hareket ettirin A). Vektörlerin uçları bir noktada başlangıçlarıyla birleştirilir A vektörler aynı düzlemde olmadığından aynı doğru üzerinde yer almazlar.

Eş düzlemli olmayan vektörlerin sıralı üçlüsü a, b, c üç boyutlu uzayda buna denir Sağ, eğer vektörün sonundan itibaren C bir vektörden en kısa dönüş A vektöre B gözlemci saat yönünün tersine görebilir. Tersine, eğer en kısa dönüş saat yönünde görülüyorsa üçlü denir. sol.

Diğer bir tanım ise bununla ilgilidir. sağ el adın geldiği kişi (resme bakın).

Tüm sağ-elli (ve sol-elli) vektör üçlülerine aynı yönlü denir.

Sıfıra eşit:

Dik bir sistem, eğer tamamlanırsa, uzay için bir temel olarak kullanılabilir. Bu durumda herhangi bir elementin ayrışması şu formüller kullanılarak hesaplanabilir: , burada .

Tüm elemanların normunun ortonormal sistem olarak adlandırıldığı duruma.

Dikleştirme

Sonlu boyutlu bir uzaydaki herhangi bir tam doğrusal bağımsız sistem bir temeldir. Bu nedenle basit bir temelden ortonormal bir temele gidilebilir.

Ortogonal ayrıştırma

Bir vektör uzayının vektörlerini ortonormal bir temele göre ayrıştırırken, skaler çarpımın hesaplanması basitleştirilir: , nerede ve .

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Ortogonal sistem” in ne olduğuna bakın: Matematik Ansiklopedisi

1) Ah... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Ortogonal koordinatlar, metrik tensörün çapraz bir forma sahip olduğu koordinatlardır. burada d Ortogonal koordinat sistemlerinde q = (q1, q², …, qd) koordinat yüzeyleri birbirine diktir. Özellikle Kartezyen koordinat sisteminde... ... Vikipedi

ortogonal çok kanallı sistem- - [L.G. Bilgi teknolojisi üzerine İngilizce-Rusça sözlük. M.: Devlet Teşebbüsü TsNIIS, 2003.] Genel olarak bilgi teknolojisi konuları EN ortogonal multipleks ...

(fotogrametrik) bir görüntünün koordinat sistemi- Sağ ortogonal uzaysal koordinat sistemi, referans işaretlerinin görüntüleri ile fotogrametrik bir görüntü üzerine sabitlenmiştir. [GOST R 51833 2001] Konular: fotogrametri... Teknik Çevirmen Kılavuzu

sistem- 4.48 sistemi: Bir veya daha fazla belirlenmiş hedefe ulaşmak için düzenlenen etkileşimli unsurların birleşimi. Not 1 Bir sistem, sağladığı bir ürün veya hizmetler olarak düşünülebilir. Not 2 Uygulamada... ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

fonksiyonlar sistemi ((φ N(X)}, N= 1, 2,..., ρ ağırlığıyla dik ( X) segmentte [ A, B], yani öyle ki

Eğer her fonksiyon φ ( X) O. s. F. bu mu x) sayıya göre

Oranlar Sp, fonksiyonun sisteme göre Fourier katsayıları olarak adlandırılır (φ N(X))), aşağıdaki ekstremal özelliğe sahiptir: doğrusal form x):

Aynı durum için verilen hatalarla karşılaştırıldığında en küçük değere sahiptir N formun diğer doğrusal ifadeleri

3) [ aralığında integrallenebilir sıfırdan farklı bir fonksiyon yoktur. A, B] tüm fonksiyonlara dik kare φ N(X), N = 1, 2,....

- n-boyutlu V vektör uzayının k alanı üzerindeki tüm doğrusal dönüşümlerinin grubu, sabit dejenere olmayan ikinci dereceden Q formunu (V)=Q herhangi biri için koruyarak)...
Matematik Ansiklopedisi
- birimi 1 olan bir değişmeli halka R üzerinde, aktarılan matrisin tersi ile çakıştığı bir matris. O.m'nin determinantı +1'e eşittir...
Matematik Ansiklopedisi
- Farklı ailelerin doğrularına belirli bir noktada teğetlerin dik olduğu bir ağ. Operasyonel sistemlere örnekler: minimal yüzeyde asimptotik ağ, çizgi eğriliği ağı. AV Ivanov...
Matematik Ansiklopedisi
- 1) Ah...
Matematik Ansiklopedisi
- ortogonal bir dizi, OA - elemanları 1, 2, ..... sayıları olan kx N boyutunda bir matris
Matematik Ansiklopedisi
- bkz. İzogonal yörünge...
Matematik Ansiklopedisi
- H'de belirli bir ailenin tüm fonksiyonlarına dik bir fonksiyon bulunmayan belirli bir Hilbert uzayı H'nin ortonormal fonksiyonları (j) sistemi ...
Matematik Ansiklopedisi
- bkz. Projeksiyon...
Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü
- çeşitli nesnelerin işlevlerinin ikincilleştirilmesinin belirlenmesi...
İş terimleri sözlüğü
- fonksiyonların güçlendirilmesi, Ch. Hayvanların evrimi sırasında organların aşamalı dönüşüm yolları. Eğer. genellikle organların ve bir bütün olarak vücudun yapısının komplikasyonu ile ilişkilidir...
Biyolojik ansiklopedik sözlük
- Hayvanların evrimi sırasında organların ilerici dönüşümünün ana yollarından biri olan fonksiyonların güçlendirilmesi. Eğer. organların yapısının bir komplikasyonu ile ilişkilidir ve hayati aktivite düzeyinde genel bir artışa yol açar...
- sipariş n Matris...
Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- projeksiyonların ekseni veya düzlemi projeksiyon yönüne dik olduğunda paralel projeksiyonun özel bir durumu...
Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- segment üzerinde ρ ağırlığına sahip dik (), n = 1, 2,..., fonksiyonlar sistemi, yani Örnekler. Trigonometrik sistem 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. F. segmentte ağırlık 1 ile...
Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- böyle bir aralıkta tanımlanan Ф = (φ) fonksiyonları sistemi, bunun için hiçbir f fonksiyonu yoktur,...
Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- ORTOGONAL FONKSİYONLAR sistemi - fonksiyonlar sistemi??n?, n=1, 2,.....
Büyük ansiklopedik sözlük

Kitaplarda "Ortogonal fonksiyon sistemi"

Paragraf XXIV Eski siper savaşı sistemi ve modern yürüyüş sistemi

Savaş Sanatında Strateji ve Taktikler kitabından yazar Zhomini Genrikh Veniaminoviç

Paragraf XXIV Eski Mevkii Harp Sistemi ve Modern Yürüyüş Sistemi Mevzi sistemi ile, orduların çadırlarda uyuduğu, ellerinde erzak bulunduğu ve birbirlerini gözetlediği metodik savaş yürütmenin eski yöntemi kastedilmektedir; tek ordu

19. “Rusya Federasyonu'nun vergi sistemi” kavramı. “Vergi sistemi” ve “vergi sistemi” kavramları arasındaki ilişki

Vergi Hukuku kitabından yazar Mikidze SG

19. “Rusya Federasyonu'nun vergi sistemi” kavramı. “Vergi sistemi” ve “vergi sistemi” kavramları arasındaki ilişki Vergi sistemi, Rusya Federasyonu'nda oluşturulan bir dizi federal vergi, bölgesel ve yerel vergidir. Yapısı Sanatta yer almaktadır. 13–15 Rusya Federasyonu Vergi Kanunu uyarınca.

Gerçekten Nasıl Oldu kitabından. Gerçek tarihin yeniden inşası yazar Nosovski Gleb Vladimiroviç

23. Batlamyus'un yermerkezli sistemi ve Tycho Brahe'nin (ve Kopernik'in) güneş merkezli sistemi Tycho Brahe'ye göre dünya sistemi Şekil 2'de gösterilmektedir. 90. Dünyanın merkezinde Güneş'in etrafında döndüğü Dünya vardır. Ancak diğer tüm gezegenler zaten Güneş'in etrafında dönüyor. Kesinlikle

23. Batlamyus'un yermerkezli sistemi ve Tycho Brahe'nin (ve Kopernik'in) güneş merkezli sistemi

Yazarın kitabından

Eksiksiz fonksiyon sistemi

Yazarın Büyük Sovyet Ansiklopedisi (PO) kitabından TSB

Ortogonal matris

TSB

Ortografik projeksiyon

Yazarın Büyük Sovyet Ansiklopedisi (OR) kitabından TSB

Ortogonal fonksiyon sistemi

Yazarın Büyük Sovyet Ansiklopedisi (OR) kitabından TSB

İpucu 46: İşlev nesnelerini işlevler yerine algoritmalara aktarın

STL'yi Etkin Kullanmak kitabından kaydeden Meyers Scott

İpucu 46: Fonksiyon Nesnelerini Fonksiyonlar Yerine Algoritmalara Aktarın Üst düzey dillerin soyutlama düzeyini arttırmanın, üretilen kodun daha az verimli olmasına neden olduğu sıklıkla söylenir. STL'nin mucidi Alexander Stepanov bir zamanlar küçük bir kompleks geliştirdi

12.3.5. İşlev Nesneleri için İşlev Adaptörleri

Yeni başlayanlar için C++ kitabından kaydeden Lippman Stanley

12.3.5. İşlev Nesneleri için İşlev Bağdaştırıcıları Standart kitaplık ayrıca hem tekli hem de ikili işlev nesnelerini özelleştirmek ve genişletmek için bir dizi işlev bağdaştırıcısı içerir. Adaptörler aşağıdaki ikiye ayrılan özel sınıflardır

11/19/2. Bir işlev dosyasından işlevleri çağırma

Linux ve UNIX kitabından: kabuk programlama. Geliştirici Kılavuzu. kaydeden Tainsley David

11/19/2. Fonksiyon Dosyasından Fonksiyonların Çağrılması Fonksiyonların komut satırından nasıl çağrıldığına daha önce bakmıştık. Bu tür işlevler genellikle sistem mesajları oluşturan yardımcı programlar tarafından kullanılır. Şimdi yukarıda açıklanan işlevi tekrar kullanalım, ancak bu durumda.

Nesnel (pozitif) hukuk sistemi ve mevzuat sistemi: kavramların ilişkisi

Hukuk kitabından yazar Mardaliev R. T.

Objektif (pozitif) hukuk sistemi ve mevzuat sistemi: kavramlar arasındaki ilişki Objektif (pozitif) hukuk sistemi, hukukun konu ve yönteme göre dallara, alt sektörlere ve kurumlara ayrılan iç yapısıdır. yasal

31. Fransız hükümet sistemi, oy hakkı ve seçim sistemi

Yabancı Ülkelerin Anayasa Hukuku kitabından yazar İmasheva EG

31. Fransız hükümet sistemi, oy hakkı ve seçim sistemi Fransa'da karma (veya yarı başkanlık) cumhuriyetçi bir hükümet bulunmaktadır. Fransa'daki hükümet sistemi kuvvetler ayrılığı ilkesi üzerine inşa edilmiştir.

Motor fonksiyonların restorasyonu ve sırt ağrısı için terapötik hareketler Motor fonksiyonların restorasyonu

Çeşitli hastalıklar için terapötik hareketler ansiklopedisi kitabından yazar Astaşenko Oleg İgoreviç

Motor fonksiyonların onarılması ve sırt ağrısı için terapötik hareketler Motor fonksiyonların onarılması Omurgayı onarmak için birçok egzersiz vardır. Bunları kendiniz bulabilir veya çeşitli jimnastik türlerinde bulabilirsiniz. Ancak basit

Motor fonksiyonları ve sırt ağrısı motor fonksiyonlarını düzeltmek için terapötik hareketler

Omurganın revizyonu kitabından yazar Astaşenko Oleg İgoreviç

Sırt ağrısı için motor fonksiyonları ve motor fonksiyonları onarmaya yönelik terapötik hareketler Motor fonksiyonların onarılması Omurgayı onarmaya yönelik pek çok egzersiz vardır. Bunları kendiniz bulabilir veya çeşitli jimnastik türlerinde bulabilirsiniz.

x =λ 0 e +z, buradaz L. λ 0'ı hesaplamak için eşitliğin her iki tarafını da e ile skaler olarak çarparız. (z,e) = 0 olduğundan (x,e) =λ 0 (e,e) =λ 0 elde ederiz.

Ortogonal ve ortonormal sistemler

Tanım 5.5. Eğer L, bir Hilbert uzayı H'nin bir alt uzayı ise, o zaman H'den L'ye dik olan tüm elemanların koleksiyonuna M denir.

L'nin ortogonal tamamlayıcısı.

M'nin de bir alt uzay olduğunu kanıtlayalım.

1) Dik elemanlar için özellik 3)'ten M'nin H uzayının doğrusal bir alt kümesi olduğu sonucu çıkar.

2) z n M ve z n → z olsun. Tanım gereği, herhangi bir y L için M z n y ve dik elemanlar için 4) özelliği gereği z y'ye sahibiz. Bu nedenle z M ve M kapalıdır.

Herhangi bir x H için Teorem 5.3'e göre benzersiz bir genişleme vardır

x =y +z formundadır, burada y L,z M, yani L ve M alt uzayları formu

H uzayının ortogonal ayrışımı.

Lemma 5.1. L n çiftli dik alt uzaylarının sonlu veya sayılabilir bir kümesi verilsin ve x H elemanı şu şekilde temsil edilsin:

x = ∑ y n , burada y L . O halde böyle bir gösterim benzersizdir ve y n = Pr L n x'tir.

Tanım 5.6. Ln dik altuzaylarından oluşan bir sisteme, eğer H uzayında tüm Ln'lere dik sıfırdan farklı bir eleman yoksa tam sistem denir.

Tanım 5.7. Bir Hilbert uzayının H n elemanlarından oluşan sonlu veya sayılabilir bir sistem, n ≠m için h n h m ise dik olarak adlandırılır. Tanım 5.8. Dik sistem h n denir ortonormal, eğer ||h n || = 1.

Tanım 5.9. Tüm n'ler için x h n olacak şekilde sıfırdan farklı bir x H elemanı yoksa, dik bir h n sistemine tam sistem denir.

Bunu kontrol edebilirsin ortogonal sistemin sıfır olmayan elemanları doğrusal olarak bağımsızdır.

l2'deki tam ortonormal sistemin bir örneği, tüm koordinat birim vektörlerinin sistemidir.


h n elemanları tarafından oluşturulmuştur	tek boyutlu		alt uzaylar L n
ortogonal. Eleman projeksiyonları				alt uzaylar
formülle hesaplanır		x = anhn.
	PrL n
α n = (x ,h n ) sayılarına denir	katsayılar			Fourier elemanıx
h n elementleri sistemine göre.

Teorem 5.4. Eğer x H elemanı şu şekilde temsil edilebilirse

x = ∑ λ n h n , bu durumda bu gösterim benzersizdir ve λ n katsayıları eşittir

Bu bir performans x'e, x elemanının hn elemanlarına Fourier açılımı (dik açılım) denir.

Teorem 5.5. Herhangi bir xH elemanının, bir ortonormal sistemin hn elemanları üzerindeki Fourier açılımı ile temsil edilebilmesi için, bu sistemin tam olması gerekli ve yeterlidir.

Bu teoremden, n boyutlu bir Hilbert uzayında tam bir ortonormal sistemin n elemandan oluşması gerektiği sonucu çıkar. Öte yandan, eğer n boyutlu bir Hilbert uzayında ikili ortogonal elemanlardan oluşan keyfi bir temel verilirse, Teorem 5.5'ten bu sistemin tam olduğu sonucu çıkar.

Tanım 5.10. Tam ortogonal elemanlar sistemine ne ad verilir?

ortonormal temel Hilbert uzayı.

Tanım 5.11. Oran

	∑ α n 2=
	∑ α n 2=

nerede α n	– Denklem adı verilen x elemanının Fourier katsayıları
izolasyon.

Teorem 5.6.

Rastgele bir ortonormal sistem (hn) için, xH elemanlarına ilişkin aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

1) xH elemanı için Fourier açılımı (5.7) geçerlidir;

2) xH elemanı, (hn) elemanlarının oluşturduğu alt uzaya dahildir;

3) xH elemanı için kapalılık denklemi (5.8) sağlanır. Teorem 5.5 ve 5.6'dan, bir ortonormal sistemin tamamlanması için gerekli ve yeterli olduğu sonucu çıkar:

herhangi bir x H için kapalılık denklemi sağlandı.

Teorem 5.7. Eğer xH elemanı, ortonormal sistemin (hn) elemanları üzerindeki Fourier açılımı (5.7) ile temsil edilebiliyorsa, o zaman herhangi bir y H için

(x ,y )= ∑ α n β n ,

burada αn,x elementinin Fourier katsayılarıdır; βn, sisteme (hn) göre elementynin Fourier katsayılarıdır.

Teorem 5.8. Sonlu boyutlu normlu bir uzay ayrılabilir. Teorem 5.9. Sayılabilir bir temeli olan herhangi bir uzay ayrılabilir.

Teorem 5.8 ve 5.9'dan sonlu veya sayılabilir ortonormal bir tabanın yalnızca ayrılabilir uzaylarda var olabileceği sonucu çıkar.

Doğrusal olarak bağımsız elemanlardan oluşan bir sistemin dikleştirilmesi

Hilbert uzayında H, ... doğrusal bağımsız elemanlardan oluşan sonlu veya sayılabilir bir sistem g 1 , g 2 , ... verilsin. Her biri h 1 , h 2 , ... elemanlarından oluşan ortonormal bir sistem inşa edelim. h n formu var

h n =μ n 1 g 1 +μ n 2 g 2 +...+μ nn g n ,
ve her g n şu forma sahiptir:
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n .

Öncelikle f 1 , f 2 , ... elemanlarından oluşan ortogonal bir sistem oluşturalım, bunun sıralı olduğunu varsayalım.

k = 1

λ ik katsayıları, f 1 , f 2 , ... elemanları ikili olarak dik olacak şekilde seçilmelidir. f 1 , f 2 , ..., f n- 1 elemanları için λ ik katsayıları zaten bulunmuş olsun. Sonra ben

n− 1		n− 1
(f n ,f ben ) = (g n –∑ λ nk f k ,f ben ) = (g n ,f ben ) –∑ λ nk (f k ,f ben ).
k = 1		k = 1
f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 zaten olduğundan	dik ise, bu durumda (f k ,f i ) = 0 için		k ≠ ben,
aldık	F ben ) = (g n ,f ben ) –λ ni \|\|f ben \|\|2 .
(fn	F ben ) = (g n ,f ben ) –λ ni \|\|f ben \|\|2 .
Her elementten beri		doğrusal olarak doğrusal bir kombinasyondur
bağımsız elemanlar g 1,	g 2 , ...,g n ve katsayı		g n'de

birlik ise f n ≠ 0. (f n ,f ben ) = 0 koşulunun karşılanması için λ ni katsayısının aşağıdaki formülle belirlenmesi gerekir:

λni=	g n,	f ben)

f 1 ,f 2 , ... dik bir sistem kurduk. Şimdi koyalım

hn=

h 1 ,h 2 , ... elemanları ikili diktir, ||h n || = 1 ve her h n elemanı g 1 ,g 2 , ...,gn elemanlarının doğrusal bir birleşimidir, bu nedenle gerekli forma (5.9) sahiptir. Öte yandan, formül (5.11)'den her g n'nin f 1, f 2, ..., f n elemanlarının ve dolayısıyla h 1, h 2, ..., h n elemanlarının doğrusal bir birleşimi olduğu açıktır. yani (5.10) formuna sahiptir. Böylece gerekli ortonormal sistemi elde ettik.

Üstelik, eğer orijinal sistem (gn) sonsuzsa, dikleştirme işlemi sonsuz sayıda adımdan oluşur ve sistem (hn) de sonsuz olacaktır. Orijinal sistem m elemandan oluşuyorsa, ortaya çıkan sistem aynı sayıya sahip olacaktır.

(5.9) ve (5.10) koşullarından, (gn) ve (hn) element sistemlerinin doğrusal kabuklarının çakıştığının ortaya çıktığına dikkat edin.

Eğer L, H uzayının sonlu boyutlu bir alt uzayı ise ve g 1 ,g 2 , ...,g n onun keyfi tabanı ise, o zaman dikleştirme işlemini (g n ) sistemine uygulayarak, aşağıdakinin ortonormal tabanını oluşturacağız: alt uzay

Keyfi olarak ayrılabilir bir Hilbert uzayının l² uzayına izomorfizmi

Teorem 5.10. Sıfır olmayan elemanlar içeren ayrılabilir bir Hilbert uzayında H, sonlu veya sayılabilir bir ortonormal taban vardır.

Kanıt.

Ayrılabilirliğin tanımı gereği, H'de her yerde sayılabilir bir yoğun A kümesi vardır. A kümesinin tüm elemanlarını yeniden numaralandıralım. A'dan, doğrusal açıklığı A kümesinin doğrusal açıklığıyla çakışan, doğrusal olarak bağımsız elemanlardan oluşan sonlu veya sayılabilir bir B sistemi seçelim. Bu durumda A'dan atılan tüm elemanlar B sisteminin elemanlarının doğrusal birleşimidir. B sistemini dikleştirme işlemine tabi tutacağız ve h n elemanlarından oluşan sonlu veya sayılabilir bir birimlik sistem oluşturacağız. Hadi kanıtlayalım

dolu olduğunu.

x H'nin tüm h n'lere dik olmasına izin verin. B sisteminin elemanları h n elemanlarının doğrusal birleşimi olduğundan, tox tüm elemanlara diktir

sistemler B. A kümesi, B sisteminin elemanlarının doğrusal kombinasyonları olarak temsil edilen daha fazla eleman içermesi bakımından B'den farklıdır. Bu nedenle x, A kümesinin tüm elemanlarına diktir. Ancak A, H'nin her yerinde yoğun olduğundan, dik elemanlar için 5) özelliğine göre x = 0 olur. Böylece h n elementleri sisteminin bütünlüğü kanıtlanmıştır.

Öklid uzayları için cebirsel izomorfizm ve izometri tanımlarını herhangi bir normlu uzaya aktaralım.

Tanım 5.12. İki normlu uzay E ve E 1 olarak adlandırılır

cebirsel olarak izomorfik ve izometrik , eğer unsurları arasında bire bir yazışma kurulabiliyorsa, böylece:

a) E'deki elemanlar üzerindeki cebirsel işlemler, onların E1'deki görüntüleri üzerindeki aynı işlemlere karşılık gelir;

b) E ve E 1'den karşılık gelen elemanların normları eşittir.

Teorem 5.11. Her sonsuz boyutlu ayrılabilir Hilbert uzayı H, l 2 uzayına cebirsel olarak izomorfik ve izometriktir.

Kanıt.

Teorem 5.10'a göre, H'de sayılabilir bir ortonormal taban vardır: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... Teorem 5.5'e göre, herhangi bir x H için genişleme

x = ∑ α n hn .

karşılaştırılabilir

n= 1

katsayılarının sırası

(αn), yani

n= 1

a ve vektörüne elemanların görüntüsü adı verilecektir.

α n elemanların Fourier katsayıları ise ve β n katsayıları ise

x ve y elemanlarının görüntülerinin toplamı. Benzer şekilde, eğer a elemanların görüntüsü ise λa'nın λx elemanının görüntüsü olduğu doğrulanır. Bu, H'deki elemanlar üzerindeki cebirsel işlemlerin, onların l 2'deki görüntüleri üzerindeki aynı işlemlere karşılık geldiği anlamına gelir.

Her a = (α n )l 2 vektörünün bazı vektörlerin görüntüsü olduğunu gösterelim.

xH. Bunu yapmak için verilen değere göre ∑ α n h n serisini oluştururuz. Dizinin üyelerinden beri

ikili diktir ve		n= 1
ikili diktir ve

∑ \|\|α n h n \|\|2 =	∑ α n 2< +∞,
n= 1	n= 1

bu durumda Teorem 5.2'ye göre seri yakınsar. Toplamını x ile gösterirsek, Teorem 5.4a'ya göre n bunun Fourier katsayıları olacaktır, dolayısıyla,

verilen vektör a onun görüntüsü olacaktır.

Şimdi H'den gelen elemanlar ile l2'den gelen vektörler arasında kurulan yazışmanın bire bir olup olmadığını kontrol edelim. Aslında, eğer a ve b vektörleri sırasıyla y'deki elemanların görüntüleri ise, o zaman kanıtlanmış olana göre, a – b, – y elemanlarının bir görüntüsüdür ve (5.12)'ye göre a − b = x − y. Bu nedenle, eğer x ≠ y ise ia ≠ b olur.

Başka bir deyişle, ortonormal sistem tamamlanmışsa ve iki x ve y elemanı sırasıyla aynı Fourier katsayılarına sahipse, o zaman x = y olur. Bu eksik bir sistem için geçerli değildir.

Böylece, H'den gelen elementler ile l2'den gelen vektörler arasında, cebirsel bir izomorfizmi temsil eden ve (5.12)'ye göre izometrik olan bir yazışma kurduk. Teorem kanıtlandı.

Şimdi H ve l 2 arasındaki izomorfizmin de şu şekilde kurulduğunu kanıtlıyoruz:

skaler çarpımın değeri korunur.

Teorem 5.12. Teorem 5.11'de kurulan H ve l 2 uzayları arasındaki izomorfizm ile H'nin herhangi iki elemanının skaler çarpımı. görüntülerinin l 2 cinsinden skaler çarpımına eşittir.

Kanıt . a ve b vektörleri uy elemanlarının görüntüleri olsun,


buna göre a= (α n),b= (β n). O halde: x = ∑ α n h n ,y =∑ β n h n .
n= 1	n= 1

Teorem 5.7'yi ve l 2'deki skaler çarpımın tanımını dikkate alarak şunu buluruz: