Klasik olasılık ve özellikleri
Olasılık, olasılık teorisinin temel kavramlarından biridir. Bu kavramın çeşitli tanımları bulunmaktadır. Klasik denilen bir tanım verelim.
Olasılık olay, belirli bir olay için olumlu olan temel sonuçların sayısının, bu olayın ortaya çıkabileceği deneyimin eşit derecede olası tüm sonuçlarının sayısına oranıdır.
A olayının olasılığı şu şekilde gösterilir: P(A)(Burada R– Fransızca bir kelimenin ilk harfi olasılık- olasılık).
Tanıma göre
olayın meydana gelmesine elverişli temel test sonuçlarının sayısı nerede;
Olası temel test sonuçlarının toplam sayısı.
Olasılığın bu tanımına denir klasik. Olasılık teorisinin gelişiminin ilk aşamasında ortaya çıktı.
Bu sayıya genellikle bir olayın göreceli görülme sıklığı denir. A deneyimde.
Bir olayın olasılığı ne kadar yüksekse, o kadar sık meydana gelir; bunun tersi de, bir olayın olasılığı ne kadar azsa, o kadar az sıklıkta meydana gelir. Bir olayın olasılığı bire yakın veya ona eşit olduğunda, hemen hemen tüm denemelerde bu olay meydana gelir. Böyle bir olayın olduğu söyleniyor neredeyse kesin yani bunun meydana geleceğine kesinlikle güvenilebilir.
Tam tersine olasılık sıfır veya çok küçük olduğunda olay son derece nadir gerçekleşir; böyle bir olayın olduğu söyleniyor neredeyse imkansız.
Bazen olasılık yüzde olarak ifade edilir: P(A)100% bir olayın meydana gelme sayısının ortalama yüzdesidir A.
Örnek 2.13. Abone, telefon numarasını çevirirken bir rakamı unutup rastgele çevirdi. Doğru numaranın çevrilme olasılığını bulun.
Çözüm.
ile belirtelim A olay - “gerekli numara çevrildi.”
Abone 10 rakamdan herhangi birini çevirebilir, dolayısıyla olası temel sonuçların toplam sayısı 10'dur. Bu sonuçlar uyumsuzdur, eşit derecede mümkündür ve tam bir grup oluşturur. Etkinliği tercih ediyor A yalnızca bir sonuç (gerekli yalnızca bir sayı vardır).
Gerekli olasılık, olaya uygun sonuçların sayısının tüm temel sonuçların sayısına oranına eşittir:
Klasik olasılık formülü olasılıkları hesaplamak için çok basit, deney gerektirmeyen bir yol sağlar. Ancak bu formülün basitliği oldukça yanıltıcıdır. Gerçek şu ki, onu kullanırken genellikle iki çok zor soru ortaya çıkıyor:
1. Deneysel sonuçların eşit derecede mümkün olmasını sağlayacak bir sistem nasıl seçilir ve bunu yapmak mümkün müdür?
2. Sayılar nasıl bulunur? M Ve N?
Bir deneyde birden fazla nesne yer alıyorsa eşit derecede olası sonuçları görmek her zaman kolay değildir.
Büyük Fransız filozof ve matematikçi D'Alembert, olasılık teorisi tarihine ünlü hatasıyla girdi; bu hatanın özü, yalnızca iki madeni parayla yapılan bir deneyde sonuçların eş-olasılığını yanlış belirlemesiydi!
Örnek 2.14. ( d'Alembert'in hatası). Birbirinin aynısı iki madeni para atılıyor. Aynı tarafa düşme olasılıkları nedir?
D'Alembert'in çözümü.
Deneyin eşit derecede olası üç sonucu vardır:
1. Her iki madeni para da tura gelecek;
2. Her iki madeni para da tura gelecek;
3. Paralardan biri tura, diğeri yazı üzerine düşecektir.
Doğru karar.
Deneyin eşit derecede olası dört sonucu vardır:
1. İlk para tura düşecek, ikincisi de tura düşecek;
2. İlk para yazıya gelecek, ikincisi de yazıya gelecek;
3. İlk para tura, ikincisi yazı üzerine düşecektir;
4. İlk para yazıya, ikincisi yazıya gelecek.
Bunlardan iki sonuç olayımız için uygun olacaktır, yani gerekli olasılık eşittir.
D'Alembert olasılığı hesaplarken yapılan en yaygın hatalardan birini yaptı: iki temel sonucu tek bir sonuçta birleştirdi, böylece deneyin geri kalan sonuçlarının olasılık açısından eşitsiz olmasını sağladı.
BELEDİYE EĞİTİM KURUMU
6 Nolu SPOR SALONU
“Olasılığın klasik tanımı” konulu.
8. sınıf "B" öğrencisi tarafından tamamlandı
Klimantova Alexandra.
Matematik öğretmeni: Videnkina V. A.
Voronej, 2008
Birçok oyunda zar kullanılır. Küpün 6 tarafı vardır ve her iki tarafta da 1'den 6'ya kadar farklı sayıda nokta işaretlenmiştir. Oyuncu zarları atar ve düşen tarafta (üst tarafta) kaç nokta olduğuna bakar. . Çoğu zaman küpün yüzeyindeki noktalar karşılık gelen sayıyla değiştirilir ve ardından 1, 2 veya 6 atılmasından bahsedilir. Bir küpü fırlatmak bir deney, bir deney, bir test olarak düşünülebilir ve elde edilen sonuç şu şekildedir: Bir testin veya temel bir olayın sonucu. İnsanlar şu ya da bu olayın meydana geldiğini tahmin etmek ve sonucunu tahmin etmekle ilgileniyorlar. Zar attıklarında ne gibi tahminlerde bulunabilirler? Örneğin, bunlar:
1) A olayı - 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 sayısının atılması;
2) olay B - 7, 8 veya 9 sayısı belirir;
3) olay C - 1 sayısı belirir.
İlk durumda tahmin edilen A olayı kesinlikle gerçekleşecektir. Genel olarak, belirli bir deneyimde gerçekleşmesi kesin olan bir olaya denir. güvenilir olay .
İkinci durumda tahmin edilen B olayı asla gerçekleşmeyecek, kesinlikle imkansızdır. Genel olarak belirli bir deneyimde gerçekleşemeyen bir olaya denir. imkansız olay .
Peki üçüncü durumda öngörülen C olayı gerçekleşecek mi, olmayacak mı? 1 düşebileceği veya düşmeyebileceği için bu soruya tam bir kesinlik ile cevap veremiyoruz. Belirli bir deneyimde meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaya ne ad verilir? rastgele olay .
Güvenilir bir olayın meydana geldiğini düşünürken büyük ihtimalle “muhtemelen” kelimesini kullanmayacağız. Örneğin bugün Çarşamba ise yarın Perşembe ise bu güvenilir bir olaydır. Çarşamba günü “Muhtemelen yarın Perşembe” demeyeceğiz, kısa ve net bir şekilde “Yarın Perşembe” diyeceğiz. Doğru, eğer güzel sözlere yatkınsak şunu söyleyebiliriz: “Yüzde yüz olasılıkla yarının perşembe olduğunu söylüyorum.” Tam tersine, eğer bugün Çarşamba ise yarın Cuma'nın başlaması imkansız bir olaydır. Çarşamba günü yaşanan bu olayı değerlendirdiğimizde şunu söyleyebiliriz: “Yarının Cuma olmadığına eminim.” Veya şu: "Yarının Cuma olması inanılmaz." Peki güzel sözlere yatkınsak şunu söyleyebiliriz: “Yarının Cuma olma ihtimali sıfırdır.” Yani güvenilir bir olay, belirli koşullar altında meydana gelen bir olaydır. yüzde yüz olasılıkla(yani 10 vakanın 10'unda, 100 vakanın 100'ünde vb. meydana gelir). İmkansız olay, belirli koşullar altında asla meydana gelmeyen bir olaydır. sıfır olasılıkla .
Ancak ne yazık ki (ve belki de neyse ki), hayatta her şey o kadar açık ve kesin değil: her zaman olacak (belirli bir olay), hiçbir zaman olmayacak (imkansız bir olay). Çoğu zaman, bazıları daha olası, bazıları daha az olası olan rastgele olaylarla karşı karşıya kalırız. Genellikle insanlar "daha muhtemel" veya "daha az muhtemel" kelimelerini, kendi dedikleri gibi, sağduyu denilen şeye dayanarak bir hevesle kullanırlar. Ancak çoğu zaman bu tür tahminler yetersiz kalıyor çünkü bilmek önemli. ne kadar süreliğine yüzde muhtemelen rastgele bir olay veya kaç kez rastgele bir olayın olasılığı diğerinden daha yüksektir. Başka bir deyişle, doğru bir şekilde ihtiyacımız var nicel olasılıkları bir sayıyla karakterize edebilmeniz gerekir.
Bu yönde ilk adımları zaten atmış durumdayız. Güvenilir bir olayın meydana gelme olasılığının şu şekilde tanımlandığını söylemiştik: yüzde yüz ve imkansız bir olayın meydana gelme olasılığı şu şekildedir: sıfır. % 100'ün 1'e eşit olduğu göz önüne alındığında, insanlar aşağıdakiler üzerinde anlaştılar:
1) güvenilir bir olayın olasılığı eşit kabul edilir 1;
2) imkansız bir olayın olasılığı eşit kabul edilir 0.
Rastgele bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır? Sonuçta oldu kazara yani yasalara, algoritmalara veya formüllere uymaz. Rastgelelik dünyasında olasılıkların hesaplanmasına izin veren belirli yasaların geçerli olduğu ortaya çıktı. Bu, matematiğin dalı olarak adlandırılan - olasılık teorisi .
Matematik ilgilenir modeli etrafımızdaki gerçekliğin bir fenomeni. Olasılık teorisinde kullanılan tüm modeller arasında kendimizi en basitiyle sınırlayacağız.
Klasik olasılık şeması
Bir deney yaparken A olayının olasılığını bulmak için şunları yapmalısınız:
1) bu deneyin tüm olası sonuçlarının N sayısını bulun;
2) tüm bu sonuçların eşit derecede olası olduğu varsayımını kabul edin;
3) A olayının gerçekleştiği deneysel sonuçların N(A) sayısını bulun;
4) bölümü bul ; A olayının olasılığına eşit olacaktır.
A olayının olasılığını P(A) olarak belirtmek gelenekseldir. Bu adlandırmanın açıklaması çok basittir: Fransızca'daki "olasılık" kelimesi olasılık, İngilizce- olasılık.Adlandırmada kelimenin ilk harfi kullanılır.
Bu gösterimi kullanarak, klasik şemaya göre A olayının olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
P(A)=.
Çoğunlukla yukarıdaki klasik olasılık şemasının tüm noktaları oldukça uzun bir cümleyle ifade edilir.
Olasılığın klasik tanımı
Belirli bir test sırasında A olayının olasılığı, A olayının meydana geldiği sonuçların sayısının, bu testin eşit derecede olası tüm sonuçlarının toplam sayısına oranıdır.
Örnek 1. Bir zar atıldığında sonucun şu şekilde olma olasılığını bulun: a) 4; b) 5; c) çift sayıda nokta; d) 4'ten büyük nokta sayısı; e) Üçe bölünmeyen puan sayısı.
Çözüm. Toplamda N=6 olası sonuç vardır: noktaları 1, 2, 3, 4, 5 veya 6'ya eşit olan bir küp yüzünden düşmek. Hiçbirinin diğerlerine göre herhangi bir avantajı olmadığına inanıyoruz, yani biz bu sonuçların eşit olasılıklı olduğu varsayımını kabul edin.
a) Sonuçlardan tam olarak birinde bizi ilgilendiren A olayı gerçekleşecek, 4 sayısı ortaya çıkacak. Bu da N(A)=1 ve anlamına gelir.
P ( A )= =.
b) Çözüm ve cevap bir önceki paragraftakiyle aynıdır.
c) İlgilendiğimiz B olayı, puan sayısının 2, 4 veya 6 olduğu tam üç durumda gerçekleşecektir. Bu şu anlama gelir:
N ( B )=3 ve P ( B )==.
d) İlgilendiğimiz C olayı, puan sayısının 5 veya 6 olduğu tam olarak iki durumda gerçekleşecektir. Bu şu anlama gelir:
N ( C ) =2 ve Р(С)=.
e) Çekilen olası altı sayıdan dördü (1, 2, 4 ve 5) üçün katı değildir ve geri kalan ikisi (3 ve 6) üçe bölünebilir. Bu, bizi ilgilendiren olayın, deneyin altı olası ve eşit olasılıklı ve eşit olasılıklı sonucundan tam olarak dördünde meydana geldiği anlamına gelir. Bu nedenle cevap şu şekilde çıkıyor:
.; B) ; V) ; G) ; D).
Gerçek bir zar, ideal (model) bir küpten çok farklı olabilir, bu nedenle davranışını tanımlamak için, bir yüzün diğerine göre avantajlarını, mıknatısların olası varlığını vb. dikkate alarak daha doğru ve ayrıntılı bir model gereklidir. Ancak "Şeytan ayrıntıda gizlidir" ve daha fazla doğruluk, daha fazla karmaşıklığa yol açma eğilimindedir ve bir yanıt almak sorun haline gelir. Kendimizi tüm olası sonuçların eşit derecede olası olduğu en basit olasılıksal modeli düşünmekle sınırlıyoruz. Not 1
. Başka bir örneğe bakalım. Şu soru soruldu: "Bir zar atışında üç gelme olasılığı nedir?" Öğrenci cevap verdi: “Olasılık 0,5.” Ve cevabını şöyle açıkladı: “Üçü ya çıkacak, ya çıkmayacak. Bu, toplamda iki sonucun olduğu ve bunlardan tam olarak birinde bizi ilgilendiren olayın meydana geldiği anlamına gelir. Klasik olasılık şemasını kullanarak 0,5 cevabını alıyoruz.” Bu mantıkta bir hata var mı? İlk bakışta hayır. Ancak hâlâ var ve temel bir biçimde. Evet, gerçekten de, kuranın sonucunun N=2 belirlenmesiyle ya bir üçlü gelecektir ya da gelmeyecektir. Ayrıca N(A) = 1 olduğu da doğrudur ve elbette ki doğrudur=0,5, yani olasılık şemasının üç noktası dikkate alınır, ancak 2) numaralı maddenin uygulanması şüphelidir. Elbette tamamen yasal bir bakış açısıyla, üç atmanın düşmeme olasılığının eşit olduğuna inanma hakkımız var. Peki kenarların “aynılığı” konusundaki doğal varsayımlarımızı ihlal etmeden böyle düşünebilir miyiz? Tabii ki değil! Burada belli bir model dahilinde doğru akıl yürütmeyle uğraşıyoruz. Yalnızca bu modelin kendisi "yanlıştır" ve gerçek olguya karşılık gelmemektedir. Not 2
. Olasılığı tartışırken aşağıdaki önemli durumu gözden kaçırmayın. Bir zarı atarken bir puan alma olasılığının ne kadar olduğunu söylersekFormüller ve örnekler kullanarak klasik olasılık tanımına bakalım.
Rastgele olaylara denir uyumsuz eğer aynı anda gerçekleşemiyorlarsa. Örneğin, bir parayı attığımızda, bir şey ortaya çıkar - bir "arma" veya bir sayı" ve bunlar aynı anda görünemezler çünkü bunun imkansız olması mantıklıdır. Bir şuttan sonraki vuruş ve ıskalama gibi olaylar birbiriyle uyumsuz olabilir.
Sonlu küme formunun rastgele olayları tam grup Her deneme sırasında bu olaylardan yalnızca biri ortaya çıkarsa, ikili olarak uyumsuz olaylar - mümkün olan tek olay.
Aynı yazı tura atma örneğine bakalım:
İlk para İkinci para Olayları
1) “arması” “arması”
2) “arma” “numara”
3) “numara” “arması”
4) “sayı” “sayı”
Veya “GG”, - “GC”, - “CHG”, - “CHCH” olarak kısaltılır.
Olaylar denir eşit derecede mümkün, eğer araştırma koşulları her birinin ortaya çıkması için aynı fırsatı sağlıyorsa.
Anladığınız gibi, simetrik bir parayı attığınızda aynı olasılıklara sahiptir ve hem "armanın" hem de "numaranın" ortaya çıkma şansı vardır. Aynı şey simetrik bir zarın atılmasında da geçerlidir, çünkü 1, 2, 3, 4, 5, 6'dan herhangi bir sayının ortaya çıkma olasılığı vardır.
Diyelim ki şimdi küpü ağırlık merkezi kaydırılarak, örneğin 1 numaralı tarafa doğru fırlatıyoruz, o zaman çoğu zaman karşı taraf, yani farklı numaraya sahip taraf düşecek. Dolayısıyla bu modelde 1'den 6'ya kadar sayıların her birinin oluşma olasılığı farklı olacaktır.
Eşit derecede mümkün ve benzersiz şekilde mümkün olan rastgele olaylara vaka denir.
Vaka olan rastgele olaylar vardır ve vaka olmayan rastgele olaylar vardır. Aşağıda örnekler kullanarak bu olaylara bakacağız.
Rastgele bir olayın meydana geldiği durumlara, o olay için olumlu durumlar denir.
Olası tüm durumlarda bir olayı etkileyen ile ve rastgele bir olayın olasılığı ile belirtirsek, o zaman iyi bilinen klasik olasılık tanımını yazabiliriz:
Tanım
Bir olayın olasılığı, bu olay için uygun olan durumların sayısının, tüm olası durumların toplam sayısına oranıdır; yani:
Olasılığın Özellikleri
Klasik olasılık dikkate alındı ve şimdi olasılığın temel ve önemli özelliklerine bakalım.
Mülk 1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.
Örneğin, bir kovadaki topların tümü beyazsa, o zaman beyaz bir topun rastgele seçilmesi olayı, durumlarından etkilenir.
Mülk 2.İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.
Mülk 3. Rastgele bir olayın olasılığı pozitif bir sayıdır:
Bu, herhangi bir olayın olasılığının eşitsizliği karşıladığı anlamına gelir:
Şimdi klasik olasılık tanımını kullanarak birkaç örnek çözelim.
Olasılığın klasik tanımına örnekler
Örnek 1
Görev
Bir sepette 10'u beyaz, 7'si kırmızı ve 3'ü siyah olmak üzere 20 top vardır. Rastgele bir top seçiliyor. Bir beyaz top (olay), bir kırmızı top (olay) ve bir siyah top (olay) seçilir. Rastgele olayların olasılığını bulun.
Çözüm
Sorunun koşullarına göre, olası durumlara ve dolayısıyla formül (1)'e göre katkıda bulunurlar:
– beyaz top olasılığı.
Aynı şekilde kırmızı için:
Ve siyah için: .
Cevap
Rastgele bir olayın olasılığı , , .
Örnek 2
Görev
Bir kutuda 2'si arızalı olmak üzere 25 adet aynı elektrik lambası bulunmaktadır. Rastgele seçilen bir elektrik lambasının arızalı olmama olasılığını bulun.
Çözüm
Sorunun durumuna göre tüm lambalar aynı olup yalnızca bir tanesi seçilir. Toplam seçim olanakları. 25 lambanın tamamından ikisi arızalı, bu da geri kalan lambaların uygun olduğu anlamına geliyor. Dolayısıyla formül (1)'e göre uygun bir elektrik lambasının (olay) seçilme olasılığı şuna eşittir:
Cevap
Rastgele seçilen bir elektrik lambasının arızalı olmama olasılığı = .
Örnek 3
Görev
İki madeni para rastgele atılıyor. Bu tür olayların olasılığını bulun:
1) – her iki madalyonun üzerinde de bir arma vardı;
2) - madeni paralardan birinin üzerine arma düştü ve ikincisinde - bir sayı;
3) – sayılar her iki madalyonun üzerine düştü;
4) – arması en az bir kez görünüyor.
Çözüm
Burada dört olayla karşı karşıyayız. Hangi vakaların her birine katkıda bulunduğunu belirleyelim. Etkinliğe katkıda bulunan bir olay, her iki madeni paranın üzerinde de armanın (“GG” olarak kısaltılmıştır) görünmesidir.
Olayı anlamak için bir madeni paranın gümüş, diğerinin bakır olduğunu düşünün. Madeni para atarken aşağıdaki durumlar olabilir:
1) gümüş armanın üzerinde, bakır armanın üzerinde - bir sayı (“GC” ile gösterilir);
2) gümüş numarada, bakırda - arma (- “CHG”).
Bu, olayın vakalar tarafından kolaylaştırıldığı anlamına gelir ve .
Olay bir olayla kolaylaştırıldı: Her iki madalyonun üzerindeki rakamlar da “HH” idi.
Böylece, olaylar veya (GG, HC, CG, HC) tam bir olaylar grubu oluşturur, kura atışı sonucunda bunlardan yalnızca biri meydana geldiğinden bu olayların tümü uyumsuzdur. Ek olarak, simetrik madeni paralar için dört olayın tümü eşit derecede mümkündür, dolayısıyla bunlar vaka olarak kabul edilebilir. Dört olası olay vardır.
Etkinliğe katkıda bulunan tek bir olay vardır, dolayısıyla olasılığı:
Etkinlik iki durumla destekleniyor, bu nedenle:
Olayın olasılığı aşağıdakilerle aynıdır:
Etkinlik üç durumla destekleniyor: GG, GC, CG ve dolayısıyla:
Eşit derecede mümkün olan ve tam bir olay grubu oluşturan GG, GC, CG, BC olayları dikkate alındığından, bunlardan herhangi birinin meydana gelmesi güvenilir bir olaydır (bunu 4'ün de katkıda bulunduğu harfle belirtiriz). Bu nedenle olasılık:
Bu, olasılığın ilk özelliğinin doğrulandığı anlamına gelir.
Cevap
Bir olayın olasılığı.
Bir olayın olasılığı.
Bir olayın olasılığı.
Bir olayın olasılığı.
Örnek 4
Görev
Aynı geometrik şekle sahip iki zar atılıyor. Her iki tarafta görünen tüm olası toplamların olasılığını bulun.
Çözüm
Sorunu çözmeyi daha kolay hale getirmek için bir küpün beyaz, ikincisinin siyah olduğunu hayal edin. Beyaz zarın altı kenarından her biri siyah zarın altı kenarından birine de sahip olabilir, dolayısıyla tüm olası çiftler 0 olacaktır.
Yüzlerin ayrı bir küp üzerinde görünme olasılığı aynı olduğundan (küpler doğru geometrik şekle sahiptir!), o zaman her bir yüz çiftinin görünme olasılığı aynı olacaktır ve fırlatma sonucunda, çiftlerden yalnızca biri görünür. Olayın anlamları birbiriyle bağdaşmaz, aynı şekilde mümkündür. Bunlar vakalardır ve 36 olası vaka vardır.
Şimdi yüzlerdeki toplam değerlerin olasılığını düşünelim. Açıkçası en küçük toplam 1 + 1 = 2, en büyüğü ise 6 + 6 = 12'dir. Toplamın geri kalan kısmı ikinciden başlayarak bir artar. İndisleri küplerin yüzlerine düşen noktaların toplamına eşit olan olayları gösterelim. Bu olayların her biri için, toplam, beyaz küpün üst kenarındaki noktalar ve siyah küpün kenarındaki noktalar olan notasyonu kullanarak olumlu durumları yazıyoruz.
Yani etkinlik için:
– bir durum için (1 + 1);
– iki durum için (1 + 2; 2 + 1);
için – üç durum (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);
– dört durum için (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);
– beş durum için (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);
– altı durum için (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);
– beş durum için (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);
– dört durum için (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);
– üç durum için (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);
– iki durum için (5 + 6; 6 + 5);
için – bir vaka (6 + 6).
Böylece olasılık değerleri şöyledir:
Cevap
Örnek 5
Görev
Festivalden önce, üç katılımcıdan kura çekmeleri istendi: her katılımcı sırayla kovaya yaklaşıyor ve 1, 2 ve 3 numaralı üç karttan birini rastgele seçiyor; bu, bu katılımcının performansının seri numarası anlamına geliyor.
Bu tür olayların olasılığını bulun:
1) – kuyruktaki seri numarası kart numarasıyla, yani performansın seri numarasıyla örtüşür;
2) – kuyruktaki tek bir numaranın performans numarasıyla eşleşmemesi;
3) – kuyruktaki numaralardan yalnızca biri performans numarasıyla eşleşiyor;
4) – kuyruktaki numaralardan en az biri performans numarasıyla eşleşiyor.
Çözüm
Kart seçiminin olası sonuçları üç elementin permütasyonlarıdır, bu permütasyonların sayısı eşittir. Permütasyonların her biri bir olaydır. Bu olayları ile gösterelim. Her olaya parantez içinde karşılık gelen permütasyonu atarız:
; ; ; ; ; .
Listelenen olaylar eşit derecede mümkün ve benzersiz bir şekilde mümkündür, yani bunlar vakalardır. Bunu şu şekilde gösterelim: (1h, 2h, 3h) – kuyruktaki karşılık gelen sayılar.
Etkinlikle başlayalım. Bu nedenle tek bir olumlu durum vardır:
Olay için iki durum uygundur ve bu nedenle:
Etkinlik 3 durumla destekleniyor: , dolayısıyla:
etkinliğine ek olarak, etkinlik aynı zamanda aşağıdakiler tarafından da kolaylaştırılmaktadır:
Cevap
Olayın olasılığı – .
Olayın olasılığı – .
Olayın olasılığı – 15 Eylül 2017'de güncellendi: Bilimsel Makaleler.Ru
Olasılığın klasik belirlenmesine ilişkin problemler.
Çözüm örnekleri
Üçüncü derste klasik olasılık tanımının doğrudan uygulanmasıyla ilgili çeşitli sorunlara bakacağız. Bu makaledeki materyalleri etkili bir şekilde incelemek için temel kavramlara aşina olmanızı öneririm. olasılık teorisi Ve kombinatoriğin temelleri. Klasik olarak bire eğilimli bir olasılık ile olasılığı belirleme görevi, terver üzerindeki bağımsız/kontrol çalışmanızda mevcut olacaktır, o halde ciddi çalışmalara hazırlanalım. Bunda bu kadar ciddi olan ne diye sorabilirsiniz. ...sadece bir ilkel formül. Sizi anlamsızlığa karşı uyarıyorum - tematik görevler oldukça çeşitlidir ve birçoğu kolayca kafanızı karıştırabilir. Bu bağlamda, ana ders üzerinde çalışmanın yanı sıra, kumbaradaki konuyla ilgili ek görevleri de incelemeye çalışın. yüksek matematikte hazır çözümler. Çözüm teknikleri çözüm teknikleridir, ancak "arkadaşların" yine de "görerek bilinmesi gerekir" çünkü zengin bir hayal gücü bile sınırlıdır ve yeterince standart görev de vardır. Mümkün olduğu kadar çoğunu kaliteli bir şekilde sıralamaya çalışacağım.
Türün klasiklerini hatırlayalım:
Belirli bir testte bir olayın meydana gelme olasılığı şu orana eşittir:
– hepsinin toplam sayısı eşit derecede mümkün, temel bu testin sonuçları, tam bir etkinlik grubu;
- miktar temel olayın olumlu sonuçları.
Ve hemen bir pit stop. Altı çizili terimleri anladınız mı? Bu, sezgisel değil açık bir anlayış anlamına gelir. Değilse, o zaman 1. makaleye dönmek yine de daha iyidir. olasılık teorisi ve ancak bundan sonra devam edin.
Lütfen ilk örnekleri atlamayın - bunlarda temelde önemli bir noktayı tekrarlayacağım ve ayrıca çözümü nasıl doğru şekilde biçimlendireceğinizi ve bunun hangi yollarla yapılabileceğini anlatacağım:
Sorun 1
Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor ve bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.
Çözüm: Olasılığın klasik tanımını kullanmanın en önemli ön koşulu toplam sonuç sayısını sayma yeteneği.
Torbada toplam 15 + 5 + 10 = 30 top var ve aşağıdaki gerçekler açıkça doğru:
– herhangi bir topu geri almak aynı derecede mümkündür (fırsat eşitliği sonuçlar), sonuçlar ise temel ve biçim tam bir etkinlik grubu (yani test sonucunda 30 toptan biri mutlaka çıkarılacaktır).
Böylece toplam sonuç sayısı:
Olayı düşünün: – torbadan beyaz bir top çekilecek. Bu etkinlik beğenildi temel dolayısıyla klasik tanıma göre sonuçlar: 
- torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı.
Garip bir şekilde, bu kadar basit bir görevde bile ciddi bir yanlışlık yapılabilir, buna daha önce ilk makalede odaklanmıştım. olasılık teorisi. Buradaki tuzak nerede? Burada bunu iddia etmek yanlıştır. “Topların yarısı beyaz olduğuna göre beyaz bir top çekme olasılığı» . Olasılığın klasik tanımı şu anlama gelir: İLKÖĞRETİM sonuçlar ve kesir yazılmalıdır!
Diğer noktalarla birlikte benzer şekilde aşağıdaki olayları da göz önünde bulundurun:
– torbadan kırmızı bir top çekilecek;
- torbadan siyah bir top çekilecek.
Bir olay 5 temel sonuç tarafından tercih edilir ve bir olay 10 temel sonuç tarafından tercih edilir. Buna karşılık gelen olasılıklar şöyledir: 
Birçok sunucu görevinin tipik kontrolü aşağıdakiler kullanılarak gerçekleştirilir: Tam bir grup oluşturan olayların olasılıklarının toplamına ilişkin teoremler. Bizim durumumuzda olaylar tam bir grup oluşturur; bu da karşılık gelen olasılıkların toplamının mutlaka bire eşit olması gerektiği anlamına gelir: .
Bunun doğru olup olmadığını kontrol edelim: Emin olmak istediğim şey buydu.
Cevap: 
Prensipte, cevap daha ayrıntılı olarak yazılabilir, ancak şahsen ben oraya yalnızca sayıları koymaya alışkınım - çünkü yüzlerce ve binlerce sorunları "damgalamaya" başladığınızda, yazılanları azaltmaya çalışırsınız. Çözüm mümkün olduğu kadar. Bu arada, kısalık hakkında: pratikte "yüksek hızlı" tasarım seçeneği yaygındır çözümler:
Toplam: 15 + 5 + 10 = torbada 30 top. Klasik tanıma göre:
- torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı;
- torbadan kırmızı bir topun çekilme olasılığı;
- torbadan siyah bir topun çekilme olasılığı.
Cevap: 
Bununla birlikte, durumda birkaç nokta varsa, çözümü ilk şekilde formüle etmek genellikle daha uygundur, bu biraz daha zaman alır, ancak aynı zamanda "her şeyi raflara koyar" ve işi kolaylaştırır. Sorunu yönlendirmek için.
Hadi ısınalım:
Sorun 2
Mağazaya beşi üretim hatası olan 30 buzdolabı teslim edildi. Rastgele bir buzdolabı seçiliyor. Kusursuz olma ihtimali nedir?
Uygun tasarım seçeneğini seçin ve sayfanın altındaki örneği kontrol edin.
En basit örneklerde, ortak ve olumlu sonuçların sayısı yüzeydedir, ancak çoğu durumda patatesleri kendiniz kazmanız gerekir. Unutkan bir aboneyle ilgili kanonik bir dizi sorun:
Sorun 3
Abone, telefon numarasını çevirirken son iki rakamı unutur ancak birinin sıfır diğerinin tek sayı olduğunu hatırlar. Doğru numarayı çevirme olasılığını bulun.
Not : sıfır çift sayıdır (2'ye kalansız bölünebilir)
Çözüm: Öncelikle toplam sonuç sayısını buluyoruz. Abone, şarta göre rakamlardan birinin sıfır, diğer rakamın tek olduğunu hatırlar. Burada kombinatorik konusunda yanıltıcı olmamak ve kullanmak daha mantıklıdır. sonuçların doğrudan listelenmesi yöntemi
. Yani, bir çözüm üretirken tüm kombinasyonları yazmanız yeterlidir:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
Ve bunları toplamda 10 sonuç olarak sayıyoruz.
Olumlu tek bir sonuç vardır: doğru sayı.
Klasik tanıma göre:
– abonenin doğru numarayı çevirme olasılığı
Cevap: 0,1
Ondalık kesirler olasılık teorisinde oldukça uygun görünmektedir, ancak yalnızca sıradan kesirlerle çalışan geleneksel Vyshmatov stiline de bağlı kalabilirsiniz.
Bağımsız çözüm için gelişmiş görev:
Sorun 4
Abone, SIM kartının PIN kodunu unuttu ancak içinde üç "beş" bulunduğunu ve rakamlardan birinin "yedi" veya "sekiz" olduğunu hatırlıyor. İlk denemede başarılı yetkilendirme olasılığı nedir?
Burada ayrıca abonenin puk kodu şeklinde bir cezayla karşı karşıya kalma olasılığı fikrini de geliştirebilirsiniz, ancak maalesef gerekçe bu dersin kapsamını aşacaktır.
Çözüm ve cevap aşağıdadır.
Bazen kombinasyonları listelemek çok zahmetli bir iş haline gelir. Özellikle, 2 zarın atıldığı, daha az popüler olmayan bir sonraki problem grubunda durum böyledir. (daha az sıklıkla - daha büyük miktarlar):
Sorun 5
İki zar atıldığında toplam sayının şu şekilde olma olasılığını bulun:
a) beş puan;
b) en fazla dört puan;
c) 3'ten 9'a kadar puanlar dahil.
Çözüm: toplam sonuç sayısını bulun:
1. zarın tarafının düşme yolları Ve 2. küpün kenarı farklı şekillerde düşebilir; İle kombinasyonları çarpma kuralı, toplam: 
olası kombinasyonlar. Başka bir deyişle, her biri 1. küpün yüzü olabilir sipariş edildi bir çift her biriyle 2. küpün kenarı. Böyle bir ikiliyi 1. zarda görünen sayı ve 2. zarda görünen sayı şeklinde yazmaya karar verelim. Örneğin:
– ilk zar 3 puan, ikinci zar 5 puan attı, toplam puan: 3 + 5 = 8;
– ilk zar 6 puan, ikinci zar 1 puan attı, toplam puan: 6 + 1 = 7;
– Her iki zarda atılan 2 puan, toplam: 2 + 2 = 4.
Açıkçası, en küçük miktar bir çift tarafından, en büyüğü ise iki "altı" ile verilir.
a) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında 5 puan görünecektir. Bu olayı destekleyen sonuçların sayısını yazalım ve sayalım:
Toplam: 4 olumlu sonuç. Klasik tanıma göre:
– İstenilen olasılık.
b) Olayı düşünün: – en fazla 4 puan atılacaktır. Yani ya 2 ya da 3 ya da 4 puan. Yine uygun kombinasyonları listeleyip sayıyoruz, solda toplam puan sayısını ve iki nokta üst üsteden sonra uygun çiftleri yazacağım: 
Toplam: 6 uygun kombinasyon. Böylece:
– 4 puandan fazlasının atılmama olasılığı.
c) Olayı düşünün: – 3 ila 9 puan dahil olacak. Burada düz yola gidebilirsin ama... bazı nedenlerden dolayı bunu yapmak istemiyorsun. Evet, bazı çiftler önceki paragraflarda zaten listelenmişti, ancak hala yapılması gereken çok iş var.
Devam etmenin en iyi yolu nedir? Bu gibi durumlarda dolambaçlı bir yol rasyonel olarak ortaya çıkar. düşünelim zıt olay: – 2 veya 10 veya 11 veya 12 puan atılacaktır.
Ne anlamı var? Bunun tersi olay ise çok daha az sayıda çift tarafından tercih ediliyor: 
Toplam: 7 olumlu sonuç.
Klasik tanıma göre:
– üçten az veya 9'dan fazla puan atma olasılığınız.
Sonuçların doğrudan listelenmesi ve sayılmasına ek olarak, çeşitli kombinatoryal formüller. Ve yine asansörle ilgili destansı bir sorun:
Sorun 7
20 katlı binanın birinci katındaki asansöre 3 kişi girdi. Hadi gidelim. Şu olasılığı bulun:
a) farklı katlardan çıkacaklar
b) ikisi aynı kattan çıkacak;
c) Herkes aynı katta inecektir.
Heyecan verici dersimiz sona erdi ve son olarak, çözülmezse en azından anlamanızı bir kez daha şiddetle tavsiye ediyorum. Olasılığın klasik belirlenmesine ilişkin ek problemler. Daha önce de belirttiğim gibi, "el dolgusu" da önemlidir!
Rotanın ilerleyen kısımlarında - Olasılığın geometrik tanımı Ve Olasılık toplama ve çarpma teoremleri ve... asıl meselede şans!
Çözümler ve Yanıtlar:
Görev 2: Çözüm: 30 – 5 = 25 buzdolabında arıza yok.
– Rastgele seçilen bir buzdolabının kusurlu olmaması olasılığı.
Cevap
:
Görev 4: Çözüm: toplam sonuç sayısını bulun:
şüpheli numaranın bulunduğu yeri seçmenin yolları ve her Bu 4 haneden 2 hanesi bulunabilir (yedi veya sekiz). Kombinasyonların çarpımı kuralına göre toplam sonuç sayısı: 
.
Alternatif olarak çözüm, tüm sonuçları basitçe listeleyebilir (neyse ki bunlardan çok azı var):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Tek bir olumlu sonuç vardır (doğru pin kodu).
Böylece, klasik tanıma göre:
– abonenin 1. denemede oturum açma olasılığı
Cevap
:
Görev 6: Çözüm: toplam sonuç sayısını bulun:
2 zardaki sayılar farklı şekillerde görünebilir.
a) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında puanların çarpımı yediye eşit olacaktır. Olasılığın klasik tanımına göre, belirli bir olay için olumlu sonuçlar yoktur:
yani bu olay imkansızdır.
b) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında puanların çarpımı en az 20 olacaktır. Bu olay için aşağıdaki sonuçlar olumludur:
Toplam: 8
Klasik tanıma göre:
– İstenilen olasılık.
c) Ters olayları düşünün:
– puanların çarpımı eşit olacaktır;
– puanların çarpımı tek olacaktır.
Etkinliğin olumlu tüm sonuçlarını sıralayalım:
Toplam: 9 olumlu sonuç.
Olasılığın klasik tanımına göre: 
Zıt olaylar tam bir grup oluşturur, bu nedenle:
– İstenilen olasılık.
Cevap
: 
Sorun 8: Çözüm: toplam sonuç sayısını hesaplayalım: 
10 jeton farklı şekillerde düşebilir.
Başka bir yol: 1. madalyonun düşebileceği yollar Ve 2. madalyonun düşme yolları Ve … Ve 10. madalyonun düşebileceği yollar. Kombinasyonları çarpma kuralına göre 10 jeton düşebilir 
yollar.
a) Olayı düşünün: – tüm madeni paraların üzerinde tura görünecek. Bu olay, klasik olasılık tanımına göre tek bir sonuç tarafından tercih edilir: .
b) Olayı düşünün: – 9 madeni para tura, bir madeni para yazı gelecek.
Yazılara düşebilen paralar var. Olasılığın klasik tanımına göre: 
.
c) Olayı düşünün: – madeni paraların yarısında tura görünecek.
Var 
tura gelebilecek beş jetonun benzersiz kombinasyonları. Olasılığın klasik tanımına göre: 
Cevap
: