İntegral hesabının uygulamalarını ele almaya devam edelim. Bu derste tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. belirli bir integral kullanarak düzlemsel bir şeklin alanının hesaplanması. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayan herkesin onu bulmasına izin verin. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.
Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:
1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle aptallar önce dersi okumalı Olumsuz.
2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki belirli integrallerle sıcak, dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Belirli integral. Çözüm örnekleri. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz de önemli bir konu olacaktır. En azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmeniz gerekir.
Kavisli bir yamukla başlayalım. Kavisli bir yamuk, bazı fonksiyonların grafiğiyle sınırlanan düz bir şekildir. sen = F(X), eksen ÖKÜZ ve çizgiler X = A; X = B.
Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir
Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. sınıfta Belirli integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştik. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır. Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Belirli integrali düşünün
İntegrand
düzlemde bir eğri tanımlar (istenirse çizilebilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
Örnek 1
, , , .
Bu tipik bir atama ifadesidir. Kararda en önemli nokta çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.
Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Noktadan noktaya inşaat tekniği referans materyalinde bulunabilir. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.
Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi yapalım (denklemin sen= 0 ekseni belirtir ÖKÜZ):
Kavisli yamuğu gölgelemeyeceğiz; burada hangi alandan bahsettiğimiz belli oluyor. Çözüm şu şekilde devam ediyor:
[-2; 1] fonksiyon grafiği sen = X 2+2 konumlu eksenin üstündeÖKÜZ, Bu yüzden:
Cevap: .
Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler
,
derse bakın Belirli integral. Çözüm örnekleri. Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Örnek 2
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın xy = 4, X = 2, X= 4 ve eksen ÖKÜZ.
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altındaÖKÜZ?
Örnek 3
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın sen = eski, X= 1 ve koordinat eksenleri.
Çözüm: Bir çizim yapalım:
Kavisli bir yamuk ise tamamen eksenin altında yer alır ÖKÜZ ise alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:
.
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun sen = 2X – X 2 , sen = -X.
Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişim noktalarını bulalım sen = 2X – X 2 ve düz sen = -X. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırının A= 0, entegrasyonun üst sınırı B= 3. Çizgileri noktadan noktaya oluşturmak genellikle daha karlı ve daha hızlıdır ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:
Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla “otomatik olarak” belirlendiğini tekrarlayalım.
Ve şimdi çalışma formülü:
Eğer segmentteyse [ A; B] bazı sürekli fonksiyonlar F(X) büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar G(X), o zaman karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Burada artık şeklin nerede bulunduğunu - eksenin üstünde veya eksenin altında - düşünmenize gerek yok, ancak Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi ALTTA.
Söz konusu örnekte, segment üzerinde parabolün düz çizginin üzerinde olduğu ve dolayısıyla 2'den itibaren olduğu açıktır. X – X 2 çıkarılmalıdır – X.
Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:
İstenilen rakam bir parabol ile sınırlıdır sen = 2X – X 2 üstte ve düz sen = -X altında.
2. segmentte X – X 2 ≥ -X. İlgili formüle göre:
Cevap: .
Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bkz. örnek No. 3), formülün özel bir halidir
.
Çünkü eksen ÖKÜZ denklem tarafından verilen sen= 0 ve fonksiyonun grafiği G(X) eksenin altında bulunur ÖKÜZ, O
.
Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek
Örnek 5
Örnek 6
Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını bulun
Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... Yanlış şeklin alanı bulundu.
Örnek 7
İlk önce bir çizim yapalım:
Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte insanlar dikkatsizlikten dolayı genellikle şeklin yeşil renkle gösterilen alanını bulmaları gerektiğine karar verirler!
Bu örnek aynı zamanda iki belirli integrali kullanarak bir şeklin alanını hesapladığı için de faydalıdır. Gerçekten mi:
1) [-1; 1] eksenin üstünde ÖKÜZ grafik düz bir şekilde yerleştirilmiştir sen = X+1;
2) Eksenin üzerindeki bir segmentte ÖKÜZ bir hiperbolün grafiği bulunur sen = (2/X).
Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:
Cevap:
Örnek 8
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın
Denklemleri “okul” formunda sunalım
ve noktadan noktaya çizim yapın:
Çizimden üst sınırımızın “iyi” olduğu açıkça görülüyor: B = 1.
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir?
Belki, A=(-1/3)? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede? A=(-1/4). Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?
Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.
Grafiklerin kesişim noktalarını bulalım
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:
.
Buradan, A=(-1/3).
Diğer çözüm önemsizdir. Önemli olan, oyuncu değişikliği ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır. Buradaki hesaplamalar en basit değil. Segmentte
, 
,
uygun formüle göre:
Cevap: 
Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.
Örnek 9
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın
Çözüm: Bu şekli çizimde gösterelim.
Nokta nokta bir çizim oluşturmak için sinüzoidin görünümünü bilmeniz gerekir. Genel olarak, bazı sinüs değerlerinin yanı sıra tüm temel fonksiyonların grafiklerini bilmek faydalıdır. Değerler tablosunda bulunabilirler trigonometrik fonksiyonlar. Bazı durumlarda (örneğin, bu durumda), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde görüntülenmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.
Burada entegrasyon sınırlarıyla ilgili hiçbir sorun yok; bunlar doğrudan şu durumdan kaynaklanıyor:
– “x” sıfırdan “pi”ye değişir. Bir karar daha verelim:
Bir segment üzerinde bir fonksiyonun grafiği sen= günah 3 X eksenin üstünde bulunur ÖKÜZ, Bu yüzden:
(1) Derste sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlere nasıl entegre edildiğini görebilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonların integralleri. Bir sinüsü sıkıştırıyoruz.
(2) Formdaki ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz
(3) Değişkeni değiştirelim T=çünkü X, o zaman: eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:
.
.
Not: Burada teğet küpün integralinin nasıl alındığına dikkat edin;
.
Belirli bir integralin geometrik anlamının analizine ayrılan önceki bölümde, eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamak için bir dizi formül aldık:
Yandex.RTB R-A-339285-1
[ a ; aralığında sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon için S (G) = ∫ a b f (x) d x y = f (x) B ] ,
[ a ; aralığında sürekli ve pozitif olmayan bir fonksiyon için S (G) = - ∫ a b f (x) d x y = f (x) B ] .
Bu formüller nispeten basit problemlerin çözümüne uygulanabilir. Gerçekte çoğu zaman daha karmaşık rakamlarla çalışmak zorunda kalacağız. Bu bağlamda, bu bölümü, açık biçimdeki işlevlerle sınırlı olan rakamların alanını hesaplamak için algoritmaların analizine ayıracağız; y = f(x) veya x = g(y) gibi.
Teoremy = f 1 (x) ve y = f 2 (x) fonksiyonlarının [ a ; b ] ve f 1 (x) ≤ f 2 (x), [ a ; B ] . Daha sonra x = a, x = b, y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) çizgileriyle sınırlanan G şeklinin alanını hesaplama formülü S (G) = ∫ gibi görünecektir. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Benzer bir formül, y = c, y = d, x = g 1 (y) ve x = g 2 (y) çizgileriyle sınırlanan bir şeklin alanı için geçerli olacaktır: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Kanıt
Formülün geçerli olacağı üç duruma bakalım.
İlk durumda, alanın toplamsallığı özelliği dikkate alındığında, orijinal G şeklinin ve eğrisel yamuk G1'in alanlarının toplamı, G2 şeklinin alanına eşittir. Bu şu anlama geliyor
Bu nedenle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Son geçişi belirli integralin üçüncü özelliğini kullanarak yapabiliriz.
İkinci durumda eşitlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafik gösterimi şöyle görünecektir:
Her iki fonksiyon da pozitif değilse şunu elde ederiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx . Grafik gösterimi şöyle görünecektir:
Şimdi y = f 1 (x) ve y = f 2 (x)'in O x ekseniyle kesiştiği genel durumu ele almaya devam edelim.
Kesişme noktalarını x i, i = 1, 2, olarak gösteririz. . . , n - 1 . Bu noktalar [a; b ] n parçaya x i - 1; x ben, ben = 1, 2, . . . , n, burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Buradan,
S (G) = ∑ ben = 1 n S (G ben) = ∑ ben = 1 n ∫ x ben x ben f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Son geçişi belirli integralin beşinci özelliğini kullanarak yapabiliriz.
Genel durumu grafik üzerinde gösterelim.
S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formülü kanıtlanmış sayılabilir.
Şimdi y = f (x) ve x = g (y) doğrularıyla sınırlanan şekillerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin örnekleri analiz etmeye geçelim.
Örneklerden herhangi birini incelemeye bir grafik oluşturarak başlayacağız. Görüntü, karmaşık şekilleri daha basit şekillerin birleşimi olarak temsil etmemize olanak tanıyacak. Eğer üzerlerinde grafik ve şekil oluşturmak size zorluk çıkarıyorsa, temel temel fonksiyonlar, fonksiyonların grafiklerinin geometrik dönüşümü ve ayrıca fonksiyon çalışırken grafik oluşturma bölümünü inceleyebilirsiniz.
Örnek 1
Şeklin y = - x 2 + 6 x - 5 parabolü ve y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 düz çizgileriyle sınırlı olan alanını belirlemek gerekir.
Çözüm
Grafikteki çizgileri Kartezyen koordinat sistemine göre çizelim.
Segmentte [ 1 ; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolünün grafiği y = - 1 3 x - 1 2 düz çizgisinin üzerinde yer alır. Bu bağlamda, cevabı elde etmek için daha önce elde edilen formülün yanı sıra Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrali hesaplama yöntemini kullanıyoruz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Cevap: S(G) = 13
Daha karmaşık bir örneğe bakalım.
Örnek 2
Şeklin y = x + 2, y = x, x = 7 çizgileriyle sınırlı olan alanını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Bu durumda x eksenine paralel olan tek bir düz çizgimiz var. Bu x = 7'dir. Bu da entegrasyonun ikinci sınırını kendimiz bulmamızı gerektiriyor.
Bir grafik oluşturalım ve problem ifadesinde verilen çizgileri çizelim.
Grafiği gözümüzün önünde tutarak, entegrasyonun alt sınırının, y = x düz çizgisi ile y = x + 2 yarı parabolünün grafiğinin kesişme noktasının apsisi olacağını kolayca belirleyebiliriz. Apsis'i bulmak için eşitlikleri kullanırız:
y = x + 2 Ö DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ Ö DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ Ö DZ
Kesişme noktasının apsisinin x = 2 olduğu ortaya çıkıyor.
Çizimdeki genel örnekte y = x + 2, y = x doğrularının (2; 2) noktasında kesiştiğine dolayısıyla bu tür detaylı hesaplamaların gereksiz görünebileceğine dikkatinizi çekeriz. Burada bu kadar ayrıntılı bir çözüm sunmamızın nedeni, daha karmaşık durumlarda çözümün o kadar açık olmayabilmesidir. Bu, doğruların kesişim koordinatlarını analitik olarak hesaplamanın her zaman daha iyi olduğu anlamına gelir.
[ 2 ; 7] y = x fonksiyonunun grafiği, y = x + 2 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer alır. Alanı hesaplamak için formülü uygulayalım:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Cevap: S(G) = 59 6
Örnek 3
y = 1 x ve y = - x 2 + 4 x - 2 fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlı olan şeklin alanını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Doğruları grafik üzerinde işaretleyelim.
Entegrasyonun sınırlarını tanımlayalım. Bunu yapmak için 1 x ve - x 2 + 4 x - 2 ifadelerini eşitleyerek doğruların kesişme noktalarının koordinatlarını belirliyoruz. X'in sıfır olmaması koşuluyla, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 eşitliği, tamsayı katsayılı üçüncü derece denklem - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0'a eşdeğer olur. Bu tür denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaya ilişkin hafızanızı tazelemek için “Kübik denklemlerin çözülmesi” bölümüne bakabiliriz.
Bu denklemin kökü x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0'dır.
- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadesini binom x - 1'e bölerek şunu elde ederiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Kalan kökleri x 2 - 3 x - 1 = 0 denkleminden bulabiliriz:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
x ∈ 1 aralığını bulduk; 3 + 13 2, burada G rakamı mavi çizginin üstünde ve kırmızı çizginin altındadır. Bu, şeklin alanını belirlememize yardımcı olur:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Cevap: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Örnek 4
Şeklin y = x 3, y = - log 2 x + 1 eğrileri ve apsis ekseni ile sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Grafikteki tüm doğruları çizelim. y = - log 2 x + 1 fonksiyonunun grafiğini, x eksenine göre simetrik olarak konumlandırıp bir birim yukarı hareket ettirirsek, y = log 2 x grafiğinden elde edebiliriz. X ekseninin denklemi y = 0'dır.
Doğruların kesişme noktalarını işaretleyelim.
Şekilden görüldüğü gibi y = x 3 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (0; 0) noktasında kesişmektedir. Bunun nedeni x = 0'ın x 3 = 0 denkleminin tek gerçek kökü olmasıdır.
Denklemin tek kökü x = 2'dir - log 2 x + 1 = 0, dolayısıyla y = - log 2 x + 1 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (2; 0) noktasında kesişir.
x = 1 denklemin tek köküdür x 3 = - log 2 x + 1 . Bu bakımdan y = x 3 ve y = - log 2 x + 1 fonksiyonlarının grafikleri (1; 1) noktasında kesişmektedir. Son ifade açık olmayabilir, ancak x 3 = - log 2 x + 1 denkleminin birden fazla kökü olamaz, çünkü y = x 3 fonksiyonu tam olarak artan bir fonksiyondur ve y = - log 2 x + 1 fonksiyonu ise kesin olarak azalıyor.
Diğer çözüm birkaç seçeneği içerir.
Seçenek #1
G şeklini, x ekseninin üzerinde yer alan iki eğrisel yamuğun toplamı olarak hayal edebiliriz; bunlardan ilki, x ∈ 0 parçası üzerinde orta çizginin altında yer alır; 1 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı çizginin altındadır; 2. Bu, alanın S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x'e eşit olacağı anlamına gelir.
Seçenek No.2
Şekil G, iki şeklin farkı olarak temsil edilebilir; bunlardan ilki, x ekseninin üzerinde ve x ∈ 0 parçası üzerindeki mavi çizginin altında yer alır; 2 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı ve mavi çizgiler arasında; 2. Bu, alanı şu şekilde bulmamızı sağlar:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Bu durumda alanı bulmak için S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y formundaki bir formülü kullanmanız gerekecektir. Aslında şekli sınırlayan çizgiler y argümanının fonksiyonları olarak temsil edilebilir.
y = x 3 ve - log 2 x + 1 denklemlerini x'e göre çözelim:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Gerekli alanı elde ediyoruz:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Cevap: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Örnek 5
Şeklin y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Kırmızı bir çizgiyle y = x fonksiyonu tarafından tanımlanan çizgiyi çiziyoruz. y = - 1 2 x + 4 çizgisini mavi, y = 2 3 x - 3 çizgisini siyah çiziyoruz.
Kesişme noktalarını işaretleyelim.
y = x ve y = - 1 2 x + 4 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktalarını bulalım:
x = - 1 2 x + 4 Ö DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrol edin: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 değil Denklemin çözümü x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 denklemin çözümüdür ⇒ (4; 2) kesişme noktası i y = x ve y = - 1 2 x + 4
y = x ve y = 2 3 x - 3 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktasını bulalım:
x = 2 3 x - 3 Ö DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrol edin: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 denklemin çözümüdür ⇒ (9 ; 3) nokta a s y = x ve y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Denklemin çözümü yok
y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3 doğrularının kesişme noktasını bulalım:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) kesişme noktası y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3
Yöntem No.1
İstenilen şeklin alanını tek tek şekillerin alanlarının toplamı olarak hayal edelim.
O zaman şeklin alanı:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Yöntem No.2
Orijinal şeklin alanı diğer iki rakamın toplamı olarak gösterilebilir.
Daha sonra çizginin denklemini x'e göre çözeriz ve ancak bundan sonra şeklin alanını hesaplamak için formülü uygularız.
y = x ⇒ x = y 2 kırmızı çizgi y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 siyah çizgi y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ben n ben a l ben n e
Yani alan:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Gördüğünüz gibi değerler aynı.
Cevap: S(G) = 11 3
Sonuçlar
Bir şeklin verilen çizgilerle sınırlı alanını bulmak için düzlem üzerinde çizgiler çizmemiz, kesişme noktalarını bulmamız ve alanı bulmak için formülü uygulamamız gerekir. Bu bölümde en yaygın görev çeşitlerini inceledik.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha acil bir konu olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemeniz ve en azından bir düz çizgi ve bir hiperbol oluşturabilmeniz faydalıdır.
Eğri bir yamuk, bir eksenle, düz çizgilerle ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin daha düşük değil x ekseni:
Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.
Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.
Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
Örnek 1
Bu tipik bir atama ifadesidir. Kararın ilk ve en önemli noktası çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.
Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı noktadan noktaya.
Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi tamamlayalım (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):
Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:
Cevap:
Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Örnek 3
Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm: Bir çizim yapalım:
Kavisli bir yamuk bulunuyorsa aksın altında(veya en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.
Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..
Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.
Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:
Ve şimdi çalışma formülü: Segment üzerinde sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar varsa, bu fonksiyonların grafikleri ve çizgileri ile sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: 
Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi ALTTA.
Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.
Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:
İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:
Cevap:
Örnek 4
, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:
Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!
Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır.
Gerçekten:
1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;
2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.
Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:
Bu makalede integral hesaplamalarını kullanarak çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. Böyle bir problemin formülasyonuyla ilk kez lisede, belirli integrallerin çalışmasını yeni tamamladığımızda ve edinilen bilgilerin geometrik yorumuna pratikte başlamanın zamanı geldiğinde karşılaşıyoruz.
Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarıyla çözmek için gerekenler:
- Yetkili çizimler yapabilme becerisi;
- İyi bilinen Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali çözme becerisi;
- Daha kârlı bir çözüm seçeneğini “görme” yeteneği - ör. Bir durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anladınız mı? X ekseni (OX) veya y ekseni (OY) boyunca mı?
- Peki, doğru hesaplamalar olmasaydı nerede olurduk?) Bu, diğer tür integrallerin nasıl çözüleceğini ve doğru sayısal hesaplamaları nasıl çözeceğimizi anlamayı da içerir.
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:
1. Bir çizim yapıyoruz. Bunu büyük ölçekte kareli bir kağıt üzerinde yapmanız tavsiye edilir. Her grafiğin üstüne bu fonksiyonun adını kurşun kalemle imzalıyoruz. Grafiklerin imzalanması yalnızca daha sonraki hesaplamaların kolaylığı için yapılır. İstenilen rakamın grafiğini aldıktan sonra çoğu durumda hangi entegrasyon sınırlarının kullanılacağı hemen anlaşılacaktır. Böylece sorunu grafiksel olarak çözüyoruz. Ancak limitlerin değerlerinin kesirli veya irrasyonel olması da mümkündür. Bu nedenle ek hesaplamalar yapabilir, ikinci adıma geçebilirsiniz.
2. Entegrasyonun sınırları açıkça belirtilmemişse grafiklerin birbirleriyle kesişme noktalarını buluruz ve grafiksel çözümümüzün analitik çözümle örtüşüp örtüşmediğine bakarız.
3. Daha sonra çizimi analiz etmeniz gerekiyor. Fonksiyon grafiklerinin nasıl düzenlendiğine bağlı olarak bir şeklin alanını bulma konusunda farklı yaklaşımlar vardır. İntegralleri kullanarak bir şeklin alanını bulmanın farklı örneklerine bakalım.
3.1. Sorunun en klasik ve basit versiyonu, kavisli bir yamuğun alanını bulmanız gerektiği zamandır. Kavisli yamuk nedir? Bu, x ekseniyle sınırlı düz bir şekildir (y = 0), dümdüz x = a, x = b ve aralıkta sürekli olan herhangi bir eğri A ile B. Üstelik bu rakam negatif değildir ve x ekseninin altında yer almaz. Bu durumda, eğrisel yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanan belirli bir integrale sayısal olarak eşittir:
Örnek 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Şekil hangi çizgilerle sınırlanmıştır? Bir parabolümüz var y = x2 – 3x + 3 eksenin üzerinde yer alan AH negatif değildir, çünkü bu parabolün tüm noktaları pozitif değerlere sahiptir. Daha sonra verilen düz çizgiler x = 1 Ve x = 3 eksene paralel uzanan Op-amp, şeklin sol ve sağdaki sınır çizgileridir. Kuyu y = 0, aynı zamanda şekli alttan sınırlayan x eksenidir. Ortaya çıkan şekil, soldaki şekilde görülebileceği gibi gölgelidir. Bu durumda hemen sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde basit bir kavisli yamuk örneği var ve bunu daha sonra Newton-Leibniz formülünü kullanarak çözüyoruz.
3.2. Önceki paragraf 3.1'de, kavisli bir yamuğun x ekseninin üzerinde yer aldığı durumu inceledik. Şimdi, fonksiyonun x ekseninin altında olması dışında problemin koşullarının aynı olduğu durumu düşünün. Standart Newton-Leibniz formülüne bir eksi eklenir. Aşağıda böyle bir sorunun nasıl çözüleceğini ele alacağız.
Örnek 2 . Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Bu örnekte bir parabolümüz var y = x2 + 6x + 2 eksenden kaynaklanan AH, dümdüz x = -4, x = -1, y = 0. Burada y = 0İstenilen rakamı yukarıdan sınırlar. Doğrudan x = -4 Ve x = -1 bunlar belirli integralin hesaplanacağı sınırlardır. Bir şeklin alanını bulma problemini çözme ilkesi neredeyse tamamen 1 numaralı örnekle örtüşmektedir. Tek fark, verilen fonksiyonun pozitif olmaması ve aralıkta da sürekli olmasıdır. [-4; -1] . Ne demek olumlu değil? Şekilden de görülebileceği gibi, verilen x'lerin içinde yer alan şekil yalnızca “negatif” koordinatlara sahiptir ve sorunu çözerken görmemiz ve hatırlamamız gereken şey budur. Şeklin alanını Newton-Leibniz formülünü kullanarak, yalnızca başında eksi işaretiyle arıyoruz.
Makale tamamlanmadı.
Görev No. 3. Bir çizim yapın ve çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın
İntegralin uygulamalı problemlerin çözümüne uygulanması
Alan hesaplaması
Sürekli negatif olmayan bir fonksiyonun belirli integrali f(x) sayısal olarak eşittir y = f(x) eğrisi, O x ekseni ve x = a ve x = b düz çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı. Buna göre alan formülü şu şekilde yazılır:
Düzlem figürlerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin bazı örneklere bakalım.
Görev No. 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.
Çözüm. Alanı hesaplamamız gereken bir şekil oluşturalım.
y = x 2 + 1, dalları yukarıya doğru yönlendirilen ve parabolün O y eksenine göre bir birim yukarıya doğru kaydırıldığı bir paraboldür (Şekil 1).
Şekil 1. y = x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği
Görev No. 2. y = x 2 – 1, y = 0 doğrularının sınırladığı alanı 0 ila 1 aralığında hesaplayın.
 |
Çözüm. Bu fonksiyonun grafiği yukarıya doğru uzanan dallardan oluşan bir paraboldür ve parabol O y eksenine göre bir birim aşağı doğru kaydırılmıştır (Şekil 2).
Şekil 2. y = x 2 – 1 fonksiyonunun grafiği
Görev No. 3. Bir çizim yapın ve çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın
y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4.
Çözüm. Bu iki çizgiden ilki, x2'nin katsayısı negatif olduğundan dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, ikinci çizgi ise her iki koordinat eksenini kesen düz bir çizgidir.
Bir parabol oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını buluruz: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tepe noktasının apsisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ordinatı, N(1;9) tepe noktasıdır.
Şimdi denklem sistemini çözerek parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım:
Sol tarafları eşit olan bir denklemin sağ taraflarını eşitleme.
8 + 2x – x 2 = 2x – 4 veya x 2 – 12 = 0 elde ederiz, dolayısıyla 
.
Yani noktalar bir parabol ile bir doğrunun kesişme noktalarıdır (Şekil 1).
Şekil 3 y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4 fonksiyonlarının grafikleri
y = 2x – 4 şeklinde bir doğru çizelim. Koordinat eksenlerinde (0;-4), (2;0) noktalarından geçer.
Bir parabol oluşturmak için 0x ekseniyle kesişme noktalarını, yani 8 + 2x – x 2 = 0 veya x 2 – 2x – 8 = 0 denkleminin köklerini de kullanabilirsiniz. Vieta teoremini kullanarak bunu yapmak kolaydır. köklerini bulmak için: x 1 = 2, x 2 = 4.
Şekil 3, bu çizgilerle sınırlandırılmış bir şekli (M 1 N M 2 parabolik segmenti) göstermektedir.
Sorunun ikinci kısmı bu şeklin alanını bulmaktır. Alanı aşağıdaki formüle göre belirli bir integral kullanılarak bulunabilir: 
.
Bu koşula bağlı olarak integrali elde ederiz: 
2 Dönen cismin hacminin hesaplanması
y = f(x) eğrisinin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:
O y ekseni etrafında dönerken formül şöyle görünür:
Görev No.4. x = 0 x = 3 düz çizgileri ve y = eğrisi ile sınırlanan kavisli bir yamuğun O x ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini belirleyin.
Çözüm. Bir resim çizelim (Şekil 4).
Şekil 4. y = fonksiyonunun grafiği
Gerekli hacim 
Görev No.5. y = x 2 eğrisi ve y = 0 ve y = 4 düz çizgileriyle sınırlanan eğri bir yamuğun O y ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.
Çözüm. Sahibiz:
Soruları gözden geçirin