İki değişkenli bir fonksiyonun kapalı bir bölgedeki en büyük ve en küçük değerleri. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Pratik açıdan bakıldığında en büyük ilgi, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanmaktır. Bunun neyle bağlantısı var? Kârı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, optimum ekipman yükünü belirlemek... Başka bir deyişle, hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme sorunlarını çözmek zorundayız. Bunlar da bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleridir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin genellikle, ya fonksiyonun tüm alanı ya da tanım alanının bir parçası olan belirli bir X aralığında arandığına dikkat edilmelidir. X aralığının kendisi bir parça, açık bir aralık olabilir , sonsuz bir aralık.

Bu yazımızda tek değişkenli y=f(x) 'in açıkça belirtilen bir fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulma hakkında konuşacağız.

Sayfada gezinme.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.

Kısaca ana tanımlara bakalım.

Fonksiyonun en büyük değeri bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x)'e böyle bir değer denir bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Bu tanımlar sezgiseldir: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsiste söz konusu aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.

Sabit noktalar– bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden sabit noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden, türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktada bir ekstremuma (yerel minimum veya yerel maksimum) sahip olması durumunda bu noktanın durağan olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, fonksiyon çoğu zaman en büyük (en küçük) değerini X aralığında bu aralığın durağan noktalarından birinde alır.

Ayrıca bir fonksiyon çoğu zaman en büyük ve minimum değerlerini bu fonksiyonun birinci türevinin bulunmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda alabilir.

Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: “Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?” Hayır, her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım bölgesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında bir şey söylenemez.

Netlik sağlamak için grafiksel bir gösterim vereceğiz. Resimlere baktığınızda pek çok şey daha net hale gelecektir.

Segmentte

İlk şekilde fonksiyon [-6;6] segmenti içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirelim. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri sabit bir noktada, en büyüğü ise aralığın sağ sınırına karşılık gelen apsisin olduğu noktada elde edilir.

Şekil 3'te [-3;2] doğru parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.

Açık bir aralıkta

Dördüncü şekilde fonksiyon, açık aralık (-6;6) içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

Aralıkta en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.

sonsuzlukta

Yedinci şekilde sunulan örnekte fonksiyon, apsis x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y) almakta ve en küçük değere (min y) aralığın sağ sınırında ulaşmaktadır. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.

Aralık boyunca fonksiyon ne en küçük ne de en büyük değere ulaşır. X=2 sağdan yaklaştıkça fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru yönelir (x=2 doğrusu dikey bir asimptottur), apsis artı sonsuza doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.

Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması.

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazalım.

1. Fonksiyonun tanım alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
2. Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altında argümanı olan fonksiyonlarda ve kesirli-rasyonel üssü olan kuvvet fonksiyonlarında bulunur). Eğer böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya geçin.
3. Segment içerisine düşen tüm sabit noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Durağan nokta yoksa veya hiçbiri doğru parçasına girmiyorsa bir sonraki noktaya geçin.
4. Fonksiyonun değerlerini seçilen sabit noktalarda (varsa), birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
5. Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçiyoruz - bunlar sırasıyla fonksiyonun gerekli en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya yönelik bir örneği çözmek için algoritmayı analiz edelim.

Örnek.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma

• segmentte;
• [-4;-1] segmentinde.

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım alanı, sıfır hariç, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Her iki segment de tanım alanına girer.

Fonksiyonun türevini aşağıdakilere göre bulun:

Açıkçası, fonksiyonun türevi doğru parçalarının tüm noktalarında ve [-4;-1]'de mevcuttur.

Denklemden sabit noktaları belirliyoruz. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.

İlk durumda fonksiyonun değerlerini parçanın uçlarında ve sabit noktada yani x=1, x=2 ve x=4 için hesaplıyoruz:

Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri x=1'de elde edilir ve en küçük değer – x=2'de.

İkinci durumda, fonksiyon değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir durağan nokta içermemektedir):

Sorun bildirimi 2:

Belirli bir aralıkta tanımlı ve sürekli olan bir fonksiyon verildiğinde. Bu aralıkta fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmanız gerekiyor.

Teorik temeller.
Teorem (İkinci Weierstrass Teoremi):

Bir fonksiyon kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli ise bu aralıkta maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.

Fonksiyon en büyük ve en küçük değerlerine aralığın iç noktalarında veya sınırlarında ulaşabilir. Tüm olası seçenekleri gösterelim.

Açıklama:
1) Fonksiyon en büyük değerine aralığın sol sınırında noktasında, minimum değerine ise aralığın sağ sınırında noktasında ulaşır.
2) Fonksiyon en büyük değerine noktada (bu maksimum noktadır), minimum değerine ise bu noktadaki aralığın sağ sınırında ulaşır.
3) Fonksiyon en büyük değerine aralığın sol sınırında noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır (bu minimum noktadır).
4) Fonksiyon aralıkta sabittir, yani. aralığın herhangi bir noktasında minimum ve maksimum değerlerine ulaşır ve minimum ve maksimum değerler birbirine eşittir.
5) Fonksiyon maksimum değerine noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır (fonksiyonun bu aralıkta hem maksimumu hem de minimumu olmasına rağmen).
6) Fonksiyon en büyük değerine bir noktada (bu maksimum noktadır), minimum değerine ise bir noktada (minimum noktadır) ulaşır.
Yorum:

“Maksimum” ve “maksimum değer” farklı şeylerdir. Bu, maksimum tanımından ve "maksimum değer" ifadesinin sezgisel anlaşılmasından kaynaklanmaktadır.

Problem 2'yi çözmek için algoritma.



4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.

Örnek 4:

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirleme segmentte.
Çözüm:
1) Fonksiyonun türevini bulun.

2) Denklemi çözerek sabit noktaları (ve ekstremum olduğundan şüphelenilen noktaları) bulun. İki taraflı sonlu türevin olmadığı noktalara dikkat edin.

3) Fonksiyonun değerlerini durağan noktalarda ve aralığın sınırlarında hesaplayın.

4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.

Bu parçadaki fonksiyon koordinatların olduğu noktada maksimum değerine ulaşır.

Bu segmentteki fonksiyon minimum değerine koordinatların olduğu noktada ulaşır.

İncelenen fonksiyonun grafiğine bakarak hesaplamaların doğruluğunu doğrulayabilirsiniz.


Yorum: Fonksiyon en büyük değerine maksimum noktada, minimum değerine ise parçanın sınırında ulaşır.

Özel bir durum.

Bir segmentteki bazı fonksiyonların maksimum ve minimum değerlerini bulmanız gerektiğini varsayalım. Algoritmanın ilk noktasını tamamladıktan sonra, yani. Türevi hesaplarken, örneğin, söz konusu aralığın tamamı boyunca yalnızca negatif değerler aldığı açıkça ortaya çıkıyor. Türev negatifse fonksiyonun azaldığını unutmayın. Fonksiyonun tüm segment boyunca azaldığını bulduk. Bu durum yazının başındaki 1 numaralı grafikte gösterilmektedir.

Fonksiyon segmentte azalır, yani. hiçbir ekstremum noktası yoktur. Resimden fonksiyonun segmentin sağ sınırında en küçük değeri, sol sınırında ise en büyük değeri alacağını görebilirsiniz. segment üzerindeki türev her yerde pozitifse fonksiyon artar. En küçük değer segmentin sol kenarında, en büyüğü ise sağındadır.

Böyle bir matematiksel analiz nesnesinin fonksiyon olarak incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Anlam ve diğer bilim alanlarında. Örneğin, ekonomik analizde davranışların değerlendirilmesine sürekli bir ihtiyaç vardır. işlevler kârı, yani onun en büyük değerini belirlemek Anlam ve bunu başarmak için bir strateji geliştirin.

Talimatlar

Herhangi bir davranışın incelenmesi her zaman tanım alanının araştırılmasıyla başlamalıdır. Genellikle belirli bir problemin koşullarına göre en büyük sorunun belirlenmesi gerekir. Anlam işlevler ya bu alanın tamamı boyunca ya da belli bir aralığında sınırları açık veya kapalı olarak.

Buna göre en büyüğü Anlam işlevler y(x0), burada tanım alanındaki herhangi bir nokta için y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) eşitsizliği geçerlidir. Grafiksel olarak, argüman değerleri apsis ekseni boyunca ve fonksiyonun kendisi de ordinat ekseni boyunca yerleştirilirse bu nokta en yüksek olacaktır.

En büyüğünü belirlemek için Anlam işlevler, üç adımlı algoritmayı izleyin. Türevi hesaplamanın yanı sıra tek taraflı ve ile çalışabilmeniz gerektiğini lütfen unutmayın. O halde, bir y(x) fonksiyonu verilsin ve onun en büyüğünü bulmanız gerekir. Anlam A ve B sınır değerleri ile belirli bir aralıkta.

Bu aralığın tanımın kapsamında olup olmadığını öğrenin işlevler. Bunu yapmak için, olası tüm kısıtlamaları göz önünde bulundurarak onu bulmanız gerekir: ifadede kesir, karekök vb. varlığı. Tanım alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu argüman değerleri kümesidir. Verilen aralığın onun bir alt kümesi olup olmadığını belirleyin. Cevabınız evet ise bir sonraki adıma geçin.

Türevi bulun işlevler ve türevi sıfıra eşitleyerek elde edilen denklemi çözün. Bu şekilde sözde durağan noktaların değerlerini alacaksınız. Bunlardan en az birinin A, B aralığına ait olup olmadığını değerlendirin.

Üçüncü aşamada bu noktaları göz önünde bulundurun ve değerlerini fonksiyonda yerine koyun. Aralık türüne bağlı olarak aşağıdaki ek adımları uygulayın. [A, B] biçiminde bir bölüm varsa, sınır noktaları aralığa dahil edilir; bu parantezlerle gösterilir. Değerleri Hesapla işlevler x = A ve x = B için. Aralık açıksa (A, B), sınır değerleri delinir, yani. buna dahil değildir. x→A ve x→B için tek taraflı limitleri çözün. Sınırlarından biri kendisine ait olan, diğeri olmayan, [A, B) veya (A, B) biçiminde birleştirilmiş aralık. x'in delinen değere yönelmesi nedeniyle tek taraflı limiti bulun ve diğerini yerine koyun. fonksiyon. Sonsuz iki taraflı aralık (-∞, +∞) veya tek taraflı sonsuz aralıklar şu şekildedir: , (-∞, B). Gerçek limitler A ve B için, daha önce açıklanan ilkelere göre ilerleyin ve için. sonsuz olanlar için sırasıyla x→-∞ ve x→+∞ limitlerini arayın.

Bu aşamada görev

Bu hizmetle şunları yapabilirsiniz: bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmaÇözümün Word'de biçimlendirildiği bir f(x) değişkeni. Dolayısıyla f(x,y) fonksiyonu verilmişse, iki değişkenli fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını da bulabilirsiniz.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma

y =

segmentte [ ;]

Teoriyi dahil et

İşlev girme kuralları:

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli koşul

f" 0 (x *) = 0 denklemi, tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli bir koşuldur, yani x* noktasında, fonksiyonun ilk türevi sıfır olmalıdır. Bu, fonksiyonun olmadığı sabit x c noktalarını tanımlar. artırmak veya azaltmak.

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşul

f 0 (x), D kümesine ait x'e göre iki kez türevlenebilir olsun. Eğer x * noktasında koşul karşılanırsa:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

O halde x * noktası, fonksiyonun yerel (global) minimumunun noktasıdır.

Eğer x * noktasında koşul karşılanırsa:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

O halde x * noktası yerel (global) bir maksimumdur.

Örnek No.1. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun: segmentte.
Çözüm.

Kritik nokta bir x 1 = 2'dir (f'(x)=0). Bu nokta segmente aittir. (0∉ olduğundan x=0 noktası kritik değildir).
Fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve kritik noktada hesaplıyoruz.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Cevap: f min = 5/2, x=2; f maks =9, x=1'de

Örnek No. 2. Daha yüksek dereceli türevleri kullanarak y=x-2sin(x) fonksiyonunun ekstremumunu bulun.
Çözüm.
Fonksiyonun türevini bulun: y'=1-2cos(x) . Kritik noktaları bulalım: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y''=2sin(x)'i buluruz, hesaplarız, yani x= π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun minimum noktalarıdır; , yani x=- π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun maksimum noktalarıdır.

Örnek No. 3. x=0 noktası civarındaki ekstremum fonksiyonunu inceleyin.
Çözüm. Burada fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Eğer ekstremum x=0 ise tipini bulun (minimum veya maksimum). Bulunan noktalar arasında x = 0 yoksa f(x=0) fonksiyonunun değerini hesaplayın.
Belirli bir noktanın her iki tarafındaki türev işaretini değiştirmediğinde, olası durumların türevlenebilir fonksiyonlar için bile tükenmediğine dikkat edilmelidir: noktanın bir tarafındaki keyfi olarak küçük bir komşuluk için x 0 veya her iki tarafta türev işareti değişir. Bu noktalarda fonksiyonları uç noktada incelemek için başka yöntemler kullanmak gerekir.

Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri ya parçanın iç noktasında alabilir [ a, b] veya segmentin sınırında.

Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:

1) fonksiyonun kritik noktalarını ( a, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;

4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma

segmentte.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;

bu noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arada (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denirse aşağı dışbükey (içbükey), eğer grafiği teğetin üzerinde yer alıyorsa.

Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.

3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç ​​noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.

Örnek.

D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – kırılma noktası.

Tanım. Dümdüz y =A isminde yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer

Örnek.

X
sen

Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede

Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.

Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).

3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.

8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.

Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.

1) D (sen) =

X= 4 – kırılma noktası.

2) Ne zaman X = 0,

(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.

Şu tarihte: sen = 0,

3) sen(‒ X)= genel formun bir fonksiyonu (ne çift ne de tek).

4) Asimptotları inceliyoruz.

a) dikey

yatay

c) eğik asimptotları bulun;

‒eğik asimptot denklemi

5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmak gerekli değildir.

6)

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.