Bu konuumuzda belirsiz integralin özelliklerinden ve bu özelliklerden yararlanılarak integrallerin bulunmasından detaylı olarak bahsedeceğiz. Ayrıca belirsiz integraller tablosuyla da çalışacağız. Burada sunulan materyal "Belirsiz integral. Başlangıç" konusunun devamı niteliğindedir. Dürüst olmak gerekirse, test kağıtları nadiren tipik tablolar ve/veya basit özellikler kullanılarak alınabilecek integraller içerir. Bu özellikler, diğer konulardaki integrallerin çözüm mekanizmasını anlamak için bilgi ve anlayış gerektiren alfabeyle karşılaştırılabilir. Genellikle integral tablolarını ve belirsiz integralin özelliklerini kullanan entegrasyona denir. doğrudan entegrasyon.

Ne demek istiyorum: Fonksiyonlar değişir, ancak türevi bulma formülü, daha önce iki yöntem listelememiz gereken integralin aksine, değişmeden kalır.

Devam edelim. $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ türevini bulmak için aynısı aynı formül $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$ için de geçerlidir; bunun yerine $u=x^(-\frac(1)(2)) koymanız gerekir $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Ancak $\int x^(-\frac(1)() integralini bulmak için. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ yeni bir yöntemin kullanılmasını gerektirecektir - Chebyshev ikameleri.

Ve son olarak: $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ fonksiyonunun türevini bulmak için $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" formülü $ yine uygulanabilir, burada $u$ ve $v$ yerine sırasıyla $\sin x$ ve $\frac(1)(x)$ yerine $\int \sin x\cdot\frac(1) koyarız. )(x) dx$ alınır. Daha doğrusu, sonlu sayıda temel fonksiyonla ifade edilmez.

Özetleyelim: Türevi bulmak için bir formülün gerekli olduğu yerde, integral için dört formül gerekliydi (ve bu sınır değildir) ve ikinci durumda integral bulunmayı hiç reddetti. İşlev değiştirildi; yeni bir entegrasyon yöntemine ihtiyaç vardı. Referans kitaplarında çok sayfalı tablolarımızın olduğu yer burasıdır. Genel bir yöntemin eksikliği ("manuel olarak" çözmeye uygun), yalnızca kendi, son derece sınırlı işlev sınıflarının entegrasyonu için uygulanabilen çok sayıda özel yönteme yol açar (ilerideki konularda bu yöntemleri ayrıntılı olarak ele alacağız). Her ne kadar Risch algoritmasının varlığını not edemesem de (Wikipedia'daki açıklamayı okumanızı tavsiye ederim), bu yalnızca belirsiz integrallerin programla işlenmesi için uygundur.

Soru #3

Fakat bu özelliklerden bu kadar çok varsa integral almayı nasıl öğrenebilirim? Türevlerle daha kolaydı!

Bir kişi için şu ana kadar tek bir yol var: Çeşitli entegrasyon yöntemlerini kullanarak mümkün olduğunca çok örnek çözmek, böylece yeni bir belirsiz integral ortaya çıktığında deneyiminize dayanarak bunun için bir çözüm yöntemi seçebilirsiniz. Cevabın pek güven verici olmadığını anlıyorum ama başka yolu yok.

Belirsiz integralin özellikleri

Mülk No.1

Belirsiz integralin türevi integrale eşittir, yani. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

İntegral ve türev karşılıklı olarak ters işlemler olduğundan bu özellik oldukça doğaldır. Örneğin, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ vb.

Mülk No.2

Bazı fonksiyonların diferansiyelinin belirsiz integrali bu fonksiyona eşittir, yani. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Genellikle bu özellik biraz zor olarak algılanır çünkü integralin altında "hiçbir şey" yokmuş gibi görünür. Bunu önlemek için belirtilen özelliği şu şekilde yazabilirsiniz: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Bu özelliğin kullanımına bir örnek: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ veya isterseniz şu biçimde: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Mülk No.3

Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir, yani. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ ($a\neq 0$ olduğunu varsayıyoruz).

Özellik oldukça basittir ve belki de yorum gerektirmez. Örnekler: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

4 No'lu Mülk

İki fonksiyonun toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Örnekler: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

Standart testlerde genellikle 3 ve 4 numaralı özellikler kullanılır, bu nedenle bunlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duracağız.

Örnek No.3

$\int 3 e^x dx$'ı bulun.

3 numaralı özelliği kullanalım ve sabiti çıkaralım, yani. sayı $3$, integral işareti için: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Şimdi integral tablosunu açalım ve 4 numaralı formülde $u=x$ yerine şunu elde edelim: $\int e^x dx=e^x+C$. Bundan $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$ sonucu çıkıyor. Okuyucunun hemen bir sorusu olacağını varsayıyorum, bu yüzden bu soruyu ayrı ayrı formüle edeceğim:

Soru #4

Eğer $\int e^x dx=e^x+C$ ise, o zaman $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! Neden $3e^x+3C$ yerine $3e^x+C$ yazdılar?

Soru tamamen mantıklı. Mesele şu ki, integral sabiti (yani aynı sayı $C$) herhangi bir ifade biçiminde temsil edilebilir: asıl mesele, bu ifadenin tüm gerçek sayılar kümesini "geçirmesidir", yani. $-\infty$ ila $+\infty$ arasında değişiyordu. Örneğin, eğer $-\infty≤ C ≤ +\infty$ ise, o zaman $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, dolayısıyla $C$ sabiti $\ biçiminde temsil edilebilir. kesir(C)(3)$. Şunu yazabiliriz: $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ ve ardından $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\sağ)=3e^x+C$. Gördüğünüz gibi burada bir çelişki yok ama integral sabitinin formunu değiştirirken dikkatli olmak gerekiyor. Örneğin, $C$ sabitini $C^2$ olarak temsil etmek bir hata olacaktır. Mesele şu ki $C^2 ≥ 0$, yani. $C^2$, $-\infty$'dan $+\infty$'a değişmez ve tüm gerçek sayıları "geçirmez". Benzer şekilde, bir sabiti $\sin C$ olarak göstermek de hata olur, çünkü $-1≤ \sin C ≤ 1$, yani. $\sin C$, gerçek eksenin tüm değerlerinde "çalışmaz". Aşağıda bu konuyu ayrıntılı olarak tartışmayacağız, ancak her belirsiz integral için yalnızca $C$ sabitini yazacağız.

Örnek No. 4

$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$'ı bulun.

4 numaralı özelliği kullanalım:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Şimdi integral işaretlerinin dışındaki sabitleri (sayıları) alalım:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

Daha sonra elde edilen her integralle ayrı ayrı çalışacağız. İlk integral, yani. $\int \sin x dx$, 5 numaralı integral tablosunda kolayca bulunabilir. 5 numaralı formülde $u=x$ yerine şunu elde ederiz: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

İkinci integral $\int\frac(dx)(x^2+9)$'ı bulmak için integraller tablosundaki 11 numaralı formülü uygulamanız gerekir. $u=x$ ve $a=3$ yerine şunu elde ederiz: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

Ve son olarak, $\int x^3dx$'ı bulmak için tablodaki 1 numaralı formülü kullanırız ve yerine $u=x$ ve $\alpha=3$ koyarız: $\int x^3dx=\frac(x^) (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ ifadesinin içerdiği tüm integraller bulundu. Geriye kalan tek şey onları değiştirmek:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Sorun çözüldü, cevap şu: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Bu soruna küçük bir not ekleyeceğim:

Sadece küçük bir not

Belki kimsenin bu eke ihtiyacı olmayacak, ama yine de $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$'dan bahsedeceğim. Onlar. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.

İrrasyonellikleri (diğer bir deyişle kökleri) araya koymak için integraller tablosundaki 1 numaralı formülü kullandığımız bir örneğe bakalım.

Örnek No. 5

$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$'ı bulun.

Başlangıç ​​olarak, örnek 3'tekiyle aynı işlemleri yapacağız, yani: integrali ikiye ayıracağız ve sabitleri integrallerin işaretlerinin ötesine taşıyacağız:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

$\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$ olduğundan, $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Bu integrali bulmak için, $u=x$ ve $\alpha=\frac(4)(7)$ yerine 1 numaralı formülü uygularız: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11))))(11)+C$. İsterseniz $\sqrt(x^(11))$ $x\cdot\sqrt(x^(4))$ olarak temsil edebilirsiniz, ancak bu gerekli değildir.

Şimdi ikinci integrale dönelim; $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Çünkü $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11)) ) $ ise, söz konusu integral şu ​​biçimde temsil edilebilir: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Ortaya çıkan integrali bulmak için, integral tablosundaki 1 numaralı formülü uygularız ve bunun yerine $u=x$ ve $\alpha=-\frac(6)(11)$ koyarız: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Elde edilen sonuçları yerine koyarsak şu cevabı alırız:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^() 11))))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11))))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Cevap: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) ))))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Ve son olarak integral tablosunun 9 numaralı formülüne giren integrali alalım. Şimdi geçeceğimiz 6 numaralı örnek başka şekilde de çözülebilir ancak bu daha sonraki konularda tartışılacaktır. Şimdilik tablo kullanımı çerçevesinde kalacağız.

Örnek No. 6

$\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$'yi bulun.

İlk önce, öncekiyle aynı işlemi yapalım: sabiti ($12$ sayısını) integral işaretinin dışına taşıyalım:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Ortaya çıkan $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ integrali zaten tablodaki $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) integraline yakın )$ (formül No. 9 integral tablosu). İntegralimizdeki fark, kökün altındaki $x^2$'den önce, tablo integralinin izin vermediği $7$ katsayısının olmasıdır. Bu nedenle kök işaretinin ötesine taşıyarak bu yediden kurtulmamız gerekiyor:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15))( ) 7)-x^2\sağ))))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Tablo integralini $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ ve $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-) karşılaştırırsak x^ 2))$ aynı yapıya sahip oldukları anlaşılıyor. Yalnızca $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ integralinde $u$ yerine $x$ vardır ve $a^2$ yerine $\frac (15)(7)$ var. Peki, eğer $a^2=\frac(15)(7)$ ise, o zaman $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. $u=x$ ve $a=\sqrt(\frac(15)(7))$'yi $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin formülüne yerleştirme \ frac(u)(a)+C$, aşağıdaki sonucu elde ederiz:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

$\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$ olduğunu hesaba katarsak, sonuç “üç katlı” olmadan yeniden yazılabilir. ” kesirler:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Sorun çözüldü, cevap geldi.

Cevap: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Örnek No.7

$\int\tg^2xdx$'ı bulun.

Trigonometrik fonksiyonların integralini almak için yöntemler vardır. Ancak bu durumda basit trigonometrik formüller bilgisiyle idare edebilirsiniz. $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$ olduğundan, $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ sağ)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. $\sin^2x=1-\cos^2x$ dikkate alındığında şunu elde ederiz:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Böylece, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Ortaya çıkan integrali integrallerin toplamına genişletirsek ve tablo formüllerini uygularsak:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Cevap: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Ders ekipmanları: ders notları.

Değerlendirme kriterleri

İş emri

Görev 1.

9 numaralı dersi okuyun

Görev 2.

Ders 9.

belirsiz integral bu fonksiyondan:

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

20. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyonun artı keyfi bir sabite eşittir:

30. Belirsiz integralin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir.

40. Fonksiyonların cebirsel toplamının belirsiz integrali, fonksiyonların terimlerinin belirsiz integrallerinin cebirsel toplamına eşittir:

50. Eğer a bir sabitse formül geçerlidir

Belge içeriğini görüntüle
“Entegrasyon tekniği Doğrudan entegrasyon”

PRATİK ÇALIŞMA№ 7

Konu: Entegrasyon tekniği. Doğrudan entegrasyon

Hedefler:

Belirsiz integrali hesaplamak için formülleri ve kuralları öğrenin

Doğrudan entegrasyonu kullanarak örnekleri çözmeyi öğrenin

Ders ekipmanları: ders notları.

Değerlendirme kriterleri

Tüm iş görevlerinin doğru şekilde tamamlanmasına “5” notu verilir

Görev 1'in tamamlanması ve görev 2'deki on örneğin herhangi birinin doğru çözülmesi için “4” notu verilir.

Görev 1'i tamamlamak ve Görev 2'deki yedi örneği doğru bir şekilde çözmek için “3” notu verilir.

İş emri

Görev 1.

9 numaralı dersi okuyun

Dersleri kullanarak soruları cevaplayın ve cevapları not defterinize yazın:

1. Belirsiz integralin hangi özelliklerini biliyorsunuz?

2. Temel entegrasyon formüllerini yazın

3. Doğrudan entegrasyonla hangi durumlar mümkündür?

Görev 2.

Bağımsız çözüm için örnekleri çözün

Ders 9.

Konu: “Belirsiz integral. Doğrudan entegrasyon"

Eğer F "(x) = f(x) ise, F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

Herhangi bir sürekli f(x) fonksiyonunun, birbirlerinden sabit bir terim kadar farklı olan sonsuz sayıda antiderivatifi vardır.

f(x) fonksiyonunun tüm antiderivatifleri kümesinin F(x) +C genel ifadesi denir belirsiz integral bu fonksiyondan:

dx = F(x) +С, eğer d(F(x) +С) = dx

Belirsiz integralin temel özellikleri

1 0 .Belirsiz integralin türevi integrale, diferansiyeli ise integrale eşittir:

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

2 0 . Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyonun artı keyfi bir sabite eşittir:

3 0 . Belirsiz integralin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir.

4 0 .Fonksiyonların cebirsel toplamının belirsiz integrali, fonksiyonların terimlerinin belirsiz integrallerinin cebirsel toplamına eşittir:

+dx

5 0 . a bir sabitse formül geçerlidir

Temel entegrasyon formülleri (tablo integralleri)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arksin + C

Formüller (3), (10) uygulanırken. (11) Mutlak değer işareti yalnızca logaritma işaretinin altındaki ifadenin negatif değere sahip olabileceği durumlarda yazılır.

Formüllerin her birinin kontrol edilmesi kolaydır. Sağ tarafın türevinin alınması sonucunda bir integral elde edilir.

Doğrudan entegrasyon.

Doğrudan entegrasyon, integral tablosunun doğrudan kullanımına dayanmaktadır. Burada aşağıdaki durumlar ortaya çıkabilir:

1) bu integral doğrudan karşılık gelen tablo integralinden bulunabilir;

2) bu integral, 3 0 ve 4 0 özelliklerinin uygulanmasından sonra bir veya daha fazla tablosal integrale indirgenir;

3) bu integral, integral üzerindeki temel özdeş dönüşümlerden ve 3 0 ve 4 0 özelliklerinin uygulanmasından sonra, bir veya daha fazla tablosal integrale indirgenir.

Örnekler.

3 0 özelliğine dayanarak, sabit faktör 5 integral işaretinden çıkarılır ve formül 1'i kullanarak şunu elde ederiz:

Çözüm. Özellik 3 0 ve formül 2'yi kullanarak şunu elde ederiz:

6

Çözüm. 3 0 ve 4 0 özelliklerini ve 1 ve 2 formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

İntegral sabiti C, üç entegrasyon sabitinin cebirsel toplamına eşittir, çünkü her integralin kendi keyfi sabiti vardır (C 1 – C 2 + C 3 = C)

Çözüm. Her terimin karesini alıp integralini alırsak,

Trigonometrik formülü kullanarak 1 + karyola 2 x =

= = - ctgx – x + C

Çözüm. İntegralin payına 9 sayısını çıkarıp ekleyerek şunu elde ederiz:

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Kendi kendine çözüm örnekleri

İntegralleri doğrudan entegrasyon kullanarak değerlendirin:

Öğrencilerin bilgilerinin izlenmesi:

pratik çalışmayı kontrol edin;

Pratik çalışmayı tamamlamak için gerekenler:

Pratik çalışma için görev bir not defterinde tamamlanmalıdır.

Dersten sonra iş teslimi

Şimdilik sadece belirsiz integralden bahsedeceğiz, konuyu kısaltmak adına "belirsiz" terimini atlayacağız.

İntegrallerin nasıl hesaplanacağını (veya dedikleri gibi fonksiyonları entegre etmeyi) öğrenmek için önce integral tablosunu öğrenmeniz gerekir:

Tablo1. İntegral tablosu

2. ( ),sen>0. 2a. (α=0); 2b. (a=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Ek olarak, belirli bir fonksiyonun türevini hesaplama yeteneğine de ihtiyacınız olacak; bu, türev alma kurallarını ve temel temel fonksiyonların türev tablosunu hatırlamanız gerektiği anlamına gelir:

Tablo 2. Türevler ve türev alma kuralları tablosu:

6.a .

(günah Ve) = çünkü Ve  Ve (çünkü sen) = – günah Ve Ve

Ayrıca bir fonksiyonun diferansiyelini bulma yeteneğine de ihtiyacımız var. Fonksiyonun diferansiyelinin
formülle bul
, yani bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun türevinin ve argümanının diferansiyelinin çarpımına eşittir. Aşağıdaki bilinen ilişkileri akılda tutmak faydalıdır:

Tablo 3. Diferansiyel tablosu

1. (B= İnşaat) 2. ( ) 3. 4. 5. (B= İnşaat) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Üstelik bu formülleri ister soldan sağa, ister sağdan sola okuyarak kullanabilirsiniz.

İntegrali hesaplamanın üç ana yöntemini sırayla ele alalım. Bunlardan ilki denir Doğrudan entegrasyon yöntemiyle. Belirsiz integralin özelliklerinin kullanımına dayanır ve iki ana teknik içerir: Bir integralin cebirsel toplama genişletilmesi daha basit ve diferansiyel işaretine abone olmak ve bu teknikler hem bağımsız olarak hem de kombinasyon halinde kullanılabilir.

A) düşünelim cebirsel toplam açılımı– bu teknik, integralin özdeş dönüşümlerinin ve belirsiz integralin doğrusallık özelliklerinin kullanılmasını içerir:
Ve.

Örnek 1. İntegralleri bulun:

A)
; B)
;

V)
G)

D)
.

Çözüm.

A)Payı paydaya, terime ve terime bölerek integrali dönüştürelim:

Güçlerin özelliği burada kullanılmıştır:
.

b) Önce kesrin payını dönüştürüyoruz, sonra pay terimini paydaya göre terime bölüyoruz:

Derece özelliği burada da kullanılır:
.

Burada kullanılan özellik:
,
.

.

Burada Tablo 1'deki formül 2 ve 5 kullanılmıştır.

Örnek 2. İntegralleri bulun:

A)
; B)
;

V)
G)

D)
.

Çözüm.

A)Trigonometrik özdeşliği kullanarak integrali dönüştürelim:

.

Burada yine payın paydaya terim terim bölünmesini ve Tablo 1'deki 8 ve 9 formüllerini kullanıyoruz.

b) Kimlik kullanarak benzer şekilde dönüşürüz
:

.

c) Öncelikle pay terimini paydaya bölüp sabitleri integral işaretinden çıkarın, ardından trigonometrik özdeşliği kullanın
:

d) Dereceyi azaltmak için formülü uygulayın:

,

e) Trigonometrik kimlikleri kullanarak şunları dönüştürüyoruz:

B) N olarak adlandırılan entegrasyon tekniğini ele alalım. diferansiyel işaretinin altına yerleştirerek. Bu teknik belirsiz integralin değişmezlik özelliğine dayanmaktadır:

Eğer
, o zaman herhangi bir türevlenebilir fonksiyon için Ve=Ve(X) gerçekleşir:
.

Bu özellik, basit integraller tablosunu önemli ölçüde genişletmemize olanak tanır, çünkü bu özellik nedeniyle Tablo 1'deki formüller yalnızca bağımsız değişken için geçerli değildir. Ve, ama aynı zamanda şu durumda Ve başka bir değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonudur.

Örneğin,
, ama aynı zamanda
, Ve
, Ve
.

Veya
Ve
, Ve
.

Yöntemin özü, belirli bir fonksiyonun diferansiyelini belirli bir integralde izole etmektir, böylece bu izole edilmiş diferansiyel, ifadenin geri kalanıyla birlikte bu fonksiyon için tablo şeklinde bir formül oluşturur. Gerekirse böyle bir dönüşüm sırasında sabitler buna göre eklenebilir. Örneğin:

(son örnekte yazılı ln(3 + X 2) ln|3 yerine + X 2 | ifade 3 + olduğundan X 2 her zaman pozitiftir).

Örnek 3. İntegralleri bulun:

A)
; B)
;
;

V)
G)
;
;

D)
;
.

Çözüm.

A).

e)

Ve)
;

.

H)

Burada Tablo 1'deki 2a, 5a ve 7a formülleri kullanılmıştır; bunların son ikisi tam olarak diferansiyel işaretin toplanmasıyla elde edilir:

.

Görünüm işlevlerini entegre edin

V)

.

daha karmaşık fonksiyonların integrallerinin hesaplanması çerçevesinde sıklıkla ortaya çıkar. Yukarıda açıklanan adımları her seferinde tekrarlamamak için Tablo 1'de verilen ilgili formülleri hatırlamanızı öneririz.

Burada Tablo 1'deki Formül 3 kullanılır.

.

c) Benzer şekilde şunu dikkate alarak şunu dönüştürürüz:

Tablo 1'deki formül 2c burada kullanılır.

.

D) ; İntegralleri bulun:

e)
Ve) ;

V)
.

Çözüm.

H)

Örnek 4.

A)
:

B)

a) Dönüştürelim:
,
.

Tablo 1'deki Formül 3 burada da kullanılır. İntegralleri bulun:

A)
; b) Dereceyi azaltmak için formülü kullanırız

Burada Tablo 1'deki formül 2a ve 7a kullanılmıştır.
Burada Tablo 1'deki formül 2 ve 8'in yanı sıra Tablo 3'teki formüller de kullanılır:
.

Çözüm.

Örnek 5.
fonksiyonun diferansiyeline eklenebilir (Tablo 3'teki formül 4 ve 5'e bakınız)
, Nerede A Ve B– herhangi bir sabit,
. Gerçekten nereden
.

O zaman elimizde:

.

b) Tablo 3'teki formül 6'yı kullanarak şunu elde ederiz:
ve ayrıca
bu, ürünün integrandında bulunması anlamına gelir
bir ipucu anlamına gelir: diferansiyel işaretinin altına ifadeyi girmeniz gerekir
. Bu nedenle alıyoruz

c) b) maddesindeki ürünle aynı
diferansiyel fonksiyonlara genişletilebilir
. Sonra şunu elde ederiz:

.

d) İlk önce integralin doğrusallık özelliklerini kullanırız:

Örnek 6. İntegralleri bulun:

A)
; B)
;

V)
; G)
.

Çözüm.

A)Bunu göz önünde bulundurarak
(tablo 3'teki formül 9), şunu dönüştürüyoruz:

b) Tablo 3'teki formül 12'yi kullanarak şunu elde ederiz:

c) Tablo 3'teki formül 11'i dikkate alarak dönüştürüyoruz

d) Tablo 3'teki formül 16'yı kullanarak şunu elde ederiz:

.

Örnek 7. İntegralleri bulun:

A)
; B)
;

V)
; V)
.

Çözüm.

A)Bu örnekte sunulan tüm integrallerin ortak bir özelliği vardır: İntegral ikinci dereceden bir üç terimli içerir. Bu nedenle, bu integralleri hesaplama yöntemi aynı dönüşüme dayanacaktır - karenin tamamı bu ikinci dereceden trinomiyalde izole edilecektir.

.

B)

.

V)

G)

Diferansiyel işareti değiştirme yöntemi, ikame yöntemi veya değişken değişikliği olarak adlandırılan, bir integralin hesaplanmasına yönelik daha genel bir yöntemin sözlü olarak uygulanmasıdır. Aslında, her seferinde, fonksiyonun diferansiyel işaretinin dahil edilmesi sonucunda elde edilen formül için Tablo 1'de uygun bir formül seçerek, harfi zihinsel olarak değiştirdik. Ve diferansiyel işareti altında tanıtılan fonksiyon. Bu nedenle, eğer diferansiyel işaretini içeren integral çok iyi sonuç vermiyorsa, değişkeni doğrudan değiştirebilirsiniz. Bir sonraki paragrafta bununla ilgili daha fazla ayrıntı bulacaksınız.

Doğrudan entegrasyon yöntemi, integrand fonksiyonunun dönüştürülmesine, belirsiz integralin özelliklerinin uygulanmasına ve integrand ifadesinin tablo biçimine indirgenmesine dayanmaktadır.

Örneğin:

Sınav

Sınav

2. İkame yöntemi (değişken değiştirme)

Bu yöntem yeni bir değişkenin tanıtılmasına dayanmaktadır. İntegralde bir değişiklik yapalım:

;

Bu nedenle şunu elde ederiz:

Örneğin:

1)

Muayene:

2)

Sınav(belirsiz integralin 2 numaralı özelliğine dayanarak):

Parça parça entegre

İzin vermek sen Ve v - diferansiyellenebilir fonksiyonlar. Bu fonksiyonların çarpımının diferansiyelini ortaya koyalım:

,

Neresi

Ortaya çıkan ifadenin integralini alalım:

Örneğin:

Sınav(belirsiz integralin 1 numaralı özelliğine dayanarak):

2)

Haydi karar verelim

Sınav(belirsiz integralin 1 numaralı özelliğine dayanarak):

PRATİK BÖLÜM

Evde çözülmesi gereken sorunlar

İntegrali bulun:

A) ; e) ;

V) ; H)

G) ; Ve)

D) ; İle)

A) ; e) ;

V) ; H) ;

D) ; İle) .

A) ; V) ; D)

B) ; G) ; e)

Pratik derslerde çözülmesi gereken problemler:

I. Doğrudan entegrasyon yöntemi

A) ; Ve) ;

B) ; H) ;

V) ; Ve)

G) ; İle)

e) ; M)

II. İkame yöntemi (değişken değiştirme)

G) ; İle) ;

D) ; l) ;

III. Parçalara göre entegrasyon yöntemi

KONU NO: 4

BELİRLİ İNTEGRAL

Matematiksel hesaplamalarda, bir antiderivatif fonksiyonun argümanı belirli sınırlar dahilinde değiştiğinde, onun artışını bulmak genellikle gereklidir. Çeşitli şekillerin alanları ve hacimleri hesaplanırken, bir fonksiyonun ortalama değeri belirlenirken, değişken bir kuvvetin işi hesaplanırken bu problemin çözülmesi gerekir. Bu problemler karşılık gelen belirli integrallerin hesaplanmasıyla çözülebilir.

Dersin amacı:

1. Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali hesaplamayı öğrenin.

2. Belirli integral kavramını uygulamalı problemlerin çözümünde uygulayabilecektir.

TEORİK BÖLÜM

BELİRLİ BİR INTEGRAL KAVRAMI VE GEOMETRİK ANLAM

Eğrisel bir yamuğun alanını bulma problemini düşünün.

Biraz fonksiyon verilsin y=f(x), grafiği şekilde gösterilmiştir.

Şekil 1. Belirli bir integralin geometrik anlamı.

Eksen üzerinde 0x noktaları seç “A" Ve "V" ve eğriyle kesişene kadar dik açıları onlardan geri yükleyin. Bir eğri, dikler ve bir eksenle sınırlanmış bir şekil 0x kavisli yamuk denir. Aralığı birkaç küçük parçaya bölelim. Rastgele bir bölüm seçelim. Bu parçaya karşılık gelen kavisli bir yamuk dikdörtgeni oluşturalım. Böyle bir dikdörtgenin alanı şu şekilde belirlenir:

Daha sonra aralıktaki tamamlanan tüm dikdörtgenlerin alanı şuna eşit olacaktır:

;

Segmentlerin her biri yeterince küçükse ve sıfıra meyilliyse, dikdörtgenlerin toplam alanı kavisli yamuğun alanına yönelecektir:

;

Dolayısıyla eğrisel bir yamuğun alanını hesaplama sorunu, toplamın limitini belirlemeye gelir.

İntegral toplamı, argümanın artışının ve fonksiyonun değerinin çarpımlarının toplamıdır. f(x) , argümanın değiştiği sınırlar dahilindeki aralığın bir noktasında alınır. Matematiksel olarak, bağımsız değişkenin artışının sıfıra yaklaşması durumunda integral toplamının limitini bulma problemi, belirli bir integral kavramına yol açar.

İşlev f(x ) belli bir aralıkta x=a ile x=b İntegral toplamının eğiliminde olduğu bir sayı varsa entegre edilebilir Dх®0 . Bu durumda sayı J isminde belirli integral işlevler f(x) aralıkta:

;

Nerede ] a, c[ – entegrasyon alanı,

A–Entegrasyonun alt sınırı,

V–entegrasyonun üst sınırı.

Dolayısıyla geometri açısından belirli bir integral, bir fonksiyonun grafiğiyle belirli bir aralıkta sınırlanan bir şeklin alanıdır] a, c [ ve x ekseni.