Belge

20? İçinde Kaç tane bir kere kilometre Daha milimetre? ... iki 3 ve 5 litre kapasiteli kap, 4 litre su topluyor mu? 7) Dan ... yarıçap) 78. Kanıtlanması gereken ifade (teorem) 79. En çok daha küçük... daire pusulası Hacim bir... ayırt edici Sınır top küre bağımsız...

Doğadaki fiziksel olaylarla ilgili gizemler

Belge

Gerekiyor iki mermi; iki tek güverte... İçinde Kaç tane bir kere kare büyük piston Daha...merkezli ( yarıçap) Kütle 1 ... sayısını almak için Daha 2 ve az 3? (virgül) ... hacim) Düzlemin eşit uzaklıktaki noktaları kümesi verildi..., şişme top, kağıt kutusu...

Oyuk top(harici yarıçap R1, dahili R2), şunlardan yapılmıştır...

Belge

Bunlara göre veri Boltzmann sabiti604 28064 604 28064 İki aynı silindirler bağlı... . 909 317032 İçinde Kaç tane bir kere yüzeye eşit olarak dağıtılan bir yükün enerjisi topİle yarıçap , Daha(veya az) enerji...

“Matematik” disiplininde bağımsız çalışmayı organize etmek için metodolojik gelişim

Metodolojik gelişim

... top. Kaç tane malzemenin yüzdesi boşa mı gidiyor? 8. Eğer yarıçapüç toplar 1: 2: 3 olarak ilişkilidir, o zaman hacim Daha topüçte kez Daha miktarlar birimler daha küçük toplar ...

Hesaplama ve grafik görevi No. 1

Belge

... yarıçap R = halkaya teğet eksene göre 10 cm. 3. İçinde Kaç tane bir kere göreceli proton kütlesi Daha...hakkında anlatılan verildi altıgen. 4. Top... yüksekliklerin kesiştiği noktada. 8. İki top kütleler m ve 2m (m... neredeyse 10 bir kere az hariç...

Kombinatoryal problemler

1 . Katya, Masha ve Ira topla oynuyorlar. Her biri topu her arkadaşına bir kez atmalıdır. Her kız topu kaç kez atmalıdır? Top kaç kez atılacak? Aşağıdaki kişilerin oyuna katılması durumunda topun kaç kez atılacağını belirleyin: Dört çocuk; beş çocuk.

2 . Aynı şekle sahip ancak farklı renklere boyanmış üç cephe ve iki çatı verilmiştir: cepheler sarı, mavi ve kırmızı, çatılar ise mavi ve kırmızıdır. Ne tür evler yapılabilir? Toplamda kaç kombinasyon var?

3 . Aynı şekle sahip üç evin cephesi verilmiştir: mavi, sarı ve kırmızı ve üç çatı: mavi, sarı ve kırmızı. Ne tür evler yapılabilir? Toplamda kaç kombinasyon var?

4 . Bayraklardaki tasarımlar daire, kare, üçgen veya yıldız şeklinde olabileceği gibi yeşil veya kırmızı renkte de olabilir. Kaç farklı bayrak olabilir?

5. Okul kantininde öğle yemeğinde ikinci yemek olarak et, pirzola ve balık hazırlandı. Tatlı olarak - dondurma, meyve ve pasta. Bir ana yemek ve bir tatlı yemeği seçebilirsiniz. Kaç farklı öğle yemeği seçeneği var?

6. Okul kantininde öğle yemeğinde ilk yemek olarak etli çorba ve vejeteryan çorbası, ikinci yemek olarak et, pirzola ve balık, tatlı olarak ise dondurma, meyve ve börek hazırlandı. Üç çeşit yemek için kaç farklı seçenek vardır?

7. Üç öğrenci sandalyelere yan yana kaç farklı şekilde oturabilir? Olası tüm durumları yazın.

8 . Dört (beş) kişi yan yana kaç farklı şekilde durabilir?

9 . Tepeye farklı yönlerden çıkan üç yol tepede birleşiyor. Tepeye çıkıp inmek için birden fazla rota oluşturun. Farklı yollarda yukarı ve aşağı gitmeniz gerekiyorsa aynı sorunu çözün.

10 . Akulovo'dan Rybnitsa'ya giden üç yol ve Rybnitsa'dan Kitovo'ya dört yol var. Akulovo'dan Kitovo'ya Rybnitsa üzerinden kaç farklı şekilde seyahat edebilirsiniz?

11 . Bir hece ünsüzle başlayıp sesli harfle bitiyorsa açık denir. “a”, “b”, “c”, “d”, “e”, “i”, “o” harfleri kullanılarak kaç tane iki harfli açık hece yazılabilir? Bu heceleri yazın.

12. 4 bluz ve 4 etek varsa, bir bluz ve bir etekten kaç farklı takım elbise yapılabilir?

13. Petya okula gittiğinde bazen bir veya daha fazla arkadaşıyla tanışır: Vasya, Lenya, Tolya. Oluşabilecek tüm olası durumları listeleyin.

14 . 7 ve 4 rakamlarını kullanarak mümkün olan tüm iki basamaklı sayıları yazın.

15 . Misha satın almayı planladı: bir kalem, bir cetvel, bir not defteri ve bir defter. Bugün sadece iki farklı ürün satın aldı. Mağazada ihtiyaç duyduğu tüm eğitim malzemelerinin bulunduğunu varsayarsak Misha ne satın alabilirdi?

16 . Dört kişi el sıkıştı.

17 Toplamda kaç el sıkışma oldu?

18 . İçinde 0 rakamı bulunmayan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

19 . 1 ve 2 rakamlarından yapılabilecek tüm üç basamaklı sayıları yazın.

20 . 1 ve 2 rakamlarından oluşan tüm olası üç basamaklı sayıları yazın.

21 . 2, 8 ve 5 rakamlarını kullanan tüm olası iki basamaklı sayıları yazın.

22 . Tüm rakamları tek olan iki basamaklı kaç farklı sayı vardır?

23 . 1, 2, 4, 6 rakamlarından hiçbir rakam birden fazla kullanılmadığında kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir? Bu sayıların kaçı çift olacaktır? Kaç tek?

24 . Arabada beş koltuk var. Sürücü koltuğunda yalnızca iki kişi oturabildiğine göre, beş kişi bu arabaya kaç farklı şekilde binebilir?

25. Sınıfta 5 adet tekli sıra bulunmaktadır. Okula yeni gelen iki (üç) çocuk kaç farklı şekilde oturtulabilir?

26 . I. Krylov'un "Dörtlü" masalını hatırlayın:

Yaramaz Maymun, Eşek, Keçi ve çarpık ayaklı Ayı dörtlü çalmaya başladılar. Yayları vuruyorlar, kavga ediyorlar ama hiçbir anlamı yok. “Durun kardeşlerim, durun! - Maymun bağırıyor. - Beklemek! Müzik nasıl gitmeli? Bu şekilde oturmuyorsun. Bu müzisyenler kaç farklı şekilde oturmayı deneyebilirler? Bu onların oyun kalitesini artırabilir mi?

27 . Erkekler ve kızlar ardışık koltuklarda arka arkaya otururlar; erkekler tek numaralı koltuklarda, kızlar ise çift numaralı koltuklarda otururlar. Aşağıdaki durumlarda bu kaç farklı şekilde yapılabilir:

a) 6 kişilik koltuğa 3 erkek ve 3 kız oturur;

b) 10 sandalyeye 5 erkek ve 5 kız oturuyor mu?

28 . Boş bir dama tahtasına siyah ve beyaz olmak üzere iki dama yerleştirmeniz gerekir. Yönetim kurulunda kaç farklı pozisyonda yer alabilirler?

29. Araba numarasının iki harften ve ardından iki rakamdan oluşmasına izin verin, örneğin AB-53. 5 harf ve 6 rakamı kullanarak kaç farklı sayı oluşturabilirsiniz?

30 . Araba numarası üç harf ve dört rakamdan oluşur. Kaç farklı plaka var (Rus alfabesinin 29 harfinden üç harf alınmıştır)?

31 . Diyelim ki kütüphaneye, tasarruf bankasına, postaneye gidip ayakkabılarınızı tamir ettirmeniz gerekiyordu. En kısa rotayı seçmek için olası tüm seçenekleri göz önünde bulundurmanız gerekir. Kütüphane, tasarruf bankası, postane ve ayakkabıcının birbirinden uzak olması durumunda kaç olası yol vardır?

32. Diyelim ki kütüphaneye, tasarruf bankasına, postaneye gidip ayakkabılarınızı tamir ettirmeniz gerekiyordu. En kısa rotayı seçmek için olası tüm seçenekleri göz önünde bulundurmanız gerekir. Eğer kütüphane ve postane yakındaysa ama tasarruf bankası ve kunduracı birbirinden çok uzaktaysa, kaç makul yol vardır?

33. Vagonda seyahat eden yolcular arasında dört dergi hakkında hararetli bir tartışma yaşandı. Herkesin iki dergiye abone olduğu ve iki derginin olası kombinasyonlarının her birine bir kişinin abone olduğu ortaya çıktı. Bu grupta kaç kişi vardı?

34 . Yalnızca renkleri birbirinden farklı olan beş küp vardır: 2 kırmızı, 1 beyaz ve 2 siyah. A ve B olmak üzere iki kutu var ve A'da 2 küp, B'de ise 3 küp var. Bu küpler A ve B kutularına kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

35. Çar-Baba'ya gençleştirici elmalar getirmek için Ivan Tsarevich'in sihirli bahçeye giden tek gerçek yolu bulması gerekiyor. Ivan Tsarevich üç yol ayrımında yaşlı bir kuzgunla karşılaştı ve ondan duyduğu tavsiye şu:

1) şimdi doğru yolda ilerleyin;

2) bir sonraki yol ayrımında doğru yolu tutmayın;

3) üçüncü yol ayrımında sol yolu tutmayın.

Yanımızdan geçen bir güvercin, Ivan Tsarevich'e, kuzgunun tavsiyelerinden yalnızca birinin doğru olduğunu ve farklı yönlerdeki yolları takip etmenin gerekli olduğunu fısıldadı. Kahramanımız görevi tamamladı ve kendini büyülü bir bahçede buldu. Hangi yolu izledi?

Tanım.

Bu, tabanları iki eşit kare ve yan yüzleri eşit dikdörtgen olan bir altıgendir.

Yan kaburga- iki bitişik yan yüzün ortak tarafıdır

Prizma yüksekliği- bu prizmanın tabanlarına dik bir bölümdür

Prizma diyagonal- aynı yüze ait olmayan tabanların iki köşesini birleştiren bir bölüm

Çapraz düzlem- prizmanın köşegeninden ve yan kenarlarından geçen bir düzlem

Çapraz bölüm- prizma ile diyagonal düzlemin kesişme noktasının sınırları. Düzenli bir dörtgen prizmanın köşegen kesiti bir dikdörtgendir

Dik kesit (dik kesit)- bu, bir prizma ile yan kenarlarına dik olarak çizilmiş bir düzlemin kesişimidir

Düzenli bir dörtgen prizmanın elemanları

Şekilde karşılık gelen harflerle gösterilen iki normal dörtgen prizma gösterilmektedir:

• ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 tabanları birbirine eşit ve paraleldir
• Her biri dikdörtgen olan AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ve CC 1 D 1 D yan yüzleri
• Yan yüzey - prizmanın tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamı
• Toplam yüzey - tüm tabanların ve yan yüzlerin alanlarının toplamı (yan yüzey ve tabanların alanının toplamı)
• Yan kaburgalar AA 1, BB 1, CC 1 ve DD 1.
• Çapraz B 1 D
• Taban diyagonal BD
• Çapraz kesit BB 1 D 1 D
• Dikey kesit A ​​2 B 2 C 2 D 2.

Düzenli bir dörtgen prizmanın özellikleri

• Tabanlar iki eşit karedir
• Tabanlar birbirine paralel
• Yan yüzler dikdörtgendir
• Yan kenarlar birbirine eşittir
• Yan yüzler tabanlara diktir
• Yan kaburgalar birbirine paralel ve eşittir
• Tüm yan kaburgalara dik ve tabanlara paralel dik kesit
• Dik kesit açıları - düz
• Düzenli bir dörtgen prizmanın köşegen kesiti bir dikdörtgendir
• Tabanlara paralel dik (dik) kesit

Düzenli dörtgen prizma formülleri

Sorunları çözmek için talimatlar

Konuyla ilgili sorunları çözerken " düzenli dörtgen prizma" şu anlama gelir:

Doğru prizma- tabanında düzenli bir çokgen bulunan ve yan kenarları taban düzlemlerine dik olan bir prizma. Yani, düzenli bir dörtgen prizmanın tabanında kare. (yukarıdaki normal dörtgen prizmanın özelliklerine bakın) Not. Bu, geometri problemleri (kesit stereometrisi - prizma) içeren bir dersin parçasıdır. İşte çözülmesi zor sorunlar. Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Problem çözmede karekök çıkarma eylemini belirtmek için sembolü kullanılır.√ .

Görev.

Düzgün dörtgen prizmanın taban alanı 144 cm2 ve yüksekliği 14 cm'dir. Prizmanın köşegenini ve toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm.
Düzenli bir dörtgen bir karedir.
Buna göre tabanın kenarı eşit olacaktır.

√144 = 12cm.
Düzenli bir dikdörtgen prizmanın tabanının köşegeninin eşit olacağı yerden
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Düzenli bir prizmanın köşegeni, tabanın köşegeni ve prizmanın yüksekliği ile dik bir üçgen oluşturur. Buna göre, Pisagor teoremine göre, belirli bir düzenli dörtgen prizmanın köşegeni şuna eşit olacaktır:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Cevap: 22cm

Görev

Köşegeni 5 cm ve yan yüzünün köşegeni 4 cm olan düzgün bir dörtgen prizmanın toplam yüzeyini belirleyin.

Çözüm.
Düzenli bir dörtgen prizmanın tabanı bir kare olduğundan, tabanın kenarını (a ile gösterilen) Pisagor teoremini kullanarak buluruz:

bir 2 + bir 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Yan yüzün yüksekliği (h olarak gösterilir) bu durumda şuna eşit olacaktır:

H 2 + 12,5 = 4 2
saat 2 + 12,5 = 16
saat 2 = 3,5
h = √3,5

Toplam yüzey alanı, yan yüzey alanının toplamına ve taban alanının iki katına eşit olacaktır.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

Cevap: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

İş türü: 8
Tema: Prizma

Durum

ABCA_1B_1C_1 düzgün üçgen prizmasında tabanın kenarları 4, yan kenarları 10'dur. AB, AC, A_1B_1 ve A_1C_1 kenarlarının orta noktalarından geçen düzleme göre prizmanın kesit alanını bulun.

Çözümü göster

Çözüm

Aşağıdaki şekli düşünün.

MN segmenti A_1B_1C_1 üçgeninin orta çizgisidir, dolayısıyla MN = \frac12 B_1C_1=2. Aynı şekilde, KL=\frac12BC=2. Ayrıca MK = NL = 10'dur. Buradan MNLK dörtgeninin bir paralelkenar olduğu sonucu çıkar. MK\paralel AA_1 olduğundan, MK\perp ABC ve MK\perp KL olur. Bu nedenle MNLK dörtgeni bir dikdörtgendir. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 20.

10\cdot 2 =

İş türü: 8
Tema: Prizma

Durum

Cevap

Çözümü göster

Çözüm

ABCDA_1B_1C_1D_1 düzgün dörtgen prizmasının hacmi 24'tür. K noktası CC_1 kenarının ortasıdır. KBCD piramidinin hacmini bulun.

Koşula göre KC, KBCD piramidinin yüksekliğidir. CC_1, ABCDA_1B_1C_1D_1 prizmasının yüksekliğidir. K, CC_1'in orta noktası olduğundan, o zaman KC=\frac12CC_1. CC_1=H olsun, o zaman KC=\frac12H . Şunu da unutmayın S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Daha sonra, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H=\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Buradan,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

İş türü: 8
Tema: Prizma

Durum

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Çözümü göster

Çözüm

Taban kenarı 6, yüksekliği 8 olan düzgün altıgen prizmanın yan yüzey alanını bulun. · Prizmanın yan yüzeyinin alanı S formülü ile bulunur. = P temel

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

İş türü: 8
Tema: Prizma

Durum

h = 6a\cdot h, burada P temel. ve h sırasıyla tabanın çevresi ve prizmanın yüksekliğidir, 8'e eşittir ve a, düzgün bir altıgenin 6'ya eşit olan kenarıdır. Bu nedenle S tarafı. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Çözümü göster

Çözüm

Düzenli üçgen prizma şeklindeki bir kaba su döküldü. Su seviyesi 40 cm'ye ulaşır. Taban tarafı birincinin iki katı kadar olan aynı şekle sahip başka bir kaba dökülürse su seviyesi ne kadar olur? Cevabınızı santimetre cinsinden ifade edin. A birinci kabın taban tarafı olsun, o zaman 2 a ikinci kabın taban tarafı olsun. Koşul gereği, birinci ve ikinci kaplardaki sıvı V'nin hacmi aynıdır. İkinci kaptaki sıvının yükseldiği seviyeyi H ile gösterelim. Daha sonra v= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40=\frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Ve, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Buradan \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

İş türü: 8
Tema: Prizma

Durum

Normal bir altıgen prizmada ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 tüm kenarlar 2'ye eşittir. A ve E_1 noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

Çözümü göster

Çözüm

AEE_1 üçgeni dikdörtgendir, EE_1 kenarı prizmanın taban düzlemine dik olduğundan, AEE_1 açısı dik açı olacaktır.

O zaman Pisagor teoremine göre AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Kosinüs teoremini kullanarak AFE üçgeninden AE'yi bulalım. Düzgün altıgenin her bir iç açısı 120^(\circ)'dir. Daha sonra AE^2=

AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)=

2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Dolayısıyla AE^2=4+4+4=12,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

İş türü: 8
Tema: Prizma

Durum

AE_1^2=12+4=16, AE_1=4. Tabanında köşegenleri eşit olan bir eşkenar dörtgen bulunan düz bir prizmanın yan yüzey alanını bulun.

Çözümü göster

Çözüm

4\sqrt5 · ve 8 ve bir yan kenar 5'e eşittir.

Düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı S tarafı formülü ile bulunur. = P temel

h = 4a\cdot h, burada P temel. ve h, sırasıyla tabanın çevresi ve prizmanın yüksekliği, 5'e eşittir ve a, eşkenar dörtgenin kenarıdır. ABCD eşkenar dörtgeninin köşegenlerinin karşılıklı olarak dik ve kesişme noktası tarafından ikiye bölündüğü gerçeğini kullanarak eşkenar dörtgenin kenarını bulalım.

Toplama kuralı, ikili olarak ayrık olan, yani ortak elemanları olmayan iki veya daha fazla kümemiz varsa kullanılır. Ve bu kümelerin birleşiminde kaç eleman bulunduğunu bulmamız gerekiyor. Bu durumda her kümedeki eleman sayısını toplarız. En basit örnek: iki sepet meyvemiz varsa: birinde 5 elma, diğerinde 7 armut bulunur. Bu meyveleri tek bir sepete koyarsak (setleri birleştirirsek) yeni sepette 5+7=12 meyve olur.

Çarpma kuralı

Çarpma kuralı, iki kümemiz olduğunda ve bu kümelerin elemanlarından mümkün olan tüm çiftleri oluşturduğumuzda kullanılır. Örneğin 5 elma ve 7 armuttan oluşan bir set alırsak ve bu meyvelerden mümkün olan tüm çiftleri yaparsak, o zaman mümkün olan tüm çiftleri elde ederiz. Gerçekten mi. İlk elmayı alalım. Üzerine yedi armuttan herhangi birini koyabiliriz, yani 7 çift elde ederiz. İkinci elmayı alalım ve ona 7 armuttan herhangi birini de ekleyebiliriz, 7 çift daha elde ederiz. Ve benzeri. Toplam buhardır."

İki basamaklı bir sayının onluk sayı ve birim sayısı şeklinde olduğunu varsayalım. Bu durumda rakam 1'den 9'a kadar değerler alabilir (0 rakamı ilk sıraya gelemez çünkü bu durumda tek haneli bir sayı elde edeceğiz), rakam 0'dan 9'a kadar değerler alabilir.

Diyelim ki ikinci sırada yer alabilecek 10 sayı çeşidimiz var. Daha sonra elimizde 1 on içeren 10 adet iki basamaklı sayı var.

Daha sonra, şimdi 2 onluk olan 10 adet iki basamaklı sayıyı alıyoruz.

Bir sayı 9 farklı değer alabileceği için iki basamaklı sayılar elde ederiz.

İlk sırada 9, ikinci sırada 10 farklı rakam olabileceğini bildiğimizden, bu rakamların kombinasyonlarını, yani tüm olası iki basamaklı sayıları elde ederiz. Burada birinci sıradaki herhangi bir sayının ikinci sıradaki herhangi bir sayıyla birleştirilebileceğini anlamak önemlidir.

Genel olarak çarpma kuralışöyle geliyor:

Eğer A elemanı n farklı şekilde seçilebiliyorsa ve herhangi bir A seçimi için B elemanı m farklı şekilde seçilebiliyorsa, o zaman (A, B) çifti n m farklı şekilde seçilebilir. Bu kural herhangi bir sayıda bağımsız olarak seçilebilen öğeye uygulanır.

Üç basamaklı kaç sayı vardır sorusuna cevap vermek istersek, üç basamaklı bir sayıda ilk rakamın 9, ikinci rakamın 10, üçüncü rakamın ise 10 değer alabildiğini fark edeceğiz. Ve üç basamaklı sayılar elde ediyoruz.

Dahil etme-hariç tutma formülü

İki kümenin birleşimindeki eleman sayısını bulmamız gerekiyorsa, bu kümeler kesişiyorsa kullanılır.

A kümesinin n elemanlı, B kümesinin m elemanlı ve bu kümelerin kesişiminde k elemanlı olduğunu varsayalım. Yani hem A kümesinde hem de B kümesinde k eleman bulunur. O halde kümelerin birleşimi m+n-k eleman içerir.

Aslında iki kümeyi birleştirirken k elemanını iki kez saydık ve şimdi onları bir kez çıkarmamız gerekiyor.

Bir kümedeki eleman sayısı ortak # simgesiyle gösterilir. O zaman üç kümenin birleşimindeki elementlerin sayısını sayma formülü şöyledir:

## # # # # # #

Sorun örneklerine bakalım.

1. En az bir rakamı 3 olan kaç tane üç basamaklı sayı vardır?

Eğer problemli bir soru “en azından” sözcüklerini içeriyorsa, çoğu durumda önce karşıt ifadeyi yanıtlamanız gerekir.

Üç basamaklı kaç sayıda sayının 3 rakamını İÇERMEDİĞİNİ bulalım. Bu durumda sayıdaki birinci, ikinci ve üçüncü basamaklar 3 dışında herhangi bir rakam olabilir. Yani ilk rakam 8 değer alabilir, ikincisi - 9 ve üçüncü - 9 değerleri. Daha sonra 3 rakamını İÇERMEYEN üç basamaklı sayılar elde ederiz. Bu nedenle kalan sayılar en az bir rakam 3 içerir.

2. 5'in katı olan dört basamaklı kaç sayı vardır?

Bir sayının sonu 0 veya 5 ile bitiyorsa 5'e bölünebileceğini biliyoruz. Bu nedenle dört basamaklı bir sayıda son rakam yalnızca iki değer alabilir: 0 ve 5.
İlk rakam 9, ikinci rakam 10, üçüncü rakam 10, dördüncü rakam ise 2 değer alabilir.

Daha sonra 5'e bölünebilen dört basamaklı sayılar elde ederiz.

Yeniden düzenlemeler

Soruyu cevaplamak için çarpma kuralını kullanalım " 7 kişi kaç farklı şekilde sıralanabilir?".

Sırada birinci olan kişi yedi şekilde, ikinci olan ise kalan altı kişi arasından yani altı şekilde seçilebilir. Üçüncüsü sırasıyla beştir. Ve benzeri. İkincisi yalnızca bir şekilde seçilebilir. Toplamda 7 kişiyi bir sıra halinde oluşturmanın yollarını buluyoruz.

Genel olarak, belirli bir sıraya göre düzenlemek istediğimiz nesnelerimiz varsa (onları numaralandırın), o zaman şunu elde ederiz:

bu nesneleri düzenlemenin yolları.

Faktöriyel Bir doğal sayı, 1'den aşağıdakilere kadar olan tüm doğal sayıların çarpımıdır:

Tanım gereği 0!=1; 1!=1.

Yeniden düzenleme Nesnelerin sayısı, bu nesneleri numaralandırmanın herhangi bir yöntemidir (bunları bir sıraya yerleştirme yöntemi).

Permütasyon sayısıöğeler eşittir.

3. 10 adet bilgisayar diski ve 10 adet kutu bulunmaktadır. Diskleri rastgele kutulara koyarsak şunu bulma olasılığını bulun.

1. Her disk kendi kutusundadır.

2. Kutusunda en az bir disk yok.

3. İki özel disk değiştirilir ve geri kalanı kendi kutularındadır.

4. Tam olarak biri kutusunda değil, geri kalanı kutularında.

1. Diskleri ve kutuları numaralandıralım. Kutuları belirli bir sıraya göre düzenleyelim. Diskler rastgele bir sıra halinde dizilmişse, sayıları da aynı sırada yer alacaktır.

10 sayıyı belirli bir sıraya dizmenin tek bir yolu vardır, yani 1 olumlu sonuç elde ederiz.

10 sayıyı herhangi bir sırada düzenleyebilirsiniz 10! yollar.

Bu nedenle her diskin kendi kutusunda bulunma olasılığı şuna eşittir:

2. Etkinlik " kutusunda en az bir disk yok"Olayın tam tersi" " ve olasılığı eşittir

3. Etkinlik " iki özel disk değiştirildi ve geri kalanı kutularında" olayla aynı" her disk kendi kutusundadır", tek bir olumlu sonucu vardır, dolayısıyla bu olayın olasılığı eşittir

4. Etkinlik " tam olarak biri kutusunda değil, geri kalanı kutularında"imkânsızdır, çünkü eğer bir disk kutusunda değilse, o zaman yanlış kutuda olan bir disk daha olması gerekir. Dolayısıyla bu olayın olasılığı sıfırdır.

4. Bir karton şeridin üzerine "MATEMATİK" kelimesi yazılmıştı ve şerit harfler halinde kesilmişti. Tüm bu harfleri rastgele bir sıraya yerleştirdiğimizde tekrar "MATEMATİK" kelimesini elde etme olasılığını bulun.

MATEMATİK"?

M harfinin ilk sırada olma olasılığı 2/10 - elimizde iki M harfi ve toplam 10 harf var.

A harfinin ikinci sırada olma olasılığı 3/9 - elimizde 3'ü A olmak üzere 9 harf kaldı.

T harfinin ikinci sırada olma olasılığı 2/8 - elimizde 2'si T olmak üzere 8 harf kaldı.

"MATEMATİK" kelimesindeki tüm harfleri numaralandıralım. Bunları belirli bir sıraya göre kaç farklı şekilde düzenleyebileceğimizi bulalım. Bir kelimede 10 harf vardır ve bunları 10!=3628800 farklı şekilde sıralayabiliriz.

Kelimenin harfleri aynı olduğundan bu harfleri yeniden düzenlediğimizde aynı kelimeyi elde ederiz:

"MATEMATİK" kelimesinde 2 "M" harfi vardır; 3 harf "A"; 2 harfli "T", dolayısıyla çarpım kuralına göre bu bize "MATEMATİK" kelimesini koruyarak bu harfleri yeniden düzenlemenin yollarını verir.

Dolayısıyla "MATH" kelimesinin tekrar gelme olasılığı:

" kelimesinin harflerinden kaç harf kombinasyonu yapılabilir? MATEMATİK"?

"Kelimesinin 10 harfinden" MATEMATİK" 10 yapabilirsiniz! harf kombinasyonları. Ancak bazıları aynı olacak çünkü aynı harfleri yeniden düzenlediğimizde aynı harf kombinasyonlarını elde edeceğiz. Yani sonunda elde edeceğiz

harf kombinasyonları.

Yerleşimler

Olasılık teorisindeki problemlerde, genellikle belirli sayıda nesnenin kaç farklı şekilde seçilip belirli bir sıraya göre düzenlenebileceğinin belirlenmesine ihtiyaç vardır.

5. 9 uzman arasından 4 adayın 4 farklı ülkeye seyahat etmesi için kaç farklı seçenek vardır?

Çarpma kuralını kullanalım.

İlk ülke için 9 uzman arasından seçim yapıyoruz, yani 9 seçeneğimiz var. İlk ülkeye seyahat için uzman seçildikten sonra elimizde 8 uzman kalıyor, ikinci ülkeye seyahat için ise 8 seçenek arasından seçim yapabiliyoruz. Ve böyle devam ediyor... Dördüncü ülke için 6 uzman arasından bir aday seçebiliyoruz.

Böylece 9 uzman arasından 4 adayı seçerek 4 farklı ülkeye seyahat etme seçeneğimiz oluyor.

Bu sorunu seçim durumuna genelleştirelim. n uzmandan k aday k farklı ülkeye seyahat edecek.

Benzer şekilde tartışarak şunu elde ederiz:

seçenekler.

Bu ifadeyi ile çarpıp bölersek aşağıdaki formülü elde ederiz:

Bu problemde elemanlardan oluşan bir kümeden şunu seçtik: sipariş edildi alt kümeler (Alt kümedeki elemanların sırası bizim için önemliydi), elementlerden oluşur. Görev, bu tür alt kümelerin sayısını bulmaktan ibaretti.

Bu tür sıralı alt kümelere n elemanın k'ye göre düzenlenmesi denir.

Konaklama(n'den k'ye) denir sıralı altküme farklı elemanlardan oluşan bir kümenin farklı elemanlarından.

Yerleşim sayısı tarafından elemanlar aşağıdaki formülle gösterilir ve bulunur:

Tekrarlı yerleşimler

6. Zarlar üç kez atılır. Düşen puanların kaç farklı kombinasyonu olacak?

Zarı ilk kez attığımızda 6 farklı seçeneğe sahip olacağız: 1 puan, 2, 3... veya 6. Benzer şekilde ikinci ve üçüncü kez zar attığımızda da 6 farklı seçeneğe sahip olacağız. Çarpma kuralını kullanarak, 1'den 6'ya kadar değerler alarak üç sayının farklı kombinasyonlarının sayısını elde ederiz:

Genel olarak:

Elemanlardan oluşan bir kümemiz olsun.

Sipariş edilen herhangi bir set elemanlarından oluşan bir kümenin elemanlarına denir ile konaklama tekrarlama tarafından elementlerden . Tekrarlı farklı yerleşimlerin sayısı eşittir

Gerçekten mi. Numaralandırılmış topların olduğu bir kutu düşünün. Topu alıyoruz, numarasını yazıp geri veriyoruz vb. bir kere. Kaç kombinasyon sayıları alabilir miyiz?

Toplar her seferinde geri döndüğü için, içinde top bulunan kutudan her top çıkardığımızda farklı sayılar elde edebiliyoruz. Elimizdeki çarpma kuralına göre

Kombinasyonlar

Sorun 5'e benzer, ancak önemli bir farkla bir sorunu ele alalım.

7. 9 uzman arasından 4 adayı seçmek için kaç farklı seçenek vardır?

Bu problemde 4 aday seçmemiz gerekiyor ama onları hangi sırayla seçtiğimiz önemli değil, ilgilendiğimiz şey yalnızca seçilen öğelerin bileşimi, ancak bunların düzenlenme sırası değil.

Eğer 5. problemde olduğu gibi elemanların sırası ile ilgilenseydik, 9'dan 4'e kadar olan yerleşim sayısını bulmak için formülü uygulayabilirdik:

4 farklı öğe belirli bir sıraya göre düzenlenebilir 4! çeşitli şekillerde. Bizden beri Olumsuz Elementlerin sırasına dikkat edersek, 4 elementi belirli bir sıraya koymadan seçebileceğimiz yolların sayısı 4 azalır! önceki problemle karşılaştırıldığında (çünkü bu problem için bu elemanların farklı düzenlemeleri tek yönlü olarak kabul edilir) ve şunu elde ederiz:

yollar.

Bu problemde kavram ortaya çıkıyor kombinasyonlar.

Kombinasyonlar n elemanlı, k elemanların her birine bir kümenin (n elemandan oluşan bir küme) k elemanından oluşan alt kümeler denir.

Dikkat! Bir kombinasyon diğerinden yalnızca seçilen öğelerin bileşimi bakımından farklılık gösterir (ancak yerleşimlerde olduğu gibi düzenlenme sırasına göre değil).

Kombinasyon sayısı itibaren N tarafından elemanlar k elemanlar belirlenir

ve aşağıdaki formülle bulunur:

Kombinasyon sayısı Nİle k kaç yol seçebileceğimizi gösterir k gelen unsurlar Nöğeleri veya kaç farklı şekilde düzenleyebileceğimizi k tarafından nesneler N yer .

Bunu görmek kolaydır

8. Kutuda 8 adet kırmızı ve 4 adet mavi kalem bulunmaktadır. Kutudan rastgele 4 kalem çekiliyor. Aralarında 2 kırmızı ve 2 mavi olma olasılığı nedir?

Kutu içerisinde toplam 12 adet kalem bulunmaktadır. 4 adet kalemin kutudan kaç farklı şekilde çıkarılabileceğini bulalım. Kalemlerin kutudan çıkarılma sırası ile değil, sadece kalemlerin bileşimiyle ilgilendiğimiz için bu sayı 12'ye 4'lük kombinasyon sayısına eşittir:

8 kırmızı kalemden iki kalem çıkarabilirsiniz yollar.

4 mavi kalemden iki kalem çıkarabilirsiniz yollar.

Çarpım kuralına göre 2 mavi ve 2 kırmızı kalem çıkarmanın yolları olduğunu buluyoruz.

Dolayısıyla gerekli olasılık:

Top ve saptırma yöntemi

9. 10 top 4 kutuya kaç farklı şekilde dizilebilir? Bazı kutuların boş olması bekleniyor.

10 top düşünün:

Bölmeler koyarak “topları kutulara koyacağız”.

Örneğin şöyle:

Bu örnekte, ilk kutuda 3, ikincisinde 2, üçüncüsünde 4 ve dördüncüsünde 2 top var. Topları ve bölmeleri yeniden düzenleyerek kutularda farklı top kombinasyonları elde ediyoruz. Örneğin, ilk kutudaki son topu ve ilk iç bölmeyi yeniden düzenleyerek aşağıdaki kombinasyonu elde ederiz:

Böylece 10 top ve 3 iç bölmenin konumlarını birleştirerek kutularda farklı sayıda top elde ediyoruz. Kaç farklı kombinasyon elde edebileceğimizi belirlemek için 13'ten 3'e kadar olan kombinasyon sayısını bulmamız gerekir. (Ya da eşdeğer olarak 13'ten 10'a kadar olan kombinasyon sayısını) Bölmeler için 3 yer seçmenin pek çok yolu vardır. 13 olası pozisyon. Veya aynı şey, toplar için 10 boşluk.

10. Denklemin kaç çözümü var? negatif olmayan tamsayılarda mı?

Değişkenler yalnızca negatif olmayan tam sayı değerleri alabildiğinden elimizde 10 değişken var ve bunlar 0, 1, 2, 3 ve 4 değerlerini alabiliyor. 10 kutumuz olduğunu (bunlar değişken) ve bunu yapmamız gerektiğini düşünün. faktör bu kutularda 4 top var. Kutuya kaç top düştüğü, ilgili değişkenin değeridir. 10 kutumuz varsa, bu nedenle 10-1 = 9 dahili bölüm. Ve 4 top. Toplamda 13 yer var. Bu 13 yere 4 top yerleştirmemiz gerekiyor. Bu tür olasılıkların sayısı:

Genel olarak, topları kutulara yerleştirmemiz gerekirse, topların ve bir iç bölmenin kombinasyonlarını elde ederiz. Ve bu tür kombinasyonların sayısı, 'den gelen kombinasyonların sayısına eşittir.

Bu problemde ele aldığımız Tekrarlarla kombinasyonlar.

Tekrarlı kombinasyonlar

Öğelerin ve öğelerin tekrarlı kombinasyonları, her öğe türlerden birine ait olan öğeleri içeren gruplardır.

Elementlerin tekrarlı elementlerle birleşimlerinin ne olduğu böyle bir düşünce deneyi ile anlaşılabilir. Numaralandırılmış topların olduğu bir kutu düşünün. Topu alıyoruz, numarasını yazıp geri veriyoruz vb. bir kere. Tekrarlı yerleşimlerden farklı olarak yazılı sayıların sırası değil, sadece kompozisyonu ile ilgileniyoruz. Örneğin (1,1,2,1,3,1,2) ve (1,1,1,1,2,2,3) sayı grupları aynı kabul edilir. Böyle kaç grup var? sayıları alabilir miyiz?

Sonuçta, her türden kaç öğenin (toplam N element türleri) her grupta bulunur ( k elemanlar ) ve kaç farklı seçeneğin olabileceği. Yani, denklemin kaç tane tamsayı negatif olmayan çözümü olduğunu buluyoruz - görev ayrıştırma görevine benzer N toplar içeride k kutular

Tekrarlı kombinasyonların sayısı aşağıdaki formülle belirlenir:

Dolayısıyla tekrarlı kombinasyonların sayısı, k sayısını n terimin toplamı olarak temsil etmenin yollarının sayısıdır.