Matematiksel beklentinin doğrusallığı. Forex'te matematiksel beklentiyi kullanmak

Kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri: matematiksel beklenti, dağılım ve standart sapma. Özellikleri ve örnekleri.

Dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu) tamamen rastgele bir değişkenin davranışını tanımlar. Ancak bir takım problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için, incelenen değerin bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Ayrık rastgele değişkenlerin temel sayısal özelliklerini ele alalım.

Tanım 7.1.Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x pp s.(7.1)

Bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzsa, o zaman ortaya çıkan seri kesinlikle yakınsayacaktır.

Not 1. Matematiksel beklenti bazen denir ağırlıklı ortalamaçünkü çok sayıda deneyde rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir.

Not 2. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar.

Not 3. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan(devamlı. Daha sonra aynı durumun sürekli rastgele değişkenler için de geçerli olduğunu göreceğiz.

Örnek 1. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- 2'si arızalı olmak üzere 10 parçadan oluşan bir partiden seçilen üç standart parçanın sayısı. Şunun için bir dağıtım serisi oluşturalım: X. Sorun koşullarından şu sonuç çıkıyor: X 1, 2, 3 değerlerini alabilir.

Örnek 2. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini belirleyin X- armanın ilk ortaya çıkmasından önce atılan yazı-tura sayısı. Bu miktar sonsuz sayıda değer alabilir (olası değerler kümesi doğal sayılar kümesidir). Dağıtım serisi şu şekildedir:

X			…	N	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)N	…

+ (hesaplama yaparken, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı formülü iki kez kullanıldı: , buradan ).

Matematiksel beklentinin özellikleri.

1) Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir:

M(İLE) = İLE.(7.2)

Kanıt. Eğer dikkate alırsak İLE yalnızca bir değer alan ayrık bir rastgele değişken olarak İLE olasılıkla R= 1 ise M(İLE) = İLE?1 = İLE.

2) Matematiksel beklentinin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:

M(Müşteri Deneyimi) = SANTİMETRE(X). (7.3)

Kanıt. Rastgele değişken ise X dağıtım serisiyle verilir

Daha sonra M(Müşteri Deneyimi) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = İLE(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = SANTİMETRE(X).

Tanım 7.2.İki rastgele değişken denir bağımsız Birinin dağıtım yasası diğerinin hangi değerleri aldığına bağlı değilse. Aksi takdirde rastgele değişkenler bağımlı.

Tanım 7.3. hadi arayalım bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımı X Ve e rastgele değişken XY olası değerleri tüm olası değerlerin çarpımına eşit olan X tüm olası değerler için e ve karşılık gelen olasılıklar, faktörlerin olasılıklarının çarpımına eşittir.

3) İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

M(XY) = M(X)M(e). (7.4)

Kanıt. Hesaplamaları basitleştirmek için kendimizi şu durumla sınırlandırıyoruz: X Ve e yalnızca iki olası değeri alın:

Buradan, M(XY) = X 1 sen 1 ?P 1 G 1 + X 2 sen 1 ?P 2 G 1 + X 1 sen 2 ?P 1 G 2 + X 2 sen 2 ?P 2 G 2 = sen 1 G 1 (X 1 P 1 + X 2 P 2) + + sen 2 G 2 (X 1 P 1 + X 2 P 2) = (sen 1 G 1 + sen 2 G 2) (X 1 P 1 + X 2 P 2) = M(X)?M(e).

Not 1. Bu özellik, faktörlerin daha fazla sayıda olası değeri için benzer şekilde kanıtlanabilir.

Not 2.Özellik 3, matematiksel tümevarımla kanıtlanmış herhangi bir sayıda bağımsız rastgele değişkenin çarpımı için doğrudur.

Tanım 7.4. Hadi tanımlayalım rastgele değişkenlerin toplamı X Ve e rastgele değişken olarak X+Y olası değerleri her olası değerin toplamına eşit olan X mümkün olan her değerle e; bu tür toplamların olasılıkları, terimlerin olasılıklarının çarpımına eşittir (bağımlı rastgele değişkenler için - bir terimin olasılığının, ikincinin koşullu olasılığına göre çarpımı).

4) İki rastgele değişkenin (bağımlı veya bağımsız) toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M (X+Y) = M (X) + M (e). (7.5)

Kanıt.

Özellik 3'ün kanıtında verilen dağılım serisiyle tanımlanan rastgele değişkenleri tekrar ele alalım. Sonra olası değerler X+Yöyle X 1 + en 1 , X 1 + en 2 , X 2 + en 1 , X 2 + en 2. Olasılıklarını sırasıyla şu şekilde gösterelim: R 11 , R 12 , R 21 ve R 22. bulacağız M(X+e) = (X 1 + sen 1)P 11 + (X 1 + sen 2)P 12 + (X 2 + sen 1)P 21 + (X 2 + sen 2)P 22 =

= X 1 (P 11 + P 12) + X 2 (P 21 + P 22) + sen 1 (P 11 + P 21) + sen 2 (P 12 + P 22).

Hadi bunu kanıtlayalım R 11 + R 22 = R 1. Gerçekten de olay X+Y değerleri alacak X 1 + en 1 veya X 1 + en 2 ve olasılığı R 11 + R 22 olayla örtüşüyor X = X 1 (olasılığı R 1). Benzer şekilde kanıtlanmıştır P 21 + P 22 = R 2 , P 11 + P 21 = G 1 , P 12 + P 22 = G 2. Araç,

M(X+Y) = X 1 P 1 + X 2 P 2 + sen 1 G 1 + sen 2 G 2 = M (X) + M (e).

Yorum. Özellik 4'ten, herhangi bir sayıda rastgele değişkenin toplamının, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşit olduğu sonucu çıkar.

Örnek. Beş zar atıldığında elde edilen puanların toplamının matematiksel beklentisini bulun.

Bir zar atıldığında atılan puan sayısının matematiksel beklentisini bulalım:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Aynı sayı, herhangi bir zarda atılan puan sayısının matematiksel beklentisine eşittir. Bu nedenle, özellik 4'e göre M(X)=

Dağılım.

Bir rastgele değişkenin davranışı hakkında fikir sahibi olmak için sadece matematiksel beklentisini bilmek yeterli değildir. İki rastgele değişkeni düşünün: X Ve e, formun dağıtım serisiyle belirtilir

X
R	0,1	0,8	0,1

e
P	0,5	0,5

bulacağız M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(e) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. Gördüğünüz gibi her iki niceliğin matematiksel beklentileri eşittir, ancak eğer HM(X) rastgele bir değişkenin davranışını iyi tanımlar, mümkün olan en olası değeridir (ve geri kalan değerler 50'den pek farklı değildir), o zaman değerler eönemli ölçüde kaldırıldı M(e). Bu nedenle matematiksel beklentiyle birlikte rastgele değişkenin değerlerinin ondan ne kadar saptığının bilinmesi istenir. Bu göstergeyi karakterize etmek için dağılım kullanılır.

Tanım 7.5.Dispersiyon (saçılma) Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Rastgele değişkenin varyansını bulalım X(seçilenler arasındaki standart parçaların sayısı) bu dersin 1. örneğinde. Her olası değerin matematiksel beklentiden sapmasının karesini hesaplayalım:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Buradan,

Not 1. Dağılımın belirlenmesinde, ortalamanın kendisinden sapma değil, karesi değerlendirilir. Bu, farklı işaretlerdeki sapmaların birbirini iptal etmemesi için yapılır.

Not 2. Dağılımın tanımından bu miktarın yalnızca negatif olmayan değerler aldığı sonucu çıkar.

Not 3. Varyansı hesaplamak için hesaplamalara daha uygun olan ve geçerliliği aşağıdaki teoremle kanıtlanmış bir formül vardır:

Teorem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Kanıt.

Neyi kullanarak M(X) sabit bir değerdir ve matematiksel beklentinin özelliklerini, formül (7.6)'yı şu forma dönüştürürüz:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), kanıtlanması gereken şey buydu.

Örnek. Rastgele değişkenlerin varyanslarını hesaplayalım X Ve e bu bölümün başında tartışılmıştır. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(e) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Yani ikinci rastgele değişkenin varyansı, birincinin varyansından birkaç bin kat daha büyüktür. Böylece, bu miktarların dağılım yasalarını bilmeden bile, bilinen dağılım değerlerine dayanarak şunu söyleyebiliriz: X matematiksel beklentisinden çok az sapma gösterirken, e bu sapma oldukça önemlidir.

Dispersiyonun özellikleri.

1) Sabit bir değerin varyansı İLE sıfıra eşit:

D (C) = 0. (7.8)

Kanıt. D(C) = M((SANTİMETRE(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

D(Müşteri Deneyimi) = C² D(X). (7.9)

Kanıt. D(Müşteri Deneyimi) = M((CX-M(Müşteri Deneyimi))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir:

D(X+Y) = D(X) + D(e). (7.10)

Kanıt. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + e²) - ( M(X) + M(e))² = M(X²) + 2 M(X)M(e) +

+ M(e²) - M²( X) - 2M(X)M(e) - M²( e) = (M(X²) - M²( X)) + (M(e²) - M²( e)) = D(X) + D(e).

Sonuç 1. Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir.

Sonuç 2. Bir sabit ile bir rastgele değişkenin toplamının varyansı, rastgele değişkenin varyansına eşittir.

4) İki bağımsız rastgele değişken arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir:

D(X-Y) = D(X) + D(e). (7.11)

Kanıt. D(X-Y) = D(X) + D(-e) = D(X) + (-1)² D(e) = D(X) + D(X).

Varyans, bir rastgele değişkenin ortalamadan sapmasının karesinin ortalama değerini verir; Sapmanın kendisini değerlendirmek için standart sapma adı verilen bir değer kullanılır.

Tanım 7.6.Standart sapmaσ rastgele değişken X varyansın karekökü denir:

Örnek. Önceki örnekte standart sapmalar X Ve e sırasıyla eşittir

Beklenti, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır

Matematiksel beklenti, tanımı, kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi, örneklem, koşullu beklenti, hesaplama, özellikler, problemler, beklenti tahmini, dağılım, dağılım fonksiyonu, formüller, hesaplama örnekleri

İçeriği genişlet

İçeriği daralt

Matematiksel beklentinin tanımı

Rasgele bir değişkenin değerlerinin veya olasılıklarının dağılımını karakterize eden, matematiksel istatistik ve olasılık teorisindeki en önemli kavramlardan biri. Tipik olarak bir rastgele değişkenin olası tüm parametrelerinin ağırlıklı ortalaması olarak ifade edilir. Teknik analizde, sayı serilerinin incelenmesinde, sürekli ve zaman alan süreçlerin incelenmesinde yaygın olarak kullanılır. Finansal piyasalarda işlem yaparken risklerin değerlendirilmesinde, fiyat göstergelerinin tahmin edilmesinde önemlidir ve kumar teorisinde oyun taktikleri stratejileri ve yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır.

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde bir rastgele değişkenin ortalama değeri, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı dikkate alınır.

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin beklentisi X ile gösterilir M(x).

Matematiksel beklenti

Matematiksel beklenti olasılık teorisinde, bir rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.

Matematiksel beklenti bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamı ve bu değerlerin olasılıkları.

Matematiksel beklenti Belirli bir karardan elde edilen ortalama fayda, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla.

Matematiksel beklenti Kumar teorisinde, bir oyuncunun her bahis için ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. Kumar dilinde buna bazen "oyuncunun avantajı" (eğer oyuncu için pozitifse) veya "ev avantajı" (eğer oyuncu için negatifse) denir.

Matematiksel beklenti kazanç başına kâr yüzdesinin ortalama kârla çarpımı, eksi kayıp olasılığı çarpı ortalama kayıp.

Matematik teorisinde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi

Bir rastgele değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri onun matematiksel beklentisidir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem kavramını tanıtalım. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan bir dizi rastgele değişkeni ele alalım. Sistemin olası değerlerinden biri ise, olay Kolmogorov'un aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası herhangi bir değeri için tanımlanan fonksiyona ortak dağılım yasası denir. Bu fonksiyon herhangi bir olayın olasılığını hesaplamanızı sağlar. Özellikle rastgele değişkenlerin ve kümeden değer alan ortak dağılım yasası, olasılıklarla verilmektedir.

“Matematiksel beklenti” terimi Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tarafından ortaya atılmış ve ilk olarak 17. yüzyılda Blaise Pascal ve Christiaan'ın eserlerinde kumar teorisinde ortaya çıkan “kazançların beklenen değeri” kavramından gelmektedir. Huygens. Ancak bu kavramın ilk tam teorik anlayışı ve değerlendirmesi Pafnuty Lvovich Chebyshev (19. yüzyılın ortaları) tarafından yapılmıştır.

Rastgele sayısal değişkenlerin dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu), bir rastgele değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bazı problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için incelenen miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri matematiksel beklenti, varyans, mod ve medyandır.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Bazen matematiksel beklentiye ağırlıklı ortalama denir, çünkü çok sayıda deneyde rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.

Matematiksel beklentinin basit bir fiziksel anlamı vardır: Bir birim kütleyi düz bir çizgi üzerine yerleştirirseniz, belirli bir kütleyi bazı noktalara yerleştirirseniz (kesikli bir dağılım için) veya onu belirli bir yoğunlukla "yayarsanız" (kesinlikle sürekli bir dağılım için) , o zaman matematiksel beklentiye karşılık gelen nokta "ağırlık merkezi" koordinatının düz olması olacaktır.

Bir rastgele değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".

Olasılık teorisinde bir konumun özelliklerinden en önemli rolü, bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi oynar.

Rastgele değişkeni düşünün X, olası değerlere sahip x1, x2,…, xn olasılıklarla p1, p2,…, pn. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalamasının” kullanılması doğaldır. xi ve ortalama sırasında her xi değeri, bu değerin olasılığıyla orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız X, belirttiğimiz M |X|:

Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan matematiksel beklenti kavramını dikkate aldık. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Xçok sayıda deneyde rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına tuhaf bir bağımlılıkla bağlanır. Bu bağımlılık, frekans ve olasılık arasındaki bağımlılıkla aynı türdendir, yani: çok sayıda deneyle, rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentisine yaklaşır (olasılıkla yakınsar). Frekans ve olasılık arasındaki bir bağlantının varlığından, aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasında benzer bir bağlantının varlığı sonucu çıkarılabilir. Aslında rastgele değişkeni düşünün X, bir dağıtım serisiyle karakterize edilir:

Üretilsin N bağımsız deneyler; her birinde değer X belli bir değer alır. Diyelim ki değer x1 göründü m1 zamanlar, değer x2 göründü m2 bir kez, genel anlamda xi birkaç kez göründüm. Matematiksel beklentinin aksine X değerinin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. M|X| biz belirtiyoruz M*|X|:

Artan deney sayısıyla N frekanslar pi karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması M|X| Deney sayısının artmasıyla matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılık açısından yakınlaşacaktır). Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur.

Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığından bahsediyoruz. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve dengelenerek sabit bir değere - matematiksel beklentiye - yaklaşır.

Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin laboratuvarda bir cesedi hassas terazide tartarken, tartma sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.

Bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliği olan matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenlerin olası değerleri sınırlı bir aralıktadır ve elbette matematiksel bir beklentiye sahiptir.

Pratikte rastgele bir değişkenin konumunun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, bazen konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele değişkenin modu ve medyanı kullanılır.

Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Şekiller sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.

Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisinin) birden fazla maksimumu varsa dağılıma "multimodal" dağılım denir.

Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir.

Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.

Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin çevrelediği alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir.

Simetrik modal dağılım durumunda medyan, matematiksel beklenti ve mod ile örtüşür.

Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değeridir; bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal bir özelliğidir. En genel anlamda bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X(w) olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olarak tanımlanır R orijinal olasılık uzayında:

Matematiksel beklenti aynı zamanda Lebesgue integrali olarak da hesaplanabilir. X olasılık dağılımına göre piksel miktarlar X:

Sonsuz matematiksel beklentiye sahip rastgele değişken kavramı doğal bir şekilde tanımlanabilir. Tipik bir örnek, bazı rastgele yürüyüşlerin geri dönüş süreleridir.

Matematiksel beklenti kullanılarak, bir dağılımın birçok sayısal ve işlevsel özelliği belirlenir (rastgele bir değişkenin karşılık gelen fonksiyonlarının matematiksel beklentisi olarak), örneğin üretme işlevi, karakteristik işlev, herhangi bir mertebeden momentler, özellikle dağılım, kovaryans .

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin (dağılımının ortalama değeri) konumunun bir özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel beklenti bazı "tipik" dağılım parametresi olarak hizmet eder ve rolü, mekanikteki statik momentin (kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatı) rolüne benzer. Dağılımın genel terimlerle (medyanlar, modlar) tanımlandığı konumun diğer özelliklerinden, matematiksel beklenti, olasılık teorisinin limit teoremlerinde kendisinin ve karşılık gelen saçılma özelliğinin - dağılım - sahip olduğu daha büyük değerde farklılık gösterir. Matematiksel beklentinin anlamı, en iyi şekilde büyük sayılar yasası (Chebyshev eşitsizliği) ve güçlendirilmiş büyük sayılar yasası ile ortaya çıkar.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Birkaç sayısal değerden birini alabilen bir rastgele değişken olsun (örneğin, zar atıldığında puan sayısı 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir). Pratikte genellikle böyle bir değer için şu soru ortaya çıkar: Çok sayıda testle "ortalama olarak" hangi değeri alır? Riskli işlemlerin her birinden ortalama gelirimiz (veya kaybımız) ne olacak?

Diyelim ki bir çeşit piyango var. Katılmanın (veya hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmanın) karlı olup olmadığını anlamak istiyoruz. Diyelim ki her dört biletten biri kazanan, ödül 300 ruble, herhangi bir biletin fiyatı ise 100 ruble olacak. Sonsuz sayıda katılımla olan şey budur. Kaybedeceğimiz vakaların dörtte üçünde her üç kayıp 300 rubleye mal olacak. Her dördüncü durumda 200 ruble kazanacağız. (ödül eksi maliyet), yani dört katılım için ortalama 100 ruble, bir katılım için ortalama 25 ruble kaybediyoruz. Toplamda harabemizin ortalama ücreti bilet başına 25 ruble olacak.

Zarları atıyoruz. Hile değilse (ağırlık merkezini kaydırmadan vb.), o zaman bir seferde ortalama kaç puanımız olacak? Her seçeneğin olasılığı eşit olduğundan, aritmetik ortalamayı alıp 3,5 elde ederiz. Bu ORTALAMA olduğundan, belirli bir rulonun 3,5 puan vermeyeceğine kızmaya gerek yok - bu küpün böyle bir sayıya sahip bir yüzü yok!

Şimdi örneklerimizi özetleyelim:

Şimdi verilen resme bakalım. Solda rastgele bir değişkenin dağılımını gösteren bir tablo var. X değeri n olası değerden birini alabilir (en üst satırda verilmiştir). Başka bir anlamı olamaz. Olası her değerin altında olasılığı aşağıda yazılmıştır. Sağda M(X)'in matematiksel beklenti olarak adlandırıldığı formül bulunmaktadır. Bu değerin anlamı, çok sayıda testle (büyük bir örneklemle) ortalama değerin aynı matematiksel beklentiye yöneleceğidir.

Tekrar aynı oyun küpüne dönelim. Atış sırasındaki puan sayısının matematiksel beklentisi 3,5'tir (bana inanmıyorsanız formülü kullanarak kendiniz hesaplayın). Diyelim ki birkaç kez attınız. Sonuçlar 4 ve 6 oldu. Ortalama 5 oldu, bu da 3,5'un çok uzağında. Bir kez daha attılar, 3 aldılar, yani ortalama (4+6+3)/3 = 4.3333... Matematiksel beklentiden biraz uzak. Şimdi çılgın bir deney yapın; küpü 1000 kez yuvarlayın! Ve ortalama tam olarak 3,5 olmasa bile ona yakın olacaktır.

Yukarıda anlatılan piyango için matematiksel beklentiyi hesaplayalım. Plaka şöyle görünecek:

O zaman matematiksel beklenti yukarıda belirlediğimiz gibi olacaktır:

Başka bir şey de, daha fazla seçenek olsaydı bunu formül olmadan "parmaklarda" yapmanın zor olacağıdır. Diyelim ki %75'i kaybedilen biletler, %20'si kazanan biletleri ve %5'i özellikle kazanan biletleri olacaktır.

Şimdi matematiksel beklentinin bazı özellikleri.

Bunu kanıtlamak kolaydır:

Sabit faktör matematiksel beklentinin bir işareti olarak çıkarılabilir, yani:

Bu, matematiksel beklentinin doğrusallık özelliğinin özel bir durumudur.

Matematiksel beklentinin doğrusallığının bir başka sonucu:

yani rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

X, Y bağımsız rastgele değişkenler olsun, Daha sonra:

Bunu kanıtlamak da kolaydır) XY kendisi bir rastgele değişkendir ve eğer başlangıç değerleri alınabilirse N Ve M buna göre değerler, o zaman XY nm değerlerini alabilir. Her bir değerin olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması esasına göre hesaplanır. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz:

Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi

Sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu (olasılık yoğunluğu) gibi bir özelliği vardır. Temel olarak, rastgele bir değişkenin gerçek sayılar kümesinden bazı değerleri daha sık, bazılarını ise daha az alması durumunu karakterize eder. Örneğin şu grafiği düşünün:

Burada X- gerçek rastgele değişken, f(x)- dağıtım yoğunluğu. Bu grafiğe bakılırsa, deneyler sırasında değer X genellikle sıfıra yakın bir sayı olacaktır. Şanslar aşıldı 3 veya daha küçük ol -3 oldukça tamamen teorik.

Örneğin, düzgün bir dağılım olsun:

Bu sezgisel anlayışla oldukça tutarlıdır. Diyelim ki, eğer tekdüze bir dağılıma sahip çok sayıda rastgele gerçek sayı alırsak, segmentlerin her biri |0; 1| o zaman aritmetik ortalama yaklaşık 0,5 olmalıdır.

Ayrık rastgele değişkenler için geçerli olan matematiksel beklenti özellikleri - doğrusallık vb. burada da geçerlidir.

Matematiksel beklenti ile diğer istatistiksel göstergeler arasındaki ilişki

İstatistiksel analizde, matematiksel beklentinin yanı sıra, olayların homojenliğini ve süreçlerin istikrarını yansıtan birbirine bağlı göstergeler sistemi vardır. Varyasyon göstergelerinin çoğunlukla bağımsız bir anlamı yoktur ve daha ileri veri analizi için kullanılır. Bunun istisnası, değerli bir istatistiksel özellik olan, verilerin homojenliğini karakterize eden varyasyon katsayısıdır.

İstatistik biliminde süreçlerin değişkenlik veya kararlılık derecesi çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.

Bir rastgele değişkenin değişkenliğini karakterize eden en önemli gösterge Dağılım matematiksel beklentiyle en yakından ve doğrudan ilişkili olandır. Bu parametre diğer istatistiksel analiz türlerinde (hipotez testi, neden-sonuç ilişkilerinin analizi vb.) aktif olarak kullanılır. Ortalama doğrusal sapma gibi varyans da verilerin ortalama değer etrafındaki yayılma boyutunu yansıtır.

İşaret dilini sözcük diline çevirmek faydalıdır. Dağılımın sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların yalnızca pozitif sayılar haline gelmesi ve toplanırken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek için kareleri alınır. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalaması hesaplanır. Sihirli "dağılım" kelimesinin cevabı sadece üç kelimede yatıyor.

Ancak aritmetik ortalama veya indeks gibi saf haliyle dağılım kullanılmaz. Daha ziyade diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan yardımcı ve ara bir göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal verilerin ölçü biriminin karesidir.

Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?

Veya zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti Mx. Bu durumda Mx = 3,5.

Bu değeri nasıl elde ettiniz? içeri gir N testler n1 1 puan aldığınızda, n2 bir kez - 2 puan vb. Daha sonra bir puanın düştüğü sonuçların sayısı:

Benzer şekilde 2, 3, 4, 5 ve 6 puan atıldığında elde edilen sonuçlar için de geçerlidir.

Şimdi x rastgele değişkeninin dağılım yasasını bildiğimizi, yani x rastgele değişkeninin p1, p2, ..., olasılıklarıyla x1, x2, ..., xk değerlerini alabileceğini bildiğimizi varsayalım. pk.

Bir rastgele değişken x'in matematiksel beklentisi Mx şuna eşittir:

Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Bu nedenle, ortalama maaşı tahmin etmek için medyan kavramını, yani maaş alan kişi sayısının medyandan daha düşük ve daha büyük olduğu bir değeri kullanmak daha mantıklı olacaktır.

Rastgele değişken x'in x1/2'den küçük olma olasılığı p1 ile rastgele değişken x'in x1/2'den büyük olma olasılığı p2 aynı ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz olarak belirlenmemektedir.

Standart veya Standart Sapma istatistikte gözlemsel veri veya kümelerin ORTALAMA değerinden sapma derecesine denir. S veya s harfleriyle gösterilir. Küçük bir standart sapma, veri kümelerinin ortalamanın etrafında olduğunu gösterirken, büyük bir standart sapma, başlangıç verilerinin ortalamadan uzakta bulunduğunu gösterir. Standart sapma, varyans adı verilen bir miktarın kareköküne eşittir. Ortalama değerden sapan başlangıç verilerinin kare farklarının toplamının ortalamasıdır. Rastgele bir değişkenin standart sapması varyansın kareköküdür:

Örnek. Test koşulları altında bir hedefe ateş ederken rastgele değişkenin dağılımını ve standart sapmasını hesaplayın:

Varyasyon- Nüfusun birimleri arasında bir özelliğin değerinin dalgalanması, değişebilirliği. İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine değerlerin varyantları denir. Ortalama değerin popülasyonu tam olarak karakterize etmedeki yetersizliği, bizi ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyantını) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle desteklemeye zorlar. Değişim katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder. Bu gösterge, yalnızca seçeneklerin maksimum değerleri arasındaki farkı gösterdiğinden, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında en genel fikri verir. Bir özelliğin uç değerlerine bağımlılık, varyasyonun kapsamına kararsız, rastgele bir karakter kazandırır.

Ortalama doğrusal sapma analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modülo) sapmalarının aritmetik ortalamasını temsil eder:

Kumar teorisinde matematiksel beklenti

Matematiksel beklenti Bir kumarbazın belirli bir bahiste kazanabileceği veya kaybedebileceği ortalama para miktarı. Bu oyuncu için çok önemli bir kavramdır çünkü çoğu oyun durumunun değerlendirilmesinde temeldir. Matematiksel beklenti aynı zamanda temel kart düzenlerini ve oyun durumlarını analiz etmek için de en uygun araçtır.

Diyelim ki bir arkadaşınızla jetonlu bir oyun oynuyorsunuz ve ne olursa olsun her seferinde 1$'lık eşit bahis yapıyorsunuz. Yazı kazandığınız, tura kaybettiğiniz anlamına gelir. Yazının gelme ihtimali bire birdir, bu yüzden 1 ila 1 dolar arasında bahis oynarsınız. Dolayısıyla matematiksel beklentiniz sıfırdır çünkü Matematiksel açıdan bakıldığında, iki atıştan sonra mı yoksa 200 atıştan sonra mı önde olacağınızı ya da kaybedeceğinizi bilemezsiniz.

Saatlik kazancınız sıfırdır. Saatlik kazanç, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saatte 500 kez yazı tura atabilirsiniz ama kazanamazsınız ya da kaybedemezsiniz çünkü... şansınız ne olumlu ne de olumsuz. Ciddi bir oyuncu açısından baktığınızda bu bahis sistemi fena değil. Ancak bu sadece zaman kaybıdır.

Ancak diyelim ki birisi aynı oyunda sizin 1$'ınıza karşı 2$ bahis oynamak istiyor. O zaman hemen her bahisten 50 sentlik olumlu bir beklentiniz olur. Neden 50 sent? Ortalama olarak bir bahis kazanırsınız ve ikincisini kaybedersiniz. İlk dolara bahis yaparsanız 1 $ kaybedersiniz, ikinciye bahis yaparsanız 2 $ kazanırsınız. İki kez 1$ bahis oynarsınız ve 1$ önde olursunuz. Yani bir dolarlık bahislerinizin her biri size 50 sent kazandırdı.

Bir saat içinde bir jeton 500 kez ortaya çıkarsa saatlik kazancınız zaten 250$ olacaktır, çünkü... Ortalama olarak 250 kez bir dolar kaybettiniz ve 250 kez iki dolar kazandınız. 500$ eksi 250$ eşittir 250$, bu da toplam kazançtır. Bahis başına kazandığınız ortalama miktar olan beklenen değerin 50 sent olduğunu lütfen unutmayın. Bir dolara 500 kez bahis oynayarak 250 dolar kazandınız, bu da bahis başına 50 sente eşittir.

Matematiksel beklentinin kısa vadeli sonuçlarla hiçbir ilgisi yoktur. Size karşı 2$ bahis oynamaya karar veren rakibiniz, arka arkaya ilk on atışta sizi yenebilir, ancak siz, 2'ye 1 bahis avantajına sahip olduğunuzdan, diğer her şey eşit olduğunda, herhangi bir 1$'lık bahisten 50 sent kazanacaksınız. durumlar. Masrafları rahatça karşılamaya yetecek kadar paranız olduğu sürece, bir veya birkaç bahis kazanmanız veya kaybetmeniz hiç fark etmez. Aynı şekilde bahis oynamaya devam ederseniz, uzun bir süre boyunca kazancınız bireysel bahislerdeki beklentilerin toplamına yaklaşacaktır.

En iyi bahisi (uzun vadede kârlı olabilecek bir bahis) her yaptığınızda, oranlar lehinize olduğunda, kaybetseniz de kaybetmeseniz de, bu bahisten bir şeyler kazanmanız kaçınılmazdır. el verildi. Tersine, eğer şanslar aleyhinizeyken zayıf bir bahis (uzun vadede kârsız olan bir bahis) yaparsanız, eli kazansanız da kaybetseniz de bir şeyler kaybedersiniz.

Beklentiniz olumlu ise en iyi sonuca sahip bir bahis oynarsınız ve oranlar sizin tarafınızdaysa olumlu olur. En kötü sonuçla bahis oynadığınızda, olumsuz bir beklentiye sahip olursunuz ve bu da oranlar aleyhinize olduğunda ortaya çıkar. Ciddi oyuncular yalnızca en iyi sonuç üzerine bahse girerler; en kötüsü olursa pas geçerler. Oranlar sizin lehinize ne anlama geliyor? Gerçek oranların getirdiğinden daha fazlasını kazanmanız mümkündür. Kafaların gelme ihtimali 1'e 1'dir, ancak oran oranı nedeniyle 2'ye 1 elde edersiniz. Bu durumda ihtimaller sizin lehinizedir. Bahis başına 50 sentlik olumlu bir beklentiyle kesinlikle en iyi sonucu alırsınız.

İşte matematiksel beklentinin daha karmaşık bir örneği. Bir arkadaşınız birden beşe kadar sayıları yazıyor ve sizin bu sayıyı tahmin edemeyeceğinize dair 1 dolarınıza karşılık 5 dolar bahse giriyor. Böyle bir iddiayı kabul etmeli misiniz? Buradaki beklenti nedir?

Ortalama olarak dört kez yanılacaksınız. Buna dayanarak, sayıyı tahmin etme ihtimaliniz 4'e 1'dir. Tek denemede bir dolar kaybetme ihtimaliniz. Ancak, 5'e 1 kazanırsınız ve 4'e 1 kaybetme ihtimaliniz de vardır. Yani oranlar sizin lehinizedir, bahisi kabul edebilir ve en iyi sonucu umabilirsiniz. Bu bahsi beş kez yaparsanız, ortalama olarak dört kez 1$ kaybedersiniz ve bir kez 5$ kazanırsınız. Buna dayanarak, beş denemenin tümü için, bahis başına 20 sentlik pozitif matematiksel beklentiyle 1 $ kazanacaksınız.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bahis yaptığından daha fazlasını kazanmayı uman bir oyuncu şansını denemektedir. Tam tersine, bahse girdiğinden daha az kazanmayı umarak şansını mahveder. Bir bahisçinin olumlu ya da olumsuz bir beklentisi olabilir, bu da kazanma ya da kazanma şansına bağlıdır.

Eğer 4'e 1 kazanma şansıyla 10$ kazanmak için 50$ bahis oynarsanız, 2$'lık negatif bir beklenti elde edersiniz çünkü... Ortalama olarak dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 50$ kaybedersiniz, bu da bahis başına kaybın 10$ olacağını gösterir. Ancak 10$ kazanmak için 30$ bahis oynarsanız ve 4'e 1 kazanma ihtimaliniz aynıysa, o zaman bu durumda 2$ pozitif beklentiniz olur, çünkü yine dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 30$ kaybedersiniz ve 10$ kar elde edersiniz. Bu örnekler ilk bahsin kötü, ikincisinin ise iyi olduğunu göstermektedir.

Matematiksel beklenti, herhangi bir oyun durumunun merkezindedir. Bir bahisçi, futbol taraftarlarını 10$ kazanmak için 11$ bahis oynamaya teşvik ettiğinde, her 10$ için 50 sentlik olumlu bir beklentiye sahiptir. Eğer kumarhane geçiş hattından barbutla eşit miktarda para ödüyorsa, o zaman kumarhanenin olumlu beklentisi her 100$ için yaklaşık 1,40$ olacaktır, çünkü Bu oyun, bu çizgiye bahis yapan herkesin ortalama %50,7 kaybedeceği ve toplam sürenin %49,3'ünü kazanacağı şekilde yapılandırılmıştır. Kuşkusuz, dünya çapındaki kumarhane sahiplerine muazzam karlar getiren şey, görünüşte asgari düzeyde olan bu olumlu beklentidir. Vegas World kumarhanesinin sahibi Bob Stupak'ın belirttiği gibi, "yeterince uzun bir mesafede yüzde birin binde biri negatif olasılık, dünyanın en zengin adamını mahvedecektir."

Poker oynarken beklenti

Poker oyunu, matematiksel beklenti teorisi ve özelliklerinin kullanılması açısından en açıklayıcı ve açıklayıcı örnektir.

Pokerde Beklenen Değer, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla, belirli bir karardan elde edilen ortalama faydadır. Başarılı bir poker oyunu her zaman olumlu beklenen değere sahip hamleleri kabul etmektir.

Poker oynarken matematiksel beklentinin matematiksel anlamı, karar verirken sıklıkla rastgele değişkenlerle karşılaşmamızdır (rakibin elinde hangi kartların olduğunu, sonraki bahis turlarında hangi kartların geleceğini bilmiyoruz). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örnekle, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin matematiksel beklentisine yöneleceğini belirten büyük sayılar teorisi açısından ele almalıyız.

Matematiksel beklentiyi hesaplamaya yönelik özel formüller arasında aşağıdakiler pokerde en uygulanabilir olanıdır:

Poker oynarken hem bahisler hem de çağrılar için beklenen değer hesaplanabilir. İlk durumda kat özsermayesi, ikincisinde ise bankanın kendi oranları dikkate alınmalıdır. Belirli bir hamlenin matematiksel beklentisini değerlendirirken, pasın her zaman sıfır beklentisi olduğunu unutmamalısınız. Bu nedenle kartları atmak her zaman herhangi bir olumsuz hamleden daha karlı bir karar olacaktır.

Beklenti, riske attığınız her dolar için ne bekleyebileceğinizi (kar veya zarar) anlatır. Kumarhaneler para kazanır çünkü içlerinde oynanan tüm oyunların matematiksel beklentisi kumarhanenin lehinedir. Yeterince uzun bir oyun serisiyle müşterinin parasını kaybetmesini bekleyebilirsiniz, çünkü "olasılıklar" kumarhanenin lehinedir. Ancak profesyonel casino oyuncuları oyunlarını kısa sürelerle sınırlandırarak şansları kendi lehlerine artırırlar. Aynı şey yatırım için de geçerli. Eğer beklentiniz olumlu ise kısa sürede çok sayıda işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. Beklenti, kazanç başına kar yüzdenizin ortalama kârınızla çarpımı, eksi kayıp olasılığınızın ortalama kaybınızla çarpımıdır.

Poker aynı zamanda matematiksel beklenti açısından da değerlendirilebilir. Belirli bir hamlenin karlı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda başka bir hamle daha karlı olduğu için bu en iyisi olmayabilir. Diyelim ki beş kartlı pokerde tam bir sayıya ulaştınız. Rakibiniz bir bahis yapar. Bahsi artırırsanız karşılık vereceğini biliyorsunuz. Bu nedenle yükseltme en iyi taktik gibi görünüyor. Ancak bahsi artırırsanız kalan iki oyuncu kesinlikle pas geçecektir. Ancak ararsanız arkanızdaki diğer iki oyuncunun da aynısını yapacağına güveniniz tamdır. Bahsinizi arttırdığınızda bir birim, sadece gördüğünüzde ise iki birim alırsınız. Bu nedenle, aramak size daha yüksek bir olumlu beklenen değer verir ve en iyi taktik olacaktır.

Matematiksel beklenti aynı zamanda hangi poker taktiklerinin daha az karlı, hangilerinin daha karlı olduğu konusunda da fikir verebilir. Örneğin, belirli bir eli oynuyorsanız ve kaybınızın ante dahil ortalama 75 sent olacağını düşünüyorsanız, o eli oynamalısınız çünkü Bu, bahis tutarı 1$ olduğunda pas geçmekten daha iyidir.

Beklenen değer kavramını anlamanın bir diğer önemli nedeni, bahsi kazansanız da kazanmasanız da size gönül rahatlığı vermesidir: eğer iyi bir bahis yaptıysanız veya doğru zamanda pas geçtiyseniz, kazandığınızı veya kazandığınızı bileceksiniz. zayıf oyuncunun biriktiremeyeceği bir miktar para biriktirdi. Rakibiniz daha güçlü bir el çektiği için üzülürseniz pas geçmeniz çok daha zordur. Tüm bunlarla birlikte bahis yerine oynamayarak tasarruf ettiğiniz para, gece veya ay boyunca kazancınıza eklenir.

Elinizi değiştirseniz rakibinizin sizi çağıracağını unutmayın ve Pokerin Temel Teoremi makalesinde de göreceğiniz gibi bu sizin avantajlarınızdan sadece bir tanesi. Bu gerçekleştiğinde mutlu olmalısınız. Hatta bir eli kaybetmenin tadını çıkarmayı bile öğrenebilirsiniz çünkü sizin konumunuzdaki diğer oyuncuların çok daha fazlasını kaybedeceğini bilirsiniz.

Başta jeton oyunu örneğinde de bahsettiğimiz gibi saatlik kar oranı matematiksel beklenti ile bağlantılıdır ve bu kavram özellikle profesyonel oyuncular için önemlidir. Poker oynamaya gittiğinizde, bir saatlik oyunda ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda sezgilerinize ve deneyiminize güvenmeniz gerekecektir, ancak biraz matematikten de yararlanabilirsiniz. Örneğin, berabere düşük top oynuyorsunuz ve üç oyuncunun 10 $ bahis oynadığını ve ardından iki kart takas ettiğini görüyorsunuz ki bu çok kötü bir taktiktir, her 10 $ bahis oynadıklarında yaklaşık 2 $ kaybettiklerini anlayabilirsiniz. Her biri bunu saatte sekiz kez yapıyor, bu da üçünün de saatte yaklaşık 48 dolar kaybettiği anlamına geliyor. Yaklaşık olarak eşit olan geri kalan dört oyuncudan birisiniz, dolayısıyla bu dört oyuncunun (ve aralarında sizin de) her biri saatte 12 $ kar elde edecek şekilde 48 $'ı bölmesi gerekir. Bu durumda saatlik şansınız, üç kötü oyuncunun bir saat içinde kaybettiği para miktarındaki payınıza eşittir.

Uzun bir süre boyunca oyuncunun toplam kazancı, bireysel ellerdeki matematiksel beklentilerinin toplamıdır. Olumlu beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kazanırsınız ve tam tersi, olumsuz beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak saatlik kazancınızı maksimuma çıkarabilmeniz için olumlu beklentinizi maksimuma çıkarabilecek veya olumsuz beklentinizi boşa çıkarabilecek bir oyun seçmelisiniz.

Oyun stratejisinde olumlu matematiksel beklenti

Kart saymayı biliyorsanız, sizi fark edip dışarı atmaları durumunda kumarhaneye karşı bir avantaja sahip olabilirsiniz. Kumarhaneler sarhoş oyuncuları sever ve kart sayma oyuncularına tolerans göstermez. Bir avantaj, zaman içinde kaybettiğinizden daha fazla kazanmanıza olanak tanır. Beklenen değer hesaplamalarını kullanan iyi para yönetimi, avantajınızdan daha fazla kâr elde etmenize ve kayıplarınızı azaltmanıza yardımcı olabilir. Avantajınız yoksa parayı hayır kurumuna vermeniz daha iyi olur. Borsadaki oyunda kayıplardan, fiyat farklarından ve komisyonlardan daha fazla kazanç sağlayan oyun sistemi sayesinde avantaj sağlanıyor. Hiçbir para yönetimi kötü bir oyun sistemini kurtaramaz.

Pozitif beklenti sıfırdan büyük bir değer olarak tanımlanır. Bu sayı ne kadar büyük olursa istatistiksel beklenti de o kadar güçlü olur. Değer sıfırdan küçükse matematiksel beklenti de negatif olacaktır. Negatif değerin modülü ne kadar büyük olursa durum o kadar kötü olur. Sonuç sıfırsa, bekleme başa baş demektir. Ancak olumlu bir matematiksel beklentiniz ve makul bir oyun sisteminiz olduğunda kazanabilirsiniz. Sezgilerle oynamak felakete yol açar.

Matematiksel beklenti ve hisse senedi ticareti

Matematiksel beklenti, finansal piyasalarda döviz ticareti yapılırken oldukça yaygın olarak kullanılan ve popüler bir istatistiksel göstergedir. Öncelikle bu parametre ticaretin başarısını analiz etmek için kullanılır. Bu değer ne kadar yüksek olursa, incelenen ticaretin başarılı olduğunu düşünmek için o kadar fazla neden olduğunu tahmin etmek zor değil. Elbette bir traderın çalışmalarının analizi tek başına bu parametre kullanılarak gerçekleştirilemez. Bununla birlikte, hesaplanan değer, işin kalitesini değerlendirmenin diğer yöntemleriyle birlikte analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.

Matematiksel beklenti, yatırım hesabı izleme hizmetlerinde sıklıkla hesaplanır ve bu, para yatırma işleminde gerçekleştirilen işi hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak tanır. İstisnalar arasında "uzakta" kâr getirmeyen alım satımları kullanan stratejiler yer alır. Bir tüccar bir süreliğine şanslı olabilir ve bu nedenle işinde hiç kayıp olmayabilir. Bu durumda çalışmada kullanılan riskler dikkate alınmayacağı için sadece matematiksel beklentiye göre yönlendirmek mümkün olmayacaktır.

Piyasa ticaretinde, matematiksel beklenti çoğunlukla herhangi bir ticaret stratejisinin karlılığını tahmin ederken veya bir tüccarın önceki ticaretinden elde edilen istatistiksel verilere dayanarak gelirini tahmin ederken kullanılır.

Para yönetimine gelince, olumsuz beklentilerle işlem yaparken kesinlikle yüksek kar getirebilecek bir para yönetimi planının olmadığını anlamak çok önemlidir. Bu koşullar altında borsada oynamaya devam ederseniz, paranızı nasıl yönetirseniz yönetin, başlangıçta ne kadar büyük olursa olsun hesabınızın tamamını kaybedersiniz.

Bu aksiyom yalnızca olumsuz beklentili oyunlar veya işlemler için değil, aynı zamanda eşit şansa sahip oyunlar için de geçerlidir. Bu nedenle, uzun vadede kar elde etme şansınızın olduğu tek zaman pozitif beklenen değere sahip işlemler yapmanızdır.

Olumsuz beklenti ile olumlu beklenti arasındaki fark yaşamla ölüm arasındaki farktır. Beklentinin ne kadar olumlu ya da ne kadar olumsuz olduğu önemli değil; Önemli olan olumlu mu olumsuz mu olduğudur. Bu nedenle para yönetimini düşünmeden önce olumlu beklentiye sahip bir oyun bulmalısınız.

Eğer o oyuna sahip değilseniz, o zaman dünyadaki tüm para yönetimi sizi kurtaramayacaktır. Öte yandan olumlu bir beklentiniz varsa, doğru para yönetimiyle bunu üstel bir büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Olumlu beklentinin ne kadar küçük olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, tek bir sözleşmeye dayalı bir ticaret sisteminin ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. İşlem başına sözleşme başına 10$ kazanan bir sisteminiz varsa (komisyonlar ve kaymalardan sonra), işlem başına ortalama 1.000$ kazanan bir sistemden (komisyonlar ve kaymalar düşüldükten sonra) daha karlı hale getirmek için para yönetimi tekniklerini kullanabilirsiniz.

Önemli olan sistemin ne kadar kârlı olduğu değil, sistemin gelecekte en azından minimum kâr göstereceğinin ne kadar kesin söylenebileceğidir. Bu nedenle bir yatırımcının yapabileceği en önemli hazırlık, sistemin gelecekte olumlu bir beklenen değer göstermesini sağlamaktır.

Gelecekte pozitif bir beklenen değere sahip olmak için sisteminizin serbestlik derecelerini sınırlamamak çok önemlidir. Bu, yalnızca optimize edilecek parametrelerin sayısının ortadan kaldırılması veya azaltılmasıyla değil, aynı zamanda mümkün olduğu kadar çok sistem kuralının azaltılmasıyla da sağlanır. Eklediğiniz her parametre, koyduğunuz her kural, sisteme yaptığınız her küçük değişiklik, serbestlik derecesi sayısını azaltır. İdeal olarak, hemen hemen her pazarda sürekli olarak küçük karlar üretecek oldukça ilkel ve basit bir sistem kurmanız gerekir. Tekrar belirtmek isterim ki sistemin karlı olduğu sürece ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. Ticarette kazandığınız para, etkili para yönetimi sayesinde kazanılacaktır.

Bir ticaret sistemi, para yönetimini kullanabilmeniz için size pozitif bir beklenen değer veren bir araçtır. Yalnızca bir veya birkaç pazarda çalışan (en azından minimum düzeyde kar gösteren) veya farklı pazarlar için farklı kurallara veya parametrelere sahip olan sistemler, büyük olasılıkla gerçek zamanlı olarak yeterince uzun süre çalışmayacaktır. Teknik odaklı yatırımcıların çoğunun sorunu, ticaret sisteminin çeşitli kurallarını ve parametre değerlerini optimize etmek için çok fazla zaman ve çaba harcamalarıdır. Bu tamamen zıt sonuçlar verir. Ticaret sisteminin kârını artırmak için enerjinizi ve bilgisayar zamanınızı boşa harcamak yerine, enerjinizi minimum kâr elde etmenin güvenilirlik düzeyini artırmaya yönlendirin.

Para yönetiminin sadece olumlu beklentilerin kullanılmasını gerektiren bir sayı oyunu olduğunu bilen bir tüccar, hisse senedi ticaretinin "kutsal kasesini" aramayı bırakabilir. Bunun yerine ticaret yöntemini test etmeye başlayabilir, bu yöntemin ne kadar mantıklı olduğunu, olumlu beklentiler verip vermediğini öğrenebilir. Herhangi bir, hatta çok vasat ticaret yöntemlerine uygulanan uygun para yönetimi yöntemleri, işin geri kalanını kendileri yapacaktır.

İşinizde başarılı olmak için herhangi bir yatırımcının en önemli üç görevi yerine getirmesi gerekir: . Başarılı işlem sayısının kaçınılmaz hata ve yanlış hesaplamalardan fazla olmasını sağlamak; Ticaret sisteminizi mümkün olduğunca sık para kazanma fırsatına sahip olacak şekilde kurun; Operasyonlarınızdan istikrarlı ve olumlu sonuçlar elde edin.

Ve burada biz çalışan tüccarlar için matematiksel beklenti çok yardımcı olabilir. Bu terim olasılık teorisindeki anahtar terimlerden biridir. Onun yardımıyla, bazı rastgele değerlerin ortalama bir tahminini verebilirsiniz. Olası tüm olasılıkları farklı kütlelere sahip noktalar olarak hayal ederseniz, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ağırlık merkezine benzer.

Bir ticaret stratejisiyle ilgili olarak, kârın (veya zararın) matematiksel beklentisi çoğunlukla stratejinin etkinliğini değerlendirmek için kullanılır. Bu parametre, belirli kar ve zarar seviyelerinin çarpımlarının toplamı ve bunların oluşma olasılığı olarak tanımlanır. Örneğin, geliştirilen ticaret stratejisi, tüm işlemlerin %37'sinin kâr getireceğini ve geri kalan %63'ünün kârsız olacağını varsaymaktadır. Aynı zamanda başarılı bir işlemden elde edilecek ortalama gelir 7$, ortalama kayıp ise 1,4$ olacaktır. Bu sistemi kullanarak ticaretin matematiksel beklentisini hesaplayalım:

Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarına uyarak, kapatılan her işlemden ortalama 1.708$ alacağımızı söylüyor. Ortaya çıkan verimlilik derecesi sıfırdan büyük olduğundan böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Hesaplama sonucunda matematiksel beklenti negatif çıkarsa, bu zaten ortalama bir kaybı gösterir ve bu tür bir ticaret yıkıma yol açacaktır.

İşlem başına kazanç miktarı % şeklinde göreceli bir değer olarak da ifade edilebilir. Örneğin:

– 1 işlem başına gelir yüzdesi - %5;

– başarılı ticaret işlemlerinin yüzdesi - %62;

– 1 işlem başına kayıp yüzdesi - %3;

– başarısız işlemlerin yüzdesi – %38;

Yani ortalama ticaret %1,96 getirecek.

Kârsız ticaretlerin baskın olmasına rağmen MO>0 olduğundan olumlu sonuç üretecek bir sistem geliştirmek mümkündür.

Ancak tek başına beklemek yeterli değildir. Sistem çok az işlem sinyali verirse para kazanmak zordur. Bu durumda karlılığı banka faiziyle karşılaştırılabilir olacaktır. Her operasyonun ortalama olarak sadece 0,5$ üretmesine izin verin, peki ya sistem yılda 1000 operasyon içeriyorsa? Bu, nispeten kısa bir süre içinde çok önemli bir miktar olacaktır. Bundan mantıksal olarak, iyi bir ticaret sisteminin bir başka ayırt edici özelliğinin de kısa süreli pozisyon tutma olduğu düşünülebilir.

Kaynaklar ve bağlantılar

dic.academic.ru – akademik çevrimiçi sözlük

math.ru – matematik alanında eğitici web sitesi

nsu.ru - Novosibirsk Devlet Üniversitesi'nin eğitim web sitesi

webmath.ru öğrenciler, başvuru sahipleri ve okul çocukları için bir eğitim portalıdır.

exponenta.ru eğitici matematik web sitesi

ru.tradimo.com – ücretsiz çevrimiçi ticaret okulu

crypto.hut2.ru – multidisipliner bilgi kaynağı

poker-wiki.ru – ücretsiz poker ansiklopedisi

sernam.ru – Seçilmiş doğa bilimleri yayınlarından oluşan bilimsel kütüphane

reshim.su – web sitesi Test ödevi sorunlarını çözeceğiz

unfx.ru – UNFX'te Forex: eğitim, ticaret sinyalleri, güven yönetimi

slovopedia.com – Büyük Ansiklopedik Sözlük Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasındaki rehberiniz

statanaliz.info – bilgi blogu “İstatistiksel veri analizi”

forex-trader.rf – Forex-Trader portalı

megafx.ru – güncel Forex analizleri

fx-by.com – bir yatırımcı için her şey

Yani eğer sl. miktarın bir dağıtım yasası vardır, o zaman

isminde matematiksel beklentisi. Eğer sl. miktarın sonsuz sayıda değeri varsa, matematiksel beklenti sonsuz serilerin toplamı ile belirlenir , bu serinin mutlak yakınsak olması şartıyla (aksi halde matematiksel beklentinin olmadığını söylüyorlar) .

İçin sürekli sl. olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) tarafından belirtilen değer, matematiksel beklenti bir integral olarak tanımlanır

Bu integralin var olması şartıyla (eğer integral ıraksaksa matematiksel beklentinin olmadığını söylüyorlar).

Örnek 1. Dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini belirleyelim. Poisson yasası. Tanım gereği

ya da belirtelim

Yani parametre , Poisson rastgele değişkeninin tanımlayıcı dağılım yasası, bu değişkenin ortalama değerine eşittir.

Örnek 2. Üstel dağılım yasasına sahip bir rastgele değişken için matematiksel beklenti şuna eşittir:

():

(f(x)'in yalnızca pozitif x için sıfırdan farklı olduğu gerçeğini hesaba katarak integraldeki limitleri alın).

Örnek 3. Dağıtım yasasına göre dağıtılan rastgele değişken Cauchy, ortalama değeri yoktur. Gerçekten

Matematiksel beklentinin özellikleri.

Özellik 1. Bir sabitin matematiksel beklentisi bu sabitin kendisine eşittir.

C sabiti bu değeri bir olasılıkla alır ve tanım gereği M(C)=C×1=C

Özellik 2. Rasgele değişkenlerin cebirsel toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin cebirsel toplamına eşittir.

Kendimizi bu özelliği yalnızca iki ayrı rastgele değişkenin toplamı için kanıtlamakla sınırlandırıyoruz; hadi bunu kanıtlayalım

İki ayrı kelimenin toplamı altında. Miktarlar aşağıdaki şekilde anlaşılmaktadır. Olasılıklarla değer alan bir nicelik

Tanım gereği

koşulu altında hesaplanan olayın olasılığı nerede? Son eşitliğin sağ tarafı olayın tüm meydana gelme durumlarını listeler, dolayısıyla olayın toplam meydana gelme olasılığına eşittir, yani. . Aynı şekilde . Sonunda elimizde

Özellik 3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

sen			…
Q			…
X			…
R			…

Bu özelliğin kanıtlarını yalnızca ayrık miktarlar için sunuyoruz. Sürekli rastgele değişkenler için de benzer şekilde kanıtlanır.

X ve Y bağımsız olsun ve dağıtım yasaları olsun

Bu rastgele değişkenlerin çarpımı, rastgele değişkenlerin bağımsızlığından dolayı eşit olasılıkla değerler alan bir rastgele değişken olacaktır. Daha sonra

Sonuçlar. Sabit faktör matematiksel beklentinin bir işareti olarak çıkarılabilir. Yani yüzyıl sabiti C, kelimenin hangi değeri aldığına bağlı değildir. X değeri, ardından özellik 3 ile elimizde

M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)

Örnek. Eğer a ve b sabitlerse, M(ax+b)=aM(x)+b olur.

Bağımsız deneme tasarımında bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi.

n bağımsız deney yapılsın, her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı P'ye eşit olsun. Bir olayın bu n deneyde meydana gelme sayısı, binom yasasına göre dağıtılan bir X rastgele değişkenidir. Ancak ortalama değerini doğrudan hesaplamak zahmetlidir. Basitleştirmek için, gelecekte birden fazla kullanacağımız genişletmeyi kullanacağız: Bir olayın n deneyde meydana gelme sayısı, olayın bireysel deneylerde meydana gelme sayısından oluşur, yani.

burada bir dağılım yasası vardır (olay belirli bir deneyde meydana gelmişse 1 değerini, olay belirli bir deneyde ortaya çıkmamışsa 0 değerini alır).


R	1.	R

Bu yüzden

onlar. Bir olayın n bağımsız deneyde ortalama meydana gelme sayısı, deney sayısı ile bir olayın bir deneyde meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir.

Örneğin hedefi tek atışta vurma olasılığı 0,1 ise 20 atıştaki ortalama isabet sayısı 20x0,1=2 olur.

Matematiksel beklentinin tanımı

Şah mat beklemek değerlerin dağılımını karakterize eden matematiksel istatistik ve olasılık teorisindeki en önemli kavramlardan biri veya olasılıklar rastgele değişken. Tipik olarak bir rastgele değişkenin olası tüm parametrelerinin ağırlıklı ortalaması olarak ifade edilir. Teknik analizde, sayı serilerinin incelenmesinde, sürekli ve zaman alan süreçlerin incelenmesinde yaygın olarak kullanılır. Finansal piyasalarda işlem yaparken risklerin değerlendirilmesinde, fiyat göstergelerinin tahmin edilmesinde önemlidir ve stratejiler ve oyun taktikleri yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır. kumar teorileri.

Şah mat bekliyor- Bu rastgele bir değişkenin ortalama değeri, dağılım olasılıklar Olasılık teorisinde rastgele değişken dikkate alınır.

Şah mat beklemek Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin beklentisini kontrol edin X ile gösterilir M(x).

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Şah mat beklemek

Şah mat beklemek olasılık teorisinde, bir rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.

Şah mat beklemek bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamı ve bu değerlerin olasılıkları.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Şah mat beklemek Belirli bir karardan elde edilen ortalama fayda, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla.

Şah mat beklemek Kumar teorisinde, bir spekülatörün her bahiste ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. Kumarın dilinde spekülatörler buna bazen "avantaj" denir spekülatör" (spekülatör için pozitifse) veya "ev avantajı" (spekülatör için negatifse).

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Şah mat beklemek galibiyet başına kar ortalamayla çarpılır kâr eksi kayıp, ortalama kayıpla çarpılır.

Matematik teorisinde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi

Rasgele değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri beklenen değerdir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem kavramını tanıtalım. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan bir dizi rastgele değişkeni ele alalım. Sistemin olası değerlerinden biri ise, olay Kolmogorov'un aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası herhangi bir değeri için tanımlanan fonksiyona ortak dağılım yasası denir. Bu fonksiyon herhangi bir olayın olasılığını hesaplamanızı sağlar. Özellikle ortak kanun kümeden değer alan ve olasılıklarla verilen rastgele değişkenlerin dağılımları.

"Mat" terimi. "beklenti" kavramı Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tarafından ortaya atılmış olup ilk kez 17. yüzyılda kumar teorisinde Blaise Pascal ve Christiaan Huygens'in eserlerinde ortaya çıkan "kazançların beklenen değeri" kavramından gelmektedir. Ancak bu kavramın ilk tam teorik anlayışı ve değerlendirmesi Pafnuty Lvovich Chebyshev (19. yüzyılın ortaları) tarafından yapılmıştır.

Kanun rastgele sayısal değişkenlerin dağılımları (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu), bir rastgele değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bazı problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için incelenen miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri beklenti, varyans, mod ve medyandır.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklenen değeri, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Bazen küfür etmek. beklentiye ağırlıklı ortalama denir, çünkü çok sayıda deneyde rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir. Beklenti değerinin tanımından, değerinin rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyüğünden büyük olmadığı anlaşılmaktadır. Rastgele bir değişkenin beklenen değeri, rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.

Olasılık teorisinde bir konumun özellikleri arasında en önemli rolü, bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin beklenen değeri oynar.

Rastgele değişkeni düşünün X, olası değerlere sahip x1, x2,…, xn olasılıklarla p1, p2,…, pn. Rastgele değişkenin değerlerinin apsis ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. dikkate alarak bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalamasının” kullanılması doğaldır. xi ve ortalama sırasında her xi değeri, bu değerin olasılığıyla orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız X, belirttiğimiz M |X|:

Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin beklenen değeri denir. Böylece olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan matematik kavramını dikkate aldık. beklentiler. Mat. Bir rastgele değişkenin beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Mat. rastgele bir değişken bekliyorum Xçok sayıda deneyde rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına tuhaf bir bağımlılıkla bağlanır. Bu bağımlılık, frekans ve olasılık arasındaki bağımlılıkla aynı türdendir, yani: çok sayıda deneyle, rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiğine yaklaşır (olasılıkla yakınsar). beklemek. Frekans ve olasılık arasındaki bir bağlantının varlığından, aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasında benzer bir bağlantının varlığı sonucu çıkarılabilir. Aslında rastgele değişkeni düşünün X, bir dağıtım serisiyle karakterize edilir:

Artan deney sayısıyla N frekanslar pi karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması M|X| Deney sayısındaki artışla beklenen değerine yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır). Aritmetik ortalama ile matematik arasında yukarıda formüle edilen bağlantı. beklenti, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğidir.

Rastgele bir değişkenin konumunun en önemli özelliğinin mat olduğu unutulmamalıdır. beklenti - tüm rastgele değişkenler için mevcut değildir. Mat olan bu tür rastgele değişkenlere örnekler oluşturmak mümkündür. beklenti yoktur çünkü karşılık gelen toplam veya integral ıraksar. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenlerin olası değerleri sınırlı bir aralıktadır ve elbette matematiksel bir beklentiye sahiptir.

Pratikte bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliklerine (beklenti değeri) ek olarak, konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele değişkenin modu ve medyanı bazen kullanılır.

Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisinin) birden fazla maksimumu varsa dağılıma "multimodal" dağılım denir.

Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir.

Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve beklenen değeri çakışmaz. Dağıtımın simetrik ve modal olduğu (yani bir modu olduğu) ve bir matın bulunduğu özel durumda. beklenti ise dağılımın modu ve simetri merkezi ile örtüşür.

Simetrik modal dağılım durumunda medyan mat ile çakışır. beklenti ve moda.

Beklenen değer, bir rastgele değişkenin ortalama değeridir; bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal bir özelliğidir. En genel şekilde, bir rastgele değişkenin beklentisini kontrol edin X(w) olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olarak tanımlanır R orijinal olasılık uzayında:

Mat. beklenti aynı zamanda Lebesgue integrali olarak da hesaplanabilir. X olasılık dağılımına göre piksel miktarlar X:

Rasgele değişken kavramını sonsuz beklentiyle tanımlamak doğaldır. Tipik bir örnek, bazı rastgele yürüyüşlerdeki geri dönüş süreleridir.

Mat yardımıyla. beklentiler dağılımın birçok sayısal ve işlevsel özelliğini tanımlar (karşılık gelen işlevlerin rastgele bir değişkenden matematiksel beklentisi olarak), örneğin üretme işlevi, karakteristik işlev, herhangi bir sıranın momentleri, özellikle dağılım, kovaryans.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin (dağılımının ortalama değeri) konumunun bir özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel beklenti bazı "tipik" dağılım parametresi olarak hizmet eder ve rolü, mekanikteki statik momentin (kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatı) rolüne benzer. Beklenti, dağılımın genel terimlerle (ortancalar, modlar, paspaslar) tanımlandığı diğer konum özelliklerinden, olasılık teorisinin limit teoremlerinde kendisinin ve karşılık gelen saçılma karakteristiğinin - dağılım - sahip olduğu daha büyük değerle farklılık gösterir. Beklenti eşinin anlamı, büyük sayılar yasası (Chebyshev eşitsizliği) ve güçlendirilmiş büyük sayılar yasası tarafından en iyi şekilde ortaya çıkar.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Diyelim ki bir çeşit piyango var. Katılmanın (veya hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmanın) karlı olup olmadığını anlamak istiyoruz. Diyelim ki her dört biletten biri kazanan, ödül 300 ruble, herhangi bir bilet ise 100 ruble olacak. Sonsuz sayıda katılımla olan şey budur. Kaybedeceğimiz vakaların dörtte üçünde her üç kayıp 300 rubleye mal olacak. Her dördüncü durumda 200 ruble kazanacağız. (ödül eksi maliyet), yani dört katılım için ortalama 100 ruble, bir katılım için ortalama 25 ruble kaybediyoruz. Toplamda harabemizin ortalama ücreti bilet başına 25 ruble olacak.

Şimdi örneklerimizi özetleyelim:

Şimdi verilen resme bakalım. Solda rastgele bir değişkenin dağılımını gösteren bir tablo var. X değeri n olası değerden birini alabilir (en üst satırda verilmiştir). Başka bir anlamı olamaz. Olası her değerin altında olasılığı aşağıda yazılmıştır. Sağda M(X)'in mat olarak adlandırıldığı formül var. beklemek. Bu değerin anlamı, çok sayıda testle (büyük bir örneklemle) ortalama değerin aynı beklentiye yöneleceğidir.

Tekrar aynı oyun küpüne dönelim. Mat. fırlatırken beklenen puan sayısı 3,5'tir (bana inanmıyorsanız formülü kullanarak bunu kendiniz hesaplayın). Diyelim ki birkaç kez attınız. Sonuçlar 4 ve 6 oldu. Ortalama 5 oldu, bu da 3,5'un çok uzağında. Bir kez daha attılar, 3 aldılar yani ortalama (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... Biraz mattan uzaktı. beklentiler. Şimdi çılgın bir deney yapın; küpü 1000 kez yuvarlayın! Ve ortalama tam olarak 3,5 olmasa bile ona yakın olacaktır.

Matı hesaplayalım. yukarıda açıklanan piyangoyu bekliyorum. Plaka şöyle görünecek:

O zaman şah mat beklentisi yukarıda belirlediğimiz gibi olacaktır:

Artık bazı özellikler beklentileri karşılıyor.

Mat. beklenti doğrusaldır. Bunu kanıtlamak kolaydır:

Sabit çarpan şah mat işaretinin ötesine çıkarılabilir. beklentiler yani:

Bu, beklenti montaj ilişkisinin doğrusallık özelliğinin özel bir durumudur.

Matın doğrusallığının bir başka sonucu. beklentiler:

yani mat. rastgele değişkenlerin toplamının beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

X, Y bağımsız rastgele değişkenler olsun, Daha sonra:

Bunu kanıtlamak da kolaydır) XY kendisi bir rastgele değişkendir ve eğer başlangıç değerleri alınabilirse N Ve M buna göre değerler, o zaman XY nm değerlerini alabilir. her bir değer, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması esasına göre hesaplanır. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz:

Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi

Dağıtım yoğunluğu biliniyorsa beklenen değer şu şekilde bulunur:

Örneğin, düzgün bir dağılım olsun:

Hadi bir şah mat bulalım. beklenti:

Ayrık rastgele değişkenler için geçerli olan matematiksel beklentilerin özellikleri - doğrusallık vb. - burada da geçerlidir.

Matematiksel beklenti ile diğer istatistiksel göstergeler arasındaki ilişki

İÇİNDE istatistiksel Analiz, matematiksel beklentinin yanı sıra, olayların homojenliğini ve istikrarını yansıtan birbirine bağlı göstergelerden oluşan bir sistem vardır. süreçler. Varyasyon göstergelerinin çoğunlukla bağımsız bir anlamı yoktur ve daha ileri veri analizi için kullanılır. Bunun istisnası, homojenliği karakterize eden varyasyon katsayısıdır. veri değerli olan nedir istatistiksel karakteristik.

Değişkenlik veya kararlılık derecesi süreçlerİstatistik biliminde çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.

karakterize eden en önemli gösterge değişkenlik rastgele değişken Dağılım mat ile en yakından ve doğrudan ilişkili olan. beklemek. Bu parametre diğer istatistiksel analiz türlerinde (hipotez testi, neden-sonuç ilişkilerinin analizi vb.) aktif olarak kullanılır. Ortalama doğrusal sapma gibi dağılım da yayılmanın ölçüsünü yansıtır veri ortalama değer civarındadır.

İşaret dilini sözcük diline çevirmek faydalıdır. Dağılımın sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Fark Bireysel bir değer ile ortalama arasındaki sapma ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların yalnızca pozitif sayılar haline gelmesi ve toplanırken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek için kareleri alınır. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalaması hesaplanır. Sihirli "dağılım" kelimesinin cevabı sadece üç kelimede yatıyor.

Ancak aritmetik ortalama veya dağılım gibi saf haliyle kullanılmaz. Daha ziyade diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan yardımcı ve ara bir göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal verilerin ölçü biriminin karesidir.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?

Veya zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok özel bir sayıya yönelir - şah mat. beklemek Mx. Bu durumda Mx = 3,5.

Bu değeri nasıl elde ettiniz? içeri gir N testler n1 1 puan aldığınızda, n2 bir kez - 2 puan vb. Daha sonra bir puanın düştüğü sonuçların sayısı:

Benzer şekilde 2, 3, 4, 5 ve 6 puan atıldığında elde edilen sonuçlar için de geçerlidir.

Şimdi x rastgele değişkeninin dağılımlarını bildiğimizi, yani x rastgele değişkeninin p1, p2,..., pk olasılıklarıyla x1, x2,..., xk değerlerini alabildiğini bildiğimizi varsayalım. .

Rastgele değişken x'in matematik beklentisi Mx şuna eşittir:

Matematik beklentisi her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Dolayısıyla ortalama maaşı tahmin etmek için medyan kavramını yani ortalamadan daha az kazanan kişi sayısını ifade eden bir değeri kullanmak daha mantıklı olacaktır. maaş ve büyük, çakışıyor.

Örnek. Test koşulları altında bir hedefe ateş ederken rastgele değişkenin dağılımını ve standart sapmasını hesaplayın:

Varyasyon- Nüfusun birimleri arasında bir özelliğin değerinin dalgalanması, değişebilirliği. İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine değişken değerler denir. Ortalama değerin popülasyonu tam olarak karakterize etmedeki yetersizliği, bizi ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyantını) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle desteklemeye zorlar. Değişim katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder. Bu gösterge, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında en genel fikri verir. fark yalnızca seçeneklerin uç değerleri arasındadır. Bir özelliğin uç değerlerine bağımlılık, varyasyonun kapsamına kararsız, rastgele bir karakter kazandırır.

Ortalama doğrusal sapma analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modülo) sapmalarının aritmetik ortalamasını temsil eder:

Kumar teorisinde matematiksel beklenti

Şah mat beklemek Bir kumar spekülatörünün belirli bir bahiste kazanabileceği veya kaybedebileceği ortalama para miktarı. Bu bir spekülatör için çok önemli bir kavramdır çünkü çoğu kumar durumunun değerlendirilmesinde esastır. Şah Mat aynı zamanda temel kart düzenlerini ve oyun durumlarını analiz etmek için de ideal bir araçtır.

Diyelim ki bir arkadaşınızla jetonlu bir oyun oynuyorsunuz ve ne olursa olsun her seferinde 1$'lık eşit bahis yapıyorsunuz. Yazı kazandığınız, tura kaybettiğiniz anlamına gelir. Yazının gelme ihtimali bire birdir, bu yüzden 1 ila 1 dolar arasında bahis oynarsınız. Dolayısıyla şah mat beklentiniz sıfıra eşittir, çünkü Matematiksel açıdan bakıldığında, iki atıştan sonra mı yoksa 200 atıştan sonra mı önde olacağınızı ya da kaybedeceğinizi bilemezsiniz.

Saatlik kazancınız sıfırdır. Saatlik kazanç, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saatte 500 kez yazı tura atabilirsiniz ama kazanamazsınız ya da kaybedemezsiniz çünkü... şansınız ne olumlu ne de olumsuz. Ciddi bir spekülatör açısından bakıldığında bu bahis sistemi fena değildir. Ancak bu sadece zaman kaybıdır.

Ancak diyelim ki birisi aynı oyunda sizin 1$'ınıza karşı 2$ bahis oynamak istiyor. O zaman hemen her bahisten 50 sentlik olumlu bir beklentiniz olur. Neden 50 sent? Ortalama olarak bir bahis kazanırsınız ve ikincisini kaybedersiniz. İlk önce bahis yaparsanız 1 $ kaybedersiniz, ikinci olarak bahis yaparsanız 2 $ kazanırsınız. İki kez 1$ bahis oynarsınız ve 1$ önde olursunuz. Yani bir dolarlık bahislerinizin her biri size 50 dolar kazandırdı sent.

Bir saat içinde bir jeton 500 kez ortaya çıkarsa saatlik kazancınız zaten 250$ olacaktır, çünkü... ortalama olarak birini kaybettin dolar 250 kere ve ikisini kazandım dolar 250 kez. 500$ eksi 250$ eşittir 250$, bu da toplam kazançtır. Bahis başına kazandığınız ortalama miktar olan beklenen değerin 50 sent olduğunu lütfen unutmayın. Bir dolara 500 kez bahis oynayarak 250 dolar kazandınız, bu da bahis başına 50 sente eşittir.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Mat. beklemenin kısa vadeli sonuçlarla hiçbir ilgisi yoktur. Size karşı 2$ bahis oynamaya karar veren rakibiniz, arka arkaya ilk on atışta sizi yenebilir, ancak siz, 2'ye 1 bahis avantajına sahip olduğunuzdan, diğer her şey eşit olduğunda, herhangi bir 1$'lık bahisten 50 sent kazanacaksınız. durumlar. Masrafları rahatça karşılamaya yetecek kadar paranız olduğu sürece, bir veya birkaç bahis kazanmanız veya kaybetmeniz hiç fark etmez. Aynı şekilde bahis oynamaya devam ederseniz, uzun bir süre boyunca kazancınız bireysel bahislerdeki beklentilerin toplamına yaklaşacaktır.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Beklentiniz olumlu ise en iyi sonuca sahip bir bahis oynarsınız ve oranlar sizin tarafınızdaysa olumlu olur. En kötü sonuçla bahis oynadığınızda, olumsuz bir beklentiye sahip olursunuz ve bu da oranlar aleyhinize olduğunda ortaya çıkar. Ciddi spekülatörler yalnızca en iyi sonuca bahse girerler; en kötü sonuç olursa pas geçerler. Oranlar sizin lehinize ne anlama geliyor? Gerçek oranların getirdiğinden daha fazlasını kazanmanız mümkündür. Kafaların gelme ihtimali 1'e 1'dir, ancak oran oranı nedeniyle 2'ye 1 elde edersiniz. Bu durumda ihtimaller sizin lehinizedir. Bahis başına 50 sentlik olumlu bir beklentiyle kesinlikle en iyi sonucu alırsınız.

İşte matın daha karmaşık bir örneği. beklentiler. Bir arkadaşınız birden beşe kadar sayıları yazıyor ve sizin bu sayıyı tahmin edemeyeceğinize dair 1 dolarınıza karşılık 5 dolar bahse giriyor. Böyle bir iddiayı kabul etmeli misiniz? Buradaki beklenti nedir?

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bahis yaptığından daha fazlasını kazanmayı uman bir spekülatör şansını denemektedir. Tam tersine, bahse girdiğinden daha az kazanmayı umarak şansını mahveder. Bahis koyan bir spekülatörün olumlu ya da olumsuz bir beklentisi olabilir, bu da kazanma ya da kazanma ihtimaline bağlıdır.

Eğer 4'e 1 kazanma şansıyla 10$ kazanmak için 50$ bahis oynarsanız, 2$'lık negatif bir beklenti elde edersiniz çünkü... Ortalama olarak dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 50$ kaybedersiniz, bu da bahis başına kaybın 10$ olacağını gösterir. Ancak 10$ kazanmak için 30$ bahis oynarsanız ve 4'e 1 kazanma ihtimaliniz aynıysa, o zaman bu durumda 2$ pozitif beklentiniz olur, çünkü yine dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 30$ kaybedersiniz, bu da kâr 10 dolardan. Bu örnekler ilk bahsin kötü, ikincisinin ise iyi olduğunu göstermektedir.

Mat. Beklenti, herhangi bir oyun durumunun merkezidir. Bir bahisçi, futbol taraftarlarını 10$ kazanmak için 11$ bahis oynamaya teşvik ettiğinde, her 10$ için 50 sentlik olumlu bir beklentiye sahiptir. Eğer kumarhane geçiş hattından barbutla eşit miktarda para ödüyorsa, o zaman kumarhanenin olumlu beklentisi her 100$ için yaklaşık 1,40$ olacaktır, çünkü Bu oyun, bu çizgiye bahis yapan herkesin ortalama %50,7 kaybedeceği ve toplam sürenin %49,3'ünü kazanacağı şekilde yapılandırılmıştır. Kuşkusuz, dünya çapındaki kumarhane sahiplerine devasa karlar getiren şey, görünüşte asgari düzeyde olan bu olumlu beklentidir. Vegas World kumarhanesinin sahibi Bob Stupak'ın belirttiği gibi, "binde bir yüzde Yeterince uzun bir mesafedeki negatif olasılık dünyanın en zengin adamını mahvedecektir.

Poker oynarken beklenti

Poker oyunu, beklenti eşi teorisi ve özelliklerinin kullanılması açısından en açıklayıcı ve açıklayıcı örnektir.

Mat. Pokerde Beklenen Değer, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla, belirli bir karardan elde edilen ortalama faydadır. Başarılı bir poker oyunu her zaman olumlu beklenen değere sahip hamleleri kabul etmektir.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Matematiğin matematiksel anlamı. Poker oynarken beklenti, karar verirken sıklıkla rastgele değişkenlerle karşılaşmamızdır (rakibin elinde hangi kartların olduğunu, sonraki turlarda hangi kartların geleceğini tam olarak bilmiyoruz) ticaret). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örneklemle rastgele bir değişkenin ortalama değerinin beklenen değere yöneleceğini belirten büyük sayılar teorisi açısından ele almalıyız.

Eş beklentilerini hesaplamaya yönelik özel formüller arasında aşağıdakiler pokerde en uygulanabilir olanıdır:

Pokerde şah mat oynarken. beklenti hem bahisler hem de çağrılar için hesaplanabilir. İlk durumda kat özsermayesi, ikincisinde ise bankanın kendi oranları dikkate alınmalıdır. Matı değerlendirirken. Belirli bir hamleye ilişkin beklentiler göz önüne alındığında, bir pasın her zaman sıfır beklentiye sahip olduğu unutulmamalıdır. Bu nedenle kartları atmak her zaman herhangi bir olumsuz hamleden daha karlı bir karar olacaktır.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Beklenti, aldığınız her risk karşılığında ne bekleyebileceğinizi (veya kaybedebileceğinizi) anlatır. Kumarhaneler para kazanıyor paraŞah mat, oynanan tüm oyunlardan kumarhane lehine bir beklenti olduğundan. Yeterince uzun bir oyun serisiyle müşterinin kendi hakkını kaybetmesini bekleyebilirsiniz. paraçünkü “ihtimaller” kumarhanenin lehinedir. Ancak profesyonel casino spekülatörleri oyunlarını kısa sürelerle sınırlandırarak şansları kendi lehlerine artırırlar. Aynı şey yatırım için de geçerli. Beklentiniz olumlu ise kısa sürede çok sayıda işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. dönem zaman. Beklenti, kazanç başına kar yüzdenizin ortalama kârınızla çarpımı, eksi kayıp olasılığınızın ortalama kaybınızla çarpımıdır.

Poker aynı zamanda şah mat beklentileri açısından da görülebilir. Belirli bir hamlenin karlı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda başka bir hamle daha karlı olduğu için bu en iyisi olmayabilir. Diyelim ki beş kartlı pokerde tam bir sayıya ulaştınız. Rakibiniz bir bahis yapar. Bahsi artırırsanız karşılık vereceğini biliyorsunuz. Bu nedenle yükseltme en iyi taktik gibi görünüyor. Ancak bahsi artırırsanız kalan iki spekülatör kesinlikle pas geçecektir. Ama ararsanız, sizden sonraki diğer iki spekülatörün de aynısını yapacağına güveniniz tamdır. Bahsinizi arttırdığınızda bir birim, sadece gördüğünüzde ise iki birim alırsınız. Bu nedenle, aramak size daha yüksek bir olumlu beklenen değer verir ve en iyi taktik olacaktır.

Mat. beklenti aynı zamanda hangi poker taktiklerinin daha az karlı, hangilerinin daha karlı olduğu konusunda da fikir verebilir. Örneğin, belirli bir eli oynuyorsanız ve kaybınızın ante dahil ortalama 75 sent olacağını düşünüyorsanız, o eli oynamalısınız çünkü Bu, bahis tutarı 1$ olduğunda pas geçmekten daha iyidir.

Eşin özünü anlamanın bir diğer önemli nedeni. Beklenti, bahsi kazansanız da kazanmasanız da size bir huzur duygusu vermesidir: eğer iyi bir bahis yaptıysanız veya doğru zamanda pas geçtiyseniz, daha zayıf bir spekülatörün elde edebileceği belli bir miktar para kazandığınızı veya biriktirdiğinizi bileceksiniz. kaydetme. Rakibiniz daha güçlü bir el çektiği için üzülürseniz pas geçmeniz çok daha zordur. Bütün bunlarla birlikte, bahis yapmak yerine oynamayarak biriktirdiğiniz miktar, gecelik veya aylık kazancınıza eklenir.

Elinizi değiştirseniz rakibinizin sizi çağıracağını unutmayın ve Pokerin Temel Teoremi makalesinde de göreceğiniz gibi bu sizin avantajlarınızdan sadece bir tanesi. Bu gerçekleştiğinde mutlu olmalısınız. Hatta bir eli kaybetmenin tadını çıkarmayı bile öğrenebilirsiniz çünkü sizin durumunuzdaki diğer spekülatörlerin çok daha fazlasını kaybedeceğini bilirsiniz.

Başlangıçta jeton oyunu örneğinde de belirtildiği gibi, saatlik kar oranı beklenen olgunlaşma ile bağlantılıdır ve bu kavram özellikle profesyonel spekülatörler için önemlidir. Poker oynamaya gittiğinizde, bir saatlik oyunda ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda sezgilerinize ve deneyiminize güvenmeniz gerekecektir, ancak biraz matematikten de yararlanabilirsiniz. Örneğin, berabere düşük top oynuyorsunuz ve üç oyuncunun 10 $ bahis oynadığını ve ardından iki kart takas ettiğini görüyorsunuz ki bu çok kötü bir taktiktir, her 10 $ bahis oynadıklarında yaklaşık 2 $ kaybettiklerini anlayabilirsiniz. Her biri bunu saatte sekiz kez yapıyor, bu da üçünün de saatte yaklaşık 48 dolar kaybettiği anlamına geliyor. Geriye kalan dört spekülatörden birisiniz ve bunlar yaklaşık olarak eşittir, dolayısıyla bu dört spekülatör (ve siz de aralarındasınız) 48 doları bölüşmeli ve her biri saatte 12 dolar kar elde etmelidir. Bu durumda saatlik bahis oranlarınız, üç kötü spekülatörün bir saat içinde kaybettiği para miktarındaki payınıza eşittir.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Uzun bir süre boyunca bir spekülatörün toplam kazancı, bireysel ellerdeki matematiksel beklentilerinin toplamıdır. Olumlu beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kazanırsınız ve tam tersi, olumsuz beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak saatlik kazancınızı maksimuma çıkarabilmeniz için olumlu beklentinizi maksimuma çıkarabilecek veya olumsuz beklentinizi boşa çıkarabilecek bir oyun seçmelisiniz.

Oyun stratejisinde olumlu matematiksel beklenti

Kart saymayı biliyorsanız, sizi fark edip dışarı atmaları durumunda kumarhaneye karşı bir avantaja sahip olabilirsiniz. Kumarhaneler sarhoş spekülatörleri sever ve kart saymaya dayanamazlar. Bir avantaj, zaman içinde kaybettiğinizden daha fazla kazanmanıza olanak tanır. Beklenti ilişkisi hesaplamalarını kullanırken iyi para yönetimi, avantajınızdan daha fazla kâr elde etmenize ve kayıplarınızı azaltmanıza yardımcı olabilir. Avantajınız yoksa parayı hayır kurumuna vermeniz daha iyi olur. Borsadaki oyunda kayıptan çok kar yaratan oyun sistemi sayesinde avantaj sağlanıyor, aradaki fark fiyatlar ve komisyonlar. Hiçbiri para yönetimi kötü bir oyun sistemini kurtarmayacaktır.

Pozitif beklenti sıfırdan büyük bir değer olarak tanımlanır. Bu sayı ne kadar büyük olursa istatistiksel beklenti de o kadar güçlü olur. Değer sıfırdan küçükse şah mat olur. beklenti de olumsuz olacak. Negatif değerin modülü ne kadar büyük olursa durum o kadar kötü olur. Sonuç sıfırsa, bekleme başa baş demektir. Ancak olumlu bir matematiksel beklentiniz ve makul bir oyun sisteminiz olduğunda kazanabilirsiniz. Sezgilerle oynamak felakete yol açar.

Matematiksel beklenti ve

Şah mat beklentisi, finansal piyasalarda döviz ticareti yaparken oldukça yaygın olarak talep edilen ve popüler bir istatistiksel göstergedir. pazarlar. Öncelikle bu parametre başarıyı analiz etmek için kullanılır. ticaret. Bu değer ne kadar yüksek olursa, incelenen ticaretin başarılı olduğunu düşünmek için o kadar fazla neden olduğunu tahmin etmek zor değil. Tabii ki analiz iş tüccar sadece bu parametre kullanılarak yapılamaz. Ancak hesaplanan değerin diğer kalite değerlendirme yöntemleriyle birlikte kullanılması iş analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.

Beklenti şah matı genellikle yatırım hesabı izleme hizmetlerinde hesaplanır ve bu, para yatırma işleminde gerçekleştirilen işi hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak tanır. İstisnalar arasında "uzakta" kâr getirmeyen alım satımları kullanan stratejiler yer alır. Tüccarşans bir süre ona eşlik edebilir ve bu nedenle işinde hiç kayıp olmayabilir. Bu durumda çalışmada kullanılan riskler dikkate alınmayacağı için sadece matematiksel beklentiye göre yönlendirmek mümkün olmayacaktır.

Ticarette pazarşah mat en sık herhangi bir ticaret stratejisinin karlılığını tahmin ederken veya geliri tahmin ederken kullanılır tüccar daha önceki istatistiksel verilere dayanarak ihale.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Para yönetimiyle ilgili olarak, olumsuz beklentiyle işlem yaparken herhangi bir modelin olmadığını anlamak çok önemlidir. yönetmek Kesinlikle yüksek kar getirebilecek para. Eğer oynamaya devam edersen borsa bu koşullar altında, yöntem ne olursa olsun yönetmek para alırsanız, başlangıçta ne kadar büyük olursa olsun hesabınızın tamamını kaybedersiniz.

Olumsuz beklenti ile olumlu beklenti arasındaki fark yaşamla ölüm arasındaki farktır. Beklentinin ne kadar olumlu ya da ne kadar olumsuz olduğu önemli değil; Önemli olan olumlu mu olumsuz mu olduğudur. Bu nedenle yönetim konularını ele almadan önce başkent Olumlu beklentiye sahip bir oyun bulmalısınız.

Eğer o oyuna sahip değilseniz, o zaman dünyadaki tüm para yönetimi sizi kurtaramayacaktır. Öte yandan olumlu bir beklentiniz varsa, doğru para yönetimiyle bunu üstel bir büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Olumlu beklentinin ne kadar küçük olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, tek bir sözleşmeye dayalı bir ticaret sisteminin ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. İşlem başına sözleşme başına 10$ kazanan bir sisteminiz varsa (komisyonlar ve kaymalardan sonra), yönetim tekniklerini kullanabilirsiniz. başkent işlem başına ortalama 1.000$ kar gösteren (komisyonlar ve kaymalardan sonra) bir sistemden daha karlı hale getirecek şekilde.

Önemli olan sistemin ne kadar kârlı olduğu değil, sistemin gelecekte en azından minimum kâr göstereceğinin ne kadar kesin söylenebileceğidir. Bu nedenle yapılabilecek en önemli hazırlık sistemin gelecekte pozitif beklenen değer göstermesini sağlamaktır.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Bunu bilmek para yönetimi Olumlu beklentilerin kullanılmasını gerektiren bir sayı oyunu olduğundan, bir tüccar hisse senedi ticaretinin "kutsal kâsesini" aramayı bırakabilir. Bunun yerine ticaret yöntemini test etmeye başlayabilir, bu yöntemin ne kadar mantıklı olduğunu, olumlu beklentiler verip vermediğini öğrenebilir. Herhangi bir, hatta çok vasat ticaret yöntemlerine uygulanan uygun para yönetimi yöntemleri, işin geri kalanını kendileri yapacaktır.

Herhangi bir yatırımcının işinde başarılı olması için en önemli üç görevi yerine getirmesi gerekir:. Başarılı işlem sayısının kaçınılmaz hata ve yanlış hesaplamalardan fazla olmasını sağlamak; Ticaret sisteminizi mümkün olduğunca sık para kazanma fırsatına sahip olacak şekilde kurun; Operasyonlarınızdan istikrarlı ve olumlu sonuçlar elde edin.

Ve burada biz çalışan tüccarlar için dostum iyi bir yardımcı olabilir. beklenti. Bu terim olasılık teorisindeki anahtar terimlerden biridir. Onun yardımıyla, bazı rastgele değerlerin ortalama bir tahminini verebilirsiniz. Olası tüm olasılıkları farklı kütlelere sahip noktalar olarak hayal ederseniz, rastgele bir değişkenin beklentisi ağırlık merkezine benzer.

Bir ticaret stratejisiyle ilgili olarak, kar (veya zarar) beklentisi çoğunlukla stratejinin etkinliğini değerlendirmek için kullanılır. Bu parametre, belirli kar ve zarar seviyelerinin çarpımlarının toplamı ve bunların oluşma olasılığı olarak tanımlanır. Örneğin, geliştirilen ticaret stratejisi, tüm işlemlerin %37'sinin kâr getireceğini ve geri kalan %63'ünün kârsız olacağını varsaymaktadır. Aynı zamanda ortalama gelir Başarılı bir işlemden elde edilen kazanç 7$, ortalama kayıp ise 1,4$ olacaktır. Matematiği hesaplayalım. Bu sistemi kullanarak işlem yapma beklentisi:

Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarına uyarak, kapatılan her işlemden ortalama 1.708$ alacağımızı söylüyor. Ortaya çıkan verimlilik derecesi sıfırdan büyük olduğundan böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Şah mat hesaplaması sonucunda beklenti negatif çıkarsa, bu zaten ortalama bir kaybı gösterir ve bu yıkıma yol açacaktır.

İşlem başına kârın büyüklüğü % şeklinde göreceli bir değer olarak da ifade edilebilir. Örneğin:

1 işlem başına gelir yüzdesi %5'tir;

Başarılı ticaret işlemlerinin yüzdesi %62'dir;

1 işlem başına kayıp yüzdesi - %3;

Başarısız işlemlerin yüzdesi %38;

Bu durumda şah mat. beklenti şu şekilde olacaktır:

Yani ortalama ticaret %1,96 getirecek.

Kârsız ticaretlerin baskın olmasına rağmen MO>0 olduğundan olumlu sonuç üretecek bir sistem geliştirmek mümkündür.

Ancak tek başına beklemek yeterli değildir. Sistem çok az işlem sinyali verirse para kazanmak zordur. Bu durumda banka faiziyle karşılaştırılabilir. Her operasyonun ortalama olarak sadece 0,5$ üretmesine izin verin, peki ya sistem yılda 1000 operasyon içeriyorsa? Bu, nispeten kısa bir süre içinde çok önemli bir miktar olacaktır. Bundan mantıksal olarak, iyi bir ticaret sisteminin bir başka ayırt edici özelliğinin de kısa süreli pozisyon tutma olduğu düşünülebilir.

Kaynaklar ve bağlantılar

dic.academic.ru - akademik çevrimiçi sözlük

math.ru - matematikte eğitim web sitesi

nsu.ru - Novosibirsk Devlet Üniversitesi'nin eğitim web sitesi

webmath.ru öğrenciler, başvuru sahipleri ve okul çocukları için bir eğitim portalıdır.

exponenta.ru eğitici matematik web sitesi

ru.tradimo.com - ücretsiz çevrimiçi ticaret okulu

crypto.hut2.ru - multidisipliner bilgi kaynağı

poker-wiki.ru - ücretsiz poker ansiklopedisi

sernam.ru - Seçilmiş doğa bilimleri yayınlarından oluşan bilimsel kütüphane

reshim.su - web sitesi Test ödevi sorunlarını çözeceğiz

unfx.ru - UNFX'te Forex: eğitim, ticaret sinyalleri, güven yönetimi

- — matematiksel beklenti Rastgele bir değişkenin sayısal özelliklerinden biri, genellikle teorik ortalaması olarak adlandırılır. Ayrık bir rastgele değişken X için matematiksel... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

MATEMATİKSEL BEKLENTİ- (beklenen değer) Bir ekonomik değişkenin alabileceği dağılımın ortalama değeri. Eğer рt bir ürünün t zamanındaki fiyatı ise, matematiksel beklentisi Ept ile gösterilir. Zaman içinde hangi noktayı belirtmek için ... ... Ekonomik sözlük

Beklenti- rastgele bir değişkenin ortalama değeri. Matematiksel beklenti deterministik bir niceliktir. Rasgele bir değişkenin gerçekleşmelerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentinin bir tahminidir. Aritmetik ortalama... ... Resmi terminoloji - rastgele bir değişkenin (ortalama değeri) - rastgele bir değişkenin sayısal bir özelliği. Bir olasılık uzayında tanımlanmış bir rastgele değişken varsa (bkz. Olasılık teorisi), o zaman M. o. MX (veya EX), Lebesgue integrali olarak tanımlanır: burada... Fiziksel ansiklopedi

MATEMATİKSEL BEKLENTİ- Rastgele bir değişken onun sayısal özelliğidir. Eğer bir X rastgele değişkeni F(x) dağılım fonksiyonuna sahipse, bu durumda M.o. irade: . X dağılımı ayrık ise, o zaman M.o.: , burada x1, x2, ... ayrık rastgele değişken X'in olası değerleri; p1... Jeolojik ansiklopedi

MATEMATİKSEL BEKLENTİ- İngilizce beklenen değer Almanca Erwartung matematik. Rasgele bir değişkenin stokastik ortalaması veya dağılım merkezi. Antinazi. Sosyoloji Ansiklopedisi, 2009 ... Sosyoloji Ansiklopedisi

Beklenti- Ayrıca bakınız: Koşullu matematiksel beklenti Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değeridir, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, olasılık teorisinde dikkate alınır. İngiliz dili edebiyatında ve matematikte... ... Vikipedi

Beklenti- 1.14 Matematiksel beklenti E(X) burada xi ayrık bir rastgele değişkenin değeridir; p = P (X = xi); Sürekli bir rastgele değişkenin f(x) yoğunluğu * Bu ifade mutlak yakınsaklık anlamında mevcutsa Kaynak... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Kitaplar

Web Sitesinin En İyi Sunumu için Çerezleri Kullanın. Web sitenizi bir kez daha ziyaret ettiğinizde, onları harekete geçirin. TAMAM

Ayrık bir olasılık uzayı üzerinde verilen bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi (ortalama değeri), serinin mutlak yakınsaması durumunda m =M[X]=∑x i p i sayısıdır.

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hizmeti kullanma matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(örneğe bakın). Ek olarak F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri

Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C, C – sabit;
M=C M[X]
Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.

Dispersiyon özellikleri

Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: D(c)=0.
Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı ise: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
Aşağıdaki hesaplama formülü dağılım için geçerlidir:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dağılımın özelliklerine göre: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma

Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri doğal sayılarla yeniden numaralandırılabilir; her değer sıfır olmayan bir olasılıkla ilişkilidir.

Çiftleri birer birer çarpıyoruz: x i x p i .
Her x i p i çiftinin çarpımını ekleyin.
Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olasılıkları pozitif olan noktalarda adım adım aniden artar.

Örnek No.1.

x ben	1	3	4	7	9
ben	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Matematiksel beklentiyi m = ∑x i p ben formülünü kullanarak buluyoruz.
Beklenti M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Varyansı d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formülünü kullanarak buluyoruz.
Varyans D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart sapma σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Örnek No. 2. Ayrık bir rastgele değişken aşağıdaki dağılım serisine sahiptir:

X	-10	-5	0	5	10
R	A	0,32	2A	0,41	0,03

Bu rastgele değişkenin a değerini, matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bulun.

Çözüm. a'nın değeri şu ilişkiden bulunur: Σp i = 1
Σp ben = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 veya 0,24=3 a , buradan a = 0,08

Örnek No. 3. Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı biliniyorsa dağılım yasasını belirleyin ve x 1 x1 =6; x2 =9; x3 =x; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96

Çözüm.
Burada d(x) varyansını bulmak için bir formül oluşturmanız gerekir:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada beklenti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Verilerimiz için
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Buna göre denklemin köklerini bulmamız gerekiyor ve bunlardan iki tane olacak.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 koşulunu sağlayanı seçin x3 =12

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
x1 =6; x2 =9; x3 =12; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3