Hız ve ivme kavramları doğal olarak maddesel bir noktanın hareket etmesi durumuna genelleştirilir. eğrisel yörünge. Yörünge üzerindeki hareketli noktanın konumu yarıçap vektörüyle belirtilir R sabit bir noktadan bu noktaya çekilmiş HAKKINDAörneğin koordinatların kökeni (Şekil 1.2). Bir anda izin ver T maddi nokta pozisyonda M yarıçap vektörü ile r = r (T). Kısa bir süre sonra D. T konumuna hareket edecek M1 yarıçaplı - vektör R 1 = R (T+ D T). Yarıçap - malzeme noktasının vektörü, geometrik fark D tarafından belirlenen bir artış alacaktır. R = R 1 - R . Zaman içindeki ortalama hız D T miktar denir
Ortalama hız yönü V Çar maçlar vektör yönü D ile R .
D noktasında ortalama hız sınırı T® 0, yani yarıçapın türevi - vektör R zamana göre
(1.9)
isminde doğru veya ani maddi bir noktanın hızı. Vektör V yönlendirilmiş teğetsel olarak Hareket eden bir noktanın yörüngesine.
Hızlanma A hız vektörünün birinci türevine eşit bir vektör denir V veya yarıçapın ikinci türevi - vektör R zamana göre:
(1.10)
(1.11)
Hız ve ivme arasındaki aşağıdaki biçimsel benzetmeye dikkat edelim. Rastgele sabit bir O 1 noktasından hız vektörünü çizeceğiz V mümkün olan tüm zamanlarda hareket noktası (Şekil 1.3).
Vektörün sonu V isminde hız noktası. Hız noktalarının geometrik yeri, adı verilen bir eğridir. hız hodografı. Maddi bir nokta bir yörüngeyi tanımladığında, karşılık gelen hız noktası hodograf boyunca hareket eder.
Pirinç. 1.2, Şekil 1'den farklıdır. 1.3 yalnızca gösterimle. Yarıçap – vektör R hız vektörü ile değiştirildi V , maddi nokta - hız noktasına, yörünge - hodografa. Bir vektör üzerinde matematiksel işlemler R hızı bulurken ve vektörün üstünde V bulunduğunda ivmeler tamamen aynıdır.
Hız V teğetsel bir yörünge boyunca yönlendirilir. Bu yüzden hızlanmaA hız hodografına teğet olarak yönlendirilecektir.Şu söylenebilir ivme, hız noktasının hodograf boyunca hareket hızıdır. Buradan,
Bir cismin eğrisel hareketini göz önüne aldığımızda, hızının farklı anlarda farklı olduğunu göreceğiz. Hızın büyüklüğü değişmese bile hızın yönünde bir değişiklik olur. Genel durumda hızın hem büyüklüğü hem de yönü değişir.
Böylece eğrisel hareket sırasında hız sürekli olarak değişir, dolayısıyla bu hareket ivmeyle birlikte gerçekleşir. Bu ivmeyi (büyüklük ve yönde) belirlemek için hızdaki değişimi vektör olarak bulmak, yani hızın büyüklüğündeki artışı ve yönündeki değişimi bulmak gerekir.
Pirinç. 49. Kavisli hareket sırasında hızın değişmesi
Örneğin, eğrisel olarak hareket eden bir noktanın (Şekil 49), bir noktada bir hıza ve kısa bir süre sonra bir hıza sahip olmasına izin verin. Hız artışı, ve vektörleri arasındaki farktır. Bu vektörlerin yönleri farklı olduğundan vektör farklarını almanız gerekir. Hız artışı paralelkenarın köşegenli tarafı ve diğer tarafı ile temsil edilen vektör ile ifade edilecektir. İvme, hızdaki artışın bu artışın gerçekleştiği süreye oranıdır. Bu hızlanma anlamına gelir
Yön vektörle çakışmaktadır.
Yeterince küçük olanı seçerek anlık ivme kavramına ulaşırız (çapraz başvuru § 16); keyfi olduğunda, vektör belirli bir süre boyunca ortalama ivmeyi temsil edecektir.
Eğrisel hareket sırasında ivmenin yönü hızın yönüyle çakışmazken, doğrusal hareket için bu yönler çakışır (veya zıttır). Eğrisel hareket sırasında ivmenin yönünü bulmak için yörüngenin iki yakın noktasındaki hızların yönlerini karşılaştırmak yeterlidir. Hızlar yörüngeye teğet olarak yönlendirildiğinden, yörüngenin şeklinden ivmenin yörüngeden hangi yöne yönlendirildiği sonucuna varılabilir. Aslında, yörüngenin birbirine yakın iki noktasındaki hız farkı her zaman yörüngenin kavisli olduğu yöne doğru yönlendirildiğinden, bu, ivmenin daima yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirildiği anlamına gelir. Örneğin, bir top kavisli bir kanal boyunca yuvarlandığında (Şekil 50), bölümler halinde ivmesi oklarla gösterildiği gibi yönlendirilir ve bu, topun ters yöne veya ters yönde yuvarlanmasına bağlı değildir.
Pirinç. 50. Eğrisel hareket sırasındaki ivmeler her zaman yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilir
Pirinç. 51. Merkezcil ivmenin formülünü türetmek
Bir noktanın eğrisel bir yörünge boyunca düzgün hareketini düşünelim. Bunun hızlandırılmış bir hareket olduğunu zaten biliyoruz. İvmeyi bulalım. Bunu yapmak için, bir daire içindeki düzgün hareketin özel durumu için ivmeyi dikkate almak yeterlidir. Kısa bir süre ile ayrılan iki yakın konumu ve bir hareketli noktayı ele alalım (Şekil 51, a). Hareket eden bir noktanın hızları büyüklük bakımından eşit fakat yön bakımından farklıdır. Bu hızlar arasındaki farkı üçgen kuralını kullanarak bulalım (Şekil 51, b). Üçgenler ve köşe açıları eşit olan ikizkenar üçgenler gibi benzerdir. Belirli bir süre boyunca hızın artışını temsil eden tarafın uzunluğu, istenen ivmenin modülü olan 'ye eşit olarak ayarlanabilir. Buna benzer taraf yayın akorudur; Yayın küçüklüğü nedeniyle, kirişinin uzunluğu yaklaşık olarak yayın uzunluğuna eşit olarak alınabilir, yani. . Sonraki, 
; , yörüngenin yarıçapı nerede. Üçgenlerin benzerliğinden, içlerindeki benzer kenarların oranlarının eşit olduğu sonucu çıkar:
istenilen ivmenin modülünü bulduğumuz yerden:
Hızlanmanın yönü kirişe diktir. Yeterince kısa zaman aralıkları için, yayın teğetinin pratik olarak onun kirişiyle çakıştığını varsayabiliriz. Bu, ivmenin yörüngeye teğete dik olarak (normalde), yani yarıçap boyunca dairenin merkezine yönlendirilmiş olarak kabul edilebileceği anlamına gelir. Bu nedenle böyle bir ivmeye normal veya merkezcil ivme denir.
Yörünge bir daire değil de keyfi bir eğri çizgi ise, o zaman formül (27.1)'de belirli bir noktada eğriye en yakın dairenin yarıçapı alınmalıdır. Bu durumda normal ivmenin yönü de belirli bir noktada yörüngeye teğete dik olacaktır. Eğrisel hareket sırasında ivmenin büyüklüğü ve yönü sabitse, bu zaman dilimi ne olursa olsun, hızdaki artışın bu artışın meydana geldiği zaman dilimine oranı olarak bulunabilir. Bu, bu durumda ivmenin aşağıdaki formül kullanılarak bulunabileceği anlamına gelir:
sabit ivmeli doğrusal hareket için formül (17.1)'e benzer. Burada cismin başlangıç anındaki hızı, a ise zaman anındaki hızıdır.
Bir noktanın kinematiği. Yol. Hareket ediyor. Hız ve ivme. Koordinat eksenlerine izdüşümleri. Kat edilen mesafenin hesaplanması. Ortalama değerler.
Bir noktanın kinematiği- maddi noktaların hareketinin matematiksel tanımını inceleyen kinematik dalı. Kinematiğin temel görevi, bu harekete neden olan nedenleri belirlemeden, hareketi matematiksel bir aygıt kullanarak açıklamaktır.
Yol ve hareket. Vücut üzerindeki bir noktanın hareket ettiği çizgiye denir hareket yörüngesi. Yol uzunluğu denir gidilen yol. Yörüngenin başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren vektöre denir hareket ediyor. Hız- bir vücudun hareket hızını karakterize eden, kısa bir süre boyunca hareketin bu aralığın değerine oranına sayısal olarak eşit olan bir vektör fiziksel niceliği. Düzensiz hareket sırasında hız bu süre içinde değişmediyse, bu sürenin yeterince küçük olduğu kabul edilir. Hızın tanımlayıcı formülü v = s/t'dir. Hızın birimi m/s'dir. Pratikte kullanılan hız birimi km/saattir (36 km/saat = 10 m/s). Hız, hızölçerle ölçülür.
Hızlanma- hızdaki değişimin oranını karakterize eden, sayısal olarak hızdaki değişimin bu değişimin meydana geldiği zaman dilimine oranına eşit olan vektör fiziksel niceliği. Eğer hız tüm hareket süresi boyunca eşit olarak değişiyorsa, ivme a=Δv/Δt formülü kullanılarak hesaplanabilir. Hızlanma birimi – m/s 2
Kavisli hareket sırasında hız ve ivme. Teğetsel ve normal ivmeler.
Eğrisel hareketler– yörüngeleri düz değil, kavisli çizgiler olan hareketler.
Eğrisel hareket– Mutlak hız sabit olsa bile bu her zaman ivmeli harekettir. Sabit ivmeli eğrisel hareket her zaman noktanın ivme vektörlerinin ve başlangıç hızlarının bulunduğu düzlemde meydana gelir. Düzlemde sabit ivmeli eğrisel hareket durumunda xOy projeksiyonlar vx Ve v y eksen üzerindeki hızı Öküz Ve oy ve koordinatlar X Ve sen herhangi bir zamanda puan T formüllerle belirlenir
v x =v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2
Eğrisel hareketin özel bir durumu dairesel harekettir. Dairesel hareket, tekdüze bile olsa, her zaman ivmeli harekettir: hız modülü her zaman yörüngeye teğetsel olarak yönlendirilir, sürekli yön değiştirir, bu nedenle dairesel hareket her zaman |a|=v 2 /r merkezcil ivmeyle meydana gelir; burada R– dairenin yarıçapı.
Bir daire içinde hareket ederken ivme vektörü dairenin merkezine doğru yönlendirilir ve hız vektörüne diktir.
Eğrisel harekette ivme, normal ve teğetsel bileşenlerin toplamı olarak temsil edilebilir: ,
Normal (merkezcil) ivme, yörüngenin eğriliğinin merkezine doğru yönlendirilir ve hızdaki şu yöndeki değişikliği karakterize eder:
v – anlık hız değeri, R– belirli bir noktada yörüngenin eğrilik yarıçapı.
Teğetsel (teğetsel) hızlanma yörüngeye teğetsel olarak yönlendirilir ve hız modülündeki değişikliği karakterize eder.
Maddi bir noktanın hareket ettiği toplam ivme şuna eşittir:
Teğetsel ivme hareket hızındaki değişimin hızını sayısal değerle karakterize eder ve yörüngeye teğet olarak yönlendirilir.
Buradan
Normal hızlanma Hızın yöndeki değişim oranını karakterize eder. Vektörü hesaplayalım:
4. Rijit bir cismin kinematiği. Sabit bir eksen etrafında dönme. Açısal hız ve ivme. Açısal ve doğrusal hızlar ve ivmeler arasındaki ilişki.
Dönme hareketinin kinematiği.
Vücudun hareketi öteleme veya dönme olabilir. Bu durumda gövde, sıkı bir şekilde birbirine bağlı malzeme noktalarından oluşan bir sistem olarak temsil edilir.
Öteleme hareketi sırasında vücutta çizilen herhangi bir düz çizgi kendisine paralel hareket eder. Yörüngenin şekline göre öteleme hareketi doğrusal veya eğrisel olabilir. Öteleme hareketi sırasında, katı bir cismin aynı zaman periyodundaki tüm noktaları, büyüklük ve yön bakımından eşit hareketler yapar. Dolayısıyla vücudun her noktasının herhangi bir andaki hızları ve ivmeleri de aynıdır. Öteleme hareketini tanımlamak için bir noktanın hareketini belirlemek yeterlidir.
Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi merkezleri aynı düz çizgide (dönme ekseni) bulunan, vücudun tüm noktalarının daireler halinde hareket ettiği böyle bir harekete denir.
Dönme ekseni gövdenin içinden geçebilir veya dışında kalabilir. Dönme ekseni gövdenin içinden geçiyorsa, gövde dönerken eksen üzerinde bulunan noktalar hareketsiz kalır. Dönme ekseninden farklı mesafelerde bulunan katı bir cismin noktaları, eşit zaman aralıklarında farklı mesafeler kat eder ve bu nedenle farklı doğrusal hızlara sahiptir.
Bir cisim sabit bir eksen etrafında döndüğünde, cismin noktaları aynı zaman diliminde aynı açısal harekete uğrar. Modül, gövdenin zaman içinde eksen etrafında dönme açısına eşittir, açısal yer değiştirme vektörünün yönü ile gövdenin dönme yönü vida kuralıyla bağlanır: vidanın dönme yönlerini birleştirirseniz gövdenin dönme yönüne göre vektör, vidanın öteleme hareketiyle çakışacaktır. Vektör dönme ekseni boyunca yönlendirilir.
Açısal yer değiştirmedeki değişim oranı açısal hız - ω tarafından belirlenir. Doğrusal hıza benzetilerek, kavramlar ortalama ve anlık açısal hız:
Açısal hız- vektör miktarı.
Açısal hızdaki değişim oranı şu şekilde karakterize edilir: ortalama ve anlık
açısal ivme.
Vektör ve vektörle çakışabilir ve ona zıt olabilir
Eğrisel hareket sırasında hız vektörünün yönü değişir. Aynı zamanda modülü yani uzunluğu da değişebilir. Bu durumda ivme vektörü iki bileşene ayrılır: yörüngeye teğet ve yörüngeye dik (Şekil 10). Bileşen denir teğetsel(teğetsel) ivme, bileşen – normal(merkezcil) ivme.
Kavisli hareket sırasında hızlanma
Teğetsel ivme, doğrusal hızdaki değişim oranını karakterize eder ve normal ivme, hareket yönündeki değişim oranını karakterize eder.
Toplam ivme, teğetsel ve normal ivmelerin vektör toplamına eşittir:
(15)
Toplam ivme modülü şuna eşittir:
.
Bir noktanın çember etrafındaki düzgün hareketini düşünelim. Aynı zamanda 
Ve 
. Dikkate alınan t anında noktanın 1 konumunda olmasına izin verin (Şekil 11). Δt süresinden sonra nokta yolu geçmiş olarak 2 konumunda olacaktır. Δ'lar, yay 1-2'ye eşit. Bu durumda v noktasının hızı artar Δv bunun sonucunda hız vektörü büyüklükte değişmeden bir açıyla dönecektir Δφ
, bir uzunluk yayına dayalı olarak merkez açıyla boyut olarak çakışan Δ'lar:
(16)
burada R, noktanın hareket ettiği dairenin yarıçapıdır. Hız vektörünün artışını bulalım. Bunu yapmak için vektörü hareket ettirelim. 
böylece başlangıcı vektörün başlangıcıyla çakışır. Daha sonra vektör, vektörün ucundan vektörün sonuna kadar çizilen bir parça ile temsil edilecektir. . Bu parça, kenarları ve kenarları olan bir ikizkenar üçgenin tabanı görevi görür. ve tepe noktasındaki Δφ açısı. Eğer Δφ açısı küçükse (ki bu küçük Δt için doğrudur), bu üçgenin kenarları için yaklaşık olarak şunu yazabiliriz:
.
Burada (16)'daki Δφ'yi değiştirerek vektör modülü için bir ifade elde ederiz:
.
Denklemin her iki tarafını Δt'ye bölüp limite geçerek merkezcil ivmenin değerini elde ederiz:
İşte miktarlar v Ve R sabittir, dolayısıyla limit işaretinin ötesine alınabilirler. Oran sınırı hız modülüdür 
Aynı zamanda doğrusal hız olarak da adlandırılır.
Eğrilik yarıçapı
R çemberinin yarıçapına denir eğrilik yarıçapı Yörüngeler. R'nin tersine yörüngenin eğriliği denir:
.
burada R, söz konusu dairenin yarıçapıdır. Eğer α, bir s çemberinin yayına karşılık gelen merkez açı ise, bilindiği gibi, R, α ve s arasındaki ilişki şu şekildedir:
s = Ra. (18)
Eğrilik yarıçapı kavramı yalnızca bir daire için değil aynı zamanda herhangi bir eğri çizgi için de geçerlidir. Eğriliğin yarıçapı (veya bunun ters değeri - eğrilik), çizginin eğrilik derecesini karakterize eder. Eğrilik yarıçapı ne kadar küçük olursa (sırasıyla eğrilik ne kadar büyük olursa), çizgi o kadar güçlü bir şekilde kavisli olur. Gelin bu konsepte daha yakından bakalım.
Belirli bir A noktasındaki düz bir çizginin eğrilik çemberi, A noktasından ve diğer iki B 1 ve B 2 noktasından geçen ve A noktasına sonsuzca yaklaşan bir dairenin sınır konumudur (Şekil 12'de eğri, bir düz çizgi ve noktalı çizgiyle eğrilik çemberi). Eğrilik dairesinin yarıçapı, söz konusu eğrinin A noktasındaki eğrilik yarıçapını verir ve bu dairenin merkezi, aynı A noktası için eğrinin eğrilik merkezini verir.
B 1 ve B 2 noktalarında, B 1, A ve B 2 noktalarından geçen bir daireye B 1 D ve B 2 E teğetlerini çizin. Bu B 1 C ve B 2 C teğetlerine normaller, dairenin R yarıçapını temsil edecek ve C merkezinde kesişecektir. B1 C ve B 2 C normalleri arasına Δα açısını dahil edelim; açıkçası B 1 D ve B 2 E teğetleri arasındaki açıya eşittir. Eğrinin B 1 ve B 2 noktaları arasındaki bölümünü Δs olarak gösterelim. Daha sonra formül (18)'e göre:
.
Düz bir eğri çizginin eğrilik çemberi
Bir düzlem eğrinin farklı noktalardaki eğriliğini belirleme
Şek. Şekil 13, düz bir çizginin farklı noktalardaki eğrilik dairelerini göstermektedir. Eğrinin daha düz olduğu A 1 noktasında, eğrilik yarıçapı sırasıyla A 2 noktasından daha büyüktür, A 1 noktasındaki çizginin eğriliği A 2 noktasından daha küçük olacaktır. A 3 noktasında eğri, A 1 ve A 2 noktalarından bile daha düzdür, dolayısıyla bu noktadaki eğrilik yarıçapı daha büyük ve eğrilik daha az olacaktır. Ayrıca A3 noktasındaki eğrilik çemberi eğrinin diğer tarafında yer alır. Bu nedenle, bu noktadaki eğriliğin değerine A 1 ve A 2 noktalarındaki eğrilik işaretinin tersi bir işaret atanır: A 1 ve A 2 noktalarındaki eğrilik pozitif kabul edilirse, o zaman A 3 noktasındaki eğrilik şöyle olacaktır: negatif.
Kinematik, bu harekete neden olan nedenleri belirlemeden hareketi inceler. Kinematik mekaniğin bir dalıdır. Kinematiğin asıl görevi, noktaların veya cisimlerin zaman içindeki hareketinin konumunun ve özelliklerinin matematiksel olarak belirlenmesidir.
Temel kinematik büyüklükler:
- Taşınmak() - başlangıç ve bitiş noktalarını birbirine bağlayan bir vektör.
r – yarıçap vektörü, MT'nin uzaydaki konumunu belirler.
- Hız– yolun zamana oranı .
- Yol- Vücudun geçtiği noktalar kümesi.
- Hızlanma – hızın değişim oranı, yani hızın birinci türevi.
2. Kavisli hareket sırasında hızlanma: normal ve teğetsel hızlanma. Düz dönüş. Açısal hız, ivme.
Eğrisel hareket yörüngesi eğri bir çizgi olan bir harekettir. Eğrisel harekete bir örnek, gezegenlerin hareketi, saat ibresinin kadran boyunca sonu vb.'dir.
Eğrisel hareket– bu her zaman hızlandırılmış harekettir. Yani, eğrisel hareket sırasında hızlanma her zaman mevcuttur, hız modülü değişmese bile yalnızca hızın yönü değişir.
Birim zaman başına hızdaki değişim – bu teğetsel ivmedir:
Burada 𝛖 τ , 𝛖 0 sırasıyla t 0 + Δt ve t 0 anındaki hız değerleridir. Teğetsel ivme Yörüngenin belirli bir noktasında yön, vücudun hareket hızının yönü ile çakışır veya ona zıttır.
Normal hızlanma birim zaman başına hız yönündeki değişikliktir:
Normal hızlanma yörüngenin eğrilik yarıçapı boyunca yönlendirilir (dönme eksenine doğru). Normal ivme hız yönüne diktir.
Tam hızlanma Vücudun düzgün değişken eğrisel hareketi ile şuna eşittir:
-açısal hız Bir daire içindeki düzgün hareket sırasında birim zamanda bir noktanın döndüğü açıyı gösterir. SI birimi rad/s'dir.
Düz dönüş vücut noktalarının tüm hız vektörlerinin bir düzlemde dönmesidir.
3. Maddi bir noktanın hız vektörleri ile açısal hızı arasındaki ilişki. Normal, teğetsel ve tam ivme.
Teğetsel (teğetsel) ivme– bu, hareket yörüngesinin belirli bir noktasında yörüngeye teğet boyunca yönlendirilen ivme vektörünün bileşenidir. Teğetsel ivme, eğrisel hareket sırasında hız modülündeki değişimi karakterize eder.
Normal (merkezcil) ivme vücudun yörüngesi üzerinde belirli bir noktada hareket yörüngesinin normali boyunca yönlendirilen ivme vektörünün bileşenidir. Yani normal ivme vektörü doğrusal hareket hızına diktir (bkz. Şekil 1.10). Normal ivme, hızdaki yöndeki değişikliği karakterize eder ve n harfiyle gösterilir. Normal ivme vektörü yörüngenin eğrilik yarıçapı boyunca yönlendirilir.
Tam hızlanma eğrisel harekette vektör toplama kuralına göre teğetsel ve normal ivmelerden oluşur ve formülle belirlenir.