Burada, dizi için sonlu bir limitin varlığının genel bir işaretini düşünmeyi öneriyoruz, 
.
Tanım 3.5.
Alt sıra 
,
, keyfi bir sayı için temel olarak adlandırılır 
böyle bir sayı var 
bu herkes için 
eşitsizlik geçerli 
.
Temel bir dizinin tanımı sıklıkla aşağıdaki biçimde kullanılır.
Tanım 3.6.
Alt sıra 
keyfi bir sayı için temeldir 
böyle bir sayı var 
bu herkes için 
ve herhangi bir doğal sayı 
eşitsizlik geçerli 
.
Teorem 3.13 (Cauchy kriteri). Bir dizinin yakınsak olabilmesi için temel olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt. gereklilik.
Sıraya izin ver 
,
, yakınsar, yani var olur
. Haydi seçelim 
. O zaman böyle bir sayı var 
bu herkes için 
eşitsizlik geçerlidir: 
.
İzin vermek 
Ve 
, Daha sonra
=
,
bu da dizinin temel olduğu anlamına gelir.
Yeterlilik.
Sıraya izin ver 
temeldir. Yakınsak olduğunu kanıtlayalım. Zorluk böyle bir sayıyı bulmakta yatıyor A, bu onun sınırıdır.
Tartışmayı birkaç adıma ayıralım.
a) Dizinin temel doğasının onun sınırlılığını gerektirdiğini kanıtlayalım. düşünelim ε =1 ise böyle bir sayı var N 1 herkesin önünde
N,
M
≥
N 1
eşitsizlik geçerli 
. Herkesin önünde N≥
N 1
adil:
.
, a olsun, o zaman her doğal için 
eşitsizlikler giderildi 
yani 
sınırlı.
b) Doğal olanı seçelim N.
Seti düşünün 
- sayıları seçilenden az olmayan dizi üyelerinin değerleri kümesi N. a) kümesinde kanıtlananlara göre X 1
sınırlı. Ve bariz yatırımlardan 
bundan bu kümelerin her birinin sınırlı olduğu sonucu çıkar.
c) İki yeni diziyi düşünün. Bu amaçla her set için 
belirtelim: 
,
. b)'de verilen yerleştirmelerden şu sıra izlenmektedir: 
artar ( 
) ve sıra 
azalır ( 
). Bu yüzden 
yani diziler monoton ve sınırlıdır ve bu nedenle yakınsarlar. Şunu da unutmayın ki, tüm doğal N eşitsizlikler açık 
.
d) Bu iki dizinin farkının sıfıra doğru gittiğini ispatlayalım: 
. Temellik koşulunu kullanalım. Rastgele bir sayı için 
böyle bir sayı var 
bu herkes için k
≥
N ε
eşitsizlikler giderildi 
. Bu eşitsizlikler şu sonuca varmamızı sağlar:
en N≥
N ε
. Buradan, 
.
e) c) kısmında kanıtlananlara göre sıra 
birleşir, izin ver 
. Çünkü 
ve sonra eşitsizliklerden 
ve iki polis hakkındaki lemmadan şu sonuç çıkıyor 
. Yeterliliği kanıtlanmıştır. Teorem kanıtlandı.
3.9. Alt diziler. Kısmi sınırlar
Tanım 3.7.
İzin vermek 
,
, bir sayısal dizidir ve izin ver 
,
kesinlikle artan doğal sayılar dizisidir. Daha sonra formun bir dizisi 
,
, dizinin bir alt dizisi olarak adlandırılır 
.
Bir dizinin limiti yoksa, bu durum bir alt dizi için bir limitin var olma olasılığını dışlamaz.
Tanım 3.8. Bir dizinin kısmi limiti, bazı yakınsak alt dizilerin limitidir.
Örnek 3.18.
İzin vermek 
. Bu dizi birbirinden farklıdır (bkz. Bölüm 3.2), ancak alt dizileri 
Ve 
sırasıyla 1 ve -1'e yakınsar. Yani bu sayılar dizinin kısmi limitleridir 
.
Teorem 3.14.
Sıraya izin ver 
,
, sayıya yakınsar A.
O zaman onun herhangi bir alt dizisi de şuna yakınsar: A.
Kanıt.İzin vermek 
,
, - dizinin alt dizisi 
,
. 
Çünkü 
kesinlikle artan bir doğal sayılar dizisidir, o zaman 
herkesin önünde 
(Bunu tümevarımla kanıtlamak kolaydır). Haydi seçelim 
. Yakınsama tanımı gereği Aİle 
herkes için 
.Teorem kanıtlandı.
eşitsizlik giderilecek Sorun 3.14
Bir dizinin yakınlaşması için alt dizilerinin her birinin yakınlaşmasının gerekli ve yeterli olduğunu kanıtlayın.
Sorun 3.15. 
A
Ve
A
Bunu koşullardan kanıtlayın 
A.
şu şekildedir Sorun 3.16.
Tam olarak on kısmi limiti olan bir dizi örneği verin. Sorun 3.17.
Her gerçek sayının kısmi limit olduğu bir dizi örneği verin.
Sınırlı bir dizi durumunda kısmi sınırların varlığı sorununu ele alalım. Teorem 3.15 (Bolzano-Weierstrass).
Kanıt.
Her sınırlı dizi, yakınsak bir alt dizi içerir. 
Sınırlı dizi nedeniyle aşağıdaki sayıları belirtebiliriz 
bu herkes için 
eşitsizlikler giderildi 
. Segmenti böl 
yarıda. O zaman en az bir yarım, dizinin sonsuz sayıda terimini içerecektir. Bu, dizinin sonsuz sayıda terimden oluştuğu ve yalnızca iki yarının olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bu yarıyı seçip şununla gösterelim:
, eğer her ikisi de böyleyse, o zaman herhangi biri. 
Daha sonra bir segment 
Tekrar ikiye bölelim ve dizinin sonsuz sayıda terimini içeren yarıyı seçelim. şununla belirtelim
. Bu süreci sürdürmek, 
, bu dizinin sonsuz sayıda terimini içerir. Oluşturulan bölümlerin her biri bir öncekinin içinde yer alır. Bölüm uzunluğu 
eşit 
yani arttıkça sıfıra doğru yönelir 
. Cantor'un lemmasını iç içe geçmiş bölümlere uygulayarak şunu elde ederiz: 
Ve 
genel limite eğilimliyse bunu şu şekilde belirtiriz: A.
Şimdi bir yakınsak oluşturalım A sonraki dizi. Gibi 
dizinin herhangi bir üyesini seçin 
içinde bulunan 
. Gibi 
dizinin böyle bir üyesini seç 
, içinde yer alan 
ve sayı 
hangisi daha fazla 
(burada segmentin kullanıldığı kullanılmaktadır 
dizinin sonsuz sayıda terimini içerir). Benzer şekilde tartışarak
-inci adım 
dizinin böyle bir üyesini seç 
, içinde yer alan 
ve sayı 
hangisi daha fazla 
. 
Oluşturulan parçaların her birinin, böyle bir seçimin olasılığını belirleyen sonsuz sayıda dizi terimi içerdiğini hatırlayalım. Çünkü 
, A 
.Teorem kanıtlandı.
, daha sonra iki polis hakkındaki lemmaya göre 
Bir dizinin tüm kısmi limitlerinin kümesini şu şekilde belirtiriz:
. Kanıtlanmış Bolzano-Weierstrass teoremi şu şekilde yeniden formüle edilebilir: 
her sınırlı dizinin bir kümesi vardır
kısmi sınırlar boş değildir. 
Ek olarak, eşitsizliklerde limite geçiş teoremine göre dizinin sınırlılığından, kümenin sınırlı olduğu sonucunun çıktığını not ediyoruz. 
. Yani çok var
hassas üst ve alt kenarlara sahiptir.
Tanım 3.9. 
,
İzin vermek 
, sınırlı bir dizidir ve izin verin 
,
tüm kısmi limitlerinin kümesidir. Değerler 
.
sırasıyla dizinin alt ve üst limitleri olarak adlandırılır 
,
Bu tanımdan doğrudan sayıların çıktığı sonucu çıkmaz. 
çoğuna ait
, ama yine de adil Teorem 3.16.
Kanıt. Sınırlı bir dizinin üst ve alt sınırları onun kısmi sınırlarıdır. 
Böyle bir alt dizinin olduğunu gösterelim. 
, Ne 
<
. Çünkü 
, o zaman tam üst sınırın tanımı gereği var 
itibaren 
, bunun için 
. Sonraki, var 
, bunun için 
ve genel olarak herkes için 
olacak
.
eşitsizlikleri tatmin eden: 
Her zamandan beri 
kısmi bir sınırsa, o zaman herhangi bir mahalle 
sonsuz sayıda dizi terimi içerir 
. Sonraki, var 
. Bu nedenle bir sayı var 
. Sonraki, var
; 
.
bir numara var 
Ve 
Herkes için muhakemeye devam ediyoruz
; 
.
dikkate almak 
şartları yerine getiren
Bu şekilde oluşturulan alt dizi 
.
eşitsizlikleri karşılar 
.Teorem kanıtlandı.
Kanıtlanmış teoremden özellikle, tüm kısmi limitler kümesinin sınırlı bir aralık olduğu bir dizi olmadığı sonucu çıkar.
Dizinin üst ve alt limitlerini şu şekilde göstereceğiz: 
Ve 
sırasıyla. Bu büyüklüklerin karakteristik özelliklerinden biri olarak aşağıdaki teoremi kanıtlıyoruz.
Teorem 3.17
.
İzin vermek 
– sınırlı dizi, 
;
. Daha sonra herhangi bir pozitif sayı için 
eşitsizliklerin her biri 
Ve 
dizinin yalnızca sonlu terim kümesini karşılar.
Kanıt.
Tam tersini varsayalım. Sayı kümesi olsun 
eşitsizliği sağlayan dizinin üyeleri 
, sonsuza kadar. Bu sayıları kesin olarak artan düzende sıralayalım: 
Daha sonra sıra 
şartları yerine getiren 
. Bolzano-Weierstrass teoremine göre, yakınsak bir alt dizi ondan izole edilebilir, limit 
hangisi daha fazla 
. Açık ki 
ve bu şu gerçekle çelişiyor: 
- üst kenar. Ortaya çıkan çelişki teoremi kanıtlıyor.
Tanım. (xn) dizisi denir esas (Cauchy dizisi), eğer herhangi bir e > 0 için bir sayı varsa Nöyle ki tüm sayılar için N, koşulu karşılayan N>=N ve herhangi bir doğal sayı için P(p=1,2,3...) eşitsizlik doğrudur:
|x n + p – x n |< e.
Teorem. (Cauchy kriteri) . (xn) dizisinin yakınsak olabilmesi için temel olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt.
1) gereklilik. x n à olsun A. Keyfi bir e > 0 sabitliyoruz. (xn) dizisi limite yakınsadığından A, o zaman e/2'ye eşit bir sayı için bir sayı vardır Nöyle ki herkesin önünde N >= N:
|x n – a|< e/2. (1)
Eğer P herhangi bir doğal sayı ise, tüm n>=N için şu şekilde olacaktır:
|x n + p – A| < e/2. (2)
İki sayının toplamının modülü, modüllerinin toplamını aşmadığından, (1) ve (2) eşitsizliklerinden tüm n >= N ve herhangi bir doğal sayı için elde ederiz. Pşunu elde edeceğiz:
|x n + p – x n | = |<= |x n + p – A+ | a|< | + |x n – < e, Ş |x n + p – x n |
2) e - bu, bunun temel bir dizi olduğu anlamına gelir. Yeterlilik< 1.
. Şimdi (xn) bir temel dizi olsun. Örneğin, e =1 için n 1 vardır, öyle ki n > n 1 ve m > n 1 |x n - x m | m o > n 1'i sabitlerken |x n - x elde ederiz M< 1 и Þ |x n | < 1+ |xm o > n 1'i sabitlerken |x n - x elde ederiz o |
o |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xm o > n 1'i sabitlerken |x n - x elde ederizŞ |x n |
o |) tüm nÎN'ler için, yani. (xn) – sınırlı. Bu, Bolzano-Weierstrass teoremine göre yakınsak bir dizinin var olduğu anlamına gelir ( xn Bu, Bolzano-Weierstrass teoremine göre yakınsak bir dizinin var olduğu anlamına gelir ( k), A k –> A.
. (x n)'nin şuna yakınsadığını gösterelim:
Belirli bir e > 0 için: "e > 0 $K(e)О N:
|Bu, Bolzano-Weierstrass teoremine göre yakınsak bir dizinin var olduğu anlamına gelir ("k>K(e) Ş A| < e;
k-
Ek olarak, (x n)'in temel yapısından dolayı, $n e = n(e): n k ,n > n e Ş |x n – x N< e/2
k | N Hadi koyalım N e. o zaman n > için N elimizde:
|x n – a|<= |x n – xŞ |x n – x ko | + |x Ş |x n – x ko – a|< e. А это и означает, что lim x n = A #
15. Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin iki tanımı ve bunların eşdeğerliği.
Def.1. (Cauchy'ye göre). y=f(x) fonksiyonu verilsin: X à Y ve bir nokta A X kümesinin limitidir. Sayı A isminde fonksiyonun sınırı y=f(x) bu noktadaA , eğer herhangi bir e > 0 için d > 0 belirtmek mümkündür, öyle ki tüm xÎX eşitsizliklerini karşılayan 0< |x-A| < d, выполняется |f(x) – A| < e.
Def.2 (Heine'e göre). Sayı A y=f(x) fonksiyonunun o noktadaki limiti denir A, eğer herhangi bir dizi için ise (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, yakınsayan A, fonksiyon değerlerinin sırası (f(x n)) sayıya yakınsar A.
Teorem. Bir fonksiyonun limitinin Cauchy'ye göre ve Heine'ye göre belirlenmesi eşdeğerdir.
Kanıt. Cauchy'ye göre A=lim f(x) y=f(x) fonksiyonunun limiti olsun.
ve (x n )Ì X, x n ¹a "nОN – diziye yakınsak A, x n à A.
e > 0 verildiğinde, d > 0'ı öyle buluruz ki 0'da< |x-A| < d, xÎX имеем |f(x) – A| < e,
ve bu d'den bir n d =n(d) sayısı buluyoruz, öyle ki n>n d için 0 elde ediyoruz< |x n -A| < d.
Ama sonra |f(x n) – A| < e, т.е. доказано, что f(x n)à A.
Şimdi sayıyı bırakalım A Heine'ye göre artık fonksiyonun bir sınırı vardır, ancak A Cauchy limiti değildir. O zaman e o > 0 vardır, öyle ki tüm nОN'ler için x n ОX vardır,
0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= e o . Bu, (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à dizisinin bulunduğu anlamına gelir AÖyle ki
(f(x n)) dizisi şuna yakınsamaz A. #
Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin tekliği. Sonlu limiti olan bir fonksiyonun yerel sınırlılığı. Sıfır limiti olan bir fonksiyonun işaretinin yerel olarak korunması.
Teorem 1. Eğer $ lim f(x) = b R x à a için bu limit tek kişi.
Kanıt: Öyle olmasın.
lim f(x) = b 1 ve lim x à a için f(x) = b 2. b 1 ¹b 2
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (Heine'ye göre tanım)
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (Heine'ye göre tanım)
Belirli bir (x n )М D(f) dizisi için. xn ’ à a, x n ¹ a Þ
Þ f(x n ') à b 1 ve f(x n ')à b 2. O halde dizinin limitinin tekliği teoremine göre b 1 =b 2 olur. #
Def. Bir f(x) fonksiyonuna, eğer d > 0 ve M > 0 sayıları varsa, x à a için yerel olarak sınırlı olduğu söylenir, öyle ki 0 için< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.
Teorem 1 (yerel sınırlılık hakkında). Bir f(x) fonksiyonunun a noktasında bir limiti varsa, o zaman x à a için yerel olarak sınırlıdır.
Kanıt: Eğer x à a için lim f(x) = A varsa, o zaman örneğin e=1 için d>0 vardır, öyle ki 0 için< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,
|f(x)|<|A|+1=M. #
Teorem 2 (yerel işaretlerin korunması hakkında). Eğer lim x à a ve A¹0 için f(x) = A, o zaman d>0 vardır, öyle ki
0 < |x-a| < d, xÎX и A>0'da f(x)>A/2 var ve 0'da< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем
f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.
Kanıt: e=|A|/2'yi alalım. Öyle bir d>0 var ki
0 < |x-a| < d, xÎX имеем
A-|A|/2 A>0 için soldaki eşitsizlikten f(x) > A/2 ve A için elde ederiz<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. # CAUCHY KRİTERİ 1) Sayı dizisinin K.K yakınsaması: sayılara göre (gerçek veya karmaşık) xn,n=1, 2, . . ., bir limiti varsa, herkes için öyle bir N sayısının var olması gerekli ve yeterlidir; Bir sayı dizisinin yakınsamasına ilişkin kriter, tam bir metriğin noktalarının yakınsamasına yönelik bir kriter halinde genelleştirilir. uzay. Nokta dizisi (xp) tam metrik uzay ancak ve ancak böyle bir şey varsa yakınsar N, eşitsizliğin herkes için geçerli olduğu 2) K.K. n değişkenli fonksiyonların varlık limiti Xre boyutlu uzayda tanımlı olsun. Rn ve sayısal (gerçek veya karmaşık) değerler alır, A - bir X kümesinin sınır noktası (veya sembolü, bu durumda X sınırsızdır). Sonlu bir sınır ancak ve ancak herkes için böyle bir sınır varsa vardır U=U(A) .
puan A, herhangi biri için ve eşitsizlik geçerlidir Bu kriter daha genel eşlemelere genellenir: X- topolojik A -, sayılabilirliğin geçerli olduğu sınır noktası, Y- tam metrik uzay ve f - Xв Y. (a).eşitsizliğin herkes için geçerli olduğunu savunan noktalar X- 3) Q. bir fonksiyon ailesinin düzgün yakınsaklığı için. İzin vermek sayılabilirliğin geçerli olduğu sınır noktası, bazı setler, topolojik Sınır noktasında sayılabilirliğin ilk aksiyomunu karşılayan bir uzay, R tam bir metriktir. uzay, f().
x, y topolojik Sınır noktasında sayılabilirliğin ilk aksiyomunu karşılayan bir uzay, R tam bir metriktir. uzay, f(),
- f( eşleme ailesi kümesinin eşlenmesi U=U(sabit bir X kümesinin H'ye eşlenmesi, eğer herhangi biri için böyle bir komşuluk varsa, X üzerinde düzgün yakınsaktır y 0 sabit bir X kümesinin H'ye eşlenmesi, eğer herhangi biri için böyle bir komşuluk varsa, X üzerinde düzgün yakınsaktır).puan ve tüm eşitsizlik giderildi sayılabilirliğin geçerli olduğu sınır noktası,Özellikle eğer eşitsizliğin tüm sayılar için geçerli olduğu N, 4)K. bir serinin yakınsaklığına: sayısal yakınsak ancak ve ancak herhangi biri için böyle bir sayı varsa herhangi bir tamsayı için eşitsizliğin geçerli olduğu Çoklu seriler için benzer yakınsama kriteri denir. Cauchy-Stolz kriteri. Örneğin, dikdörtgen kısmi toplamlar üzerinde yakınsak N, herkes için böyle bir şeyin olması gerekli ve yeterlidir eşitsizlik tatmin edildi 5) Q. bir serinin düzgün yakınsaklığı için: belirli bir X kümesi üzerinde tanımlanan ve sayısal değerleri alan fonksiyonlar olsun. Seri için sette düzgün bir şekilde yakınsadı X, herkes için böyle bir sayının bulunması gerekli ve yeterlidir N, tüm bunlar için Bu kriter aynı zamanda çoklu serilere de uzanır, sadece sayısal serilere değil aynı zamanda terimleri Banach uzaylarına ait olan serilere de uygulanır. ve p(x). X kümesinin belirli bir sürüye eşlemeleridir. 6) Uygunsuz integrallerin yakınsaması için Q: bir f fonksiyonunun yarım aralıkta tanımlanmasına izin verin, bunun üzerinde sayısal değerler alın ve aralıktaki herhangi bir (Riemann veya Lebesgue) için integrallenebilir olsun [ a, c].
İçin yakınsak, eşitsizliğin geçerli olduğu koşulu karşılayan herkes için var olan herkes için gerekli ve yeterlidir. Kriter, diğer türlerdeki uygunsuz integraller için benzer şekilde formüle edilmiştir ve ayrıca f fonksiyonunun birkaç değişkene bağlı olduğu ve değerlerinin bir Banach uzayında yer aldığı duruma da genelleştirilmiştir. 7) Küstah integrallerin düzgün yakınsaklığı için K.K.: f( fonksiyonu olsun) topolojik Sınır noktasında sayılabilirliğin ilk aksiyomunu karşılayan bir uzay, R tam bir metriktir. uzay, f().her sabit yer için sayılabilirliğin geçerli olduğu sınır noktası, yarım aralıkta tanımlanan bazı kümeler sayısal değerler alır ve herhangi bir aralıkta integrallenebilir [ a, c].
İçin Y kümesi üzerinde düzgün yakınsaksa, herhangi biri için koşulların ve tüm eşitsizliğin sağlanması için öyle bir şeyin olması gerekli ve yeterlidir. Bu kriter aynı zamanda diğer tipteki uygunsuz integrallere, çok değişkenli fonksiyonlara ve değerleri Banach uzaylarında bulunan fonksiyonlara da uzanır. Yaktı.: C a u chu A. L., Analyse algebrique, P., 1821; Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Dieudonne J., Modern analizin temelleri, çev. İngilizce'den, M., 1964; Il'in V.A., Poznya'dan E.G.'ye, Matematiksel Analizin Temelleri, 3. baskı, cilt 1, M., 1971, cilt 2, M., 1973; Kudryavtsev L. D., Matematiksel analiz kursu, t. .
1 - 2, M., 1981; 16] Nikolsky S.M., Matematiksel analiz kursu, 2. baskı, cilt 1-2, M., 1975; Whittaker E. - T., Va tson J. - N., Course of Modern Analysis, çev. İngilizceden, 2. baskı, bölüm 1, M., 1963. L. D. Kudryavtsev. Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. Pozitif serilerin yakınsaması için kriter (Cauchy kriteri), Augustin Cauchy tarafından kurulan sayı serilerinin yakınsaması için ana kriterdir. Pozitif bir seri ancak ve ancak kısmi toplamlarının dizisi yukarıda sınırlıysa yakınsar Mikhailov'un Nyquist kararlılık kriteri, kapalı döngü kontrol sisteminin kararlılığını açık döngü faz tepkisine göre değerlendirmenin yollarından biridir. Frekans kararlılığı kriterlerinden biridir. Kararlılığı değerlendirmek için bu kriteri kullanmak... ... Vikipedi Mikhailov'un Nyquist kararlılık kriteri, kapalı döngü kontrol sisteminin kararlılığını, açık durumunun genlik-faz frekans tepkisine göre değerlendirmenin yollarından biridir. Sıklık kriterlerinden biridir... ... Vikipedi Cauchy kriteri, matematiksel analizdeki bir dizi ifadedir: Tam uzay tanımının dayandığı bir dizinin (Temel diziye bakın) yakınsaklığına ilişkin kriter. Olumlu işaretlerin yakınsaması için kriter... ... Vikipedi Benzerlik kriteri, söz konusu fiziksel olguyu belirleyen boyutlu fiziksel parametrelerden oluşan boyutsuz bir niceliktir. İki fiziksel olay ve sistem için aynı türdeki tüm benzerlik kriterlerinin eşitliği gereklidir ve... ... Vikipedi Mikhailov'un Nyquist kararlılık kriteri, kapalı döngü kontrol sisteminin kararlılığını açık döngü faz tepkisine göre değerlendirmenin yollarından biridir. Frekans kararlılığı kriterlerinden biridir. Bu kriteri kullanarak istikrarı değerlendirmek çok ... ... Vikipedi - (Ca) Sürekli ortam mekaniğindeki benzerlik kriteri, kinetik enerjinin ortamın sıkıştırma enerjisine oranını ifade eder. Elastik cisimlerin titreşimlerinin ve elastik sıvıların akışının incelenmesinde kullanılır. Cauchy sayısı şu şekilde ifade edilir: , burada... ... Vikipedi Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Cauchy'nin işareti. Cauchy Maclaurin integral testi, azalan pozitif sayı serilerinin yakınsaması için bir testtir. Maclaurin'in Cauchy testi, bir serinin yakınsaklığının doğrulanmasını şu şekilde azaltmayı mümkün kılar: ... Vikipedi "Cauchy testi" terimi aşağıdaki ifadelerden birine atıfta bulunabilir: Cauchy'nin radikal testi Maclaurin'in integrali Cauchy testi Cauchy'nin kriteri Ayrıca bkz. Cauchy teoremi ... Vikipedi Alt sıra (xn) tatmin eder Cauchy durumu, eğer herhangi bir pozitif reel sayı için ε > 0
öyle bir N ε doğal sayısı vardır ki Cauchy koşulunu sağlayan dizilere de denir. temel diziler. Cauchy koşulu başka bir biçimde sunulabilir. m > n olsun.< n
,
то поменяем n
и m
местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем: Burada p bir doğal sayıdır. Bu durumda Cauchy koşulu şu şekilde formüle edilebilir: Cauchy durumu Tutarlılık tatmin eder for ve herhangi bir doğal p . Cauchy koşulunda görünen sayı ε'ya bağlıdır. Yani, aralığı doğal sayılar kümesi olan ε gerçek değişkeninin bir fonksiyonudur. Sayı, işlevleri belirtmek için alışılmış olduğu gibi formda da yazılabilir. Bir dizinin yakınsaması için Cauchy kriterinin kanıtı . Eşitsizliklerin özelliklerini kullanalım ve (1.1)'i uygulayalım: O zaman sahip olduğumuz herhangi biri için: Nerede . İhtiyaç kanıtlandı. Yeterlilik kanıtı Sıranın tatmin olmasına izin verin. Sonlu bir sayıya yakınsadığını kanıtlayalım. Kanıtı üç parçaya ayırıyoruz. Öncelikle dizinin sınırlı olduğunu kanıtlıyoruz. Daha sonra sınırlı bir dizinin sonlu bir sayıya yakınsayan bir alt diziye sahip olduğunu uygularız. Ve son olarak tüm dizinin bu sayıya yakınsadığını göstereceğiz. Bolzano-Weierstrass teoremini uygulayalım. Bu teoreme göre sınırlı bir dizi, sonlu bir a sayısına yakınsayan bir alt diziye sahiptir. Böyle bir alt diziyi şu şekilde gösterelim. Yakınsak alt dizinin terimini terim olarak alalım ve ε yerine koyalım ε tarafından N'yi düzeltelim. O halde (2.3.1), sonlu sayıda ilk terimin hariç tutulduğu bir dizi içeren bir eşitsizliktir. Sonlu sayıda ilk terim yakınsamayı etkilemez (bkz. Sonlu sayıda terimin bir dizinin yakınsaması üzerindeki etkisi). Bu nedenle kesik bir dizinin limiti hala a'dır. eşitsizliklerle ilişkili limitlerin özellikleri limitlerin aritmetik özellikleri , için , (2.3.1)'den elimizde: Bir dizinin yakınsaması için Cauchy kriteri, bir sayı serisinin yakınsaması için en genel kriteri ifade eder. Teorem 4 (Cauchy kriteri). Y1 an sayı serisinin yakınsaması için, herhangi bir e > O sayısı için bir N = N(e) sayısının olması gerekli ve yeterlidir, öyle ki herhangi bir n > N için eşitsizlik herkes için geçerlidir. Kısmi toplamları kullanma 5P +P ve Sn-\ olarak kabul edilen J2 serisi>eşitsizliği (1) şeklinde yazılabilir. Cauchy kriterinden bir sayı serisinin yakınsaklığı için gerekli kriter izlenir. Teorem 5. Seriler Pozitif terimli seriler için karşılaştırma testi D'Alembert testi Cauchy testi Cauchy'nin bir serinin yakınsaması için kriteri yakınsarsa, Teorem 4'te varsayılırsa, herkes için geçerli olan bir eşitsizlik elde ederiz. sayı e > 0, bu da Sonuç anlamına gelir. Eğer lim an sıfırdan farklıysa veya mevcut değilse, bu durumda Örnek 1 serisi ıraksar. Örnek 2'den beri sayı serisi ıraksar. Seri mevcut olmadığı için ıraksar. Yorum. Teorem 5 bir serinin yakınsaklığı için gerekli bir koşulu verir, ancak bu yeterli değildir, yani ıraksak bir seri için lim o = 0 koşulu da karşılanabilir. Örnek 3. Harmonik seri adı verilen bir sayısal seriyi düşünün. Harmonik seriler için yakınsaklık için gerekli koşul sağlanmıştır, çünkü Cauchy kriterini kullanarak bu serinin ıraksak olduğunu gösteriyoruz. P-n'yi koyalım. Daha sonra ortaya çıkan eşitsizlik herhangi bir keyfi büyük n için sağlanır. Buradan e ^ 5 ve p = n için eşitsizliğin (1) geçerli olmadığı sonucu çıkar. Böylece Cauchy kriteri nedeniyle harmonik seri ıraksar. Önemli not. Bir anlamda seri, sonlu bir toplamın genelleştirilmesidir. Bununla birlikte, ikincisinden farklı olarak, tamamen keyfi olarak gruplandırılabilen ve yeniden düzenlenebilen terimler, bu nedenle bildiğimiz gibi toplam değişmez, keyfi bir serinin üyeleriyle yapılan eylemler dikkatli bir şekilde gerçekleştirilmelidir - sonuçlar her zaman olmayabilir öngörülebilir olun. Eğer ıraksak bir seride (yakınsaklık için gerekli kriter karşılanmadıysa) komşu grupları çiftler halinde gruplandırırsak, o zaman yakınsak bir seri elde ederiz. Yakınsak bir serinin terimleri (bkz. § 8'deki örnek), şuna yakınsayacak şekilde yeniden düzenlenebilir: herhangi bir sayı ve hatta farklılaşır. Özellikle terimleri yeniden düzenlenerek elde edilen seri, orijinal serinin toplamının yarısına yakınsar (örnek § 9'dan). Bu örneklerde serinin terimlerinin farklı işaretlere sahip olması anlamlıdır. Teorem 6 (karşılaştırma testi). a ve 6" terimleri pozitif olan iki seri verilsin. Eşitsizlik tüm n sayıları için geçerliyse, Y1 6n serisinin yakınsamasından an serisinin yakınsaması gelir ve Y1 On serisinin ıraksamasından Y1 6™ serisinin ıraksaması çıkar. M (1) ve (2) serilerinin kısmi toplamlarını oluşturalım. Teoremin (3) koşulundan, tüm 1 için 5П ^ Sn olduğu sonucu çıkar. (2) serisinin yakınsadığını, yani n'inci kısmi toplamlarının bir limiti olduğunu varsayalım. Yani bu serinin tüm terimleri pozitif olduğundan, eşitsizlik (3) nedeniyle, şu sonuç çıkar: Dolayısıyla (1) serisinin tüm kısmi toplamları 5P sınırlıdır ve n arttıkça artar. Sonuç olarak, kısmi toplamlar dizisi yakınsaktır, yani an serisinin yakınsaklığı anlamına gelir. Bu durumda eşitsizlikteki limite geçerken şunu elde ederiz: Eşitsizlik sayesinde pozitif terimli seriler için karşılaştırma testi elde ederiz. 'Alembert'in testi Cauchy'nin testi Cauchy'nin serinin yakınsaması için kriteri, yani bn serisi ıraksar. Yorum. Teorem 6, a ^ bn eşitsizliğinin tüm n'ler için değil, yalnızca belirli bir A: sayısından başlayarak, yani tüm n ^ Jfc için karşılanması durumunda geçerli kalır, çünkü serinin sonlu terim sayısını değiştirmek yakınsamasını ihlal etmeyin. Örnekler. Yakınsaklık için aşağıdaki serileri inceleyin: Sayı serisi yakınsak olduğundan, karşılaştırma yapıldığında orijinal seri (4) de yakınsar. Eşitsizlik eşitsizliği ima eder. Harmonik seri ıraksak olduğundan (seri gibi, ardından orijinal seri (4) ile karşılaştırılır.) ) da ıraksar. I Teorem 6 daha genel bir eşitsizlik durumunda geçerli kalır. Örnek 3. Seri 4'ü yakınsaklık açısından inceleyin. Her şey için geçerli olan sin x ^ x eşitsizliğini kullanarak, bunu şunu buluruz: Seri yakınsadığı için, o zaman. karşılaştırma yaparak (burada A = y) bu seri (5) de yakınsar. Sonuç: Sıfırdan farklı bir sonlu limit varsa, o zaman (1) ve (2) serisi aynı anda yakınsar veya ıraksar. Yukarıdaki limitin varlığından şu sonuç çıkar: herhangi bir e > O sayısı için bir N sayısı vardır, öyle ki tüm n > N için eşitsizlik veya Dolayısıyla (2) serisi yakınsarsa, o zaman seri de yakınsar. Ancak o zamandan beri, Teorem 6'ya göre () serisi. 1) de yakınsak olacaktır. (2) serisi ıraksaktır ve (e) serisi o kadar küçük kabul edilir. Teorem 6'ya göre n herkes için olduğundan seri (1) ıraksar. Yorum. Lemmanın durumu сс ve Lbn dizilerinin eşdeğer olması gerçeğine eşdeğerdir veya bu da aynıdır. I = 0 durumunda, (2) serisinin yakınsaması (1) serisinin yakınsaklığını ifade eder. Bunun tersi doğru değil. L = +oo durumunda (1) serisinin ıraksaması (2) serisinin ıraksamasını ifade eder. Bunun tersi doğru değil. Örnekler. Yakınsaklık için aşağıdaki sayı serilerini inceleyin: 4 Bu seriyi elimizdeki harmonik serilerle karşılaştıralım. Harmonik seri ıraksak olduğundan bu seri de ıraksar. Daha sonra orijinal seri birleşir. §5. D'Alembert testi oo Teorem 7 (D'Alembert testi). Tüm an'ların > 0 olduğu bir an serisi verilsin. Eğer n =\ limit varsa seri yakınsar ve seri ıraksar.4 q'yu alacak şekilde bir limit olsun. O zaman herhangi bir sayı için, örneğin e = için, tüm n ^ N için eşitsizliğin geçerli olacağı bir N sayısı vardır. Özellikle, bu eşitsizlikten itibaren n'ye değerleri art arda vereceğiz. N, elde ederiz Serinin terimleri, bir paydaya sahip geometrik ilerlemenin terimlerinden oluşan bir seri olarak yakınsak olan serinin karşılık gelen terimlerini aşmaz. Karşılaştırıldığında, seri yakınsar, bu da orijinal serinin de yakınsadığı anlamına gelir. Belirli bir sayıdan başlayarak N, eşitsizliğin karşılanacağı veya Sonuç olarak, gerekli olduğu için bir yakınsama işareti olacaktır. Yorum. Varsa veya yoksa, D'Alembert testi serinin yakınsaklığı veya ıraksaklığı hakkında bir cevap vermez. Örnekler. Aşağıdaki serileri yakınsaklık açısından inceleyin: Belirli bir seri için pozitif terimli seriler için karşılaştırma testi yapıyoruz D'Alembert testi Cauchy testi Bir serinin yakınsaklığı için Cauchy kriteri D'Alembert testi ile seri yakınsaktır.
gerçekleştirillen 
Bir sınır olması için U=U herkesin bir mahallesinin olması gerekli ve yeterlidir 
bu herkes için
doğal sayılar kümesi ve N, bu durumda dizi X kümesi üzerinde düzgün yakınsar ancak ve ancak herhangi biri için böyle bir sayı varsa
herkesle ve herkesle bir bütün olarak
herkesle ve herkesle bir bütün olarak 
I. M. Vinogradov.
Kitaplar
(1)
|x n - x m |< ε
при n >N ε , m > N ε .
;
.
eğer m
(2)
, eğer herhangi biri için öyle bir doğal sayı varsaDizi yakınsaması için Cauchy kriteri
Bir dizinin sonlu bir limite sahip olabilmesi için Cauchy koşulunu sağlaması gerekli ve yeterlidir.
.
Gereklilik Kanıtı
(1.1)
Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
Bu, aşağıdaki eşitsizliklerin herhangi biri için geçerli olacak bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir:
Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
Bkz. Sıra limitinin tanımı.
.
Sıranın sağlandığını gösterelim. Bunu yapmak için herhangi biri için aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayacak bir fonksiyon bulmamız gerekir:
Son eşitsizlik için geçerlidir.
ile değiştirelim.,
(2.1.1)
Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
;
;
;
;
.
Bu da dizinin terimlerinin sınırlı olduğunu göstermektedir. for için yalnızca sonlu sayıda terim olduğundan, tüm dizi sınırlıdır.
.
Daha sonra
Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
Tüm dizinin a sayısına yakınsadığını gösterelim. 1
Dizi tatmin ettiğinden, aşağıdaki eşitsizliklerin herhangi biri için geçerli olduğu bir fonksiyon vardır: /2
:
(2.3.1)
Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
Başvuruyor
Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
Ve
Açık eşitsizliği kullanalım: .