© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometri, 8. sınıf ÜÇGEN DÖRT ÖNEMLİ NOKTA
Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası Bir üçgenin ortaortaylarının kesişme noktası Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası
Bir üçgenin ortancası (BD), üçgenin tepe noktasını karşı kenarın orta noktasına birleştiren parçadır. A B C D Medyan
Bir üçgenin kenarortayları bir noktada (üçgenin ağırlık merkezi) kesişir ve tepe noktasından sayılarak 2: 1 oranında bu noktaya bölünür. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
Bir üçgenin ortaortayı (A D), üçgenin iç açısının ortaorta kısmıdır.
Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde bulunur. AM B C
Bir üçgenin tüm açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin içine yazılan dairenin merkezi. C B 1 M A V A 1 C 1 O Bir dairenin yarıçapı (OM), merkezden (TO) üçgenin kenarına bırakılan dik bir çizgidir.
YÜKSEKLİK Bir üçgenin yüksekliği (C D), üçgenin tepe noktasından karşı kenarı içeren düz çizgiye çizilen dik parçadır. A B C D
Bir üçgenin yükseklikleri (veya uzantıları) bir noktada kesişir. Bir A 1 B B 1 C C 1
ORTA DİK Dik açıortay (DF), üçgenin kenarına dik olan ve onu ikiye bölen çizgidir. AD F B C
A M B m O Bir doğru parçasına dik açıortayın (m) her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik olan ortaorta üzerinde yer alır.
Üçgenin kenarlarının tüm dik açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin çevrelediği dairenin merkezi. A B C O Çevreleyen dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir (OA). m n p
Öğrenciler için görevler Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin içine çizilmiş bir daire oluşturun. Bunu yapmak için: Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin açıortaylarını oluşturun. Açıortayların kesişme noktası çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapını oluşturun: çemberin merkezinden üçgenin kenarına dik. Üçgenin içine yazılan bir daire oluşturun.
2. Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgeni çevreleyen bir daire çizin. Bunu yapmak için: Geniş üçgenin kenarlarına dik açıortaylar oluşturun. Bu dikmelerin kesişme noktası çevrel dairenin merkezidir. Bir dairenin yarıçapı, merkezden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir. Üçgenin etrafında bir daire oluşturun.
8.sınıf geometri dersi konumsal öğrenme modeline göre tasarlanmıştır.
Ders hedefleri:
- “Bir üçgenin dikkat çekici dört noktası” konulu teorik materyalin incelenmesi;
- Öğrencilerin düşünme, mantık, konuşma, hayal gücünün gelişimi, çalışmayı analiz etme ve değerlendirme yeteneği;
- Grup çalışması becerilerinin geliştirilmesi;
- Yapılan işin kalitesi ve sonuçlarına ilişkin sorumluluk duygusunu geliştirmek.
Teçhizat:
- grup adlarına sahip kartlar;
- her grup için görevlerin bulunduğu kartlar;
- Grup çalışmalarının sonuçlarının kaydedilmesi için A-4 kağıdı;
- epigraf tahtaya yazılmıştır.
Ders ilerlemesi
1. Organizasyon anı.
2. Dersin amaçlarını ve konusunu belirlemek.
Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir ve ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışmasını içerdiğinde uygun geometri haline gelebilir. Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki sadeliğine rağmen tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.
Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu Bermuda Şeytan Üçgeni'ni kim duymadı? Ancak üçgenin kendisi pek çok ilginç ve gizemli şeyle doludur.
Üçgenin merkezi yeri dikkat çekici noktalar olarak adlandırılan noktalar tarafından işgal edilmiştir.
Dersin sonunda noktaların neden dikkat çekici olarak adlandırıldığını ve öyle olup olmadığını söyleyebileceğinizi düşünüyorum.
Dersimizin konusu nedir? "Üçgenin dört dikkat çekici noktası." Dersin epigrafı K. Weierstrass'ın şu sözleri olabilir: "Kısmen şair olmayan bir matematikçi, matematikte asla mükemmelliğe ulaşamaz" (bu epigraf tahtaya yazılmıştır).
Dersin konusunun anlatımına, epigrafa bakın ve dersteki çalışmanızın hedeflerini belirlemeye çalışın. Dersin sonunda bunları ne kadar iyi tamamladığınızı kontrol edeceğiz.
3. Öğrencilerin bağımsız çalışması.
Bağımsız çalışmaya hazırlanıyor
Derste çalışmak için altı gruptan birini seçmelisiniz: “Kuramcılar”, “Yaratıcılık”, “Mantık Tasarımcıları”, “Uygulayıcılar”, “Tarihçiler”, “Uzmanlar”.
Brifing
Her gruba görev kartları verilir. Görev net değilse öğretmen ek açıklamalar yapar.
"Teorisyenler"
Ödev: “Bir üçgenin dört dikkate değer noktası” konusunu incelerken gerekli temel kavramları tanımlayın (bir üçgenin yüksekliği, bir üçgenin ortancası, bir üçgenin açıortayı, dik açıortay, iç daire, çevrel daire), bir ders kitabı kullanabilirsiniz; Ana kavramları bir kağıda yazın.
"Tarihçiler"
bisektörler yazılı dairenin merkezi dikler çevrelenmiş dairenin merkezi. Principia üç tane bile söylemiyor yüksekliklerüçgenler adı verilen bir noktada kesişir ortomerkez medyan ağırlık merkezi
XIX yüzyılın 20'li yıllarında. Fransız matematikçiler J. Poncelet, C. Brianchon ve diğerleri bağımsız olarak şu teoremi oluşturdular: ortancaların tabanları, yüksekliklerin tabanları ve diklik merkezini üçgenin köşelerine bağlayan yükseklik bölümlerinin orta noktaları aynı daire üzerinde yer alır.
Bu daireye “dokuz noktalı daire” veya “Feuerbach dairesi” veya “Euler dairesi” denir. K. Feuerbach, bu dairenin merkezinin “Euler düz çizgisi” üzerinde bulunduğunu tespit etti.
Ödev: Makaleyi analiz edin ve çalışılan materyali yansıtan tabloyu doldurun.
Nokta adı |
Ne kesişiyor |
||
"Yaratılış"
Ödev: “Bir üçgenin dikkat çekici dört noktası” (örneğin, üçgen, nokta, kenarortay, vb.) konusunda senkronizasyon/şarkılar bulun.
Syncwine yazma kuralı:
İlk satırda konu tek kelimeyle (genellikle bir isim) adlandırılır.
İkinci satır konunun iki kelimeyle (2 sıfat) açıklamasıdır.
Üçüncü satır, bu konu çerçevesindeki eylemin üç kelimeyle (fiiller, ulaçlar) açıklamasıdır.
Dördüncü satır ise konuya yönelik tutumu gösteren 4 kelimelik bir cümledir.
Son satır, konunun özünü tekrarlayan tek kelimelik bir eşanlamlıdır (metafor).
"Mantık yapıcılar"
Bir üçgenin medyanı, üçgenin herhangi bir köşesini karşı tarafın orta noktasına bağlayan bir segmenttir. Herhangi bir üçgenin üç medyanı vardır.
Açıortay, köşe noktasından karşı tarafla kesişme noktasına kadar herhangi bir açıdaki açıortayın bir bölümüdür. Herhangi bir üçgenin üç açıortayı vardır.
Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara veya uzantısına çizilen diktir. Herhangi bir üçgenin üç yüksekliği vardır.
Bir parçanın dik açıortayı, belirli bir parçanın ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir. Herhangi bir üçgenin üç dik açıortayı vardır.
Ödev: Üçgen kağıtlar kullanarak kenarortayların, yüksekliklerin, açıortayların ve açıortayların kesişim noktalarını katlayarak oluşturun. Bunu tüm sınıfa açıklayın.
"Uygulamalar"
Elementler'in dördüncü kitabında Öklid, "Belirli bir üçgene bir daire çizme" sorununu çözüyor. Çözümden şu sonuç çıkıyor: üç bisektörlerÜçgenin iç açıları bir noktada kesişir; yazılı dairenin merkezi. Başka bir Öklid probleminin çözümünden şu sonuç çıkıyor: dikler, üçgenin kenarlarının orta noktalarına geri döndürülmüş, aynı zamanda bir noktada kesişiyor - çevrelenmiş dairenin merkezi. Principia, bir üçgenin üç yüksekliğinin bir noktada kesiştiğini söylemez. ortomerkez(Yunanca “orthos” kelimesi düz, doğru anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimed, Pappus ve Proclus tarafından biliniyordu. Üçgenin dördüncü tekil noktası kesişim noktasıdır medyan. Arşimed öyle olduğunu kanıtladı ağırlık merkezi(barycenter) üçgenin. 18. yüzyıldan başlayarak yukarıdaki dört noktaya özellikle dikkat edildi. Bunlara "dikkat çekici" veya "üçgenin özel noktaları" deniyordu.
Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu. .
Ödev: Önerilen materyali analiz edin ve birimler arasındaki anlamsal bağlantıları yansıtan bir şema bulun, açıklayın, bir kağıda çizin ve tahtada gösterin.
Üçgenin dikkat çekici noktaları
1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________
Çizim 1 Çizim 2 Çizim 3 Çizim 4
____________ ___________ ______________ ____________
(açıklama)
"Uzmanlar"
Ödev: Her grubun çalışmasını değerlendireceğiniz bir tablo yapın, grupların çalışmalarını değerlendireceğiniz parametreleri seçin, puanları belirleyin.
Parametreler şu şekilde olabilir: her öğrencinin kendi grubunun çalışmasına katılımı, savunmaya katılımı, materyalin ilginç sunumu, netliğin sunumu vb.
Konuşmanızda her grubun etkinliklerindeki olumlu ve olumsuz yönleri not etmelisiniz.
4. Grup performansı.(Her biri 2-3 dakika)
Çalışmanın sonuçları panoya asıldı
5. Dersi özetlemek.
Dersin başında belirlediğiniz hedeflere bakın. Her şeyi tamamlamayı başardın mı?
Bugünkü ders için seçilen epigrafa katılıyor musunuz?
6. Ev ödevi.
1) Bugünkü dersteki materyali kullanarak iğnenin ucunda belirli bir noktada duran üçgenin dengede olduğundan emin olun.
2) Dikkat çekici 4 noktanın tümünü farklı üçgenlerde çizin.
DÖRT ÖNEMLİ NOKTA
ÜÇGEN
Geometri
8. sınıf
Sakharova Natalia Ivanovna
MBOU Simferopol 28 Nolu Ortaokulu
- Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası
- Üçgen açıortayların kesişme noktası
- Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası
- Bir üçgenin dik kenarortaylarının kesişme noktası
Medyan
Medyan (BD)Üçgenin tepe noktası ile karşı kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına üçgen denir.
Medyanlarüçgenler kesişiyor bir noktada (ağırlık merkeziüçgen) ve tepe noktasından sayılarak 2: 1 oranında bu noktaya bölünür.
AÇIORTAY
Açıortay (AD) Bir üçgenin iç açısının açıortay parçasına denir. ∟ KÖTÜ = ∟CAD.
Her nokta bisektörler gelişmemiş bir açının kenarı kenarlarından eşit uzaklıktadır.
Geri: Bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta onun üzerinde yer alır. açıortay.
Tüm açıortaylarüçgenler bir noktada kesişir - yazılı olanın merkezi bir üçgene daireler.
Çemberin yarıçapı (OM), merkezden (TO) üçgenin kenarına inen dik bir çizgidir.
YÜKSEKLİK
Yükseklik (CD) Bir üçgenin tepe noktasından, karşı kenarı içeren bir çizgiye çizilen dik bir bölümdür.
Yüksekliklerüçgenler (veya uzantıları) kesişiyor birinde nokta.
ORTA DİK
Dik açıortay (DF)Üçgenin bir kenarına dik olan ve onu ikiye bölen düz çizgiye denir.
Her nokta dik açıortay(m) bir parçaya bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta.
Geri: Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta orta noktada yer alır dik ona.
Bir üçgenin kenarlarının tüm dik açıortayları bir noktada kesişir - anlatılanların merkezi üçgenin yakınında daire .
Çevrel dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine (OA) olan mesafedir.
Sayfa 177 Sayı 675 (çizim)
Ev ödevi
S. 173 § 3 tanımlar ve teoremler s. 177 No. 675 (son)
Bu dersimizde üçgenin dört harika noktasına bakacağız. Bunlardan ikisi üzerinde detaylı olarak duralım, önemli teoremlerin ispatlarını hatırlayalım ve problemi çözelim. Geriye kalan ikisini hatırlayalım ve karakterize edelim.
Ders:8.sınıf geometri dersinin tekrarı
Ders: Bir Üçgenin Dört Harika Noktası
Bir üçgen her şeyden önce üç parça ve üç açıdan oluşur, bu nedenle parçaların ve açıların özellikleri temeldir.
AB segmenti veriliyor. Herhangi bir doğru parçasının bir orta noktası vardır ve bu noktadan geçen bir dikme çizilebilir; buna p diyelim. Dolayısıyla p dik açıortaydır.
Teorem (dik açıortayın ana özelliği)
Dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.
Bunu kanıtla
Kanıt:
Üçgenleri düşünün ve (bkz. Şekil 1). Dikdörtgen ve eşittirler çünkü. ortak bir OM bacağı var ve AO ve OB bacakları koşula göre eşit, dolayısıyla iki ayakta eşit olan iki dik üçgenimiz var. Buradan üçgenlerin hipotenüslerinin de eşit olduğu, yani kanıtlanması gereken şeyin eşit olduğu sonucu çıkıyor.
Pirinç. 1
Ters teorem doğrudur.
Teorem
Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır.
Bir AB parçası verildiğinde, ona dik bir açıortay p, parçanın uçlarından eşit uzaklıkta bir M noktası var (bkz. Şekil 2).
M noktasının doğru parçasının dik açıortayında bulunduğunu kanıtlayın.
Pirinç. 2
Kanıt:
Bir üçgen düşünün. Koşullara göre ikizkenardır. Bir üçgenin medyanını düşünün: O noktası AB tabanının ortasıdır, OM medyandır. İkizkenar üçgenin özelliğine göre tabanına çizilen kenarortay hem yükseklik hem de açıortaydır. Bunu takip ediyor. Ancak p doğrusu AB'ye de diktir. O noktasında AB doğru parçasına tek bir dik çizgi çizmenin mümkün olduğunu biliyoruz; bu, OM ve p çizgilerinin çakıştığı anlamına gelir; bundan M noktasının p düz çizgisine ait olduğu sonucu çıkar ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.
Bir parçanın etrafındaki bir daireyi tanımlamak gerekiyorsa, bu yapılabilir ve bu tür sonsuz sayıda daire vardır, ancak bunların her birinin merkezi, parçaya dik açıortay üzerinde yer alacaktır.
Dik açıortayın, bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu söylüyorlar.
Bir üçgen üç parçadan oluşur. Bunlardan ikisine orta dikmeler çizelim ve kesişimlerinin O noktasını elde edelim (bkz. Şekil 3).
O noktası üçgenin BC kenarına dik açıortaya aittir, yani B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır, bu mesafeyi R olarak gösterelim: .
Ek olarak, O noktası AB segmentine dik açıortay üzerinde bulunur, yani. , aynı zamanda buradan.
Böylece iki orta noktanın kesişimindeki O noktası
Pirinç. 3
Üçgenin dik açıları köşelerinden eşit uzaklıktadır, bu da onun aynı zamanda üçüncü açıortay üzerinde de bulunduğu anlamına gelir.
Önemli bir teoremin ispatını tekrarladık.
Bir üçgenin üç dik açıortayı bir noktada kesişir - çevrel çemberin merkezi.
Böylece üçgenin ilk dikkat çekici noktasına baktık - orta dikmelerin kesişme noktası.
İsteğe bağlı bir açının özelliğine geçelim (bkz. Şekil 4).
Açı veriliyor, ortayağı AL, M noktası açıortay üzerinde yer alıyor.
Pirinç. 4
M noktası bir açının açıortayında yer alıyorsa, açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, yani M noktasından AC'ye ve açının kenarlarının BC'ye olan mesafeleri eşittir.
Kanıt:
Üçgenleri düşünün ve . Bunlar dik üçgenler ve eşitler çünkü... Ortak hipotenüs AM'ye sahiptir ve AL açının ortancası olduğundan açılar eşittir. Dolayısıyla dik üçgenlerin hipotenüsleri ve dar açıları eşittir, bu da kanıtlanması gereken bir sonuçtur. Bu nedenle, bir açının açıortayı üzerindeki bir nokta, o açının kenarlarına eşit uzaklıktadır.
Ters teorem doğrudur.
Teorem
Bir nokta, gelişmemiş bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, o zaman açıortayında bulunur (bkz. Şekil 5).
Gelişmemiş bir açı verilmiştir, M noktası, öyle ki, ondan açının kenarlarına olan mesafe aynı olsun.
M noktasının açınınortay üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.
Pirinç. 5
Kanıt:
Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe dikmenin uzunluğudur. M noktasından AB kenarına MK dikmelerini ve AC kenarına MR dikmelerini çiziyoruz.
Üçgenleri düşünün ve . Bunlar dik üçgenler ve eşitler çünkü... ortak bir hipotenüse sahip AM, bacaklar MK ve MR koşula göre eşittir. Böylece dik üçgenlerin hipotenüsü ve kenarı eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden, karşılık gelen elemanların eşitliği gelir; eşit açılar, eşit kenarların karşısında yer alır; 
Bu nedenle M noktası verilen açının açıortayında yer alır.
Bir açıyla bir daire çizmeniz gerekiyorsa, bu yapılabilir ve bu tür sonsuz sayıda daire vardır, ancak bunların merkezleri belirli bir açının açıortayında yer alır.
Açıortayın, bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu söylüyorlar.
Bir üçgen üç açıdan oluşur. Bunlardan ikisinin orta açısını oluşturalım ve kesişimlerinin O noktasını alalım (bkz. Şekil 6).
O noktası açının açıortayında yer alır, yani AB ve BC kenarlarından eşit uzaklıktadır, mesafeyi r olarak gösterelim: . Ayrıca O noktası açının ortay üzerinde yer alır, yani buradan AC ve BC kenarlarına eşit uzaklıkta olur: , .
Açıortayların kesişme noktasının üçüncü açının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğunu fark etmek kolaydır, bu da onun üzerinde olduğu anlamına gelir.
Pirinç. 6
açıortay. Böylece üçgenin üç açıortayı da bir noktada kesişir.
Böylece bir başka önemli teoremin ispatını hatırladık.
Bir üçgenin açılarının açıortayları bir noktada kesişir - yazılı dairenin merkezi.
Böylece üçgenin ikinci dikkat çekici noktasına baktık - açıortayların kesişme noktası.
Bir açının açıortayını inceledik ve önemli özelliklerine dikkat çektik: Açıortay noktaları açının kenarlarından eşit uzaklıkta, ayrıca bir noktadan daireye çizilen teğet bölümler eşittir.
Bazı gösterimleri tanıtalım (bkz. Şekil 7).
Eşit teğet parçaları x, y ve z ile gösterelim. A tepe noktasının karşısındaki BC kenarı a olarak gösterilir, benzer şekilde AC b olarak, AB ise c olarak gösterilir.
Pirinç. 7
Problem 1: Bir üçgende a kenarının yarı çevresi ve uzunluğu biliniyor. A - AK köşesinden çizilen ve x ile gösterilen teğetin uzunluğunu bulun.
Açıkçası, üçgen tam olarak tanımlanmamıştır ve bu tür birçok üçgen vardır, ancak bazı ortak unsurların olduğu ortaya çıkmıştır.
Yazılı daire içeren problemler için aşağıdaki çözüm yöntemi önerilebilir:
1. Açıortayları çizin ve yazılı dairenin merkezini alın.
2. O merkezinden kenarlara dik çizgiler çizin ve teğet noktaları elde edin.
3. Eşit teğetleri işaretleyin.
4. Üçgenin kenarları ile teğetler arasındaki ilişkiyi yazın.
Hedefler:
- Öğrencilerin “Bir üçgenin dört dikkat çekici noktası” konusundaki bilgilerini özetlemek, bir üçgenin yüksekliğini, kenarortayını ve açıortayını oluşturma becerilerini geliştirmeye yönelik çalışmalara devam etmek;
Öğrencileri bir üçgenin içine yazılan ve onun etrafında çevrelenen daireye ilişkin yeni kavramlarla tanıştırın;
Araştırma becerilerini geliştirin;
- Öğrencilerde kalıcılığı, doğruluğu ve düzeni geliştirin.
Görev: Geometri konusuna yönelik bilişsel ilgiyi genişletin.
Teçhizat: tahta, çizim araçları, renkli kalemler, yatay kağıt üzerindeki üçgen modeli; bilgisayar, multimedya projektörü, ekran.
Ders ilerlemesi
1.
Organizasyon anı (1 dakika)
Öğretmen: Bu dersimizde her biriniz kendinizi bir araştırma mühendisi gibi hissedecek; uygulamalı çalışmayı tamamladıktan sonra kendinizi değerlendirebileceksiniz. Çalışmanın başarılı olabilmesi için ders esnasında model ile yapılan tüm eylemlerin çok doğru ve düzenli bir şekilde yapılması gerekmektedir. Size başarılar diliyorum.
2.
Öğretmen: defterinize açık bir açı çizin
S. Bir açının açıortayını oluşturmak için hangi yöntemleri biliyorsunuz?
Bir açının ortaortasının belirlenmesi. İki öğrenci tahtada açıortayları (önceden hazırlanmış modelleri kullanarak) iki şekilde oluşturur: cetvel veya pergel kullanarak. Aşağıdaki iki öğrenci bu ifadeleri sözlü olarak kanıtlamaktadır:
1. Bir açının açıortay noktaları hangi özelliklere sahiptir?
2. Açının içinde kalan ve açının kenarlarına eşit uzaklıktaki noktalar hakkında ne söylenebilir?
Öğretmen: bir ABC dörtgen üçgeni çizin ve herhangi bir şekilde A açısı ile C açısının ortaortaylarını ve bunların noktalarını oluşturun.
kesişim - O noktası. VO ışını hakkında hangi hipotezi öne sürebilirsiniz? BO ışınının ABC üçgeninin açıortay olduğunu kanıtlayın. Bir üçgenin tüm açıortaylarının konumu hakkında bir sonuç formüle edin.
3.
Üçgen modeliyle çalışma (5-7 dakika).
Seçenek 1 - dar üçgen;
Seçenek 2 - sağ üçgen;
Seçenek 3 - geniş üçgen.
Öğretmen: Üçgen modeline iki açıortay çizin ve onları sarı daire içine alın. Kesişme noktasını işaretleyin
açıortay noktası K. 1 numaralı slayta bakın.
4.
Dersin ana aşamasına hazırlık (10-13 dakika).
Öğretmen: AB doğru parçasını defterinize çizin. Bir doğru parçasına dik bir açıortay oluşturmak için hangi araçlar kullanılabilir? Dik açıortayın belirlenmesi. İki öğrenci tahtada dik bir açıortay oluşturuyor
(önceden hazırlanmış modellere göre) iki şekilde: cetvelle, pusulayla. Aşağıdaki iki öğrenci bu ifadeleri sözlü olarak kanıtlamaktadır:
1. Bir doğru parçasına dik açıortay noktalarının özellikleri nelerdir?
2. AB doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktaki noktalar hakkında ne söylenebilir? Öğretmen: Defterinize bir ABC dik üçgeni çizin ve ABC üçgeninin herhangi iki kenarına dik açıortayları çizin.
O kesişim noktasını işaretleyin. Üçüncü tarafa O noktasından geçen bir dik çizin. Ne fark ettiniz? Bunun doğru parçasının dik açıortayı olduğunu kanıtlayın.
5.
Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).Öğretmen: Üçgen modeli üzerinde, üçgenin iki kenarına dik açılar çizin ve bunları yeşil renkle daire içine alın. Ortaorta dikmelerinin kesişme noktasını bir O noktasıyla işaretleyin. 2 numaralı slayta bakın.
6.
Dersin ana aşamasına hazırlık (5-7 dakika).Öğretmen: geniş bir ABC üçgeni çizin ve iki yükseklik oluşturun. Kesişme noktalarını O olarak etiketleyin.
1. Üçüncü yükseklik hakkında ne söylenebilir (üçüncü yükseklik tabanın ötesine uzatılırsa O noktasından geçecektir)?
2. Tüm yüksekliklerin bir noktada kesiştiği nasıl kanıtlanır?
3. Bu yükseklikler hangi yeni şekli oluşturuyor ve içinde neler var?
7.
Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).
Öğretmen: Üçgen modeline göre üç yükseklik oluşturun ve bunları mavi renkle daire içine alın. Yüksekliklerin H noktasıyla kesiştiği noktayı işaretleyin. 3 numaralı slayta bakın.
İkinci ders
8.
Dersin ana aşamasına hazırlık (10-12 dakika).
Öğretmen: Bir ABC dar üçgeni çizin ve tüm kenarortaylarını oluşturun. Kesişme noktalarını O olarak etiketleyin. Bir üçgenin kenarortayları hangi özelliğe sahiptir?
9.
Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).
Öğretmen: Üçgen modelinde üç kenarortay oluşturun ve bunları kahverengi daire içine alın.
Medyanların kesişme noktasını bir T noktasıyla işaretleyin. 4 numaralı slayta bakın.
10.
İnşaatın doğruluğunun kontrol edilmesi (10-15 dakika).
1. K noktası hakkında ne söylenebilir? / K noktası ortaortayların kesişme noktasıdır, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır /
2. K noktasından üçgenin yarım kenarına kadar olan mesafeyi model üzerinde gösterin. Hangi şekli çizdin? Bu nasıl konumlanıyor?
yandan mı kesildi? Basit bir kalemle cesurca vurgulayın. (5 numaralı slayta bakın).
3. Düzlemin aynı doğru üzerinde olmayan üç noktasına eşit uzaklıktaki nokta nedir? Sarı bir kalem kullanarak merkezi K olan ve yarıçapı basit bir kalemle işaretlenen mesafeye eşit olan bir daire çizin. (6 numaralı slayta bakın).
4. Ne fark ettiniz? Bu daire üçgene göre nasıl konumlandırılır? Bir üçgenin içine bir daire yazdınız. Böyle bir çevreye ne ad verebilirsiniz?
Öğretmen üçgenin içindeki yazılı dairenin tanımını verir.
5. O noktası hakkında ne söylenebilir? \Noktası O dik açıortayların kesişme noktasıdır ve üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır\. A, B, C ve O noktalarını birleştirerek hangi şekil oluşturulabilir?
6. Yeşili kullanarak bir daire (O; OA) oluşturun. (7 numaralı slayta bakın).
7. Neyi fark ettiniz? Bu daire üçgene göre nasıl konumlandırılır? Böyle bir çevreye ne ad verebilirsiniz? Bu durumda üçgeni nasıl çağırabiliriz?
Öğretmen bir üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin tanımını verir.
8. O, H ve T noktalarına bir cetvel takın ve bu noktalardan kırmızı bir çizgi çizin. Bu çizgiye düz denir
Euler (8 numaralı slayta bakın).
9. OT ve TN'yi karşılaştırın. FROM:TN=1'i kontrol edin: 2. (9 numaralı slayta bakın).
10. a) Üçgenin kenarortaylarını bulun (kahverengi). Medyanların tabanlarını mürekkeple işaretleyin.
Bu üç nokta nerede?
b) Üçgenin (mavi) yüksekliklerini bulun. Yüksekliklerin tabanlarını mürekkeple işaretleyin. Bu noktalardan kaç tane var? \ Seçenek 1-3; 2 seçenek-2; Seçenek 3-3\.c) Köşelerden yüksekliklerin kesişme noktasına kadar olan mesafeyi ölçün. Bu mesafeleri adlandırın (AN,
VN, SN). Bu bölümlerin orta noktalarını bulun ve bunları mürekkeple vurgulayın. Bunlardan kaç tanesi
puan? \1 seçenek-3; 2 seçenek-2; Seçenek 3-3\.
11. Mürekkeple kaç noktanın işaretlendiğini sayın? \ 1 seçenek - 9; Seçenek 2-5; Seçenek 3-9\. Belirle
noktalar D 1, D 2,…, D 9. (10 numaralı slayta bakın). Bu noktaları kullanarak bir Euler çemberi oluşturabilirsiniz. Çemberin merkezi E noktası OH doğru parçasının ortasındadır. Kırmızı bir daire (E; ED 1) çiziyoruz. Bu daire, düz bir çizgi gibi, adını büyük bilim insanından almıştır. (11 numaralı slayta bakın).
11.
Euler hakkında sunum (5 dakika).
12. Özet(3 dakika). Puan: “5” - tam olarak sarı, yeşil ve kırmızı daireleri ve Euler düz çizgisini elde ederseniz. “4” - eğer daireler 2-3 mm hatalıysa. “3” - eğer daireler 5-7 mm hatalıysa.