Logaritmik ifadeler, çözüm örnekleri. Bu yazıda logaritma çözümüyle ilgili problemlere bakacağız. Görevler bir ifadenin anlamını bulma sorusunu sorar. Logaritma kavramının birçok görevde kullanıldığını ve anlamını anlamanın son derece önemli olduğunu belirtmek gerekir. Birleşik Devlet Sınavına gelince, logaritma denklemleri çözerken, uygulamalı problemlerde ve ayrıca fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevlerde kullanılır.
Logaritmanın anlamını anlamak için örnekler verelim:
Temel logaritmik kimlik:
Logaritmanın her zaman hatırlanması gereken özellikleri:
*Çarpımın logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir.
* * *
*Bir bölümün (kesir) logaritması, faktörlerin logaritmaları arasındaki farka eşittir.
* * *
*Üssün logaritması üssün logaritması ile üssün çarpımına eşittir.
* * *
*Yeni bir temele geçiş
* * *
Daha fazla özellik:
* * *
Logaritmanın hesaplanması üslü sayıların özelliklerinin kullanımıyla yakından ilgilidir.
Bunlardan bazılarını listeleyelim:
Bu özelliğin özü, pay paydaya aktarıldığında ve tam tersi durumda üssün işaretinin tersine değişmesidir. Örneğin:
Bu özellikten bir sonuç:
* * *
Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken taban aynı kalır ancak üsler çarpılır.
* * *
Gördüğünüz gibi logaritma kavramının kendisi basittir. Önemli olan, size belirli bir beceri kazandıran iyi uygulamaya ihtiyacınız olmasıdır. Elbette formül bilgisi gereklidir. Temel logaritmaları dönüştürme becerisi geliştirilmediyse, basit görevleri çözerken kolayca hata yapabilirsiniz.
Pratik yapın, önce matematik dersindeki en basit örnekleri çözün, ardından daha karmaşık olanlara geçin. Gelecekte logaritmaların nasıl çözüldüğünü kesinlikle göstereceğim; Birleşik Devlet Sınavında görünmeyecekler ama ilgi çekiciler, kaçırmayın!
Bu kadar! Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
Matematik final sınavına hazırlık önemli bir bölüm olan “Logaritamalar”ı içerir. Bu konudaki görevler mutlaka Birleşik Devlet Sınavında yer almaktadır. Geçmiş yıllardan edinilen deneyimler, logaritmik denklemlerin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, farklı eğitim seviyelerine sahip öğrencilerin doğru cevabı nasıl bulacaklarını anlamaları ve bunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmaları gerekir.
Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sertifika testini başarıyla geçin!
Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken lise mezunları, test problemlerini başarıyla çözmek için en eksiksiz ve doğru bilgileri sağlayan güvenilir bir kaynağa ihtiyaç duyarlar. Ancak bir ders kitabı her zaman elinizin altında olmayabilir ve gerekli kuralları ve formülleri internette aramak çoğu zaman zaman alır.
Shkolkovo eğitim portalı, Birleşik Devlet Sınavına istediğiniz zaman istediğiniz yerde hazırlanmanıza olanak tanır. Web sitemiz, logaritmaların yanı sıra bir ve daha fazla bilinmeyenle ilgili büyük miktarda bilgiyi tekrarlamak ve özümsemek için en uygun yaklaşımı sunar. Kolay denklemlerle başlayın. Onlarla zorluk çekmeden başa çıkabiliyorsanız, daha karmaşık olanlara geçin. Belirli bir eşitsizliği çözmekte sorun yaşıyorsanız, daha sonra geri dönebilmek için onu Favorilerinize ekleyebilirsiniz.
Görevi tamamlamak için gerekli formülleri, tekrarlanan özel durumları ve standart bir logaritmik denklemin kökünü hesaplama yöntemlerini “Teorik Yardım” bölümüne bakarak bulabilirsiniz. Shkolkovo öğretmenleri başarılı geçiş için gerekli tüm materyalleri en basit ve anlaşılır biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu.
Her türlü karmaşıklıktaki görevlerle kolayca başa çıkabilmek için portalımızda bazı standart logaritmik denklemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz. Bunu yapmak için “Kataloglar” bölümüne gidin. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının profil düzeyindeki denklemler de dahil olmak üzere çok sayıda örneğimiz var.
Rusya genelindeki okullardan öğrenciler portalımızı kullanabilirler. Derslere başlamak için sisteme kayıt olmanız ve denklem çözmeye başlamanız yeterli. Sonuçları pekiştirmek için her gün Shkolkovo web sitesine dönmenizi tavsiye ederiz.
Talimatlar
Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritmadır. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.
İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";
İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;
İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Karmaşık bir fonksiyon verilirse, iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevinin çarpılması gerekir. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.
Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Belirli bir y"(1)=8*e^0=8 noktasında fonksiyonun değerini hesaplayın
Konuyla ilgili video
Yararlı tavsiye
Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman kazandıracaktır.
Kaynaklar:
- bir sabitin türevi
Peki irrasyonel bir denklem ile rasyonel bir denklem arasındaki fark nedir? Bilinmeyen değişken karekök işaretinin altındaysa denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.
Talimatlar
Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alırsak 2x-5=4x-7 elde ederiz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle bu denklemin kökleri yoktur.
Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.
Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani sıradan bir ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.
Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için, belirlenen hedefe ulaşılıncaya kadar aynı dönüşümlerin gerçekleştirilmesi gerekir. Böylece basit aritmetik işlemler yardımıyla ortaya çıkan problem çözülecektir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - dolma kalem.
Talimatlar
Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca aslında aynı özdeşliğe sahip birçok trigonometrik formül vardır.
Nitekim iki terimin toplamının karesi, birincinin karesi artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesine eşittir, yani (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Her ikisini de basitleştirin
Çözümün genel ilkeleri
Belirli bir integralin ne olduğunu matematiksel analiz veya yüksek matematikle ilgili bir ders kitabından tekrarlayın. Bilindiği gibi belirli bir integralin çözümü, türevi bir integral verecek olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyona antiderivatif denir. Bu prensibe dayanarak ana integraller inşa edilir.Bu durumda tablo integrallerinden hangisinin uygun olduğunu integralin türüne göre belirleyin. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman, tablo biçimi ancak integrali basitleştirmek için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.
Değişken Değiştirme Yöntemi
İntegral, argümanı bir polinom olan trigonometrik bir fonksiyonsa, değişkenlerin değişimi yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Böylece, önceki integralin yeni bir formunu elde edeceksiniz, tablo halindeki bir integrale yakın veya hatta ona karşılık gelecek.İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi
İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa, belirli bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale geçmemizi sağlar.Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi
Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini ters türev ifadesinde değiştirin. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegralin limitlerinden biri sonsuzluk ise, bunu antiderivatif fonksiyona yerleştirirken limite gitmek ve ifadenin neye yöneldiğini bulmak gerekir.İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.
Bugün hiçbir ön dönüşüme veya kök seçimine gerek olmayan en basit logaritmik denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Ancak bu tür denklemleri çözmeyi öğrenirseniz, o zaman çok daha kolay olacaktır.
En basit logaritmik denklem log a f(x) = b formundaki bir denklemdir; burada a, b sayılardır (a > 0, a ≠ 1), f(x) belirli bir fonksiyondur.
Tüm logaritmik denklemlerin ayırt edici bir özelliği, logaritma işaretinin altında x değişkeninin bulunmasıdır. Eğer problemde başlangıçta verilen denklem buysa buna en basit denir. Diğer logaritmik denklemler özel dönüşümlerle en basitine indirgenir (bkz. “ Logaritmanın temel özellikleri"). Bununla birlikte, çok sayıda incelik dikkate alınmalıdır: Fazladan kökler ortaya çıkabilir, bu nedenle karmaşık logaritmik denklemler ayrı ayrı ele alınacaktır.
Bu tür denklemler nasıl çözülür? Eşittir işaretinin sağındaki sayıyı, soldaki ile aynı tabandaki bir logaritma ile değiştirmek yeterlidir. O zaman logaritmanın işaretinden kurtulabilirsiniz. Şunu elde ederiz:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Her zamanki denklemi elde ettik. Kökleri orijinal denklemin kökleridir.
Derece çıkarmak
Çoğu zaman, dışarıdan karmaşık ve tehditkar görünen logaritmik denklemler, karmaşık formüller gerektirmeden yalnızca birkaç satırda çözülür. Bugün tam da bu tür sorunlara bakacağız; sizden tek yapmanız gereken, formülü dikkatli bir şekilde kanonik forma indirgemek ve logaritmanın tanım alanını ararken kafanızın karışmamasıdır.
Bugün muhtemelen başlıktan da tahmin ettiğiniz gibi logaritmik denklemleri kanonik forma geçiş formüllerini kullanarak çözeceğiz. Bu video dersinin ana "püf noktası" derecelerle çalışmak, daha doğrusu dereceyi temelden ve argümandan çıkarmak olacaktır. Kurala bakalım:
Benzer şekilde, dereceyi tabandan türetebilirsiniz:
Görebildiğimiz gibi, logaritmanın argümanından dereceyi çıkardığımızda sadece önümüzde ek bir faktör varsa, o zaman dereceyi tabandan çıkardığımızda sadece bir faktör değil, tersine çevrilmiş bir faktör elde ederiz. Bunun hatırlanması gerekiyor.
Son olarak en ilginç şey. Bu formüller birleştirilebilir ve şunu elde ederiz:
Elbette, bu geçişleri yaparken, tanımın kapsamının olası genişlemesi veya tam tersine tanımın kapsamının daralmasıyla ilgili bazı tuzaklar vardır. Kendiniz karar verin:
günlük 3 x 2 = 2 ∙ günlük 3 x
İlk durumda x, 0'dan farklı bir sayı olabiliyorsa, yani x ≠ 0 gereksinimi varsa, o zaman ikinci durumda yalnızca x ile tatmin oluruz; bunlar yalnızca eşit değildir, aynı zamanda 0'dan kesinlikle büyüktür, çünkü logaritmanın tanımı, argümanın kesinlikle 0'dan büyük olmasıdır. Bu nedenle size 8-9. sınıf cebir dersinden harika bir formülü hatırlatacağım:
Yani formülümüzü şu şekilde yazmalıyız:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
O zaman tanımın kapsamı daralmayacaktır.
Ancak bugünkü video eğitiminde kareler olmayacak. Görevlerimize bakarsanız sadece kökleri göreceksiniz. Bu nedenle, bu kuralı uygulamayacağız ama yine de aklınızda tutmanız gerekiyor ki, doğru zamanda, bir argümanda ikinci dereceden bir fonksiyon veya bir logaritmanın tabanını gördüğünüzde, bu kuralı hatırlayacak ve tüm işlemleri uygulayacaksınız. dönüşümleri doğru şekilde gerçekleştirin.
Yani ilk denklem şu:
Bu sorunu çözmek için formülde bulunan terimlerin her birine dikkatlice bakmayı öneriyorum.
İlk terimi rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:
İkinci terime bakıyoruz: log 3 (1 − x). Burada hiçbir şey yapmaya gerek yok, burada her şey zaten dönüşmüş durumda.
Son olarak 0, 5. Önceki derslerde de söylediğim gibi logaritmik denklem ve formülleri çözerken ondalık kesirlerden sıradan kesirlere geçmenizi şiddetle tavsiye ederim. Bunu yapalım:
0,5 = 5/10 = 1/2
Ortaya çıkan terimleri dikkate alarak orijinal formülümüzü yeniden yazalım:
log 3 (1 - x) = 1
Şimdi kanonik forma geçelim:
günlük 3 (1 − x ) = günlük 3 3
Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz:
1 - x = 3
−x = 2
x = −2
İşte bu, denklemi çözdük. Ancak yine de işi riske atalım ve tanımın alanını bulalım. Bunu yapmak için orijinal formüle geri dönelim ve şunu görelim:
1 - x > 0
−x > −1
X< 1
Kök x = −2 bu gereksinimi karşılıyor, dolayısıyla x = −2 orijinal denklemin bir çözümü. Şimdi elimizde kesin ve net bir gerekçe var. İşte bu, sorun çözüldü.
Gelelim ikinci göreve:
Her terime ayrı ayrı bakalım.
İlkini yazalım:
İlk dönemi dönüştürdük. İkinci dönemle çalışıyoruz:
Son olarak eşittir işaretinin sağındaki son terim:
Ortaya çıkan formüldeki terimler yerine ortaya çıkan ifadeleri değiştiririz:
günlük 3 x = 1
Kanonik forma geçelim:
günlük 3 x = günlük 3 3
Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz ve şunu elde ederiz:
x = 3
Yine de tedbiri elden bırakmamak için orijinal denkleme geri dönüp bir göz atalım. Orijinal formülde x değişkeni yalnızca bağımsız değişkende mevcuttur, bu nedenle,
x > 0
İkinci logaritmada x kökün altındadır ama yine argümanda bu nedenle kök 0'dan büyük olmalıdır, yani radikal ifade 0'dan büyük olmalıdır. Kök x = 3'e bakıyoruz. bu gereksinimi karşılar. Bu nedenle x = 3 orijinal logaritmik denklemin bir çözümüdür. İşte bu, sorun çözüldü.
Bugünkü video eğitiminde iki önemli nokta var:
1) logaritmaları dönüştürmekten korkmayın ve özellikle logaritmanın işaretinden kuvvetleri çıkarmaktan korkmayın, aynı zamanda temel formülümüzü hatırlayın: bir argümandan bir kuvveti çıkarırken, değişiklik yapılmadan basitçe çıkarılır çarpan olarak kullanılır ve tabandan bir güç kaldırıldığında bu güç tersine çevrilir.
2) ikinci nokta kanonik formun kendisiyle ilgilidir. Logaritmik denklem formülünün dönüşümünün en sonunda kanonik forma geçişi yaptık. Size şu formülü hatırlatayım:
a = log b b a
Elbette "herhangi bir sayı b" ifadesiyle, logaritmanın bazında dayatılan gereklilikleri karşılayan sayıları kastediyorum, yani.
1 ≠ b > 0
Böyle bir b için ve temelini zaten bildiğimiz için bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilecektir. Ancak bu gereksinimi karşılayan herhangi bir b için bu geçiş gerçekleştirilebilir ve logaritmanın işaretinden kurtulabileceğimiz kanonik bir form elde ederiz.
Tanım alanını ve ekstra kökleri genişletmek
Logaritmik denklemlerin dönüştürülmesi sürecinde tanım alanının örtülü bir şekilde genişletilmesi meydana gelebilir. Çoğu zaman öğrenciler bunu fark etmezler, bu da hatalara ve yanlış cevaplara yol açar.
En basit tasarımlarla başlayalım. En basit logaritmik denklem şudur:
loga f(x) = b
X'in bir logaritmanın yalnızca bir bağımsız değişkeninde mevcut olduğuna dikkat edin. Bu tür denklemleri nasıl çözeriz? Kanonik formu kullanıyoruz. Bunu yapmak için b = log a a b sayısını hayal edin, denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:
log a f (x) = log a a b
Bu girdiye kanonik form denir. Sadece bugünkü derste değil, aynı zamanda herhangi bir bağımsız ve test çalışmasında da karşılaşacağınız logaritmik denklemleri buna indirgemelisiniz.
Kanonik forma nasıl ulaşılacağı ve hangi tekniklerin kullanılacağı pratik meselesidir. Anlaşılması gereken en önemli şey, böyle bir kaydı alır almaz sorunun çözülmüş olduğunu düşünebilmenizdir. Çünkü bir sonraki adım şunu yazmaktır:
f(x) = a b
Başka bir deyişle logaritma işaretinden kurtulup basitçe argümanları eşitliyoruz.
Bütün bu konuşmalar neden? Gerçek şu ki, kanonik biçim yalnızca en basit sorunlara değil aynı zamanda diğer sorunlara da uygulanabilir. Özellikle bugün karar vereceklerimiz. Hadi bir göz atalım.
İlk görev:
Bu denklemdeki sorun nedir? Gerçek şu ki, fonksiyon aynı anda iki logaritmadadır. Bir logaritmanın diğerinden çıkarılmasıyla problem en basit haline indirilebilir. Ancak tanımlama alanında sorunlar ortaya çıkıyor: ekstra kökler görünebilir. Logaritmalardan birini sağa taşıyalım:
Bu giriş kanonik forma çok daha benzer. Ancak bir nüans daha var: Kanonik biçimde argümanlar aynı olmalıdır. Sol tarafta 3 tabanındaki logaritmayı, sağda ise 1/3 tabanındaki logaritmayı görüyoruz. Bu üslerin aynı sayıya getirilmesi gerektiğini biliyor. Örneğin negatif güçlerin ne olduğunu hatırlayalım:
Daha sonra çarpan olarak logun dışındaki “−1” üssünü kullanacağız:
Lütfen dikkat: Tabandaki derece ters çevrilir ve kesir haline getirilir. Farklı tabanlardan kurtularak neredeyse kanonik bir notasyon elde ettik ancak bunun karşılığında sağdaki “−1” faktörünü elde ettik. Bu faktörü bir kuvvete dönüştürerek argümana dahil edelim:
Tabii ki, kanonik formu aldıktan sonra, logaritmanın işaretini cesurca çizeriz ve argümanları eşitleriz. Aynı zamanda, kesirin “−1” üssüne yükseltildiğinde basitçe ters çevrildiğini - bir oran elde edildiğini hatırlatmama izin verin.
Oranın temel özelliğini kullanalım ve bunu çapraz olarak çarpalım:
(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Önümüzde yukarıdaki ikinci dereceden denklem var, bu yüzden onu Vieta formüllerini kullanarak çözüyoruz:
(x − 8)(x − 2) = 0
x1 = 8; x 2 = 2
Bu kadar. Sizce denklem çözüldü mü? HAYIR! Böyle bir çözüm için 0 puan alacağız çünkü orijinal denklem x değişkeniyle birlikte iki logaritma içeriyor. Bu nedenle tanım alanının dikkate alınması gerekmektedir.
Ve eğlencenin başladığı yer burasıdır. Çoğu öğrencinin kafası karışıyor: Logaritmanın tanım alanı nedir? Elbette tüm argümanların (iki tane var) sıfırdan büyük olması gerekir:
(x - 4)/(3x - 4) > 0
(x - 5)/(2x - 1) > 0
Bu eşitsizliklerin her biri çözülmeli, düz bir çizgi üzerinde işaretlenmeli, kesiştirilmeli ve ancak bundan sonra kesişme noktasında hangi köklerin bulunduğu görülmelidir.
Dürüst olacağım: Bu tekniğin var olma hakkı var, güvenilir ve doğru cevabı alacaksınız, ancak içinde çok fazla gereksiz adım var. Öyleyse çözümümüzü tekrar gözden geçirelim ve görelim: Kapsamı tam olarak nereye uygulamamız gerekiyor? Başka bir deyişle, ekstra köklerin tam olarak ne zaman ortaya çıktığını açıkça anlamanız gerekir.
- Başlangıçta iki logaritmamız vardı. Daha sonra bir tanesini sağa kaydırdık ama bu durum tanım alanını etkilemedi.
- Sonra tabandaki kuvveti kaldırıyoruz ama hala iki logaritma var ve her birinde bir x değişkeni var.
- Son olarak logun işaretlerinin üzerini çizeriz ve klasik kesirli rasyonel denklemi elde ederiz.
Tanımın kapsamı son adımda genişletilir! Log işaretlerinden kurtulup kesirli-rasyonel bir denkleme geçtiğimizde, x değişkenine yönelik gereksinimler çarpıcı biçimde değişti!
Sonuç olarak, tanım alanı çözümün en başında değil, yalnızca belirtilen adımda, argümanların doğrudan eşitlenmesinden önce düşünülebilir.
Optimizasyon fırsatının yattığı yer burasıdır. Bir yandan her iki argümanın da sıfırdan büyük olması gerekiyor. Öte yandan, bu argümanları daha da eşitliyoruz. Dolayısıyla bunlardan en az biri pozitifse ikincisi de pozitif olacaktır!
Dolayısıyla iki eşitsizliğin aynı anda karşılanmasının gereğinden fazla olduğu ortaya çıktı. Bu kesirlerden sadece birini dikkate almak yeterlidir. Hangisi? Daha basit olan. Örneğin sağdaki kesire bakalım:
(x - 5)/(2x - 1) > 0
Bu tipik bir kesirli rasyonel eşitsizliktir; bunu aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz:
İşaretler nasıl yerleştirilir? Tüm köklerimizden açıkça daha büyük olan bir sayıyı alalım. Mesela 1 milyar Ve onun kesirini değiştiriyoruz. Pozitif bir sayı elde ederiz, yani. x = 5 kökünün sağında bir artı işareti olacaktır.
Sonra işaretler değişir, çünkü hiçbir yerde çokluğun kökleri yoktur. Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklarla ilgileniyoruz. Bu nedenle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Şimdi cevapları hatırlayalım: x = 8 ve x = 2. Açıkçası bunlar henüz cevap değil, yalnızca cevaba adaylar. Hangisi belirtilen kümeye aittir? Elbette x = 8. Ama x = 2 tanım alanı açısından bize uymuyor.
Toplamda, ilk logaritmik denklemin cevabı x = 8 olacaktır. Artık tanım alanını hesaba katan yetkin, sağlam temellere sahip bir çözümümüz var.
Gelelim ikinci denkleme:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Denklemde ondalık kesir varsa ondan kurtulmanız gerektiğini hatırlatayım. Başka bir deyişle 0,5'i ortak kesir olarak yeniden yazalım. Bu tabanı içeren logaritmanın kolaylıkla hesaplanabildiğini hemen fark ederiz:
Bu çok önemli bir an! Hem tabanda hem de argümanda derecelerimiz olduğunda, bu derecelerin göstergelerini aşağıdaki formülü kullanarak türetebiliriz:
Orijinal logaritmik denklemimize geri dönelim ve onu yeniden yazalım:
log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)
Kanonik forma oldukça yakın bir tasarım elde ettik. Ancak terimler ve eşittir işaretinin sağındaki eksi işareti kafamızı karıştırıyor. Birini 5 tabanına göre logaritma olarak temsil edelim:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 – log 5 (x − 5)
Sağdaki logaritmaları çıkarın (bu durumda argümanları bölünmüştür):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Müthiş. Böylece kanonik formu elde ettik! Günlük işaretlerinin üzerini çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Bu, çapraz olarak çarpılarak kolayca çözülebilecek bir orandır:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Açıkçası, ikinci dereceden indirgenmiş bir denklemimiz var. Vieta'nın formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
İki kökümüz var. Ancak bunlar nihai yanıtlar değil, yalnızca adaylardır çünkü logaritmik denklem aynı zamanda tanım alanının kontrol edilmesini de gerektirir.
Size hatırlatıyorum: ne zaman aramaya gerek yok Her argümanların sayısı sıfırdan büyük olacaktır. Bir bağımsız değişkenin (x - 9 veya 5/(x - 5)) sıfırdan büyük olmasını gerektirmek yeterlidir. İlk argümanı düşünün:
x - 9 > 0
x > 9
Açıkçası, yalnızca x = 10 bu gereksinimi karşılar. Bu son cevaptır. Bütün sorun çözüldü.
Bir kez daha bugünkü dersin ana düşünceleri:
- X değişkeni birkaç logaritmada göründüğünde, denklem temel olmaktan çıkar ve bunun için tanım alanının hesaplanması gerekecektir. Aksi takdirde cevaba kolayca fazladan kökler yazabilirsiniz.
- Eşitsizliği hemen değil, tam olarak log işaretlerinden kurtulduğumuz anda yazarsak, alanın kendisiyle çalışmak önemli ölçüde basitleştirilebilir. Sonuçta argümanlar birbirine eşitlendiğinde yalnızca birinin sıfırdan büyük olmasını istemek yeterlidir.
Elbette, bir eşitsizliği oluşturmak için hangi argümanı kullanacağımızı kendimiz seçiyoruz, bu nedenle en basit olanı seçmek mantıklıdır. Örneğin, ikinci denklemde, kesirli rasyonel ikinci argümanın aksine, doğrusal bir fonksiyon olan (x − 9) argümanını seçtik. Katılıyorum, x − 9 > 0 eşitsizliğini çözmek, 5/(x − 5) > 0 eşitsizliğini çözmekten çok daha kolaydır. Ancak sonuç aynı.
Bu açıklama ODZ aramasını büyük ölçüde basitleştirir, ancak dikkatli olun: yalnızca argümanlar tam olarak aynıysa iki yerine bir eşitsizlik kullanabilirsiniz. birbirine eşittir!
Elbette birileri şimdi şunu soracaktır: Farklı olan ne? Evet bazen. Örneğin, adımın kendisinde, bir değişken içeren iki argümanı çarptığımızda, gereksiz köklerin ortaya çıkma tehlikesi vardır.
Kendiniz karar verin: Öncelikle argümanların her birinin sıfırdan büyük olması gerekir, ancak çarpma işleminden sonra çarpımlarının sıfırdan büyük olması yeterlidir. Sonuç olarak bu kesirlerin her birinin negatif olması durumu gözden kaçırılmaktadır.
Bu nedenle, karmaşık logaritmik denklemleri yeni anlamaya başlıyorsanız, hiçbir durumda x değişkenini içeren logaritmaları çarpmayın - bu genellikle gereksiz köklerin ortaya çıkmasına yol açacaktır. Fazladan bir adım atmak, bir terimi diğer tarafa taşımak ve kanonik bir form oluşturmak daha iyidir.
Peki bu tür logaritmalarla çarpmadan yapamıyorsanız ne yapmanız gerektiğini bir sonraki video dersimizde tartışacağız :)
Bir kez daha denklemdeki kuvvetler hakkında
Bugün logaritmik denklemlerle ilgili, daha doğrusu logaritmanın argümanlarından ve tabanlarından kuvvetlerin çıkarılmasıyla ilgili oldukça kaygan bir konuyu inceleyeceğiz.
Hatta çift kuvvetlerin kaldırılması hakkında konuşacağımızı bile söyleyebilirim, çünkü gerçek logaritmik denklemleri çözerken zorlukların çoğu çift kuvvetlerle ortaya çıkıyor.
Kanonik formla başlayalım. Diyelim ki log a f(x) = b şeklinde bir denklemimiz var. Bu durumda b sayısını b = log a a b formülünü kullanarak yeniden yazarız. Aşağıdakiler ortaya çıkıyor:
log a f (x) = log a a b
Daha sonra argümanları eşitliyoruz:
f(x) = a b
Sondan bir önceki formüle kanonik form denir. İlk bakışta ne kadar karmaşık ve korkutucu görünse de, herhangi bir logaritmik denklemi bu amaçla azaltmaya çalışırlar.
Öyleyse deneyelim. İlk görevle başlayalım:
Ön not: Daha önce de söylediğim gibi, logaritmik bir denklemdeki tüm ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesi daha iyidir:
0,5 = 5/10 = 1/2
Bu gerçeği dikkate alarak denklemimizi yeniden yazalım. Hem 1/1000'in hem de 100'ün on'un kuvvetleri olduğuna dikkat edin ve sonra nerede olurlarsa olsunlar kuvvetleri çıkaralım: argümanlardan ve hatta logaritma tabanından:
Ve burada birçok öğrencinin aklına şu soru geliyor: "Sağdaki modül nereden geldi?" Aslında neden sadece (x − 1) yazmıyorsunuz? Elbette şimdi (x − 1) yazacağız, ancak tanım alanını hesaba katmak bize böyle bir gösterim hakkı veriyor. Sonuçta başka bir logaritma zaten (x - 1) içeriyor ve bu ifadenin sıfırdan büyük olması gerekiyor.
Fakat logaritmanın tabanından kareyi çıkardığımızda modülü tam olarak tabanda bırakmamız gerekir. Nedenini açıklayayım.
Gerçek şu ki, matematiksel açıdan bakıldığında derece almak, kök almakla eşdeğerdir. Özellikle (x − 1) 2 ifadesinin karesini aldığımızda aslında ikinci kökü almış oluyoruz. Ancak karekök bir modülden başka bir şey değildir. Kesinlikle modülçünkü x − 1 ifadesi negatif olsa bile karesi alındığında "eksi" yine de sönecektir. Kökün daha fazla çıkarılması bize herhangi bir eksi olmadan pozitif bir sayı verecektir.
Genel olarak, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için şunu bir kez ve tamamen hatırlayın:
Aynı kuvvete yükseltilmiş herhangi bir fonksiyonun eşit kuvvetinin kökü, fonksiyonun kendisine değil modülüne eşittir:
Logaritmik denklemimize dönelim. Modülden bahsederken acısız bir şekilde çıkarabileceğimizi savundum. Bu doğru. Şimdi nedenini açıklayacağım. Açıkçası iki seçeneği göz önünde bulundurmak zorunda kaldık:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
- x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Bu seçeneklerin her birinin ele alınması gerekecektir. Ancak bir sorun var: orijinal formül zaten herhangi bir modül olmadan (x − 1) fonksiyonunu içeriyor. Logaritmanın tanım alanına göre, hemen x − 1 > 0 yazma hakkına sahibiz.
Çözüm sürecinde gerçekleştirdiğimiz modüller ve diğer dönüşümlerden bağımsız olarak bu gereksinimin karşılanması gerekmektedir. Bu nedenle ikinci seçeneği düşünmenin bir anlamı yok - asla ortaya çıkmayacak. Eşitsizliğin bu dalını çözerken bazı sayılar elde etsek bile, bunlar yine de nihai cevaba dahil edilmeyecektir.
Artık logaritmik denklemin kanonik formundan kelimenin tam anlamıyla bir adım uzaktayız. Birimi şu şekilde temsil edelim:
1 = log x - 1 (x - 1) 1
Ek olarak sağdaki −4 faktörünü de argümana dahil ediyoruz:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var. Logaritma işaretinden kurtuluyoruz:
10 −4 = x − 1
Ancak taban bir fonksiyon olduğundan (asal sayı değil), ayrıca bu fonksiyonun sıfırdan büyük olmasını ve bire eşit olmamasını da isteriz. Sonuçta ortaya çıkacak sistem şu şekilde olacaktır:
x − 1 > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılandığı için (sonuçta x − 1 = 10 −4), eşitsizliklerden biri sistemimizden silinebilir. İkinci koşulun da üzeri çizilebilir çünkü x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Bu, logaritmanın tanım alanının tüm gereksinimlerini otomatik olarak karşılayan tek köktür (ancak, sorunumuzun koşullarında açıkça yerine getirildiği için tüm gereksinimler elenmiştir).
Yani ikinci denklem:
3 günlük 3 x x = 2 günlük 9 x x 2
Bu denklem öncekinden temel olarak nasıl farklı? Keşke logaritmanın tabanları - 3x ve 9x - birbirlerinin doğal kuvvetleri olmadığı için. Bu nedenle önceki çözümde kullandığımız geçiş mümkün değildir.
En azından derecelerden kurtulalım. Bizim durumumuzda tek derece ikinci argümandadır:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Ancak x değişkeni de tabanda olduğundan modül işareti kaldırılabilir. x > 0 ⇒ |x| = x. Logaritmik denklemimizi yeniden yazalım:
3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x
Argümanların aynı fakat tabanların farklı olduğu logaritmalar elde ettik. Sonra ne yapacağız? Burada pek çok seçenek var, ancak bunlardan yalnızca ikisini ele alacağız; bunlar en mantıklı ve en önemlisi bunlar çoğu öğrenci için hızlı ve anlaşılır tekniklerdir.
İlk seçeneği zaten düşündük: belirsiz bir durumda, değişken tabanlı logaritmaları sabit bir tabana dönüştürün. Örneğin, bir ikiliye. Geçiş formülü basittir:
Elbette c değişkeninin rolü normal bir sayı olmalıdır: 1 ≠ c > 0. Bizim durumumuzda c = 2 olsun. Şimdi önümüzde sıradan bir kesirli rasyonel denklem var. Soldaki tüm unsurları topluyoruz:
Açıkçası, hem birinci hem de ikinci kesirlerde mevcut olduğundan log 2 x faktörünü kaldırmak daha iyidir.
log 2 x = 0;
3 günlük 2 9x = 4 günlük 2 3x
Her günlüğü iki terime ayırıyoruz:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
günlük 2 3x = günlük 2 3 + günlük 2 x
Bu gerçekleri dikkate alarak eşitliğin her iki tarafını da yeniden yazalım:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x)
6 günlük 2 3 + 3 günlük 2 x = 4 günlük 2 3 + 4 günlük 2 x
2 günlük 2 3 = günlük 2 x
Şimdi geriye kalan tek şey logaritmanın işaretinin altına ikiyi girmek (kuvvet haline dönüşecek: 3 2 = 9):
günlük 2 9 = günlük 2 x
Önümüzde klasik kanonik form var, logaritma işaretinden kurtuluyoruz ve şunu elde ediyoruz:
Beklendiği gibi bu kökün sıfırdan büyük olduğu ortaya çıktı. Geriye tanım alanını kontrol etmek kalıyor. Sebeplerine bakalım:
Ancak kök x = 9 bu gereksinimleri karşılar. Bu nedenle nihai karardır.
Bu çözümden çıkan sonuç basittir: Uzun hesaplamalardan korkmayın! Sadece başlangıçta rastgele yeni bir üs seçtik ve bu, süreci önemli ölçüde karmaşıklaştırdı.
Ama sonra şu soru ortaya çıkıyor: Hangi temel? en uygun? İkinci yöntemde bundan bahsedeceğim.
Orijinal denklemimize geri dönelim:
3 günlük 3x x = 2 günlük 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x
Şimdi biraz düşünelim: Hangi sayı veya fonksiyon optimal temel olabilir? Açıkçası, en iyi seçenek zaten argümanlarda bulunan c = x olacaktır. Bu durumda log a b = log c b /log c a formülü şu şekli alacaktır:
Başka bir deyişle, ifade basitçe tersine çevrilir. Bu durumda argüman ve temel yer değiştirir.
Bu formül çok faydalıdır ve karmaşık logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır. Ancak bu formülü kullanırken çok ciddi bir tuzak var. Taban yerine x değişkenini değiştirirsek, daha önce gözlemlenmeyen kısıtlamalar uygulanır:
Orijinal denklemde böyle bir sınırlama yoktu. Bu nedenle x = 1 durumunu ayrı ayrı kontrol etmeliyiz. Bu değeri denklemimizde yerine koyalım:
3 günlük 3 1 = 4 günlük 9 1
Doğru sayısal eşitliği elde ederiz. Bu nedenle x = 1 bir köktür. Önceki yöntemde tam olarak aynı kökü çözümün en başında bulduk.
Ancak şimdi bu özel durumu ayrı ayrı ele aldığımıza göre, x ≠ 1 olduğunu rahatlıkla varsayabiliriz. O zaman logaritmik denklemimiz aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:
3 günlük x 9x = 4 günlük x 3x
Öncekiyle aynı formülü kullanarak her iki logaritmayı genişletiyoruz. Log x x = 1 olduğuna dikkat edin:
3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)
3 günlük x 9 + 3 = 4 günlük x 3 + 4
3 günlük x 3 2 − 4 günlük x 3 = 4 − 3
2 günlük x 3 = 1
Böylece kanonik forma geldik:
günlük x 9 = günlük x x 1
x=9
İkinci kökü elde ettik. x ≠ 1 koşulunu karşılar. Bu nedenle, x = 9 ile birlikte x = 1 son cevaptır.
Gördüğünüz gibi hesaplamaların hacmi biraz azaldı. Ancak gerçek bir logaritmik denklemi çözerken adım sayısı çok daha az olacaktır çünkü her adımı bu kadar ayrıntılı açıklamanıza gerek yoktur.
Bugünkü dersin temel kuralı şudur: Eğer problem, aynı derecenin kökünün çıkarıldığı çift dereceli bir derece içeriyorsa, o zaman çıktı bir modül olacaktır. Ancak logaritmanın tanım alanına dikkat edilirse bu modül kaldırılabilir.
Ancak dikkatli olun: Bu dersten sonra çoğu öğrenci her şeyi anladığını düşünüyor. Ancak gerçek problemleri çözerken mantıksal zincirin tamamını yeniden üretemezler. Sonuç olarak denklem gereksiz kökler edinir ve cevabın yanlış olduğu ortaya çıkar.