İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin sayısal özellikleri. Korelasyon anı. Korelasyon katsayısı
Bir rastgele değişken X'in (çeşitli mertebelerin başlangıç ve merkezi momentleri) sayısal özelliklerini dikkate aldık. Bu özelliklerden ikisi en önemlileridir: matematiksel beklenti m X ve varyans Dx.
İki rastgele değişkenden oluşan bir sistem için benzer sayısal özellikler (çeşitli mertebelerdeki başlangıç ve merkezi momentler) tanıtılabilir. (X, Y) sisteminin k, s derecesinin başlangıç momenti, X ürününün matematiksel beklentisidir k Y'de S:
M[X k e S]
Bir sistemin (X, Y) k, s düzeyindeki merkezi momenti, karşılık gelen merkezi büyüklüklerin k'inci ve s'inci kuvvetlerinin çarpımının matematiksel beklentisidir:
Uygulamada genellikle yalnızca birinci ve ikinci momentler uygulanır.
İlk başlangıç anları, sistemde yer alan X ve Y değerlerinin halihazırda bildiğimiz matematiksel beklentilerini temsil eder:
M X ve m sen
Matematiksel beklentiler kümesi m X, M sen sistemin konumunun bir özelliğidir. Geometrik olarak bunlar, noktanın etrafına dağıldığı düzlemdeki orta noktanın (X, Y) koordinatlarıdır.
Sistemin ilk başlangıç momentlerinin yanı sıra ikinci merkezi momentleri de pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ikisi zaten bildiğimiz X ve Y değerlerinin dağılımlarını temsil ediyor.
D[X] ve D[Y], rastgele bir noktanın Ox ve Oy eksenleri yönünde dağılımını karakterize eder.
İkinci karma merkezi moment, sistemin bir özelliği olarak özel bir rol oynar:
μ 1,1 = M,
yani, merkezi büyüklüklerin çarpımının matematiksel beklentisi. Bu anın rastgele değişkenler sistemleri teorisinde önemli bir rol oynaması nedeniyle, bunun için özel bir gösterim getirilmiştir:
Khu =M[X 0 Y 0 ]=M[(X-m X)(Y-m sen)].
Kxy karakteristiğine, X, Y rastgele değişkenlerinin korelasyon momenti (aksi takdirde "bağlantı anı") adı verilir.
Ayrık rastgele değişkenler için korelasyon momenti aşağıdaki formülle ifade edilir:
Kxy =Σ Σ(x Ben-M X)(y J-M sen) P ben
Bu özelliğin anlamını ve amacını öğrenelim. Korelasyon momenti, X ve Y değerlerinin dağılımına ek olarak aralarındaki bağlantıyı da tanımlayan rastgele değişkenler sisteminin bir özelliğidir. Bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon momenti sıfırdır.
Dolayısıyla iki rastgele değişkenin korelasyon momentinin sıfırdan farklı olması aralarında bir bağımlılığın varlığının işaretidir.
Formülden, korelasyon momentinin sadece miktarların bağımlılığını değil aynı zamanda dağılımlarını da karakterize ettiği açıktır. Aslında, örneğin (X, Y) niceliklerinden biri matematiksel beklentisinden çok az saparsa (neredeyse rastgele değil), o zaman (X, Y) nicelikleri ne kadar yakından ilişkili olursa olsun korelasyon momenti küçük olacaktır. . Bu nedenle, (X, Y) nicelikleri arasındaki ilişkiyi saf haliyle karakterize etmek için andan boyutsuz özelliğe geçiyoruz.
rху=Кху/σх σу
burada σх, σу, X, Y değerlerinin standart sapmalarıdır. Bu özelliğe denir korelasyon katsayısı X ve Y değerleri.
Açıkçası, korelasyon katsayısı korelasyon momentiyle eş zamanlı olarak sıfıra gider; bu nedenle bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon katsayısı sıfırdır.
Korelasyon momentinin (ve dolayısıyla korelasyon katsayısının) sıfıra eşit olduğu rastgele değişkenler, ilişkisiz (bazen "ilişkisiz") olarak adlandırılır.
İlişkisiz rastgele değişkenler kavramı bağımsızlık kavramına eşdeğer midir? Bağımsız rastgele değişkenlerin her zaman korelasyonsuz olduğu bilinmektedir. Geriye şu soru kalıyor: Tersi doğru mu, bağımsızlıkları miktarların korelasyonsuzluğundan mı kaynaklanıyor? Görünüşe göre - hayır. İlişkisiz fakat bağımlı olan rastgele değişkenler vardır. Korelasyon katsayısının sıfıra eşit olması rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı onların korelasyonsuz olduğu anlamına gelir; tam tersine, bağımsızlıkları büyüklüğün ilişkisiz doğasından kaynaklanmaz. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı koşulu, korelasyonsuzluk koşulundan daha katıdır.
Korelasyon katsayısı herhangi bir bağımlılığı değil, yalnızca sözde doğrusal bağımlılığı karakterize eder. Rastgele değişkenlerin doğrusal olasılıksal bağımlılığı, bir rastgele değişken arttığında diğerinin doğrusal bir yasaya göre artma (veya azalma) eğiliminde olmasıdır. Doğrusal bağımlılığa yönelik bu eğilim az ya da çok belirgin olabilir, az ya da çok işlevselliğe, yani en yakın doğrusal bağımlılığa yaklaşabilir. Korelasyon katsayısı, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yakınlık derecesini karakterize eder. Rastgele değişkenler X ve Y tam bir doğrusal fonksiyonel ilişkiyle ilişkiliyse:
Y = aX + b ise rxy = ±1 olur ve a katsayısının pozitif ya da negatif olmasına göre “artı” ya da “eksi” işareti alınır. Genel durumda, X ve Y değerleri keyfi bir olasılıksal bağımlılıkla ilişkili olduğunda, korelasyon katsayısı aşağıdaki sınırlar dahilinde bir değere sahip olabilir:
1 < rху < 1
r > 0 durumunda X ve Y değerleri arasında pozitif bir korelasyondan söz edilir, r durumunda ise<0 - об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.
Pozitif ve negatif korelasyona sahip rastgele değişkenlere birkaç örnek verelim.
1. Bir kişinin kilosu ve boyu pozitif yönde ilişkilidir.
2. Derslere hazırlanmak için harcanan zaman ile alınan not arasında pozitif bir ilişki vardır (tabii ki zaman akıllıca harcanırsa). Aksine, hazırlık için harcanan zaman ile alınan kötü notların sayısı arasında negatif korelasyon vardır.
3. Hedefe iki el ateş edilir; İlk atışın çarpma noktası kaydedilir ve ilk atıştaki hatayla orantılı olarak görüşe ters işaretli bir düzeltme uygulanır. Birinci ve ikinci atışların çarpma noktalarının koordinatları negatif olarak ilişkilendirilecektir.
İki rastgele değişkenden (X, Y) oluşan bir sistem üzerinde yapılan bir dizi deneyin sonuçlarına sahipsek, bunlar arasında anlamlı bir korelasyonun varlığı veya yokluğu, üzerinde bir grafik bulunan bir ilk yaklaşımla kolaylıkla değerlendirilebilir. deneyden elde edilen rastgele değişkenlerin tüm değer çiftleri nokta olarak gösterilmektedir. Örneğin gözlenen miktar değeri çiftleri aşağıdaki gibi düzenlenirse
 |
4 sayfa (Word dosyası)
Tüm sayfaları görüntüle
Eserin metninin bir parçası
Nerede 
ayrık rastgele değişkenler için Xi Y ve
y)dxdy
sürekli rastgele değişkenler için,
Korelasyon momenti rastgele değişkenler arasındaki ilişkiyi karakterize etmeye yarar. Özellikle bağımsız rastgele değişkenler X ve Y için korelasyon momenti Cxy sıfıra eşittir.
Tanım gereği korelasyon momenti, X ve Y niceliklerinin boyutlarının çarpımına eşit bir boyuta sahiptir. Bu, korelasyon momentinin büyüklüğünün rastgele değişkenlerin ölçüm birimlerine bağlı olduğu anlamına gelir. Örneğin X ve Y değerleri santimetre cinsinden ölçülürken sonuç C ise.” 2 cm2 ise X ve Y'yi milimetre cinsinden ölçerken Cxy = 200 mm2 elde ederiz. Korelasyon momentinin ölçüm birimlerine olan bu bağımlılığı, farklı rastgele değişken sistemlerinin karşılaştırılmasını zorlaştırır. Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için, X ve Y büyüklükleri arasındaki ilişkinin korelasyon katsayısı adı verilen boyutsuz bir özelliği tanıtılmıştır:
X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa r", = O olur. Xi Y rastgele değişkenleri Y = ax + b ile tam doğrusal bağımlılıkla ilişkiliyse, a>O ve b için rxy = l olur. = - a z O için. Genel olarak, -1 S rxyS çift eşitsizliği doğrudur
Genel durumda iki rastgele değişken X ve Y'nin bağımsızlığı özelliği, bunların korelasyonsuzluğuna eşdeğer değildir (yani eşitlik rn. = 0). Ancak iki boyutlu bir rastgele değişkenin normal dağılmış bileşenleri için bu doğrudur.
İki ayrık rastgele değişkenden (X, A) oluşan bir sistemin dağılım yasası aşağıdaki tabloda verilmiştir.
) X ve Y rastgele değişkenlerinin dağılım yasaları;
2) Y = 1 olması koşuluyla, X rastgele değişkeninin koşullu dağılım yasası;
3) matematiksel beklentiler IH), Ts U) ve dağılım merkezi;
4) D(X) ve DUE'nin dağılımları;
5) korelasyon momenti Cdu ve korelasyon katsayısı b.
1. Olasılıkları doğrular boyunca toplayarak, X rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarını elde ederiz: = 0,4, p(l) = 0,2, p(4) = 0,4. Sonuç olarak, X değerinin dağılım yasası aşağıdaki forma sahiptir:
Kontrol edin: 0,4 + 1.
Sütunlar arasındaki olasılıkları toplayarak Y rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarını elde ederiz: = 0,1, p(l) = 0,3, AZ) = 0,6. Y miktarının dağılım yasasını yazalım
Kontrol edin: (),l + 0,3 + 0,6 =
2.
Y = Y-2 = 1 olması koşuluyla, X rastgele değişkeni için koşullu olasılıkları bulalım: p(-l f 1) = -P12
(X 1 Y = 1) dağılımı aşağıdaki tabloya sahip olduğundan
H. Tanıma dayanarak matematiksel beklentileri hesaplıyoruz:
5. Merkezkaçlanmış rastgele değişkenler sisteminin bir tablosunu oluşturalım
x, Y, burada Y = Y-t = Y -1,9
Korelasyon momentini hesaplayalım:
(-3,9) 0-2,4 (-0,9)
İki sürekli rastgele değişkenden (X, Y) oluşan bir sistem, D = “x, y) - S x S 3, O S y S x + l) bölgesinde düzgün bir dağılıma sahiptir.
) dağıtım yoğunluğu;
2) Ch X, Y)'nin alana çarpma olasılığı
3) rastgele değişkenler X ve Y'nin dağılımının A(x) ve Ky) yoğunlukları ve ayrıca koşullu yoğunluklar ve y(ylx);
4) X ve Y rastgele değişkenlerinin fonksiyonları ve F20) dağılımları;
5) matematiksel beklentiler M(X) ve dağılım merkezi;
6) dağılım ve TsU);
7) korelasyon momenti Sl. ve korelasyon katsayısı
1. Koşullu olarak yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir: a, if -lSxS3 ve 0SySx+l, O, if (x, y) E D
A parametresini bulmak için f(x, y)dy.dy = ilişkisini kullanırız; burada D entegrasyon alanı Şekil 2'de gösterilmektedir. 7.
|
|
||||||||||||
D bölgesi soldan ve sağdan x = -1 ve x = 3 çizgileriyle, altında ve üstünde O ve Y2(x) = x + 1 çizgileriyle sınırlanmıştır. Tekrarlanan integrale geçerek şunu elde ederiz:
3
fady= gaur X +1 D = fa(x + l)dx =
8a. 8a = 1 olduğundan, THEN a z- ve YOĞUNLUK fonksiyonu 8
benziyor
-, Eğer
Ah, eğer (x,y)E).
2. Merkezi (2, O) noktasında olan 2 yarıçaplı bir daire olan G bölgesini gösterelim (bkz. Şekil 8). Ax, y) fonksiyonu dışarıda sıfıra eşit olduğundan
3. A(x) ve silt yoğunluklarını bulalım:
Bu yüzden
Buradan,
O S y S 4 için benzer şekilde şunu elde ederiz:
- Spearman'ın korelasyon katsayısı: problemin çözümüne bir örnek
Rastgele bir değişken iki sayısal özellik ile tanımlanır: matematiksel beklenti ve varyans. İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemi tanımlamak için “ana” özelliklere ek olarak korelasyon momenti ve korelasyon katsayısı da kullanılır.
Korelasyon anı µxy X ve Y rastgele değişkenlerine bu değerlerin sapmalarının çarpımının matematiksel beklentisi denir:
µ xy = M ( [ X - M(X) ] [ Y - M(Y) ] )
Ayrık miktarların korelasyon momentini bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:
ve sürekli miktarlar için - formül:
Korelasyon momenti, X ve Y büyüklükleri arasındaki bir bağlantının varlığını (yokluğunu) karakterize eder. X ve Y bağımsızsa korelasyon momentinin sıfıra eşit olduğu aşağıda kanıtlanacaktır; X ve Y rastgele değişkenlerinin korelasyon momenti sıfıra eşit değilse aralarında bir bağımlılık vardır.
Not 1. Sapmaların merkezli rastgele değişkenler olduğu dikkate alındığında, korelasyon momentini iki merkezli rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi olarak tanımlayabiliriz:
µ xy = M .
Not 2. Korelasyon momentinin şu şekilde yazılabileceğini kanıtlamak zor değil
µ xy = М(ХY) – М(X) М(У).
Teorem 1.İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin korelasyon momenti sıfıra eşittir.
Kanıt. X ve Y bağımsız rastgele değişkenler olduğundan, X-M (X) ve Y-M (Y) sapmaları da bağımsızdır. Matematiksel beklenti (bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, faktörlerin matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir) ve sapmanın (sapmanın matematiksel beklentisi sıfırdır) özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
µ xy = М (M) = М M = 0.
Korelasyon momentinin tanımından, X ve Y büyüklüklerinin boyutlarının çarpımına eşit bir boyuta sahip olduğu anlaşılmaktadır. Başka bir deyişle, korelasyon momentinin büyüklüğü, rastgele değişkenlerin ölçüm birimlerine bağlıdır. Bu nedenle aynı iki nicelik için korelasyon momentinin büyüklüğü, niceliklerin ölçüldüğü birime bağlı olarak farklı değerlere sahiptir. Örneğin X ve Y santimetre cinsinden ölçülsün ve µxy = 2 cm2 olsun; X ve Y'yi milimetre cinsinden ölçerseniz,
o zaman µxy = 200 mm. Korelasyon momentinin bu özelliği, bu sayısal özelliğin bir dezavantajıdır, çünkü farklı rastgele değişken sistemlerinin korelasyon momentlerinin karşılaştırılması zorlaşır. Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için yeni bir sayısal özellik tanıtılmıştır: korelasyon katsayısı.
Korelasyon katsayısı
X ve Y rastgele değişkenlerinin r xy'si, korelasyon momentinin bunların standart sapmalarının çarpımına oranıdır.
miktarlar:
r xy = µ xy /σ x σ y
µxy boyutu, X ve Y niceliklerinin boyutlarının çarpımına eşit olduğundan, σ x, X niceliğinin boyutuna sahiptir, σ y, Y niceliğinin boyutuna sahiptir, bu durumda r xy boyutsuz bir niceliktir. Dolayısıyla korelasyon katsayısının değeri, rastgele değişkenlerin ölçüm birimlerinin seçimine bağlı değildir. Bu, korelasyon katsayısının korelasyon momentine göre avantajıdır.
Açıkçası, bağımsız rastgele değişkenlerin korelasyon katsayısı sıfırdır (çünkü µ xy = 0).
Not 3. Olasılık teorisinin birçok sorusunda, sapmanın standart sapmaya oranı olarak tanımlanan rastgele değişken X yerine normalleştirilmiş rastgele değişken X'in dikkate alınması tavsiye edilir:
X" = (X - M(X))/σ x.
Normalleştirilmiş miktarın matematiksel beklentisi sıfıra ve varyansı bire eşittir. Aslında, matematiksel beklenti ve dağılım özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
Korelasyon katsayısı r xy'nin normalleştirilmiş X" ve Y" büyüklüklerinin korelasyon momentine eşit olduğunu doğrulamak kolaydır:
Teorem 2.İki rastgele değişken X ve Y'nin korelasyon momentinin mutlak değeri, varyanslarının geometrik ortalamasını aşmaz:
Kanıt. Z 1 = σ y X - σ x Y rastgele değişkenini dikkate alalım ve onun varyansını D(Z l) = M 2 bulalım. Hesaplamaları yaptıktan sonra şunu elde ederiz:
D(Z 1) = 2σ x 2 σ y 2 – 2σ x σ y µ xy
Herhangi bir varyans negatif değildir, dolayısıyla
2σ x 2 σ y 2 – 2σ x σ y µ xy ≥0.
µ xy ≤ σ x σ y .
Z t = σ y X+ σ x Y rastgele değişkenini dahil ederek benzer şekilde şunu buluruz:
µ xy ≥ − σ x σ y .
Bu iki eşitsizliği birleştirelim:
σ x σ y ≤ µ xy ≤ σ x σ y veya | µxy | ≤ σ x σ y
Teorem 3. Korelasyon katsayısının mutlak değeri birini geçmez:
Kanıt: Ortaya çıkan çifte eşitsizliğin her iki tarafını σxσy pozitif sayılarının çarpımına bölelim:
1 ≤ rxy ≤ 1
Bölüm 5'te, bir rastgele değişkenin sayısal özelliklerini (çeşitli mertebelerin başlangıç ve merkezi momentlerini) dikkate aldık. Bu özelliklerden ikisi en önemlileridir: matematiksel beklenti ve dağılım.
İki rastgele değişkenden oluşan bir sistem için benzer sayısal özellikler (çeşitli mertebelerdeki başlangıç ve merkezi momentler) tanıtılabilir.
Sistemin ilk düzen anı, ürünün matematiksel beklentisidir:
. (8.6.1)
Sistemin düzeninin merkezi momenti, karşılık gelen merkezlenmiş büyüklüklerin inci ve inci kuvvetlerinin çarpımının matematiksel beklentisidir:
,
(8.6.2)
Momentleri doğrudan hesaplamak için kullanılan formülleri yazalım. Süreksiz rastgele değişkenler için
, (8.6.3)
, (8.6.4)
Nerede 
- Sistemin değerleri alma olasılığı ve toplam, rastgele değişkenlerin tüm olası değerlerine yayılır.
Sürekli rastgele değişkenler için:
, (8.6.5)
,
(8.6.6)
sistemin dağıtım yoğunluğu nerede.
Bireysel niceliklere göre anın sırasını karakterize eden ve'ye ek olarak, ve'nin üslerinin toplamına eşit olan anın toplam sırası da dikkate alınır. Toplam sıraya göre momentler birinci, ikinci vb. şeklinde sınıflandırılır. Pratikte genellikle yalnızca birinci ve ikinci momentler kullanılır.
İlk başlangıç anları, zaten bildiğimiz sisteme dahil olan büyüklüklerin matematiksel beklentilerini temsil eder:
Matematiksel beklentiler kümesi sistemin konumunun bir karakteristiğini temsil eder. Geometrik olarak bunlar, noktanın etrafına dağıldığı düzlemdeki orta noktanın koordinatlarıdır.
Sistemin ilk başlangıç momentlerinin yanı sıra ikinci merkezi momentleri de pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ikisi, bizim tarafımızdan zaten bilinen ve miktarlarının dağılımını temsil eder:
ve eksenleri yönünde rastgele bir noktanın saçılımını karakterize eder.
İkinci karma merkezi moment, sistemin bir özelliği olarak özel bir rol oynar:
,
onlar. merkezli büyüklüklerin çarpımının matematiksel beklentisi.
Bu anın teoride önemli bir rol oynaması nedeniyle, buna özel bir notasyon sunuyoruz:
. (8.6.7)
Karakteristik, rastgele değişkenlerin korelasyon momenti (aksi takdirde “bağlantı anı”) olarak adlandırılır.
Süreksiz rastgele değişkenler için korelasyon momenti aşağıdaki formülle ifade edilir:
, (8.6.8)
ve sürekli olanlar için - formüle göre
. (8.6.9)
Bu özelliğin anlamını ve amacını öğrenelim.
Korelasyon momenti, değişkenlerin dağılımına ek olarak aralarındaki bağlantıyı da tanımlayan rastgele değişkenler sisteminin bir özelliğidir. Bunu doğrulamak için bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon momentinin sıfıra eşit olduğunu kanıtlayalım.
Sürekli rastgele değişkenlerin ispatını yapacağız. Dağılım yoğunluğuna sahip bağımsız sürekli nicelikler olsun. 8.5'te bağımsız büyüklükler için şunu kanıtladık:
. (8.6.10)
burada , sırasıyla ve değerlerinin dağılım yoğunluklarıdır.
(8.6.10) ifadesini formül (8.6.9)'a yerleştirdiğimizde, integralin (8.6.9) iki integralin çarpımına dönüştüğünü görüyoruz:
.
İntegral
miktarın ilk merkezi momentinden başka bir şeyi temsil etmez ve bu nedenle sıfıra eşittir; aynı nedenle ikinci faktör de sıfırdır; bu nedenle bağımsız rastgele değişkenler için.
Dolayısıyla iki rastgele değişkenin korelasyon momentinin sıfırdan farklı olması aralarında bir bağımlılığın varlığının işaretidir.
Formül (8.6.7)'den korelasyon momentinin sadece miktarların bağımlılığını değil aynı zamanda dağılımını da karakterize ettiği açıktır. Gerçekten de, örneğin büyüklüklerden biri matematiksel beklentisinden çok az saparsa (neredeyse rastgele değil), o zaman nicelikler ne kadar yakından ilişkili olursa olsun korelasyon momenti küçük olacaktır. Bu nedenle, nicelikler arasındaki ilişkiyi saf haliyle karakterize etmek için andan boyutsuz özelliğe geçiyoruz.
burada değerlerin standart sapmaları, . Bu özelliğe büyüklüklerin korelasyon katsayısı denir ve. Açıkçası, korelasyon katsayısı korelasyon momentiyle eş zamanlı olarak sıfıra gider; bu nedenle bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon katsayısı sıfırdır.
Korelasyon momentinin (ve dolayısıyla korelasyon katsayısının) sıfıra eşit olduğu rastgele değişkenler, ilişkisiz (bazen "ilişkisiz") olarak adlandırılır.
İlişkisiz rastgele değişkenler kavramının bağımsızlık kavramına eşdeğer olup olmadığını öğrenelim. Yukarıda iki bağımsız rastgele değişkenin her zaman korelasyonsuz olduğunu kanıtladık. Geriye şu soru kalıyor: Tersi doğru mu, bağımsızlıkları miktarların korelasyonsuzluğundan mı kaynaklanıyor? Görünüşe göre - hayır. İlişkisiz fakat bağımlı olan bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Korelasyon katsayısının sıfıra eşit olması rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı onların korelasyonsuz olduğu anlamına gelir; tam tersine niceliklerin korelasyonsuz olması onların mutlaka bağımsız olduğu anlamına gelmez. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı koşulu, korelasyonsuzluk koşulundan daha katıdır.
Bunu bir örnekle görelim. Merkezi orijinde olan yarıçaplı bir daire içinde eşit yoğunlukta dağılmış bir rastgele değişkenler sistemi düşünelim (Şekil 8.6.1).
Değerlerin dağılım yoğunluğu formülle ifade edilir
durumdan 
buluyoruz.
Bu örnekte miktarların bağımlı olduğunu görmek kolaydır. Aslında, eğer bir miktar örneğin 0 değerini alırsa, o zaman miktarın eşit olasılıkla tüm değerleri alabileceği hemen açıktır; miktar değerini almışsa, o zaman miktar yalnızca tek bir değer alabilir, tam olarak sıfıra eşit; genel olarak olası değerlerin aralığı hangi değere bağlıdır.
Bu miktarların birbiriyle ilişkili olup olmadığına bakalım. Korelasyon momentini hesaplayalım. Simetri nedeniyle şunu elde ettiğimizi akılda tutarak:
. (8.6.12)
İntegrali hesaplamak için entegrasyon alanını (daire) dört koordinat açısına karşılık gelen dört sektöre böleriz. Sektörlerde ve integral pozitif, sektörlerde negatif; mutlak değerde bu sektörler üzerindeki integraller eşittir; bu nedenle integral (8.6.12) sıfıra eşittir ve nicelikler birbiriyle ilişkili değildir.
Dolayısıyla rastgele değişkenlerin korelasyonsuz doğasının her zaman bağımsız oldukları anlamına gelmediğini görüyoruz.
Korelasyon katsayısı herhangi bir bağımlılığı değil, yalnızca sözde doğrusal bağımlılığı karakterize eder. Rastgele değişkenlerin doğrusal olasılıksal bağımlılığı, bir rastgele değişken arttığında diğerinin doğrusal bir yasaya göre artma (veya azalma) eğiliminde olmasıdır. Doğrusal bağımlılığa yönelik bu eğilim az ya da çok belirgin olabilir, az ya da çok işlevselliğe, yani en yakın doğrusal bağımlılığa yaklaşabilir. Korelasyon katsayısı, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yakınlık derecesini karakterize eder. Rastgele değişkenler tam bir doğrusal fonksiyonel ilişkiyle ilişkiliyse:
sonra , katsayının pozitif ya da negatif olmasına göre “artı” ya da “eksi” işareti alınır. Genel durumda, ve miktarları keyfi bir olasılıksal bağımlılıkla ilişkili olduğunda, korelasyon katsayısı aşağıdaki sınırlar dahilinde bir değere sahip olabilir: yalnızca değişim aralığı değişir ve ortalama değeri değişmez; Doğal olarak miktarların korelasyonsuz olduğu ortaya çıkıyor.
Pirinç. 8.6.2 Şekil.8.6.3
Pozitif ve negatif korelasyona sahip rastgele değişkenlere birkaç örnek verelim.
1. Bir kişinin kilosu ve boyu pozitif yönde ilişkilidir.
2. Cihazı çalışmaya hazır hale getirmek için harcanan zaman ile sorunsuz çalışma süresi pozitif bir korelasyonla ilişkilidir (tabii ki zaman akıllıca harcanırsa). Aksine, hazırlık için harcanan zaman ile cihazın çalışması sırasında tespit edilen arıza sayısı arasında negatif korelasyon vardır.
3. Bir salvoda ateş ederken, bireysel mermilerin çarpma noktalarının koordinatları pozitif bir korelasyonla bağlanır (çünkü tüm atışlarda ortak olan ve her birini hedeften eşit şekilde saptıran hedefleme hataları vardır).
4. Hedefe iki el ateş edilir; İlk atışın çarpma noktası kaydedilir ve ilk atıştaki hatayla orantılı olarak görüşe ters işaretli bir düzeltme uygulanır. Birinci ve ikinci atışların çarpma noktalarının koordinatları negatif olarak ilişkilendirilecektir.
Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem üzerinde yapılan bir dizi deneyin sonuçlarına sahipsek, aralarında anlamlı bir korelasyonun varlığı veya yokluğu, tüm değer çiftlerinin yer aldığı bir grafikle ilk yaklaşımla kolayca değerlendirilebilir. Deneyden elde edilen rastgele değişkenlerin sayısı noktalar olarak gösterilmektedir. Örneğin, gözlenen miktar değeri çiftleri Şekil 2'de gösterildiği gibi konumlandırılmışsa. 8.6.2, o zaman bu, miktarlar arasında açıkça ifade edilen pozitif bir korelasyonun varlığını gösterir. Şekil 2'de doğrusal fonksiyonel bağımlılığa yakın, daha da belirgin bir pozitif korelasyon gözlenmektedir. 8.6.3. Şek. Şekil 8.6.4 nispeten zayıf bir negatif korelasyon durumunu göstermektedir. Son olarak, Şekil 2'de. 8.6.5 pratik olarak ilişkisiz rastgele değişkenlerin durumunu göstermektedir. Uygulamada, rastgele değişkenlerin korelasyonunu incelemeden önce, korelasyon türü hakkında ilk nitel yargıya varmak için ilk önce gözlemlenen değer çiftlerini bir grafik üzerinde çizmek her zaman yararlıdır.
Tanım:
Rastgele değişkenlerin korelasyon momenti, bu değişkenlerin sapmalarının çarpımının matematiksel beklentisidir.
Yukarıdaki ifadenin iki rastgele değişkenin toplamının dağılımına ilişkin formülün bir öğesi olduğunu hatırlayın:
Yorum:
Korelasyon momenti şu şekilde gösterilebilir:
Kanıt:
Teorem:
İki bağımsız rastgele değişkenin korelasyon momenti 0'a eşittir
Kanıt:
Açıklamaya göre:
Ancak bağımsız rastgele değişkenler için
Daha sonra bağımsız rastgele değişkenler için ve:
Tanım:
Boyutsuz miktara korelasyon katsayısı denir.
Teorem:
İki rastgele değişkenin korelasyon momentinin mutlak değeri, standart sapmalarının çarpımını aşmaz:
Kanıt:
Rastgele değişkeni tanıtalım 
ve varyansını bulun:
Herhangi bir varyans negatif olmadığından
Benzer şekilde rastgele bir değişken tanıtıyoruz 
ve şunu buluyoruz:
Tanım:
Rastgele değişkenler, ilişkisiz if ve ilişkili ise olarak adlandırılır.
Teorem:
Doğrusal bir bağımlılıkla ilişkili rastgele değişkenlerin korelasyon katsayısı eşittir.
Kanıt:
Korelasyon katsayısını bulalım:
Korelasyon katsayısının bazı özelliklerini not edelim.
1. Örnek 1'den, eğer bağımsız rastgele değişkenlerse, korelasyon katsayısının 0 olduğu anlaşılmaktadır.
Bunun tersinin doğru olmadığını unutmayın.
2. Genel durumda korelasyon katsayısının mutlak değeri birliği aşmaz:
Kanıt, korelasyon momenti için daha önce kanıtlanmış formülden kaynaklanmaktadır:
Eşitsizliğin her iki tarafını çarpıma bölün ve elde edin
3. Korelasyon katsayısı, ürünün matematiksel beklentisinin, değerlerin matematiksel beklentilerinin çarpımından sapmasının göreceli (kesirli) değerini karakterize eder. Böyle bir sapma yalnızca bağımlı nicelikler için meydana geldiğinden, korelasyon katsayısının ve arasındaki ilişkinin yakınlığını karakterize ettiğini söyleyebiliriz.
Bu ifade daha önce kanıtlanmış eşitlikten gelmektedir: . Korelasyon momentini korelasyon katsayısına indirgeyelim:
Kulikov A. A. Yeni başlayanlar için Forex. Hisse senedi spekülatörlerinin el kitabı - St. Petersburg: Peter, 2007; 13.04.2007 tarihinden itibaren Kommersant No. 62 – Dünya ticareti yavaşlayacak.
Bachelier L. Spekülasyon Teorisi. //Annales de l "Ecole Normale Superieure. 1900. V. 17. S. 21-86. L. Bouchelier'in fikirlerinin bir açıklaması, onların kaderi ve modern eleştirileri şu kitaplarda yer almaktadır: Mandelbrot B. İtaatsiz piyasa, finansta fraktal devrim - İngilizce'den - M.: Williams Publishing House, 2006; Sornette D. Finansal piyasaların çöküşü nasıl tahmin edilir - Fransızcadan çevrildi - M.: I-Trade Publishing House, 2008.
Cootner Paul H. Hisse Senedi Piyasası Fiyatlarının Rastgele Karakteri - Cambridge, MA, MIT Press
Harry M. Markowitz, Portföy Seçimi, Journal of Finance, 7, sayı 1 (Mart 1952), s, 79-81.
Sunulan bölümde aşağıdaki kitaplardan materyaller kullanılmıştır: Sharp W. F., Alexander G. J., Bailey J. W. Investments - çev. İngilizce'den – M.: INFRA-M, 1997; Bromvich M. Sermaye yatırımlarının ekonomik verimliliğinin analizi - çev. İngilizce'den – M.: INFRA-M, 1996; Shiryaev V.I. Finansal piyasa modelleri. Optimal portföyler, finans ve risk yönetimi - Ders Kitabı - M.: KomKniga, 2007; Shapoval A. B. Yatırımlar: matematiksel yöntemler - M.: FORUM: INFRA-M, 2007; Korosteleva M. V. Sermaye piyasasını analiz etme yöntemleri - St. Petersburg: Peter, 2003.
Tobin J., portföyleri karşılaştırmak için matematiksel beklenti ve dağılım göstergelerinin yetersizliğine dikkat çekti (Bkz. Shiryaev V.I. Finansal piyasa modelleri... - s. 18-19). Bununla birlikte, kullanımları yapıcı olmaları nedeniyle haklıdır.
Bkz. Askinadzi V.M. ve diğerleri Yatırım işi - Ders Kitabı - M.: Market DS, 2007, s. 238-241 veya Shiryaev V.I. Optimal portföyler, finansal ve risk yönetimi - Ders Kitabı - M.: KomKniga, 2007, 17.
Bkz. Bromwich M. Sermaye yatırımlarının ekonomik verimliliğinin analizi - çev. İngilizce'den – M.: INFRA-M, 1996, s. 343. Alternatif risk önlemlerine ilişkin bir tartışma, örneğin lognormal dağılımın normal tipine indirgeme şu kitapta bulunabilir: Sharp W. F., Alexander G. J., Bailey. J. V. Yatırımlar - çev. İngilizce'den – M.: INFRA-M, 1997, s. 179-181.
Bkz. Bromwich M. İngiltere. Op. sayfa 342.
Bir fayda teorisi yaratmanın ilk adımının, sözde St. Petersburg paradoksunun formülasyonu olduğuna inanılıyor. Bu paradoksu Nikolai Bernoulli'nin formüle etmesi ve Daniel Bernoulli'nin ona bir açıklama yapması ilginçtir - Bakınız: Bernoulli D. Yeni bir ölçüm partisi teorisi deneyimi / D. Bernoulli; Lane A. Nardova // Ekonomik düşüncenin kilometre taşları / comp. ve genel ed. V. M. Galperin. St. Petersburg, 1993. T.1: Tüketici davranışı ve talep teorisi. s. 11-27.
Fayda teorisine ilişkin faydalı materyaller, özellikle oyun teorisi ile ilgili kitaplarda bulunabilir: R.D. Lewis, H. Raifa Oyunlar ve çözümler - Çev. İngilizce'den - M.: Yabancı yayınevi. yanıyor, 1961; Neumann von John, Morgenstern O. Oyun teorisi ve ekonomik davranış - Çev. İngilizce'den - M.: Nauka, 1970.
Bkz. G. Markowitz'in modelinin eki
Shiryaev V.I.'nin finansal piyasa modelleri kitabına bakın. Optimum portföyler, finansal ve risk yönetimi - M.: KomKniga, 2007, s. 25-26.
Markowitz modelinin analitik formülasyonu şu kitaplarda bulunabilir: Shapoval A. B. Yatırımlar: matematiksel yöntemler - M.: FORUM: INFRA-M, 2007, s. 21-22; Askinadzi V.M. ve diğerleri Yatırım işletmesi - Ders Kitabı - M.: Market DS, 2007, s.
Kitapta önerilen formülasyonu kullandık: Askinadzi V.M. ve diğerleri Yatırım işi - Ders Kitabı - M.: Market DS, 2007, s. 256-257.
Kitapta bakınız: Shapoval A. B. Yatırımlar: matematiksel yöntemler - M.: FORUM: INFRA-M, 2007, s. 16-18 (“Markowitz Modeli” bölümü).
Bakınız: Sharp W. İngiltere. Op. s. 213-218, 226-228, s. 271 – piyasa modeli ile CAPM modeli arasındaki bağlantı ve farklılıklar hakkında; ayrıca Askinadzi V.M. cit., s. 278-294; Shiryaev V.V. cit., s. 47-58
Bakınız: Sharp W.F., Alexander G.J., Bailey J.W. Investments – çev. İngilizce'den – M.: INFRA-M, 1997, s. 316-337.
Bakınız: İş Değerlemesi - ed. Gryaznova A.G., Fedotova M.A. – M.: Finans ve İstatistik, 2007, 199.
Bakınız: Shapoval A. B. Yatırımlar: matematiksel yöntemler - M.: FORUM: INFRA-M, 2007, bölüm 3.
Bkz. Mandelbrot B., Hudson R.L. Düzensiz piyasalar: finansta fraktal bir devrim - çev. İngilizce'den – M.: Williams Yayınevi, 2006, 187 s.
Bkz. aynı eser, s. 34-39.
Bakınız: Sornette D. Finansal piyasaların çöküşü nasıl tahmin edilir - çev. Fransızca'dan – M.: “I-trade” yayınevi, 2008, s. 19-22.
Bu bölüm esas olarak şu kitaptaki materyallere dayanmaktadır: Ekonomik Teori (Yeni Palgraiv) - çev. İngilizce'den – M.: INFRA-M, 2004, s. 263-273 – bölüm Etkin Piyasa Hipotezi, yazar - Berton G, Malkiel. Bu makaledeki materyallere dayanarak çeşitli çalışmaların yazarlarına bağlantılar da verilmektedir. Ayrıca bakınız: Burton Malkiel “Wall Street'te Rastgele Bir Yürüyüş” - çev. İngilizce'den - Minsk: Potpourri, 2006. Son kitap 30 yıldır yayınlanıyor. 90'ların sonlarında farklı bir kitabın yayımlanması ilginçtir: Andrew Lowe. Wall Street'te rastgele olmayan bir yürüyüş. B. Melkiel genel olarak etkin piyasa hipotezinin destekçisidir ve Andrew Law bunun tersidir.
Bakınız: Chebotarev Yu.N. Döviz fiyatlarının rastgeleliği ve rastgele olmaması - M.: SmartBook; I-ticaret, 2008, 198.
Değişmezlik, fiziksel koşulları değiştirirken veya bazı dönüşümlerle ilişkili olarak herhangi bir miktarın değişmezliğidir; örneğin, bir eylemsiz referans sisteminden diğerine geçerken koordinatların ve zamanın dönüşümleri (göreceli değişmezlik). "Wiener süreci"nin en basit versiyonundaki "rastgele yürüyüş"ün neredeyse katı bir tanımını şu kitapta bulabilirsiniz: Shapoval A.B. Yatırımlar: matematiksel yöntemler - Ders Kitabı - M.: FORUM: INFRA-M, 2007, s. 42-43.
Aşağıdaki koşullar karşılanırsa rastgele bir sürece Wiener adı verilir:
1) Süreç sıfırdan başlar yani;
2) Rastgele değişken, herhangi bir zaman noktası için sıfır matematiksel beklentiye ve eşit varyansa sahip normal bir dağılıma sahiptir;
3) Keyfi örtüşmeyen aralıklar ve rastgele değişkenler için ve bağımsızdır.
Genel olarak Shapoval A.B.'nin kılavuzu. Portföy analizi ve opsiyon değerlemesinin matematiksel modellerine aşina olmanızı öneririz. Sunum pratik açıdan oldukça titiz ve kısadır (96 sayfa), ancak modern finans teorisini tanıtmaktadır. Portföy analizi bölümünde yoğun olarak faydalanıyoruz.
Wikipedia'daki materyale bakın:
Aşağıdaki durumlarda rastgele değişkenlerden oluşan bir diziye ayrık zamanlı martingaller adı verilir:
Başka bir rastgele değişken dizisi verilsin. Daha sonra aşağıdaki durumlarda rastgele değişkenler dizisine göreceli martingale veya -martingale adı verilir:
Bir dizi rastgele değişken verilsin. Daha sonra bir dizi rastgele değişken, aşağıdaki duruma göre alt (süper) martingale olarak adlandırılır:
Bu etki vergi etkisiyle açıklanabilir. Yıl sonunda, yatırımcılar kârsızlık simülasyonu yapmak ve vergi ödemelerini kolaylaştırmak için başta küçük firmalar olmak üzere hisselerini satıyorlar, hisse fiyatları düşüyor ve hatta Ocak ayında fazlayla geri dönebiliyorlar - Bakınız: Burton Malkiel. Wall Street'te Rastgele Bir Yürüyüş, s. 316-317.
Hafta sonu etkisi ve Pazartesi etkisinin net bir açıklaması yoktur. Bu etki, hisse senedi fiyatlarının Pazartesi günü Cuma akşamına göre daha düşük olduğunu gösteriyor. Burton Malkiel, A Random Walk Down Wall Street'te bu etkiyi detaylandırıyor: Hisse senedi fiyatları Pazartesi sabahı Cuma akşamına göre biraz daha yüksek, Pazartesi akşamı ise daha düşük, dolayısıyla getiriler nispeten olumsuz. Bu nedenle hisseleri pazartesi akşamı satın almalısınız. Ancak yazar tarafından Mayıs'tan Temmuz 2002'ye kadar New York Menkul Kıymetler Borsası'ndan alınan materyaller kullanılarak gerçekleştirilen etki testi, etkinin yalnızca on üç hafta sonundan sekizinde ortaya çıktığını gösterdi.
“Al-tut” stratejisi, yatırımlarının yapısını popüler hisse senedi endekslerine uygun tutan “endeks fonlar” olarak adlandırılan fonlar tarafından uygulanıyor. “Vlozhi.ru” bilgi portalına göre, 2007 yılında Rusya'da endeks fonu olarak faaliyet gösteren 11 yatırım fonu vardı. İlk Rus endeks fonu 2003 yılında kuruldu. Amerika Birleşik Devletleri'nde bu tür fonlar 30 yıldır faaliyet gösteriyor. Rus fonları, MICEX veya RTS endeksleri tarafından yönlendirilmektedir (2006'daki değişiklikten sonra, RTS endeksi, bir endeks fonunun doğru çalışması için gerekli olan menkul kıymetlerin likiditesini hesaba katmaya başlamıştır). Endeks fonları elbette endeksleri sıkı bir şekilde takip edemez çünkü yatırımlarda sürekli değişiklik yapmak mantıksız olacaktır. Özel yatırımcı portalı “Vlozhi.ru”daki endeks fonlarıyla ilgili materyallere bakın: http://www.vlozhi.ru/
Hisse senedi bölünmeleri, hisselerin nominal değerini azaltarak onları daha küçük hissedarlar için daha erişilebilir hale getirir. Borsanın genişlemesi onlara olan ilgiyi artırabilir ve buna bağlı olarak onlara olan talebi ve dolayısıyla hisselerin piyasa değerini artırabilir.
1980-1990 yılları için endeks hisse senetlerinin performansına göre yatırım fonlarının performansı için bakınız: Burton Malkiel. Wall Street'te Rastgele Bir Yürüyüş, sayfa 238. 1980'lerde yatırım fonları S&P 500'den daha iyi performans gösterdi; 1990'larda ise düşük performans gösterdi. Yatırım fonlarının etkinliğine ilişkin başka modern materyaller de vardır. Örneğin 1968'den 2002'ye kadar olan verilere dayanarak yatırım fonlarının varlıklarındaki nakit payı ile S&P 500 endeksinin karşılaştırması yapıldı. Karşılaştırma, fonların varlıklarındaki nakit payının tam olarak yüksek olduğunu gösterdi. endeksin düşük olduğu anlarda, yani tam tersi olması gerektiğinde, hisse senedi satın almak için nakit harcayın - s. 244-248.
Hesaplama sonuçları için bkz: Burton Malkiel. Wall Street'te Rastgele Bir Yürüyüş, sayfa 235.
Finans dergisinin 2009-2010 sayılarına bakın.
Bkz. Elder A. Borsada nasıl oynanır ve kazanılır: Psikoloji. Teknik analiz. Sermaye kontrolü - M.: Alpina Business Book, 2007, s. 29-35.
Bakınız: Damodaran A. Yatırım hikayeleri: kazan-kazan hisse senedi stratejileri hakkındaki mitleri ortaya çıkarmak - çev. İngilizce'den St. Petersburg: Peter, 2007, s. 396-428.
Bakınız: Hagstrom R. J. Investing. Son özgür sanat - çev. İngilizce'den – M.: ZAO “Olymp-Business”, 2005.
Büyük ve küçük şirketlerin hisselerinin 1926-2001 dönemi için ortalama yıllık getirisi ve riskinin (getirinin standart sapması) karşılaştırılması, küçük şirketlerin hisselerinin ortalama yıllık getirisinin %17,5, büyük şirketlerin ise 12,4 olduğunu gösterdi. sırasıyla %35,3 ve %20,8 risk. 1963-1990 dönemi için ortalama beklenen aylık gelir de şirket büyüklüğüne bağlı olduğunu göstermektedir. Aynı zamanda 90'lı yıllarda durum değişti; büyük sermayeli şirketler büyük karlar elde etmeye başladı. Önemli olan kurumsal yatırımcıların büyük şirket hisselerindeki payının artması ve küçük şirket hisselerinin likiditelerinin bir kısmını kaybetmesi gibi görünüyor - Bkz. Burton Malkiel. Wall Street'te Rastgele Bir Yürüyüş, s. 265, 333-334.
1980'li yıllara ait veriler, kazanç çarpanları (hisse fiyatının şirketin net gelirine oranı) düşük olan hisse senetlerinin daha yüksek getiri sağladığını gösteriyor. Benzer şekilde, düşük fiyat-varlık oranına sahip hisse senetleri daha yüksek getiri sağlama eğilimindedir - Burton Malkiel'e bakın. Wall Street'te Rastgele Bir Yürüyüş, s. 334-340.
Kanıtlar kitaptaki materyallere dayanmaktadır: Bromwich Michael. Sermaye yatırımlarının ekonomik verimliliğinin analizi - M.: INFRA-M, 1996.
Bkz. B.V. Gnedenko. Olasılık teorisi dersi - M.: Nauka, 1969, s. 179 (Bölüm 5. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri)