İlk kez 7.sınıf matematik dersinde karşılaşıyoruz iki değişkenli denklemler ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, denklemin katsayılarına onları sınırlayan belirli koşulların getirildiği bir dizi problem gözden kayboluyor. Ayrıca, Birleşik Devlet Sınavı materyallerinde ve giriş sınavlarında bu tür problemlere giderek daha sık rastlanmasına rağmen, “Doğal veya tam sayılarda denklem çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı edilmektedir.
Hangi denkleme iki değişkenli denklem denir?
Yani örneğin 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.
2x – y = 1 denklemini düşünün. x = 2 ve y = 3 olduğunda doğru olur, yani bu değişken değer çifti söz konusu denklemin bir çözümüdür.
Dolayısıyla, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, bu denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin değerleri olan sıralı çiftler (x; y) kümesidir.
İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:
A) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);
B) birden fazla çözümü var.Örneğin, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
V) hiçbir çözümü yok.Örneğin x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;
G) sonsuz sayıda çözümü var.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3'e eşit sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 – k) biçiminde yazılabilir; burada k herhangi bir gerçektir sayı.
İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadeleri çarpanlara ayırmaya, tam bir kareyi izole etmeye, ikinci dereceden bir denklemin özelliklerini kullanmaya, sınırlı ifadelere ve tahmin yöntemlerine dayalı yöntemlerdir. Denklem genellikle bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.
Faktorizasyon
Örnek 1.
Denklemi çözün: xy – 2 = 2x – y.
Çözüm.
Çarpanlara ayırma amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Her parantezden ortak bir çarpan çıkarıyoruz:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Elimizde:
y = 2, x – herhangi bir gerçek sayı veya x = -1, y – herhangi bir gerçek sayı.
Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R formundaki tüm çiftlerdir.
Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği
Örnek 2.
Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Çözüm.
Gruplandırma:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Artık her parantez kare fark formülü kullanılarak katlanabilir.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Negatif olmayan iki ifadenin toplamı yalnızca 3x – 2 = 0 ve 2y – 3 = 0 ise sıfırdır.
Bu, x = 2/3 ve y = 3/2 anlamına gelir.
Cevap: (2/3; 3/2).
Tahmin yöntemi
Örnek 3.
Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Çözüm.
Her parantez içinde tam bir kare seçiyoruz:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin edelim 
parantez içindeki ifadelerin anlamı.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ise denklemin sol tarafı her zaman en az 2 olur. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:
(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y – 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.
Cevap: (-1; 2).
İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem denklemin şu şekilde ele alınmasından oluşur: bazı değişkenlere göre kare.
Örnek 4.
Denklemi çözün: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Çözüm.
Denklemi x için ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Denklemin çözümü ancak D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda olacaktır. Y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.
Cevap: (3; 4).
Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde şunu belirtirler: değişkenlere ilişkin kısıtlamalar.
Örnek 5.
Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Çözüm.
Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 şeklinde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Dolayısıyla x 2, 5'e bölünemez. Ancak a'nın karesi 5'e bölünmeyen sayı 1 veya 4 kalanını verir. Dolayısıyla eşitlik mümkün değildir ve çözüm yoktur.
Cevap: Kök yok.
Örnek 6.
Denklemi çözün: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Çözüm.
Her parantez içindeki karelerin tamamını vurgulayalım:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'ten büyük veya eşittir. Eşitlik |x| olması koşuluyla mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3 olur.
Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).
Örnek 7.
Denklemi sağlayan her negatif tam sayı (x;y) çifti için
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, (x + y) toplamını hesaplayın. Lütfen cevabınızda en küçük miktarı belirtin.
Çözüm.
Tam kareleri seçelim:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tam sayı olduğundan kareleri de tam sayıdır. 1 + 36'yı toplarsak iki tam sayının karelerinin toplamını 37 elde ederiz. Dolayısıyla:
(x – y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.
Bu sistemleri çözüp x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak şu çözümleri buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Cevap: -17.
İki bilinmeyenli denklemleri çözmekte zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratik yaparak her denklemi halledebilirsiniz.
Hala sorularınız mı var? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Ders:Doğrusal fonksiyon
Ders:İki değişkenli doğrusal denklem ve grafiği
Koordinat ekseni ve koordinat düzlemi kavramlarına aşina olduk. Düzlemdeki her noktanın benzersiz bir şekilde bir (x; y) sayı çiftini tanımladığını biliyoruz; ilk sayı noktanın apsisi, ikincisi ise ordinattır.
Çözümü koordinat düzleminde temsil edilebilen bir sayı çifti olan, iki değişkenli bir doğrusal denklemle çok sık karşılaşacağız.
Formun denklemi:
a, b, c sayılardır ve 
Buna iki değişken x ve y olan doğrusal denklem denir. Böyle bir denklemin çözümü herhangi bir x ve y sayı çifti olacaktır; bunları denklemde yerine koyarsak doğru sayısal eşitliği elde ederiz.
Koordinat düzleminde bir nokta olarak bir çift sayı gösterilecektir.
Bu tür denklemler için birçok çözüm, yani birçok sayı çifti göreceğiz ve bunlara karşılık gelen tüm noktalar aynı düz çizgi üzerinde yer alacak.
Bir örneğe bakalım:
Bu denklemin çözümlerini bulmak için karşılık gelen x ve y sayı çiftlerini seçmeniz gerekir:
Diyelim ki orijinal denklem bir bilinmeyenli bir denkleme dönüşüyor:
,
Yani, belirli bir denklemin (0; 3) çözümü olan ilk sayı çifti. A(0;3) noktasını elde ettik
İzin vermek . Tek değişkenli orijinal denklemi elde ederiz: 
buradan B(3; 0) noktasını elde ederiz
Sayı çiftlerini tabloya koyalım:
Grafikteki noktaları işaretleyelim ve düz bir çizgi çizelim: 
Belirli bir doğru üzerindeki herhangi bir noktanın verilen denklemin çözümü olacağını unutmayın. Hadi kontrol edelim; koordinatı olan bir nokta alalım ve ikinci koordinatını bulmak için grafiği kullanalım. Bu noktada şu açıkça görülüyor. Bu sayı çiftini denklemde yerine koyalım. 0=0 elde ederiz - doğru bir sayısal eşitlik, bu da bir doğru üzerinde bulunan noktanın bir çözüm olduğu anlamına gelir.
Şimdilik, çizilen doğru üzerinde bulunan herhangi bir noktanın denklemin çözümü olduğunu kanıtlayamayız, bu nedenle bunu doğru olarak kabul ediyoruz ve daha sonra kanıtlayacağız.
Örnek 2 - denklemin grafiğini çizin:
Bir tablo yapalım; düz bir çizgi oluşturmak için yalnızca iki noktaya ihtiyacımız var, ancak kontrol için üçüncüyü alacağız:
İlk sütunda uygun olanı aldık, onu şuradan bulacağız:
, ,
İkinci sütunda uygun olanı aldık, x'i bulalım:
, , ,
Kontrol edip bulalım:
, ,
Bir grafik oluşturalım:
Verilen denklemi ikiyle çarpalım:
Böyle bir dönüşümden sonra çözüm kümesi değişmeyecek ve grafik aynı kalacaktır.
Sonuç: İki değişkenli denklemleri çözmeyi ve grafiklerini oluşturmayı öğrendik, böyle bir denklemin grafiğinin düz bir çizgi olduğunu ve bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın denklemin çözümü olduğunu öğrendik
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 7. 6. baskı. M.: Aydınlanma. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ve diğerleri Cebir 7.M.: Aydınlanma. 2006
2. Aile görüntüleme portalı ().
Görev 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 960, Madde 210;
Görev 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 961, Madde 210;
Görev 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 962, Madde 210;
§ 1 Gerçek durumlarda denklem köklerinin seçimi
Bu gerçek durumu ele alalım:
Usta ve çırak birlikte 400 özel parça yaptı. Üstelik usta 3 gün, öğrenci ise 2 gün çalıştı. Her kişi kaç parça yaptı?
Bu durumun cebirsel bir modelini oluşturalım. Usta 1 günde parça üretsin. Ve öğrenci ayrıntılardadır. Daha sonra usta 3 parçayı 3 günde, öğrenci ise 2 parçayı 2 günde yapacak. Birlikte 3+2 parça üretecekler. Koşula göre toplam 400 parça üretildiği için denklemi elde ederiz:
Ortaya çıkan denklem iki değişkenli doğrusal denklem olarak adlandırılır. Burada denklemin gerçek sayısal eşitlik biçimini alacağı bir x ve y sayısı çifti bulmamız gerekiyor. Eğer x = 90, y = 65 ise eşitliği elde ettiğimizi unutmayın:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Doğru sayısal eşitlik elde edildiğine göre 90 ve 65 sayı çifti bu denklemin çözümü olacaktır. Ancak bulunan çözüm tek çözüm değil. Eğer x = 96 ve y = 56 ise eşitliği elde ederiz:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Bu aynı zamanda gerçek bir sayısal eşitliktir, yani 96 ve 56 sayı çifti de bu denklemin bir çözümüdür. Ancak x = 73 ve y = 23 sayı çifti bu denklemin çözümü olmayacaktır. Aslında 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 bize hatalı sayısal eşitlik olan 265 = 400'ü verecektir. Denklemi bu gerçek durumla ilişkili olarak ele alırsak, o zaman sayı çiftlerinin olacağını belirtmek gerekir ki, Bu denklemin çözümü, problemin çözümü olmayacaktır. Örneğin birkaç sayı:
x = 200 ve y = -100
denklemin çözümüdür ancak öğrenci -100 parça yapamaz ve dolayısıyla böyle bir sayı çifti problemin sorusunun cevabı olamaz. Bu nedenle, her spesifik gerçek durumda, denklemin köklerinin seçiminde makul bir yaklaşım benimsemek gerekir.
İlk sonuçları özetleyelim:
a, b, c'nin herhangi bir sayı olduğu ax + bу + c = 0 formundaki bir denkleme iki değişkenli doğrusal denklem denir.
İki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümü, denklemin gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüğü x ve y'ye karşılık gelen bir sayı çiftidir.
§ 2 Doğrusal bir denklemin grafiği
(x;y) çiftinin kaydedilmesi bizi, onu bir düzlem üzerinde xy y koordinatlarına sahip bir nokta olarak tasvir etme olasılığını düşünmeye sevk eder. Bu, belirli bir durumun geometrik modelini elde edebileceğimiz anlamına gelir. Örneğin şu denklemi düşünün:
2x + y - 4 = 0
Bu denklemin çözümü olacak birkaç sayı çiftini seçelim ve bulunan koordinatlarla noktalar oluşturalım. Bunlar noktalar olsun:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Tüm noktaların aynı doğru üzerinde olduğuna dikkat edin. Bu çizgiye iki değişkenli bir doğrusal denklemin grafiği denir. Belirli bir denklemin grafiksel (veya geometrik) modelidir.
Bir (x;y) sayı çifti denklemin çözümü ise
ax + vy + c = 0 ise M(x;y) noktası denklemin grafiğine aittir. Bunun tersini de söyleyebiliriz: M(x;y) noktası ax + y + c = 0 denkleminin grafiğine aitse, o zaman (x;y) sayı çifti bu denklemin bir çözümüdür.
Geometri dersinden biliyoruz:
Düz bir çizgi çizmek için 2 noktaya ihtiyacınız vardır, bu nedenle iki değişkenli bir doğrusal denklemin grafiğini çizmek için yalnızca 2 çift çözüm bilmek yeterlidir. Ancak kökleri tahmin etmek her zaman uygun veya rasyonel bir prosedür değildir. Başka bir kurala göre hareket edebilirsiniz. Bir noktanın apsisi (değişken x) bağımsız bir değişken olduğundan, ona herhangi bir uygun değer verebilirsiniz. Bu sayıyı denklemde yerine koyarak y değişkeninin değerini buluruz.
Örneğin denklem verilsin:
X = 0 olsun, o zaman 0 - y + 1 = 0 veya y = 1 elde ederiz. Bu, x = 0 ise y = 1 anlamına gelir. Bir sayı çifti (0;1) bu denklemin çözümüdür. X değişkenine başka bir değer ayarlayalım: x = 2. Sonra 2 - y + 1 = 0 veya y = 3 elde ederiz. (2;3) sayı çifti de bu denklemin bir çözümüdür. Bulunan iki noktayı kullanarak x - y + 1 = 0 denkleminin bir grafiğini oluşturmak zaten mümkündür.
Bunu yapabilirsiniz: önce y değişkenine belirli bir değer atayın ve ancak bundan sonra x'in değerini hesaplayın.
§ 3 Denklem sistemi
Toplamları 11 ve farkı 1 olan iki doğal sayıyı bulun.
Bu sorunu çözmek için öncelikle bir matematiksel model (yani cebirsel bir model) oluşturuyoruz. Birinci sayıya x, ikinci sayıya y diyelim. Daha sonra x + y sayılarının toplamı = 11 ve x - y sayılarının farkı = 1 olur. Her iki denklem de aynı sayıları ele aldığından bu koşulların aynı anda sağlanması gerekir. Genellikle bu gibi durumlarda özel bir kayıt kullanılır. Denklemler alt alta yazılır ve küme paranteziyle birleştirilir.
Böyle bir kayda denklem sistemi denir.
Şimdi her denklemin çözüm kümelerini oluşturalım; denklemlerin her birinin grafikleri. İlk denklemi ele alalım:
Eğer x = 4 ise y = 7. Eğer x = 9 ise y = 2 olur.
(4;7) ve (9;2) noktalarından geçen düz bir çizgi çizelim.
İkinci denklemi ele alalım x - y = 1. Eğer x = 5 ise y = 4. Eğer x = 7 ise y = 6. Ayrıca (5;4) ve (7;6) noktalarından geçen düz bir çizgi çiziyoruz. ). Problemin geometrik modelini elde ettik. İlgilendiğimiz sayı çifti (x;y) her iki denklemin de çözümü olmalıdır. Şekilde her iki doğrunun üzerinde bulunan tek bir nokta görüyoruz; bu, doğruların kesişme noktasıdır.
Koordinatları (6;5)'tir. Bu nedenle sorunun çözümü şu şekilde olacaktır: İlk gerekli sayı 6, ikincisi 5'tir.
Kullanılan literatürün listesi:
- Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 1, Genel eğitim kurumları için ders kitabı / A.G. Mordkoviç. – 10. baskı, gözden geçirilmiş – Moskova, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 2, Eğitim kurumları için problem kitabı / [A.G. Mordkovich ve diğerleri]; A.G. tarafından düzenlendi. Mordkovich - 10. baskı, revize edilmiş - Moskova, “Mnemosyne”, 2007
- O. Tulchinskaya, Cebir 7. sınıf. Blitz araştırması: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bir el kitabı, 4. baskı, gözden geçirilmiş ve genişletilmiş, Moskova, “Mnemosyne”, 2008
- Alexandrova L.A., Cebir 7. sınıf. A.G. tarafından düzenlenen, genel eğitim kurumlarının öğrencileri için yeni bir formda tematik test kağıtları. Mordkovich, Moskova, “Mnemosyne”, 2011
- Alexandrova L.A. Cebir 7. sınıf. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bağımsız çalışmalar, A.G. Mordkovich - 6. baskı, basmakalıp, Moskova, “Mnemosyne”, 2010
İki değişkenli doğrusal bir denklem, aşağıdaki forma sahip herhangi bir denklemdir: a*x + b*y =с. Burada x ve y iki değişkendir, a,b,c bazı sayılardır.
Aşağıda birkaçı var Doğrusal denklem örnekleri.
1. 10*x + 25*y = 150;
Tek bilinmeyenli denklemler gibi, iki değişkenli (bilinmeyen) doğrusal denklemin de bir çözümü vardır. Örneğin, x=8 ve y=3 ile x-y=5 doğrusal denklemi doğru özdeşlik 8-3=5'e dönüşür. Bu durumda x=8 ve y=3 sayı çiftinin x-y=5 doğrusal denkleminin bir çözümü olduğu söylenir. Ayrıca x=8 ve y=3 sayı çiftinin x-y=5 doğrusal denklemini karşıladığını da söyleyebilirsiniz.
Doğrusal Bir Denklemin Çözülmesi
Dolayısıyla, a*x + b*y = c doğrusal denkleminin çözümü, bu denklemi sağlayan herhangi bir (x,y) sayı çiftidir, yani x ve y değişkenlerini içeren denklemi doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürür. Burada x ve y sayı çiftinin nasıl yazıldığına dikkat edin. Bu giriş daha kısa ve daha kullanışlıdır. Böyle bir kayıtta ilk sıranın x değişkeninin değeri, ikinci sıranın ise y değişkeninin değeri olduğunu hatırlamanız yeterlidir.
Lütfen x=11 ve y=8, x=205 ve y=200 x= 4,5 ve y= -0,5 sayılarının da x-y=5 doğrusal denklemini karşıladığını ve dolayısıyla bu doğrusal denklemin çözümleri olduğunu unutmayın.
İki bilinmeyenli doğrusal denklemi çözme tek değil.İki bilinmeyenli her doğrusal denklemin sonsuz sayıda farklı çözümü vardır. Yani var sonsuz sayıda farklı Doğrusal bir denklemi gerçek kimliğe dönüştüren iki x ve y sayısı.
İki değişkenli birden fazla denklemin çözümleri aynıysa, bu tür denklemlere eşdeğer denklemler denir. İki bilinmeyenli denklemlerin çözümü yoksa, bunların da eşdeğer kabul edildiğine dikkat edilmelidir.
İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin temel özellikleri
1. Denklemdeki terimlerden herhangi biri bir bölümden diğerine aktarılabilir ancak işaretinin karşı tarafa değiştirilmesi gerekir. Ortaya çıkan denklem orijinaline eşdeğer olacaktır.
2. Denklemin her iki tarafı da sıfır olmayan herhangi bir sayıya bölünebilir. Sonuç olarak orijinaline eşdeğer bir denklem elde ederiz.
İlk kez 7.sınıf matematik dersinde karşılaşıyoruz iki değişkenli denklemler ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, denklemin katsayılarına onları sınırlayan belirli koşulların getirildiği bir dizi problem gözden kayboluyor. Ayrıca, Birleşik Devlet Sınavı materyallerinde ve giriş sınavlarında bu tür problemlere giderek daha sık rastlanmasına rağmen, “Doğal veya tam sayılarda denklem çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı edilmektedir.
Hangi denkleme iki değişkenli denklem denir?
Yani örneğin 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.
2x – y = 1 denklemini düşünün. x = 2 ve y = 3 olduğunda doğru olur, yani bu değişken değer çifti söz konusu denklemin bir çözümüdür.
Dolayısıyla, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, bu denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin değerleri olan sıralı çiftler (x; y) kümesidir.
İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:
A) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);
B) birden fazla çözümü var.Örneğin, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
V) hiçbir çözümü yok.Örneğin x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;
G) sonsuz sayıda çözümü var.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3'e eşit sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 – k) biçiminde yazılabilir; burada k herhangi bir gerçektir sayı.
İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadeleri çarpanlara ayırmaya, tam bir kareyi izole etmeye, ikinci dereceden bir denklemin özelliklerini kullanmaya, sınırlı ifadelere ve tahmin yöntemlerine dayalı yöntemlerdir. Denklem genellikle bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.
Faktorizasyon
Örnek 1.
Denklemi çözün: xy – 2 = 2x – y.
Çözüm.
Çarpanlara ayırma amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Her parantezden ortak bir çarpan çıkarıyoruz:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Elimizde:
y = 2, x – herhangi bir gerçek sayı veya x = -1, y – herhangi bir gerçek sayı.
Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R formundaki tüm çiftlerdir.
Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği
Örnek 2.
Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Çözüm.
Gruplandırma:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Artık her parantez kare fark formülü kullanılarak katlanabilir.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Negatif olmayan iki ifadenin toplamı yalnızca 3x – 2 = 0 ve 2y – 3 = 0 ise sıfırdır.
Bu, x = 2/3 ve y = 3/2 anlamına gelir.
Cevap: (2/3; 3/2).
Tahmin yöntemi
Örnek 3.
Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Çözüm.
Her parantez içinde tam bir kare seçiyoruz:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin edelim parantez içindeki ifadelerin anlamı.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ise denklemin sol tarafı her zaman en az 2 olur. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:
(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y – 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.
Cevap: (-1; 2).
İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem denklemin şu şekilde ele alınmasından oluşur: bazı değişkenlere göre kare.
Örnek 4.
Denklemi çözün: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Çözüm.
Denklemi x için ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Denklemin çözümü ancak D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda olacaktır. Y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.
Cevap: (3; 4).
Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde şunu belirtirler: değişkenlere ilişkin kısıtlamalar.
Örnek 5.
Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Çözüm.
Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 şeklinde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Dolayısıyla x 2, 5'e bölünemez. Ancak a'nın karesi 5'e bölünmeyen sayı 1 veya 4 kalanını verir. Dolayısıyla eşitlik mümkün değildir ve çözüm yoktur.
Cevap: Kök yok.
Örnek 6.
Denklemi çözün: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Çözüm.
Her parantez içindeki karelerin tamamını vurgulayalım:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'ten büyük veya eşittir. Eşitlik |x| olması koşuluyla mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3 olur.
Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).
Örnek 7.
Denklemi sağlayan her negatif tam sayı (x;y) çifti için
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, (x + y) toplamını hesaplayın. Lütfen cevabınızda en küçük miktarı belirtin.
Çözüm.
Tam kareleri seçelim:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tam sayı olduğundan kareleri de tam sayıdır. 1 + 36'yı toplarsak iki tam sayının karelerinin toplamını 37 elde ederiz. Dolayısıyla:
(x – y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.
Bu sistemleri çözüp x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak şu çözümleri buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Cevap: -17.
İki bilinmeyenli denklemleri çözmekte zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratik yaparak her denklemi halledebilirsiniz.
Hala sorularınız mı var? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.