274. Açıklamalar.
A) Değerlendirmek istediğiniz ifade şunları içeriyorsa toplam veya fark sayılar, tabloların yardımı olmadan sıradan toplama veya çıkarma yoluyla bulunmalıdır. Örneğin:
log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.
B)İfadelerin logaritmasının nasıl yapıldığını bilerek, belirli bir logaritma sonucunu kullanarak, bu sonucun elde edildiği ifadeyi tersine bulabiliriz; yani eğer
kayıt X= günlük A+ günlük B- 3 günlük İle,
o zaman bunu anlamak kolaydır
V) Logaritmik tabloların yapısını incelemeye geçmeden önce, ondalık logaritmanın bazı özelliklerini belirteceğiz; 10 sayısının temel alındığı olanlar (hesaplamalar için yalnızca bu tür logaritmalar kullanılır).
İkinci bölüm.
Ondalık logaritmanın özellikleri.
275 . A) 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 vb. olduğundan, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, vb.
Araç, Bir ve sıfırlarla temsil edilen bir tam sayının logaritması, sayının temsilindeki sıfır sayısı kadar bir içeren pozitif bir tam sayıdır.
Böylece: günlük 100.000 = 5, kayıt 1000 000 = 6 , vesaire.
B) Çünkü
log 0,1 = -l; günlük 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; günlük 0,0001 = - 4, vesaire.
Araç, Önünde sıfır bulunan bir birim tarafından temsil edilen ondalık kesirin logaritması, kesirin temsilinde 0 tam sayı da dahil olmak üzere sıfırlar olduğu kadar çok sayıda negatif birim içeren negatif bir tamsayıdır.
Böylece: günlük 0,00001= - 5, günlük 0,000001 = -6, vesaire.
V)Örneğin bir ve sıfırlarla temsil edilmeyen bir tamsayıyı ele alalım. Örneğin 35 veya kesirli bir tam sayı. 10.7. Böyle bir sayının logaritması bir tam sayı olamaz, çünkü 10'u bir tamsayı üssüyle (pozitif veya negatif) bir üssüne yükselttiğimizde, sıfırlarla (1'den sonra veya ondan önce) 1 elde ederiz. Şimdi böyle bir sayının logaritmasının bir kesir olduğunu varsayalım. A / B . O zaman eşitliğimiz olurdu
Ancak bu eşitlikler imkansızdır, çünkü 10A sıfırlarla birlikte 1'ler var, oysa dereceler 35B Ve 10,7B herhangi bir önlemle B 1'in ardından sıfır verilemez. Bu, izin veremeyeceğimiz anlamına gelir günlük 35 Ve günlük 10.7 kesirlere eşitti. Ancak logaritmik fonksiyonun özelliklerinden biliyoruz ki () her pozitif sayının bir logaritması vardır; dolayısıyla 35 ve 10,7 sayılarının her birinin kendine ait logaritması vardır ve ne tam sayı ne de kesirli sayı olamayacağı için irrasyonel bir sayıdır ve bu nedenle sayılarla tam olarak ifade edilemez. İrrasyonel logaritmalar genellikle yaklaşık olarak birkaç ondalık basamağa sahip bir ondalık kesir olarak ifade edilir. Bu kesrin tam sayısına (“0 tam sayı” olsa bile) denir. karakteristik ve kesirli kısım logaritmanın mantisidir. Örneğin logaritma varsa 1,5441 , o zaman karakteristiği eşittir 1 ve mantis 0,5441 .
G)Örneğin bir tamsayı veya karışık sayıyı ele alalım. 623 veya 623,57 . Böyle bir sayının logaritması bir karakteristik ve bir mantisten oluşur. Ondalık logaritmaların şu rahatlığa sahip olduğu ortaya çıktı: özelliklerini her zaman tek bir sayı türüne göre bulabiliriz . Bunu yapmak için, bu rakamlarla ilgili örneklerimizde belirli bir tam sayının veya bir tam sayının bir tamsayı kısmında kaç rakam olduğunu sayalım. 3 . Bu nedenle sayıların her biri 623 Ve 623,57 100'den fazla fakat 1000'den az; bu her birinin logaritmasının daha büyük olduğu anlamına gelir günlük 100 yani daha fazlası 2 , Ama daha az günlük 1000 yani daha az 3 (Daha büyük bir sayının aynı zamanda daha büyük bir logaritmaya sahip olduğunu unutmayın). Buradan, günlük 623 = 2,..., Ve günlük 623,57 = 2,... (noktalar bilinmeyen mantislerin yerini alır).
Bunun gibi şunu buluyoruz:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 günlük 8634 = 3,... |
Genel olarak belirli bir tam sayının veya belirli bir karışık sayının tam sayı kısmının şunları içermesine izin verin: M sayılar İçeren en küçük tam sayı olduğundan M sayılar evet 1 İle M - 1 sonunda sıfırlar, o zaman (bu sayıyı belirtir) N) eşitsizlikleri yazabiliriz:
ve bu nedenle
M - 1 < log N < M ,
günlük N = ( M- 1) + pozitif kesir.
Yani karakteristik günlükN = M - 1 .
Bunu bu şekilde görüyoruz bir tam sayının veya karışık sayının logaritmasının özelliği, sayının eksi bir kısmındaki basamak sayısı kadar pozitif birim içerir.
Bunu fark ettikten sonra doğrudan şunu yazabiliriz:
günlük 7,205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720.4 = 2,... ve benzeri.
D) Birkaç ondalık kesri daha küçük alalım 1 (yani sahip olmak 0 tüm): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, ve benzeri.
Dolayısıyla bu logaritmaların her biri, aralarında bir birim fark olan iki negatif tamsayı arasında yer alır; dolayısıyla bunların her biri, bu negatif sayılardan bir miktar pozitif kesirle artırılmış daha küçük olana eşittir. Örneğin, log0.0056= -3 + pozitif kesir. Bu kesrin 0,7482 olduğunu varsayalım. O zaman şu anlama gelir:
log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
gibi tutarlar - 3 + 0,7482 Negatif bir tam sayı ve pozitif bir ondalık kesirden oluşan logaritmik hesaplamalarda aşağıdaki gibi kısaltılmış olarak yazmaya karar verdik: 3 ,7482 (Bu sayı şöyle okunur: 3 eksi, 7482 on binde biri.), yani, pozitif kalan mantisle değil, yalnızca bu karakteristikle ilgili olduğunu göstermek için karakteristiğin üzerine bir eksi işareti koydular. Yani yukarıdaki tablodan açıkça görülüyor ki
log 0,35 == 1,....; log 0,07 = 2,....; günlük 0,0008 = 4,....
Bırakın hiç 
. ilk anlamlı rakamdan önce gelen bir ondalık kesir vardır α
maliyetler M
0 tam sayı da dahil olmak üzere sıfırlar. O zaman açıktır ki
- M < log A < - (M- 1).
İki tam sayıdan beri: - M Ve - (M- 1) daha az var - M , O
günlük A = - M+ pozitif kesir,
ve dolayısıyla karakteristik günlük A = - M (pozitif bir mantis ile).
Böylece, 1'den küçük bir ondalık kesirin logaritmasının özelliği, sıfır tam sayılar da dahil olmak üzere ilk anlamlı basamaktan önceki ondalık kesirin görüntüsünde sıfırlar olduğu kadar çok sayıda negatif içerir; Böyle bir logaritmanın mantisi pozitiftir.
e) Hadi bir sayıyı çarpalım N(tamsayı veya kesir - fark etmez) 10'a, 100'e 1000..., genel olarak 1'e sıfır. Bakalım bu nasıl değişecek günlük N. Ürünün logaritması faktörlerin logaritmasının toplamına eşit olduğundan,
log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; vesaire.
Ne zaman günlük N bir tam sayı eklersek, bu sayıyı her zaman mantis'e değil, karakteristiğe ekleyebiliriz.
Yani log N = 2,7804 ise 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, vb.;
veya log N = 3,5649 ise 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, vb.
Bir sayı 10, 100, 1000,..., genellikle 1 ile sıfırlarla çarpıldığında logaritmanın mantisi değişmez ve faktördeki sıfır sayısı kadar karakteristik artar. .
Benzer şekilde, bölümün logaritmasının, bölenin logaritması olmadan bölenin logaritmasına eşit olduğu dikkate alındığında şunu elde ederiz:
log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;
log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;
log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; ve benzeri.
Bir logaritmadan bir tamsayıyı çıkarırken, bu tamsayıyı her zaman karakteristikten çıkarmayı ve mantisi değiştirmeden bırakmayı kabul edersek, o zaman şunu söyleyebiliriz:
Bir sayıyı 1'e sıfırlarla bölmek logaritmanın mantisini değiştirmez, ancak bölende sıfırlar olduğu sürece karakteristik birim kadar azalır.
276. Sonuçlar. Mülkten ( e) aşağıdaki iki sonuç çıkarılabilir:
A) Ondalık sayının logaritmasının mantisi, ondalık basamağa taşındığında değişmez çünkü bir ondalık noktayı hareket ettirmek 10, 100, 1000 vb. ile çarpmaya veya bölmeye eşdeğerdir. Dolayısıyla sayıların logaritması:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
yalnızca özellikler bakımından farklılık gösterir, ancak mantislerde farklılık göstermez (tüm mantislerin pozitif olması şartıyla).
B) Aynı anlamlı kısma sahip olan ancak yalnızca sıfırlarla biten sayıların mantisleri aynıdır: Dolayısıyla sayıların logaritmaları: 23, 230, 2300, 23.000 yalnızca özellikler bakımından farklılık gösterir.
Yorum. Ondalık logaritmanın belirtilen özelliklerinden, bir tam sayının ve ondalık kesirin logaritmasının özelliklerini tabloların yardımı olmadan bulabileceğimiz açıktır (bu, ondalık logaritmanın büyük rahatlığıdır); sonuç olarak logaritmik tablolara yalnızca bir mantis yerleştirilir; Buna ek olarak, kesirlerin logaritmasını bulmak, tamsayıların logaritmasını bulmaya indirgendiğinden (bir kesrin logaritması = paydanın logaritması olmadan payın logaritması), tablolara yalnızca tam sayıların logaritmasının mantisleri yerleştirilir.
Üçüncü bölüm.
Dört basamaklı tabloların tasarımı ve kullanımı.
277. Logaritma sistemleri. Logaritma sistemi, aynı tabanı kullanan ardışık tam sayılar için hesaplanan bir logaritma kümesidir. İki sistem kullanılır: sayının temel alındığı sıradan veya ondalık logaritma sistemi 10 ve irrasyonel bir sayının temel alındığı doğal logaritma sistemi (matematiğin diğer dallarında açık olan bazı nedenlerden dolayı) 2,7182818 ... Hesaplamalar için, bu tür logaritmanın özelliklerini sıralarken belirttiğimiz kolaylık nedeniyle ondalık logaritmalar kullanılır.
Doğal logaritmalara, logaritmanın mucidi İskoç matematikçiden adını alan Neperov da denir. Nepera(1550-1617) ve ondalık logaritmalar - Briggs, profesörün adını almıştır Brigga(Napier'in çağdaşı ve arkadaşı), bu logaritma tablolarını derleyen ilk kişiydi.
278. Negatif bir logaritmayı mantisası pozitif olan bir logaritmaya dönüştürmek ve ters dönüşüm. 1'den küçük sayıların logaritmasının negatif olduğunu gördük. Bu onların olumsuz bir özellik ve olumsuz bir mantisten oluştuğu anlamına gelir. Bu tür logaritmalar her zaman mantisleri pozitif olacak şekilde dönüştürülebilir, ancak karakteristik negatif kalır. Bunu yapmak için mantis'e pozitif, özelliğe negatif eklemek yeterlidir (elbette logaritmanın değerini değiştirmez).
Örneğin logaritmamız varsa - 2,0873 , sonra şunu yazabilirsiniz:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
veya kısaltılmış olarak:
Tersine, negatif karakteristiğe ve pozitif mantise sahip herhangi bir logaritma, negatif logaritmaya dönüştürülebilir. Bunu yapmak için, pozitif mantislere negatif, negatif karakteristiğe de pozitif eklemek yeterlidir: böylece şunu yazabilirsiniz:
279. Dört basamaklı tabloların açıklaması. Pratik sorunların çoğunu çözmek için, kullanımı çok basit olan dört basamaklı tablolar oldukça yeterlidir. Bu tablolar (üst kısmında “logaritmalar” yazan) bu kitabın sonuna yerleştirilmiş ve küçük bir kısmı (düzenlemeyi açıklamak için) bu sayfada basılmıştır.
Logaritmalar.
tüm tamsayıların logaritmaları 1 önce 9999 dahil, dört ondalık basamağa kadar hesaplanır, bu basamakların sonuncusu şu şekilde artırılır: 1 5'inci ondalık basamağın 5 veya 5'ten fazla olacağı tüm durumlarda; bu nedenle, 4 basamaklı tablolar yaklaşık mantisleri verir 1 / 2 onbinde biri (eksikliği veya fazlası ile).
Bir tam sayının veya ondalık kesrin logaritmasını, ondalık logaritmanın özelliklerine dayanarak doğrudan karakterize edebildiğimiz için, tablolardan yalnızca mantisleri almalıyız; Aynı zamanda, ondalık sayıdaki virgülün konumunun ve sayının sonundaki sıfır sayısının mantisin değerini etkilemediğini unutmamalıyız. Dolayısıyla verilen bir sayının mantisini bulurken bu sayıdaki virgül ve varsa sonundaki sıfırları atıp bundan sonra oluşan tam sayının mantisini buluyoruz. Aşağıdaki durumlar ortaya çıkabilir.
1) Bir tamsayı 3 rakamdan oluşur.Örneğin 536 sayısının logaritmasının mantisini bulmamız gerektiğini varsayalım. Bu sayının ilk iki rakamı yani 53, tablolarda soldaki ilk dikey sütunda bulunur (bkz. tablo). 53 sayısını bulduktan sonra, bu çizgi en üste yerleştirilen 0, 1, 2, 3,... 9 sayılarından birinin içinden geçen dikey bir sütunla kesişene kadar yatay bir çizgi boyunca sağa doğru hareket ediyoruz (ve Tablonun alt kısmında) verilen bir sayının 3'üncü basamağı yani örneğimizde 6 sayısıdır. Kesişme noktasında 536 sayısının logaritmasına ait olan mantis 7292'yi (yani 0,7292) elde ederiz. Benzer şekilde 508 sayısı için mantis 0,7059'u, 500 sayısı için 0,6990'ı buluruz, vb.
2) Bir tamsayı 2 veya 1 rakamdan oluşur. Daha sonra bu sayıya zihinsel olarak bir veya iki sıfır atarız ve bu şekilde oluşan üç basamaklı sayının mantisini buluruz. Örneğin 510 sayısını elde ettiğimiz 51 sayısına bir sıfır ekliyoruz ve mantis 7070'i buluyoruz; 5 sayısına 2 sıfır atarız ve mantis 6990'ı vb. buluruz.
3) Bir tamsayı 4 rakamla ifade edilir.Örneğin log 5436'nın mantisini bulmanız gerekiyor. Daha sonra tablolarda önce az önce belirttiğimiz gibi bu sayının ilk 3 rakamının temsil ettiği sayının yani 543'ün mantisini buluyoruz (bu mantis 7348 olacak) ; daha sonra bulunan mantisten yatay çizgi boyunca sağa (kalın dikey çizginin arkasında bulunan tablonun sağ tarafına), 1, 2 3 sayılarından birinden geçen dikey sütunla kesişene kadar hareket ederiz. .. 9, tablonun bu bölümünün üstünde (ve altında) bulunur, bu, belirli bir sayının 4. basamağını temsil eder, yani örneğimizde 6 sayısını temsil eder. Kavşakta düzeltmeyi buluruz (sayı) 5), 5436 sayısının mantisini elde etmek için 7348 mantisine zihinsel olarak uygulanması gereken; Bu şekilde mantis 0.7353'ü elde ederiz.
4) Bir tamsayı 5 veya daha fazla rakamla ifade edilir. Daha sonra ilk 4 rakamı dışındaki tüm rakamları atıp yaklaşık dört basamaklı bir sayı alıyoruz ve bu sayının son rakamını o sayıda 1 artırıyoruz. sayının atılan 5. basamağının 5 veya 5'ten büyük olması durumu. Yani 57842 yerine 5784, 30257 yerine 3026, 583263 yerine 5833 alıyoruz vb. Bu yuvarlatılmış dört basamaklı sayı için, az önce açıklandığı gibi mantis'i buluyoruz.
Bu talimatların rehberliğinde, örneğin aşağıdaki sayıların logaritmasını bulalım:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Öncelikle şimdilik tablolara geçmeden sadece özelliklerini sıralayıp, daha sonra yazacağımız mantislere yer bırakacağız:
log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....
günlük 804,7 = 2,.... günlük 7,2634 = 0,....
günlük 0,26 = 1,.... günlük 3456,86 = 3,....
log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;
log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;
log 0,26 = 1,4150; günlük 3456,86 = 3,5387.
280. Not. Bazı dört basamaklı tablolarda (örneğin tablolarda) V. Lorchenko ve N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) bu numaranın 4. hanesine yönelik düzeltmeler yapılmaz. Bu tür tablolarla uğraşırken, aşağıdaki gerçeğe dayanarak yapılabilecek basit bir hesaplama kullanarak bu düzeltmeleri bulmak gerekir: eğer sayılar 100'ü aşarsa ve aralarındaki farklar 1'den küçükse, o zaman hassas bir hata olmadan öyle varsayılabilir logaritmalar arasındaki farklar karşılık gelen sayılar arasındaki farklarla orantılıdır . Mesela 5367 sayısına karşılık gelen mantisi bulmamız gerekiyor. Bu mantis elbette 536,7 sayısının aynısı. Tablolarda 536 sayısı için mantis 7292'yi buluyoruz. Bu mantis, 537 sayısına karşılık gelen sağdaki mantis 7300 ile karşılaştırıldığında, 536 sayısı 1 artarsa mantisin 8 on artacağını görüyoruz. -binde biri (8 sözde masa farkı iki bitişik mantis arasında); 536 sayısı 0,7 artarsa, mantis onbinde 8 oranında değil, daha küçük bir sayı kadar artacaktır X varsayılan orantılılığa göre oranları karşılaması gereken on binde biri:
X :8 = 0,7:1; Neresi X = 8 07 = 5,6,
onbinde 6'ya yuvarlanır. Bu, 536,7 sayısının (ve dolayısıyla 5367 sayısının) mantisinin şu şekilde olacağı anlamına gelir: 7292 + 6 = 7298.
Tablolarda birbirine komşu iki sayıdan ara sayıyı bulmaya ne ad verilir? interpolasyon. Burada açıklanan enterpolasyona denir orantılıÇünkü logaritmadaki değişimin sayıdaki değişimle orantılı olduğu varsayımına dayanmaktadır. Logaritmik fonksiyondaki değişimin grafiksel olarak düz bir çizgiyle ifade edildiğini varsaydığından doğrusal olarak da adlandırılır.
281. Yaklaşık logaritmanın hata sınırı. Logaritması aranan sayı tam sayı ise 4 basamaklı tablolarda bulunan logaritmasının hata sınırı, dediğimiz gibi alınabilir. 1 / 2 on bininci kısım. Eğer bu sayı doğru değilse, o zaman bu hata sınırına, sayının yanlışlığından kaynaklanan başka bir hatanın sınırını da eklemeliyiz. Böyle bir limitin çarpım olarak alınabileceği kanıtlanmıştır (bu kanıtı atlıyoruz)
A(D +1) on binde biri.,
hangisinde A en kesin olmayan sayı için hata payıdır, varsayılırsa tamsayı kısmı 3 rakamdan oluşuyor, A D Verilen kesin olmayan sayının aralarında yer aldığı iki ardışık üç basamaklı sayıya karşılık gelen mantislerin tablosal farkı. Böylece logaritmanın son hatasının limiti şu formülle ifade edilecektir:
1 / 2 + A(D +1) on binde biri
Örnek. Günlüğü bul π , almak π yaklaşık sayı 3,14, tam olarak 1 / 2 yüzüncü.
3.14 sayısının 3. rakamından sonra virgülü hareket ettirerek soldan sayarak üç basamaklı 314 sayısını elde ederiz. 1 / 2 birimler; Bu, yanlış bir sayı için, yani harfle belirttiğimiz hata payının olduğu anlamına gelir. A , orada 1 / 2 Bulduğumuz tablolardan:
log 3,14 = 0,4969.
Tablo farkı D 314 ve 315 sayılarının mantisleri arasında 14 bulunur, dolayısıyla bulunan logaritmanın hatası daha az olacaktır
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 on binde biri.
0,4969 logaritmasının eksik mi yoksa aşırı mı olduğunu bilmediğimiz için yalnızca logaritmanın tam olduğunu garanti edebiliriz. π 0,4969 - 0,0008 ile 0,4969 + 0,0008 arasındadır, yani 0,4961< log π < 0,4977.
282. Belirli bir logaritmayı kullanarak bir sayı bulun. Belirli bir logaritmayı kullanarak bir sayıyı bulmak için, verilen sayıların mantislerini bulmak için aynı tablolar kullanılabilir; ancak antilogaritma adı verilenleri, yani bu mantislere karşılık gelen sayıları içeren diğer tabloları kullanmak daha uygundur. Üst kısımda “antilogaritmalar” ibaresi ile gösterilen bu tablolar, logaritma tablolarından sonra bu kitabın sonuna yerleştirilmiştir; bunların küçük bir kısmı bu sayfada yer almaktadır (açıklama amacıyla).
Size 4 basamaklı bir mantis 2863 verildiğini (özelliklere dikkat etmiyoruz) ve karşılık gelen tam sayıyı bulmanız gerektiğini varsayalım. Daha sonra antilogaritma tablolarına sahip olduğunuzda, bunları belirli bir sayının mantisini bulmak için daha önce açıklandığı gibi kullanmanız gerekir, yani: mantisin ilk 2 basamağını soldaki ilk sütunda buluruz. Daha sonra bu sayılardan, üst satırda (veya altta) aranması gereken mantisin 3. rakamından gelen dikey sütunla kesişene kadar yatay çizgi boyunca sağa doğru hareket ediyoruz. Kavşakta, mantis 286'ya karşılık gelen dört basamaklı 1932 sayısını buluyoruz. Daha sonra bu sayıdan, mantisin 4. basamağından gelen dikey sütunla kesişime kadar yatay çizgi boyunca sağa doğru ilerliyoruz. oraya yerleştirilen 1, 2, 3,... 9 sayıları arasında üstte (veya altta) bulunur. Kesişmede, daha önce bulunan 1032 sayısına sırayla uygulanması gereken (zihinsel olarak) düzeltme 1'i buluruz. mantis 2863'e karşılık gelen sayıyı elde etmek için.
Böylece sayı 1933 olacaktır. Bundan sonra özelliğine dikkat ederek 1933 sayısını uygun yere yerleştirmeniz gerekmektedir. Örneğin:
Eğer kayıt X = 3,2863 ise X = 1933,
„ kayıt x = 1,2863, „ X = 19,33,
, kayıt X = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ kayıt X = 2 ,2863, „ X = 0,01933
İşte daha fazla örnek:
kayıt X = 0,2287, X = 1,693,
kayıt X = 1 ,7635, X = 0,5801,
kayıt X = 3,5029, X = 3184,
kayıt X = 2 ,0436, X = 0,01106.
Mantis 5 veya daha fazla rakam içeriyorsa, yalnızca ilk 4 rakamı alırız, geri kalanını atarız (ve 5. rakam beş veya daha fazlaysa 4. rakamı 1 artırırız). Örneğin mantis 35478 yerine 3548, 47562 yerine 4756 alıyoruz.
283. Not. Mantisin 4. ve sonraki rakamlarına yönelik düzeltme de enterpolasyon yoluyla bulunabilir. Yani, eğer mantis 84357 ise, o zaman mantis 843'e karşılık gelen 6966 sayısını bulduktan sonra şu şekilde akıl yürütebiliriz: eğer mantis 1 (binde bir) artarsa, yani 844 olursa o zaman sayı şu şekilde olur: Tablolardan görüleceği üzere 16 adet artacak; mantis 1 (bininci) değil, 0,57 (bininci) artarsa sayı artacaktır X birimler ve X oranları karşılamalıdır:
X : 16 = 0,57: 1, buradan x = 16 0,57 = 9,12.
Bu, gerekli sayının 6966+ 9,12 = 6975,12 veya (yalnızca dört rakamla sınırlı) 6975 olacağı anlamına gelir.
284. Bulunan sayının hata sınırı. Bulunan sayıda virgülün soldan 3. rakamdan sonra olması durumunda, yani logaritmanın karakteristiği 2 olduğunda, toplamın hata limiti olarak alınabileceği kanıtlanmıştır.
Nerede A sayının bulunduğu logaritmanın (on binde bir olarak ifade edilen) hata sınırıdır ve D - Bulunan sayının arasında yer aldığı iki ardışık üç basamaklı sayının mantisleri arasındaki fark (soldan 3. basamaktan sonra virgülle). Karakteristik 2 değil, başka bir şey olduğunda, bulunan sayıda virgülün sola veya sağa kaydırılması, yani sayının 10'un bazı kuvvetlerine bölünmesi veya çarpılması gerekecektir. Bu durumda hata sonucun değeri de 10'un aynı kuvvetine bölünecek veya çarpılacaktır.
Örneğin logaritmayı kullanarak bir sayı arıyoruz. 1,5950 on binde 3'e kadar doğru olduğu bilinen; o zaman demek A = 3 . Antilogaritmalar tablosundan bulunan bu logaritmaya karşılık gelen sayı, 39,36 . Soldan 3. rakamdan sonra virgülü hareket ettirerek sayıyı elde ederiz 393,6 arasında oluşan 393 Ve 394 . Logaritma tablolarından bu iki sayıya karşılık gelen mantisler arasındaki farkın şu şekilde olduğunu görüyoruz: 11 on binde biri; Araç D = 11 . 393.6 sayısının hatası daha az olacak
Bu, numaradaki hatanın olduğu anlamına gelir. 39,36 daha az olacak 0,05 .
285. Negatif özelliklere sahip logaritma işlemleri. Logaritmaların toplanması ve çıkarılması aşağıdaki örneklerden de görülebileceği gibi herhangi bir zorluk yaratmaz:
Logaritmayı pozitif bir sayıyla çarpmanın da hiçbir zorluğu yoktur, örneğin:
Son örnekte pozitif mantis ayrı ayrı 34 ile çarpılır, ardından negatif karakteristik 34 ile çarpılır.
Negatif bir karakteristiğin ve pozitif bir mantisin logaritması negatif bir sayı ile çarpılırsa, o zaman iki şekilde ilerleyin: ya verilen logaritma önce negatife çevrilir ya da mantis ve karakteristik ayrı ayrı çarpılır ve sonuçlar birleştirilir; örneğin :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Bölme sırasında iki durum ortaya çıkabilir: 1) olumsuz özellik bölünmüştür ve 2) bölene bölünemez. İlk durumda karakteristik ve mantis ayrı ayrı ayrılır:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
İkinci durumda, karakteristiğe o kadar çok negatif birim eklenir ki, ortaya çıkan sayı bölene bölünür; mantis'e aynı sayıda pozitif birim eklenir:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Bu dönüşümün zihinde yapılması gerekir, dolayısıyla eylem şu şekilde gerçekleşir:
286. Çıkarılan logaritmaların terimlerle değiştirilmesi. Logaritma kullanarak bazı karmaşık ifadeleri hesaplarken, bazı logaritmaları toplamanız ve bazılarını çıkarmanız gerekir; bu durumda, olağan eylem gerçekleştirme yönteminde, eklenen logaritmaların toplamını, ardından çıkarılanların toplamını ayrı ayrı bulurlar ve ikinciyi ilk toplamdan çıkarırlar. Örneğin, eğer elimizde:
kayıt X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
o zaman eylemlerin olağan yürütülmesi şu şekilde görünecektir:
Ancak çıkarma işleminin yerine toplama işlemi yapılması da mümkündür. Bu yüzden:
Artık hesaplamayı şu şekilde düzenleyebilirsiniz:
287. Hesaplama örnekleri.
örnek 1. İfadeyi değerlendirin:
Eğer A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Ve D = 7.246.
Bu ifadenin logaritmasını alalım:
kayıt X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Şimdi gereksiz zaman kaybını önlemek ve hata olasılığını azaltmak için öncelikle tüm hesaplamaları şimdilik yürütmeden ve dolayısıyla tablolara başvurmadan düzenleyeceğiz:
Bundan sonra tabloları alıp kalan boş alanlara logaritma koyuyoruz:
Hata sınırı.Öncelikle sayının hata sınırını bulalım X 1 = 194,5 , eşittir:
Yani, her şeyden önce bulmanız gerekiyor A , yani yaklaşık logaritmanın on binde biri olarak ifade edilen hata sınırı. Diyelim ki bu sayılar A, B, C Ve D hepsi doğrudur. O zaman bireysel logaritmalardaki hatalar aşağıdaki gibi olacaktır (on binde bir):
V logA.......... 1 / 2
V 1/3 günlük A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 eklendi çünkü 1,9146'nın 3 logaritmasına bölerken bölümün 5. basamağını atarak bölümü yuvarladık ve bu nedenle daha da küçük bir hata yaptık 1 / 2 on binde bir).
Şimdi logaritmanın hata limitini buluyoruz:
A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (on binde biri).
Daha da tanımlayalım D . Çünkü X 1 = 194,5 , ardından aralarında yer alan ardışık 2 tam sayı X 1 irade 194 Ve 195 . Tablo farkı D bu sayılara karşılık gelen mantisler arasında eşittir 22 . Bu, sayının hata sınırının olduğu anlamına gelir X 1 Orada:
Çünkü X = X 1 : 10, sayıdaki hata sınırı X eşittir 0,3:10 = 0,03 . Böylece bulduğumuz sayı 19,45 kesin sayıdan daha az farklılık gösterir 0,03 . Yaklaşımımızın eksiklikle mi yoksa fazlalıkla mı bulunduğunu bilmediğimiz için yalnızca şunu garanti edebiliriz:
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , yani
19,48 > X > 19,42 ,
ve bu nedenle eğer kabul edersek X =19,4 o zaman 0,1'e kadar doğrulukla dezavantajlı bir yaklaşıma sahip olacağız.
Örnek 2. Hesaplamak:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Negatif sayıların logaritması olmadığından ilk önce şunu buluruz:
X" = (2,31) 3 5 √72
ayrışma yoluyla:
kayıt X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.
Hesaplamadan sonra ortaya çıkıyor:
X" = 28,99 ;
buradan,
X = - 28,99 .
Örnek 3. Hesaplamak:
Kökün işareti c u m m a olduğundan sürekli logaritma burada kullanılamaz. Bu gibi durumlarda formülü kısımlara göre hesaplayın.
İlk önce buluyoruz N = 5 √8 , Daha sonra N 1 = 4 √3 ; sonra basit bir toplama işlemiyle belirleriz N+ N 1 ve sonunda hesaplıyoruz 3 √N+ N 1 ; ortaya çıkıyor:
N=1.514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .
kayıt X= log3 √ 2,830 = 1 / 3 günlük 2.830 = 0,1506 ;
X = 1,415 .
Bölüm dört.
Üstel ve logaritmik denklemler.
288. Üstel denklemler, bilinmeyenin üstelin içine dahil edildiği denklemlerdir ve logaritmik- bilinmeyenin işaretin altına girdiği yerler kayıt. Bu tür denklemler yalnızca özel durumlarda çözülebilir ve logaritmanın özelliklerine ve sayılar eşitse logaritmalarının da eşit olması ve tam tersine, logaritmalar eşitse karşılık gelenlerin eşit olması ilkesine güvenmek gerekir. sayılar eşittir.
Örnek 1. Denklemi çözün: 2 X = 1024 .
Denklemin her iki tarafının logaritmasını alalım:
Örnek 2. Denklemi çözün: A 2 kere - A X = 1 . Koyarak A X = en ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:
sen 2 - en - 1 = 0 ,
Çünkü 1-√5 < 0 ise son denklem imkansızdır (fonksiyon A X her zaman pozitif bir sayı vardır) ve ilki şunu verir:
Örnek 3. Denklemi çözün:
kayıt( a + x) + günlük ( b + x) = günlük ( c + x) .
Denklem şu şekilde yazılabilir:
kayıt [( a + x) (b + x)] = günlük ( c + x) .
Logaritmanın eşitliğinden sayıların eşit olduğu sonucunu çıkarıyoruz:
(a + x) (b + x) = c + x .
Bu, çözümü zor olmayan ikinci dereceden bir denklemdir.
Beşinci Bölüm.
Bileşik faiz, vadeli ödemeler ve vadeli ödemeler.
289. Bileşik faizle ilgili temel problem. Sermaye ne kadara dönüşecek? A büyümede verilen ruble R sonra bileşik faiz T yıllar ( T - tamsayı)?
"Faiz faizi" denilen şey dikkate alınırsa, yani sermayeye ödenmesi gereken faiz parası, her yılın sonunda sermayeye ilave edilerek artırılırsa, sermayenin bileşik faizle ödendiğini söylüyorlar. sonraki yıllarda da ilgiyle karşılanacaktır.
Verilen her sermaye rublesi R %, bir yıl içinde kar getirecek P / 100 ruble ve dolayısıyla 1 yıldaki her sermaye rublesi dönüşecek 1 + P / 100 ruble (örneğin, eğer sermaye şu şekilde verilirse: 5 %, o zaman bir yıl içindeki her ruble şuna dönüşecek: 1 + 5 / 100 , yani içinde 1,05 ruble).
Kısalık açısından kesri belirtmek için P / 100 örneğin bir harfle, R Bir yılda sermayenin her rublesinin paraya dönüşeceğini söyleyebiliriz. 1 + R ruble; buradan, A Rubleler 1 yıl içinde iade edilecek A (1 + R ) ovalayın. Bir yıl sonra, yani büyümenin başlangıcından 2 yıl sonra, bunların her rublesi A (1 + R ) ovalayın. tekrar iletişime geçeceğim 1 + R ovmak.; Bu, tüm sermayenin dönüşeceği anlamına gelir A (1 + R ) 2 ovmak. Aynı şekilde üç yıl sonra sermayenin olacağını da görüyoruz. A (1 + R ) 3 dört yıl içinde olacak A (1 + R ) 4 ,... genellikle aracılığıyla T yıllar eğer T bir tam sayıdır, şuna dönüşecektir: A (1 + R ) T ovmak. Böylece, ile belirtmek A Nihai sermaye için aşağıdaki bileşik faiz formülüne sahip olacağız:
A = A (1 + R ) T Nerede R = P / 100 .
Örnek.İzin vermek A =2.300 ovmak, P = 4, T=20 yıllar; o zaman formül şunu verir:
R = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.
Hesaplamak A, logaritma kullanıyoruz:
kayıt A = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.
bir = 5031 ruble.
Yorum. Bu örnekte yapmamız gerekiyordu günlük 1.04 ile çarpmak 20 . Sayıdan beri 0,0170 yaklaşık bir değer var günlük 1.04 kadar 1 / 2 on binde bir kısmı ise bu sayının çarpımı 20 kesinlikle sadece şu ana kadar olacak 1 / 2 20, yani 10'a kadar on binde = binde 1. Bu nedenle toplamda 3,7017 Sadece on binde birlik sayıya değil, aynı zamanda binde birlik sayıya da kefil olamayız. Bu gibi durumlarda daha fazla doğruluk elde etmek için sayının daha iyi olması gerekir. 1 + R Örneğin 4 basamaklı değil, çok sayıda basamaklı logaritmaları alın. 7 haneli. Bu amaçla burada en yaygın değerler için 7 basamaklı logaritmaların yazıldığı küçük bir tablo sunuyoruz. R .
290. Asıl görev acil ödemelerdir. Birisi aldı A başına ruble R Borcunu faiziyle birlikte geri ödemek şartıyla yüzde T yıl sonunda aynı tutarı öder. Bu miktar ne kadar olmalıdır?
Toplam X Bu koşullar altında yıllık olarak ödenen tutara acil ödeme denir. Yine harfle belirtelim R 1 ruble'den yıllık faiz parası, yani. P / 100 . Daha sonra ilk yılın sonunda borç A artar A (1 + R ), temel ödeme X ruble olacak A (1 + R )-X .
İkinci yılın sonunda bu miktarın her rublesi yeniden paraya dönüşecek. 1 + R ruble ve bu nedenle borç [ A (1 + R )-X ](1 + R ) = A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) ve ödeme için X ruble şöyle olacak: A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X . Aynı şekilde 3. yılın sonunda da borcun ödenmesini sağlayacağız.
A (1 + R ) 3 - X (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X ,
ve genel olarak ve son T yıl şöyle olacak:
A (1 + R ) T - X (1 + R ) t-1 - X (1 + R ) t-2 ... - X (1 + R ) - X , veya
A (1 + R ) T - X [ 1 + (1 + R ) + (1 + R ) 2 + ...+ (1 + R ) t-2 + (1 + R ) t-1 ]
Parantez içindeki polinom, geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını temsil eder; ilk üyeye sahip olan 1 , son ( 1 + R ) t-1 ve payda ( 1 + R ). Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü kullanarak (Bölüm 10, Bölüm 3, § 249) şunları buluruz:
ve sonrasında borç miktarı T -inci ödeme şu şekilde olacaktır:
Sorunun şartlarına göre borç bitmiştir T -yıl şuna eşit olmalıdır: 0 ; Bu yüzden:
Neresi
Bunu hesaplarken acil ödeme formülleri logaritma kullanarak önce yardımcı sayıyı bulmalıyız N = (1 + R ) T logaritmayla: günlük N= T günlük(1+ R) ; bulduktan sonra N, bundan 1 çıkarın, ardından formülün paydasını elde ederiz X, bundan sonra ikincil logaritmayla şunu buluruz:
kayıt X= günlük A+ log N + log r - log (N - 1).
291. Dönem katkılarının ana görevi. Birisi her yılın başında aynı tutarı bankaya yatırıyor. A ovmak. Daha sonra bu katkılardan hangi sermayenin oluşacağını belirleyin. T bankanın ödemesi halinde yıllar R bileşik faiz.
Tarafından belirlenmiş R 1 ruble'den yıllık faiz parası, yani. P / 100 , biz şöyle mantık yürütüyoruz: ilk yılın sonunda sermaye A (1 + R );
2. yılın başında bu miktara ilave edilecektir. A ruble; bu, şu anda sermayenin olacağı anlamına gelir A (1 + R ) + A . 2. yılın sonunda olacak A (1 + R ) 2 + bir (1 + R );
3. yılın başında tekrar girilir A ruble; bu, şu anda sermaye olacağı anlamına gelir A (1 + R ) 2 + bir (1 + R ) + A ; 3. ayın sonunda olacak A (1 + R ) 3 + bir (1 + R ) 2 + bir (1 + R ) Bu argümanlara daha da devam edersek, sonunda şunu buluyoruz: T yıl gerekli sermaye A irade:
Bu, her yılın başında yapılan dönem katkılarının formülüdür.
Aynı formül aşağıdaki mantıkla elde edilebilir: peşinat A bankadayken ruble T Bileşik faiz formülüne göre yıllara dönüşecek A (1 + R ) T ovmak. İkinci taksit, bankada bir yıl daha az kalmak, yani. T - 1 yaşındayım, iletişim A (1 + R ) t-1 ovmak. Aynı şekilde üçüncü taksit de verilecek A (1 + R ) t-2 vb. ve son olarak bankada sadece 1 yıldır bekleyen son taksit, A (1 + R ) ovalayın. Bu nihai sermaye anlamına gelir A ovmak. irade:
A= A (1 + R ) T + A (1 + R ) t-1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ),
bu, basitleştirmeden sonra yukarıda bulunan formülü verir.
Bu formülün logaritmasını kullanarak hesaplama yaparken, acil ödemeler için formülü hesaplarken olduğu gibi ilerlemelisiniz, yani önce N = ( sayısını bulmalısınız. 1 + R ) T logaritmasına göre: günlük N= T kayıt(1 + R ), ardından sayı N-1 ve sonra formülün logaritmasını alın:
günlük A = günlük A+günlük(1+ R) + log (N - 1) - 1оgR
Yorum. Acil bir katkı varsa A ovmak. her yılın başında değil sonunda yapıldı (örneğin acil bir ödeme yapılması gibi) X borcunu ödemek için), o zaman bir öncekine benzer şekilde mantık yürüterek, sonunda şunu buluyoruz: T yıl gerekli sermaye A" ovmak. olacak (son taksit dahil) A ovmak, faiz getirmiyor):
A"= A (1 + R ) t-1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ) + A
bu şuna eşittir:
yani A" biter ( 1 + R ) kat daha az A Bu beklenen bir şeydi, çünkü sermayenin her rublesi A" karşılık gelen sermaye rublesinden daha az bir yıl boyunca bankada yatıyor A.
Logaritmik ifadeler, çözüm örnekleri. Bu yazıda logaritma çözümüyle ilgili problemlere bakacağız. Görevler bir ifadenin anlamını bulma sorusunu sorar. Logaritma kavramının birçok görevde kullanıldığını ve anlamını anlamanın son derece önemli olduğunu belirtmek gerekir. Birleşik Devlet Sınavına gelince, logaritma denklemleri çözerken, uygulamalı problemlerde ve ayrıca fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevlerde kullanılır.
Logaritmanın anlamını anlamak için örnekler verelim:
Temel logaritmik kimlik:
Logaritmanın her zaman hatırlanması gereken özellikleri:
*Çarpımın logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir.
* * *
*Bir bölümün (kesir) logaritması, faktörlerin logaritmaları arasındaki farka eşittir.
* * *
*Bir kuvvetin logaritması üssün logaritması ile üssünün çarpımına eşittir.
* * *
*Yeni bir temele geçiş
* * *
Daha fazla özellik:
* * *
Logaritmanın hesaplanması üslü sayıların özelliklerinin kullanımıyla yakından ilgilidir.
Bunlardan bazılarını listeleyelim:
Bu özelliğin özü, pay paydaya aktarıldığında ve tam tersi durumda üssün işaretinin tersine değişmesidir. Örneğin:
Bu özellikten bir sonuç:
* * *
Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken taban aynı kalır ancak üsler çarpılır.
* * *
Gördüğünüz gibi logaritma kavramının kendisi basittir. Önemli olan, size belirli bir beceri kazandıran iyi uygulamaya ihtiyacınız olmasıdır. Elbette formül bilgisi gereklidir. Temel logaritmaları dönüştürme becerisi geliştirilmediyse, basit görevleri çözerken kolayca hata yapabilirsiniz.
Pratik yapın, önce matematik dersindeki en basit örnekleri çözün, ardından daha karmaşık olanlara geçin. Gelecekte logaritmaların nasıl çözüldüğünü kesinlikle göstereceğim; Birleşik Devlet Sınavında görünmeyecekler ama ilgi çekiciler, kaçırmayın!
Bu kadar! Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.
Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir - onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması
Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: log A X ve kayıt A sen. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:
- kayıt A X+ günlük A sen= günlük A (X · sen);
- kayıt A X- günlük A sen= günlük A (X : sen).
Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!
Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (bkz. ders " Logaritma nedir"). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:
Günlük 6 4 + günlük 6 9.
Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Görev. İfadenin değerini bulun: log 2 48 – log 2 3.
Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Görev. İfadenin değerini bulun: log 3 135 – log 3 5.
Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.
Üslü logaritmadan çıkarma
Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:
Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.
Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulduğu takdirde tüm bu kurallar anlamlıdır: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde de uygulamayı öğrenin; Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.
Görev. İfadenin değerini bulun: log 7 49 6 .
İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12
Görev. İfadenin anlamını bulun:
[Resmin başlığı]
Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Sahibiz:
[Resmin başlığı] Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.
Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.
Yeni bir temele geçiş
Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Peki ya bunlar aynı sayının tam kuvvetleri değilse?
Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:
Logaritma günlüğü verilsin A X. Daha sonra herhangi bir sayı için Cöyle ki C> 0 ve C≠ 1, eşitlik doğrudur:
[Resmin başlığı]
Özellikle şunu koyarsak C = X, şunu elde ederiz:
[Resmin başlığı]
İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.
Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.
Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:
Görev. İfadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.
Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2 günlük 2 5;
Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:
[Resmin başlığı]Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.
Görev. İfadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.
Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:
[Resmin başlığı]Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:
[Resmin başlığı]Temel logaritmik kimlik
Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:
İlk durumda, sayı N argümandaki duruş derecesinin bir göstergesi haline gelir. Sayı N kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.
İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna denir: temel logaritmik özdeşlik.
Aslında sayı gelse ne olur? Böyle bir güce yükseltin ki sayı B bu güce sayıyı verir A? Bu doğru: aynı numarayı alıyorsunuz A. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.
Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.
Görev. İfadenin anlamını bulun:
[Resmin başlığı]
Log 25 64 = log 5 8'in basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:
[Resmin başlığı]Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)
Logaritmik birim ve logaritmik sıfır
Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli problemlerle karşı karşıya kalırlar ve şaşırtıcı bir şekilde “ileri düzey” öğrenciler için bile problem yaratırlar.
- kayıt A A= 1 logaritmik bir birimdir. Bir kez ve tamamen hatırlayın: herhangi bir tabana göre logaritma A bu tabandan itibaren bire eşittir.
- kayıt A 1 = 0 logaritmik sıfırdır. Temel A Herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir tane içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü A 0 = 1 tanımın doğrudan bir sonucudur.
Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.