Cebirsel kesirler nasıl çözülür? Teori ve pratik.

Bu makale kesirlerle ilgili işlemleri incelemektedir. A ve B'nin sayılar, sayısal ifadeler veya değişkenli ifadeler olabildiği A B formundaki kesirlerin toplama, çıkarma, çarpma, bölme veya üs alma kuralları oluşturulacak ve gerekçelendirilecektir. Sonuç olarak, ayrıntılı açıklamaları olan çözüm örnekleri ele alınacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Genel sayısal kesirlerle işlem yapma kuralları

Genel kesirlerin doğal sayıları veya sayısal ifadeleri içeren bir payı ve paydası vardır. 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π gibi kesirleri dikkate alırsak, 2 0, 5 ln 3, o zaman pay ve paydanın yalnızca sayılara değil, aynı zamanda çeşitli türlerde ifadelere de sahip olabileceği açıktır.

Tanım 1

Sıradan kesirlerle işlemlerin gerçekleştirildiği kurallar vardır. Aynı zamanda genel kesirler için de uygundur:

• Paydaları benzer olan kesirleri çıkarırken yalnızca paylar eklenir ve payda aynı kalır, yani: a d ± c d = a ± c d, a, c ve d ≠ 0 değerleri bazı sayılar veya sayısal ifadelerdir.
• Farklı paydalara sahip bir kesir eklerken veya çıkarırken, onu ortak bir paydaya indirgemek ve ardından aynı üslerle elde edilen kesirleri eklemek veya çıkarmak gerekir. Kelimenin tam anlamıyla şöyle görünür: a b ± c d = a · p ± c · r s, burada a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 değerleri gerçek sayılardır, ve b · p = d · r = s. p = d ve r = b olduğunda a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Kesirleri çarparken işlem paylarla gerçekleştirilir, ardından paydalarla a b · c d = a · c b · d elde ederiz, burada a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 gerçek sayılar gibi davranır.
• Bir kesri bir kesire bölerken, birinciyi ikincinin tersiyle çarparız, yani pay ve paydayı değiştiririz: a b: c d = a b · d c.

Kuralların mantığı

Tanım 2

Hesaplarken güvenmeniz gereken aşağıdaki matematiksel noktalar vardır:

• eğik çizgi bölme işareti anlamına gelir;
• bir sayıya bölme, onun karşılıklı değeriyle çarpma işlemi olarak kabul edilir;
• Gerçek sayılarla işlem özelliğinin uygulanması;
• Kesirlerin ve sayısal eşitsizliklerin temel özelliklerinin uygulanması.

Onların yardımıyla formda dönüşümler gerçekleştirebilirsiniz:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Örnekler

Önceki paragrafta kesirli işlemlerden bahsedilmişti. Bundan sonra kesirin basitleştirilmesi gerekiyor. Bu konu kesirlerin dönüştürülmesi ile ilgili paragrafta ayrıntılı olarak tartışılmıştır.

Öncelikle paydası aynı olan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemine bir örnek verelim.

örnek 1

8 2, 7 ve 1 2, 7 kesirleri göz önüne alındığında, kurala göre payı eklemek ve paydayı yeniden yazmak gerekir.

Çözüm

Sonra 8 + 1 2, 7 formunun bir kesirini elde ederiz. Toplama işlemini yaptıktan sonra 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 formunun bir kesirini elde ederiz. Yani, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Cevap: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Başka bir çözüm daha var. Öncelikle sıradan kesir formuna geçiyoruz, ardından sadeleştirme yapıyoruz. Şuna benziyor:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Örnek 2

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1'den 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 formunun bir kısmını çıkaralım.

Eşit paydalar verildiğine göre, aynı paydaya sahip bir kesir hesaplıyoruz demektir. bunu anladık

1 - 2 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1 - 2 3 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1

Farklı paydalara sahip kesirlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler vardır. Önemli bir nokta ortak bir paydaya indirgemektir. Bu olmadan kesirlerle daha fazla işlem yapamayız.

Süreç belli belirsiz de olsa ortak bir paydaya indirgemeyi anımsatıyor. Yani paydanın en küçük ortak böleni aranır ve ardından eksik olan faktörler kesirlere eklenir.

Eklenen kesirlerin ortak çarpanları yoksa çarpımları bir olabilir.

Örnek 3

2 3 5 + 1 ve 1 2 kesirlerini toplama örneğine bakalım.

Çözüm

Bu durumda ortak payda, paydaların çarpımıdır. O zaman 2 · 3 5 + 1'i elde ederiz. Daha sonra, ek faktörleri ayarlarken, ilk kesir için 2'ye, ikincisi için ise 3 5 + 1'e eşit oluruz. Çarpma işleminden sonra kesirler 4 2 · 3 5 + 1 formuna indirgenir. 1 2'nin genel indirgenmesi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 olacaktır. Ortaya çıkan kesirli ifadeleri topluyoruz ve bunu elde ediyoruz

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Cevap: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Genel kesirlerle uğraşırken genellikle en küçük ortak paydadan bahsetmeyiz. Payların çarpımını payda olarak almak kârsızdır. Öncelikle ürününden değer olarak daha düşük bir rakam olup olmadığını kontrol etmeniz gerekiyor.

Örnek 4

Çarpımları 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5'e eşit olan 1 6 · 2 1 5 ve 1 4 · 2 3 5 örneğini ele alalım. Daha sonra ortak payda olarak 12 · 2 3 5'i alıyoruz.

Genel kesirlerle çarpma örneklerine bakalım.

Örnek 5

Bunu yapmak için 2 + 1 6 ile 2 · 5 3 · 2 + 1'i çarpmanız gerekir.

Çözüm

Kurala uyarak payların çarpımını payda olarak yeniden yazıp yazmak gerekir. Bunu 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 olarak elde ederiz. Bir kesir çarpıldıktan sonra basitleştirmek için azaltmalar yapabilirsiniz. O halde 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Karşılıklı kesirle bölmeden çarpmaya geçiş kuralını kullanarak, verilen kesrin tersi olan bir kesir elde ederiz. Bunu yapmak için pay ve payda değiştirilir. Bir örneğe bakalım:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Daha sonra ortaya çıkan kesri çarpmalı ve basitleştirmelidirler. Gerekirse paydadaki irrasyonellikten kurtulun. Bunu anlıyoruz

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Cevap: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Bu paragraf, bir sayı veya sayısal ifadenin paydası 1'e eşit olan bir kesir olarak gösterilebildiği durumlarda geçerlidir; bu durumda bu kesirle yapılan işlem ayrı bir paragraf olarak kabul edilir. Örneğin, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ifadesi, 3'ün kökünün başka bir 3 1 ifadesi ile değiştirilebileceğini gösterir. O zaman bu giriş 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 formunun iki kesirini çarpmak gibi görünecektir.

Değişken İçeren Kesirler Üzerinde İşlem Yapmak

İlk makalede tartışılan kurallar, değişken içeren kesirlerle yapılan işlemlere uygulanabilir. Paydalar aynı olduğunda çıkarma kuralını düşünün.

A, C ve D'nin (D sıfıra eşit değildir) herhangi bir ifade olabileceğini ve AD ± C D = A ± C D eşitliğinin izin verilen değer aralığına eşdeğer olduğunu kanıtlamak gerekir.

Bir dizi ODZ değişkeninin alınması gereklidir. O zaman A, C, D karşılık gelen değerleri a 0, c 0 ve almalıdır. gün 0. A D ± C D formunun değiştirilmesi a 0 d 0 ± c 0 d 0 biçiminde bir farkla sonuçlanır; burada toplama kuralını kullanarak a 0 ± c 0 d 0 biçiminde bir formül elde ederiz. A ± C D ifadesini değiştirirsek, a 0 ± c 0 d 0 formunun aynı kesirini elde ederiz. Buradan ODZ'yi karşılayan seçilen değerin, A ± C D ve AD ± C D'nin eşit kabul edildiği sonucuna varıyoruz.

Değişkenlerin herhangi bir değeri için bu ifadeler eşit olacaktır, yani bunlara aynı derecede eşit denir. Bu, bu ifadenin AD ± C D = A ± C D biçiminde kanıtlanabilir bir eşitlik olarak kabul edildiği anlamına gelir.

Değişkenlerle kesirleri toplama ve çıkarma örnekleri

Paydalar aynı olduğunda payları eklemeniz veya çıkarmanız yeterlidir. Bu kesir basitleştirilebilir. Bazen aynı derecede eşit olan kesirlerle çalışmanız gerekir, ancak bazı dönüşümlerin yapılması gerektiğinden ilk bakışta bu fark edilmez. Örneğin, x 2 3 x 1 3 + 1 ve x 1 3 + 1 2 veya 1 2 sin 2 α ve sin a cos a. Çoğu zaman, aynı paydaları görebilmek için orijinal ifadenin basitleştirilmesi gerekir.

Örnek 6

Hesaplayın: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Çözüm

1. Hesaplamayı yapmak için paydası aynı olan kesirleri çıkarmanız gerekir. O zaman x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 sonucunu elde ederiz. Bundan sonra parantezleri genişletebilir ve benzer terimler ekleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Paydalar aynı olduğundan geriye kalan tek şey paydayı bırakarak payları eklemektir: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Ekleme tamamlandı. Fraksiyonu azaltmanın mümkün olduğu görülebilir. Payı, toplamın karesi formülü kullanılarak katlanabilir, sonra (l g x + 2) 2 elde ederiz. kısaltılmış çarpma formüllerinden. O zaman bunu anlıyoruz
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Farklı paydalarla x - 1 x - 1 + x x + 1 formunun kesirleri verilmiştir. Dönüşümün ardından ekleme işlemine geçebilirsiniz.

İki yönlü bir çözüm düşünelim.

İlk yöntem, ilk kesrin paydasının kareler kullanılarak çarpanlara ayrılması ve ardından azaltılmasıdır. Formun bir kısmını alıyoruz

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Yani x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

Bu durumda paydadaki irrasyonellikten kurtulmak gerekir.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

İkinci yöntem ise ikinci kesrin pay ve paydasını x - 1 ifadesiyle çarpmaktır. Böylece irrasyonellikten kurtulup aynı paydaya sahip kesirleri toplama işlemine geçiyoruz. Daha sonra

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Cevap: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Son örnekte ortak bir paydaya indirgenmenin kaçınılmaz olduğunu gördük. Bunu yapmak için kesirleri basitleştirmeniz gerekir. Toplama veya çıkarma yaparken, her zaman ortak bir payda aramanız gerekir; bu, paydaların çarpımına benzeyen, paylara ek faktörler eklenen ek faktörlerdir.

Örnek 7

Kesirlerin değerlerini hesaplayın: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 çünkü x x + x

Çözüm

1. Payda herhangi bir karmaşık hesaplama gerektirmez, dolayısıyla bunların çarpımını 3 x 7 + 2 · 2 biçiminde seçmeniz, ardından ek faktör olarak ilk kesir için x 7 + 2 · 2'yi ve ikinci kesir için 3'ü seçmeniz gerekir. Çarpma sırasında, x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 formunun bir kesirini elde ederiz. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Paydaların bir çarpım şeklinde sunulduğu görülebilir, bu da ek dönüşümlere gerek olmadığı anlamına gelir. Ortak paydanın x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 biçiminde bir çarpım olduğu kabul edilecektir. Dolayısıyla x 4 birinci kesire ek bir faktördür ve ln(x + 1) ikinciye. Sonra çıkarırız ve şunu elde ederiz:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2x-4)
3. Bu örnek kesir paydalarıyla çalışırken anlamlıdır. Kareler farkı ve toplamın karesi için formüllerin uygulanması gerekir, çünkü bunlar 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) formundaki bir ifadeye geçmeyi mümkün kılacaktır. 2. Kesirlerin ortak bir paydaya indirgendiği görülebilir. Bunu elde ederiz çünkü cos x - x · cos x + x 2 .

O zaman bunu anlıyoruz

1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 çünkü x x + x = = 1 çünkü x - x çünkü x + x + 1 çünkü x + x 2 = = çünkü x + x çünkü x - x çünkü x + x 2 + çünkü x - x çünkü x - x çünkü x + x 2 = = çünkü x + x + çünkü x - x çünkü x - x çünkü x + x 2 = 2 çünkü x çünkü x - x çünkü x + x 2

Cevap:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 · çünkü x · x + x = 2 · çünkü x çünkü x - x · çünkü x + x 2 .

Kesirleri değişkenlerle çarpma örnekleri

Kesirlerle çarpılırken pay payla, payda ise paydayla çarpılır. Daha sonra azaltma özelliğini uygulayabilirsiniz.

Örnek 8

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 ve 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x kesirlerini çarpın.

Çözüm

Çarpma işleminin yapılması gerekiyor. bunu anladık

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 günah (2 x - x)

Hesaplamaların kolaylığı için 3 sayısı ilk sıraya taşınır ve kesri x 2 oranında azaltabilirsiniz, ardından formun bir ifadesini elde ederiz.

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Cevap: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · günah (2 · x - x) .

Bölüm

Kesirlerin bölünmesi çarpma işlemine benzer, çünkü ilk kesir ikinci kesirle çarpılır. Örneğin x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 kesirini alıp 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x'e bölersek, o zaman şu şekilde yazılabilir:

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , ardından x + 2 · x x formundaki bir çarpımla değiştirin 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Üs alma

Üslü genel kesirlerle işlemleri dikkate almaya devam edelim. Doğal üssü olan bir kuvvet varsa, bu durumda eylem eşit kesirlerin çarpımı olarak kabul edilir. Ancak derecelerin özelliklerine dayalı genel bir yaklaşımın kullanılması tavsiye edilir. C'nin tamamen sıfıra eşit olmadığı herhangi bir A ve C ifadesi ve ODZ üzerindeki herhangi bir gerçek r, A C r formundaki bir ifade için A C r = A r C r eşitliği geçerlidir. Sonuç, bir güce yükseltilmiş bir kesirdir. Örneğin şunları düşünün:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Kesirlerle işlem yapma prosedürü

Kesirlerle ilgili işlemler belirli kurallara göre yapılır. Uygulamada, bir ifadenin birden fazla kesir veya kesirli ifade içerebileceğini fark ederiz. O zaman tüm eylemleri kesin bir sırayla gerçekleştirmek gerekir: bir güce yükseltin, çarpın, bölün, ardından ekleyin ve çıkarın. Parantez varsa ilk işlem onlarda gerçekleştirilir.

Örnek 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x'i hesaplayın.

Çözüm

Paydamız aynı olduğu için 1 - x cos x ve 1 c o s x olur ama kurala göre çıkarma işlemi yapılamaz; önce parantez içindeki işlemler yapılır, sonra çarpma yapılır, sonra toplama yapılır. Sonra hesaplarken şunu elde ederiz

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

İfadeyi orijinal ifadeyle değiştirdiğimizde, 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x sonucunu elde ederiz. Kesirleri çarparken şunu elde ederiz: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Tüm değişiklikleri yaptıktan sonra 1 - x cos x - x + 1 cos x · x elde ederiz. Şimdi farklı paydalara sahip kesirlerle çalışmanız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

x · 1 - x çünkü x · x - x + 1 çünkü x · x = x · 1 - x - 1 + x çünkü x · x = = x - x - x - 1 çünkü x · x = - x + 1 çünkü x x

Cevap: 1 - x çünkü x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 çünkü x · x .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

) ve payda payda (çarpımın paydasını alıyoruz).

Kesirleri çarpma formülü:

Örneğin:

Pay ve paydaları çarpmaya başlamadan önce kesrin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir. Kesri azaltabilirseniz daha ileri hesaplamalar yapmanız daha kolay olacaktır.

Ortak bir kesri bir kesire bölmek.

Doğal sayılarla kesirleri bölme.

Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama durumunda olduğu gibi, tamsayıyı paydası bir olan kesire dönüştürüyoruz. Örneğin:

Karışık kesirlerin çarpılması.

Kesirleri çarpma kuralları (karışık):

• karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
• kesirlerin pay ve paydalarının çarpılması;
• fraksiyonu azaltın;
• Eğer uygunsuz bir kesir elde ederseniz, yanlış kesri karışık kesire dönüştürürüz.

Not! Karışık bir kesiri başka bir karışık kesirle çarpmak için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine dönüştürmeniz ve ardından sıradan kesirleri çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın ikinci yolu.

Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygun olabilir.

Not! Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Yukarıdaki örnekten, bir kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi durumunda bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.

Çok katlı kesirler.

Lisede üç katlı (veya daha fazla) kesirlere sıklıkla rastlanır. Örnek:

Böyle bir kesri normal şekline getirmek için 2 noktaya bölmeyi kullanın:

Not! Kesirlerde bölme işleminde bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanızın karışması kolaydır.

Not, Örneğin:

Birini herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesir olacaktır, yalnızca ters çevrilmiştir:

Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:

1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Zihinsel hesaplamalarda kaybolmaktansa taslağınıza fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.

2. Farklı kesir türlerine sahip görevlerde sıradan kesir türlerine gidin.

3. Tüm kesirleri azaltmak artık mümkün olmayana kadar azaltıyoruz.

4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme yöntemini kullanarak sıradan ifadelere dönüştürüyoruz.

5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.

Kesirli ifadeleri bir çocuğun anlaması zordur. Çoğu insan bu konuda zorluk yaşıyor. "Tam sayılarla kesirleri toplama" konusunu incelerken çocuk şaşkına döner ve sorunu çözmekte zorlanır. Birçok örnekte, bir eylemi gerçekleştirmeden önce bir dizi hesaplamanın yapılması gerekir. Örneğin, kesirleri dönüştürün veya uygun olmayan bir kesri uygun bir kesire dönüştürün.

Çocuğa bunu açıkça anlatalım. İkisi bütün olacak üç elmayı alıp üçüncüsünü 4 parçaya bölelim. Kesilmiş elmanın bir dilimini ayırın ve kalan üçünü iki tam meyvenin yanına yerleştirin. Bir tarafta elmanın ¼'ünü, diğer tarafta 2 ¾'ünü alıyoruz. Bunları birleştirirsek üç elma elde ederiz. 2 ¾ elmayı ¼ oranında azaltmaya çalışalım, yani bir dilim daha çıkaralım, 2 2/4 elma elde ederiz.

Tamsayı içeren kesirlerle işlemlere daha yakından bakalım:

Öncelikle ortak paydalı kesirli ifadeler için hesaplama kuralını hatırlayalım:

İlk bakışta her şey kolay ve basittir. Ancak bu yalnızca dönüştürme gerektirmeyen ifadeler için geçerlidir.

Paydaların farklı olduğu bir ifadenin değeri nasıl bulunur?

Bazı görevlerde paydaların farklı olduğu bir ifadenin anlamını bulmanız gerekir. Belirli bir duruma bakalım:
3 2/7+6 1/3

İki kesrin ortak paydasını bularak bu ifadenin değerini bulalım.

7 ve 3 sayıları için bu 21'dir. Tamsayı kısımları aynı bırakıp kesirli kısımları 21'e getiriyoruz, bunun için ilk kesri 3 ile ikinciyi 7 ile çarpıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
6/21+7/21, tüm parçaların dönüştürülemeyeceğini unutmayın. Sonuç olarak, aynı paydaya sahip iki kesir elde ediyoruz ve toplamlarını hesaplıyoruz:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Toplamanın sonucu zaten tamsayı kısmı olan uygunsuz bir kesir ise:
2 1/3+3 2/3
Bu durumda tamsayı kısımları ve kesirli kısımları toplarsak şunu elde ederiz:
5 3/3, bildiğiniz gibi 3/3 birdir, yani 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Toplamı bulmak gayet açık, hadi çıkarma işlemine bakalım:

Söylenenlerin hepsinden, karışık sayılarla yapılan işlemlere ilişkin kural şöyledir:

• Kesirli bir ifadeden tamsayı çıkarmanız gerekiyorsa, ikinci sayıyı kesir olarak göstermenize gerek yoktur; işlemi yalnızca tamsayı kısımlarında yapmanız yeterlidir.

İfadelerin anlamını kendimiz hesaplamaya çalışalım:

“m” harfinin altındaki örneğe daha yakından bakalım:

4 5/11-2 8/11, birinci kesrin payı ikinciden küçüktür. Bunu yapmak için ilk kesirden bir tamsayı ödünç alırız, şunu elde ederiz:
3 5/11+11/11=3 tam 16/11, ikinciyi birinci kesirden çıkarın:
3 16/11-2 8/11=1 tam 8/11

• Görevi tamamlarken dikkatli olun, tüm kısmı vurgulayarak uygunsuz kesirleri karışık kesirlere dönüştürmeyi unutmayın. Bunu yapmak için payın değerini paydanın değerine bölmeniz gerekir, sonra olan tüm parçanın yerini alır, geri kalan pay olacaktır, örneğin:

19/4=4 ¾, kontrol edelim: 4*4+3=19, payda 4 değişmeden kalıyor.

Özetle:

Kesirlerle ilgili bir göreve başlamadan önce bunun nasıl bir ifade olduğunu, çözümün doğru olabilmesi için kesir üzerinde ne gibi dönüşümler yapılması gerektiğini analiz etmek gerekir. Daha rasyonel bir çözüm arayın. Zor yola gitmeyin. Tüm eylemleri planlayın, önce taslak halinde çözün, ardından okul defterinize aktarın.

Kesirli ifadeleri çözerken karışıklığı önlemek için tutarlılık kuralına uymalısınız. Acele etmeden her şeye dikkatlice karar verin.

Kesirli örnekler matematiğin temel unsurlarından biridir. Kesirli denklemlerin birçok farklı türü vardır. Aşağıda bu tür örnekleri çözmek için ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

Kesirli örnekler nasıl çözülür - genel kurallar

Toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi her türden kesirli örnekleri çözmek için temel kuralları bilmeniz gerekir:

• Paydası aynı olan kesirli ifadeleri toplamak için (payda kesrin altındaki sayı, pay üstteki sayıdır), paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.
• Bir kesirden ikinci bir kesirli ifadeyi (aynı paydaya sahip) çıkarmak için, paylarını çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
• Paydaları farklı olan kesirleri toplamak veya çıkarmak için en küçük ortak paydayı bulmanız gerekir.
• Kesirli bir çarpım bulmak için pay ve paydaları çarpmanız ve mümkünse azaltmanız gerekir.
• Bir kesri bir kesre bölmek için, birinci kesri ikinci kesirin tersiyle çarpmanız gerekir.

Kesirlerle örnekler nasıl çözülür - pratik

Kural 1, örnek 1:

3/4 +1/4'ü hesaplayın.

Kural 1'e göre, eğer iki (veya daha fazla) kesir aynı paydaya sahipse, paylarını eklemeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: 3/4 + 1/4 = 4/4. Bir kesirin pay ve paydası aynı ise kesir 1'e eşit olacaktır.

Cevap: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Kural 2, örnek 1:

Hesapla: 3/4 – 1/4

2 numaralı kuralı kullanarak bu denklemi çözmek için 3'ten 1 çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir. 2/4'ünü elde ederiz. İki 2 ve 4 azaltılabileceği için azaltıp 1/2 elde ederiz.

Cevap: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Kural 3, Örnek 1

Hesapla: 3/4 + 1/6

Çözüm: 3. kuralı kullanarak en küçük ortak paydayı buluruz. En küçük ortak payda, örnekteki tüm kesirli ifadelerin paydalarına bölünebilen sayıdır. Böylece hem 4'e hem de 6'ya bölünebilecek minimum sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu sayı 12'dir. Payda olarak 12 yazıyoruz. 12'yi ilk kesrin paydasına bölüyoruz, 3 elde ediyoruz, 3 ile çarpıyoruz, yazıyoruz. Payda 3 *3 ve + işareti. 12'yi ikinci kesrin paydasına bölersek 2 elde ederiz, 2'yi 1 ile çarparız, paya 2*1 yazarız. Böylece paydası 12 ve payı 3*3+2*1=11 olan yeni bir kesir elde ederiz. 11/12.

Cevap: 11/12

Kural 3, Örnek 2:

3/4 – 1/6’yı hesaplayın. Bu örnek öncekine çok benzer. Aynı adımları yapıyoruz ancak payda + işareti yerine eksi işareti yazıyoruz. Şunu elde ederiz: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Cevap: 7/12

Kural 4, Örnek 1:

Hesapla: 3/4 * 1/4

Dördüncü kuralı kullanarak, birinci kesrin paydasını ikincinin paydasıyla, birinci kesrin payını da ikincinin payıyla çarpıyoruz. 3*1/4*4 = 3/16.

Cevap: 3/16

Kural 4, Örnek 2:

2/5 * 10/4'ü hesaplayın.

Bu kısım azaltılabilir. Bir çarpım olması durumunda, birinci kesrin payı ve ikincinin paydası ve ikinci kesrin payı ve birincinin paydası iptal edilir.

4'ten 2, 5'ten 10 sadeleşir. 1 * 2/2 = 1*1 = 1 elde ederiz.

Cevap: 2/5 * 10/4 = 1

Kural 5, Örnek 1:

Hesapla: 3/4: 5/6

5. kuralı kullanarak şunu elde ederiz: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Kesirleri önceki örneğin prensibine göre azaltıyoruz ve 9/10 elde ediyoruz.

Cevap: 9/10.

Kesirli örnekler nasıl çözülür - kesirli denklemler

Kesirli denklemler, paydanın bilinmeyen içerdiği örneklerdir. Böyle bir denklemi çözmek için belirli kuralları kullanmanız gerekir.

Bir örneğe bakalım:

15/3x+5 = 3 denklemini çözün

Sıfıra bölünemeyeceğini hatırlayalım. payda değeri sıfır olmamalıdır. Bu tür örnekleri çözerken bunun belirtilmesi gerekir. Bu amaçla bir OA (izin verilen değer aralığı) bulunmaktadır.

Yani 3x+5 ≠ 0.
Dolayısıyla: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

x = 5/3'te denklemin çözümü yoktur.

ODZ'yi belirledikten sonra bu denklemi çözmenin en iyi yolu kesirlerden kurtulmaktır. Bunu yapmak için öncelikle kesirli olmayan tüm değerleri kesir olarak sunarız, bu durumda 3 sayısı. Elde ederiz: 15/(3x+5) = 3/1. Kesirlerden kurtulmak için her birini en küçük ortak paydayla çarpmanız gerekir. Bu durumda (3x+5)*1 olacaktır. Sıralama:

1. 15/(3x+5)'i (3x+5)*1 = 15*(3x+5) ile çarpın.
2. Parantezleri açın: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Aynısını denklemin sağ tarafı için de yapıyoruz: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Sol ve sağ kenarları eşitleyin: 45x + 75 = 9x +15
5. X'leri sola, sayıları sağa hareket ettirin: 36x = – 50
6. X'i bulun: x = -50/36.
7. İndirgeriz: -50/36 = -25/18

Cevap: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Kesirlerle örnekler nasıl çözülür - kesirli eşitsizlikler

(3x-5)/(2-x)≥0 tipindeki kesirli eşitsizlikler sayı ekseni kullanılarak çözülür. Bu örneğe bakalım.

Sıralama:

• Pay ve paydayı sıfıra eşitliyoruz: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Ortaya çıkan değerleri üzerine yazarak bir sayı ekseni çiziyoruz.
• Değerin altına bir daire çizin. İki tür daire vardır: dolu ve boş. İçi dolu daire, verilen değerin çözüm aralığında olduğu anlamına gelir. Boş bir daire bu değerin çözüm aralığına dahil olmadığını gösterir.
• Payda sıfıra eşit olamayacağı için 2'nin altında boş bir daire olacaktır.

• İşaretleri belirlemek için denklemde ikiden büyük herhangi bir sayıyı yerine koyarız, örneğin 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. değer negatif yani ikiden sonra alanın üstüne eksi yazıyoruz. Daha sonra X'in yerine 5/3 ile 2 arasındaki herhangi bir değeri (örneğin 1) koyun. Değer yine negatiftir. Eksi yazıyoruz. Aynı işlemi 5/3'e kadar bulunan alan için de tekrarlıyoruz. 5/3'ten küçük herhangi bir sayıyı değiştiririz, örneğin 1. Yine eksi.

• İfadenin 0'dan büyük veya ona eşit olacağı x değerleriyle ilgilendiğimiz ve böyle bir değer olmadığından (her yerde eksiler vardır), bu eşitsizliğin çözümü yoktur, yani x = Ø (boş bir set).

Cevap: x = Ø

Kesir- bir birimin kesirlerinin tam sayısından oluşan ve şu şekilde temsil edilen bir sayı: a/b

Kesir payı (a)- Kesir çizgisinin üzerinde yer alan ve birimin bölündüğü hisse sayısını gösteren sayı.

Kesir paydası (b)- Kesir çizgisinin altında bulunan ve birimin kaç parçaya bölündüğünü gösteren sayı.

2. Kesirleri ortak paydaya indirgemek

3. Sıradan kesirler üzerinde aritmetik işlemler

3.1. Sıradan kesirlerin eklenmesi

3.2. Kesirleri çıkarma

3.3. Ortak Kesirlerin Çarpılması

3.4. Kesirleri bölme

4. Karşılıklı sayılar

5. Ondalık Sayılar

6. Ondalık sayılarda aritmetik işlemler

6.1. Ondalık Sayıları Ekleme

6.2. Ondalık Sayıları Çıkarma

6.3. Ondalık Sayıların Çarpılması

6.4. Ondalık bölme

#1. Bir kesrin temel özelliği

Bir kesrin payı ve paydası sıfıra eşit olmayan aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse, verilen kesre eşit bir kesir elde edilir.

3/7=3*3/7*3=9/21 yani 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - bir kesrin ana özelliği böyle görünür.

Yani orijinal kesrin pay ve paydasını aynı doğal sayıyla çarparak veya bölerek verilen kesre eşit bir kesir elde ederiz.

Eğer reklam=bc, sonra iki kesir a/b =c /d eşit kabul edilir.

Örneğin 3*15=5*9 yani 45=45 olduğundan 3/5 ile 9/15 kesirleri eşit olacaktır.

Bir kesirin azaltılması yeni kesrin orijinaline eşit olduğu ancak payı ve paydası daha küçük olan bir kesirin değiştirilmesi işlemidir.

Kesirlerin temel özelliklerine göre kesirleri azaltmak gelenekseldir.

Örneğin, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (pay ve payda 3 sayısına, 5'e ve 15'e bölünür).

İndirgenemez kesir formun bir kısmıdır 3/4 ​ ​ burada pay ve payda karşılıklı asal sayılardır. Bir kesri azaltmanın asıl amacı kesri indirgenemez hale getirmektir.

2. Kesirleri ortak paydaya indirgemek

İki kesri ortak bir paydaya getirmek için yapmanız gerekenler:

1) her kesrin paydasını asal faktörlere ayırın;

2) ilk kesrin payını ve paydasını eksik olanlarla çarpın

ikinci paydanın genişlemesinden kaynaklanan faktörler;

3) ikinci kesrin payını ve paydasını birinci açılımda eksik olan faktörlerle çarpın.

Örnekler: Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

Paydaları basit çarpanlara ayıralım: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Kesrin payını ve paydasını ikinci genişletmedeki eksik faktör 5 ile çarpın.

kesrin pay ve paydasını ilk açılımdan eksik olan 3 ve 2 çarpanlarına bölün.

= , 90 – kesirlerin ortak paydası.

3. Sıradan kesirler üzerinde aritmetik işlemler

3.1. Sıradan kesirlerin eklenmesi

a) Paydalar aynı ise, birinci kesrin payı ikinci kesrin payına eklenir ve payda aynı kalır. Örnekte görebileceğiniz gibi:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Farklı paydalar için kesirler önce ortak bir paydaya indirgenir ve daha sonra paylar kural a'ya göre toplanır:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Kesirleri çıkarma

a) Paydalar aynıysa, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı aynı bırakın:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Kesirlerin paydaları farklı ise önce kesirler ortak paydaya getirilir, sonra a) maddesindeki gibi işlemler tekrarlanır.

3.3. Ortak Kesirlerin Çarpılması

Kesirlerin çarpılması aşağıdaki kurala uyar:

a/b*c/d=a*c/b*d,

yani pay ve paydaları ayrı ayrı çarparlar.

Örneğin:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Kesirleri bölme

Kesirler şu şekilde bölünür:

a/b:c/d=a*d/b*c,

yani a/b kesri verilen kesirin ters kesri ile çarpılır, yani d/c ile çarpılır.

Örnek: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Karşılıklı sayılar

Eğer a*b=1, o zaman b sayısı karşılıklı sayı a numarası için

Örnek: 9 sayısı için karşılıklılık şöyledir: 1/9 ​ ​ , 9*1/9'dan beri = 1 , 5 sayısı için - ters sayı 1/5 ​ ​ , Çünkü 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Ondalık Sayılar

Ondalık paydası eşit olan uygun bir kesirdir 10, 1000, 10 000,…, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ N​ ​ .

Örneğin: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Aynı şekilde yanlış olanlar da paydayla yazılır. 10^n veya karışık sayılar.

Örneğin: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Paydası 10'un belirli bir üssü olan herhangi bir sıradan kesir, ondalık kesir olarak temsil edilir.

10 sayısının belirli bir kuvvetinin böleni olan bir değiştirici.

Örnek: 5, 100'ün böleni olduğundan kesirlidir 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Ondalık sayılarda aritmetik işlemler

6.1. Ondalık Sayıları Ekleme

İki ondalık kesir eklemek için bunları birbirinin altında aynı rakamlar ve virgülün altında virgül olacak şekilde düzenlemeniz ve ardından kesirleri sıradan sayılar gibi eklemeniz gerekir.

6.2. Ondalık Sayıları Çıkarma

Ekleme ile aynı şekilde gerçekleştirilir.

6.3. Ondalık Sayıların Çarpılması

Ondalık sayıları çarparken verilen sayıları virgüllere dikkat etmeden (doğal sayılar gibi) çarpmak yeterlidir ve ortaya çıkan cevapta her iki faktörde de virgülden sonraki rakam sayısı kadar rakamı sağdaki virgül ayırır. toplamda.

2,7'yi 1,3 ile çarpalım. Sahibiz 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Sağdaki iki rakamı virgülle ayırıyoruz (birinci ve ikinci rakamlarda virgülden sonra bir rakam bulunur; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Sonuç olarak elde ederiz 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ortaya çıkan sonuç, virgülle ayrılması gerekenden daha az rakam içeriyorsa, eksik sıfırlar öne yazılır, örneğin:

10, 100, 1000 ile çarpmak için ondalık noktayı 1, 2, 3 rakamını sağa kaydırmanız gerekir (gerekirse sağa belirli sayıda sıfır atanır).

Örneğin: 1,47\cdot 10.000 = 14.700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Ondalık bölme

Ondalık kesirin bir doğal sayıya bölünmesi, bir doğal sayının bir doğal sayıya bölünmesiyle aynı şekilde yapılır. Bölümdeki virgül, tam parçanın bölünmesi tamamlandıktan sonra konur.

Bölünmenin tam sayı kısmı bölenden küçükse cevap sıfır tam sayıdır, örneğin:

Bir ondalık sayıyı ondalık sayıya bölmeye bakalım. Diyelim ki 2,576'yı 1,12'ye bölmemiz gerekiyor. Öncelikle kesrin bölenini ve bölenini 100 ile çarpalım, yani bölen ve bölendeki virgülünü, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydıralım (bu örnekte, iki). O zaman 257.6 kesirini 112 doğal sayısına bölmeniz gerekir, yani sorun daha önce ele alınan duruma indirgenir:

Bir sayıyı diğerine bölerken son ondalık kesrin her zaman elde edilemediği görülür. Sonuç sonsuz bir ondalık kesirdir. Bu gibi durumlarda sıradan kesirlere geçiyoruz.

Örneğin, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .