Ortalamalar hakkında konuşmaya başladığımızda insanlar çoğunlukla okuldan nasıl mezun olduklarını ve bir eğitim kurumuna nasıl girdiklerini hatırlıyorlar. Daha sonra sertifikaya göre ortalama puan hesaplandı: tüm notlar (hem iyi hem de çok iyi değil) toplandı, elde edilen miktar sayılarına bölündü. Basit aritmetik ortalama olarak adlandırılan en basit ortalama türü bu şekilde hesaplanır. Uygulamada istatistiklerde çeşitli ortalama türleri kullanılır: aritmetik, harmonik, geometrik, ikinci dereceden, yapısal ortalamalar. Verilerin niteliğine ve çalışmanın amaçlarına bağlı olarak şu veya bu tür kullanılır.
Ortalama değer Bir dizi benzer olgunun genel karakteristiğinin, değişen özelliklerden birine göre verildiği en yaygın istatistiksel göstergedir. Birim nüfus başına bir özelliğin düzeyini gösterir. Ortalama değerlerin yardımıyla, çeşitli popülasyonlar değişen özelliklere göre karşılaştırılır ve toplumsal yaşam olgularının ve süreçlerinin gelişim kalıpları incelenir.
İstatistikte iki ortalama sınıfı kullanılır: güç (analitik) ve yapısal. İkincisi, varyasyon serisinin yapısını karakterize etmek için kullanılır ve Bölüm'de daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır. 8.
Güç ortalamaları grubu aritmetik, harmonik, geometrik ve ikinci dereceden ortalamaları içerir. Hesaplamalarına yönelik bireysel formüller, tüm güç ortalamaları için ortak bir forma indirgenebilir;
burada m, güç ortalamasının üssüdür: m = 1 için aritmetik ortalamanın hesaplanmasına yönelik formülü elde ederiz, m = 0 için - geometrik ortalama, m = -1 - harmonik ortalama, m = 2 için - ikinci dereceden ortalama ;
x i - seçenekler (özelliğin aldığı değerler);
f i - frekanslar.
İstatistiksel analizde güç ortalamalarının kullanılabileceği ana koşul, niceliksel değerlerinde keskin bir şekilde farklılık gösteren başlangıç verilerini içermemesi gereken popülasyonun homojenliğidir (literatürde bunlara anormal gözlemler denir).
Bu durumun önemini aşağıdaki örnekle gösterelim.
Örnek 6.1. Küçük bir işletme çalışanlarının ortalama maaşını hesaplayalım.
| Çalışanların ücretleri | HAYIR. | Çalışanların ücretleri | HAYIR. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
Ortalama ücreti hesaplamak için, işletmenin tüm çalışanlarına tahakkuk eden ücretleri toplamak (yani ücret fonunu bulmak) ve çalışan sayısına bölmek gerekir:
Şimdi toplamımıza sadece bir kişiyi (bu işletmenin yöneticisi) ekleyelim, ancak maaşı 50.000 ruble olsun. Bu durumda hesaplanan ortalama tamamen farklı olacaktır:
Gördüğümüz gibi 7.000 rubleyi vb. aşıyor. tek bir gözlem haricinde tüm nitelik değerlerinden daha büyüktür.
Bu tür durumların pratikte ortaya çıkmamasını ve ortalamanın anlamını kaybetmemesini sağlamak için (örnek 6.1'de artık olması gereken nüfusun genelleştirici bir özelliği rolünü oynamıyor), ortalama hesaplanırken anormal, keskin öne çıkan gözlemler analizin dışında bırakılmalı ve konular popülasyonu homojen hale getirmeli veya popülasyonu homojen gruplara ayırıp her grup için ortalama değerleri hesaplayıp genel ortalamayı değil grup ortalama değerlerini analiz etmelidir.
6.1. Aritmetik ortalama ve özellikleri
Aritmetik ortalama basit veya ağırlıklı bir değer olarak hesaplanır.
Tablo örneği 6.1'deki verilere göre ortalama maaşı hesaplarken, özelliğin tüm değerlerini topladık ve sayılarına böldük. Hesaplamalarımızın ilerlemesini basit aritmetik ortalama formülü şeklinde yazacağız.
nerede x i - seçenekler (karakteristiğin bireysel değerleri);
n, toplamdaki birim sayısıdır.
Örnek 6.2. Şimdi örnek 6.1'deki tablodaki verilerimizi gruplayalım, vb. İşçilerin ücret düzeyine göre dağılımının ayrık bir varyasyon serisini oluşturalım. Gruplandırma sonuçları tabloda sunulmaktadır.
Ortalama ücret düzeyini hesaplamak için kullanılan ifadeyi daha kompakt biçimde yazalım:
Örnek 6.2'de ağırlıklı aritmetik ortalama formülü uygulandı
burada f i, popülasyon birimlerinde x i y özelliğinin değerinin kaç katı oluştuğunu gösteren frekanslardır.
Aritmetik ağırlıklı ortalamanın aşağıda gösterildiği gibi bir tabloda hesaplanması uygundur (Tablo 6.3):
| Ayrık bir seride aritmetik ortalamanın hesaplanması | İlk veriler | |
| Tahmini gösterge | maaş, ovmak. | çalışan sayısı, kişi |
| ücret fonu, ovmak. | x ben | ben |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| x ben f ben | 20 | 132 080 |
Toplam
Çoğu zaman, gözlem sonuçları bir aralık dağılım serisi biçiminde sunulur (örnek 6.4'teki tabloya bakınız). Daha sonra ortalama hesaplanırken aralıkların orta noktaları x i olarak alınır. İlk ve son aralıklar açıksa (sınırlardan birine sahip değilse), o zaman koşullu olarak "kapalı" olurlar, bitişik aralığın değeri bu aralığın değeri olarak alınır, vb. birincisi ikincinin değerine göre, sonuncusu ise sondan bir öncekinin değerine göre kapatılır.
Örnek 6.3. Nüfus gruplarından birinin örnek araştırmasının sonuçlarına dayanarak, kişi başına düşen ortalama parasal gelir miktarını hesaplayacağız.
Yukarıdaki tabloda birinci aralığın ortası 500'dür. Nitekim ikinci aralığın değeri 1000'dir (2000-1000); o zaman ilkinin alt sınırı 0 (1000-1000), ortası ise 500. Son aralıkta da aynısını yapıyoruz. Ortası olarak 25.000'i alıyoruz: sondan bir önceki aralığın değeri 10.000 (20.000-10.000), ardından üst sınırı 30.000 (20.000 + 10.000) ve buna göre orta 25.000'dir.
| Bir aralık serisinde aritmetik ortalamanın hesaplanması | Kişi başına ortalama nakit geliri, ovmak. aylık | Toplam nüfus, % f i | ben |
|---|---|---|---|
| Aralıkların orta noktaları x i | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 1.000'e kadar | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| x ben f ben | 100,0 | - | 892 850 |
20.000 ve üzeri
O zaman kişi başına düşen ortalama aylık gelir
Aritmetik ortalama, belirli bir veri dizisinin ortalama değerini gösteren istatistiksel bir göstergedir. Bu gösterge, payı dizideki tüm değerlerin toplamı olan ve paydası onların sayısı olan bir kesir olarak hesaplanır. Aritmetik ortalama günlük hesaplamalarda kullanılan önemli bir katsayıdır.
Katsayının anlamı
Aritmetik ortalama, verileri karşılaştırmak ve kabul edilebilir bir değer hesaplamak için temel bir göstergedir. Örneğin, farklı mağazalar belirli bir üreticiye ait bir kutu bira satmaktadır. Ancak bir mağazada 67 rubleye, diğerinde - 70 rubleye, üçüncüsünde - 65 rubleye ve sonuncusunda - 62 rubleye mal oluyor. Oldukça geniş bir fiyat aralığı var, bu nedenle alıcı kutunun ortalama maliyetiyle ilgilenecek ve böylece bir ürünü satın alırken maliyetlerini karşılaştırabilecektir. Şehirde bir kutu biranın ortalama fiyatı:
Ortalama fiyat = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ruble.
Homojen bir veri kümesinin analiz edildiği durumlarda istatistiksel hesaplamalarda aritmetik ortalama sürekli olarak kullanılır. Yukarıdaki örnekte aynı markanın bir kutu birasının fiyatıdır. Ancak farklı üreticilerin bira fiyatlarını veya bira ve limonata fiyatlarını karşılaştıramayız çünkü bu durumda değerlerin dağılımı daha büyük olacak, ortalama fiyat bulanık ve güvenilmez olacak ve hesaplamaların anlamı da artacaktır. “hastanedeki ortalama sıcaklık” karikatürüne dönüştürülecek. Heterojen veri kümelerini hesaplamak için, her değer kendi ağırlıklandırma katsayısını aldığında ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılır.
Aritmetik ortalamanın hesaplanması
Hesaplamaların formülü son derece basittir:
P = (a1 + a2 + … an) / n,
burada an miktarın değeridir, n ise değerlerin toplam sayısıdır.
Bu gösterge ne için kullanılabilir? İlk ve en belirgin kullanımı istatistiktir. Hemen hemen her istatistiksel çalışmada aritmetik ortalama kullanılır. Bu, Rusya'daki ortalama evlilik yaşı, bir okul çocuğunun bir dersteki ortalama notu veya günlük ortalama alışveriş harcaması olabilir. Yukarıda bahsedildiği gibi ağırlıklar dikkate alınmadan ortalamaların hesaplanması garip veya saçma değerler üretebilir.
Örneğin Rusya Federasyonu Başkanı, istatistiklere göre bir Rus'un ortalama maaşının 27.000 ruble olduğunu açıkladı. Rusya'da yaşayanların çoğu için bu maaş düzeyi saçma görünüyordu. Hesaplarken bir yandan oligarkların, sanayi kuruluşlarının başkanlarının, büyük bankacıların gelirlerini, diğer yandan öğretmenlerin, temizlikçilerin ve satıcıların maaşlarını hesaba katmamız şaşırtıcı değil. Örneğin muhasebeci gibi bir uzmanlık alanındaki ortalama maaşlarda bile Moskova, Kostroma ve Yekaterinburg'da ciddi farklılıklar olacaktır.
Heterojen veriler için ortalamalar nasıl hesaplanır?
Bordro durumlarında her bir değerin ağırlığının dikkate alınması önemlidir. Bu, oligarkların ve bankacıların maaşlarının örneğin 0,00001 ve satıcı maaşlarının ise 0,12 ağırlık alacağı anlamına geliyor. Bunlar birdenbire ortaya çıkan rakamlar, ancak kabaca Rus toplumunda oligarkların ve satıcıların yaygınlığını gösteriyorlar.
Dolayısıyla heterojen bir veri kümesindeki ortalamaların veya ortalama değerlerin ortalamasını hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalamanın kullanılması gerekir. Aksi takdirde Rusya'da ortalama 27.000 ruble maaş alacaksınız. Matematikteki ortalama notunuzu veya seçilen bir hokey oyuncusunun attığı ortalama gol sayısını öğrenmek istiyorsanız aritmetik ortalama hesaplayıcı sizin için uygundur.
Programımız aritmetik ortalamayı hesaplamak için basit ve kullanışlı bir hesap makinesidir. Hesaplamaları gerçekleştirmek için yalnızca parametre değerlerini girmeniz gerekir.
Birkaç örneğe bakalım
Ortalama puan hesaplaması
Birçok öğretmen bir konunun yıllık notunu belirlemek için aritmetik ortalama yöntemini kullanır. Çocuğun matematikte şu çeyrek notlarını aldığını düşünelim: 3, 3, 5, 4. Öğretmen ona yıllık olarak hangi notu verecek? Bir hesap makinesi kullanalım ve aritmetik ortalamayı hesaplayalım. Başlamak için uygun sayıda alanı seçin ve görünen hücrelere derecelendirme değerlerini girin:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Öğretmen değeri öğrencinin lehine yuvarlayacak ve öğrenci o yıl için sağlam bir B alacak.
Yenilen şekerlerin hesaplanması
Aritmetik ortalamanın bazı saçmalıklarını örnekleyelim. Masha ve Vova'nın 10 şekeri olduğunu hayal edelim. Masha 8 şeker yedi ve Vova sadece 2 şeker yedi. Her çocuk ortalama kaç şeker yedi? Bir hesap makinesi kullanarak, ortalama olarak çocukların 5 şeker yediğini hesaplamak kolaydır; bu, gerçeklikle ve sağduyuyla tamamen tutarsızdır. Bu örnek, anlamlı veri kümeleri için aritmetik ortalamanın önemli olduğunu göstermektedir.
Çözüm
Aritmetik ortalamanın hesaplanması birçok bilimsel alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu gösterge yalnızca istatistiksel hesaplamalarda değil aynı zamanda fizik, mekanik, ekonomi, tıp veya finans alanlarında da popülerdir. Aritmetik ortalamanın hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözmek için hesap makinelerimizi yardımcı olarak kullanın.
Basit bir aritmetik ortalama, belirli bir özelliğin toplam hacminin belirlenmesinde kullanılan ortalama terimdir. bütünlük Veriler bu popülasyona dahil olan tüm birimler arasında eşit olarak dağıtılır. Bu nedenle, çalışan başına ortalama yıllık çıktı, tüm çıktı hacminin kuruluşun tüm çalışanları arasında eşit olarak dağıtılması durumunda her çalışanın üreteceği çıktı miktarıdır. Aritmetik ortalama basit değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Basit aritmetik ortalama- Bir özelliğin bireysel değerlerinin toplamının toplamdaki özellik sayısına oranına eşittir
Örnek 1. 6 işçiden oluşan bir ekip ayda 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 bin ruble alıyor.
Ortalama maaşı bulun Çözüm: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 bin ruble.
Aritmetik ortalama ağırlıklı
Veri setinin hacmi büyükse ve bir dağılım serisini temsil ediyorsa ağırlıklı aritmetik ortalama hesaplanır. Üretim birimi başına ağırlıklı ortalama fiyat şu şekilde belirlenir: toplam üretim maliyeti (miktarının ürünlerinin bir üretim birimi fiyatına toplamı) toplam üretim miktarına bölünür.
Bunu aşağıdaki formül biçiminde hayal edelim:
Ağırlıklı aritmetik ortalama- (bir özelliğin değerinin çarpımlarının toplamının bu özelliğin tekrarlanma sıklığına oranı) (tüm özelliklerin sıklıklarının toplamı) oranına eşittir. İncelenen popülasyonun değişkenleri kullanıldığında kullanılır. eşit olmayan sayıda meydana gelir.
Örnek 2. Atölye çalışanlarının aylık ortalama maaşını bulun
|
Bir işçinin maaşı bin ruble; X |
Çalışan sayısı F |
Ortalama ücretler, toplam ücretlerin toplam işçi sayısına bölünmesiyle elde edilebilir:
Cevap: 3,35 bin ruble.
Aralık serileri için aritmetik ortalama
Bir aralık değişim serisi için aritmetik ortalamayı hesaplarken, önce her aralığın ortalamasını üst ve alt sınırların yarı toplamı olarak belirleyin, ardından tüm serinin ortalamasını belirleyin. Açık aralıklar söz konusu olduğunda alt veya üst aralığın değeri, onlara bitişik aralıkların boyutuna göre belirlenir.
Aralık serilerinden hesaplanan ortalamalar yaklaşık değerlerdir.
Örnek 3. Akşam öğrencilerinin ortalama yaşını belirleyin.
|
Yıl olarak yaş!!x?? |
Öğrenci sayısı |
Aralığın ortalama değeri |
Aralığın orta noktası (yaş) ile öğrenci sayısının çarpımı |
|
(18 + 20) / 2 =19 18 bu durumda alt aralığın sınırıdır. 20 - (22-20) olarak hesaplanır | |||
|
(20 + 22) / 2 = 21 | |||
|
(22 + 26) / 2 = 24 | |||
|
(26 + 30) / 2 = 28 | |||
|
30 veya daha fazla |
(30 + 34) / 2 = 32 | ||
Aralık serilerinden hesaplanan ortalamalar yaklaşık değerlerdir. Yaklaşma derecesi, aralık içindeki nüfus birimlerinin gerçek dağılımının tekdüzeliğe ne kadar yaklaştığına bağlıdır.
Ortalamalar hesaplanırken ağırlık olarak sadece mutlak değil aynı zamanda göreceli değerler (frekans) da kullanılabilir.
Aritmetik ortalama nedir
Birkaç niceliğin aritmetik ortalaması, bu niceliklerin toplamının sayılarına oranıdır.
Belirli bir sayı dizisinin aritmetik ortalaması, tüm bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilir. Dolayısıyla aritmetik ortalama, bir sayı serisinin ortalama değeridir.
Birkaç sayının aritmetik ortalaması nedir? Ve bu sayıların toplamının bu toplamdaki terim sayısına bölünmesine eşittirler.
Aritmetik ortalama nasıl bulunur?
Birkaç sayının aritmetik ortalamasını hesaplamak veya bulmakta karmaşık bir şey yoktur; sunulan tüm sayıları toplamak ve elde edilen toplamı terim sayısına bölmek yeterlidir. Elde edilen sonuç bu sayıların aritmetik ortalaması olacaktır.
Bu sürece daha detaylı bakalım. Aritmetik ortalamayı hesaplayıp bu sayının nihai sonucunu elde etmek için ne yapmamız gerekiyor?
Öncelikle hesaplamak için bir dizi sayı veya bunların sayısını belirlemeniz gerekir. Bu küme büyük ve küçük sayıları içerebilir ve sayıları herhangi bir şey olabilir.
İkinci olarak tüm bu sayıların toplanması gerekiyor ve toplamları elde ediliyor. Doğal olarak sayılar basitse ve sayıları azsa o zaman elle yazılarak hesaplamalar yapılabilir. Ancak sayı kümesi etkileyiciyse, bir hesap makinesi veya elektronik tablo kullanmak daha iyidir.
Dördüncüsü ise toplamadan elde edilen miktarın sayı sayısına bölünmesi gerekmektedir. Sonuç olarak bu serinin aritmetik ortalaması olacak bir sonuç elde edeceğiz.
Neden aritmetik ortalamaya ihtiyacınız var?
Aritmetik ortalama, yalnızca matematik derslerindeki örnek ve problemlerin çözümünde değil, aynı zamanda kişinin günlük yaşamında gerekli olan diğer amaçlar için de yararlı olabilir. Bu tür hedefler, aylık ortalama mali gideri hesaplamak için aritmetik ortalamayı hesaplamak veya yolda geçirdiğiniz süreyi hesaplamak, ayrıca katılımı, üretkenliği, hareket hızını, verimi ve çok daha fazlasını öğrenmek için olabilir.
Örneğin okula giderken ne kadar zaman harcadığınızı hesaplamaya çalışalım. Okula giderken ya da eve dönerken yolda her seferinde farklı zaman geçirirsiniz çünkü aceleniz olduğunda daha hızlı yürürsünüz ve dolayısıyla yol daha az zaman alır. Ancak eve döndüğünüzde yavaş yürüyebilir, sınıf arkadaşlarınızla iletişim kurabilir, doğaya hayran kalabilirsiniz ve bu nedenle yolculuk daha fazla zaman alacaktır.
Dolayısıyla yolda geçirilen süreyi kesin olarak belirleyemezsiniz ancak aritmetik ortalama sayesinde yolda geçirdiğiniz süreyi yaklaşık olarak öğrenebilirsiniz.
Hafta sonundan sonraki ilk gün evden okula giderken on beş dakika harcadığınızı, ikinci gün yolculuğunuzun yirmi dakika sürdüğünü, Çarşamba günü yirmi beş dakikada yol kat ettiğinizi ve yolculuğunuzun da aynı şekilde sürdüğünü varsayalım. Perşembe günü biraz zaman harcadınız ve Cuma günü aceleniz yoktu ve yarım saatliğine geri döndünüz.
Beş günün tamamı için zaman ekleyerek aritmetik ortalamayı bulalım. Bu yüzden,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Şimdi bu tutarı gün sayısına bölün.
Bu yöntem sayesinde evden okula yolculuğun yaklaşık yirmi üç dakikanızı aldığını öğrendiniz.
Ev ödevi
1. Basit hesaplamalar kullanarak, sınıfınızdaki öğrencilerin haftalık devam durumlarının aritmetik ortalamasını bulun.
2. Aritmetik ortalamayı bulun:
3. Sorunu çözün:
İstatistiklerde iki büyük sınıfa ayrılan çeşitli ortalama türleri kullanılır:
Güç araçları (harmonik ortalama, geometrik ortalama, aritmetik ortalama, ikinci dereceden ortalama, kübik ortalama);
Yapısal araçlar (mod, medyan).
Hesaplamak güç ortalamaları mevcut tüm karakteristik değerlerin kullanılması gereklidir. Moda Ve medyan yalnızca dağılımın yapısı tarafından belirlenir, bu nedenle bunlara yapısal, konumsal ortalamalar denir. Medyan ve mod, güç ortalamasının hesaplanmasının imkansız veya pratik olmadığı popülasyonlarda sıklıkla ortalama bir özellik olarak kullanılır.
En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır. Altında aritmetik ortalama bir özelliğin tüm değerlerinin toplamının popülasyonun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılması durumunda popülasyonun her biriminin sahip olacağı bir özelliğin değeri olarak anlaşılmaktadır. Bu değerin hesaplanması, değişen karakteristiklerin tüm değerlerinin toplanmasına ve elde edilen miktarın popülasyondaki toplam birim sayısına bölünmesine dayanır. Örneğin, beş işçi parça üretimi için bir siparişi yerine getirirken birincisi 5 parça, ikincisi 7, üçüncüsü 4, dördüncüsü 10, beşincisi 12 parça yaptı. Kaynak verilerde her birinin değeri olduğundan belirlemek için seçenek yalnızca bir kez meydana geldi
Bir işçinin ortalama çıktısını belirlemek için basit aritmetik ortalama formülü uygulanmalıdır:
yani örneğimizde bir işçinin ortalama çıktısı şuna eşittir:
Basit aritmetik ortalamanın yanı sıra, çalışıyorlar ağırlıklı aritmetik ortalama.Örneğin, yaşları 18 ile 22 arasında değişen 20 kişilik bir gruptaki öğrencilerin ortalama yaşını hesaplayalım; xi– ortalaması alınan özelliğin çeşitleri, fi– kaç kez meydana geldiğini gösteren frekans i-th toplam değer (Tablo 5.1).
Tablo 5.1
Öğrencilerin ortalama yaşı
Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
Ağırlıklı aritmetik ortalamayı seçmenin belirli bir kuralı vardır: iki göstergeye ilişkin bir dizi veri varsa, bunlardan biri için hesaplamanız gerekir
ortalama değer ve aynı zamanda mantıksal formülünün paydasının sayısal değerleri biliniyor ve payın değerleri bilinmiyor, ancak bu göstergelerin ürünü olarak bulunabilir, o zaman ortalama değer olmalıdır aritmetik ağırlıklı ortalama formülü kullanılarak hesaplanır.
Bazı durumlarda, başlangıçtaki istatistiksel verilerin doğası, aritmetik ortalamanın hesaplanmasının anlamını yitirdiği ve tek genelleme göstergesinin yalnızca başka türde bir ortalama değer olabileceği şekildedir - harmonik ortalama.Şu anda, aritmetik ortalamanın hesaplama özellikleri, elektronik hesaplama teknolojisinin yaygın olarak kullanılmaya başlanması nedeniyle genel istatistiksel göstergelerin hesaplanmasındaki ilgisini kaybetmiştir. Basit ve ağırlıklı da olabilen harmonik ortalama değer, pratikte büyük önem kazanmıştır. Mantıksal bir formülün payının sayısal değerleri biliniyorsa ve paydanın değerleri bilinmiyorsa, ancak bir göstergenin diğerine kısmi bölümü olarak bulunabiliyorsa, ortalama değer harmonik kullanılarak hesaplanır. ağırlıklı ortalama formülü
Örneğin otomobilin ilk 210 km'yi 70 km/saat hızla, kalan 150 km'yi ise 75 km/saat hızla kat ettiği bilinsin. Aritmetik ortalama formülünü kullanarak bir arabanın 360 km'lik yolculuğun tamamındaki ortalama hızını belirlemek imkansızdır. Seçenekler ayrı bölümlerdeki hızlar olduğundan xj= 70 km/saat ve X2= 75 km/saat ise ve ağırlıklar (fi) yolun karşılık gelen bölümleri olarak kabul edilirse, bu durumda seçenekler ve ağırlıkların çarpımının ne fiziksel ne de ekonomik bir anlamı olacaktır. Bu durumda, bölümler yolun bölümlerini karşılık gelen hızlara (seçenekler xi) bölmekten, yani yolun ayrı bölümlerini geçmek için harcanan zamana (fi) bölmekten anlam kazanır. / xi). Yolun bölümleri fi ile gösterilirse yolun tamamı Şfi olarak, yolun tamamında harcanan süre ise Şfi olarak ifade edilecektir. fi / xi , Daha sonra ortalama hız, tüm yolun harcanan toplam süreye bölümü olarak bulunabilir:
Örneğimizde şunu elde ederiz:
Harmonik ortalamayı kullanırken tüm seçeneklerin (f) ağırlıkları eşitse, ağırlıklı olan yerine kullanabilirsiniz basit (ağırlıklandırılmamış) harmonik ortalama:
burada xi bireysel seçeneklerdir; N– ortalaması alınan özelliğin değişken sayısı. Hız örneğinde, farklı hızlarda kat edilen yol bölümleri eşitse basit harmonik ortalama uygulanabilir.
Herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantının yerini aldığında, ortalama göstergeyle ilişkili bazı nihai, genel göstergelerin değerinin değişmeyeceği şekilde hesaplanmalıdır. Bu nedenle, rotanın ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama değerle (ortalama hız) değiştirirken toplam mesafe değişmemelidir.
Ortalama değerin şekli (formülü), bu son göstergenin ortalama değerle ilişkisinin doğası (mekanizması) ile belirlenir, bu nedenle, seçenekleri ortalama değerleriyle değiştirirken değeri değişmemesi gereken son gösterge, isminde belirleyici gösterge. Ortalama formülünü türetmek için, ortalama gösterge ile belirleyici gösterge arasındaki ilişkiyi kullanarak bir denklem oluşturmanız ve çözmeniz gerekir. Bu denklem, ortalama karakteristik (gösterge) değişkenlerinin ortalama değerleriyle değiştirilmesiyle oluşturulur.
İstatistiklerde aritmetik ortalama ve harmonik ortalamanın yanı sıra diğer ortalama türleri (formları) da kullanılır. Hepsi özel durumlar güç ortalaması. Aynı veri için tüm güç ortalama türlerini hesaplarsak, o zaman değerler
aynı olacaklar, kural burada geçerli büyük rant ortalama. Ortalamanın üssü arttıkça ortalama değerin kendisi de artar. Pratik araştırmalarda çeşitli güç ortalama türlerini hesaplamak için en sık kullanılan formüller Tabloda sunulmaktadır. 5.2.
Tablo 5.2
Güç türleri
Geometrik ortalama şu durumlarda kullanılır: N büyüme katsayıları, karakteristiğin bireysel değerleri ise kural olarak, dinamik serideki her seviyenin önceki seviyesine oran olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan göreceli dinamik değerlerdir. Dolayısıyla ortalama, ortalama büyüme oranını karakterize eder. Ortalama geometrik basit formülle hesaplanır
Formül ağırlıklı geometrik ortalama aşağıdaki forma sahiptir:
Yukarıdaki formüller aynıdır ancak biri mevcut katsayılar veya büyüme oranları için, ikincisi ise seri seviyelerinin mutlak değerleri için uygulanır.
Ortalama kare kare fonksiyonlarının değerleriyle hesaplanırken kullanılır, bir özelliğin bireysel değerlerinin dağılım serisindeki aritmetik ortalama etrafındaki dalgalanma derecesini ölçmek için kullanılır ve formülle hesaplanır
Ağırlıklı ortalama kare başka bir formül kullanılarak hesaplanır:
Ortalama kübik kübik fonksiyon değerleriyle yapılan hesaplamalarda kullanılır ve formül kullanılarak hesaplanır
ortalama kübik ağırlıklı:
Yukarıda tartışılan tüm ortalama değerler genel bir formül olarak sunulabilir:
ortalama değer nerede; – bireysel anlam; N– incelenen popülasyonun birim sayısı; k– ortalamanın türünü belirleyen üs.
Aynı kaynak verilerini kullanırken, daha fazla k genel güç ortalaması formülünde ortalama değer ne kadar büyük olursa. Bundan, güç ortalamalarının değerleri arasında doğal bir ilişki olduğu anlaşılmaktadır:
Yukarıda açıklanan ortalama değerler, incelenen nüfus hakkında genel bir fikir verir ve bu açıdan bunların teorik, uygulamalı ve eğitimsel önemi tartışılmaz. Ancak ortalama değerin gerçekte var olan seçeneklerin hiçbiriyle örtüşmediği görülür, bu nedenle, istatistiksel analizde, dikkate alınan ortalamalara ek olarak, çok özel bir konumu işgal eden belirli seçeneklerin değerlerinin kullanılması tavsiye edilir. sıralı (sıralanmış) nitelik değerleri dizisi. Bu miktarlar arasında en sık kullanılanlar şunlardır: yapısal, veya tanımlayıcı, ortalama– mod (Mo) ve medyan (Me).
Moda– belirli bir popülasyonda en sık bulunan bir özelliğin değeri. Bir varyasyon serisi ile ilgili olarak mod, sıralanan seride en sık tekrarlanan değer yani en yüksek frekansa sahip seçenektir. Moda, herhangi bir ürünün en sık ziyaret edilen mağazalarının, en yaygın fiyatının belirlenmesinde kullanılabilir. Popülasyonun önemli bir kısmının özellik özelliğinin boyutunu gösterir ve formülle belirlenir.
burada x0 aralığın alt sınırıdır; H– aralık boyutu; fm– aralık frekansı; fm_ 1 – önceki aralığın sıklığı; fm+ 1 – bir sonraki aralığın frekansı.
Medyan sıralanan satırın ortasında bulunan seçenek çağrılır. Ortanca, seriyi her iki tarafında da aynı sayıda nüfus birimi olacak şekilde iki eşit parçaya böler. Bu durumda popülasyondaki birimlerin yarısı değişkenlik özelliğinin değerine medyandan küçük, diğer yarısı ise medyandan daha büyük bir değere sahiptir. Medyan, değeri bir dağılım serisinin elemanlarının yarısından büyük veya eşit veya aynı zamanda yarısından küçük veya eşit olan bir eleman incelenirken kullanılır. Medyan, nitelik değerlerinin nerede yoğunlaştığı, diğer bir deyişle merkezlerinin nerede olduğu konusunda genel bir fikir verir.
Medyanın tanımlayıcı doğası, popülasyondaki birimlerin yarısının sahip olduğu değişken bir özelliğin değerlerinin niceliksel sınırını karakterize etmesiyle ortaya çıkar. Ayrık bir varyasyon serisi için medyanı bulma problemi kolaylıkla çözülebilir. Serinin tüm birimlerine seri numarası verilmişse, medyan seçeneğinin seri numarası (n + 1) / 2 olarak belirlenir ve serinin üye sayısı çift sayıdır. , bu durumda medyan, seri numarasına sahip iki seçeneğin ortalama değeri olacaktır. N/ 2 ve N/ 2 + 1.
Aralık değişim serilerinde medyanı belirlerken öncelikle içinde bulunduğu aralığı (medyan aralığı) belirleyin. Bu aralık, birikmiş frekans toplamının serinin tüm frekanslarının toplamına eşit veya yarısına eşit olmasıyla karakterize edilir. Bir aralık varyasyon serisinin medyanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Nerede X0– aralığın alt sınırı; H– aralık boyutu; fm– aralık frekansı; F– serinin üye sayısı;
M -1 – verilen seriden önceki serinin birleştirilmiş terimlerinin toplamı.
İncelenen popülasyonun yapısını daha iyi karakterize etmek için medyanın yanı sıra, sıralanan seride çok özel bir konuma sahip olan diğer seçenek değerleri de kullanılır. Bunlar şunları içerir: çeyrekler Ve ondalık.Çeyrekler, seriyi frekansların toplamına göre 4 eşit parçaya ve ondalık dilimleri 10 eşit parçaya böler. Üç çeyrek ve dokuz ondalık dilim vardır.
Medyan ve mod, aritmetik ortalamanın aksine, değişken bir özelliğin değerlerindeki bireysel farklılıkları bastırmaz ve bu nedenle istatistiksel popülasyonun ek ve çok önemli özellikleridir. Uygulamada sıklıkla ortalamanın yerine veya onunla birlikte kullanılırlar. İncelenen popülasyonun, değişen karakteristiklerin çok büyük veya çok küçük değerlerine sahip belirli sayıda birim içerdiği durumlarda medyan ve modun hesaplanması özellikle tavsiye edilir. Popülasyonun pek karakteristik özelliği olmayan seçeneklerin bu değerleri, aritmetik ortalamanın değerini etkilerken, medyan ve mod değerlerini etkilemez, bu da ikincisini ekonomik ve istatistiksel açıdan çok değerli göstergeler haline getirir. analiz.