Ev

Giriş seviyesi

Koordinatlar ve vektörler. Kapsamlı Kılavuz (2019) Bu makalede, birçok geometri problemini basit aritmetiğe indirgemenizi sağlayacak bir "sihirli değnek"i tartışmaya başlayacağız. Bu "çubuk", özellikle mekansal figürler, bölümler vb. oluşturma konusunda emin olmadığınız durumlarda hayatınızı çok daha kolaylaştırabilir. Bütün bunlar, belirli bir hayal gücü ve pratik beceriler gerektirir. Burada ele almaya başlayacağımız yöntem, her türlü geometrik yapı ve akıl yürütmeden neredeyse tamamen soyutlanmanıza olanak sağlayacaktır. Yöntem denir"koordinat yöntemi"

1. . Bu yazıda aşağıdaki soruları ele alacağız:
2. Koordinat düzlemi
3. Düzlemdeki noktalar ve vektörler
4. İki noktadan bir vektör oluşturma
5. Vektör uzunluğu (iki nokta arasındaki mesafe)​
6. Segmentin ortasının koordinatları
7. Vektörlerin nokta çarpımı

İki vektör arasındaki açı

Koordinat yöntemini tartışmaya nereden başlamak mantıklı olur? Muhtemelen koordinat sistemi kavramından. Onunla ilk karşılaştığınız zamanı hatırlayın. Bana öyle geliyor ki 7. sınıfta örneğin doğrusal bir fonksiyonun varlığını öğrenmiştiniz. Bunu nokta nokta inşa ettiğinizi hatırlatmama izin verin. Hatırlıyor musun? Rastgele bir sayı seçtiniz, bunu formülde yerine koydunuz ve bu şekilde hesapladınız. Örneğin, eğer, o zaman, eğer, o zaman vb. Sonunda ne elde ettiniz? Ve koordinatları olan puanlar aldınız: ve. Daha sonra bir “çapraz” (koordinat sistemi) çizdiniz, üzerinde bir ölçek seçtiniz (birim segment olarak kaç hücreye sahip olacağınız) ve elde ettiğiniz noktaları üzerinde işaretleyerek bunları düz bir çizgiyle birleştirdiniz; çizgi fonksiyonun grafiğidir.

Burada size biraz daha ayrıntılı olarak anlatılması gereken birkaç nokta var:

1. Kolaylık olması açısından tek bir segment seçersiniz, böylece her şey çizime güzel ve kompakt bir şekilde sığar

2. Eksenin soldan sağa, eksenin aşağıdan yukarıya doğru gittiği kabul edilir.

3. Dik açılarda kesişirler ve kesiştikleri noktaya orijin denir. Bir harfle belirtilir.

4. Bir noktanın koordinatlarını yazarken, örneğin, parantez içinde solda noktanın eksen boyunca ve sağda eksen boyunca koordinatları vardır. Özellikle, bu şu anlama gelir:

5. Koordinat ekseninde herhangi bir noktayı belirtmek için koordinatlarını belirtmeniz gerekir (2 sayı)

6. Eksen üzerinde yer alan herhangi bir nokta için,

7. Eksen üzerinde yer alan herhangi bir nokta için,

8. Eksene apsis ekseni denir

9. Eksen y ekseni olarak adlandırılır

Şimdi bir sonraki adıma geçelim: iki noktayı işaretleyin. Bu iki noktayı bir doğru parçasıyla birleştirelim. Ve sanki noktadan noktaya bir doğru parçası çiziyormuşuz gibi oku koyacağız: yani parçamızı yönlendirilmiş hale getireceğiz!

Başka bir yönlü segmentin ne dendiğini hatırlıyor musunuz? Doğru, buna vektör deniyor!

Yani noktayı noktaya bağlarsak, ve başlangıç ​​A noktası olacak ve son B noktası olacak, sonra bir vektör elde ederiz. Sen de bu inşaatı 8. sınıfta yapmıştın, hatırladın mı?

Noktalar gibi vektörlerin de iki sayı ile gösterilebileceği ortaya çıktı: bu sayılara vektör koordinatları denir. Soru: Bir vektörün koordinatlarını bulmak için başlangıç ​​ve bitiş koordinatlarını bilmemiz sizce yeterli midir? Görünüşe göre evet! Ve bu çok basit bir şekilde yapılır:

Böylece, bir vektörde nokta başlangıç ​​ve nokta son olduğundan, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Örneğin, eğer, o zaman vektörün koordinatları

Şimdi bunun tersini yapalım, vektörün koordinatlarını bulalım. Bunun için neyi değiştirmemiz gerekiyor? Evet, başlangıcı ve bitişi değiştirmeniz gerekiyor: şimdi vektörün başlangıcı noktada olacak ve sonu da noktada olacak. Daha sonra:

Dikkatlice bakın, vektörler arasındaki fark nedir? Tek farkları koordinatlardaki işaretlerdir. Onlar birbirine zıttır. Bu gerçek genellikle şu şekilde yazılır:

Bazen, hangi noktanın vektörün başlangıcı ve hangisinin sonu olduğu özellikle belirtilmezse, vektörler iki büyük harfle değil, bir küçük harfle gösterilir, örneğin: , vb.

Şimdi biraz pratik kendiniz ve aşağıdaki vektörlerin koordinatlarını bulun:

Muayene:

Şimdi biraz daha zor bir problemi çözün:

Bir noktada başlangıcı olan bir vektörün co-or-di-na-you'su vardır. Abs-cis-su noktalarını bulun.

Yine de oldukça sıradan: Noktanın koordinatları olsun. Daha sonra

Sistemi vektör koordinatlarının ne olduğunun tanımına göre derledim. O halde noktanın koordinatları vardır. Apsisle ilgileniyoruz. Daha sonra

Cevap:

Vektörlerle başka neler yapabilirsiniz? Evet, hemen hemen her şey sıradan sayılarla aynıdır (bölemeyeceğiniz hariç, ancak iki şekilde çarpabilirsiniz; bunlardan birini biraz sonra burada tartışacağız)

1. Vektörler birbirine eklenebilir
2. Vektörler birbirinden çıkarılabilir
3. Vektörler sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılabilir (veya bölünebilir)
4. Vektörler birbirleriyle çarpılabilir

Tüm bu işlemlerin çok net bir geometrik temsili vardır. Örneğin, toplama ve çıkarma için üçgen (veya paralelkenar) kuralı:

Bir vektör bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde uzar, daralır veya yön değiştirir:

Ancak burada koordinatlara ne olacağı sorusuyla ilgileneceğiz.

1. İki vektörü toplarken (çıkarırken), bunların koordinatlarını öğe öğe ekleriz (çıkarırız). Yani:

2. Bir vektörü bir sayıyla çarparken (bölerken), tüm koordinatları bu sayıyla çarpılır (bölülür):

Örneğin:

· Yüzyıldan bugüne eş-or-di-nat miktarını bulun.

Önce vektörlerin her birinin koordinatlarını bulalım. İkisi de aynı kökene sahiptir; başlangıç ​​noktası. Bunların sonu farklıdır. Daha sonra, . Şimdi vektörün koordinatlarını hesaplayalım. O halde ortaya çıkan vektörün koordinatlarının toplamı eşittir.

Cevap:

Şimdi aşağıdaki sorunu kendiniz çözün:

· Vektör koordinatlarının toplamını bulun

Kontrol ediyoruz:

Şimdi şu problemi ele alalım: Koordinat düzleminde iki noktamız var. Aralarındaki mesafe nasıl bulunur? Birinci nokta ve ikincisi olsun. Aralarındaki mesafeyi ile gösterelim. Açıklık sağlamak için aşağıdaki çizimi yapalım:

Ne yaptım? Öncelikle noktaları birleştirdim ve ayrıca noktadan eksene paralel bir çizgi çizdim, noktadan da eksene paralel bir çizgi çizdim. Bir noktada kesişerek dikkat çekici bir şekil mi oluşturdular? Onun nesi bu kadar özel? Evet, sen ve ben dik üçgen hakkında neredeyse her şeyi biliyoruz. Elbette Pisagor teoremi. Gerekli bölüm bu üçgenin hipotenüsüdür ve bölümler bacaklardır. Noktanın koordinatları nelerdir? Evet, resimden bulmak kolaydır: Parçalar eksenlere paralel olduğundan ve sırasıyla uzunluklarını bulmak kolaydır: Parçaların uzunluklarını sırasıyla ile belirtirsek, o zaman

Şimdi Pisagor teoremini kullanalım. Bacakların uzunluklarını biliyoruz, hipotenüsü bulacağız:

Dolayısıyla iki nokta arasındaki mesafe, koordinatlardan olan farkların karelerinin toplamının köküdür. Veya - iki nokta arasındaki mesafe, onları bağlayan parçanın uzunluğudur.

Noktalar arasındaki mesafenin yöne bağlı olmadığını görmek kolaydır. Daha sonra:

Buradan üç sonuç çıkarıyoruz:

İki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama konusunda biraz pratik yapalım:

Örneğin, eğer ve arasındaki mesafe şuna eşitse:

Veya başka bir yoldan gidelim: vektörün koordinatlarını bulun

Ve vektörün uzunluğunu bulun:

Gördüğünüz gibi aynı şey!

Şimdi biraz kendiniz pratik yapın:

Görev: Belirtilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

Kontrol ediyoruz:

Kulağa biraz farklı gelse de, aynı formülü kullanan birkaç problem daha var:

1. Göz kapağı uzunluğunun karesini bulun.

2. Göz kapağı uzunluğunun karesini bulun

Sanırım onlarla zorluk çekmeden başa çıktın? Kontrol ediyoruz:

1. Bu da dikkat içindir) Vektörlerin koordinatlarını daha önce bulmuştuk: . O halde vektörün koordinatları vardır. Uzunluğunun karesi şuna eşit olacaktır:

2. Vektörün koordinatlarını bulun

O zaman uzunluğunun karesi

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Basit aritmetik, başka bir şey değil.

1. Aşağıdaki problemler açık bir şekilde sınıflandırılamaz; bunlar daha çok genel bilgi ve basit resimler çizme becerisiyle ilgilidir.

Noktayı apsis eksenine bağlayan kesimden itibaren açının sinüsünü bulun.

Ve

Burada nasıl ilerleyeceğiz? Eksen ile arasındaki açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Sinüs'ü nerede arayabiliriz? Bu doğru, bir dik üçgende. Peki ne yapmamız gerekiyor? Bu üçgeni inşa edin!

Bize yapacak ne kaldı? Hipotenüsü bulun. Bunu iki şekilde yapabilirsiniz: Pisagor teoremini kullanarak (bacaklar bilinir!) veya iki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak (aslında ilk yöntemle aynı şeydir!). Ben ikinci yola gideceğim:

Cevap:

Bir sonraki görev size daha da kolay görünecek. Noktanın koordinatlarında.

Görev 2. Per-pen-di-ku-lyar'ın ab-ciss eksenine indirildiği noktadan itibaren. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir çizim yapalım:

Bir dikmenin tabanı x eksenini (ekseni) kestiği noktadır, benim için bu bir noktadır. Şekil koordinatlara sahip olduğunu göstermektedir: . Apsisle yani “x” bileşeniyle ilgileniyoruz. O eşittir.

Cevap: .

Görev 3.Önceki problemin koşullarında, noktadan koordinat eksenlerine olan mesafelerin toplamını bulun.

Bir noktadan eksenlere olan mesafenin ne olduğunu biliyorsanız, görev genellikle basittir. Bilirsin? Umarım ama yine de şunu hatırlatırım:

Peki, hemen yukarıdaki çizimimde zaten böyle bir dik çizgi çizmiş miydim? Hangi eksendedir? Eksene. Peki uzunluğu ne kadardır? O eşittir. Şimdi eksene kendiniz dik bir çizgi çizin ve uzunluğunu bulun. Eşit olacak değil mi? O zaman toplamları eşittir.

Cevap: .

Görev 4. Problem 2 koşullarında, apsis eksenine göre noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatını bulun.

Simetrinin ne olduğu sizin için sezgisel olarak açık sanırım? Birçok nesnede bulunur: birçok bina, masa, uçak, birçok geometrik şekil: top, silindir, kare, eşkenar dörtgen vb. Kabaca konuşursak, simetri şu şekilde anlaşılabilir: bir şekil iki (veya daha fazla) aynı yarıdan oluşur. Bu simetriye eksenel simetri denir. O halde eksen nedir? Bu tam olarak şeklin göreceli olarak eşit yarıya "kesilebileceği" çizgidir (bu resimde simetri ekseni düzdür):

Şimdi görevimize geri dönelim. Eksene göre simetrik olan bir nokta aradığımızı biliyoruz. O halde bu eksen simetri eksenidir. Bu, eksenin parçayı iki eşit parçaya keseceği bir noktayı işaretlememiz gerektiği anlamına gelir. Böyle bir noktayı kendiniz işaretlemeye çalışın. Şimdi benim çözümümle karşılaştırın:

Sizin için de aynı şekilde mi sonuçlandı? İyi! Bulunan noktanın koordinatıyla ilgileniyoruz. Eşittir

Cevap:

Şimdi söyleyin bana, birkaç saniye düşündükten sonra, ordinat eksenine göre A noktasına simetrik olan bir noktanın apsisi ne olur? Cevabınız nedir? Doğru cevap: .

Genel olarak kural şu ​​şekilde yazılabilir:

Apsis eksenine göre bir noktaya simetrik bir noktanın koordinatları vardır:

Ordinat eksenine göre bir noktaya simetrik bir noktanın koordinatları vardır:

Eh, şimdi tamamen korkutucu görev: orijine göre noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatlarını bulun. Önce kendiniz düşünün, sonra çizimime bakın!

Cevap:

Şimdi paralelkenar problemi:

Görev 5: Noktalar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma olarak görünür. Bu noktada or-di'yi bulun.

Bu sorunu iki şekilde çözebilirsiniz: mantık ve koordinat yöntemi. Önce koordinat yöntemini kullanacağım, sonra size bunu nasıl farklı şekilde çözebileceğinizi anlatacağım.

Noktanın apsisinin eşit olduğu oldukça açıktır. (noktadan apsis eksenine çizilen dik üzerinde yer alır). Ordinatı bulmamız gerekiyor. Şeklimizin paralelkenar olmasından yararlanalım, bu şu anlama geliyor. İki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulalım:

Noktayı eksene bağlayan dikmeyi indiriyoruz. Kesişme noktasını harfle belirteceğim.

Segmentin uzunluğu eşittir. (bu noktayı tartıştığımız yerde sorunu kendiniz bulun), sonra Pisagor teoremini kullanarak parçanın uzunluğunu bulacağız:

Bir parçanın uzunluğu tam olarak ordinatıyla çakışır.

Cevap: .

Başka bir çözüm (Sadece bunu gösteren bir resim vereceğim)

Çözüm ilerlemesi:

1. Davranış

2. Noktanın ve uzunluğun koordinatlarını bulun

3. Bunu kanıtlayın.

Bir tane daha bölüm uzunluğu sorunu:

Noktalar üçgenin üstünde görünür. Orta çizgisinin paralel uzunluğunu bulun.

Bir üçgenin orta çizgisinin ne olduğunu hatırlıyor musunuz? O zaman bu görev sizin için temeldir. Hatırlamıyorsanız hatırlatayım: Üçgenin orta çizgisi, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren çizgidir. Tabana paralel ve yarısına eşittir.

Taban bir segmenttir. Uzunluğunu daha önce aramamız gerekiyordu, eşit. Daha sonra orta çizginin uzunluğu yarısı kadar büyük ve eşittir.

Cevap: .

Yorum Yap: Bu sorun, biraz sonra ele alacağımız başka bir şekilde çözülebilir.

Bu arada, işte size birkaç problem; onlarla pratik yapın, çok basitler ama koordinat yöntemini kullanmada daha iyi olmanıza yardımcı oluyorlar!

1. Noktalar tra-pe-tion'ların en üst noktasıdır. Orta çizgisinin uzunluğunu bulun.

2. Noktalar ve görünümler ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Bu noktada or-di'yi bulun.

3. Noktayı birleştirerek kesimden itibaren uzunluğu bulun ve

4. Koordinat düzleminde renkli şeklin arkasındaki alanı bulun.

5. Merkezi na-cha-le ko-or-di-nat'ta olan bir daire bu noktadan geçiyor. Onun yarıçapını bulun.

6. Çemberin-di-te ra-di-us'unu bulun, dik açı hakkında-san-noy-no-ka'yı tanımlayın, bir şeyin üst kısımlarının bir ko-veya -di-na-varlığı var, o kadar sorumlusunuz ki -Ancak

Çözümler:

1. Bir yamuğun orta çizgisinin tabanlarının toplamının yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Taban eşittir ve taban. Daha sonra

Cevap:

2. Bu problemi çözmenin en kolay yolu (paralelkenar kuralı) olduğunu not etmektir. Vektörlerin koordinatlarını hesaplamak zor değildir: . Vektörleri eklerken koordinatlar eklenir. Sonra koordinatları var. Vektörün orijini koordinatların olduğu nokta olduğundan nokta da bu koordinatlara sahiptir. Ordinatla ilgileniyoruz. O eşittir.

Cevap:

3. Hemen iki nokta arasındaki mesafe formülüne göre hareket ediyoruz:

Cevap:

4. Resme bakın ve gölgeli alanın hangi iki şeklin arasına sıkıştırıldığını söyleyin? İki kare arasına sıkıştırılmıştır. Daha sonra istenen şeklin alanı, büyük karenin alanından küçük olanın alanına eşittir. Küçük bir karenin kenarı noktaları birleştiren bir doğru parçası olup uzunluğu

O zaman küçük karenin alanı

Aynısını büyük bir kareyle yapıyoruz: kenarı noktaları birleştiren bir segmenttir ve uzunluğu

O halde büyük karenin alanı

İstenilen şeklin alanını aşağıdaki formülü kullanarak buluyoruz:

Cevap:

5. Bir dairenin merkezi orijine sahipse ve bir noktadan geçiyorsa, yarıçapı tam olarak parçanın uzunluğuna eşit olacaktır (bir çizim yapın ve bunun neden açık olduğunu anlayacaksınız). Bu parçanın uzunluğunu bulalım:

Cevap:

6. Bir dikdörtgenin çevrelediği dairenin yarıçapının, köşegeninin yarısına eşit olduğu bilinmektedir. İki köşegenden herhangi birinin uzunluğunu bulalım (sonuçta dikdörtgende bunlar eşittir!)

Cevap:

Peki her şeyin üstesinden geldin mi? Bunu anlamak çok zor olmadı değil mi? Burada tek bir kural var - görsel bir resim oluşturabilmek ve içindeki tüm verileri basitçe "okuyabilmek".

Çok az şeyimiz kaldı. Aslında tartışmak istediğim iki nokta daha var.

Bu basit sorunu çözmeye çalışalım. İki puan verelim. Doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulun. Bu sorunun çözümü şu şekildedir: Nokta istenen orta olsun, o zaman koordinatları vardır:

Yani: parçanın ortasının koordinatları = parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının aritmetik ortalaması.

Bu kural çok basittir ve genellikle öğrenciler için zorluk yaratmaz. Hangi problemlerde ve nasıl kullanıldığını görelim:

1. Kesimden-di-te veya-di-na-tu se-re-di-ny'yi bulun, noktayı bağlayın ve

2. Puanlar dünyanın zirvesi gibi görünüyor. Dia-go-na-ley'in per-re-se-che-niya'sını bul.

3. Çemberin merkezini bulun, dikdörtgen-no-ka hakkında-san-noy'u tanımlayın, bir şeyin üstleri co-or-di-na-you-sorumlu bir şekilde-ama var.

Çözümler:

1. İlk sorun tam bir klasiktir. Segmentin ortasını belirlemek için hemen ilerliyoruz. Koordinatları var. Ordinat eşittir.

Cevap:

2. Bu dörtgenin bir paralelkenar (hatta eşkenar dörtgen) olduğunu görmek kolaydır. Kenar uzunluklarını hesaplayıp birbirleriyle karşılaştırarak bunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Paralelkenarlar hakkında ne biliyorum? Köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünmüştür! Evet! Peki köşegenlerin kesişme noktası nedir? Bu herhangi bir köşegenin ortasıdır! Özellikle köşegeni seçeceğim. O zaman noktanın koordinatları vardır. Noktanın ordinatı eşittir.

Cevap:

3. Dikdörtgenin çevrelediği dairenin merkezi neyle çakışmaktadır? Köşegenlerinin kesişme noktasına denk gelir. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz? Eşittirler ve kesişme noktası onları ikiye böler. Görev bir öncekine indirildi. Örneğin köşegeni ele alalım. O zaman çevrel çemberin merkezi ise orta noktadır. Koordinatları arıyorum: Apsis eşittir.

Cevap:

Şimdi kendi başınıza biraz pratik yapın, kendinizi test edebilmeniz için her sorunun cevabını vereceğim.

1. Çemberin yarıçapını bulun, üçgen açıyı tanımlayın-no-ka, bir şeyin üst kısımlarının sizin üzerinizde bir koordinatı veya di'si var

2. Çemberin merkezini bulun-di-te veya-di-on-noy'u, üstleri koordinatlara sahip olan üçgen-no-ka hakkında tanımlayın

3. Ab-ciss eksenine karşılık gelecek şekilde merkezi bir noktada olan bir dairenin yarıçapı nasıl olmalıdır?

4. Eksenin yeniden ayrıldığı noktayı ve kesme noktasını bulun, noktayı birleştirin ve

Cevaplar:

Her şey başarılı mıydı? Gerçekten öyle umuyorum! Şimdi - son itiş. Şimdi özellikle dikkatli olun. Şimdi açıklayacağım materyal yalnızca Kısım B'deki koordinat yöntemindeki basit problemlerle doğrudan ilgili değil, aynı zamanda Problem C2'nin her yerinde bulunuyor.

Hangi sözlerimi henüz tutmadım? Vektörler üzerinde hangi işlemleri tanıtmaya söz verdiğimi ve hangilerini sonuçta tanıttığımı hatırlıyor musunuz? Hiçbir şeyi unutmadığıma emin misin? Unutmuş olmak! Vektör çarpımının ne anlama geldiğini açıklamayı unuttum.

Bir vektörü bir vektörle çarpmanın iki yolu vardır. Seçilen yönteme bağlı olarak farklı nitelikteki nesneler elde edeceğiz:

Çapraz çarpım oldukça akıllıca yapılmıştır. Bir sonraki makalede bunun nasıl yapılacağını ve neden gerekli olduğunu tartışacağız. Ve bunda skaler çarpıma odaklanacağız.

Bunu hesaplamamıza izin veren iki yol var:

Tahmin ettiğiniz gibi sonuç aynı olmalı! O halde önce ilk yönteme bakalım:

Koordinatlar aracılığıyla nokta çarpımı

Bul: - skaler çarpım için genel kabul görmüş gösterim

Hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

Yani skaler çarpım = vektör koordinatlarının çarpımlarının toplamı!

Örnek:

Bul-di-te

Çözüm:

Her bir vektörün koordinatlarını bulalım:

Skaler çarpımı aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:

Cevap:

Bakın kesinlikle karmaşık bir şey yok!

Peki, şimdi kendiniz deneyin:

· Yüzyılların skaler bir pro-iz-ve-de-nie'sini bulun ve

Başarabildin mi? Belki küçük bir yakalama fark ettiniz? Kontrol edelim:

Önceki problemde olduğu gibi vektör koordinatları! Cevap: .

Koordinat olana ek olarak, skaler çarpımı hesaplamanın başka bir yolu da vardır, yani vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsü aracılığıyla:

Ve vektörleri arasındaki açıyı belirtir.

Yani skaler çarpım, vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir.

Madem ki çok daha basit olan birinci formüle sahibiz, en azından içinde kosinüs yok, bu ikinci formüle neden ihtiyacımız var? Ve birinci ve ikinci formüllerden vektörler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı çıkarabilmemiz için buna ihtiyaç var!

O zaman vektörün uzunluğunun formülünü hatırlayalım!

Daha sonra bu verileri skaler çarpım formülünde değiştirirsem şunu elde ederim:

Ama öte yandan:

Peki sen ve ben ne elde ettik? Artık iki vektör arasındaki açıyı hesaplamamızı sağlayan bir formülümüz var! Bazen kısa olması açısından şu şekilde de yazılır:

Yani, vektörler arasındaki açıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Koordinatlar aracılığıyla skaler çarpımı hesaplayın
2. Vektörlerin uzunluklarını bulun ve çarpın
3. 1. noktanın sonucunu 2. noktanın sonucuna bölün

Örneklerle pratik yapalım:

1. Göz kapakları ile arasındaki açıyı bulun. Cevabı grad-du-sah'ta verin.

2. Önceki problemin koşullarında vektörler arasındaki kosinüsü bulun

Haydi şunu yapalım: İlk sorunu çözmenize yardım edeceğim ve ikincisini kendiniz yapmaya çalışın! Kabul etmek? O zaman başlayalım!

1. Bu vektörler bizim eski dostlarımızdır. Skaler çarpımlarını zaten hesaplamıştık ve eşitti. Koordinatları: , . Sonra uzunluklarını buluyoruz:

Sonra vektörler arasındaki kosinüsü ararız:

Açının kosinüsü nedir? Burası köşe.

Cevap:

Şimdi ikinci problemi kendiniz çözün ve sonra karşılaştırın! Çok kısa bir çözüm sunacağım:

2. Koordinatları vardır, koordinatları vardır.

Vektörler arasındaki açı olsun ve sonra

Cevap:

Sınav kağıdının B Bölümünde doğrudan vektörler ve koordinat yöntemiyle ilgili problemlerin oldukça nadir olduğunu belirtmek gerekir. Ancak C2 problemlerinin büyük çoğunluğu bir koordinat sistemi getirilerek kolayca çözülebilir. Dolayısıyla bu makaleyi, karmaşık sorunları çözmek için ihtiyaç duyacağımız oldukça akıllı yapılar yapacağımız temel olarak düşünebilirsiniz.

KOORDİNATLAR VE VEKTÖRLER. ORTALAMA SEVİYE

Sen ve ben koordinat yöntemini incelemeye devam ediyoruz. Son bölümde aşağıdakileri yapmanıza olanak tanıyan bir dizi önemli formül türettik:

1. Vektör koordinatlarını bulun
2. Bir vektörün uzunluğunu bulun (alternatif olarak: iki nokta arasındaki mesafe)
3. Vektörleri ekleyin ve çıkarın. Bunları gerçek sayıyla çarpın
4. Bir segmentin orta noktasını bulun
5. Vektörlerin nokta çarpımını hesaplayın
6. Vektörler arasındaki açıyı bulun

Elbette koordinat yönteminin tamamı bu 6 noktaya sığmıyor. Üniversitede aşina olacağınız analitik geometri gibi bir bilimin temelini oluşturur. Sorunları tek bir eyalette çözmenize olanak sağlayacak bir temel oluşturmak istiyorum. sınav. Bölüm B'nin görevlerini ele aldık. Şimdi tamamen yeni bir seviyeye geçme zamanı! Bu makale, koordinat yöntemine geçmenin makul olacağı C2 problemlerini çözmeye yönelik bir yönteme ayrılacaktır. Bu makullük problemde neyin bulunması gerektiği ve hangi rakamın verildiği ile belirlenir. Dolayısıyla sorular şu şekildeyse koordinat yöntemini kullanırdım:

1. İki düzlem arasındaki açıyı bulun
2. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun
3. İki düz çizgi arasındaki açıyı bulun
4. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun
5. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun
6. Düz bir çizgiden bir düzleme olan mesafeyi bulun
7. İki çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Problem ifadesinde verilen şekil dönen bir cisim ise (top, silindir, koni...)

Koordinat yöntemi için uygun rakamlar şunlardır:

1. Dikdörtgen paralel yüzlü
2. Piramit (üçgen, dörtgen, altıgen)

Ayrıca deneyimlerime göre için koordinat yöntemini kullanmak uygun değildir.:

1. Kesit alanlarını bulma
2. Vücut hacimlerinin hesaplanması

Ancak hemen belirtmek gerekir ki koordinat yöntemi için üç "olumsuz" durum pratikte oldukça nadirdir. Çoğu görevde kurtarıcınız olabilir, özellikle de üç boyutlu yapılar konusunda pek iyi değilseniz (ki bu bazen oldukça karmaşık olabilir).

Yukarıda listelediğim tüm rakamlar nelerdir? Artık örneğin kare, üçgen, daire gibi düz değiller, hacimlidirler! Buna göre iki boyutlu değil, üç boyutlu bir koordinat sistemini düşünmemiz gerekiyor. Oluşturulması oldukça kolaydır: apsis ve ordinat eksenine ek olarak başka bir eksen, uygulama ekseni tanıtacağız. Şekil şematik olarak göreceli konumlarını göstermektedir:

Hepsi birbirine dik ve koordinatların orijini diyeceğimiz bir noktada kesişiyor. Daha önce olduğu gibi, apsis eksenini, ordinat eksenini ve tanıtılan uygulama eksenini - göstereceğiz.

Daha önce düzlemdeki her nokta iki sayıyla (apsis ve koordinat) tanımlanıyorsa, uzaydaki her nokta zaten üç sayıyla (apsis, ordinat ve aplike) tanımlanıyordu. Örneğin:

Buna göre bir noktanın apsisi eşittir, ordinatı dır ve uygulaması dır.

Bazen bir noktanın apsisine, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü, ordinat - bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü ve uygulama - bir noktanın uygulama eksenine izdüşümü de denir. Buna göre, bir nokta verilirse koordinatları olan bir nokta:

bir noktanın düzleme izdüşümüne denir

bir noktanın düzleme izdüşümüne denir

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: İki boyutlu durum için türetilen tüm formüller uzayda geçerli midir? Cevap evet, adil ve aynı görünüme sahipler. Küçük bir detay için. Sanırım hangisi olduğunu zaten tahmin ettiniz. Tüm formüllerde uygulama ekseninden sorumlu bir terim daha eklememiz gerekecek. Yani.

1. Eğer iki puan verilirse: , o zaman:

• Vektör koordinatları:
• İki nokta arasındaki mesafe (veya vektör uzunluğu)
• Segmentin orta noktasının koordinatları vardır

2. Eğer iki vektör verilirse: ve, o zaman:

• Bunların skaler çarpımı şuna eşittir:
• Vektörler arasındaki açının kosinüsü şuna eşittir:

Ancak uzay o kadar basit değil. Anladığınız gibi, bir koordinat daha eklemek, bu alanda "yaşayan" figürlerin yelpazesine önemli bir çeşitlilik katıyor. Ve daha fazla anlatım için, kabaca konuşursak, düz çizginin bazı "genellemelerini" tanıtmam gerekecek. Bu “genelleme” bir düzlem olacaktır. Uçak hakkında ne biliyorsun? Uçak nedir sorusunu cevaplamaya çalışın. Bunu söylemek çok zor. Ancak hepimiz sezgisel olarak bunun neye benzediğini hayal ederiz:

Kabaca söylemek gerekirse, bu uzaya sıkışmış bir tür sonsuz "çarşaftır". “Sonsuzluk”, düzlemin her yöne uzandığı, yani alanının sonsuza eşit olduğu anlaşılmalıdır. Ancak bu “uygulamalı” açıklama, uçağın yapısı hakkında en ufak bir fikir vermiyor. Ve bizimle ilgilenecek olan odur.

Geometrinin temel aksiyomlarından birini hatırlayalım:

• Düz bir çizgi, düzlem üzerinde iki farklı noktadan geçer ve yalnızca bir tanesi:

Veya uzaydaki analogu:

Elbette, bir çizginin denklemini verilen iki noktadan nasıl çıkaracağınızı hatırlıyorsunuz; bu hiç de zor değil: eğer ilk noktanın koordinatları varsa: ve ikincisi, o zaman çizginin denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

Bunu 7. sınıfta almıştın. Uzayda düz bir çizginin denklemi şuna benzer: Bize koordinatları olan iki nokta verilse: o zaman bunlardan geçen düz çizginin denklemi şu şekilde olur:

Örneğin bir çizgi noktalardan geçer:

Bu nasıl anlaşılmalıdır? Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: Koordinatları aşağıdaki sistemi sağlıyorsa, bir nokta bir çizgi üzerinde yer alır:

Bir doğrunun denklemiyle pek ilgilenmeyeceğiz ama bir doğrunun yön vektörü gibi çok önemli bir kavrama dikkat etmemiz gerekiyor. - belirli bir çizgi üzerinde veya ona paralel olan sıfırdan farklı herhangi bir vektör.

Örneğin, her iki vektör de bir düz çizginin yön vektörleridir. Bir doğru üzerinde uzanan bir nokta ve onun yön vektörü olsun. O halde düz çizginin denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Bir kez daha söylüyorum, düz çizgi denklemiyle pek ilgilenmeyeceğim ama yön vektörünün ne olduğunu hatırlamanıza gerçekten ihtiyacım var! Tekrar: bu, bir doğru üzerinde veya ona paralel olan sıfırdan farklı HERHANGİ bir vektördür.

Geri çekilmek verilen üç noktaya dayalı bir düzlemin denklemi artık o kadar önemsiz değil ve bu konu genellikle lise derslerinde ele alınmıyor. Ama boşuna! Karmaşık sorunları çözmek için koordinat yöntemine başvurduğumuzda bu teknik hayati önem taşır. Ancak yeni bir şeyler öğrenmeye hevesli olduğunuzu varsayıyorum? Üstelik, genellikle analitik geometri derslerinde çalışılan bir tekniğin nasıl kullanılacağını zaten bildiğiniz ortaya çıktığında, üniversitedeki öğretmeninizi etkileyebileceksiniz. Öyleyse başlayalım.

Bir düzlemin denklemi, bir düzlem üzerindeki düz bir çizginin denkleminden çok farklı değildir, yani şu şekildedir:

bazı sayılar (tümü sıfıra eşit değildir), ancak değişkenler, örneğin: vb. Gördüğünüz gibi bir düzlemin denklemi düz bir çizginin denkleminden (doğrusal fonksiyon) çok farklı değildir. Ancak sen ve ben ne tartıştık hatırlıyor musun? Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktamız varsa, o zaman düzlemin denkleminin bunlardan benzersiz bir şekilde yeniden oluşturulabileceğini söyledik. Ama nasıl? Size bunu açıklamaya çalışacağım.

Düzlemin denklemi şu olduğundan:

Ve noktalar bu düzleme aitse, her noktanın koordinatlarını düzlem denkleminde yerine koyarken doğru kimliği elde etmeliyiz:

Bu nedenle bilinmeyen üç denklemin çözülmesi gerekiyor! İkilem! Ancak bunu her zaman varsayabilirsiniz (bunu yapmak için bölmeniz gerekir). Böylece üç bilinmeyenli üç denklem elde ederiz:

Ancak böyle bir sistemi çözmeyeceğiz, ondan çıkan gizemli ifadeyi yazacağız:

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Durmak! Bu nedir? Çok sıradışı bir modül! Ancak karşınızda gördüğünüz nesnenin modülle hiçbir ilgisi yoktur. Bu nesneye üçüncü dereceden determinant denir. Artık düzlemde koordinat yöntemiyle uğraştığınızda aynı determinantlarla çok sık karşılaşacaksınız. Üçüncü dereceden determinant nedir? İşin tuhafı, bu sadece bir sayı. Belirleyiciyle hangi belirli sayıyı karşılaştıracağımızı anlamak için kalır.

Önce üçüncü dereceden determinantı daha genel bir biçimde yazalım:

Bazı numaralar nerede? Ayrıca ilk indeks ile satır numarasını, indeks ile ise sütun numarasını kastediyoruz. Örneğin bu sayının ikinci satır ile üçüncü sütunun kesişiminde olduğu anlamına gelir. Şu soruyu soralım: Böyle bir determinantı tam olarak nasıl hesaplayacağız? Yani, onunla hangi spesifik sayıyı karşılaştıracağız? Üçüncü dereceden determinant için buluşsal (görsel) bir üçgen kuralı vardır, şuna benzer:

1. Ana köşegenin elemanlarının çarpımı (sol üst köşeden sağ alta kadar) ana köşegene “dik” olan birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı Ana köşegene “dik” olan ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ana diyagonal
2. İkincil köşegenin elemanlarının çarpımı (sağ üst köşeden sol alta kadar) ikincil köşegene “dik” olan birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı İkinci köşegene “dik” olan ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikincil diyagonal
3. Daha sonra determinant, adımda elde edilen değerler arasındaki farka eşittir ve

Bütün bunları rakamlarla yazarsak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bununla birlikte, bu formdaki hesaplama yöntemini hatırlamanıza gerek yoktur; sadece üçgenleri kafanızda tutmanız ve neyin neye ekleneceği ve daha sonra neyin neyden çıkarılacağı fikrini aklınızda tutmanız yeterlidir).

Üçgen yöntemini bir örnekle açıklayalım:

1. Belirleyiciyi hesaplayın:

Ne eklediğimizi ve ne çıkardığımızı bulalım:

Artı ile gelen terimler:

Bu ana köşegendir: elemanların çarpımı eşittir

İlk üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı eşittir"

İkinci üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı eşittir"

Üç sayıyı toplayın:

Eksi ile gelen terimler

Bu bir yan köşegendir: elemanların çarpımı eşittir

İlk üçgen, “ikincil köşegenlere dik: elemanların çarpımı şuna eşittir:

İkinci üçgen, “ikincil köşegenlere dik: elemanların çarpımı eşittir

Üç sayıyı toplayın:

Geriye kalan tek şey “artı” terimlerin toplamını “eksi” terimlerin toplamından çıkarmaktır:

Böylece,

Gördüğünüz gibi üçüncü dereceden determinantların hesaplanmasında karmaşık veya doğaüstü hiçbir şey yoktur. Üçgenleri hatırlamak ve aritmetik hatalar yapmamak önemlidir. Şimdi bunu kendiniz hesaplamaya çalışın:

Görev: Belirtilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

1. Ana köşegene dik olan ilk üçgen:
2. Ana köşegene dik ikinci üçgen:
3. Artı ile terimlerin toplamı:
4. İkincil köşegene dik olan ilk üçgen:
5. Yan köşegenlere dik olan ikinci üçgen:
6. Eksili terimlerin toplamı:
7. Artı olan terimlerin toplamı eksi eksi olan terimlerin toplamı:

İşte birkaç belirleyici daha: değerlerini kendiniz hesaplayın ve cevaplarla karşılaştırın:

Cevaplar:

Peki her şey çakıştı mı? Harika, o zaman devam edebilirsiniz! Zorluklar varsa, tavsiyem şu: İnternette determinantı çevrimiçi hesaplamak için birçok program var. İhtiyacınız olan tek şey, kendi determinantınızı bulmak, onu kendiniz hesaplamak ve ardından onu programın hesapladığıyla karşılaştırmaktır. Ve sonuçlar çakışmaya başlayana kadar böyle devam eder. Bu anın gelmesinin uzun sürmeyeceğine eminim!

Şimdi verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denkleminden bahsederken yazdığım determinant konusuna geri dönelim:

İhtiyacınız olan tek şey, değerini doğrudan hesaplamak (üçgen yöntemini kullanarak) ve sonucu sıfıra ayarlamaktır. Doğal olarak bunlar değişken olduğundan onlara bağlı bazı ifadeler elde edersiniz. Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi olacak olan bu ifadedir!

Bunu basit bir örnekle açıklayalım:

1. Noktalardan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun

Bu üç nokta için bir determinant derliyoruz:

Basitleştirelim:

Şimdi bunu doğrudan üçgen kuralını kullanarak hesaplıyoruz:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ sağ| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Böylece noktalardan geçen düzlemin denklemi şu şekildedir:

Şimdi bir sorunu kendiniz çözmeye çalışın, sonra tartışacağız:

2. Noktalardan geçen düzlemin denklemini bulun

Şimdi çözümü tartışalım:

Bir determinant oluşturalım:

Ve değerini hesaplayın:

O halde düzlemin denklemi şu şekildedir:

Veya azaltarak şunu elde ederiz:

Şimdi kendi kendini kontrol etmek için iki görev:

1. Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun:

Cevaplar:

Her şey çakıştı mı? Yine, bazı zorluklar varsa, o zaman tavsiyem şudur: Kafanızdan üç nokta alın (yüksek olasılıkla aynı düz çizgide uzanmayacaklardır), bunlara dayalı bir uçak yapın. Daha sonra kendinizi çevrimiçi olarak kontrol edersiniz. Örneğin sitede:

Ancak determinantların yardımıyla sadece düzlemin denklemini oluşturmayacağız. Hatırlayın, size vektörler için sadece nokta çarpımının tanımlanmadığını söylemiştim. Karışık bir çarpımın yanı sıra bir vektör çarpımı da vardır. Ve eğer iki vektörün skaler çarpımı bir sayı ise, o zaman iki vektörün vektör çarpımı bir vektör olacak ve bu vektör verilenlere dik olacaktır:

Üstelik modülü ve vektörleri üzerine kurulu bir paralelkenarın alanına eşit olacaktır. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için bu vektöre ihtiyacımız olacak. Vektörlerin vektör çarpımını ve koordinatları verilmişse nasıl hesaplayabiliriz? Üçüncü dereceden determinant yine yardımımıza koşuyor. Ancak vektör çarpımını hesaplamak için kullanılan algoritmaya geçmeden önce küçük bir açıklama yapmam gerekiyor.

Bu arasöz temel vektörlerle ilgilidir.

Şekilde şematik olarak gösterilmiştir:

Neden bunlara temel denildiğini düşünüyorsunuz? Önemli olan şu:

Veya resimde:

Bu formülün geçerliliği açıktır çünkü:

Vektör çizimleri

Artık çapraz çarpımı tanıtmaya başlayabilirim:

İki vektörün vektör çarpımı bir vektördür ve aşağıdaki kurala göre hesaplanır:

Şimdi çapraz çarpımın hesaplanmasına ilişkin bazı örnekler verelim:

Örnek 1: Vektörlerin çapraz çarpımını bulun:

Çözüm: Bir determinant oluşturuyorum:

Ve bunu hesaplıyorum:

Şimdi temel vektörler üzerinden yazdıktan sonra olağan vektör gösterimine döneceğim:

Böylece:

Şimdi dene.

Hazır? Kontrol ediyoruz:

Ve geleneksel olarak iki kontrol için görevler:

1. Aşağıdaki vektörlerin vektör çarpımını bulun:
2. Aşağıdaki vektörlerin vektör çarpımını bulun:

Cevaplar:

Üç vektörün karışık çarpımı

İhtiyacım olan son yapı üç vektörün karışık çarpımıdır. Skaler gibi bir sayıdır. Bunu hesaplamanın iki yolu vardır. - bir determinant yoluyla, - bir karma çarpım aracılığıyla.

Yani bize üç vektör verilsin:

Daha sonra ile gösterilen üç vektörün karışık çarpımı şu şekilde hesaplanabilir:

1. - yani karışık çarpım bir vektörün skaler çarpımı ile diğer iki vektörün vektör çarpımıdır

Örneğin, üç vektörün karışık çarpımı şöyledir:

Vektör çarpımını kullanarak bunu kendiniz hesaplamaya çalışın ve sonuçların eşleştiğinden emin olun!

Ve yine bağımsız çözümler için iki örnek:

Cevaplar:

Koordinat sisteminin seçilmesi

Artık karmaşık stereometrik geometri problemlerini çözmek için gerekli tüm bilgi temeline sahibiz. Ancak bunları çözmek için doğrudan örneklere ve algoritmalara geçmeden önce şu soru üzerinde durmanın faydalı olacağına inanıyorum: Tam olarak nasıl belirli bir şekil için bir koordinat sistemi seçin. Sonuçta, hesaplamaların ne kadar hantal olacağını nihai olarak belirleyecek olan, koordinat sisteminin göreceli konumunun ve uzaydaki şeklin seçimidir.

Bu bölümde aşağıdaki rakamları dikkate aldığımızı hatırlatmama izin verin:

1. Dikdörtgen paralel yüzlü
2. Düz prizma (üçgen, altıgen...)
3. Piramit (üçgen, dörtgen)
4. Tetrahedron (üçgen piramit ile aynı)

Dikdörtgen paralel yüzlü veya küp için size aşağıdaki yapıyı öneririm:

Yani figürü “köşeye” yerleştireceğim. Küp ve paralel yüzlü çok iyi figürlerdir. Onlar için köşelerinin koordinatlarını her zaman kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, eğer (resimde gösterildiği gibi)

bu durumda köşelerin koordinatları aşağıdaki gibidir:

Tabii ki, bunu hatırlamanıza gerek yok, ancak bir küp veya dikdörtgen paralel borunun en iyi nasıl yerleştirileceğini hatırlamanız tavsiye edilir.

Düz prizma

Prizma daha zararlı bir figürdür. Uzayda farklı şekillerde konumlandırılabilir. Ancak aşağıdaki seçenek bana en kabul edilebilir görünüyor:

Üçgen prizma:

Yani üçgenin kenarlarından birini tamamen eksene yerleştiriyoruz ve köşelerden biri koordinatların orijini ile çakışıyor.

Altıgen prizma:

Yani köşelerden biri orijine denk gelir ve kenarlardan biri eksen üzerinde yer alır.

Dörtgen ve altıgen piramit:

Durum bir küpe benzer: tabanın iki tarafını koordinat eksenleriyle hizalıyoruz ve köşelerden birini koordinatların kökeniyle hizalıyoruz. Tek hafif zorluk noktanın koordinatlarını hesaplamak olacaktır.

Altıgen bir piramit için - altıgen prizmayla aynı. Ana görev yine tepe noktasının koordinatlarını bulmak olacaktır.

Tetrahedron (üçgen piramit)

Durum üçgen prizma için verdiğim duruma çok benziyor: bir köşe orijine denk geliyor, bir taraf koordinat ekseninde yatıyor.

Artık sen ve ben nihayet sorunları çözmeye başlamaya yaklaştık. Makalenin en başında söylediklerimden şu sonucu çıkarabilirsiniz: C2 problemlerinin çoğu 2 kategoriye ayrılır: açı problemleri ve mesafe problemleri. Öncelikle açı bulma problemlerine bakacağız. Bunlar sırasıyla aşağıdaki kategorilere ayrılır (karmaşıklık arttıkça):

Açı bulma problemleri

1. İki düz çizgi arasındaki açıyı bulma
2. İki düzlem arasındaki açıyı bulma

Bu problemlere sırasıyla bakalım: İki düz çizgi arasındaki açıyı bularak başlayalım. Peki, unutma, sen ve ben daha önce benzer örnekleri çözmemiş miydik? Hatırlıyor musunuz, buna benzer bir şeyimiz vardı zaten... İki vektör arasındaki açıyı arıyorduk. Hatırlatayım, eğer iki vektör verilirse ve aralarındaki açı bağıntıdan bulunursa:

Şimdi amacımız iki düz çizgi arasındaki açıyı bulmak. “Düz resme” bakalım:

İki düz çizgi kesiştiğinde kaç açı elde ettik? Sadece birkaç şey. Doğru, bunlardan sadece ikisi eşit değil, diğerleri ise onlara dikey (ve dolayısıyla onlarla çakışıyor). Peki iki düz çizgi arasındaki açıyı hangi açı olarak düşünmeliyiz: veya? Burada kural şudur: iki düz çizgi arasındaki açı her zaman dereceden fazla değildir. Yani iki açıdan her zaman derece ölçüsü en küçük olan açıyı seçeceğiz. Yani bu resimde iki düz çizgi arasındaki açı eşittir. Kurnaz matematikçiler, her seferinde iki açıdan en küçüğünü bulma zahmetine girmemek için bir modül kullanmayı önerdiler. Böylece iki düz çizgi arasındaki açı aşağıdaki formülle belirlenir:

Dikkatli bir okuyucu olarak sizin şu soruyu sormanız gerekirdi: Bir açının kosinüsünü hesaplamak için ihtiyaç duyduğumuz bu sayıları tam olarak nereden alıyoruz? Cevap: Bunları doğruların yön vektörlerinden alacağız! Böylece iki düz çizgi arasındaki açıyı bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Formül 1'i uyguluyoruz.

Veya daha ayrıntılı olarak:

1. İlk düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
2. İkinci düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
3. Skaler çarpımlarının modülünü hesaplıyoruz
4. İlk vektörün uzunluğunu arıyoruz
5. İkinci vektörün uzunluğunu arıyoruz
6. 4. noktanın sonuçlarını 5. noktanın sonuçlarıyla çarpın
7. 3. noktanın sonucunu 6. noktanın sonucuna bölüyoruz. Doğrular arasındaki açının kosinüsünü alıyoruz
8. Bu sonuç açıyı doğru bir şekilde hesaplamamıza izin veriyorsa, onu ararız.
9. Aksi takdirde ark kosinüs yoluyla yazarız

Eh, şimdi sıra sorunlara geçiyor: İlk ikisinin çözümünü detaylı olarak göstereceğim, diğerinin çözümünü kısaca sunacağım ve son iki sorunun sadece taşımanız gereken cevaplarını vereceğim; onlar için tüm hesaplamaları kendiniz yapın.

Görevler:

1. Sağ tet-ra-ed-re'de, tet-ra-ed-ra'nın yüksekliği ile orta taraf arasındaki açıyı bulun.

2. Sağdaki altı köşeli pi-ra-mi-de'de yüz os-no-va-niya eşittir ve yan kenarlar eşittir, ve çizgileri arasındaki açıyı bulun.

3. Sağdaki dört kömürlü pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun ve eğer kesimden itibaren - verilen pi-ra-mi-dy ile iseniz, nokta bo-co-ikinci kaburga üzerinde se-re-di-dir

4. Küpün kenarında düz çizgiler arasındaki açıyı bulacak şekilde bir nokta vardır.

5. Nokta - küpün kenarlarında Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun.

Görevleri bu sıraya göre düzenlemem tesadüf değil. Koordinat yöntemini kullanmaya başlamak için henüz vaktiniz olmasa da, ben en “sorunlu” rakamları kendim analiz edeceğim ve en basit küple uğraşmayı size bırakacağım! Yavaş yavaş tüm rakamlarla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekecek; Konudan konuya görevlerin karmaşıklığını artıracağım.

Sorunları çözmeye başlayalım:

1. Bir tetrahedron çizin ve daha önce önerdiğim gibi koordinat sistemine yerleştirin. Tetrahedron düzgün olduğundan, tüm yüzleri (taban dahil) düzgün üçgenlerdir. Kenarın uzunluğu verilmediğine göre bunu eşit alabilirim. Sanırım açının aslında tetrahedronumuzun ne kadar "gerildiğine" bağlı olmayacağını anladınız mı? Ayrıca tetrahedrondaki yüksekliği ve ortancayı da çizeceğim. Yol boyunca tabanını çizeceğim (bizim için de faydalı olacak).

ile arasındaki açıyı bulmam gerekiyor. Ne biliyoruz? Sadece noktanın koordinatını biliyoruz. Bu, noktaların koordinatlarını bulmamız gerektiği anlamına gelir. Şimdi şöyle düşünüyoruz: Bir nokta, üçgenin yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya kenarortaylarının) kesişme noktasıdır. Ve bir nokta yükseltilmiş bir noktadır. Nokta segmentin ortasıdır. O zaman nihayet şunu bulmamız gerekiyor: noktaların koordinatları: .

En basit şeyle başlayalım: noktanın koordinatları. Şekle bakın: Bir noktanın uygulamasının sıfıra eşit olduğu açıktır (nokta düzlem üzerindedir). Ordinatı eşittir (ortanca olduğu için). Apsislerini bulmak daha zordur. Ancak bu Pisagor teoremine dayanarak kolaylıkla yapılabilir: Bir üçgen düşünün. Hipotenüsü eşittir ve bacaklarından biri eşittir O halde:

Sonunda elimizde: .

Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Uygulamasının yine sıfıra eşit olduğu ve koordinatının noktanınkiyle aynı olduğu açıktır. Apsisini bulalım. Bunu hatırlarsanız, bu oldukça önemsiz bir şekilde yapılır. eşkenar üçgenin kesişme noktasına göre yükseklikleri orantılı olarak bölünür, üstten sayıyorum. Çünkü: , o zaman parçanın uzunluğuna eşit olan noktanın gerekli apsisi şuna eşittir: . Buna göre noktanın koordinatları şöyledir:

Noktanın koordinatlarını bulalım. Apsis ve koordinatının noktanın apsis ve koordinatıyla örtüştüğü açıktır. Ve uygulama, segmentin uzunluğuna eşittir. - bu üçgenin bacaklarından biri. Bir üçgenin hipotenüsü bir segmenttir - bir bacak. Kalın harflerle işaretlediğim nedenlerle aranıyor:

Nokta segmentin ortasıdır. O zaman parçanın orta noktasının koordinatlarının formülünü hatırlamamız gerekiyor:

İşte bu kadar, şimdi yön vektörlerinin koordinatlarını arayabiliriz:

Her şey hazır: tüm verileri formüle yerleştiriyoruz:

Böylece,

Cevap:

Bu tür "korkutucu" yanıtlardan korkmamalısınız: C2 görevleri için bu yaygın bir uygulamadır. Bu bölümdeki “güzel” cevaba şaşırmayı tercih ederim. Ayrıca, fark ettiğiniz gibi, Pisagor teoremi ve eşkenar üçgenin yükseklik özelliği dışında pratikte hiçbir şeye başvurmadım. Yani stereometrik problemi çözmek için minimum stereometriyi kullandım. Bundaki kazanç oldukça hantal hesaplamalarla kısmen “söndürülmüştür”. Ama oldukça algoritmikler!

2. Koordinat sistemi ve tabanıyla birlikte düzenli bir altıgen piramidi tasvir edelim:

Çizgiler arasındaki açıyı bulmamız gerekiyor. Böylece görevimiz noktaların koordinatlarını bulmaktır: . Küçük bir çizim kullanarak son üçünün koordinatlarını bulacağız ve noktanın koordinatı üzerinden tepe noktasının koordinatını bulacağız. Yapılacak çok iş var ama başlamamız gerekiyor!

a) Koordinat: Uygulama ve ordinatının sıfıra eşit olduğu açıktır. Apsis'i bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün. Ne yazık ki, burada sadece eşit olan hipotenüsü biliyoruz. Bacağını bulmaya çalışacağız (çünkü bacağın iki katı uzunluğunun bize noktanın apsisini vereceği açıktır). Onu nasıl arayabiliriz? Piramidin tabanında nasıl bir figür olduğunu hatırlayalım mı? Bu normal bir altıgen. Bu ne anlama gelir? Bu, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu anlamına gelir. Böyle bir açı bulmamız gerekiyor. Herhangi bir fikrin var mı? Pek çok fikir var ama bir formül var:

Düzenli bir n-gon'un açılarının toplamı .

Böylece düzgün altıgenin açılarının toplamı dereceye eşittir. O halde açıların her biri şuna eşittir:

Fotoğrafa tekrar bakalım. Doğru parçasının açının ortaortayı olduğu açıktır. O zaman açı dereceye eşittir. Daha sonra:

O zaman nereden.

Böylece koordinatları vardır

b) Artık noktanın koordinatını kolaylıkla bulabiliriz: .

c) Noktanın koordinatlarını bulun. Apsisleri segmentin uzunluğuna denk geldiğinden eşittir. Ordinatı bulmak da çok zor değil: Noktaları birleştirirsek ve düz çizginin kesişme noktasını örneğin olarak belirlersek. (basit inşaatı kendiniz yapın). O halde B noktasının ordinatı, parçaların uzunluklarının toplamına eşittir. Şimdi üçgene tekrar bakalım. Daha sonra

O zamandan bu yana noktanın koordinatları var

d) Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Dikdörtgeni düşünün ve şunu kanıtlayın: Böylece noktanın koordinatları:

e) Geriye tepe noktasının koordinatlarını bulmak kalır. Apsis ve koordinatının noktanın apsis ve koordinatıyla örtüştüğü açıktır. Uygulamayı bulalım. O zamandan beri. Bir dik üçgen düşünün. Sorunun durumuna göre bir yan kenar. Bu benim üçgenimin hipotenüsü. O halde piramidin yüksekliği bir bacaktır.

O zaman noktanın koordinatları vardır:

İşte bu kadar, ilgimi çeken tüm noktaların koordinatları elimde. Düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin koordinatlarını arıyorum:

Bu vektörler arasındaki açıyı arıyoruz:

Cevap:

Yine, bu problemi çözerken, düzenli bir n-gon'un açılarının toplamı formülü ve ayrıca bir dik üçgenin kosinüs ve sinüs tanımı dışında herhangi bir karmaşık teknik kullanmadım.

3. Piramidin kenarlarının uzunlukları yine bize verilmediğinden, bunları bire eşit kabul edeceğim. Böylece, sadece yan kenarlar değil, TÜM kenarlar birbirine eşit olduğundan, piramidin tabanında ve bende bir kare vardır ve yan yüzler normal üçgenlerdir. Problem metninde verilen tüm verileri not ederek böyle bir piramidi ve tabanını bir düzlem üzerine çizelim:

ile arasındaki açıyı arıyoruz. Noktaların koordinatlarını araştırırken çok kısa hesaplamalar yapacağım. Bunları “deşifre etmeniz” gerekecek:

b) - segmentin ortası. Koordinatları:

c) Pisagor teoremini kullanarak bir üçgende doğru parçasının uzunluğunu bulacağım. Bunu bir üçgende Pisagor teoremini kullanarak bulabilirim.

Koordinatlar:

d) - segmentin ortası. Koordinatları

e) Vektör koordinatları

f) Vektör koordinatları

g) Açının aranması:

Küp en basit şekildir. Eminim bunu kendi başınıza çözeceksiniz. 4. ve 5. sorunun cevapları aşağıdaki gibidir:

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma

Basit bulmacaların zamanı bitti! Şimdi örnekler daha da karmaşık olacak. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulmak için şu şekilde ilerleyeceğiz:

1. Üç noktayı kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz
   ,
   üçüncü dereceden bir determinant kullanarak.
2. İki nokta kullanarak düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını ararız:
3. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı hesaplamak için formülü uygularız:

Gördüğünüz gibi bu formül, iki düz çizgi arasındaki açıları bulmak için kullandığımız formüle çok benziyor. Sağ taraftaki yapı tamamen aynıdır ve solda artık daha önce olduğu gibi kosinüsü değil sinüsü arıyoruz. Buna kötü bir eylem daha eklendi: Düzlemin denklemini aramak.

Ertelemeyelim çözüm örnekleri:

1. Ana-ama-va-ni-em doğrudan prizma-biz sizin-fakir-ren-üçgeninin-takma adı ile eşitiz-ve-o prizma-biz eşitiz. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

2. Batıdan dikdörtgen bir par-ral-le-le-pi-pe-de'de Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

3. Altı köşeli bir sağ prizmada tüm kenarlar eşittir. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

4. Bilinen kaburgaların os-no-va-ni-em'i ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de Bir köşe bulun, ob-ra-zo-van -taban olarak düz ve düz, griden geçen kaburga ve

5. Tepe noktası olan dik dörtgensel pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Nokta pi-ra-mi-dy'nin kenarının ortasındaysa, düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

Yine ilk iki problemi detaylı, üçüncüyü kısaca çözeceğim ve son ikisini kendi başınıza çözmenize bırakacağım. Üstelik zaten üçgen ve dörtgen piramitlerle uğraşmak zorundaydınız ama henüz prizmalarla uğraşmadınız.

Çözümler:

1. Bir prizmayı ve tabanını tasvir edelim. Bunu koordinat sistemiyle birleştirelim ve problem ifadesinde verilen tüm verileri not edelim:

Oranlara uymadığım için özür dilerim, ancak sorunu çözmek için bu aslında o kadar da önemli değil. Uçak, prizmamın basitçe "arka duvarı"dır. Böyle bir düzlemin denkleminin şu şekilde olduğunu basitçe tahmin etmek yeterlidir:

Ancak bu doğrudan gösterilebilir:

Bu düzlemde rastgele üç nokta seçelim: örneğin .

Düzlemin denklemini oluşturalım:

Kendiniz için egzersiz yapın: Bu determinantı kendiniz hesaplayın. Başarılı oldun mu? O zaman düzlemin denklemi şöyle görünür:

Veya sadece

Böylece,

Örneği çözmek için düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını bulmam gerekiyor. Nokta koordinatların orijini ile çakıştığı için vektörün koordinatları noktanın koordinatlarıyla çakışacaktır. Bunu yapmak için önce noktanın koordinatlarını buluyoruz.

Bunu yapmak için bir üçgen düşünün. Tepe noktasından yüksekliği (medyan ve açıortay olarak da bilinir) çizelim. Çünkü noktanın ordinatı eşittir. Bu noktanın apsisini bulmak için doğru parçasının uzunluğunu hesaplamamız gerekir. Pisagor teoremine göre elimizde:

O zaman noktanın koordinatları vardır:

Nokta "yükseltilmiş" bir noktadır:

O zaman vektör koordinatları şöyledir:

Cevap:

Gördüğünüz gibi, bu tür sorunları çözerken temelde zor olan hiçbir şey yoktur. Aslında prizma gibi bir şeklin “düzlüğü” ile süreç biraz daha basitleştirilmiştir. Şimdi bir sonraki örneğe geçelim:

2. Bir paralel uçlu çizin, içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin ve ayrıca alt tabanını ayrı ayrı çizin:

İlk önce düzlemin denklemini buluyoruz: İçinde bulunan üç noktanın koordinatları:

(ilk iki koordinat net bir şekilde elde edilmiştir ve son koordinatı noktadan itibaren resimden rahatlıkla bulabilirsiniz). Daha sonra düzlemin denklemini oluştururuz:

Hesaplıyoruz:

Kılavuz vektörün koordinatlarını arıyoruz: Koordinatlarının noktanın koordinatlarıyla örtüştüğü açık değil mi? Koordinatlar nasıl bulunur? Bunlar, uygulanan eksen boyunca birer yükseltilmiş noktanın koordinatlarıdır! . Sonra istenen açıyı ararız:

Cevap:

3. Düzenli bir altıgen piramit çizin ve içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin.

Burada bir düzlem çizmek bile sorunlu, bu sorunu çözmekten bahsetmiyorum bile, ancak koordinat yöntemi umursamıyor! Çok yönlülüğü ana avantajıdır!

Uçak üç noktadan geçer: . Koordinatlarını arıyoruz:

1). Son iki noktanın koordinatlarını kendiniz bulun. Bunun için altıgen piramit problemini çözmeniz gerekecek!

2) Düzlemin denklemini oluşturuyoruz:

Vektörün koordinatlarını arıyoruz: . (Üçgen piramit problemine tekrar bakın!)

3) Bir açı arıyorum:

Cevap:

Gördüğünüz gibi bu görevlerde doğaüstü derecede zor olan hiçbir şey yok. Sadece köklere çok dikkat etmeniz gerekiyor. Sadece son iki sorunun cevabını vereceğim:

Gördüğünüz gibi problemleri çözme tekniği her yerde aynıdır: Asıl görev, köşelerin koordinatlarını bulmak ve bunları belirli formüllerde değiştirmektir. Açıları hesaplamak için hala bir sınıf problemi daha ele almamız gerekiyor:

İki düzlem arasındaki açıların hesaplanması

Çözüm algoritması şu şekilde olacaktır:

1. Üç noktayı kullanarak ilk düzlemin denklemini ararız:
2. Diğer üç noktayı kullanarak ikinci düzlemin denklemini ararız:
3. Formülü uyguluyoruz:

Gördüğünüz gibi formül, düz çizgiler arasındaki ve düz çizgi ile düzlem arasındaki açıları aradığımız önceki iki formüle çok benziyor. Bu yüzden bunu hatırlamanız sizin için zor olmayacak. Görevlerin analizine geçelim:

1. Sağ üçgen prizmanın tabanının kenarı eşittir ve yan yüzün köşegeni eşittir. Düzlem ile prizmanın eksen düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. Tüm kenarları eşit olan sağdaki dört köşeli pi-ra-mi-de'de, kalem-di-ku- noktasından geçen düzlem ile düzlem kemiği arasındaki açının sinüsünü bulun. lyar-ama düz.

3. Normal bir dört köşeli prizmada tabanın kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Benden-che-on'un kenarında bir nokta var ki. Düzlemler arasındaki açıyı bulun ve

4. Bir dik dörtgen prizmada tabanın kenarları eşit ve yan kenarlar eşittir. Bu noktadan itibaren kenarda bir nokta var ve böylece düzlemler arasındaki açıyı bulun.

5. Bir küpte düzlemler ile düzlemler arasındaki açının kosinüsünü bulun.

Sorun çözümleri:

1. Düzenli (tabanda bir eşkenar üçgen) üçgen prizma çiziyorum ve problem ifadesinde görünen düzlemleri bunun üzerine işaretliyorum:

İki düzlemin denklemlerini bulmamız gerekiyor: Tabanın denklemi önemsizdir: karşılık gelen determinantı üç noktayı kullanarak oluşturabilirsiniz, ancak denklemi hemen oluşturacağım:

Şimdi denklemi bulalım Noktanın koordinatları Noktadır - Üçgenin ortancası ve yüksekliği olduğundan, üçgende Pisagor teoremi kullanılarak kolayca bulunur. O zaman noktanın koordinatları vardır: Noktanın uygulamasını bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün.

Daha sonra aşağıdaki koordinatları elde ederiz: Düzlemin denklemini oluştururuz.

Düzlemler arasındaki açıyı hesaplıyoruz:

Cevap:

2. Çizim yapmak:

En zor şey, noktadan dik olarak geçen bu gizemli düzlemin ne olduğunu anlamaktır. Peki, asıl mesele şu ki, bu nedir? Önemli olan dikkat! Aslında çizgi diktir. Düz çizgi aynı zamanda diktir. O halde bu iki doğrunun içinden geçen düzlem, doğruya dik olacak ve bu arada, noktadan geçecektir. Bu düzlem aynı zamanda piramidin tepesinden de geçer. Sonra istenen uçak - Ve uçak zaten bize verildi. Noktaların koordinatlarını arıyoruz.

Noktanın koordinatını noktadan geçerek buluyoruz. Küçük resimden noktanın koordinatlarının şu şekilde olacağı sonucunu çıkarmak kolaydır: Piramidin tepesinin koordinatlarını bulmak için şimdi ne bulunacak? Ayrıca yüksekliğini de hesaplamanız gerekir. Bu, aynı Pisagor teoremi kullanılarak yapılır: önce bunu kanıtlayın (önemsiz olarak tabanda bir kare oluşturan küçük üçgenlerden). Koşullu olarak elimizde:

Artık her şey hazır: köşe koordinatları:

Düzlemin denklemini oluşturuyoruz:

Belirleyicileri hesaplama konusunda zaten uzmansınız. Zorluk yaşamadan şunları alacaksınız:

Veya aksi takdirde (her iki tarafı da ikinin köküyle çarparsak)

Şimdi düzlemin denklemini bulalım:

(Düzlem denklemini nasıl elde ettiğimizi unutmadınız değil mi? Bu eksi birin nereden geldiğini anlamıyorsanız, o zaman düzlem denkleminin tanımına geri dönün! Her zaman ondan önce ortaya çıktı. uçağım kökene aitti!)

Belirleyiciyi hesaplıyoruz:

(Düzlemin denkleminin noktalardan geçen doğrunun denklemiyle örtüştüğünü fark etmişsinizdir! Nedenini bir düşünün!)

Şimdi açıyı hesaplayalım:

Sinüs bulmamız gerekiyor:

Cevap:

3. Zor soru: Sizce dikdörtgen prizma nedir? Bu sadece iyi bildiğiniz bir paralelyüzlü! Hemen bir çizim yapalım! Tabanı ayrı ayrı tasvir etmenize bile gerek yok; burada çok az faydası var:

Daha önce de belirttiğimiz gibi düzlem bir denklem biçiminde yazılmıştır:

Şimdi bir uçak oluşturalım

Hemen düzlemin denklemini yaratıyoruz:

Bir açı arıyorum:

Şimdi son iki sorunun cevapları:

Artık biraz ara vermenin zamanı geldi çünkü sen ve ben harikayız ve harika bir iş çıkardık!

Koordinatlar ve vektörler. İleri seviye

Bu yazıda sizinle koordinat yöntemi kullanılarak çözülebilecek başka bir problem sınıfını tartışacağız: mesafe hesaplama problemleri. Yani aşağıdaki durumları ele alacağız:

1. Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin hesaplanması.

Bu görevleri artan zorluk derecesine göre sıraladım. Bulmak en kolayı gibi görünüyor noktadan düzleme uzaklık ve en zor şey bulmaktır geçiş çizgileri arasındaki mesafe. Tabii ki hiçbir şey imkansız değildir! Ertelemeyelim ve hemen birinci sınıf sorunları ele almaya başlayalım:

Bir noktadan bir düzleme olan mesafenin hesaplanması

Bu sorunu çözmek için neye ihtiyacımız var?

1. Nokta koordinatları

Dolayısıyla gerekli tüm verileri alır almaz formülü uyguluyoruz:

Son bölümde tartıştığım problemlerden bir düzlemin denklemini nasıl oluşturduğumuzu zaten biliyor olmalısınız. Hemen görevlere geçelim. Şema şu şekildedir: 1, 2 - Karar vermenize yardımcı oluyorum ve biraz ayrıntılı olarak 3, 4 - yalnızca cevap, çözümü kendiniz gerçekleştirip karşılaştırıyorsunuz. Haydi başlayalım!

Görevler:

1. Bir küp verildi. Küpün kenar uzunlukları eşittir. Se-re-di-na'dan kesimden düzleme olan mesafeyi bulun

2. Sağdaki dört kömür pi-ra-mi-evet verildiğinde, tarafın tarafı tabana eşittir. Noktadan kenarlarda - se-re-di-olan düzleme olan mesafeyi bulun.

3. Os-no-va-ni-em ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de, yan kenar eşittir ve os-no-vania'daki yüz-ro-eşittir. Üstten düzleme olan mesafeyi bulun.

4. Bir sağ altıgen prizmada tüm kenarlar eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun.

Çözümler:

1. Tek kenarlı bir küp çizin, bir doğru parçası ve bir düzlem oluşturun, parçanın ortasını bir harfle belirtin

.

Öncelikle kolay olanla başlayalım: noktanın koordinatlarını bulun. O zamandan beri (segmentin ortasının koordinatlarını hatırlayın!)

Şimdi üç noktayı kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Artık mesafeyi bulmaya başlayabilirim:

2. Tüm verileri işaretlediğimiz bir çizimle yeniden başlıyoruz!

Bir piramit için tabanını ayrı ayrı çizmek faydalı olacaktır.

Pençesiyle tavuk gibi çizim yapmam bile bu sorunu kolaylıkla çözmemize engel olmayacak!

Artık bir noktanın koordinatlarını bulmak çok kolay

Noktanın koordinatları olduğundan,

2. a noktasının koordinatları doğru parçasının ortası olduğuna göre,

Düzlemdeki iki noktanın daha koordinatlarını sorunsuz bir şekilde bulabiliriz. Düzlem için bir denklem oluşturup onu basitleştiriyoruz:

\[\sol| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 )(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Noktanın koordinatları: olduğundan mesafeyi hesaplarız:

Cevap (çok nadir!):

Peki anladın mı? Bana öyle geliyor ki burada her şey bir önceki bölümde incelediğimiz örneklerdeki kadar teknik. Bu yüzden eminim ki, eğer bu materyale hakim olduysanız, kalan iki problemi çözmeniz sizin için zor olmayacaktır. Size sadece cevapları vereceğim:

Düz bir çizgiden düzleme olan mesafenin hesaplanması

Aslında burada yeni bir şey yok. Düz bir çizgi ve bir düzlem birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? Tek bir olasılıkları var: kesişmek ya da düz bir çizginin düzleme paralel olması. Sizce bir düz çizgi ile bu doğrunun kesiştiği düzlem arasındaki mesafe nedir? Bana öyle geliyor ki burada böyle bir mesafenin sıfıra eşit olduğu açık. İlginç olmayan bir durum.

İkinci durum daha çetrefilli: burada mesafe zaten sıfır değil. Ancak doğru düzleme paralel olduğundan, doğrunun her noktası bu düzleme eşit uzaklıktadır:

Böylece:

Bu, görevimin bir öncekine indirgendiği anlamına geliyor: Düz bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz, düzlemin denklemini arıyoruz ve noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. Aslında, Birleşik Devlet Sınavında bu tür görevler son derece nadirdir. Yalnızca bir sorun bulmayı başardım ve içindeki veriler öyleydi ki koordinat yöntemi buna pek uygulanamadı!

Şimdi başka, çok daha önemli bir sorun sınıfına geçelim:

Bir noktanın bir çizgiye olan mesafesini hesaplama

Neye ihtiyacımız var?

1. Mesafeyi aradığımız noktanın koordinatları:

2. Bir doğru üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları

3. Düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları

Hangi formülü kullanıyoruz?

Bu kesrin paydasının ne anlama geldiği sizin için açık olmalıdır: bu, düz çizginin yönlendirici vektörünün uzunluğudur. Bu çok zor bir paydır! İfadesi, vektörlerin vektör çarpımının modülünü (uzunluğunu) ifade eder ve vektör çarpımının nasıl hesaplanacağını çalışmanın önceki bölümünde inceledik. Bilgilerinizi tazeleyin, artık buna çok ihtiyacımız olacak!

Böylece, problem çözme algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Mesafeyi aradığımız noktanın koordinatlarını arıyoruz:

2. Mesafeyi aradığımız doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz:

3. Bir vektör oluşturun

4. Düz bir çizginin yönlendirici vektörünü oluşturun

5. Vektör çarpımını hesaplayın

6. Ortaya çıkan vektörün uzunluğunu ararız:

7. Mesafeyi hesaplayın:

Yapacak çok işimiz var ve örnekler oldukça karmaşık olacak! O halde şimdi tüm dikkatinizi odaklayın!

1. Tepesi olan dik üçgen bir pi-ra-mi-da verilmiştir. Pi-ra-mi-dy temelinde yüz-ro-eşittir, sen eşitsin. Gri kenardan, ve noktalarının gri kenarlar olduğu düz çizgiye ve veterinere olan mesafeyi bulun.

2. Kenarların uzunlukları ve düz açılı par-ral-le-le-pi-pe-da buna göre eşittir ve üstten düz çizgiye olan mesafeyi bulun

3. Bir sağ altıgen prizmada tüm kenarlar eşittir; bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun

Çözümler:

1. Tüm verileri işaretlediğimiz düzgün bir çizim yapıyoruz:

Yapacak çok işimiz var! Öncelikle neyi arayacağımızı ve hangi sırayla araştıracağımızı kelimelerle anlatmak istiyorum:

1. Noktaların koordinatları ve

2. Nokta koordinatları

3. Noktaların koordinatları ve

4. Vektörlerin koordinatları ve

5. Çapraz çarpımları

6. Vektör uzunluğu

7. Vektör çarpımının uzunluğu

8. Uzaklık

Neyse, önümüzde çok işimiz var! Hadi kolları sıvamış olarak işe başlayalım!

1. Piramidin yüksekliğinin koordinatlarını bulmak için noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekir. Uygulaması sıfırdır ve ordinatı apsisine eşit olduğundan parçanın yüksekliğine eşittir. bir eşkenar üçgen, buradan itibaren tepe noktasından sayılarak orana bölünür. Sonunda koordinatları aldık:

Nokta koordinatları

2. - segmentin ortası

3. - segmentin ortası

Segmentin orta noktası

4.Koordinatlar

Vektör koordinatları

5. Vektör çarpımını hesaplayın:

6. Vektör uzunluğu: Değiştirmenin en kolay yolu, parçanın üçgenin orta çizgisi olması, yani tabanın yarısına eşit olmasıdır. Bu yüzden.

7. Vektör çarpımının uzunluğunu hesaplayın:

8. Son olarak mesafeyi buluyoruz:

İşte bu! Size dürüstçe söyleyeyim: Bu sorunu geleneksel yöntemlerle (inşaat yoluyla) çözmek çok daha hızlı olacaktır. Ama burada her şeyi hazır bir algoritmaya indirgedim! Çözüm algoritmasının sizin için açık olduğunu düşünüyorum? Bu nedenle geri kalan iki sorunu kendiniz çözmenizi isteyeceğim. Cevapları karşılaştıralım mı?

Tekrar ediyorum: Bu sorunları koordinat yöntemine başvurmak yerine inşaatlarla çözmek daha kolaydır (daha hızlıdır). Bu çözüm yöntemini yalnızca size "hiçbir şey inşa etmeyi bitirmemenize" olanak tanıyan evrensel bir yöntem göstermek için gösterdim.

Son olarak, son sınıftaki sorunları ele alalım:

Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin hesaplanması

Burada problem çözme algoritması öncekine benzer olacaktır. Elimizde ne var:

3. Birinci ve ikinci çizginin noktalarını birleştiren herhangi bir vektör:

Çizgiler arasındaki mesafeyi nasıl buluruz?

Formül aşağıdaki gibidir:

Pay, karışık çarpımın modülüdür (bunu önceki bölümde tanıtmıştık) ve payda, önceki formülde olduğu gibi (düz çizgilerin yön vektörlerinin vektör çarpımının modülü, aralarındaki mesafe) arıyoruz).

sana şunu hatırlatacağım

Daha sonra mesafe formülü şu şekilde yeniden yazılabilir::

Bu bir determinantın bir determinantla bölünmesidir! Gerçi dürüst olmak gerekirse burada şaka yapacak vaktim yok! Bu formül aslında oldukça hantaldır ve oldukça karmaşık hesaplamalara yol açmaktadır. Senin yerinde olsaydım, buna yalnızca son çare olarak başvururdum!

Yukarıdaki yöntemi kullanarak birkaç sorunu çözmeye çalışalım:

1. Tüm kenarları eşit olan bir dik üçgen prizmada, düz çizgiler arasındaki mesafeyi bulun.

2. Bir dik üçgen prizma verildiğinde, tabanın tüm kenarları gövde kaburgasından geçen kesite eşittir ve se-re-di-well kaburgalar bir karedir. Düz çizgiler arasındaki mesafeyi bulun ve

Birincisine ben karar veririm ve buna göre ikincisine sen karar verirsin!

1. Bir prizma çiziyorum ve düz çizgiler çiziyorum ve

C noktasının koordinatları: o halde

Nokta koordinatları

Vektör koordinatları

Nokta koordinatları

Vektör koordinatları

Vektör koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vektörler arasındaki vektör çarpımını hesaplıyoruz ve

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Şimdi uzunluğunu hesaplıyoruz:

Cevap:

Şimdi ikinci görevi dikkatlice tamamlamaya çalışın. Bunun cevabı şu olacaktır: .

Koordinatlar ve vektörler. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür. - vektörün başlangıcı, - vektörün sonu.
Bir vektör veya ile gösterilir.

Mutlak değer vektör - vektörü temsil eden parçanın uzunluğu. Olarak belirtildi.

Vektör koordinatları:

,
\displaystyle a vektörünün uçları nerede?

Vektörlerin toplamı: .

Vektörlerin çarpımı:

Vektörlerin nokta çarpımı:

Bir noktadan bir çizgiye olan uzaklık, o noktadan çizgiye çizilen dikmenin uzunluğudur. Tanımlayıcı geometride aşağıda verilen algoritma kullanılarak grafiksel olarak belirlenir.

Algoritma

1. Düz çizgi herhangi bir projeksiyon düzlemine paralel olacak bir konuma taşınır. Bu amaçla dik projeksiyonları dönüştürme yöntemleri kullanılır.
2. Bir noktadan bir doğruya bir dik çizilir. Bu yapı dik açının izdüşümüne ilişkin teoreme dayanmaktadır.
3. Bir dikmenin uzunluğu, izdüşümlerinin dönüştürülmesi veya dik üçgen yöntemi kullanılarak belirlenir.

Aşağıdaki şekil, CD doğru parçasıyla tanımlanan M noktası ve b çizgisinin karmaşık bir çizimini göstermektedir. Aralarındaki mesafeyi bulmanız gerekiyor.

Algoritmamıza göre yapılacak ilk şey çizgiyi projeksiyon düzlemine paralel bir konuma taşımaktır. Dönüşümler gerçekleştirildikten sonra nokta ile çizgi arasındaki gerçek mesafenin değişmemesi gerektiğini anlamak önemlidir. Bu nedenle burada, uzayda hareket eden figürleri içermeyen düzlem değiştirme yöntemini kullanmak uygundur.

İnşaatın ilk aşamasının sonuçları aşağıda gösterilmiştir. Şekil, b'ye paralel olarak ilave bir ön düzlem P4'ün nasıl yerleştirildiğini göstermektedir. Yeni sistemde (P 1, P 4), C"" 1, D"" 1, M"" 1 noktaları X 1 ekseninden C"", D"", M"" ile aynı uzaklıkta bulunmaktadır. X ekseni.

Algoritmanın ikinci bölümünü gerçekleştirerek, M"" 1'den M"" 1 N"" 1 dik çizgisini b"" 1 düz çizgisine indiriyoruz, çünkü b ve MN arasındaki MND dik açısı P düzlemine yansıtılıyor. 4 tam boy. İletişim hattını kullanarak N" noktasının konumunu belirliyoruz ve MN segmentinin M"N" projeksiyonunu gerçekleştiriyoruz.

Son aşamada, MN segmentinin boyutunu M"N" ve M"" 1 N"" 1 projeksiyonlarından belirlemeniz gerekir. Bunu yapmak için, N"" 1 N 0 ayağı M" ve N" noktalarının mesafesinin farkına (Y M 1 – Y N 1) eşit olan bir M"" 1 N"" 1 N 0 dik üçgeni oluşturuyoruz. X 1 ekseninden. M"" 1 N"" 1 N 0 üçgeninin M"" 1 N 0 hipotenüsünün uzunluğu, M'den b'ye istenen mesafeye karşılık gelir.

İkinci çözüm

• CD'ye paralel olarak yeni bir ön düzlem P 4'ü tanıtıyoruz. P 1 ile X 1 ekseni boyunca ve X 1 ∥C"D" ile kesişir. Düzlemleri değiştirme yöntemine uygun olarak, şekilde gösterildiği gibi C"" 1, D"" 1 ve M"" 1 noktalarının projeksiyonlarını belirliyoruz.
• C"" 1 D"" 1'e dik olarak, üzerine b düz çizgisinin C" 2 = b" 2 noktasına yansıtıldığı ek bir yatay P 5 düzlemi inşa ediyoruz.
• M noktası ile b çizgisi arasındaki mesafe, kırmızıyla gösterilen M" 2 C" 2 segmentinin uzunluğu ile belirlenir.

Benzer görevler:

Şekillerin yüzey alanı ve hacimlerinin hesaplanmasında farklı geometrik nesneler arasındaki mesafeyi bulma yeteneği önemlidir. Bu yazıda uzayda ve düzlemde bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin nasıl bulunacağı sorusunu ele alacağız.

Bir çizginin matematiksel açıklaması

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin nasıl bulunacağını anlamak için bu geometrik nesnelerin matematiksel tanımı sorusunu anlamanız gerekir.

Bir noktayla her şey basittir; sayısı uzayın boyutuna karşılık gelen bir dizi koordinatla tanımlanır. Örneğin, bir düzlemde bunlar iki koordinattır, üç boyutlu uzayda ise üç.

Tek boyutlu bir nesneye (düz bir çizgi) gelince, onu tanımlamak için çeşitli denklem türleri kullanılır. Bunlardan sadece ikisini ele alalım.

İlk türe vektör denklemi denir. Aşağıda üç boyutlu ve iki boyutlu uzaydaki doğrulara ilişkin ifadeler verilmiştir:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Bu ifadelerde, sıfır indisli koordinatlar, belirli bir çizginin geçtiği noktayı tanımlar; (a; b; c) ve (a; b) koordinatları seti, karşılık gelen çizginin yön vektörleri olarak adlandırılır; α, a'dır Herhangi bir gerçek değeri alabilen parametre.

Vektör denklemi, koordinatları çeşitli geometrik nesnelerin, örneğin iki düz çizginin paralellik veya diklik problemlerini çözerken kullanılabilecek çizginin yön vektörünü açıkça içermesi açısından uygundur.

Bir doğru için ele alacağımız ikinci tür denklem genel olarak adlandırılır. Uzayda bu tip iki düzlemin genel denklemleriyle verilir. Bir uçakta aşağıdaki şekle sahiptir:

A × x + B × y + C = 0

Bir grafik çizilirken genellikle X/Y'ye bağlı olarak yazılır, yani:

y = -A / B × x +(-C / B)

Burada serbest terim -C / B, çizginin y ekseni ile kesişme noktasının koordinatına karşılık gelir ve -A / B katsayısı, çizginin x eksenine eğim açısı ile ilişkilidir.

Bir çizgi ile bir nokta arasındaki mesafe kavramı

Denklemlerle ilgilendikten sonra, bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafenin nasıl bulunacağı sorusunu yanıtlamaya doğrudan geçebilirsiniz. 7. sınıftan itibaren okullar uygun değeri belirleyerek bu konuyu dikkate almaya başlarlar.

Bir çizgi ile bir nokta arasındaki mesafe, bu çizgiye dik olan ve söz konusu noktadan hariç tutulan parçanın uzunluğudur. Aşağıdaki şekil bir r düz çizgisini ve bir A noktasını göstermektedir. r düz çizgisine dik olan parça mavi renkle gösterilmiştir. Uzunluğu gerekli mesafedir.

Burada iki boyutlu durum gösterilmektedir, ancak mesafenin bu tanımı üç boyutlu bir problem için de geçerlidir.

Gerekli formüller

Bir doğrunun denkleminin yazılma şekline ve problemin hangi uzayda çözüldüğüne bağlı olarak, bir doğru ile bir nokta arasındaki uzaklığın nasıl bulunacağı sorusuna cevap veren iki temel formül verilebilir.

Bilinen noktayı P2 sembolüyle gösterelim. Düz bir çizginin denklemi vektör biçiminde verilirse, söz konusu nesneler arasındaki mesafenin d için formül geçerlidir:

d = || / |v¯|

Yani, d'yi belirlemek için, düz çizgi vektörü v¯ ve başlangıcı düz çizgi üzerinde isteğe bağlı bir P 1 noktasında bulunan P 1 P 2 ¯ vektörü için kılavuzun vektör çarpımının modülünü hesaplamanız gerekir. ve uç P 2 noktasındaysa, bu modülü v ¯ uzunluğuna bölün. Bu formül düz ve üç boyutlu uzay için evrenseldir.

Problem xy koordinat sistemindeki bir düzlemde ele alınırsa ve doğrunun denklemi genel formda verilirse, o zaman aşağıdaki formül, doğrunun noktaya olan uzaklığını aşağıdaki gibi bulmanızı sağlar:

Düz çizgi: A × x + B × y + C = 0;

Nokta: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Uzaklık: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Yukarıdaki formül oldukça basittir ancak kullanımı yukarıda belirtilen koşullarla sınırlıdır.

Bir noktanın düz bir çizgiye ve mesafeye izdüşümünün koordinatları

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe nasıl bulunur sorusuna verilen formülleri ezberlemeden başka bir şekilde de cevap verebilirsiniz. Bu yöntem, orijinal noktanın izdüşümü olan bir çizgi üzerinde bir noktanın belirlenmesini içerir.

Bir M noktası ve bir r doğrusu olduğunu varsayalım. Bir M noktasının r üzerine izdüşümü belirli bir M1 noktasına karşılık gelir. M'den r'ye olan mesafe, MM 1 ¯ vektörünün uzunluğuna eşittir.

M 1'in koordinatları nasıl bulunur? Çok basit. V¯ çizgi vektörünün MM 1 ¯'ye dik olacağını, yani skaler çarpımlarının sıfıra eşit olması gerektiğini hatırlamak yeterlidir. Bu koşula M 1 koordinatlarının r çizgisinin denklemini karşılaması gerektiği gerçeğini ekleyerek basit bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz. Çözümü sonucunda M noktasının r üzerine izdüşümünün koordinatları elde edilir.

Bir çizgiden bir noktaya olan mesafeyi bulmak için bu paragrafta açıklanan teknik, bir düzlem ve uzay için kullanılabilir, ancak kullanımı, çizginin vektör denkleminin bilinmesini gerektirir.

Uçak sorunu

Şimdi sunulan matematiksel aparatın gerçek problemleri çözmek için nasıl kullanılacağını göstermenin zamanı geldi. Düzlemde bir M(-4; 5) noktasının verildiğini varsayalım. Genel bir denklemle tanımlanan M noktasından düz bir çizgiye olan mesafeyi bulmak gerekir:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Yani M bir doğru üzerinde yatmamaktadır.

Düz bir çizginin denklemi genel biçimde verilmediğinden, karşılık gelen formülü kullanabilmek için onu böyle bir biçime indirgedik:

y = 3 × x + 6 =>

3 × x - y + 6 = 0

Artık bilinen sayıları d formülünde değiştirebilirsiniz:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Uzayda sorun

Şimdi uzaydaki durumu ele alalım. Düz çizginin aşağıdaki denklemle tanımlanmasına izin verin:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Buradan M(0; 2; -3) noktasına olan uzaklık nedir?

Önceki durumda olduğu gibi M'nin verilen satıra ait olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için koordinatları denklemde yerine koyarız ve açıkça yeniden yazarız:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

Farklı α parametreleri elde edildiğinden M bu doğru üzerinde yer almaz. Şimdi ondan düz çizgiye olan mesafeyi hesaplayalım.

D formülünü kullanmak için, bir doğru üzerinde rastgele bir nokta alın, örneğin P(1; -1; 0), sonra:

PM¯ ile v¯ düz çizgisinin yönlendirici vektörü arasındaki vektör çarpımını hesaplayalım. Şunu elde ederiz:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Şimdi bulunan vektörün ve v¯ vektörünün modüllerini d formülünde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Bu cevap yukarıda açıklanan ve bir doğrusal denklem sisteminin çözülmesini içeren teknik kullanılarak elde edilebilir. Bu ve önceki problemlerde, düz bir çizgiden bir noktaya kadar olan mesafenin hesaplanan değerleri, karşılık gelen koordinat sisteminin birimlerinde sunulur.

Bu makale konu hakkında konuşuyor « bir noktadan bir çizgiye olan mesafe », Koordinat yöntemini kullanarak bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin tanımını resimli örneklerle tartışır. Sondaki her teori bloğu benzer problemlerin çözümüne ilişkin örnekler göstermiştir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, noktadan noktaya olan mesafenin belirlenmesiyle bulunur. Daha yakından bakalım.

Bir a doğrusu ve verilen doğruya ait olmayan bir M 1 noktası olsun. Bunun aracılığıyla, a düz çizgisine dik olan düz bir b çizgisi çiziyoruz. Doğruların kesişme noktasını H 1 olarak alalım. M 1 H 1'in, M 1 noktasından a düz çizgisine indirilen bir dikme olduğunu elde ederiz.

Tanım 1

M 1 noktasından a düz çizgisine olan mesafe M 1 ve H 1 noktaları arasındaki mesafeye denir.

Dikmenin uzunluğunu içeren tanımlar vardır.

Tanım 2

Noktadan çizgiye mesafe belirli bir noktadan belirli bir doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur.

Tanımlar eşdeğerdir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin mümkün olan en küçük mesafe olduğu bilinmektedir. Buna bir örnekle bakalım.

M 1 noktasıyla çakışmayan, düz bir a çizgisi üzerinde uzanan bir Q noktası alırsak, M 1 Q segmentinin, M 1'den a düz çizgisine indirilmiş eğimli bir segment olarak adlandırıldığını buluruz. M1 noktasından dikilen çizginin, bu noktadan düz çizgiye çizilen herhangi bir eğimli çizgiden daha küçük olduğunu belirtmek gerekir.

Bunu kanıtlamak için M 1 Q 1 H 1 üçgenini düşünün; burada M 1 Q 1 hipotenüstür. Uzunluğunun her zaman herhangi bir bacağın uzunluğundan daha büyük olduğu bilinmektedir. Bu şu anlama gelir: M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Bir noktadan bir çizgiye bulmak için ilk veriler, çeşitli çözüm yöntemlerini kullanmanıza olanak tanır: Pisagor teoremi aracılığıyla sinüs, kosinüs, bir açının tanjantı ve diğerlerinin belirlenmesi. Bu tür görevlerin çoğu okulda geometri dersleri sırasında çözülür.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulurken dikdörtgen bir koordinat sistemi uygulamak mümkün olduğunda koordinat yöntemi kullanılır. Bu paragrafta, belirli bir noktadan gerekli mesafeyi bulmanın iki ana yöntemini ele alacağız.

İlk yöntem, M1'den a düz çizgisine çizilen dik mesafenin aranmasını içerir. İkinci yöntem, gerekli mesafeyi bulmak için düz çizgi a'nın normal denklemini kullanır.

Düzlemde dikdörtgen koordinat sisteminde yer alan M 1 (x 1, y 1) koordinatlı, düz çizgi a olan bir nokta varsa ve M 1 H 1 mesafesini bulmanız gerekiyorsa, hesaplamayı iki şekilde yapabilirsiniz. yollar. Şimdi onlara bakalım.

İlk yol

H 1 noktasının x 2, y 2'ye eşit koordinatları varsa, noktadan çizgiye olan mesafe M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) formülündeki koordinatlar kullanılarak hesaplanır. - ve 1) 2.

Şimdi H 1 noktasının koordinatlarını bulmaya geçelim.

O x y'deki bir düz çizginin, düzlemdeki bir düz çizginin denklemine karşılık geldiği bilinmektedir. Bir doğrunun genel denklemini veya açısal katsayılı bir denklemi yazarak bir doğruyu a tanımlama yöntemini ele alalım. Belirli bir a düz çizgisine dik olarak M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemini oluşturuyoruz. Düz çizgiyi b harfiyle gösterelim. H 1, a ve b çizgilerinin kesişme noktasıdır, yani iki çizginin kesişme noktalarının koordinatlarından bahseden makaleyi kullanmanız gereken koordinatları belirlemek anlamına gelir.

Belirli bir M 1 noktasından (x 1, y 1) düz çizgi a'ya olan mesafeyi bulma algoritmasının noktalara göre gerçekleştirildiği görülebilir:

Tanım 3

• A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 formundaki düz bir çizgi a'nın genel denklemini veya y = k 1 x + b 1 formundaki açısal katsayılı bir denklemi bulmak;
• b çizgisinin genel bir denkleminin elde edilmesi, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 formuna sahip olması veya b çizgisinin M 1 noktasıyla kesişmesi ve dik olması durumunda y = k 2 x + b 2 açısal katsayısına sahip bir denklemin elde edilmesi belirli bir satır a;
• a ve b'nin kesişme noktası olan H 1 noktasının x 2, y 2 koordinatlarının belirlenmesi, bu amaçla doğrusal denklem sistemi çözülür A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C2 = 0 veya y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 formülünü kullanarak bir noktadan bir çizgiye gerekli mesafenin hesaplanması.

İkinci yol

Teorem, bir düzlem üzerinde belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye olan mesafeyi bulma sorusunun yanıtlanmasına yardımcı olabilir.

Teorem

Dikdörtgen koordinat sistemi O x y'nin, düzlemin normal denklemi tarafından verilen, cos α x + cos β y formuna sahip, düzleme düz bir çizginin çizildiği bir M 1 (x 1, y 1) noktasına sahiptir. - p = 0, eşit Doğrunun normal denkleminin sol tarafında elde edilen, x = x 1, y = y 1'de hesaplanan mutlak değer, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β anlamına gelir · y 1 - s.

Kanıt

A çizgisi, düzlemin normal denklemine karşılık gelir, cos α x + cos β y - p = 0 formuna sahiptir, bu durumda n → = (cos α, cos β), a çizgisinin belirli bir mesafedeki normal vektörü olarak kabul edilir. Başlangıç ​​noktasından p birimli a çizgisine. Şekildeki tüm verileri görüntülemek, M 1 (x 1, y 1) koordinatlarına sahip bir nokta eklemek gerekir; burada M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) noktasının yarıçap vektörü bulunur. Bir noktadan M 1 H 1 olarak ifade ettiğimiz düz bir çizgiye doğru bir çizgi çizmek gerekir. M 1 ve H 2 noktalarının M 2 ve H 2 izdüşümlerini, O noktasından geçen düz bir çizgi üzerinde n → = (cos α, cos β) biçiminde bir yön vektörüyle göstermek ve şunu belirtmek gerekir: O M 1 → = (x 1, y 1) şeklindeki vektörün n → = (cos α, cos β) yönüne sayısal izdüşümü, n p n → O M 1 → .

Değişiklikler M1 noktasının konumuna bağlıdır. Aşağıdaki şekle bakalım.

Sonuçları M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p formülünü kullanarak sabitliyoruz. Daha sonra n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 elde etmek için eşitliği M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p formuna getiririz.

Vektörlerin skaler çarpımı, koordinat formunda bir ürün olan n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → biçiminde dönüştürülmüş bir formülle sonuçlanır. n → , Ö M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 formundadır. Bu, n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 sonucunu elde ettiğimiz anlamına gelir. Bundan M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p olduğu sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.

Düzlemde M 1 (x 1, y 1) noktasından a düz çizgisine olan mesafeyi bulmak için birkaç işlem yapmanız gerektiğini bulduk:

Tanım 4

• görevde olmaması koşuluyla a cos α · x + cos β · y - p = 0 düz çizgisinin normal denkleminin elde edilmesi;
• cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ifadesinin hesaplanması, burada ortaya çıkan değer M 1 H 1'i alır.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulma problemlerini çözmek için bu yöntemleri uygulayalım.

Örnek 1

M 1 (- 1, 2) koordinatlı noktadan 4 x - 3 y + 35 = 0 düz çizgisine olan mesafeyi bulun.

Çözüm

Çözüm için ilk yöntemi kullanalım.

Bunu yapmak için, 4 x - 3 y + 35 = 0 çizgisine dik olarak belirli bir M 1 (- 1, 2) noktasından geçen b çizgisinin genel denklemini bulmak gerekir. Koşuldan, b çizgisinin a çizgisine dik olduğu açıktır, bu durumda yön vektörünün koordinatları (4, - 3)'e eşittir. Böylece, b doğrusuna ait M1 noktasının koordinatları olduğundan, b çizgisinin kanonik denklemini düzlemde yazma fırsatına sahip oluyoruz. b doğrusunun yön vektörünün koordinatlarını belirleyelim. x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 sonucunu elde ederiz. Ortaya çıkan kanonik denklemin genel bir denkleme dönüştürülmesi gerekir. O zaman bunu anlıyoruz

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

H 1 tanımı olarak alacağımız çizgilerin kesişme noktalarının koordinatlarını bulalım. Dönüşümler şöyle görünür:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Yukarıda yazılanlardan H1 noktasının koordinatlarının (- 5; 5)'e eşit olduğunu görüyoruz.

M1 noktasından a düz çizgisine olan mesafeyi hesaplamak gerekir. M 1 (- 1, 2) ve H 1 (- 5, 5) noktalarının koordinatlarını bulduktan sonra mesafeyi bulmak için bunları formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

İkinci çözüm.

Başka bir şekilde çözmek için doğrunun normal denklemini elde etmek gerekir. Normalleştirme faktörünün değerini hesaplıyoruz ve denklemin her iki tarafını da 4 x - 3 y + 35 = 0 ile çarpıyoruz. Buradan normalleştirme faktörünün - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5'e eşit olduğunu ve normal denklemin - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 biçiminde olacağını anlıyoruz. ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Hesaplama algoritmasına göre doğrunun normal denkleminin elde edilmesi ve x = - 1, y = 2 değerleriyle hesaplanması gerekmektedir. O zaman bunu anlıyoruz

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Bundan, M 1 (- 1, 2) noktasından verilen 4 x - 3 y + 35 = 0 düz çizgisine olan mesafenin - 5 = 5 değerine sahip olduğunu elde ederiz.

Cevap: 5 .

Bu yöntemde doğrunun normal denkleminin kullanılmasının önemli olduğu görülmektedir, çünkü bu yöntem en kısa yöntemdir. Ancak ilk yöntem uygundur çünkü daha fazla hesaplama noktasına sahip olmasına rağmen tutarlı ve mantıklıdır.

Örnek 2

Düzlemde M 1 (8, 0) noktası ve y = 1 2 x + 1 düz çizgisi olan O x y dikdörtgen koordinat sistemi vardır. Belirli bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun.

Çözüm

İlk yöntemde çözüm, açısal katsayılı belirli bir denklemin genel bir denkleme indirgenmesini içerir. Basitleştirmek için bunu farklı şekilde yapabilirsiniz.

Dik çizgilerin açısal katsayılarının çarpımı - 1 değerine sahipse, o zaman belirli bir y = 1 2 x + 1'e dik bir çizginin açısal katsayısı 2 değerine sahiptir. Şimdi koordinatları M 1 (8, 0) olan bir noktadan geçen bir çizginin denklemini elde ediyoruz. Elimizde y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 var.

H 1 noktasının koordinatlarını, yani y = - 2 x + 16 ve y = 1 2 x + 1 kesişme noktalarını bulmaya devam ediyoruz. Bir denklem sistemi oluştururuz ve şunu elde ederiz:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Buradan, M 1 (8, 0) koordinatlı noktadan y = 1 2 x + 1 düz çizgisine olan mesafenin, M 1 (8, 0) koordinatlı başlangıç ​​noktası ve bitiş noktasından olan mesafeye eşit olduğu sonucu çıkar ve H1(6,4) . M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 olduğunu hesaplayıp bulalım.

İkinci yoldaki çözüm ise katsayılı bir denklemden normal formuna geçmektir. Yani, y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 elde edersek normalleştirme faktörünün değeri - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 olacaktır. Bundan, doğrunun normal denkleminin - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 biçimini aldığı sonucu çıkar. Hesaplamayı M 1 8, 0 noktasından - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 formundaki düz bir çizgiye kadar yapalım. Şunu elde ederiz:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Cevap: 2 5 .

Örnek 3

M 1 (- 2, 4) koordinatlı noktadan 2 x - 3 = 0 ve y + 1 = 0 çizgilerine olan mesafeyi hesaplamak gerekir.

Çözüm

2 x - 3 = 0 düz çizgisinin normal formunun denklemini elde ederiz:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Daha sonra M 1 - 2, 4 noktasından x - 3 2 = 0 düz çizgisine olan mesafeyi hesaplamaya devam ediyoruz. Şunu elde ederiz:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Düz çizginin denklemi y + 1 = 0, -1 değerine eşit bir normalleştirme faktörüne sahiptir. Bu, denklemin - y - 1 = 0 formunu alacağı anlamına gelir. M 1 (- 2, 4) noktasından düz çizgi - y - 1 = 0'a olan mesafeyi hesaplamaya devam ediyoruz. - 4 - 1 = 5'e eşit olduğunu buluyoruz.

Cevap: 3 1 2 ve 5.

Düzlemdeki belirli bir noktadan O x ve O y koordinat eksenlerine olan mesafeyi bulmaya daha yakından bakalım.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde, O ekseni y, tamamlanmamış ve x = 0 ve O x - y = 0 biçiminde olan bir düz çizgi denklemine sahiptir. Denklemler koordinat eksenleri için normaldir, bu durumda M 1 x 1, y 1 koordinatlarına sahip noktadan çizgilere olan mesafeyi bulmak gerekir. Bu, M 1 H 1 = x 1 ve M 1 H 1 = y 1 formüllerine göre yapılır. Aşağıdaki şekle bakalım.

Örnek 4

M 1 (6, - 7) noktasından O xy düzleminde bulunan koordinat çizgilerine olan mesafeyi bulun.

Çözüm

y = 0 denklemi O x düz çizgisini ifade ettiğinden, verilen koordinatlarla M 1'den bu düz çizgiye olan mesafeyi formülü kullanarak bulabilirsiniz. 6 = 6 elde ederiz.

x = 0 denklemi O y düz çizgisini ifade ettiğinden, formülü kullanarak M 1'den bu düz çizgiye olan mesafeyi bulabilirsiniz. O zaman şunu elde ederiz: 7 = 7.

Cevap: M 1'den Ox'e olan mesafe 6 değerine ve M 1'den O y'ye olan mesafe 7'ye sahiptir.

Üç boyutlu uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktamız olduğunda, A noktasından a düz çizgisine olan mesafeyi bulmak gerekir.

Uzayda bulunan bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamanıza olanak tanıyan iki yöntemi ele alalım. İlk durum, M1 noktasından bir çizgiye olan mesafeyi dikkate alır; burada çizgi üzerindeki bir nokta H1 olarak adlandırılır ve M1 noktasından a çizgisine çizilen bir dikmenin tabanıdır. İkinci durum, bu düzlemin noktalarının paralelkenarın yüksekliği olarak aranması gerektiğini göstermektedir.

İlk yol

Tanımdan, a düz çizgisi üzerinde bulunan M 1 noktasından olan mesafenin, M 1 H 1 dik çizgisinin uzunluğu olduğunu elde ederiz, sonra bunu H 1 noktasının bulunan koordinatları ile elde ederiz, sonra M arasındaki mesafeyi buluruz. 1 (x 1, y 1, z 1 ) ve H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 formülüne göre - z1 2.

Bütün çözümün, M1'den a düz çizgisine çizilen dikmenin tabanının koordinatlarını bulmaya yönelik olduğunu görüyoruz. Bu şu şekilde yapılır: H 1, a düz çizgisinin verilen noktadan geçen düzlemle kesiştiği noktadır.

Bu, M 1 noktasından (x 1, y 1, z 1) uzaydaki a çizgisine olan mesafeyi belirleme algoritmasının birkaç noktayı ima ettiği anlamına gelir:

Tanım 5

• χ düzleminin denkleminin, çizgiye dik olarak yerleştirilmiş belirli bir noktadan geçen düzlemin denklemi olarak hazırlanması;
• a düz çizgisi ile χ düzleminin kesişme noktası olan H 1 noktasına ait koordinatların (x 2, y 2, z 2) belirlenmesi;
• M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak.

İkinci yol

Düz bir çizgiye sahip olmamız koşulundan, x 3, y 3, z 3 koordinatlarıyla a → = a x, a y, a z yön vektörünü ve a düzlüğüne ait belirli bir M3 noktasını belirleyebiliriz. M 1 (x 1, y 1) ve M 3 x 3, y 3, z 3 noktalarının koordinatlarına sahipseniz, M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

a → = a x, a y, a z ve M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektörlerini M 3 noktasından bir kenara koyup birleştirmeli ve bir paralelkenar elde etmeliyiz. figür. M 1 H 1 paralelkenarın yüksekliğidir.

Aşağıdaki şekle bakalım.

M 1 H 1 yüksekliğinin gerekli mesafe olduğunu biliyoruz, o zaman formülü kullanarak onu bulmamız gerekiyor. Yani M 1 H 1'i arıyoruz.

Paralelkenarın alanını a → = (a x, a y, a z) ve M 3 M 1 → = x 1 - x 3 vektörünü kullanan formülle bulunan S harfiyle gösterelim. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Alan formülü şu şekildedir: S = a → × M 3 M 1 → . Ayrıca, şeklin alanı kenarlarının uzunlukları ve yüksekliğinin çarpımına eşittir, S = a → · M 1 H 1 ile a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 elde ederiz. paralelkenarın kenarına eşit olan a → = (a x, a y, a z) vektörünün uzunluğudur. Bu, M 1 H 1'in noktadan çizgiye olan mesafe olduğu anlamına gelir. M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → formülü kullanılarak bulunur.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan uzaydaki düz bir çizgiye olan mesafeyi bulmak için, algoritmanın birkaç adımını gerçekleştirmeniz gerekir:

Tanım 6

• a - a → = (a x, a y, a z) düz çizgisinin yön vektörünün belirlenmesi;
• yön vektörünün uzunluğunun hesaplanması a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• a düz çizgisi üzerinde bulunan M3 noktasına ait x3 , y3 , z3 koordinatlarının elde edilmesi;
• M 3 M 1 → vektörünün koordinatlarının hesaplanması;
• a → (a x , a y , a z) ve M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 vektörlerinin vektör çarpımını a → × M 3 M 1 → = i olarak bulma → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 a → × M 3 M 1 → formülünü kullanarak uzunluğu elde etmek için;
• bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin hesaplanması M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Uzayda belirli bir noktadan belirli bir çizgiye olan mesafeyi bulma problemlerini çözme

Örnek 5

M 1 2, - 4, - 1 koordinatlarına sahip noktadan x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 çizgisine olan mesafeyi bulun.

Çözüm

İlk yöntem, M1'den geçen ve belirli bir noktaya dik olan χ düzleminin denkleminin yazılmasıyla başlar. Şöyle bir ifade elde ederiz:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Koşulun belirttiği çizgiye χ düzlemi ile kesişme noktası olan H 1 noktasının koordinatlarını bulmak gerekir. Kanonik görünümden kesişen görünüme geçmelisiniz. Daha sonra şu formda bir denklem sistemi elde ederiz:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 sistemini hesaplamak gerekir. Cramer yöntemine göre 2 x - y + 5 z = 3, o zaman şunu elde ederiz:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Buradan H 1 (1, - 1, 0) elde ederiz.

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

İkinci yöntem, kanonik denklemdeki koordinatları arayarak başlamalıdır. Bunu yapmak için kesrin paydalarına dikkat etmeniz gerekir. O halde a → = 2, - 1, 5, x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 doğrusunun yön vektörüdür. Uzunluğu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 formülünü kullanarak hesaplamak gerekir.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 düz çizgisinin M 3 (- 1 , 0 , - 5) noktasıyla kesiştiği açıktır, dolayısıyla M 3 (- 1 , 0 , - 5) ve M 1 2, - 4, - 1 noktasındaki sonu M 3 M 1 → = 3, - 4, 4'tür. a → = (2, - 1, 5) ve M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) vektör çarpımını bulun.

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · şeklinde bir ifade elde ederiz. j → = 16 · ben → + 7 · j → - 5 · k →

vektör çarpımının uzunluğunun a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330'a eşit olduğunu buluruz.

Düz bir çizginin bir noktadan uzaklığını hesaplamak için formülü kullanacak tüm verilere sahibiz, o halde bunu uygulayalım ve şunu elde edelim:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Cevap: 11 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.