Matematikte Birleşik Devlet Sınavı mezunlar için en zor sınavlardan biridir. Uzun yıllara dayanan uygulama, öğrencilerin doğal bir sayının son basamağını hesaplarken sıklıkla yanlışlıklar yaptığını göstermiştir. Bu konu başlı başına oldukça karmaşıktır çünkü özel doğruluk, dikkat ve gelişmiş mantıksal düşünme gerektirir. Bu tür görevlerle sorunsuz bir şekilde başa çıkabilmek için uygun çevrimiçi hizmet olan “Shkolkovo” yu kullanmanızı öneririz. Web sitemizde bir sayının sıfırdan farklı son rakamını bulmak için denklem çözmek ve ilgili konularda bilginizi geliştirmek için ihtiyacınız olan her şeyi bulacaksınız.
Shkolkovo ile Birleşik Devlet Sınavını mükemmel notlarla geçin!
Eğitim portalımız, mezunların nihai sertifikasyona hazırlanmalarını mümkün olduğunca kolaylaştıracak şekilde inşa edilmiştir. Öğrenci ilk önce "Teorik Yardım" bölümüne yönelir: denklem çözme kurallarını hatırlar, bir sayının son rakamını bulmaya yardımcı olan önemli formüllerle ilgili hafızasını tazeler. Bundan sonra, çeşitli karmaşıklık seviyelerinde birçok görevi bulduğu "Kataloglar" a gider. Herhangi bir alıştırmada zorluk yaşarsanız, onu “Favoriler”e taşıyabilir, böylece daha sonra dönüp kendi başınıza veya bir öğretmenin yardımıyla çözebilirsiniz.
Shkolkovo uzmanları konuyla ilgili materyalleri en basit ve anlaşılır biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu. Böylece kısa sürede büyük miktarda bilgi emilir. Öğrenciler, birkaç çözüm belirtmenin gerekli olduğu durumlar da dahil olmak üzere, yakın zamanda kendilerine büyük zorluklar yaratan görevleri bile tamamlayabileceklerdir.
Dersleri olabildiğince etkili hale getirmek için en kolay örneklerle başlamanızı öneririz. Herhangi bir zorluk yaratmadıysa, zaman kaybetmeyin - orta seviye görevlere geçin, bu şekilde zayıf yönlerinizi belirleyecek, sizin için en zor olan görevlere odaklanacak ve daha büyük sonuçlar elde edeceksiniz. 1-2 hafta boyunca günlük pratik yaptıktan sonra Pi sayısının son rakamını bile birkaç dakika içinde çıkarabileceksiniz. Bu görev matematikte Birleşik Devlet Sınavında oldukça yaygındır.
Portalımızdaki alıştırma veri tabanı, geniş deneyime sahip öğretmenler tarafından sürekli olarak güncellenmekte ve desteklenmektedir. Okul çocukları, her gün tamamen yeni görevler alma ve bir okul ders kitabını tekrarlarken sıklıkla yapmak zorunda kaldıkları gibi aynı örneklere takılıp kalmama konusunda mükemmel bir fırsata sahiptir.
Bugün Shkolkovo web sitesinde derslere başlayın ve sonuçların gelmesi uzun sürmeyecek!
Portalımızdaki eğitim herkese açıktır. İlerlemenizi takip etmek ve sizin için kişisel olarak oluşturulan yeni görevleri almak için sisteme kaydolun. Başarılı hazırlıklar dileriz!
Birkaç dağıtım karakteristiği kullanılarak bir dizi pratik problemin çözülebileceği ve bir rastgele değişkenin tam dağılım fonksiyonuna ilişkin bilginin isteğe bağlı olduğu ortaya çıktı. Bir rastgele değişkenin bu tür tanımlayıcı özellikleri, örneğin ortalama ve standart kare değerlerinin yanı sıra standart sapmayı içerir.
Rastgele değişkenlerin ortalama değerlerini deneyimlerden ve ayrıca rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonlarını bilerek bulabilirsiniz. Çeşitli durumlarda bu ortalamaları nasıl bulacağımıza bakalım.
Rastgele bir değişkenin şunu almasına izin verin: olasılıklı değerler veya bu değer bir kez düşer
olasılıklı değer veya bu değer nihayetten bir kez düşer,
olasılıklı değer veya bu değer bir kez düşer
Daha sonra test sırasında rastgele değişkenin değerlerinin toplamı şöyle olacaktır:
Bir rastgele değişkenin ortalama değerini, yani test başına değeri bulmak için toplamı, toplam test sayısına bölmeniz gerekir:
Formül (2.11) kullanılarak bulunan belirli bir ortalama değere sahipsek, genel olarak konuşursak, toplam test sayısının farklı değerleri için, ortalama değerin değerleri de farklı olacaktır, çünkü aşağıdaki değerler değerlendirme doğası gereği rastgeledir. Ancak sayı arttıkça belirli bir miktarın ortalama değeri belirli bir a sınırına doğru yönelecektir. Ve test sayısı ne kadar fazla olursa, formül (2.11) ile belirlenen sınır değeri o kadar yakın olacaktır:
Son eşitlik, büyük sayılar kanunu veya Chebyshev teoremi olarak adlandırılan şeydir: Rastgele bir değişkenin ortalama değeri, çok sayıda ölçüm boyunca sabit bir sayıya yönelecektir.
Yani bir rastgele değişkenin ortalama değeri, rastgele değişkenin çarpımları ile onun oluşma olasılığının toplamına eşittir.
Bir rastgele değişken sürekli değişiyorsa ortalama değeri entegrasyon kullanılarak bulunabilir:
Ortalama değerlerin bir takım önemli özellikleri vardır:
1) sabit bir değerin ortalama değeri, sabit değerin kendisine eşittir, yani.
2) bazı rastgele değişkenlerin ortalama değeri sabit bir değerdir, yani.
3) birkaç rastgele değişkenin toplamının ortalama değeri, bu değişkenlerin ortalama değerlerinin toplamına eşittir, yani.
4) karşılıklı olarak bağımsız iki rastgele değişkenin çarpımının ortalama değeri, her birinin ortalama değerlerinin çarpımına eşittir, yani.
Bu kuralı daha fazla sayıda bağımsız niceliğe genişletirsek:
Bazen, şu ya da bu nedenle, bir rastgele değişkenin ortalama değerine ilişkin bilgi yetersizdir. Bu gibi durumlarda bir rastgele değişkenin sadece ortalama değeri değil, bu değerin karesinin (ikinci dereceden) ortalama değeri de aranır. Bu durumda benzer formüller geçerlidir:
ayrık değerler için ve
Rastgele bir değişkenin sürekli değişmesi durumunda.
Bir rastgele değişkenin ortalama kare değeri her zaman pozitiftir ve kaybolmaz.
Çoğunlukla yalnızca rastgele değişkenin ortalama değerleriyle değil, aynı zamanda rastgele değişkenin bazı fonksiyonlarının ortalama değerleriyle de ilgilenmek gerekir.
Örneğin moleküllerin hıza göre dağılımı verildiğinde ortalama hızı bulabiliriz. Ancak hızın ikinci dereceden bir fonksiyonu olan termal hareketin ortalama kinetik enerjisiyle de ilgilenebiliriz. Bu gibi durumlarda, ayrık bir dağılım durumunda, rastgele bir değişkenin keyfi bir fonksiyonunun ortalama değerini belirleyen aşağıdaki genel formülleri kullanabilirsiniz.
sürekli dağıtım durumunda
Normalleştirilmemiş bir dağılım fonksiyonu kullanarak rastgele bir değişkenin veya rastgele değişkenin bir fonksiyonunun ortalama değerlerini bulmak için aşağıdaki formülleri kullanın:
Burada entegrasyon, rastgele değişkenin olası değerlerinin tüm aralığı boyunca her yerde gerçekleştirilir.
Ortalamadan sapma. Bazı durumlarda, bir rastgele değişkenin ortalama ve ortalama karekök değeri bilgisinin, rastgele değişkeni karakterize etmede yetersiz olduğu ortaya çıkar. Bir rastgele değişkenin ortalama değeri etrafındaki dağılımı da ilgi çekicidir. Bunu yapmak için rastgele bir değişkenin ortalama değerden sapması incelenir.
Ancak bir rastgele değişkenin ortalama değerinden ortalama sapmasını yani sayıların ortalamasını alırsak:
o zaman hem kesikli hem de sürekli dağılım durumunda sıfır elde ederiz. Gerçekten mi,
Bazen rastgele bir değişkenin sapma modülünün ortalama değerini ortalama değerden, yani değerden bulmak mümkündür:
Ancak mutlak değerlerle hesaplamalar çoğu zaman zor, bazen de imkansızdır.
Bu nedenle, bir rastgele değişkenin ortalama değeri etrafındaki dağılımını karakterize etmek için çok daha sık olarak standart sapma veya ortalama kare sapma adı verilen bir terim kullanılır. Ortalama kare sapmaya rastgele bir değişkenin varyansı denir. Varyans aşağıdaki formüllerle belirlenir:
bunlar tek bir türe dönüştürülür (bkz. problem 5, 9).
burada değer, rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının karesini temsil eder.
Rastgele bir değişkenin varyansının kareköküne, rastgele değişkenin standart sapması denir ve fiziksel büyüklükler için dalgalanma:
Bazen formülle belirlenen göreceli bir dalgalanma ortaya çıkar
Böylece, bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bilerek, bir rastgele değişkenin bizi ilgilendiren tüm özelliklerini belirleyebiliriz: ortalama değer, ortalama kare, bir rastgele değişkenin keyfi bir fonksiyonunun ortalama değeri, ortalama kare sapma veya dağılım ve dalgalanma. rastgele bir değişken.
Bu nedenle istatistiksel fiziğin temel görevlerinden biri, çeşitli fiziksel sistemlerdeki belirli fiziksel rastgele değişkenlerin ve parametrelerin yasalarını ve dağılım fonksiyonlarını bulmaktır.
Çoğu durumda veriler merkezi bir nokta etrafında yoğunlaşır. Bu nedenle herhangi bir veri kümesini tanımlamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için kullanılan üç sayısal özelliği sırasıyla ele alalım: aritmetik ortalama, medyan ve mod.
Ortalama
Aritmetik ortalama (genellikle basitçe ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Gözlenen tüm sayısal değerlerin toplamının sayılarına bölünmesi sonucudur. Sayılardan oluşan bir örnek için X 1, X 2, …, XN, örnek ortalama (ile gösterilir) ) eşittir = (X 1 + X 2 + … + XN) / N, veya
örnek ortalaması nerede, N- örnek boyut, XBen– numunenin i-inci elemanı.
Notu veya formatında indirin, formattaki örnekler
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirilerinin aritmetik ortalamasını hesaplamayı düşünün (Şekil 1).
Pirinç. 1. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi
Örnek ortalaması şu şekilde hesaplanır:
Bu, özellikle banka veya kredi birliği mevduat sahiplerinin aynı dönemde aldıkları %3-4'lük getiriyle karşılaştırıldığında iyi bir getiridir. Getirileri sıraladığımızda sekiz fonun ortalamanın üzerinde, yedi fonun ise ortalamanın altında getiri sağladığını görmek kolay. Aritmetik ortalama denge noktası görevi görür, böylece düşük getirili fonlar yüksek getirili fonları dengeler. Ortalamanın hesaplanmasında numunenin tüm unsurları yer alır. Bir dağılımın ortalamasına ilişkin diğer tahminlerin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.
Aritmetik ortalamayı ne zaman hesaplamanız gerekir? Aritmetik ortalama örnekteki tüm elemanlara bağlı olduğundan uç değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama, sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle uç değerler içeren bir veri seti açıklanırken medyanın veya aritmetik ortalamanın ve medyanın belirtilmesi gerekir. Örneğin RS Gelişen Büyüme fonunun getirilerini örneklemden çıkarırsak, 14 fonun örnek ortalaması neredeyse %1 azalarak %5,19'a düşüyor.
Medyan
Medyan, sıralı bir sayı dizisinin ortadaki değerini temsil eder. Dizi yinelenen sayılar içermiyorsa, elemanlarının yarısı ortancadan küçük, yarısı da büyük olacaktır. Örnek aşırı değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalama yerine ortancayı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce sıralanması gerekir.
Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlıdır N:
- Örnek tek sayıda öğe içeriyorsa, medyan (n+1)/2-'inci eleman.
- Örnek çift sayıda öğe içeriyorsa, medyan, örneğin ortadaki iki öğesi arasında yer alır ve bu iki öğe üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerini içeren bir örneğin medyanını hesaplamak için öncelikle ham verileri sıralamanız gerekir (Şekil 2). Daha sonra medyan, numunenin ortadaki elemanının sayısının karşısında olacaktır; 8 numaralı örneğimizde. Excel'in sırasız dizilerle de çalışan özel bir işlevi =MEDIAN() vardır.
Pirinç. 2. Ortalama 15 fon
Dolayısıyla medyan 6,5'tir. Bu, çok yüksek riskli fonların bir yarısının getirisinin 6,5'u geçmediği, diğer yarısının getirisinin ise onu aştığı anlamına geliyor. 6,5'lik medyanın 6,08'lik ortalamadan çok da büyük olmadığını unutmayın.
Örneklemden RS Emerging Growth fonunun getirisini çıkarırsak kalan 14 fonun medyanı %6,2'ye düşüyor, yani aritmetik ortalama kadar anlamlı değil (Şekil 3).
Pirinç. 3. Ortalama 14 fon
Moda
Terim ilk kez 1894'te Pearson tarafından icat edildi. Moda, bir örnekte en sık görülen (en moda olan) sayıdır. Moda, örneğin sürücülerin trafik ışığı sinyaline hareket etmeyi bırakma yönündeki tipik tepkisini çok iyi tanımlıyor. Moda kullanımının klasik bir örneği, ayakkabı bedeninin veya duvar kağıdının renginin seçimidir. Bir dağıtımın birden fazla modu varsa, bu durumda multimodal veya multimodal (iki veya daha fazla "zirveye" sahip) olduğu söylenir. Dağılımın çok modlu olması, incelenen değişkenin doğası hakkında önemli bilgiler sağlar. Örneğin sosyolojik araştırmalarda, eğer bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, bu durumda çok modluluk birbirinden tamamen farklı birkaç görüşün olduğu anlamına gelebilir. Çok modluluk aynı zamanda numunenin homojen olmadığının ve gözlemlerin iki veya daha fazla "örtüşen" dağılım tarafından üretilebileceğinin bir göstergesi olarak da hizmet eder. Aritmetik ortalamanın aksine aykırı değerler modu etkilemez. Yatırım fonlarının ortalama yıllık getirisi gibi sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için bu mod bazen mevcut olmayabilir (veya hiçbir anlam ifade etmeyebilir). Bu göstergeler çok farklı değerler alabildiğinden tekrarlanan değerler son derece nadirdir.
Çeyrekler
Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini açıklarken veri dağılımını değerlendirmek için en sık kullanılan metriklerdir. Medyan, sıralı diziyi ikiye bölerken (dizinin öğelerinin %50'si medyandan küçük ve %50'si büyüktür), çeyrekler sıralı veri kümesini dört parçaya böler. Q 1 , medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. yüzdelik dilimlerdir. İlk çeyrek Q1, numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Öğelerin %25'i ilk çeyrekten küçüktür ve %75'i büyüktür.
Üçüncü çeyrek Q3 aynı zamanda numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Öğelerin %75'i üçüncü çeyrekten küçüktür ve %25'i büyüktür.
Excel'in 2007'den önceki sürümlerinde çeyrekleri hesaplamak için =QUARTILE(array,part) işlevini kullanın. Excel 2010'dan itibaren iki işlev kullanılmaktadır:
- =QUARTILE.ON(dizi, parça)
- =QUARTILE.HRC(dizi, parça)
Bu iki fonksiyon biraz farklı değerler vermektedir (Şekil 4). Örneğin, çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirisini içeren bir örneğin çeyrekleri hesaplanırken, QUARTILE.IN ve QUARTILE.EX için sırasıyla Q 1 = 1,8 veya –0,7. Bu arada, daha önce kullanılan QUARTILE işlevi modern QUARTILE.ON işlevine karşılık gelir. Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisinin sıralanmasına gerek yoktur.
Pirinç. 4. Excel'de çeyrekleri hesaplamak
Tekrar vurgulayalım. Excel, tek değişkenli bir değişken için çeyrekleri hesaplayabilir ayrık seri rastgele bir değişkenin değerlerini içeren. Frekans bazlı bir dağılım için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.
Geometrik ortalama
Aritmetik ortalamanın aksine geometrik ortalama, bir değişkenin zaman içindeki değişim derecesini tahmin etmenize olanak tanır. Geometrik ortalama köktür N işten elde edilen derece N miktarlar (Excel'de =SRGEOM işlevi kullanılır):
G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Benzer bir parametre - kâr oranının geometrik ortalama değeri - aşağıdaki formülle belirlenir:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,
Nerede Ri– kar oranı Ben zaman dilimi.
Örneğin ilk yatırımın 100.000$ olduğunu varsayalım. İlk yılın sonunda 50.000$'a düşüyor, ikinci yılın sonunda ise başlangıç seviyesi olan 100.000$'a geri dönüyor. -yıllık dönem, başlangıç ve son fon tutarları birbirine eşit olduğundan 0'a eşittir. Ancak yıllık kâr oranlarının aritmetik ortalaması = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 veya %25 olur, çünkü ilk yıldaki kâr oranı R 1 = (50.000 – 100.000) / 100.000 = –0,5 ve ikinci R 2 = (100.000 – 50.000) / 50.000 = 1. Aynı zamanda, kâr oranının iki yıllık geometrik ortalama değeri şuna eşittir: G = [(1–0,5) * (1+1 ) ] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Bu nedenle geometrik ortalama, iki yıllık bir süre boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha kesin olarak değişiklik yokluğunu) aritmetikten daha doğru bir şekilde yansıtır. Anlam.
İlginç gerçekler. Birincisi, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durum hariç. İkinci olarak, dik üçgenin özelliklerini dikkate alarak ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığını anlayabilirsiniz. Hipotenüse indirilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu, iki (uzunluk) parçanın geometrik ortalamasını oluşturmak için geometrik bir yol sağlar: çap olarak bu iki parçanın toplamı üzerine bir daire oluşturmanız, ardından daire ile kesişme noktasına bağlantı noktasından yüksekliği geri yüklemeniz gerekir. istenen değeri verecektir:
Pirinç. 5. Geometrik ortalamanın geometrik doğası (Wikipedia'dan şekil)
Sayısal verilerin ikinci önemli özelliği ise varyasyon, veri dağılım derecesini karakterize eder. İki farklı örnek hem ortalama hem de varyans açısından farklı olabilir. Ancak Şekil 2'de gösterildiği gibi. Şekil 6 ve 7'de, iki numune aynı varyasyonlara ancak farklı ortalamalara veya aynı ortalamaya ve tamamen farklı varyasyonlara sahip olabilir. Şekil 2'deki B poligonuna karşılık gelen veriler. Şekil 7'de, A poligonunun oluşturulduğu verilere göre çok daha az değişiklik olur.
Pirinç. 6. Aynı yayılma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım
Pirinç. 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı spreadlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım
Veri değişimine ilişkin beş tahmin vardır:
- kapsam,
- çeyrekler arası aralık,
- dağılım,
- standart sapma,
- varyasyon katsayısı.
Kapsam
Aralık, numunenin en büyük ve en küçük elemanları arasındaki farktır:
Aralık = XMaksimum – XMin.
15 adet çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneklemin aralığı, sıralı dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): Aralık = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Bu da çok yüksek riskli fonların en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getirileri arasındaki farkın %24,6 olduğu anlamına geliyor.
Aralık, verilerin genel yayılımını ölçer. Örnek aralığı, verilerin genel yayılımına ilişkin çok basit bir tahmin olmasına rağmen zayıflığı, verilerin minimum ve maksimum öğeler arasında nasıl dağıldığını tam olarak hesaba katmamasıdır. Bu etki Şekil 2'de açıkça görülmektedir. Şekil 8, aynı aralığa sahip numuneleri göstermektedir. Ölçek B, bir numunenin en az bir uç değer içermesi halinde, numune aralığının verilerin yayılmasına ilişkin oldukça kesin olmayan bir tahmin olduğunu göstermektedir.
Pirinç. 8. Aynı aralığa sahip üç numunenin karşılaştırılması; üçgen ölçeğin desteğini sembolize eder ve konumu örnek ortalamaya karşılık gelir
Çeyrekler arası aralık
Çeyrekler arası veya ortalama aralık, numunenin üçüncü ve birinci çeyrekleri arasındaki farktır:
Çeyrekler arası aralık = Q 3 – Q 1
Bu değer, aşırı elementlerin etkisini hesaba katmadan, elementlerin %50'sinin dağılımını tahmin etmemizi sağlar. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun yıllık ortalama getirilerini içeren bir örneklemin çeyrekler arası aralığı, Şekil 1'deki veriler kullanılarak hesaplanabilir. 4 (örneğin, QUARTILE.EXC işlevi için): Çeyrekler arası aralık = 9,8 – (–0,7) = 10,5. 9,8 ve -0,7 sayılarıyla sınırlanan aralığa genellikle orta yarı denir.
Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın, aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1'den küçük veya daha büyük herhangi bir değeri hesaba katmaz. Q 3'ten daha. Aykırı değerlerden etkilenmeyen medyan, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi özet ölçümlere sağlam ölçümler denir.
Aralık ve çeyrekler arası aralık sırasıyla bir numunenin genel ve ortalama yayılımına ilişkin tahminler sağlasa da, bu tahminlerin hiçbiri verilerin tam olarak nasıl dağıtıldığını hesaba katmaz. Varyans ve standart sapma bu dezavantajdan yoksundur. Bu göstergeler, verilerin ortalama değer etrafında ne ölçüde dalgalandığını değerlendirmenize olanak tanır. Örnek varyans her bir örnek öğe ile örnek ortalaması arasındaki farkların karelerinden hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. Bir X 1, X 2, ... X n örneği için örnek varyansı (S2 sembolüyle gösterilir) aşağıdaki formülle verilir:
Genel olarak numune varyansı, numune öğeleri ile numune ortalaması arasındaki farkların karelerinin toplamının numune boyutundan bir eksiğine eşit bir değere bölünmesiyle elde edilir:
Nerede - aritmetik ortalama, N- örnek boyut, X ben - Ben seçimin inci unsuru X. Excel'de sürüm 2007'den önce, örnek varyansı hesaplamak için =VARIN() işlevi kullanılıyordu; sürüm 2010'dan bu yana =VARIAN() işlevi kullanılıyor.
Verilerin yayılmasına ilişkin en pratik ve yaygın olarak kabul edilen tahmin şu şekildedir: Numune standart sapması. Bu gösterge S sembolüyle gösterilir ve örnek varyansın kareköküne eşittir:
Excel'de sürüm 2007'den önce standart örnek sapmayı hesaplamak için =STDEV.() işlevi kullanılıyordu; sürüm 2010'dan bu yana =STDEV.V() işlevi kullanılıyor. Bu işlevleri hesaplamak için veri dizisi sırasız olabilir.
Ne örneklem varyansı ne de örneklem standart sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, numunenin tüm elemanlarının birbirine eşit olmasıdır. Tamamen olasılık dışı olan bu durumda aralık ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.
Sayısal veriler doğası gereği değişkendir. Herhangi bir değişken birçok farklı değer alabilir. Örneğin, farklı yatırım fonlarının farklı getiri ve zarar oranları vardır. Sayısal verilerin değişkenliği nedeniyle, yalnızca doğası gereği özet olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin yayılmasını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.
Dağılım ve standart sapma, verilerin ortalama değer etrafındaki yayılımını tahmin etmenize, başka bir deyişle kaç örnek öğenin ortalamadan az, kaçının fazla olduğunu belirlemenize olanak tanır. Dispersiyonun bazı değerli matematiksel özellikleri vardır. Ancak değeri ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, dağılımın doğal bir ölçüsü, ortak ölçü birimleriyle (gelir yüzdesi, dolar veya inç) ifade edilen standart sapmadır.
Standart sapma, örnek öğelerin ortalama değer etrafındaki değişim miktarını tahmin etmenize olanak tanır. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlemlenen değerlerin çoğunluğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma aralığında yer alır. Sonuç olarak, örnek elemanların aritmetik ortalamasını ve standart örnek sapmasını bilerek, veri büyük kısmının ait olduğu aralığı belirlemek mümkündür.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük kısmının karlılığının ortalama değerden %6,6'dan fazla farklılık göstermediği anlamına gelir (yani, - S= 6,2 – 6,6 = –0,4 ila +S= 12.8). Aslında fonların beş yıllık ortalama yıllık getirisi %53,3 (15 üzerinden 8) bu aralıkta yer alıyor.
Pirinç. 9. Örnek standart sapma
Kareleri alınmış farklar toplanırken, ortalamadan uzak olan örnek öğelere, ortalamaya yakın olan öğelere göre daha fazla ağırlık verildiğini unutmayın. Bu özellik, bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamanın en sık kullanılmasının ana nedenidir.
Değişim katsayısı
Önceki dağılım tahminlerinin aksine, varyasyon katsayısı göreceli bir tahmindir. Orijinal verilerin birimlerinde değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV simgeleriyle gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalama etrafındaki dağılımını ölçer. Değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesi ve %100 ile çarpılmasına eşittir:
Nerede S- standart numune sapması, - örnek ortalaması.
Değişim katsayısı, elemanları farklı ölçü birimleriyle ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım hizmetinin yöneticisi, kamyon filosunu yenilemeyi planlıyor. Paketleri yüklerken dikkate alınması gereken iki kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (pound cinsinden) ve hacmi (fit küp cinsinden). 200 torba içeren bir numunede ortalama ağırlığın 26,0 pound, ağırlığın standart sapmasının 3,9 pound, ortalama torba hacminin 8,8 fit küp ve hacmin standart sapmasının 2,2 fit küp olduğunu varsayalım. Paketlerin ağırlık ve hacmindeki farklılıklar nasıl karşılaştırılır?
Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğundan, yöneticinin bu miktarların göreceli yayılımını karşılaştırması gerekir. Ağırlık değişim katsayısı CV W = 3,9 / 26,0 * %100 = %15 ve hacim değişim katsayısı CV V = 2,2 / 8,8 * %100 = %25'tir. Dolayısıyla paketlerin hacmindeki göreceli değişim, ağırlıklarındaki göreceli değişimden çok daha fazladır.
Dağıtım formu
Bir numunenin üçüncü önemli özelliği dağılımının şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Bir dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. İkisi aynıysa değişkenin simetrik olarak dağıldığı kabul edilir. Bir değişkenin ortalama değeri ortancadan büyükse dağılımı pozitif çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse değişkenin dağılımı negatif çarpıktır. Ortalama olağandışı yüksek değerlere yükseldiğinde pozitif çarpıklık meydana gelir. Ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde negatif çarpıklık ortaya çıkar. Bir değişken her iki yönde de uç değerler almıyorsa simetrik olarak dağılmıştır, böylece değişkenin büyük ve küçük değerleri birbirini iptal eder.
Pirinç. 10. Üç tür dağıtım
A ölçeğinde gösterilen veriler negatif çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede küçük değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sola doğru bir eğimi göstermektedir. Bu son derece küçük değerler ortalama değeri sola kaydırarak medyandan daha küçük hale getirir. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağıtılmıştır. Dağılımın sol ve sağ yarıları kendilerinin ayna görüntüleridir. Büyük ve küçük değerler birbirini dengeler ve ortalama ile medyan eşittir. B ölçeğinde gösterilen veriler pozitif olarak çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede yüksek değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sağa doğru bir eğimi göstermektedir. Bu çok büyük değerler ortalamayı sağa kaydırarak medyandan daha büyük hale getirir.
Excel'de bir eklenti kullanılarak tanımlayıcı istatistikler elde edilebilir. Analiz paketi. Menüde gezinme Veri → Veri analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı istatistikler ve tıklayın Tamam. Pencerede Tanımlayıcı istatistikler mutlaka belirtin Giriş aralığı(Şekil 11). Açıklayıcı istatistikleri orijinal verilerle aynı sayfada görmek istiyorsanız radyo düğmesini seçin. Çıkış aralığı ve görüntülenen istatistiklerin sol üst köşesinin yerleştirileceği hücreyi belirtin (örneğimizde $C$1). Verileri yeni bir sayfaya veya yeni bir çalışma kitabına çıkarmak istiyorsanız uygun radyo düğmesini seçmeniz yeterlidir. yanındaki kutuyu işaretleyin Özet istatistikler. İstenirse siz de seçebilirsiniz Zorluk seviyesi,en küçük veen büyük k..
Eğer depozito varsa Veri bölgede Analiz simgeyi görmüyorsun Veri analizi, önce eklentiyi yüklemeniz gerekiyor Analiz paketi(örneğin bkz.).
Pirinç. 11. Çok yüksek risk seviyesine sahip fonların eklenti kullanılarak hesaplanan beş yıllık ortalama yıllık getirilerine ilişkin tanımlayıcı istatistikler Veri analizi Excel programları
Excel yukarıda tartışılan bir dizi istatistiği hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( aralık), minimum, maksimum ve örneklem büyüklüğü ( kontrol etmek). Excel ayrıca bizim için yeni olan bazı istatistikleri de hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. Standart hata standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesine eşittir. Asimetri dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve örnek öğeler ile ortalama değer arasındaki farkların küpüne bağlı bir fonksiyondur. Basıklık, dağılımın kuyruklarına kıyasla ortalama etrafındaki göreceli veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek öğeler ile dördüncü kuvvete yükseltilen ortalama arasındaki farklara bağlıdır.
Bir popülasyon için tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması
Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, yayılımı ve şekli örneklemden belirlenen özelliklerdir. Ancak veri seti tüm popülasyonun sayısal ölçümlerini içeriyorsa parametreleri hesaplanabilir. Bu parametreler popülasyonun beklenen değerini, dağılımını ve standart sapmasını içerir.
Beklenen değer popülasyondaki tüm değerlerin toplamının popülasyon büyüklüğüne bölünmesine eşittir:
Nerede µ - beklenen değer, XBen- Ben bir değişkenin gözlemlenmesi X, N- genel nüfusun hacmi. Excel'de matematiksel beklentiyi hesaplamak için aritmetik ortalamayla aynı işlev kullanılır: =ORTALAMA().
Nüfus değişimi genel popülasyonun unsurları ile mat arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. beklentinin nüfus büyüklüğüne bölümü:
Nerede σ2– genel nüfusun dağılımı. Sürüm 2007'den önceki Excel'de, sürüm 2010 =VARP()'dan başlayarak, bir popülasyonun varyansını hesaplamak için =VARP() işlevi kullanılıyordu.
Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:
2007 sürümünden önceki Excel'de, 2010 =STDEV.Y() sürümünden başlayarak bir popülasyonun standart sapmasını hesaplamak için =STDEV() işlevi kullanılıyordu. Popülasyon varyansı ve standart sapmaya ilişkin formüllerin, örneklem varyansı ve standart sapmayı hesaplamaya yönelik formüllerden farklı olduğunu unutmayın. Örnek istatistikleri hesaplarken S2 Ve S kesrin paydası n – 1 ve parametreleri hesaplarken σ2 Ve σ - genel nüfusun hacmi N.
Temel kural
Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan etrafında yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklık içeren veri setlerinde bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani altında), negatif çarpıklık olan kümelerde ise bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani üstünde) yer alır. Simetrik veriler için ortalama ve medyan aynıdır ve gözlemler ortalamanın etrafında toplanarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılım açıkça çarpık değilse ve veriler bir ağırlık merkezi etrafında yoğunlaşmışsa, değişkenliği tahmin etmek için kullanılabilecek genel kural şudur: Veriler çan şeklinde bir dağılıma sahipse, gözlemlerin yaklaşık %68'i bu aralıktadır. beklenen değerin bir standart sapması, gözlemlerin yaklaşık %95'i matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla uzakta değildir ve gözlemlerin %99,7'si matematiksel beklentiden en fazla üç standart sapma uzaktadır.
Böylece, beklenen değer etrafındaki ortalama değişimin bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Temel kural, çan şeklindeki dağılımlarda yalnızca yirmi değerden birinin matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla farklı olduğudur. Bu nedenle aralığın dışındaki değerler u ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Ayrıca 1000 gözlemden yalnızca üçü matematiksel beklentiden üç standart sapmadan fazla farklılık göstermektedir. Böylece aralığın dışındaki değerler u ± 3σ neredeyse her zaman aykırıdır. Oldukça çarpık veya çan şeklinde olmayan dağılımlar için Bienamay-Chebyshev temel kuralı uygulanabilir.
Yüz yıldan fazla bir süre önce matematikçiler Bienamay ve Chebyshev bağımsız olarak standart sapmanın faydalı özelliğini keşfettiler. Herhangi bir veri seti için, dağılımın şekline bakılmaksızın, belirli bir mesafede bulunan gözlemlerin yüzdesinin, k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ k 2)*100%.
Örneğin, eğer k= 2, Bienname-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 – (1/2) 2) x %100 = %75'inin aralıkta yer alması gerektiğini belirtir u ± 2σ. Bu kural her şey için geçerlidir k, birini aşıyor. Bienamay-Chebyshev kuralı çok geneldir ve her tür dağılım için geçerlidir. Minimum gözlem sayısını, matematiksel beklentiye olan mesafenin belirli bir değeri aşmadığını belirtir. Bununla birlikte, eğer dağılım çan şeklindeyse, temel kural, verilerin beklenen değer etrafındaki konsantrasyonunu daha doğru bir şekilde tahmin eder.
Frekans Tabanlı Bir Dağılım için Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması
Orijinal veriler mevcut değilse frekans dağılımı tek bilgi kaynağı haline gelir. Bu gibi durumlarda, aritmetik ortalama, standart sapma ve çeyrekler gibi dağılımın niceliksel göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplamak mümkündür.
Örnek veriler bir frekans dağılımı olarak temsil edilirse, her sınıftaki tüm değerlerin sınıf orta noktasında yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın bir tahmini hesaplanabilir:
Nerede - örnek ortalaması, N- gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, İle- frekans dağılımındaki sınıf sayısı, mj- orta nokta J sınıf, FJ- karşılık gelen frekans J-inci sınıf.
Bir frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için, her sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı da varsayılır.
Bir serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyreğin hesaplanmasını düşünün (Şekil 12).
Pirinç. 12. Kişi başına aylık ortalama nakit geliri olan Rus nüfusunun payı, ruble
Bir aralık varyasyon serisinin ilk çeyreğini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
burada Q1, birinci çeyreğin değeridir, xQ1, birinci çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık, ilk olarak %25'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir); i – aralık değeri; Σf – tüm numunenin frekanslarının toplamı; muhtemelen her zaman %100'e eşittir; SQ1–1 – alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın birikmiş frekansı; fQ1 – alt çeyreği içeren aralığın frekansı. Üçüncü çeyreğin formülü, her yerde Q1 yerine Q3 kullanmanız ve ¼ yerine ¾ kullanmanız gerektiği açısından farklılık gösterir.
Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek 7000,1 – 10.000 aralığındadır ve bunun toplam frekansı %26,4'tür. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın toplam frekansı %13,4, alt çeyreği içeren aralığın frekansı %13,0'dır. Böylece: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 ovma.
Tanımlayıcı İstatistiklerle İlişkili Tuzaklar
Bu yazıda, bir veri kümesinin ortalamasını, yayılmasını ve dağılımını değerlendiren çeşitli istatistikleri kullanarak nasıl tanımlanabileceğine baktık. Bir sonraki adım veri analizi ve yorumlamadır. Şimdiye kadar verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi onların öznel yorumlarına geçiyoruz. Araştırmacı iki hatayla karşı karşıyadır: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen nesnel sonuçlara varmıştır: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri vardır, fon getirilerinin dağılımı -6,1 ile 18,5 arasında değişmektedir ve ortalama getiri 6,08'dir. Veri analizinin nesnelliği, özet niceliksel dağıtım göstergelerinin doğru seçimiyle sağlanır. Verilerin ortalamasını ve dağılımını tahmin etmek için çeşitli yöntemler dikkate alındı ve bunların avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız bir analiz sağlamak için doğru istatistikleri nasıl seçersiniz? Veri dağılımı biraz çarpıksa ortalama yerine medyanı mı seçmelisiniz? Hangi gösterge verinin yayılmasını daha doğru şekilde karakterize eder: standart sapma mı yoksa aralık mı? Dağılımın pozitif çarpıklığına dikkat çekilmeli mi?
Öte yandan veri yorumlama subjektif bir süreçtir. Aynı sonuçları yorumlarken farklı insanlar farklı sonuçlara varırlar. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Birisi çok yüksek risk seviyesine sahip 15 fonun toplam ortalama yıllık getirisinin iyi olduğunu düşünüyor ve elde edilen gelirden oldukça memnun. Diğerleri bu fonların getirisinin çok düşük olduğunu düşünebilir. Bu nedenle öznellik, dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.
Etik konular
Veri analizi ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyo, televizyon ve internet aracılığıyla yayılan bilgileri eleştirmelisiniz. Zamanla yalnızca sonuçlara değil, aynı zamanda araştırmanın hedeflerine, konusuna ve nesnelliğine de şüpheyle yaklaşmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz siyasetçi Benjamin Disraeli bunu en iyi şekilde ifade etmiştir: "Üç tür yalan vardır: yalanlar, kahrolası yalanlar ve istatistikler."
Notta belirtildiği gibi, raporda sunulması gereken sonuçların seçiminde etik sorunlar ortaya çıkmaktadır. Hem olumlu hem de olumsuz sonuçlar yayınlanmalıdır. Ayrıca bir rapor veya yazılı rapor hazırlarken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Başarısız ve dürüst olmayan sunumlar arasında yapılması gereken bir ayrım vardır. Bunu yapmak için konuşmacının niyetinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı önemli bilgileri bilgisizliğinden dolayı atlar ve bazen de bu kasıtlıdır (örneğin, istenen sonucu elde etmek için açıkça çarpık verilerin ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçların gizlenmesi de dürüstlüktür.
Levin ve diğerleri İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmıştır. – M.: Williams, 2004. – s. 178–209
DÖRTTEBİRLİK işlevi, Excel'in önceki sürümleriyle uyumluluk amacıyla korunmuştur.
Matematikte sayıların aritmetik ortalaması (veya basitçe ortalama), belirli bir kümedeki tüm sayıların toplamının sayı sayısına bölünmesiyle elde edilir. Bu, ortalama değerin en genelleştirilmiş ve yaygın kavramıdır. Zaten anladığınız gibi, ortalamayı bulmak için size verilen tüm sayıları toplamanız ve elde edilen sonucu terim sayısına bölmeniz gerekir.
Aritmetik ortalama nedir?
Bir örneğe bakalım.
örnek 1. Verilen sayılar: 6, 7, 11. Ortalama değerlerini bulmanız gerekiyor.
Çözüm.
Öncelikle bu sayıların toplamını bulalım.
Şimdi elde edilen toplamı terim sayısına bölün. Üç terimimiz olduğundan üçe böleceğiz.
Buna göre 6, 7 ve 11 sayılarının ortalaması 8'dir. Neden 8? Evet çünkü 6, 7 ve 11'in toplamı üç sekize eşit olacaktır. Bu durum resimde açıkça görülmektedir.
Ortalama, bir dizi sayının "akşam dışarı çıkmasına" benzer. Gördüğünüz gibi kalem yığınları aynı seviyeye geldi.
Kazanılan bilgiyi pekiştirmek için başka bir örneğe bakalım.
Örnek 2. Verilen sayılar: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Bunların aritmetik ortalamasını bulmanız gerekiyor.
Çözüm.
Tutarı bulun.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Terim sayısına bölün (bu durumda - 15).
Dolayısıyla bu sayı serisinin ortalama değeri 22'dir.
Şimdi negatif sayılara bakalım. Bunları nasıl özetleyeceğimizi hatırlayalım. Örneğin, 1 ve -4 olmak üzere iki sayınız var. Toplamlarını bulalım.
1 + (-4) = 1 – 4 = -3
Bunu bilerek başka bir örneğe bakalım.
Örnek 3. Bir sayı serisinin ortalama değerini bulun: 3, -7, 5, 13, -2.
Çözüm.
Sayıların toplamını bulun.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
5 terim olduğundan elde edilen toplamı 5'e bölün.
Dolayısıyla 3, -7, 5, 13, -2 sayılarının aritmetik ortalaması 2,4'tür.
Teknolojik ilerlemenin olduğu çağımızda ortalama değeri bulmak için bilgisayar programlarını kullanmak çok daha uygundur. Microsoft Office Excel'de bunlardan biri. Excel'de ortalamayı bulmak hızlı ve kolaydır. Üstelik bu program Microsoft Office yazılım paketinin içinde yer alıyor. Bu programı kullanarak aritmetik ortalamanın nasıl bulunacağına dair kısa bir talimata bakalım.
Bir sayı dizisinin ortalama değerini hesaplamak için ORTALAMA işlevini kullanmanız gerekir. Bu işlevin sözdizimi şöyledir:
= Ortalama(argüman1, argüman2, ... argüman255)
burada argüman1, argüman2, ... argüman255 sayılar veya hücre referanslarıdır (hücreler derken aralıkları ve dizileri kastediyoruz).
Daha açık hale getirmek için, edindiğimiz bilgileri deneyelim.
- C1 – C6 hücrelerine 11, 12, 13, 14, 15, 16 sayılarını girin.
- Üzerine tıklayarak C7 hücresini seçin. Bu hücrede ortalama değeri göstereceğiz.
- Formüller sekmesine tıklayın.
- Açılır listeyi açmak için Diğer İşlevler > İstatistik'i seçin.
- ORTALAMA'yı seçin. Bundan sonra bir iletişim kutusu açılmalıdır.
- İletişim kutusundaki aralığı ayarlamak için C1'den C6'ya kadar olan hücreleri seçip buraya sürükleyin.
- İşlemlerinizi "Tamam" butonu ile onaylayın.
- Her şeyi doğru yaptıysanız, cevabın C7 - 13.7 hücresinde olması gerekir. C7 hücresine tıkladığınızda formül çubuğunda (=Ortalama(C1:C6)) işlevi görünecektir.
Bu özellik muhasebe, faturalar veya çok uzun bir sayı serisinin ortalamasını bulmanız gerektiğinde çok kullanışlıdır. Bu nedenle ofislerde ve büyük şirketlerde sıklıkla kullanılmaktadır. Bu, kayıtlarınızı düzenli tutmanıza ve bir şeyi (örneğin ortalama aylık gelir) hızlı bir şekilde hesaplamanıza olanak tanır. Bir fonksiyonun ortalama değerini bulmak için Excel'i de kullanabilirsiniz.
Ortalama
Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. ortalama anlam.Ortalama(matematik ve istatistikte) sayı kümeleri - tüm sayıların toplamının kendi sayılarına bölümü. Merkezi eğilim ölçülerinin en yaygınlarından biridir.
Pisagorcular tarafından (geometrik ortalama ve harmonik ortalamayla birlikte) önerildi.
Aritmetik ortalamanın özel durumları ortalama (genel popülasyon) ve örnek ortalamasıdır (örneklem).
giriiş
Veri kümesini gösterelim X = (X 1 , X 2 , …, X N), bu durumda örnek ortalama genellikle değişkenin üzerinde yatay bir çubukla gösterilir (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), " olarak telaffuz edilir X bir çizgiyle").
Yunanca μ harfi tüm popülasyonun aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama değeri belirlenen bir rastgele değişken için μ olasılık ortalaması veya rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. Eğer set X olasılıksal ortalaması μ olan rastgele sayıların bir koleksiyonudur, o zaman herhangi bir örnek için X Ben bu kümeden μ = E( X Ben) bu numunenin matematiksel beklentisidir.
Uygulamada, μ ve x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) arasındaki fark, μ'nin tipik bir değişken olmasıdır çünkü popülasyonun tamamı yerine bir örneği görebilirsiniz. Bu nedenle, eğer örnek rastgele temsil edilirse (olasılık teorisi açısından), o zaman x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ancak μ değil), örnek üzerinde olasılık dağılımına sahip bir rastgele değişken olarak ele alınabilir ( ortalamanın olasılık dağılımı).
Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:
X¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n))).)
Eğer X rastgele bir değişken ise matematiksel beklenti X bir büyüklüğün tekrarlanan ölçümlerindeki değerlerin aritmetik ortalaması olarak düşünülebilir X. Bu büyük sayılar yasasının bir tezahürüdür. Bu nedenle, bilinmeyen beklenen değeri tahmin etmek için örnek ortalama kullanılır.
Temel cebirde ortalamanın olduğu kanıtlanmıştır. N+ 1 sayı ortalamanın üzerinde N sayılar ancak ve ancak yeni sayı eski ortalamadan büyükse, daha az ancak yeni sayı ortalamadan küçükse ve yalnızca yeni sayı ortalamaya eşitse değişmez. Daha fazla N yeni ve eski ortalamalar arasındaki fark ne kadar küçük olursa.
Güç ortalaması, Kolmogorov ortalaması, harmonik ortalama, aritmetik-geometrik ortalama ve çeşitli ağırlıklı ortalamalar (örneğin, ağırlıklı aritmetik ortalama, ağırlıklı geometrik ortalama, ağırlıklı harmonik ortalama) dahil olmak üzere başka birçok "ortalama" bulunduğunu unutmayın.
Örnekler
- Üç sayı için bunları toplayıp 3'e bölmeniz gerekir:
- Dört sayı için bunları toplayıp 4'e bölmeniz gerekir:
Veya daha basiti: 5+5=10, 10:2. Çünkü 2 sayı topluyorduk, yani kaç sayı topluyorsak o kadara bölüyoruz.
Sürekli rastgele değişken
Sürekli olarak dağıtılan bir f (x) (\displaystyle f(x)) miktarı için, [ a ; b ] (\displaystyle ) belirli bir integral aracılığıyla belirlenir:
F(x)¯[ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x))))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları
Sağlamlık eksikliği
Ana makale: İstatistiklerde sağlamlıkAritmetik ortalamalar genellikle ortalamalar veya merkezi eğilimler olarak kullanılsa da, bu kavram sağlam bir istatistik değildir; bu, aritmetik ortalamanın "büyük sapmalardan" büyük ölçüde etkilendiği anlamına gelir. Büyük bir çarpıklık katsayısına sahip dağılımlar için aritmetik ortalamanın “ortalama” kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden (örneğin medyan) ortalama değerlerinin merkezini daha iyi tanımlayabileceği dikkat çekicidir. eğilim.
Klasik bir örnek ortalama gelirin hesaplanmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir ve bu da gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip insanların olduğu sonucuna varılmasına yol açabilir. “Ortalama” gelir, çoğu insanın bu rakam civarında bir gelire sahip olduğu şeklinde yorumlanıyor. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile birlikte yüksek bir gelir, aritmetik ortalamayı oldukça çarpık hale getirir (buna karşılık, medyan ortalama gelir böyle bir çarpıklığa "direnir"). Ancak bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın insan sayısı hakkında hiçbir şey söylemez (ve modal gelire yakın insan sayısı hakkında da hiçbir şey söylemez). Ancak, "ortalama" ve "çoğu insan" kavramlarını hafife alırsanız, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğu yönünde yanlış bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, Medine, Washington'da sakinlerin tüm yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan "ortalama" net gelire ilişkin bir rapor, Bill Gates sayesinde şaşırtıcı derecede büyük bir rakam verecektir. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3,17 ama altı değerden beşi bu ortalamanın altında.
Bileşik faiz
Ana makale: Yatırım getirisiEğer sayılar çarpmak, Ama değil katlamak aritmetik ortalamayı değil geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman bu olay, finans yatırımının getirisi hesaplanırken ortaya çıkar.
Örneğin, bir hisse senedi ilk yılda %10 düştü ve ikinci yılda %30 arttıysa, bu iki yıldaki “ortalama” artışın aritmetik ortalama olarak hesaplanması yanlıştır (-%10 + %30 /) 2 = %10; bu durumda doğru ortalama, yalnızca yaklaşık %8,16653826392 ≈ %8,2 yıllık büyüme oranı veren bileşik yıllık büyüme oranıyla verilmektedir.
Bunun nedeni yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç noktasına sahip olmasıdır: %30, %30'dur. ilk yılın başındaki fiyattan daha düşük bir rakamdan: eğer bir hisse senedi 30 dolardan başlayıp %10 düşerse, ikinci yılın başında değeri 27 dolar olur. Hisse senedi %30 değer kazanırsa ikinci yılın sonunda değeri 35,1 dolar olacaktı. Bu büyümenin aritmetik ortalaması %10'dur, ancak hisse senedi 2 yılda yalnızca 5,1 dolar arttığından, %8,2'lik ortalama büyüme 35,1 dolarlık nihai sonucu verir:
[30 ABD Doları (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 ABD Doları (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 ABD Doları]. Aynı şekilde %10'luk aritmetik ortalamayı kullanırsak gerçek değeri elde edemeyiz: [30$ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3$].
2 yıl sonundaki bileşik faiz: %90 * %130 = %117 yani toplam artış %17, yıllık ortalama bileşik faiz ise %117 ≈ %108,2 (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\yaklaşık 108,2\%) , yani yıllık ortalama %8,2'lik bir artış.
Talimatlar
Ana makale: Hedef istatistikleriDöngüsel olarak değişen bazı değişkenlerin (faz veya açı gibi) aritmetik ortalaması hesaplanırken özel dikkat gösterilmelidir. Örneğin, 1° ve 359°'nin ortalaması 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° olacaktır. Bu sayı iki nedenden dolayı yanlıştır.
- Birincisi, açısal ölçüler yalnızca 0° ila 360° (veya radyan cinsinden ölçüldüğünde 0 ila 2π) aralığı için tanımlanır. Yani aynı sayı çifti (1° ve −1°) veya (1° ve 719°) şeklinde yazılabilir. Her çiftin ortalama değerleri farklı olacaktır: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ daire)) .
- İkincisi, bu durumda, 0° değeri (360°'ye eşdeğer) geometrik olarak daha iyi bir ortalama değer olacaktır, çünkü sayılar 0°'den diğer herhangi bir değere göre daha az sapar (0° değeri en küçük varyansa sahiptir). Karşılaştırmak:
- 1° sayısı 0°'den yalnızca 1° sapar;
- 1° sayısı hesaplanan ortalama 180°'den 179° sapmaktadır.
Yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan döngüsel bir değişkenin ortalama değeri, gerçek ortalamaya göre yapay olarak sayısal aralığın ortasına doğru kaydırılacaktır. Bu nedenle ortalama farklı şekilde hesaplanır, yani varyansı en küçük olan sayı (merkez noktası) ortalama değer olarak seçilir. Ayrıca çıkarma yerine modüler mesafe (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1° ile 359° arasındaki modüler mesafe 358° değil 2°'dir (359° ile 360°==0° arasındaki daire üzerinde - bir derece, 0° ile 1° arasında - ayrıca 1°, toplamda - 2 °).
Ağırlıklı ortalama - nedir ve nasıl hesaplanır?
Matematik eğitimi sürecinde okul çocukları aritmetik ortalama kavramına aşina olurlar. Daha sonra istatistik ve diğer bazı bilimlerde öğrenciler diğer ortalama değerlerin hesaplanmasıyla karşı karşıya kalırlar. Ne olabilirler ve birbirlerinden nasıl farklılar?
Ortalamalar: anlam ve farklılıklar
Doğru göstergeler her zaman durumun anlaşılmasını sağlamaz. Belirli bir durumu değerlendirmek için bazen çok sayıda rakamı analiz etmek gerekebilir. Ve sonra ortalamalar kurtarmaya gelir. Durumu bir bütün olarak değerlendirmemizi sağlıyorlar.
Okul günlerinden beri birçok yetişkin aritmetik ortalamanın varlığını hatırlıyor. Hesaplaması çok basittir; n terimden oluşan bir dizinin toplamı n'ye bölünür. Yani aritmetik ortalamayı 27, 22, 34 ve 37 değerlerinin sırasına göre hesaplamanız gerekiyorsa, o zaman 4 değer olduğundan (27+22+34+37)/4 ifadesini çözmeniz gerekir. Hesaplamalarda kullanılır. Bu durumda gerekli değer 30 olacaktır.
Geometrik ortalama genellikle okul dersinin bir parçası olarak incelenir. Bu değerin hesaplanması, n terimin çarpımının n'inci kökünün çıkarılmasına dayanmaktadır. Aynı sayıları alırsak: 27, 22, 34 ve 37, hesaplamaların sonucu 29,4'e eşit olacaktır.
Harmonik ortalama genellikle ortaöğretim okullarında bir çalışma konusu değildir. Ancak oldukça sık kullanılmaktadır. Bu değer aritmetik ortalamanın tersidir ve n - değer sayısı ile 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n toplamının bölümü olarak hesaplanır. Hesaplama için yine aynı sayı serisini alırsak harmonik 29,6 olacaktır.
Ağırlıklı ortalama: özellikler
Ancak yukarıdaki değerlerin tümü her yerde kullanılmayabilir. Örneğin istatistikte belirli ortalamalar hesaplanırken, hesaplamalarda kullanılan her sayının “ağırlığı” önemli rol oynar. Sonuçlar daha gösterge niteliğinde ve doğrudur çünkü daha fazla bilgiyi hesaba katarlar. Bu miktar grubuna genellikle “ağırlıklı ortalama” adı verilir. Okulda öğretilmiyorlar, bu yüzden onlara daha detaylı bakmaya değer.
Öncelikle belirli bir değerin “ağırlığı” ile ne kastedildiğini anlatmakta fayda var. Bunu açıklamanın en kolay yolu spesifik bir örnektir. Hastanede günde iki kez her hastanın vücut ısısı ölçülüyor. Hastanenin farklı bölümlerindeki 100 hastadan 44'ünün ateşi normal 36,6 derece olacak. Diğer 30'un değeri artırılmış olacak - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 ve geri kalan iki - 40. Ve aritmetik ortalamayı alırsak, o zaman hastane için genel olarak bu değer 38'den fazla olacaktır. derece! Ancak hastaların neredeyse yarısının ateşi tamamen normaldir. Ve burada ağırlıklı ortalamayı kullanmak daha doğru olacaktır ve her değerin “ağırlığı” kişi sayısı olacaktır. Bu durumda hesaplama sonucu 37,25 derece olacaktır. Fark açıktır.
Ağırlıklı ortalama hesaplamalarında “ağırlık”, gönderi sayısı, belirli bir günde çalışan kişi sayısı, genel olarak ölçülebilen ve nihai sonucu etkileyen her şey olarak alınabilir.
Çeşitler
Ağırlıklı ortalama, makalenin başında tartışılan aritmetik ortalamayla ilgilidir. Ancak ilk değer, daha önce de belirtildiği gibi, hesaplamalarda kullanılan her sayının ağırlığını da dikkate alır. Ayrıca ağırlıklı geometrik ve harmonik değerler de bulunmaktadır.
Sayı serilerinde kullanılan başka ilginç bir varyasyon daha var. Bu ağırlıklı hareketli ortalamadır. Trendler bu temelde hesaplanıyor. Burada değerlerin kendileri ve ağırlıklarının yanı sıra periyodiklik de kullanılıyor. Belirli bir andaki ortalama değer hesaplanırken önceki zaman dilimlerine ait değerler de dikkate alınır.
Tüm bu değerleri hesaplamak o kadar da zor değil ancak pratikte genellikle yalnızca olağan ağırlıklı ortalama kullanılır.
Hesaplama yöntemleri
Yaygın bilgisayarlaşma çağında, ağırlıklı ortalamanın manuel olarak hesaplanmasına gerek yoktur. Ancak elde edilen sonuçları kontrol edebilmeniz ve gerekirse ayarlayabilmeniz için hesaplama formülünü bilmek faydalı olacaktır.
En kolay yol, hesaplamayı belirli bir örnek kullanarak ele almaktır.
Bu işletmede ortalama ücretin ne olduğunu bulmak, şu veya bu maaşı alan işçi sayısını hesaba katmak gerekir.
Dolayısıyla ağırlıklı ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
Örneğin hesaplama şu şekilde olacaktır:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48
Açıkçası, ağırlıklı ortalamanın manuel olarak hesaplanmasında özel bir zorluk yoktur. Bu değeri formüllerle en popüler uygulamalardan biri olan Excel'de hesaplamaya yönelik formül, SUMproduct (sayı serisi; ağırlık serisi) / SUM (ağırlık serisi) işlevine benzer.
Excel'de ortalama nasıl bulunur?
Excel'de aritmetik ortalama nasıl bulunur?
Vladimir09854
Çocuk oyuncağı. Excel'de ortalamayı bulmak için yalnızca 3 hücreye ihtiyacınız vardır. İlkinde bir sayı, ikincisinde ise başka bir sayı yazacağız. Ve üçüncü hücreye, birinci ve ikinci hücrelerdeki bu iki sayı arasındaki ortalama değeri verecek bir formül gireceğiz. 1 numaralı hücreye A1, 2 numaralı hücreye B1 denirse, formülün bulunduğu hücreye şunu yazmanız gerekir:
Bu formül iki sayının aritmetik ortalamasını hesaplar.
Hesaplamalarımızı daha güzel hale getirmek için hücreleri plaka şeklinde çizgilerle vurgulayabiliriz.
Excel'in kendisinde de ortalama değeri belirleme işlevi var ama ben eski moda yöntemi kullanıyorum ve ihtiyacım olan formülü giriyorum. Bu nedenle, Excel'in tam olarak ihtiyacım olan şekilde hesaplama yapacağından ve kendi başına bir tür yuvarlama yapmayacağından eminim.
M3sergey
Veriler hücrelere zaten girilmişse bu çok basittir. Yalnızca bir sayıyla ilgileniyorsanız, istediğiniz aralığı/aralıkları seçin; bu sayıların toplamının değeri, aritmetik ortalaması ve sayıları durum çubuğunun sağ alt kısmında görünecektir.
Boş bir hücre seçebilir, üçgene (açılır liste) “Otomatik Toplam” tıklayabilir ve orada “Ortalama” seçeneğini seçebilirsiniz, ardından hesaplama için önerilen aralığı kabul edeceksiniz veya kendinizinkini seçebilirsiniz.
Son olarak, formül çubuğunun ve hücre adresinin yanındaki "İşlev Ekle"yi tıklayarak formülleri doğrudan kullanabilirsiniz. ORTALAMA işlevi "İstatistiksel" kategorisinde bulunur ve hem sayıları hem de hücre referanslarını vb. argüman olarak alır. Burada ayrıca daha karmaşık seçenekleri de seçebilirsiniz, örneğin EĞER ORTALAMA - duruma göre ortalamayı hesaplamak.
Excel'de ortalama değeri bulun oldukça basit bir iştir. Burada bu ortalama değeri bazı formüllerde kullanmak isteyip istemediğinizi anlamalısınız.
Yalnızca değeri almanız gerekiyorsa, gerekli sayı aralığını seçin; ardından Excel ortalama değeri otomatik olarak hesaplayacaktır - durum çubuğunda "Ortalama" başlığı görüntülenecektir.
Sonucu formüllerde kullanmak istediğiniz durumda şunu yapabilirsiniz:
1) TOPLA işlevini kullanarak hücreleri toplayın ve hepsini sayı sayısına bölün.
2) Daha doğru bir seçenek, ORTALAMA adı verilen özel bir işlevi kullanmaktır. Bu işlevin argümanları sırayla belirtilen sayılar veya bir sayı aralığı olabilir.
Vladimir Tihonov
Hesaplamaya katılacak değerleri daire içine alın, “Formüller” sekmesine tıklayın, orada solda “Otomatik Toplam” olduğunu ve yanında aşağıyı gösteren bir üçgen göreceksiniz. Bu üçgene tıklayın ve "Orta" seçeneğini seçin. İşte bitti) sütunun altında ortalama değeri göreceksiniz :)
Ekaterina Mutalapova
En baştan ve sırayla başlayalım. ortalama ne demek?
Ortalama, aritmetik ortalama olan bir değerdir, yani. bir dizi sayının toplanması ve ardından sayıların toplamının tamamının sayılarına bölünmesiyle hesaplanır. Örneğin 2, 3, 6, 7, 2 sayıları için 4 olacaktır (20 sayılarının toplamı 5 sayısına bölünür)
Kişisel olarak benim için bir Excel elektronik tablosunda en kolay yol = ORTALAMA formülünü kullanmaktı. Ortalama değeri hesaplamak için, tabloya veri girmeniz, veri sütununun altına =AVERAGE() fonksiyonunu yazmanız ve veriler içeren sütunu vurgulayarak parantez içindeki hücrelerdeki sayı aralığını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra ENTER tuşuna basın veya herhangi bir hücreye sol tıklayın. Sonuç, sütunun altındaki hücrede görünür. Anlaşılmaz bir şekilde tanımlanmış gibi görünüyor, ancak aslında birkaç dakika meselesi.
Maceracı 2000
Excel çok çeşitli bir program olduğundan ortalamaları bulmanızı sağlayacak çeşitli seçenekler vardır:
İlk seçenek. Tüm hücreleri toplayıp sayılarına bölersiniz;
İkinci seçenek. Özel bir komut kullanın, gerekli hücreye “= ORTALAMA (ve burada hücre aralığını belirtin)” formülünü yazın;
Üçüncü seçenek. Gerekli aralığı seçerseniz, aşağıdaki sayfada bu hücrelerdeki ortalama değerin de görüntülendiğini lütfen unutmayın.
Yani ortalamayı bulmanın pek çok yolu var, tek yapmanız gereken kendinize en uygun olanı seçip sürekli kullanmak.
Excel'de basit aritmetik ortalamayı hesaplamak için ORTALAMA işlevini kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için bir dizi değer girmeniz gerekir. Eşittir tuşuna basın ve Kategori'de İstatistik'i seçin; bunların arasından ORTALAMA işlevini seçin
Ayrıca istatistiksel formülleri kullanarak daha doğru olduğu düşünülen ağırlıklı aritmetik ortalamayı hesaplayabilirsiniz. Bunu hesaplamak için gösterge değerlerine ve frekansa ihtiyacımız var.
Excel'de ortalama nasıl bulunur?
Durum bu. Aşağıdaki tablo var:
Kırmızıyla gölgelenen sütunlar derslerdeki notların sayısal değerlerini içerir. "Ortalama Puan" sütununda ortalamalarını hesaplamanız gerekir.
Sorun şu ki, toplamda 60-70 madde var ve bunların bir kısmı başka bir sayfada.
Başka bir belgeye baktım ve ortalama zaten hesaplanmıştı ve hücrede şöyle bir formül var
="sayfa adı"!|E12
ancak bu, kovulan bir programcı tarafından yapıldı.
Lütfen bana bunu kimin anladığını söyleyin.
Hektor
Fonksiyonlar satırında önerilen fonksiyonlardan "ORTALAMA"yı eklersiniz ve örneğin Ivanov için bunların (B6:N6)'dan hesaplanması gerektiğini seçersiniz. Bitişik sayfalardan emin değilim, ancak muhtemelen standart Windows yardımında yer almaktadır.
Bana Word'deki ortalama değeri nasıl hesaplayacağımı söyle
Lütfen bana Word'deki ortalama değeri nasıl hesaplayacağımı söyleyin. Yani, derecelendirmeleri alan kişi sayısı değil, derecelendirmelerin ortalama değeri. 
Yulia Pavlova
Word makrolarla çok şey yapabilir. ALT+F11 tuşlarına basın ve bir makro programı yazın..
Buna ek olarak, Insert-Object..., bir Word belgesi içinde tablo içeren bir sayfa oluşturmak için diğer programları, hatta Excel'i kullanmanıza olanak tanır.
Ama bu durumda tablonun bir sütununa sayılarınızı yazıp, aynı sütunun alt hücresine ortalamayı girmeniz gerekiyor değil mi?
Bunu yapmak için alt hücreye bir alan ekleyin.
Insert-Alan... -Formül
Alan içeriği
[=ORTALAMA(YUKARI)]
yukarıdaki hücrelerin toplamının ortalamasını verir.
Bir alanı seçip farenin sağ tuşuna tıklarsanız, sayılar değiştiyse güncelleyebilirsiniz.
Bir alanın kodunu veya değerini görüntüleyin, kodu doğrudan alanda değiştirin.
Bir şeyler ters giderse hücredeki alanın tamamını silin ve yeniden oluşturun.
ORTALAMA, ortalama, YUKARI anlamına gelir - yaklaşık olarak, yukarıda yer alan bir dizi hücre anlamına gelir.
Bütün bunları kendim bilmiyordum ama biraz düşünerek HELP'te kolayca keşfettim.
Arap rakamlarının isimlerinde her rakam kendi kategorisine ait olup, her üç rakam da bir sınıf oluşturur. Dolayısıyla bir sayıdaki son rakam, içindeki birimlerin sayısını gösterir ve buna göre birler basamağı olarak adlandırılır. Sondan ikinci basamak, onlar basamağını (onlar basamağı) gösterir ve son basamaktan üçüncü basamak, sayıdaki yüzler basamağını - yüzler basamağı - gösterir. Ayrıca, rakamlar her sınıfta sırayla aynı şekilde tekrarlanır; bu, zaten binler, milyonlar vb. sınıflarda birimleri, onlukları ve yüzleri belirtir. Sayı küçükse ve onlar veya yüzler basamağı yoksa, bunları sıfır olarak almak gelenekseldir. Sınıflar, rakamları üçerli sayılarla gruplandırır; genellikle bilgisayar aygıtlarındaki veya kayıtlardaki sınıfları görsel olarak ayırmak için sınıfların arasına bir nokta veya boşluk yerleştirir. Bu, büyük sayıların okunmasını kolaylaştırmak için yapılır. Her sınıfın kendi adı vardır: İlk üç rakam birim sınıfını belirtir, ardından binlik sınıf, ardından milyonlarca, milyarlarca (veya milyarlarca) vb. gelir.
Ondalık sistemi kullandığımız için miktarın temel birimi on veya 10 1'dir. Buna göre bir sayıdaki basamak sayısı arttıkça onlar sayısı da artar: 10 2, 10 3, 10 4 vb. Onlar sayısını bildiğinizde sayının sınıfını ve sırasını kolayca belirleyebilirsiniz; örneğin, 10 16 onlarca katrilyon, 3 × 10 16 ise üç on katrilyondur. Sayıların ondalık bileşenlere ayrıştırılması şu şekilde gerçekleşir - her rakam, gerekli katsayı 10 n ile çarpılarak ayrı bir terimle görüntülenir; burada n, rakamın soldan sağa konumudur.
Örneğin: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1
Ondalık kesirlerin yazımında da 10'un kuvveti kullanılır: 10 (-1), 0,1 veya onda biridir. Önceki paragrafa benzer şekilde, bir ondalık sayıyı da genişletebilirsiniz; bu durumda n, ondalık noktadan itibaren rakamın sağdan sola konumunu gösterecektir, örneğin: 0,347629= 3×10 (-1) +4×10 (-2) +7×10 (-3) +6×10 (-4) +2×10 (-5) +9×10 (-6 )
Ondalık sayıların adları. Ondalık sayılar, virgülden sonraki son basamak tarafından okunur, örneğin 0,325 - üç yüz yirmi beş binde biri, burada bininci son basamak 5'in yeridir.
Büyük sayıların, rakamların ve sınıfların ad tablosu
| 1. sınıf ünitesi | Birimin 1. rakamı 2. rakam onlar 3. sırada yüzlerce |
1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2 |
| 2. sınıf bin | Binlik biriminin 1. basamağı 2. hane onbinler 3. kategori yüz binlerce |
1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 |
| 3. sınıf milyonlar | Milyonlar biriminin 1. rakamı 2. kategori on milyonlarca 3. kategori yüz milyonlarca |
1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 |
| 4. sınıf milyarlar | Milyarlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyarlarca 3. kategori yüz milyarlarca |
1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 |
| 5. sınıf trilyonlar | Trilyonların 1. basamak birimi 2. kategori onlarca trilyon 3. kategori yüz trilyonlarca |
1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14 |
| 6. sınıf katrilyonlar | Katrilyon biriminin 1. basamağı 2. sıra onlarca katrilyon 3. basamak onlarca katrilyon |
1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17 |
| 7. sınıf kentilyonlar | Kentilyon biriminin 1. basamağı 2. kategori onlarca kentilyon 3. hane yüz kentilyon |
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20 |
| 8. sınıf sekstilyonlar | Sekstilyon biriminin 1. basamağı 2. sıra onlarca sekstilyon 3. sıra yüz sekstilyon |
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23 |
| 9. sınıf septilyonlar | Septilyon biriminin 1. basamağı 2. kategori onlarca septilyon 3. hane yüz septilyon |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26 |
| 10. sınıf oktilyon | Oktilyon biriminin 1. basamağı 2. basamak onlarca oktilyon 3. hane yüz oktilyon |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29 |