Üçgen herkesin aşina olduğu bir figür. Ve bu, formlarının zengin çeşitliliğine rağmen. Dikdörtgen, eşkenar, dar, ikizkenar, geniş. Her biri bir şekilde farklıdır. Ancak herkes için bir üçgenin alanını bulmanız gerekir.

Kenar uzunluklarını veya yüksekliklerini kullanan tüm üçgenlerde ortak olan formüller

İçlerinde benimsenen tanımlar: taraflar - a, b, c; a, n, n ile ilgili tarafların yükseklikleri.

1. Bir üçgenin alanı, ½'nin, bir kenarın ve yüksekliğin çarpımının bundan çıkarılmasıyla hesaplanır. S = ½ * a * n a. Diğer iki tarafın formülleri de benzer şekilde yazılmalıdır.

2. Yarı çevrenin göründüğü Heron formülü (tam çevrenin aksine genellikle küçük p harfiyle gösterilir). Yarı çevre şu şekilde hesaplanmalıdır: tüm kenarları toplayın ve 2'ye bölün. Yarı çevre formülü şu şekildedir: p = (a+b+c) / 2. O halde ​ alanının eşitliği ​​şekil şuna benzer: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Yarı çevre kullanmak istemiyorsanız, yalnızca kenar uzunluklarını içeren bir formül yararlı olacaktır: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bir öncekinden biraz daha uzun, ancak yarı çevreyi nasıl bulacağınızı unuttuysanız yardımcı olacaktır.

Bir üçgenin açılarını içeren genel formüller

Formülleri okumak için gereken gösterimler: α, β, γ - açılar. Sırasıyla a, b, c'nin karşılıklı taraflarında bulunurlar.

1. Buna göre iki tarafın çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsü üçgenin alanına eşittir. Yani: S = ½ a * b * sin γ. Diğer iki durumun formülleri de benzer şekilde yazılmalıdır.

2. Bir üçgenin alanı bir kenardan ve bilinen üç açıdan hesaplanabilir. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Ayrıca bilinen bir kenarı ve iki komşu açısı olan bir formül de vardır. Şuna benzer: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Son iki formül en basiti değil. Bunları hatırlamak oldukça zordur.

Yazılı veya çevrelenmiş dairelerin yarıçaplarının bilindiği durum için genel formüller

Ek tanımlar: r, R - yarıçap. Birincisi yazılı dairenin yarıçapı için kullanılır. İkincisi anlatılanlara aittir.

1. Bir üçgenin alanının hesaplandığı ilk formül yarı çevre ile ilgilidir. S = r * r. Bunu yazmanın başka bir yolu da şudur: S = ½ r * (a + b + c).

2. İkinci durumda, üçgenin tüm kenarlarını çarpmanız ve bunları çevrelenen dairenin yarıçapının dört katına bölmeniz gerekecektir. Gerçek ifadede şuna benzer: S = (a * b * c) / (4R).

3. Üçüncü durum, kenarları bilmeden yapmanıza olanak sağlar ancak üç açının da değerlerine ihtiyacınız olacaktır. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Özel durum: dik üçgen

Bu en basit durumdur çünkü yalnızca her iki bacağın uzunluğu da gereklidir. Latin harfleri a ve b ile gösterilirler. Bir dik üçgenin alanı, kendisine eklenen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir.

Matematiksel olarak şuna benzer: S = ½ a * b. Hatırlanması en kolay olanıdır. Dikdörtgenin alan formülüne benzediğinden yalnızca yarımı gösteren bir kesir görünür.

Özel durum: ikizkenar üçgen

İki eşit kenara sahip olduğundan, alanıyla ilgili bazı formüller biraz basitleştirilmiş görünüyor. Örneğin, ikizkenar üçgenin alanını hesaplayan Heron formülü aşağıdaki formu alır:

S = ½ inç √((a + ½ inç)*(a - ½ inç)).

Eğer dönüştürürsen kısalır. Bu durumda Heron'un ikizkenar üçgen formülü şu şekilde yazılır:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Kenarlar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan formülü, rastgele bir üçgene göre biraz daha basit görünür. S = ½ a 2 * sin β.

Özel durum: eşkenar üçgen

Genellikle problemlerde işin tarafı bilinir veya bir şekilde ortaya çıkarılabilir. Daha sonra böyle bir üçgenin alanını bulma formülü aşağıdaki gibidir:

S = (a 2 √3) / 4.

Üçgen kareli kağıt üzerinde gösteriliyorsa alanı bulma sorunları

En basit durum, bacakları kağıdın çizgileriyle çakışacak şekilde bir dik üçgenin çizilmesidir. O zaman bacaklara sığan hücre sayısını saymanız yeterlidir. Daha sonra bunları çarpın ve ikiye bölün.

Üçgen dar veya geniş olduğunda dikdörtgene çizilmesi gerekir. Daha sonra ortaya çıkan şekilde 3 üçgen olacaktır. Bunlardan biri problemde verilendir. Diğer ikisi ise yardımcı ve dikdörtgendir. Son ikisinin alanlarının yukarıda açıklanan yöntem kullanılarak belirlenmesi gerekir. Daha sonra dikdörtgenin alanını hesaplayın ve yardımcı olanlar için hesaplananları çıkarın. Üçgenin alanı belirlenir.

Üçgenin kenarlarının hiçbirinin kağıdın çizgileriyle çakışmaması durumu çok daha karmaşık hale geliyor. Daha sonra, orijinal şeklin köşelerinin yanlarında olması için bir dikdörtgenin içine yazılması gerekir. Bu durumda üç yardımcı dik üçgen olacaktır.

Heron formülünü kullanan bir problem örneği

Durum. Bazı üçgenlerin bilinen kenarları vardır. 3, 5 ve 6 cm'ye eşittirler. Alanı bulmanız gerekiyor.

Artık yukarıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz. Karekökün altında dört sayının çarpımı bulunur: 7, 4, 2 ve 1. Yani alan √(4 * 14) = 2 √(14)'tür.

Daha fazla doğruluk gerekmiyorsa 14'ün karekökünü alabilirsiniz. Bu 3,74'e eşittir. O zaman alan 7.48 olacaktır.

Cevap. S = 2 √14 cm2 veya 7,48 cm2.

Dik üçgenle ilgili örnek problem

Durum. Dik üçgenin bir bacağı ikincisinden 31 cm daha büyüktür. Üçgenin alanı 180 cm2 ise uzunluklarını bulmanız gerekir.
Çözüm. İki denklemli bir sistemi çözmemiz gerekecek. Birincisi alanla ilgilidir. İkincisi problemde verilen bacakların oranıdır.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Öncelikle ilk denklemde “a” değeri yerine yazılmalıdır. Görünüşe göre: 180 = ½ (+ 31) * inç. Tek bir bilinmeyen miktarı olduğundan çözülmesi kolaydır. Parantez açıldıktan sonra ikinci dereceden denklem elde edilir: 2 + 31 360 = 0. Bu, "in" için iki değer verir: 9 ve - 40. İkinci sayı, kenar uzunluğu nedeniyle cevap olarak uygun değildir. Bir üçgenin değeri negatif olamaz.

Geriye ikinci ayağı hesaplamak kalıyor: Ortaya çıkan sayıya 31 ekleyin. 40 çıkıyor. Bunlar problemde aranan miktarlardır.

Cevap. Üçgenin bacakları 9 ve 40 cm'dir.

Bir üçgenin alanı, kenarı ve açısı boyunca bir kenar bulma problemi

Durum. Belirli bir üçgenin alanı 60 cm2'dir. İkinci kenar 15 cm ve aralarındaki açı 30° ise bir kenarını hesaplamak gerekir.

Çözüm. Kabul edilen gösterime göre istenilen kenar “a”, bilinen kenar “b”, verilen açı “γ”dır. Daha sonra alan formülü şu şekilde yeniden yazılabilir:

60 = ½ a * 15 * sin 30°. Burada 30 derecenin sinüsü 0,5'tir.

Dönüşümlerden sonra “a” 60 / (0,5 * 0,5 * 15) değerine eşit olur. Yani 16.

Cevap. Gerekli kenar 16 cm'dir.

Dik üçgenin içine yazılan kareyle ilgili problem

Durum. Bir kenarı 24 cm olan karenin tepe noktası üçgenin dik açısına denk gelmektedir. Diğer ikisi yanlarda yatıyor. Üçüncüsü hipotenüse aittir. Bacaklardan birinin uzunluğu 42 cm'dir. Dik üçgenin alanı nedir?

Çözüm. İki dik üçgen düşünün. Bunlardan ilki görevde belirtilendir. İkincisi orijinal üçgenin bilinen ayağına dayanmaktadır. Benzerdirler çünkü ortak açıları vardır ve paralel çizgilerden oluşurlar.

O halde bacaklarının oranları eşittir. Küçük üçgenin kenarları 24 cm'ye (karenin kenarı) ve 18 cm'ye eşittir (42 cm'lik kenardan karenin kenarını 24 cm çıkarırız). Büyük bir üçgenin karşılık gelen bacakları 42 cm ve x cm'dir. Üçgenin alanını hesaplamak için gerekli olan bu "x"tir.

18/42 = 24/x yani x = 24*42/18 = 56 (cm) olur.

Daha sonra alan 56 ile 42'nin ikiye bölünmesine, yani 1176 cm2'ye eşittir.

Cevap. Gerekli alan 1176 cm2'dir.

Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemler arasında en kolay ve en sık kullanılanı, yüksekliği taban uzunluğuyla çarpmak ve ardından sonucu ikiye bölmektir. Ancak bu yöntem tek yöntem olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen türlerinin (dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar) alanını hesaplamanın yollarına bakacağız. Her formüle, özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ekliyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmak için evrensel yöntemler

Aşağıdaki formüller özel gösterim kullanır. Her birinin şifresini çözeceğiz:

• a, b, c – ele aldığımız şeklin üç tarafının uzunlukları;
• r, üçgenimize yazılabilecek dairenin yarıçapıdır;
• R, çevresinde tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır;
• α, b ve c kenarlarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• β a ve c arasındaki açının büyüklüğüdür;
• γ, a ve b taraflarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• h, üçgenimizin α açısından a kenarına indirilmiş yüksekliğidir;
• p – a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabileceğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, üçgenin bir tarafının köşegen görevi göreceği bir paralelkenar halinde kolayca tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin değeriyle çarpılmasıyla bulunur. Köşegen bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Dolayısıyla orijinal üçgenimizin alanının bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının (a ve b) uzunluklarının, bunların oluşturduğu açının sinüsüyle çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına indirirsek, dik üçgenin özelliklerine göre a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsüyle çarptığımızda üçgenin yüksekliğini yani h'yi elde ederiz. .

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilecek dairenin yarıçapının yarısının çevresi ile çarpılmasıyla bulunur. Yani söz konusu dairenin yarı çevresi ile yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= a b c/4R

Bu formüle göre ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımının, çevresinde tanımlanan dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılarlar. Bu, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağımız daha karmaşık hesaplamalar kullanılarak yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu şeklin özelliği, iki tarafının aynı anda yüksekliği olmasıdır. Eğer a ve b kenarlar ise ve c hipotenüs olursa, alanı şu şekilde buluruz:

İkizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Sonuç olarak alanı, a tarafının karesinin çarpımının γ açısının sinüsüne bölünmesiyle belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü α'dır. Yüksekliği, a tarafının uzunluğunun ve 3'ün karekökünün çarpımının yarısına eşittir. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a tarafının karesini 3'ün kareköküyle çarpmanız ve şuna bölmeniz gerekir: 4.

İnternette bir üçgenin alanını hesaplamak için 10'dan fazla formül bulabilirsiniz. Bunların çoğu üçgenin kenarları ve açıları bilinen problemlerde kullanılır. Bununla birlikte, atamanın koşullarına göre, bir üçgenin yalnızca bir tarafının ve açılarının veya çevrelenmiş veya çevrelenmiş bir dairenin yarıçapının ve bir başka özelliğin bilindiği çok sayıda karmaşık örnek vardır. Bu gibi durumlarda basit bir formül uygulanamaz.

Aşağıda verilen formüller, üçgenin alanını bulmanız gereken problemlerin yüzde 95'ini çözmenize olanak sağlayacaktır.
Ortak alan formüllerini ele almaya devam edelim.
Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgeni düşünün

Şekilde ve formüllerin altında, tüm özelliklerinin klasik tanımları tanıtılmıştır.
a,b,c – üçgenin kenarları,
R - çevrelenen dairenin yarıçapı,
r – yazılı dairenin yarıçapı,
h[b],h[a],h[c] – a,b,c kenarlarına göre çizilen yükseklikler.
alfa, beta, hamma – köşelere yakın açılar.

Bir üçgenin alanı için temel formüller

1. Alan, üçgenin kenarı ile bu kenara indirilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Formül dilinde bu tanım şu şekilde yazılabilir:

Yani kenar ve yükseklik biliniyorsa her öğrenci alanı bulacaktır.
Bu arada, bu formülden yükseklikler arasında yararlı bir ilişki elde edilebilir.

2. Bir üçgenin komşu kenardan yüksekliğinin bağımlılıkla ifade edildiğini dikkate alırsak

Daha sonra ilk alan formülünü aynı türdeki ikinci formüller takip eder.

Formüllere dikkatlice bakın - iş iki tarafı ve aralarındaki açıyı içerdiğinden hatırlanması kolaydır. Üçgenin kenarlarını ve açılarını doğru belirlersek (yukarıdaki şekilde olduğu gibi), a, b olmak üzere iki kenar elde ederiz. ve açı üçüncüye bağlanır(hamma) ile.

3. Bir üçgenin açıları için ilişki doğrudur

Bağımlılık, hesaplamalarda bir üçgenin alanı için aşağıdaki formülleri kullanmanızı sağlar:

Bu bağımlılığın örnekleri son derece nadirdir ancak böyle bir formülün olduğunu unutmamalısınız.

4. Kenar ve komşu iki açı biliniyorsa alan formülle bulunur.

5. Komşu açıların kenar ve kotanjant cinsinden alan formülü aşağıdaki gibidir

Endeksleri yeniden düzenleyerek diğer taraflara bağımlılıklar elde edebilirsiniz.

6. Bir üçgenin köşelerinin düzlemde koordinatlarla belirtildiği problemlerde aşağıdaki alan formülü kullanılır. Bu durumda alan, modülo olarak alınan determinantın yarısına eşittir.

7. Heron'un formülü Bir üçgenin kenarları bilinen örneklerde kullanılır.
İlk önce üçgenin yarı çevresini bulun

Daha sonra formülü kullanarak alanı belirleyin

veya

Hesap makinesi programlarının kodlarında oldukça sık kullanılır.

8. Üçgenin tüm yükseklikleri biliniyorsa alan formülle belirlenir.

Hesap makinesinde hesaplamak zordur ancak MathCad, Mathematica, Maple paketlerinde alan “ikinci zaman”dır.

9. Aşağıdaki formüller, yazılı ve sınırlı dairelerin bilinen yarıçaplarını kullanır.

Özellikle üçgenin yarıçapı ve kenarları veya çevresi biliniyorsa alan aşağıdaki formüle göre hesaplanır.

10. Çevreleyen dairenin kenarlarının ve yarıçapının veya çapının verildiği örneklerde alan aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

11. Aşağıdaki formül, üçgenin alanını üçgenin kenar ve açılarına göre belirler.

Ve son olarak özel durumlar:
Dik üçgenin alanı a ve b bacakları çarpımlarının yarısına eşit olacak şekilde

Eşkenar (normal) üçgenin alanı için formül=

= bir kenarın karesi ile üçün kökünün çarpımının dörtte biri.

Üçgenin alanı - formüller ve problem çözme örnekleri

Aşağıda keyfi bir üçgenin alanını bulmak için formüllerözellikleri, açıları veya boyutları ne olursa olsun herhangi bir üçgenin alanını bulmaya uygundur. Formüller, uygulanmalarına ilişkin açıklamalar veya doğruluklarının gerekçeleri ile birlikte bir resim şeklinde sunulur. Ayrıca ayrı bir şekil, formüllerdeki harf sembolleri ile çizimdeki grafik sembolleri arasındaki yazışmayı gösterir.

Not . Üçgenin özel özellikleri varsa (ikizkenar, dikdörtgen, eşkenar), aşağıda verilen formüllerin yanı sıra yalnızca bu özelliklere sahip üçgenler için geçerli olan ek özel formülleri de kullanabilirsiniz:

• "Eşkenar üçgenin alanı formülü"

Üçgen alan formülleri

Formüllere ilişkin açıklamalar:
a, b, c- alanını bulmak istediğimiz üçgenin kenar uzunlukları
R- üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
R- üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapı
H- yana indirilen üçgenin yüksekliği
P- bir üçgenin yarı çevresi, kenarlarının toplamının 1/2'si (çevre)
α - üçgenin a tarafının karşısındaki açı
β - üçgenin b kenarının karşısındaki açı
γ - üçgenin c kenarının karşısındaki açı
H A, H B , H C- a, b, c kenarlarına indirilen üçgenin yüksekliği

Lütfen verilen gösterimlerin yukarıdaki şekle karşılık geldiğini unutmayın; böylece gerçek bir geometri problemini çözerken, doğru değerleri formülde doğru yerlere yerleştirmeniz görsel olarak daha kolay olacaktır.

• Üçgenin alanı Üçgenin yüksekliği ile bu yüksekliğin alçaltıldığı kenar uzunluğunun çarpımının yarısı(Formül 1). Bu formülün doğruluğu mantıksal olarak anlaşılabilir. Tabana indirilen yükseklik, rastgele bir üçgeni iki dikdörtgene bölecektir. Her birini b ve h boyutlarında bir dikdörtgen haline getirirseniz, o zaman açıkçası bu üçgenlerin alanı dikdörtgenin alanının tam yarısına eşit olacaktır (Spr = bh)
• Üçgenin alanı iki kenarın çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü(Formül 2) (aşağıdaki bu formülü kullanarak bir problemi çözme örneğine bakın). Her ne kadar öncekinden farklı gibi görünse de rahatlıkla ona dönüşebiliyor. Yüksekliği B açısından b kenarına indirirsek, dik üçgendeki sinüsün özelliklerine göre a tarafının ve γ açısının sinüsünün çarpımının çizdiğimiz üçgenin yüksekliğine eşit olduğu ortaya çıkar. , bu bize önceki formülü verir
• Keyfi bir üçgenin alanı bulunabilir başından sonuna kadar iş içine yazılan dairenin yarıçapının yarısı, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı kadardır(Formül 3), basitçe söylemek gerekirse, üçgenin yarı çevresini yazılı dairenin yarıçapıyla çarpmanız gerekir (bunu hatırlamak daha kolaydır)
• İsteğe bağlı bir üçgenin alanı, tüm kenarlarının çarpımının, etrafını çevreleyen dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 4)
• Formül 5, bir üçgenin alanını kenarlarının uzunlukları ve yarı çevresi boyunca bulmaktır (tüm kenarların toplamının yarısı)
• Heron'un formülü(6) aynı formülün yarı çevre kavramı kullanılmadan, yalnızca kenarların uzunlukları boyunca gösterimidir
• Keyfi bir üçgenin alanı, üçgenin kenarının karesinin çarpımına ve bu kenara bitişik açıların sinüslerinin bu tarafın karşısındaki açının çift sinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 7)
• Rastgele bir üçgenin alanı, her bir açısının sinüsleri tarafından çevrelenen dairenin iki karesinin çarpımı olarak bulunabilir. (Formül 8)
• Bir tarafın uzunluğu ve bitişik iki açının değerleri biliniyorsa, üçgenin alanı bu tarafın karesinin bu açıların kotanjantlarının çift toplamına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 9)
• Üçgenin her bir yüksekliğinin yalnızca uzunluğu biliniyorsa (Formül 10), o zaman böyle bir üçgenin alanı, Heron Formülüne göre bu yüksekliklerin uzunluklarıyla ters orantılıdır.
• Formül 11 hesaplamanıza olanak tanır köşelerinin koordinatlarına göre bir üçgenin alanı, her bir köşe için (x;y) değerleri olarak belirtilir. Bireysel (veya hatta tüm) köşelerin koordinatları negatif değerler bölgesinde olabileceğinden, elde edilen değerin modülo olarak alınması gerektiğini lütfen unutmayın.

Not. Aşağıda bir üçgenin alanını bulmak için geometri problemlerini çözme örnekleri verilmiştir. Buraya benzer olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Çözümlerde "karekök" sembolü yerine sqrt() fonksiyonu kullanılabilir; burada sqrt karekök sembolüdür ve radikal ifade parantez içinde gösterilir.Bazen basit radikal ifadeler için sembol kullanılabilir. √

Görev. İki kenar verilen alanı ve aralarındaki açıyı bulun

Üçgenin kenarları 5 ve 6 cm olup aralarındaki açı 60 derecedir. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için dersin teorik kısmındaki iki numaralı formülü kullanıyoruz.
Bir üçgenin alanı iki kenarın uzunluğu ve aralarındaki açının sinüsü ile bulunabilir ve şuna eşit olacaktır:
S=1/2 abs sin γ

Çözüm için gerekli tüm verilere sahip olduğumuzdan (formüle göre), yalnızca problem koşullarındaki değerleri formüle koyabiliriz:
S = 1/2 * 5 * 6 * günah 60

Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda sinüs 60 derecenin değerini bulup ifadeye koyacağız. Üç çarpı ikinin köküne eşit olacak.
S = 15 √3 / 2

Cevap: 7,5 √3 (öğretmenin isteğine bağlı olarak muhtemelen 15 √3/2 bırakabilirsiniz)

Görev. Eşkenar üçgenin alanını bulun

Bir kenarı 3 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulun.

Çözüm .

Bir üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak bulunabilir:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c olduğundan eşkenar üçgenin alanı formülü şu şekli alır:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Cevap: 9 √3 / 4.

Görev. Kenarların uzunluğunu değiştirirken alanda değişiklik

Kenarları 4 kat artırılırsa üçgenin alanı kaç kat artar?

Çözüm.

Üçgenin kenarlarının boyutları bizim tarafımızdan bilinmediğinden, sorunu çözmek için kenarların uzunluklarının sırasıyla a, b, c keyfi sayılarına eşit olduğunu varsayacağız. Daha sonra problemin sorusunu cevaplamak için verilen üçgenin alanını bulacağız, ardından kenarları dört kat daha büyük olan üçgenin alanını bulacağız. Bu üçgenlerin alanlarının oranı bize problemin cevabını verecektir.

Aşağıda sorunun çözümünün metinsel açıklamasını adım adım sunuyoruz. Ancak en sonunda aynı çözüm daha uygun bir grafiksel formda sunulmaktadır. İlgilenenler hemen çözümlere inebilirler.

Çözmek için Heron formülünü kullanıyoruz (yukarıdaki dersin teorik kısmına bakın). Şuna benziyor:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin ilk satırına bakın)

Herhangi bir üçgenin kenarlarının uzunlukları a, b, c değişkenleriyle belirtilir.
Kenarlar 4 kat artırılırsa yeni üçgen c'nin alanı şöyle olacaktır:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdaki resimde ikinci satıra bakınız)

Gördüğünüz gibi 4, matematiğin genel kurallarına göre dört ifadeden de parantez dışına alınabilecek ortak bir faktördür.
Daha sonra

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - resmin üçüncü satırında
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü satır

256 sayısının karekökü mükemmel bir şekilde çıkarıldı, o halde onu kökün altından çıkaralım
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 metrekare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin beşinci satırına bakın)

Problemde sorulan soruyu cevaplamak için ortaya çıkan üçgenin alanını orijinal üçgenin alanına bölmemiz yeterli.
İfadeleri birbirine bölüp elde edilen kesri azaltarak alan oranlarını belirleyelim.

Okul geometri müfredatından hatırlayacağınız gibi üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktanın birbirine bağladığı üç parçadan oluşan bir şekildir. Üçgen üç açı oluşturduğundan şeklin adı da buradan gelir. Tanım farklı olabilir. Bir üçgene üç açılı çokgen de denilebilir, cevap da doğru olacaktır. Şekillerde üçgenler eşit kenar sayısına ve açıların büyüklüğüne göre bölünmüştür. Böylece üçgenler sırasıyla ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar, ayrıca dikdörtgen, dar ve geniş olarak ayırt edilir.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formül vardır. Bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını seçin; Hangi formülü kullanacağınız size kalmış. Ancak bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formülde kullanılan gösterimlerden yalnızca bazılarına dikkat etmek önemlidir. Yani şunu unutmayın:

S üçgenin alanıdır,

a, b, c üçgenin kenarlarıdır,

h üçgenin yüksekliğidir,

R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır,

p yarı çevredir.

Geometri dersinizi tamamen unuttuysanız işinize yarayabilecek temel notasyonları burada bulabilirsiniz. Aşağıda bir üçgenin bilinmeyen ve gizemli alanını hesaplamak için en anlaşılır ve karmaşık olmayan seçenekler bulunmaktadır. Zor değildir ve hem evinizin ihtiyaçları için hem de çocuklarınıza yardım etmek için faydalı olacaktır. Bir üçgenin alanının mümkün olduğunca kolay nasıl hesaplanacağını hatırlayalım:

Bizim durumumuzda üçgenin alanı: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Alanın santimetre kare (cm²) cinsinden ölçüldüğünü unutmayın.

Dik üçgen ve alanı.

Sağ üçgen, bir açının 90 dereceye eşit olduğu (bu nedenle dik olarak adlandırılan) bir üçgendir. Dik açı iki dik çizgiden oluşur (üçgen durumunda iki dik bölüm). Bir dik üçgende yalnızca bir dik açı olabilir çünkü... Herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 dereceye eşittir. Kalan 90 dereceyi başka 2 açının bölmesi gerektiği ortaya çıktı; örneğin 70 ve 20, 45 ve 45, vb. Yani asıl meseleyi hatırlıyorsunuz, geriye kalan tek şey dik üçgenin alanını nasıl bulacağınızı bulmak. Önümüzde böyle bir dik üçgen olduğunu ve onun S alanını bulmamız gerektiğini hayal edelim.

1. Dik üçgenin alanını belirlemenin en basit yolu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bizim durumumuzda dik üçgenin alanı: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.

Prensip olarak üçgenin alanını başka yollarla doğrulamaya artık gerek yok çünkü Yalnızca bu faydalı olacak ve günlük yaşamda yardımcı olacaktır. Ancak bir üçgenin alanını dar açılardan ölçmek için seçenekler de vardır.

2. Diğer hesaplama yöntemleri için kosinüsler, sinüsler ve teğetlerden oluşan bir tablonuz olmalıdır. Kendinize hakim olun, işte hala kullanılabilecek bir dik üçgenin alanını hesaplamak için bazı seçenekler:

İlk formülü kullanmaya karar verdik ve bazı küçük lekelerle (bunu bir deftere çizdik ve eski bir cetvel ve iletki kullandık), ancak doğru hesaplamayı yaptık:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Şu sonuçları elde ettik: 3,6=3,7, ancak hücrelerin değişimini hesaba katarsak bu nüansı affedebiliriz.

İkizkenar üçgen ve alanı.

Bir ikizkenar üçgenin formülünü hesaplama göreviyle karşı karşıya kalırsanız, en kolay yol, ana ve üçgenin alanı için klasik formül olarak kabul edilen şeyi kullanmaktır.

Ama önce ikizkenar üçgenin alanını bulmadan önce onun nasıl bir şekil olduğunu bulalım. İkizkenar üçgen, iki kenarın aynı uzunluğa sahip olduğu bir üçgendir. Bu iki tarafa yan, üçüncü tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgeni eşkenar üçgenle karıştırmayın; üç tarafı eşit olan düzgün bir üçgen. Böyle bir üçgende açılara veya daha doğrusu boyutlarına ilişkin özel bir eğilim yoktur. Ancak ikizkenar üçgende tabandaki açılar eşittir, ancak eşit kenarlar arasındaki açıdan farklıdır. Yani, ilk ve ana formülü zaten biliyorsunuz; ikizkenar üçgenin alanını belirlemek için başka hangi formüllerin bilindiğini bulmaya devam ediyor: