Bu bölümde yamuklarla ilgili geometri problemleri (planimetri bölümü) yer almaktadır. Bir soruna çözüm bulamadıysanız, bunun hakkında foruma yazın. Kurs kesinlikle desteklenecektir.
Yamuk. Tanım, formüller ve özellikler
Bir yamuk (eski Yunanca τραπέζιον - “masa”; τράπεζα - “masa, yiyecek”) tam olarak bir çift karşıt kenarı paralel olan bir dörtgendir.Yamuk, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir.
Not. Bu durumda paralelkenar yamuğun özel bir durumudur.
Karşılıklı paralel kenarlara yamuğun tabanları, diğer ikisine ise yan kenarlar denir.
Trapezler:
- çok yönlü ;
- ikizkenar;
- dikdörtgen
.Kırmızı ve kahverengi renkler yamuğun kenarlarını, yeşil ve mavi ise yamuğun tabanını gösterir.
A - ikizkenar (ikizkenar, ikizkenar) yamuk
B - dikdörtgen yamuk
C - skalen yamuk
Çeşitkenar yamuğun tüm kenarları farklı uzunluklardadır ve tabanları paraleldir.
Kenarlar eşit, tabanlar paraleldir.
Tabanlar paraleldir, bir tarafı tabanlara dik, ikinci tarafı tabanlara eğimlidir.
Yamuğun özellikleri
- Yamuğun orta çizgisi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşit
- Köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçası, tabanlar farkının yarısına eşittir ve orta çizgide yer alır. Uzunluğu
- Bir yamuğun herhangi bir açısının kenarlarını kesen paralel çizgiler, açının kenarlarından orantılı parçaları keser (bkz. Thales Teoremi)
- Yamuk köşegenlerinin kesişme noktası, kenarlarının uzantılarının kesişme noktası ve tabanlarının ortası aynı düz çizgi üzerinde yer alır (ayrıca dörtgenin özelliklerine bakın)
- Tabanlar üzerinde yatan üçgenler Köşeleri köşegenlerinin kesişme noktası olan yamuklar benzerdir. Bu tür üçgenlerin alanlarının oranı yamuk tabanlarının oranının karesine eşittir
- Yanlarda uzanan üçgenler Köşeleri köşegenlerinin kesişme noktası olan yamukların alanı eşit (alan açısından eşit)
- Trapezin içine bir daire yazabilirsin Bir yamuğun taban uzunluklarının toplamı, kenar uzunluklarının toplamına eşitse. Bu durumda orta çizgi, kenarların toplamının 2'ye bölünmesine eşittir (çünkü yamuğun orta çizgisi tabanların toplamının yarısına eşittir)
- Bazlara paralel bölüm ve köşegenlerin kesişme noktasından geçen, ikincisine ikiye bölünür ve bazların çarpımının iki katına, toplamları 2ab / (a + b)'ye bölünür (Burakov formülü)
Yamuk açıları
Yamuk açıları keskin, düz ve künt var.Sadece iki açı doğrudur.
Dikdörtgen bir yamuğun iki dik açısı vardır ve diğer ikisi akut ve geniş kapsamlıdır. Diğer yamuk türleri iki dar açıya ve iki geniş açıya sahiptir.
Bir yamuğun geniş açıları daha küçük olanlara aittir tabanın uzunluğu boyunca ve baharatlı - daha fazlası temel.
Herhangi bir yamuk düşünülebilir kesik bir üçgen gibi kesit çizgisi üçgenin tabanına paraleldir.
Önemli. Bu şekilde (ek olarak bir üçgene kadar bir yamuk oluşturarak) yamuklarla ilgili bazı problemlerin çözülebileceğini ve bazı teoremlerin kanıtlanabileceğini lütfen unutmayın.
Yamuğun kenarları ve köşegenleri nasıl bulunur?
Bir yamuğun kenarlarını ve köşegenlerini bulmak, aşağıda verilen formüller kullanılarak yapılır:
Bu formüllerde kullanılan notasyon şekildeki gibidir.
a - yamuğun tabanlarından daha küçük olanı
b - yamuğun tabanlarından daha büyük olanı
c,d - taraflar
sa 1 sa 2 - köşegenler
Bir yamuğun köşegenlerinin karelerinin toplamı, yamuğun tabanlarının çarpımının iki katı artı yan kenarların karelerinin toplamına eşittir (Formül 2)
Yamuğun alanını bulmanın birçok yolu vardır. Genellikle bir matematik öğretmeni bunu hesaplamanın birkaç yöntemini bilir; bunlara daha ayrıntılı olarak bakalım:
1) 
Burada AD ve BC tabanlardır ve BH yamuğun yüksekliğidir. İspat: BD köşegenini çizin ve ABD ve CDB üçgenlerinin alanlarını tabanlarının ve yüksekliklerinin yarı çarpımına göre ifade edin:
DP dış yüksekliktir, burada
Bu eşitlikleri terim terim toplarsak ve BH ve DP yüksekliklerinin eşit olduğunu hesaba katarak şunu elde ederiz:
Parantez dışına çıkaralım
Q.E.D.
Yamuğun alanı formülünün sonucu:
Tabanların yarı toplamı yamuğun orta çizgisi olan MN'ye eşit olduğundan, o zaman
2) Dörtgenin alanı için genel formülün uygulanması.
Bir dörtgen alanı, köşegenlerin çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
Bunu kanıtlamak için yamuğu 4 üçgene bölüp her birinin alanını “köşegenlerin çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü” (açı olarak alınır, elde edilen ifadeleri ekleyin) şeklinde ifade etmek yeterlidir, Bunları parantezden çıkarın ve ifadeye eşitliğini elde etmek için gruplama yöntemini kullanarak bu parantezi çarpanlara ayırın.
3) Çapraz kaydırma yöntemi
Bu benim adım. Bir matematik öğretmeni okul ders kitaplarında böyle bir başlığa rastlamaz. Tekniğin bir açıklaması yalnızca ek ders kitaplarında bir problem çözme örneği olarak bulunabilir. Planimetri ile ilgili ilginç ve faydalı gerçeklerin çoğunun, pratik çalışma sürecinde matematik öğretmenleri tarafından öğrencilere açıklandığını belirtmek isterim. Bu son derece optimalin altındadır çünkü öğrencinin bunları ayrı teoremlere ayırması ve onlara "büyük isimler" demesi gerekir. Bunlardan biri “çapraz kayma”dır. Ne hakkında konuşuyoruz? 
B köşesinden geçerek E noktasında alt tabanla kesişene kadar AC'ye paralel bir çizgi çizelim. Bu durumda EBCA dörtgeni (tanımı gereği) bir paralelkenar olacaktır ve dolayısıyla BC=EA ve EB=AC olacaktır. İlk eşitlik artık bizim için önemli. Sahibiz:
Alanı yamuk alanına eşit olan BED üçgeninin birkaç dikkat çekici özelliğe daha sahip olduğunu unutmayın:
1) Alanı yamuğun alanına eşittir
2) İkizkenarları yamuğun kendisinin ikizkenarlarıyla aynı anda meydana gelir
3) B köşesindeki üst açısı, yamuğun köşegenleri arasındaki açıya eşittir (bu, problemlerde çok sık kullanılır) 
4) Ortanca BK, yamuğun tabanlarının orta noktaları arasındaki QS mesafesine eşittir. Yakın zamanda Moskova Devlet Üniversitesi'nde bir öğrenciyi Tkachuk'un ders kitabının 1973 versiyonunu kullanarak Mekanik ve Matematik derslerine hazırlarken bu özelliğin kullanımıyla karşılaştım (sorun sayfanın altında verilmiştir).
Matematik öğretmeni için özel teknikler.
Bazen yamuğun alanını bulmanın çok zor bir yolunu kullanarak problemler öneriyorum. Bunu özel bir teknik olarak sınıflandırıyorum çünkü pratikte öğretmen bunları çok nadiren kullanıyor. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına yalnızca Bölüm B'de hazırlanmanız gerekiyorsa, bunları okumanıza gerek yoktur. Diğerleri için size daha fazlasını anlatacağım. Bir yamuğun alanının, bir tarafın uçlarında ve diğerinin ortasında köşeleri olan bir üçgenin alanının iki katı olduğu, yani şekildeki ABS üçgeninin olduğu ortaya çıktı: 
İspat: BCS ve ADS üçgenlerinde SM ve SN yüksekliklerini çizin ve bu üçgenlerin alanlarının toplamını ifade edin:
S noktası CD'nin orta noktası olduğuna göre (bunu kendiniz kanıtlayın) üçgenlerin alanlarının toplamını bulalım:
Bu toplamın yamuğun alanının yarısına, ardından ikinci yarısına eşit olduğu ortaya çıktı. Vesaire.
Öğretmenin özel teknikler koleksiyonuna, ikizkenar yamuğun yanları boyunca alanını hesaplama biçimini dahil edeceğim: burada p, yamuğun yarı çevresidir. Kanıt vermeyeceğim. Aksi halde matematik öğretmeniniz işsiz kalacak :). Sınıfa gelin!
Yamuk alanındaki problemler:
Matematik öğretmeninin notu: Aşağıdaki liste konuya metodolojik bir destek değildir; yukarıda tartışılan tekniklere dayanan ilginç görevlerin yalnızca küçük bir seçkisidir.
1) İkizkenar yamuğun alt tabanı 13, üst tabanı ise 5'tir. Köşegeni kenara dik ise yamuğun alanını bulun.
2) Tabanları 2cm ve 5cm, kenarları 2cm ve 3cm olan yamuğun alanını bulun.
3) İkizkenar yamukta büyük taban 11, kenar 5 ve köşegen ise yamuğun alanını bulun.
4) Bir ikizkenar yamuğun köşegeni 5 ve orta çizgisi 4'tür. Alanı bulun.
5) İkizkenar yamukta tabanlar 12 ve 20 olup köşegenler birbirine diktir. Yamuğun alanını hesaplayın
6) İkizkenar yamuğun köşegeni alt tabanıyla bir açı yapar. Yüksekliği 6 cm ise yamuğun alanını bulun.
7) Yamuğun alanı 20, kenarlarından biri 4 cm'dir. Karşı tarafın ortasından ona olan mesafeyi bulun.
8) Bir ikizkenar yamuğun köşegeni, onu alanları 6 ve 14 olan üçgenlere böler. Yan kenar 4 ise yüksekliği bulun.
9) Bir yamukta köşegenler 3 ve 5'e, tabanların orta noktalarını birleştiren segment ise 2'ye eşittir. Yamuğun alanını bulun (Mekhmat MSU, 1970).
Kendi başıma çözebileceğim beklentisiyle en zor problemleri (makine mühendisliğinden korkmayın!) seçmedim. Sağlığınız için karar verin! Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmanız gerekiyorsa, bu süreçte yamuk alanı formülünün katılımı olmadan, B6 probleminde ve hatta C4 probleminde bile ciddi sorunlar ortaya çıkabilir. Konuyu başlatmayın ve herhangi bir zorluk durumunda yardım isteyin. Bir matematik öğretmeni size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyar.
Kolpakov A.N.
Moskova'da matematik öğretmeni, Strogino'daki Birleşik Devlet Sınavına hazırlık.
Trapez olan dörtgen denir sadece iki kenarlar birbirine paraleldir.
Bunlara şeklin tabanları, geri kalanına yanlar denir. Paralelkenarlar şeklin özel durumları olarak kabul edilir. Ayrıca bir fonksiyonun grafiğini içeren kavisli bir yamuk da vardır. Yamuğun alanı için formüller hemen hemen tüm elemanlarını içerir ve verilen değerlere bağlı olarak en iyi çözüm seçilir.
Yamuktaki ana roller boy ve orta hatta atanmıştır. Orta çizgi- Kenarların orta noktalarını birleştiren çizgidir. Yükseklik Yamuk üst köşeden tabana dik açılarla çizilir.
Bir yamuğun yüksekliği boyunca alanı, taban uzunluklarının toplamının yarısı ile yükseklik çarpımının çarpımına eşittir:
Ortalama çizgi koşullara göre biliniyorsa, bu formül, taban uzunluklarının toplamının yarısına eşit olduğundan önemli ölçüde basitleştirilir:
Koşullara göre tüm kenarların uzunlukları verilirse, bu verileri kullanarak yamuğun alanını hesaplamanın bir örneğini düşünebiliriz: 
Diyelim ki bize tabanları a = 3 cm, b = 7 cm ve kenarları c = 5 cm, d = 4 cm olan bir yamuk veriliyor. Şeklin alanını bulalım: 
İkizkenar yamuğun alanı
Bir ikizkenar yamuk veya aynı zamanda bir ikizkenar yamuk olarak da adlandırıldığı gibi, ayrı bir durum olarak kabul edilir.
Özel bir durum, ikizkenar (eşkenar) yamuğun alanını bulmaktır. Formül çeşitli şekillerde elde edilir - köşegenler yoluyla, tabana bitişik açılar ve yazılı dairenin yarıçapı yoluyla.
Koşullara göre köşegenlerin uzunluğu belirtilmişse ve aralarındaki açı biliniyorsa aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
Bir ikizkenar yamuğun köşegenlerinin birbirine eşit olduğunu unutmayın!
Yani tabanlarından birini, kenarını ve açısını bilerek alanı kolayca hesaplayabilirsiniz.
Kavisli bir yamuğun alanı
Özel bir durum kavisli yamuk. Koordinat ekseninde bulunur ve sürekli pozitif fonksiyonun grafiği ile sınırlıdır.
Tabanı X ekseninde bulunur ve iki noktayla sınırlıdır: 
İntegraller kavisli bir yamuğun alanının hesaplanmasına yardımcı olur.
Formül şu şekilde yazılmıştır:
Kavisli bir yamuğun alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Formül belirli integrallerle çalışmak için belirli bir bilgi gerektirir. Öncelikle belirli integralin değerine bakalım: 
Burada F(a), ters türev fonksiyonu f(x)'in a noktasındaki değeridir, F(b), aynı fonksiyonun f(x) b noktasındaki değeridir. 
Şimdi sorunu çözelim. Şekilde fonksiyon tarafından sınırlanan kavisli bir yamuk gösterilmektedir. İşlev 
Yukarıdan grafikle sınırlanan eğrisel bir yamuk olan seçilen şeklin alanını, sağda x =(-8 düz çizgisiyle, solda x =(- düz çizgisiyle) bulmamız gerekiyor. 10) ve aşağıdaki OX ekseni.
Bu rakamın alanını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayacağız: 
Problemin koşulları bize bir fonksiyon kazandırır. Bunu kullanarak, noktalarımızın her birinde antiderivatifin değerlerini bulacağız:
Şimdi
Cevap: Belirli bir kavisli yamuğun alanı 4'tür.
Bu değerin hesaplanmasında karmaşık bir şey yoktur. Önemli olan tek şey hesaplamalarda aşırı dikkatli olmaktır.
Geçen yılki Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavı uygulaması, geometri problemlerinin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu gösteriyor. Gerekli tüm formülleri ezberlerseniz ve problem çözme pratiği yaparsanız onlarla kolayca başa çıkabilirsiniz.
Bu yazıda yamuğun alanını bulmak için formüllerin yanı sıra çözümlü problem örneklerini göreceksiniz. Aynılarına KIM'lerde sertifika sınavlarında veya olimpiyatlarda da rastlayabilirsiniz. Bu nedenle onlara dikkatli davranın.
Yamuk hakkında bilmeniz gerekenler?
Başlangıç olarak şunu hatırlayalım. yamuk tabanlar olarak da adlandırılan karşılıklı iki kenarın paralel olduğu ve diğer ikisinin paralel olmadığı bir dörtgen denir.
Bir yamukta yükseklik (tabana dik) da azaltılabilir. Orta çizgi çizilir - bu, tabanlara paralel ve toplamlarının yarısına eşit olan düz bir çizgidir. Kesişebilen, dar ve geniş açılar oluşturabilen köşegenlerin yanı sıra. Veya bazı durumlarda dik açıyla. Ayrıca yamuk ikizkenar ise içine bir daire yazılabilir. Ve onun etrafında bir daire çizin.
Yamuk alan formülleri
İlk önce yamuğun alanını bulmak için standart formüllere bakalım. Aşağıda ikizkenar ve eğrisel yamukların alanını hesaplamanın yollarını ele alacağız.
Yani, a ve b tabanlarına sahip, h yüksekliğinin daha büyük tabana indirildiği bir yamuğunuz olduğunu hayal edin. Bu durumda bir şeklin alanını hesaplamak armut bombardımanı kadar kolaydır. Taban uzunluklarının toplamını ikiye bölmeniz ve sonucu yükseklikle çarpmanız yeterlidir: S = 1/2(a + b)*h.
Başka bir durumu ele alalım: yamukta yüksekliğe ek olarak bir orta çizgi m olduğunu varsayalım. Orta çizginin uzunluğunu bulma formülünü biliyoruz: m = 1/2(a + b). Bu nedenle, yamuk alanı formülünü aşağıdaki forma haklı olarak basitleştirebiliriz: S = m* sa. Başka bir deyişle, bir yamuğun alanını bulmak için orta çizgiyi yükseklikle çarpmanız gerekir.
Başka bir seçeneği düşünelim: yamuk, α dik açılarında kesişmeyen d 1 ve d 2 köşegenlerini içerir. Böyle bir yamuğun alanını hesaplamak için köşegenlerin çarpımını ikiye bölmeniz ve sonucu aralarındaki açının günahıyla çarpmanız gerekir: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Şimdi, tüm kenarlarının uzunlukları dışında hiçbir şey bilinmiyorsa, yamuğun alanını bulma formülünü düşünün: a, b, c ve d. Bu hantal ve karmaşık bir formüldür ancak aşağıdaki durumlarda hatırlamanız faydalı olacaktır: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Bu arada, yukarıdaki örnekler dikdörtgen bir yamuğun alanı için formüle ihtiyaç duyduğunuz durumlar için de geçerlidir. Bu, tarafı tabanlara dik açıyla bitişik olan bir yamuktur.
İkizkenar yamuk
Kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar denir. İkizkenar yamuk alanı formülü için çeşitli seçenekleri ele alacağız.
İlk seçenek: r yarıçaplı bir dairenin ikizkenar yamuk içine yazıldığı ve yan ve daha büyük tabanın dar bir α açısı oluşturduğu durum için. Tabanlarının uzunluklarının toplamının, kenarlarının uzunluklarının toplamına eşit olması koşuluyla, bir yamuk içine bir daire yazılabilir.
İkizkenar yamuğun alanı şu şekilde hesaplanır: yazılı dairenin yarıçapının karesini dört ile çarpın ve hepsini sinα'ya bölün: S = 4r 2 /sinα. Başka bir alan formülü, büyük taban ile kenar arasındaki açının 30 0 olduğu seçeneğin özel bir durumudur: S = 8r2.
İkinci seçenek: Bu sefer, ek olarak d 1 ve d 2 köşegenlerinin yanı sıra h yüksekliğinin de çizildiği ikizkenar bir yamuk alıyoruz. Bir yamuğun köşegenleri birbirine dik ise yükseklik tabanların toplamının yarısı kadardır: h = 1/2(a + b). Bunu bilerek, zaten aşina olduğunuz yamuk alanı formülünü bu forma dönüştürmek kolaydır: S = sa 2.
Kavisli bir yamuğun alanı için formül
Kavisli bir yamuğun ne olduğunu bularak başlayalım. Bir koordinat ekseni ve x eksenindeki belirli bir parça içinde işaretini değiştirmeyen sürekli ve negatif olmayan bir f fonksiyonunun grafiğini hayal edin. Eğrisel bir yamuk, y = f(x) fonksiyonunun grafiğiyle oluşturulur - üstte, x ekseni altta (bölüm) ve yanlarda - a ve b noktaları arasında çizilen düz çizgiler ve grafiği işlev.
Böyle standart dışı bir şeklin alanını yukarıdaki yöntemleri kullanarak hesaplamak imkansızdır. Burada matematiksel analiz uygulamanız ve integrali kullanmanız gerekir. Yani: Newton-Leibniz formülü - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Bu formülde F, fonksiyonumuzun seçilen parça üzerindeki ters türevidir. Ve eğrisel bir yamuğun alanı, belirli bir segmentteki antiderivatifin artışına karşılık gelir.
Sorun örnekleri
Tüm bu formüllerin kafanızda anlaşılmasını kolaylaştırmak için, yamuğun alanını bulmaya yönelik bazı problem örnekleri aşağıda verilmiştir. Sorunları önce kendiniz çözmeye çalışmanız ve ancak daha sonra aldığınız cevabı hazır çözümle karşılaştırmanız en iyisi olacaktır.
Görev #1: Bir yamuk verildi. Büyük tabanı 11 cm, küçük tabanı ise 4 cm'dir. Yamuk, biri 12 cm, ikincisi 9 cm uzunluğunda köşegenlere sahiptir.
Çözüm: Bir yamuk AMRS oluşturun. P tepe noktasından geçen, MC köşegenine paralel olacak ve AC düz çizgisiyle X noktasında kesişecek şekilde bir РХ düz çizgisi çizin. Bir APХ üçgeni elde edeceksiniz.
Bu manipülasyonlar sonucunda elde edilen iki rakamı ele alacağız: APX üçgeni ve CMRX paralelkenarı.
Paralelkenar sayesinde PX = MC = 12 cm ve CX = MR = 4 cm olduğunu öğreniyoruz. ARX üçgeninin AX kenarını buradan hesaplayabiliriz: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Ayrıca APX üçgeninin dik açılı olduğunu da kanıtlayabiliriz (bunu yapmak için Pisagor teoremini uygulayın - AX 2 = AP 2 + PX 2). Ve alanını hesaplayın: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm2.
Daha sonra AMP ve PCX üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu kanıtlamanız gerekecek. Temel, MR ve CX taraflarının eşitliği olacaktır (zaten yukarıda kanıtlanmıştır). Ayrıca bu kenarlarda indirdiğiniz yükseklikler de AMRS yamuk yüksekliğine eşittir.
Bütün bunlar S AMPC = S APX = 54 cm2 demenizi sağlayacaktır.
Görev #2: Yamuk KRMS verilmiştir. Yan taraflarında O ve E noktaları bulunurken, OE ve KS paraleldir. ORME ve OKSE yamuklarının alanlarının 1:5 oranında olduğu da bilinmektedir. RM = a ve KS = b. OE'yi bulmanız gerekiyor.
Çözüm: M noktasından geçen RK'ya paralel bir çizgi çizin ve OE ile kesiştiği noktayı T olarak belirleyin. A, RK'ye paralel E noktasından çizilen çizginin KS tabanıyla kesişme noktasıdır.
Bir gösterim daha verelim - OE = x. Ve ayrıca TME üçgeni için h 1 yüksekliği ve AEC üçgeni için h 2 yüksekliği (bu üçgenlerin benzerliğini bağımsız olarak kanıtlayabilirsiniz).
b > a olduğunu varsayacağız. ORME ve OKSE yamuklarının alanları 1:5 oranındadır, bu da bize aşağıdaki denklemi oluşturma hakkını verir: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Haydi dönüştürelim ve şunu elde edelim: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
TME ve AEC üçgenleri benzer olduğundan h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) elde ederiz. Her iki girişi de birleştirip şunu elde edelim: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Böylece OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Çözüm
Geometri bilimlerin en kolayı değildir ancak sınav sorularını kesinlikle çözebilirsiniz. Hazırlık aşamasında biraz azim göstermeniz yeterlidir. Ve elbette gerekli tüm formülleri unutmayın.
Yamuğun alanını hesaplamak için tüm formülleri tek bir yerde toplamaya çalıştık, böylece sınavlara hazırlanırken ve materyali gözden geçirirken kullanabilirsiniz.
Sosyal ağlardaki sınıf arkadaşlarınıza ve arkadaşlarınıza bu makaleden bahsetmeyi unutmayın. Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavları için daha iyi notlar olsun!
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Geometri derslerinde kendinizi güvende hissetmek ve problemleri başarılı bir şekilde çözmek için formülleri öğrenmek yeterli değildir. Önce bunların anlaşılması gerekiyor. Korkmak ve hatta formüllerden nefret etmek verimsizdir. Bu makale, bir yamuğun alanını bulmanın çeşitli yollarını erişilebilir bir dilde analiz edecektir. İlgili kural ve teoremleri daha iyi anlamak için özelliklerine biraz dikkat edeceğiz. Bu, kuralların nasıl işlediğini ve hangi durumlarda belirli formüllerin uygulanması gerektiğini anlamanıza yardımcı olacaktır.
Yamuğun tanımlanması
Bu genel olarak nasıl bir rakam? Yamuk, dört köşesi ve iki paralel kenarı olan bir çokgendir. Yamuğun diğer iki tarafı farklı açılarda eğilebilir. Paralel kenarlarına tabanlar denir ve paralel olmayan kenarlarına "kenarlar" veya "kalçalar" adı kullanılır. Bu tür rakamlar günlük yaşamda oldukça yaygındır. Yamuğun konturları giyim, iç mekan eşyaları, mobilyalar, tabaklar ve daha pek çok şeyin silüetlerinde görülebilir. Farklı yamuk türleri vardır: skalen, eşkenar ve dikdörtgen. Türlerini ve özelliklerini yazının ilerleyen kısımlarında daha detaylı inceleyeceğiz.
Yamuğun özellikleri
Bu figürün özellikleri üzerinde kısaca duralım. Herhangi bir kenara bitişik açıların toplamı her zaman 180°'dir. Bir yamuğun tüm açılarının toplamının 360° olduğu unutulmamalıdır. Yamuk orta hat kavramına sahiptir. Kenarların orta noktalarını bir segmentle birleştirirseniz bu orta çizgi olacaktır. M olarak belirlenmiştir. Orta çizginin önemli özellikleri vardır: her zaman tabanlara paraleldir (tabanların da birbirine paralel olduğunu hatırlıyoruz) ve yarı toplamlarına eşittir:
Bu tanım öğrenilmeli ve anlaşılmalıdır çünkü birçok sorunun çözümünün anahtarıdır!
Bir yamuk ile yüksekliği her zaman tabana düşürebilirsiniz. Yükseklik, bir tabanın herhangi bir noktasından başka bir tabana veya onun uzantısına çizilen ve genellikle h sembolüyle gösterilen bir dikmedir. Orta çizgi ve yükseklik yamuğun alanını bulmanıza yardımcı olacaktır. Bu tür problemler okul geometri dersinde en yaygın olanıdır ve test ve sınav kağıtları arasında düzenli olarak karşımıza çıkar.
Yamuğun alanı için en basit formüller
Yamuğun alanını bulmak için kullanılan en popüler ve basit iki formüle bakalım. Aradığınızı kolayca bulmak için yüksekliği tabanların toplamının yarısıyla çarpmanız yeterlidir:
S = h*(a + b)/2.
Bu formülde a, b yamuğun tabanlarını, h ise yüksekliğini gösterir. Algılamayı kolaylaştırmak için bu makalede formüllerde çarpım işaretleri (*) simgesiyle işaretlenmiştir, ancak resmi referans kitaplarında çarpım işareti genellikle atlanmıştır.
Bir örneğe bakalım.
Verilen: iki tabanı 10 ve 14 cm olan bir yamuğun yüksekliği 7 cm'dir. Yamuğun alanı nedir?
Bu sorunun çözümüne bakalım. Bu formülü kullanarak önce tabanların yarım toplamını bulmanız gerekir: (10+14)/2 = 12. Yani yarım toplam 12 cm'ye eşit olur. Şimdi yarım toplamı yükseklikle çarpıyoruz: 12*7 = 84. Aradığımız bulundu. Cevap: Yamuğun alanı 84 metrekaredir. santimetre.
İkinci iyi bilinen formül şunu söylüyor: Bir yamuğun alanı orta çizginin çarpımına ve yamuğun yüksekliğine eşittir. Yani aslında daha önceki orta çizgi kavramından kaynaklanmaktadır: S=m*h.
Hesaplamalar için köşegenlerin kullanılması
Yamuğun alanını bulmanın başka bir yolu da aslında o kadar da karmaşık değil. Köşegenlerine bağlıdır. Bu formülü kullanarak alanı bulmak için köşegenlerinin yarı çarpımını (d 1 d 2) aralarındaki açının sinüsüyle çarpmanız gerekir:
S = ½ d 1 d 2 günah A.
Bu yöntemin uygulanmasını gösteren bir problemi ele alalım. Verilen: Köşegenlerin uzunluğu sırasıyla 8 ve 13 cm olan bir yamuk. Köşegenler arasındaki a açısı 30°'dir. Yamuğun alanını bulun.
Çözüm. Yukarıdaki formülü kullanarak neyin gerekli olduğunu hesaplamak kolaydır. Bildiğiniz gibi sin 30° 0,5'tir. Bu nedenle S = 8*13*0,5=52. Cevap: alan 52 metrekaredir. santimetre.
İkizkenar yamuğun alanını bulma
Bir yamuk ikizkenar (ikizkenar) olabilir. Yanları aynıdır ve tabanlardaki açılar eşittir, bu da şekilde iyi bir şekilde gösterilmiştir. Bir ikizkenar yamuk, normal olanla aynı özelliklere ve ayrıca bir takım özel özelliklere sahiptir. Bir ikizkenar yamuğun çevresine bir daire çizilebilir ve içine bir daire yazılabilir.
Böyle bir şeklin alanını hesaplamak için hangi yöntemler var? Aşağıdaki yöntem çok fazla hesaplama gerektirecektir. Bunu kullanmak için yamuğun tabanındaki açının sinüs (sin) ve kosinüs (cos) değerlerini bilmeniz gerekir. Bunları hesaplamak için Bradis tablolarına veya bir mühendislik hesap makinesine ihtiyacınız vardır. İşte formül:
S= C*günah A*(A - C*çünkü A),
Nerede İle- yan uyluk, A- alt tabandaki açı.
Eşkenar yamuk eşit uzunlukta köşegenlere sahiptir. Bunun tersi de doğrudur: Bir yamuğun köşegenleri eşitse ikizkenardır. Dolayısıyla bir yamuğun alanını bulmanıza yardımcı olacak aşağıdaki formül - köşegenlerin karesinin yarı ürünü ve aralarındaki açının sinüsü: S = ½ d 2 sin A.
Dikdörtgen yamuğun alanını bulma
Dikdörtgen yamuğun özel bir durumu bilinmektedir. Bu, bir tarafının (uyluğunun) tabanlara dik açıyla bitişik olduğu bir yamuktur. Düzenli bir yamuğun özelliklerine sahiptir. Üstelik çok ilginç bir özelliği var. Böyle bir yamuğun köşegenlerinin kareleri arasındaki fark, tabanlarının kareleri arasındaki farka eşittir. Bunun için alanı hesaplamak için daha önce açıklanan tüm yöntemler kullanılır.
Yaratıcılığı kullanıyoruz
Belirli formülleri unutursanız yardımcı olabilecek bir numara vardır. Yamuğun ne olduğuna daha yakından bakalım. Zihinsel olarak parçalara ayırırsak, tanıdık ve anlaşılır geometrik şekiller elde ederiz: bir kare veya dikdörtgen ve bir üçgen (bir veya iki). Yamuğun yüksekliği ve kenarları biliniyorsa, üçgenin ve dikdörtgenin alanı için formülleri kullanabilir ve ardından elde edilen tüm değerleri toplayabilirsiniz.
Bunu aşağıdaki örnekle açıklayalım. Dikdörtgen bir yamuk verilmiştir. C açısı = 45°, A, D açıları 90°'dir. Yamuğun üst tabanı 20 cm, yüksekliği 16 cm'dir. Şeklin alanını hesaplamanız gerekir.
Bu şeklin bir dikdörtgen (eğer iki açı 90°'ye eşitse) ve bir üçgenden oluştuğu açıktır. Yamuk dikdörtgen olduğundan yüksekliği kenarına eşittir yani 16 cm. Kenarları sırasıyla 20 ve 16 cm olan bir dikdörtgenimiz var. Şimdi açısı 45° olan bir üçgen düşünün. Bir kenarının 16 cm olduğunu biliyoruz. Bu kenar aynı zamanda yamuğun yüksekliği olduğundan (ve yüksekliğin tabana dik açıyla indiğini de biliyoruz), dolayısıyla üçgenin ikinci açısı 90° olur. Dolayısıyla üçgenin kalan açısı 45° olur. Bunun sonucunda iki tarafı aynı olan dik bir ikizkenar üçgen elde ederiz. Bu, üçgenin diğer tarafının yüksekliğine yani 16 cm'ye eşit olduğu anlamına gelir. Geriye kalan tek şey üçgenin ve dikdörtgenin alanını hesaplamak ve elde edilen değerleri eklemektir.
Bir dik üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısına eşittir: S = (16*16)/2 = 128. Bir dikdörtgenin alanı, genişliği ve uzunluğunun çarpımına eşittir: S = 20*16 = 320. Gerekli olanı bulduk: yamuğun alanı S = 128 + 320 = 448 metrekare. Yukarıdaki formülleri kullanarak kendinizi kolayca tekrar kontrol edebilirsiniz, cevap aynı olacaktır.
Seçim formülünü kullanıyoruz
Son olarak yamuğun alanını bulmaya yardımcı olacak başka bir orijinal formül sunuyoruz. Buna Seçim formülü denir. Trapez kareli kağıda çizildiğinde kullanılması uygundur. Benzer problemler sıklıkla GIA malzemelerinde de bulunur. Şuna benziyor:
S = M/2 + N - 1,
bu formülde M düğümlerin sayısıdır, yani. şeklin çizgilerinin yamuk sınırlarındaki hücre çizgileri ile kesişimleri (şekilde turuncu noktalar), N, şeklin içindeki düğümlerin sayısıdır (mavi noktalar). Düzensiz bir çokgenin alanını bulurken kullanmak en uygunudur. Bununla birlikte, kullanılan teknikler ne kadar geniş olursa, hatalar o kadar az olur ve sonuçlar daha iyi olur.
Tabii ki, sağlanan bilgiler yamuğun türlerini ve özelliklerini ve ayrıca alanını bulma yöntemlerini tüketmemektedir. Bu makale, en önemli özelliklerine genel bir bakış sunmaktadır. Geometrik problemleri çözerken yavaş yavaş hareket etmek, kolay formüller ve problemlerle başlamak, anlayışınızı tutarlı bir şekilde pekiştirmek ve başka bir karmaşıklık düzeyine geçmek önemlidir.
En yaygın formüllerin bir araya getirilmesi, öğrencilerin yamuğun alanını hesaplamanın çeşitli yollarını bulmasına ve bu konuyla ilgili testlere ve ödevlere daha iyi hazırlanmalarına yardımcı olacaktır.