Dik üçgenin dik açı oluşturan iki kenarına bacak denir. Bir üçgenin dik açının karşısındaki en uzun kenarına hipotenüs denir. Hipotenüsü tespit etmek için bacakların uzunluğunu bilmeniz gerekir.

Talimatlar

1. Bacakların uzunlukları ve hipotenüs, Pisagor teoremi tarafından açıklanan bir ilişkiyle ilişkilidir. Cebirsel formülasyon: "Bir dik üçgende, hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir." Pisagor formülü şuna benzer: c2 = a2 + b2, burada c, hipotenüs uzunluğu, a ve b bacakların uzunluklarıdır.

2. Pisagor teoremine göre bacakların uzunluklarını bildiğimizde, bir dik üçgenin hipotenüsünü bulmak mümkündür: c = ?(a2 + b2).

3. Örnek. Bacaklardan birinin uzunluğu 3 cm, diğerinin uzunluğu 4 cm'dir. Karelerinin toplamı 25 cm?: 9 cm? +16cm? = 25 cm?. Bizim durumumuzda hipotenüsün uzunluğu 25 cm'nin kareköküne eşit midir? – 5 cm Bu nedenle hipotenüsün uzunluğu 5 cm'dir.

Hipotenüs, dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Uzunluğunu hesaplamak için bacaklardan birinin uzunluğunu ve üçgenin dar açılarından birinin boyutunu bilmek yeterlidir.

Talimatlar

1. Bir dik üçgenin meşhur kenarı ve dar açısıyla, hipotenüsün boyutu, bu açının karşısında/bitişik olması durumunda, kenarın bu açının kosinüsüne/sinüsüne oranına eşit olabilir: h = C1 (veya C2)/sin?; h = C1 (veya C2 )/cos?. Örnek: AB hipotenüsü ve C dik açısına sahip bir ABC dik üçgeni verilsin. B açısı 60 derece ve A açısı 30 derece olsun. BC kenarının uzunluğu 8 cm'dir. AB hipotenüsünün uzunluğunu bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için yukarıda önerilen yöntemlerden herhangi birini kullanabilirsiniz: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

Hipotenüs dikdörtgenin en uzun kenarıdır üçgen. Dik açının karşısında bulunur. Bir dikdörtgenin hipotenüsünü bulma yöntemi üçgen sahip olduğunuz ilk verilere bağlıdır.

Talimatlar

1. Dikdörtgen bacaklarımız varsa üçgen, daha sonra dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğu üçgen Pisagor teoremi yardımıyla keşfedilebilir - hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir: c2 = a2 + b2, burada a ve b bacakların uzunluklarıdır dikdörtgen şeklinde üçgen .

2. Bacaklardan birini ve dar bir açıyı çizersek, hipotenüsü bulma formülü, sürülen bacağa göre hangi açının bitişik (bacağın yakınında bulunur) veya zıt (karşısında bulunur) bağlı olacaktır. komşu açı, hipotenüs kenarın bu açının kosinüsüne oranına eşittir: c = a/cos?; E karşı açıdır, hipotenüs kenarın açının sinüsüne oranına eşittir: c = a/sin?

Konuyla ilgili video

Hipotenüs, dik açının karşısında bulunan dik üçgenin tarafıdır. Bir dik üçgenin en uzun kenarıdır. Pisagor teoremi kullanılarak veya trigonometrik fonksiyonların formülleri kullanılarak hesaplanabilir.

Talimatlar

1. Dik üçgenin dik açıya bitişik kenarlarına bacak denir. Şekilde bacaklar AB ve BC olarak gösterilmiştir. Her iki bacağın uzunlukları verilsin. Bunları |AB| olarak gösterelim. ve |BC|. |AC| hipotenüsünün uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanırız. Bu teoreme göre bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. şeklimizin gösteriminde |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Formülden AC hipotenüsünün uzunluğunun |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Bir örneğe bakalım. Bacakların uzunlukları |AB| verilsin. = 13, |BC| = 21. Pisagor teoremine göre |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610 olduğunu buluruz. Hipotenüsün uzunluğunu elde etmek için toplamın karekökünü almanız gerekir. bacakların karelerinden, yani. 610 numaradan: |AC| =?610. Tam sayıların kareleri tablosunu kullanarak 610 sayısının herhangi bir tam sayının tam karesi olmadığını buluruz. Hipotenüs uzunluğunun nihai değerini elde etmek için tam kareyi kök işaretinin altından hareket ettirmeye çalışalım. Bunu yapmak için 610 sayısını çarpanlarına ayıralım. 610 = 2*5*61. İlkel sayılar tablosuna baktığımızda 61'in bir ilkel sayı olduğunu görürüz. Sonuç olarak, 610 sayısının daha sonra azaltılması gerçekçi değildir. Nihai sonucu elde ederiz |AC| = ?610 Eğer hipotenüsün karesi örneğin 675'e eşitse, o zaman?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Benzer bir azalma kabul edilebilirse, ters kontrol yapın - toplamın karesini alın ve bunu başlangıç ​​değeriyle karşılaştırın.

3. Bacaklardan birini ve ona bitişik açıyı bize bildirin. Daha spesifik olmak gerekirse, bunlar |AB| tarafı olsun. ve açı? Daha sonra trigonometrik fonksiyon kosinüs formülünü kullanabiliriz - bir açının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranına eşittir. Onlar. notasyonumuzda çünkü? = |AB| / |AC|. Buradan |AC| hipotenüsünün uzunluğunu elde ederiz. = |AB| / çünkü ?.Eğer |BC| tarafına aşinaysak ve açı?, o zaman bir açının sinüsünü hesaplamak için formülü kullanacağız - bir açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir: günah? = |BC| / |AC|. Hipotenüs uzunluğunun |AC| olduğunu buluyoruz. = |BC| /çünkü?

4. Açıklık sağlamak için bir örneğe bakalım. Bacağın uzunluğu |AB| verilsin. = 15. Peki açı? = 60°. |AC| elde ederiz = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Pisagor teoremini kullanarak sonucunuzu nasıl kontrol edebileceğinize bakalım. Bunu yapmak için ikinci bacağın |BC| uzunluğunu hesaplamamız gerekiyor. Tg açısının tanjantı formülünü mü kullanıyorsunuz? = |BC| / |AC|, |BC|'yi elde ederiz = |AB| *tg mi? = 15 * ten rengi 60° = 15 * ?3. Daha sonra Pisagor teoremini uyguladığımızda 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 elde ederiz. Kontrol tamamlanmıştır.

Faydalı tavsiyeler
Hipotenüsü hesapladıktan sonra elde edilen değerin Pisagor teoremini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

Geometri basit bir bilim değildir. Hem okul müfredatı için hem de gerçek hayatta faydalı olabilir. Birçok formül ve teorem bilgisi geometrik hesaplamaları basitleştirecektir. Geometrideki en basit şekillerden biri üçgendir. Eşkenar üçgen çeşitlerinden birinin kendine has özellikleri vardır.

Eşkenar üçgenin özellikleri

Tanım gereği üçgen, üç açısı ve üç tarafı olan bir çokyüzlüdür. Bu iki boyutlu düz bir figür, özellikleri lisede inceleniyor. Açı türüne göre dar açılı, geniş açılı ve dik açılı üçgenler vardır. Dik üçgen, açılardan birinin 90 derece olduğu geometrik bir şekildir. Böyle bir üçgenin iki bacağı (dik açı oluştururlar) ve bir hipotenüsü (dik açının karşısında) vardır. Bilinen niceliklere bağlı olarak bir dik üçgenin hipotenüsünü hesaplamanın üç basit yolu vardır.

İlk yol bir dik üçgenin hipotenüsünü bulmaktır. Pisagor teoremi

Pisagor teoremi bir dik üçgenin herhangi bir kenarını hesaplamanın en eski yoludur. Şöyle geliyor: "Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Bu nedenle, hipotenüsü hesaplamak için iki kenarın karelerinin toplamının karekökünün elde edilmesi gerekir. Açıklık sağlamak için formüller ve bir diyagram verilmiştir.

İkinci yol. Bilinen 2 büyüklük kullanılarak hipotenüsün hesaplanması: kenar ve komşu açı

Dik üçgenin özelliklerinden biri, dik kenarın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranının bu kenar ile hipotenüs arasındaki açının kosinüsüne eşdeğer olduğunu belirtir. Bildiğimiz açıya α diyelim. Artık iyi bilinen tanım sayesinde hipotenüsü hesaplamak için kolayca bir formül formüle edebilirsiniz: Hipotenüs = bacak/cos(α)

Üçüncü yol. Bilinen 2 büyüklük kullanılarak hipotenüsün hesaplanması: kenar ve karşı açı

Karşı açı biliniyorsa yine dik üçgenin özelliklerinden yararlanmak mümkündür. Bacağın uzunluğunun hipotenüse oranı karşı açının sinüsüne eşittir. Bilinen açıya tekrar α diyelim. Şimdi hesaplamalar için biraz farklı bir formül kullanacağız:
Hipotenüs = bacak/günah (α)

Formülleri anlamanıza yardımcı olacak örnekler

Formüllerin her birini daha derinlemesine anlamak için açıklayıcı örnekleri dikkate almalısınız. Diyelim ki size aşağıdaki verilerin bulunduğu bir dik üçgen verildi:

• Bacak – 8 cm.
• Komşu açı cosα1 0,8'dir.
• Sinα2'nin zıt açısı 0,8'dir.

Pisagor teoremine göre: Hipotenüs = (36+64)'ün karekökü = 10 cm.
Bacağın ölçüsüne ve bitişik açıya göre: 8/0,8 = 10 cm.
Bacağın ölçüsüne ve karşı açıya göre: 8/0,8 = 10 cm.

Formülü anladıktan sonra hipotenüsü herhangi bir veriyle kolayca hesaplayabilirsiniz.

Video: Pisagor Teoremi

Pek çok üçgen türü vardır: pozitif, ikizkenar, akut vb. Hepsinin yalnızca kendileri için klasik olan özellikleri vardır ve ister bir kenar ister tabandaki bir açı olsun, her birinin miktarları bulmak için kendi kuralları vardır. Ancak bu geometrik şekillerin her çeşidinden dik açılı bir üçgeni ayrı bir gruba ayırmak mümkündür.

İhtiyacın olacak

• Bir üçgenin şematik gösterimi için boş sayfa, kalem ve cetvel.

Talimatlar

1. Bir açısı 90 derece olan üçgene dikdörtgen denir. 2 bacak ve bir hipotenüsten oluşur. Hipotenüs bu üçgenin en büyük tarafıdır. Dik açının tersine uzanır. Buna göre bacaklara daha küçük taraflar denir. Birbirlerine eşit olabilirler veya farklı boyutlarda olabilirler. Bacakların eşitliği, ikizkenar dik üçgenle çalıştığınız anlamına gelir. Güzelliği iki şeklin özelliklerini birleştirmesidir: dik üçgen ve ikizkenar üçgen. Bacaklar eşit değilse, o zaman üçgen keyfidir ve temel yasaya uyar: açı ne kadar büyükse, karşısında yatan da o kadar büyük olur.

2. Hipotenüsü kenar ve açıya göre bulmanın birkaç yöntemi vardır. Ancak bunlardan birini kullanmadan önce hangi bacağın ve açının bilindiğini tespit etmelisiniz. Bir açı ve ona bitişik bir bacak verilirse, açının kosinüsüne bakarak hipotenüsün tespit edilmesi daha kolaydır. Bir dik üçgende dar açının kosinüsü (cos a), bitişik kenarın hipotenüse oranıdır. Buradan hipotenüsün (c), bitişik kenarın (b) a açısının kosinüsüne (cos a) oranına eşit olacağı sonucu çıkar. Bu şu şekilde yazılabilir: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Bir açı ve karşı bacak verilirse sinüs ile çalışmalısınız. Bir dik üçgende dar açının sinüsü (sin a), karşı tarafın (a) hipotenüse (c) oranıdır. Buradaki tez önceki örnekteki ile aynıdır, sadece kosinüs fonksiyonu yerine sinüs alınır. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Teğet gibi trigonometrik bir fonksiyonu da kullanabilirsiniz. Ancak istenilen değeri bulmak biraz daha zorlaşacaktır. Bir dik üçgende dar bir açının (tg a) tanjantı, karşı bacağın (a) bitişik ayağa (b) oranıdır. Her iki bacağı da keşfettikten sonra Pisagor teoremini uygulayın (hipotenüsün karesi bacakların karelerinin toplamına eşittir) ve üçgenin büyük tarafı keşfedilecektir.

Hipotenüs, dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Uzunluğunu hesaplamak için bacaklardan birinin uzunluğunu ve üçgenin dar açılarından birinin boyutunu bilmek yeterlidir.

Talimatlar

1. Öndeki bacak ve bir dik üçgenin dar açısıyla, hipotenüsün boyutu, bu açı ona karşı/komşu ise, kenarın bu açının kosinüs/sinüs oranına eşit olabilir: h = C1 ( veya C2)/sin?; h = C1 (veya C2 )/cos?. Örnek: AB hipotenüsü ve C dik açısına sahip bir ABC dik üçgeni verilsin. BC kenarının uzunluğu 8 cm'dir. AB hipotenüsünün uzunluğunu bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için yukarıda önerilen yöntemlerden herhangi birini kullanabilirsiniz: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

Kelime " bacak"Yunanca" dik "veya" çekül "kelimelerinden gelir - bu, doksan derecelik açıyı oluşturan dik üçgenin her iki tarafının neden bu şekilde adlandırıldığını açıklar. Her birinin uzunluğunu bulun bacak Bitişik açının değerini ve başka bir parametreyi biliyorsanız zor değildir, çünkü bu durumda 3 açının da değerleri aslında bilinecektir.

Talimatlar

1. Eğer komşu açının (β) değerine ek olarak ikinci açının uzunluğu da bacak a (b), sonra uzunluk bacak ve (a) ünlünün uzunluğunun bölümü olarak tanımlanabilir. bacak ve istenen açının tanjantı için: a=b/tg(β). Bu, bu trigonometrik fonksiyonun tanımından kaynaklanmaktadır. Sinüs teoremini kullanırsanız teğet olmadan da yapabilirsiniz. Bundan, istenen tarafın uzunluğunun karşı açının sinüsüne oranının, istenen tarafın uzunluğunun oranına eşit olduğu sonucu çıkar. bacak ve ünlü açının sinüsüne. İstenilenin tam tersi bacak y dar açı ünlü açıyla 180°-90°-β = 90°-β olarak ifade edilebilir, çünkü herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° olmalıdır ve dik üçgenin tanımı gereği, onun açıları 90°'dir. Bu istenen uzunluk anlamına gelir bacak ve a=sin(90°-β)∗b/sin(β) formülü kullanılarak hesaplanabilir.

2. Komşu açının değeri (β) ve hipotenüsün uzunluğu (c) biliniyorsa uzunluk bacak ve (a) hipotenüs uzunluğu ile şu ünlü açının kosinüsünün çarpımı olarak hesaplanabilir: a=c∗cos(β). Bu, kosinüsün trigonometrik bir fonksiyon olarak tanımlanmasından kaynaklanmaktadır. Ancak önceki adımda olduğu gibi sinüs teoremini ve ardından istenen uzunluğu kullanabilirsiniz. bacak a, 90° ile referans açı arasındaki farkın sinüsü ile hipotenüs uzunluğunun dik açının sinüsüne oranının çarpımına eşit olacaktır. Ve 90°'nin sinüsü bire eşit olduğundan formül şu şekilde yazılabilir: a=sin(90°-β)∗c.

3. Gerçek hesaplamalar, örneğin Windows işletim sistemindeki yazılım hesaplayıcı kullanılarak yapılabilir. Başlatmak için ana menüdeki "Başlat" düğmesindeki "Çalıştır" öğesini seçebilir, calc komutunu yazıp "Tamam" düğmesini tıklayabilirsiniz. Varsayılan olarak açılan bu programın arayüzünün en basit versiyonunda trigonometrik işlevler sağlanmamıştır, bu nedenle başlattıktan sonra menüdeki "Görünüm" bölümüne tıklamanız ve "Bilim Adamı" veya "Mühendis" satırını seçmeniz gerekir. (kullanılan işletim sisteminin sürümüne bağlı olarak).

Konuyla ilgili video

"Kathet" kelimesi Yunancadan Rusça'ya geldi. Tam tercümede, çekül hattı anlamına gelir, yani dünya yüzeyine dik. Matematikte bacaklar dik bir üçgenin dik açısını oluşturan kenarlardır. Bu açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. “Bacak” terimi mimaride ve özel kaynak teknolojisinde de kullanılmaktadır.

Bir dik üçgen DIA çizin. Bacaklarını a ve b, hipotenüsünü ise c olarak etiketleyin. Bir dik üçgenin tüm kenarları ve açıları birbirleriyle belirli ilişkilerle ilişkilidir. Akut açılardan birinin karşısındaki bacağın hipotenüse oranına bu açının sinüsü denir. Bu üçgende sinCAB=a/c. Kosinüs, bitişik kenarın hipotenüsüne olan orandır, yani cosCAB=b/c. Ters ilişkilere sekant ve kosekant denir. Belirli bir açının sekantı, hipotenüsün komşu kenara bölünmesiyle elde edilir, yani secCAB = c/b. Sonuç kosinüsün tersidir, yani secCAB=1/cosSAB formülü kullanılarak ifade edilebilir. Kosekant, hipotenüsün karşı tarafa bölünmesine eşittir ve sinüsün tersidir. cosecCAB = 1/sinCAB formülü kullanılarak hesaplanabilir. Her iki bacak birbiriyle teğet ve kotanjantla ilişkilidir. Bu durumda teğet, a tarafının b tarafına, yani karşı tarafın bitişik kenara oranı olacaktır. Bu ilişki tgCAB=a/b formülüyle ifade edilebilir. Buna göre ters oran kotanjant olacaktır: ctgCAB=b/a. Hipotenüsün boyutları ile her iki bacak arasındaki ilişki eski Yunan matematikçi Pisagor tarafından belirlendi. Onun adını taşıyan teorem günümüzde hala insanlar tarafından kullanılmaktadır. Hipotenüsün karesinin kenarların karelerinin toplamına eşit olduğunu söylüyor, yani c2 = a2 + b2. Buna göre her bir bacak, hipotenüsün kareleri ile diğer bacağın kareleri arasındaki farkın kareköküne eşit olacaktır. Bu formül b=?(c2-a2) şeklinde yazılabilir. Bacağın uzunluğu da iyi bilinen ilişkilerle ifade edilebilir. Sinüs ve kosinüs teoremlerine göre bir bacak, hipotenüsün çarpımına ve bu işlevlerden birine eşittir. Ayrıca teğet veya kotanjant yoluyla da ifade edilebilir. A ayağı, örneğin a = b*tan CAB formülü kullanılarak bulunabilir. Aynı şekilde verilen teğet veya kotanjanta bağlı olarak 2. ayak da belirlenir. Mimaride “bacak” terimi de kullanılır. İyonik bir başkentle ilişkili olarak kullanılır ve sırtının ortasından geçen bir çekül çizgisini belirtir. Yani bu durumda bu terim belirli bir çizgiye dik olanı ifade eder. Özel kaynak teknolojisinde “fileto kaynak ayağı” kavramı vardır. Diğer durumlarda olduğu gibi bu en kısa mesafedir. Burada kaynak yapılan parçalardan birinin diğer parçanın yüzeyinde bulunan dikiş sınırına kadar olan aralıktan bahsediyoruz.

Konuyla ilgili video

Dikkat etmek!
Pisagor teoremi ile çalışırken bir dereceyle uğraştığınızı unutmayın. Bacakların karelerinin toplamını bulduktan sonra nihai sonucu elde etmek için karekökün çıkarılması gerekir.

Bu sorunu çözmek için üç seçenek vardır. Birincisi, problem koşullarında bacakların eşit olduğu verilirse (aslında dik bir ikizkenar üçgenimiz var). İkincisi, eğer hala bir açı verilmişse (%45'lik açı hariç, o zaman aynı ikizkenar üçgene sahip oluruz ve ilk seçeneğe geri döneriz). Ve üçüncüsü - bacaklardan biri bilindiğinde. Bu seçenekleri daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Bilinen bir hipotenüse sahip eşit bacaklar nasıl bulunur?

• ilk bacak ("a" harfiyle gösterelim) ikinci ayağa eşittir ((bunu "b" harfiyle gösterelim): a=b;

• bacak büyüklüğü;

Bu versiyonda problemin çözümü Pisagor teoreminin kullanımına dayanmaktadır. Dik üçgenlere uygulanır ve ana versiyonu şöyle görünür: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Bacaklarımız eşit olduğundan her iki bacağı da aynı sembolle gösterebiliriz: a=b, yani a=a anlamına gelir.

1. Sembollerimizi teoremin yerine koyarız (yukarıdakileri dikkate alarak):
   c^2=a^2+a^2,
2. Daha sonra formülü olabildiğince basitleştiriyoruz:
   с^2=2*(a^2) - grup,
   с=√2*а - denklemin her iki tarafını da karekök haline getiririz,
   a=c/√2 - aradığımız şeyi çıkarıyoruz.
3. Hipotenüsün bu değerini yerine koyalım ve çözümü bulalım:
   a=x/√2

Bilinen bir hipotenüs ve açı verildiğinde bacaklar nasıl bulunur?

• hipotenüs ("c" harfiyle gösterelim) x cm'ye eşittir: c=x;
• β açısı q'ya eşit: β=q;

• bacak büyüklüğü;

Bu sorunu çözmek için trigonometrik fonksiyonları kullanmanız gerekir. Bunlardan en popüler ikisi:

• sinüs fonksiyonu - istenen açının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranına eşittir;
• kosinüs fonksiyonu - istenen açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranına eşittir;

Herhangi birini kullanabilirsiniz. İlkini kullanarak bir örnek vereceğim. Bacakların “a” (köşeye bitişik) ve “b” (köşenin karşısı) sembolleriyle gösterilmesine izin verin. Buna göre açımız “a” kenarı ile hipotenüs arasındadır.

1. Seçilen sembolleri formülde değiştiririz:
   sinβ = b/c
2. Bacağını türetiyoruz:
   b=c*sinβ
3. Verdiğimizi yerine koyarız ve tek ayağımız olur.
   b=c*sinq

İkinci bacak, ikinci trigonometrik fonksiyon kullanılarak bulunabilir veya üçüncü seçeneğe gidebilirsiniz.

Hipotenüs ve diğer taraf biliniyorsa bir taraf nasıl bulunur?

• hipotenüs ("c" harfiyle gösterelim) x cm'ye eşittir: c=x;
• bacak ("b" harfiyle gösterelim) y cm'ye eşittir: b=y;

• diğer bacağın büyüklüğü (“a” harfiyle gösterelim);

Bu versiyonda problemin çözümü, ilkinde olduğu gibi Pisagor teoremini kullanmaktır.

1. Sembollerimizi teoremin yerine koyarız:
   c^2=a^2+b^2,
2. Gerekli bacağı çıkarıyoruz:
   a^2=c^2-b^2
3. Denklemin her iki tarafını da kareköküne alıyoruz:
   a=√(c^2-b^2)
4. Bu değerleri yerine koyuyoruz ve çözümümüz var:
   a=√(x^2-y^2)

Talimatlar

Bir dik üçgenin bacaklarından biri bilinsin. Diyelim ki |BC| = b. O zaman hipotenüsün bacakların karelerinin toplamına eşit olduğuna göre Pisagor teoremini kullanabiliriz: a^2 + b^2 = c^2. Bu denklemin bilinmeyen tarafını |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Bir dik üçgenin açılarından birinin bilindiğini varsayalım (∟α). Daha sonra ABC dik üçgeninin AB ve BC'si trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bulunabilir. Böylece şunu elde ederiz: sinüs ∟α, karşı tarafın oranına eşittir sin α = b / c, kosinüs ∟α, bitişik tarafın hipotenüse oranına eşittir çünkü cos α = a / c. Buradan gerekli kenar uzunluklarını buluruz: |AB| = a = c * çünkü α, |BC| = b = c * sin α.

Bacakların oranı k = a / b bilinsin. Sorunu trigonometrik fonksiyonları kullanarak da çözüyoruz. A / b oranı, ∟α kotanjantından başka bir şey değildir: bitişik taraf ctg α = a / b. Bu durumda bu eşitlikten a = b * ctg α'yı ifade ederiz. Ve Pisagor teoremini a^2 + b^2 = c^2 yerine koyarız:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. B^2'yi parantezlerden çıkarırsak b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2 elde ederiz. Ve buradan bacağın uzunluğunu b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1) olarak kolayca elde ederiz; burada k, bacakların verilen oranıdır.

Benzer şekilde, eğer b/a bacaklarının oranı biliniyorsa, sorunu tanjant α = b/a kullanarak çözeriz. b = a * tan α değerini Pisagor teoremi a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2'ye koyarız. Dolayısıyla a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), burada k, bacakların verilen oranıdır.

Özel durumları ele alalım.

∟α = 30°. Sonra |AB| = a = c * çünkü α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Sonra |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Konuyla ilgili video

lütfen aklınızda bulundurun

Karekökler pozitif işaretle çıkarılır, çünkü uzunluk negatif olamaz. Bu açık görünüyor, ancak sorunu otomatik olarak çözerseniz bu hata çok yaygındır.

Faydalı tavsiyeler

Bir dik üçgenin bacaklarını bulmak için indirgeme formüllerini kullanmak uygundur: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Kaynaklar:

• Trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için Bradis tabloları

Bir dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler trigonometri adı verilen matematik dalında tartışılmaktadır. Dik bir üçgenin kenarlarını bulmak için Pisagor teoremini, trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilmek ve trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için örneğin bir hesap makinesi veya Bradis tabloları gibi bazı araçlara sahip olmak yeterlidir. Aşağıda bir dik üçgenin kenarlarını bulma problemlerinin ana durumlarını ele alalım.

İhtiyacın olacak

• Hesap makinesi, Bradis tabloları.

Talimatlar

Size dar açılardan biri, örneğin A ve hipotenüs verilirse, bacaklar temel trigonometrik tanımlardan bulunabilir:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Dar açılardan biri örneğin A ve kenarlardan biri örneğin a verilirse hipotenüs ve diğer kenar şu bağıntılardan hesaplanır: b=a*tg(A), c= a*sin(A).

Faydalı tavsiyeler

Hesaplama için gerekli açılardan birinin sinüs veya kosinüs değerini bilmiyorsanız Bradis tablolarını kullanabilirsiniz; bunlar çok sayıda açı için trigonometrik fonksiyonların değerlerini sağlar. Ek olarak, modern hesap makinelerinin çoğu açıların sinüslerini ve kosinüslerini hesaplama yeteneğine sahiptir.

Kaynaklar:

• 2019'da dik üçgenin kenarı nasıl hesaplanır

İpucu 3: Dik üçgenin kenarlarını biliyorsanız açı nasıl bulunur?

Tre kare Açılarından biri dik (90°'ye eşit) olan açıya dikdörtgen denir. En uzun kenarı daima dik açının karşısında yer alır ve hipotenüs olarak adlandırılır, diğer iki kenarı ise her zaman dik açının karşısında yer alır ve buna hipotenüs denir. taraflar bacaklar denir. Bu üç kenarın uzunlukları biliniyorsa, üç kenarın tüm açılarının değerlerini bulun. kare ve zor olmayacak çünkü aslında sadece açılardan birini hesaplamanız gerekiyor. Bunu yapmanın birkaç yolu var.

Talimatlar

Dikdörtgen bir üçgen üzerinden trigonometrik fonksiyonların tanımlarını (α, β, γ) miktarlarını hesaplamak için kullanın. Örneğin, dar bir açının sinüsü için, karşı bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı gibi. Bu, eğer bacakların uzunlukları (A ve B) ve hipotenüs (C) ise, örneğin A bacağının karşısında bulunan α açısının sinüsünü uzunluğu bölerek bulabileceğiniz anlamına gelir. taraflar Ve uzunluk için taraflar C (hipotenüs): sin(α)=A/C. Bu açının sinüsünün değerini bulduktan sonra sinüs - arksinüsün ters fonksiyonunu kullanarak değerini derece cinsinden bulabilirsiniz. Yani, α=arksin(sin(α))=arksin(A/C). Aynı şekilde bir üçgende dar açının boyutunu da bulabilirsiniz. kare Evet ama bu gerekli değil. Bütün açıların toplamı üç olduğundan kare a 180° ve üçte kare Açılardan biri 90° ise üçüncü açının değeri 90° ile bulunan açının değeri arasındaki fark olarak hesaplanabilir: β=180°-90°-α=90°-α.

Sinüsü tanımlamak yerine, istenen açıya bitişik bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı olarak formüle edilen bir dar açının kosinüsü tanımını kullanabilirsiniz: cos(α)=B/ C. Ve burada açıyı derece cinsinden bulmak için ters trigonometrik fonksiyonu (arkkosinüs) kullanın: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Bundan sonra, bir önceki adımda olduğu gibi, eksik açının değerini bulmak kalıyor: β=90°-α.

Benzer bir teğet kullanabilirsiniz - istenen açının karşısındaki bacağın uzunluğunun bitişik bacağın uzunluğuna oranıyla ifade edilir: tan(α)=A/B. Yine ters trigonometrik fonksiyonu kullanarak açıyı derece cinsinden belirleyin: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Eksik açının formülü değişmeden kalacaktır: β=90°-α.

Konuyla ilgili video

İpucu 4: Bir dik üçgenin kenar uzunluğu nasıl bulunur?

Bir üçgenin açılarından biri dik ise bu üçgen dik açılı olarak kabul edilir. Taraf üçgen Dik açının karşısında bulunana hipotenüs, diğer ikisine ise hipotenüs denir. taraflar- bacaklar. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmak için üçgen, birkaç yöntem kullanabilirsiniz.

Talimatlar

Üçüncüyü bulabilirsin taraflar diğer iki tarafın uzunluklarını bilmek üçgen. Bu, dikdörtgen bir karenin olduğunu belirten Pisagor teoremi kullanılarak yapılabilir. üçgen bacaklarının karelerinin toplamı. (a² = b²+ c²). Buradan dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluklarını ifade edebiliriz. üçgen:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Örneğin dikdörtgen için üçgen hipotenüsün uzunluğu a (18 cm) ve bacaklardan birinin uzunluğu, örneğin c (14 cm) bilinmektedir. İle uzunluk diğer tarafta 2 cebirsel işlem yapmanız gerekir:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Cevap: Bacak uzunluğu √128 cm veya yaklaşık 11,3 cm'dir.

Belirli bir dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğunu ve dar noktalarından birinin boyutunu biliyorsanız başvurabilirsiniz. üçgen. Uzunluğu c ve dar açılardan biri α'ya eşit olsun. Bu durumda 2 kişi daha bulun taraflar dikdörtgen üçgen aşağıdaki formüller kullanılarak mümkün olacaktır:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Şunu verebilirsiniz: Hipotenüsün uzunluğu 15 cm, dar açılardan biri 30 derecedir. Diğer iki tarafın uzunluklarını bulmak için 2 adım uygulamanız gerekir:
a = 15*sin30 = 15*0,5 = 7,5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (yaklaşık)

Bulmanın en önemsiz yolu uzunluk taraflar dikdörtgen üçgen- belirli bir şeklin çevresinden ifade etmektir:
P = a + b + c, burada P dikdörtgenin çevresidir üçgen. Bu ifadeden şunu ifade etmek kolaydır uzunluk dikdörtgenin herhangi bir kenarı üçgen.

İpucu 5: Tüm kenarları bilerek dik üçgenin açısını nasıl bulabilirsiniz?

Üç tarafın da doğrudan bilgisi kömürüçgen, açılarından herhangi birini hesaplamak için fazlasıyla yeterlidir. O kadar çok bilgi var ki, size en uygun trigonometri fonksiyonunu kullanabilmeniz için hesaplamalarda hangi tarafları kullanacağınızı bile seçme şansına sahipsiniz.

Talimatlar

Ark sinüsle uğraşmayı tercih ederseniz hipotenüs uzunluğunu (C) kullanın - en uzun olanı taraflar- ve istenilen açının (α) karşısında bulunan bacak (A). Bu bacağın uzunluğunu hipotenüsün uzunluğuna bölmek, istenen açının sinüs değerini verecektir ve sinüsün - arksinüsün - elde edilen değerden ters fonksiyonu, açının değerini . Bu nedenle hesaplamalarınızda aşağıdakileri kullanın: α = arcsin(A/C).

Arksinüsü arkkosinüs ile değiştirmek için, istenen açıyı (α) oluşturan kenarların uzunluk hesaplamalarını kullanın. Bunlardan biri hipotenüs (C), diğeri ise bacak (B) olacaktır. Tanım gereği, kosinüs, hipotenüsün uzunluğuna olan açıya bitişik olan bacağın uzunluğudur ve kosinüs değerinden gelen açı, ark kosinüs fonksiyonudur. Aşağıdaki hesaplama formülünü kullanın: α = arccos(B/C).

Hesaplamalarda kullanılabilir. Bunu yapmak için iki kısa kenarın (bacakların) uzunluğuna ihtiyacınız var. Düz bir çizgide dar bir açının (α) tanjantı kömürÜçgen, karşısındaki bacağın (A) uzunluğunun bitişik bacağın (B) uzunluğuna oranıyla belirlenir. Yukarıda açıklanan seçeneklere benzer şekilde aşağıdaki formülü kullanın: α = arktan(A/B).

Formül

Hangi üçgene dik üçgen denir?

Birkaç çeşit üçgen vardır. Bazıları tamamen dar açılara sahiptir, bazıları bir geniş ve iki dar açıya sahiptir ve diğerleri iki dar ve bir düz açıya sahiptir. Buna dayanarak, bu geometrik şekillerin her birine dar açılı, geniş açılı ve dikdörtgen adı verildi. Yani açılarından biri 90° olan üçgene dik üçgen denir. İlkine benzer bir şey daha var. İki kenarı birbirine dik olan üçgene dik üçgen denir.

Hipotenüs ve bacaklar

Dar ve geniş üçgenlerde, açıların köşelerini birleştiren bölümlere basitçe kenarlar denir. Tarafın başka isimleri de var. Dik açıya bitişik olanlara bacak denir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Yunancadan tercüme edilen "hipotenüs" kelimesi "sıkı", "cathetus" ise "dik" anlamına gelir.

Hipotenüs ve bacaklar arasındaki ilişkiler

Dik üçgenin kenarları, hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştıran belirli ilişkilerle birbirine bağlanır. Örneğin bacakların boyutlarını bilerek hipotenüsün uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Adını keşfeden kişinin adını taşıyan bu ilişkiye Pisagor teoremi adı verilir ve şu şekilde görünür:

c2=a2+b2, burada c hipotenüs, a ve b kenarlardır. Yani hipotenüs, bacakların kareleri toplamının kareköküne eşit olacaktır. Bacaklardan herhangi birini bulmak için diğer bacağın karesini hipotenüsün karesinden çıkarmak ve elde edilen farkın karekökünü çıkarmak yeterlidir.

Bitişik ve karşı bacak

Bir dik üçgen DIA çizin. C harfi genellikle dik açının tepe noktasını, A ve B ise dar açıların köşelerini belirtir. Her a, b ve c açısının karşısındaki kenarları, karşılarındaki açıların adlarından sonra çağırmak uygundur. A açısını düşünün. A tarafı onun karşısında olacak, b tarafı da bitişik olacak. Karşı kenarın hipotenüse oranına denir. Bu trigonometrik fonksiyon şu formül kullanılarak hesaplanabilir: sinA=a/c. Bitişik bacağın hipotenüse oranına kosinüs denir. Şu formül kullanılarak hesaplanır: cosA=b/c.

Böylece açıyı ve kenarlardan birini bilerek diğer tarafı hesaplamak için bu formülleri kullanabilirsiniz. Her iki taraf da trigonometrik ilişkilerle birbirine bağlıdır. Zıtın komşuya oranına teğet, komşunun zıttıya oranına kotanjant denir. Bu ilişkiler tgA=a/b veya ctgA=b/a formülleriyle ifade edilebilir.