Ondalık sayıların eklenmesi tam sayıların eklenmesiyle aynıdır. Bunu örneklerle görelim.
1) 0,132 + 2,354. Terimleri alt alta etiketleyelim.
Burada 4 binde 2'yi binde birlik topladığımızda 6 binde bir çıkıyor;
3 yüzde birlik ile 5 yüzdeliklerin toplanmasından sonuç 8 yüzdelik olur;
onda 1 ile 3 onda -4 onda birini eklemekten ve
2 tam sayı ile 0 tam sayının toplanmasından - 2 tam sayıya.
2) 5,065 + 7,83.
İkinci dönemde binde birler yoktur, bu nedenle terimleri birbiri ardına etiketlerken hata yapmamak önemlidir.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Burada binde biri topladığımızda sonuç binde 21; binde birlerin altına 1 yazdık ve yüzde birlerin altına 2 ekledik, böylece yüzde birler basamağında şu terimleri elde ettik: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; toplamda 19 yüzdelik veriyorlar, biz yüzde 9'un altına imza attık, 1'i onda saydık vs.
Bu nedenle, ondalık kesirleri eklerken aşağıdaki sıraya uyulmalıdır: tüm terimlerde aynı rakamlar birbirinin altında olacak ve tüm virgüller aynı dikey sütunda olacak şekilde kesirleri alt üste imzalayın; Bazı terimlerin ondalık basamaklarının sağına, en azından zihinsel olarak o kadar sayıda sıfır eklenir ki, ondalık noktadan sonraki tüm terimler aynı sayıda rakama sahip olsun. Daha sonra sağ taraftan başlayarak rakamlarla toplama işlemi yaparlar ve elde edilen toplamda bu terimlerde bulunduğu aynı dikey sütuna virgül koyarlar.
§ 108. Ondalık kesirlerin çıkarılması.
Ondalık sayıların çıkarılması, tam sayıların çıkarılmasıyla aynı şekilde çalışır. Bunu örneklerle gösterelim.
1) 9,87 - 7,32. Aynı rakamdaki birimler birbirinin altında olacak şekilde eksilen kısmın altındaki çıkanı imzalayalım:
2) 16,29 - 4,75. İlk örnekte olduğu gibi eksilen kısmın altındaki çıkanı imzalayalım:
Onda birini çıkarmak için, 6'dan bir birimin tamamını alıp onda birine bölmeniz gerekiyordu.
3) 14.0213- 5.350712. Eksilenin altındaki çıkanı imzalayalım:
Çıkarma işlemi şu şekilde yapıldı: 0'dan 2 milyonda birini çıkaramayacağımız için soldaki en yakın rakama yani yüz binde bire dönmemiz gerekiyor ama yüz binde bir yerine sıfır da var, yani on binde 1'i alıyoruz. 3 on binde bir ve yüz binde birliğe bölüyoruz, 10 yüz binde bir elde ediyoruz, bunun 9 yüz binde birini yüz binde bir kategorisinde bırakıyoruz ve 1 yüz binde birini milyonlara bölüyoruz, 10 milyonda bir elde ediyoruz. Böylece, son üç hanede şunu elde ettik: milyonda bir 10, yüz binde 9, on binde 2. Daha fazla netlik ve kolaylık sağlamak için (unutulmaması için), bu sayılar eksilin karşılık gelen kesirli hanelerinin üzerine yazılır. Artık çıkarma işlemine başlayabilirsiniz. 10 milyonuncudan 2 milyonuncuyu çıkarırsak 8 milyonuncuyu elde ederiz; 9 yüz binde birden 1 yüz binde birini çıkarırız, 8 yüz binde birini elde ederiz, vb.
Böylece, ondalık kesirleri çıkarırken, aşağıdaki sıra gözlenir: aynı rakamlar birbirinin altında olacak ve tüm virgüller aynı dikey sütunda olacak şekilde eksinin altındaki çıkanı imzalayın; sağda, en azından zihinsel olarak, aynı sayıda rakama sahip olacak şekilde eksilmeye veya çıkarmaya o kadar çok sıfır eklerler, sonra sağ taraftan başlayarak rakamlarla çıkarırlar ve ortaya çıkan farka virgül koyarlar Bulunduğu aynı dikey sütun azaltılmış ve çıkarılmıştır.
§ 109. Ondalık kesirlerin çarpımı.
Ondalık kesirlerin çarpılmasıyla ilgili bazı örneklere bakalım.
Bu sayıların çarpımını bulmak için şu şekilde akıl yürütebiliriz: Eğer çarpan 10 kat arttırılırsa, o zaman her iki faktör de tam sayı olacaktır ve daha sonra bunları tam sayılarla çarpma kurallarına göre çarpabiliriz. Ancak faktörlerden biri birkaç kat arttığında ürünün de aynı miktarda arttığını biliyoruz. Bu, tamsayı çarpanların yani 28 ile 23'ün çarpılmasıyla elde edilen sayının gerçek çarpımdan 10 kat daha büyük olduğu ve gerçek çarpımın elde edilebilmesi için bulunan çarpımın 10 kat azaltılması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla burada 10 ile bir kez çarpmanız ve bir kez 10'a bölmeniz gerekecek, ancak 10 ile çarpma ve bölme, virgülün sağa ve sola birer basamak kaydırılmasıyla yapılır. Bu nedenle, bunu yapmanız gerekir: faktörde virgülü bir yere doğru hareket ettirin, bu onu 23'e eşitleyecektir, sonra ortaya çıkan tam sayıları çarpmanız gerekir:
Bu ürün gerçek olandan 10 kat daha büyüktür. Bu nedenle 10 kat azaltılması gerekiyor, bunun için virgülünü bir basamak sola kaydırıyoruz. Böylece elde ederiz
28 2,3 = 64,4.
Doğrulama amacıyla, paydalı bir ondalık kesir yazabilir ve işlemi sıradan kesirlerle çarpma kuralına göre gerçekleştirebilirsiniz;
2) 12,27 0,021.
Bu örnek ile önceki örnek arasındaki fark, burada her iki faktörün de ondalık kesirler olarak temsil edilmesidir. Ancak burada çarpma işleminde virgüllere dikkat etmeyeceğiz, yani geçici olarak çarpanı 100 kat, çarpanı ise 1.000 kat artıracağız, bu da çarpımı 100.000 kat artıracaktır. Böylece 1.227'yi 21 ile çarparak şunu elde ederiz:
1 227 21 = 25 767.
Ortaya çıkan ürünün gerçek üründen 100.000 kat daha büyük olduğunu düşünürsek, şimdi içine virgül koyarak onu 100.000 kat azaltmamız gerekiyor, o zaman şunu elde ederiz:
32,27 0,021 = 0,25767.
Kontrol edelim:
Böylece, iki ondalık kesri çarpmak için, virgüllere dikkat etmeden, bunları tam sayı olarak çarpmak ve çarpımda, çarpımda olduğu kadar sağ tarafta virgülle ayırmak yeterlidir ve çarpanda birlikte.
Son örnek, beş ondalık basamağa sahip bir çarpımla sonuçlandı. Bu kadar büyük bir hassasiyet gerekmiyorsa, ondalık kesir yuvarlanır. Yuvarlama yaparken tamsayılar için belirtilen kuralın aynısını kullanmalısınız.
§ 110. Tabloları kullanarak çarpma.
Ondalık sayıların çarpılması bazen tablolar kullanılarak yapılabilir. Bu amaçla, örneğin daha önce açıklaması verilen iki basamaklı sayılar için çarpım tablolarını kullanabilirsiniz.
1) 53'ü 1,5 ile çarpın.
53'ü 15 ile çarpacağız. Tabloda bu çarpım 795'e eşit. 53'e 15 çarpımını bulduk ama ikinci çarpanımız 10 kat küçüktü, yani çarpımın 10 kat azaltılması gerekiyor yani.
53 1,5 = 79,5.
2) 5,3'ü 4,7 ile çarpın.
Öncelikle tabloda 53 ile 47'nin çarpımını buluyoruz, 2.491 olacak. Ama çarpanı ve çarpanı toplam 100 kat artırdığımız için ortaya çıkan çarpım olması gerekenden 100 kat daha büyük; yani bu çarpımı 100 kat azaltmalıyız:
5,3 4,7 = 24,91.
3) 0,53'ü 7,4 ile çarpın.
Öncelikle tabloda 53'e 74 çarpımını buluyoruz; 3.922 olacak. Ama çarpanı 100 kat, çarpanı da 10 kat artırdığımız için çarpım 1.000 kat arttı; yani şimdi bunu 1000 kat azaltmamız gerekiyor:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Ondalık kesirlerin bölünmesi.
Ondalık kesirleri şu sırayla bölmeye bakacağız:
1. Ondalık kesri bir tam sayıya bölmek,
1. Ondalık kesri bir tam sayıya bölün.
1) 2,46'yı 2'ye bölün.
Önce tama, sonra onluğa ve son olarak yüzde birliğe böldük.
2) 32,46'yı 3'e bölün.
32,46: 3 = 10,82.
3 onluğu 3'e böldük, sonra 2 birimi 3'e bölmeye başladık; Bölenin (2) birim sayısı bölenden (3) küçük olduğundan bölüme 0 koymak zorunda kaldık; ayrıca kalanın onda dördünü aldık ve onda 24'ü 3'e böldük; bölümden 8 onda birini aldı ve sonunda yüzde 6'sını böldü.
3) 1,2345'i 5'e bölün.
1,2345: 5 = 0,2469.
Burada bölümde ilk sırada sıfır tam sayılar yer alır, çünkü bir tam sayı 5'e bölünemez.
4) 13,58'i 4'e bölün.
Bu örneğin özelliği, bölümde 9 yüzdelik aldığımızda 2 yüzdelik bir kalan bulduk, bu kalanı binde birliğe böldük, 20 binde birlik elde ettik ve bölmeyi tamamladık.
Kural. Ondalık kesirin bir tam sayıya bölünmesi, tam sayıların bölünmesiyle aynı şekilde gerçekleştirilir ve elde edilen kalanlar, daha küçük ve daha küçük ondalık kesirlere dönüştürülür; Kalan sıfır oluncaya kadar bölme işlemine devam edilir.
2. Bir ondalık sayıyı ondalık sayıya bölün.
1) 2,46'yı 0,2'ye bölün.
Ondalık kesri bir tam sayıya nasıl böleceğimizi zaten biliyoruz. Düşünelim, bu yeni bölünme durumunu öncekine indirgemek mümkün mü? Bir zamanlar, bölümün dikkat çekici özelliğini düşündük; bu, bölünen ve bölenin aynı anda aynı sayıda artırılması veya azaltılması durumunda değişmeden kalması gerçeğinden oluşur. Bize verilen sayıları bölen tam sayı olsaydı kolaylıkla bölebilirdik. Bunu yapmak için 10 kat artırmak yeterlidir ve doğru oranı elde etmek için temettüyü aynı miktarda yani 10 kat artırmak gerekir. Daha sonra bu sayıların bölümü aşağıdaki sayıların bölümü ile değiştirilecektir:
Üstelik artık ayrıntılarda herhangi bir değişiklik yapılmasına gerek kalmayacak.
Bu bölmeyi yapalım:
Yani 2,46: 0,2 = 12,3.
2) 1,25'i 1,6'ya bölün.
Böleni (1,6) 10 kat arttırıyoruz; bölümün değişmemesi için temettüyü 10 kat arttırıyoruz; 12 tam sayı 16'ya bölünemediği için bölüme 0 yazıp 125'i 10'a bölüp 16'ya bölüyoruz, bölümden 7 onda birini, kalan 13'ü alıyoruz. 13 onda birini sıfır atayarak yüzde birlere bölüyoruz ve 130 yüzde birini 16'ya bölüyoruz, vb. Lütfen aşağıdakilere dikkat edin:
a) Belirli bir tamsayı olmadığında, onların yerine sıfır tamsayı yazılır;
b) kalana bölünen rakam alındıktan sonra bölene bölünemeyen bir sayı elde edilirse bölüme sıfır yazılır;
c) temettü payının son rakamı çıkarıldıktan sonra bölme işlemi bitmezse, kalan kısma sıfırlar eklenerek bölme işlemine devam edilir;
d) eğer temettü bir tam sayı ise, o zaman ondalık kesre bölünürken sıfır eklenerek arttırılır.
Bu nedenle, bir sayıyı ondalık kesre bölmek için, bölendeki virgülü bırakmanız ve ardından içindeki virgül bırakılırken bölenin arttığı kadar böleni artırmanız ve ardından bölmeyi şu şekilde yapmanız gerekir: ondalık kesri bir tam sayıya bölme kuralı.
§ 112. Yaklaşık bölümler.
Önceki paragrafta ondalık kesirlerin bölünmesine baktık ve çözdüğümüz tüm örneklerde bölme işlemi tamamlandı, yani tam bir bölüm elde edildi. Ancak çoğu durumda bölmeye ne kadar devam edersek edelim kesin bir bölüm elde edilemez. İşte böyle bir durum: 53'ü 101'e bölün.
Bölümde zaten beş rakamı aldık, ancak bölme henüz sona ermedi ve biteceğine dair bir umut da yok, çünkü geri kalanında daha önce karşılaştığımız sayılara sahip olmaya başlıyoruz. Bölümde sayılar da tekrarlanacaktır: 7 sayısından sonra 5 sayısının, ardından 2 vb.'nin sonsuza kadar görüneceği açıktır. Bu gibi durumlarda bölme işlemi kesintiye uğrar ve bölümün ilk birkaç rakamıyla sınırlıdır. Bu bölüme denir yakın olanlar. Bölme işleminin nasıl yapıldığını örneklerle göstereceğiz.
25'i 3'e bölmek gerekli olsun. Açıkçası, böyle bir bölmeden tam sayı veya ondalık kesir olarak ifade edilen tam bir bölüm elde edilemez. Bu nedenle yaklaşık bir bölüm arayacağız:
25: 3 = 8 ve kalan 1
Yaklaşık bölüm 8'dir; elbette tam bölümden küçüktür, çünkü 1 geri kalanı vardır. Kesin bölümü elde etmek için, 1'e eşit olan kalanı 3'e bölerek elde edilen kesri, bulunan yaklaşık bölüme eklemeniz gerekir; , 8'e kadar; bu 1/3'lük bir kesir olacak. Bu, tam bölümün 8 1/3 karışık sayı olarak ifade edileceği anlamına gelir. 1/3 uygun kesir yani kesir olduğundan, birden az, ardından onu atarak izin vereceğiz hata, Hangi birden az. Bölüm 8 olacak dezavantajlı birliğe kadar olan yaklaşık bölüm. Bölümde 8 yerine 9 alırsak, birimin tamamını değil 2/3'ünü ekleyeceğimiz için birden küçük bir hataya da izin vermiş oluruz. Böyle özel bir vasiyet fazla olanın yaklaşık bölümü.
Şimdi başka bir örnek verelim. Diyelim ki 27'yi 8'e bölmemiz gerekiyor. Burada tam sayı olarak ifade edilen bir bölüm elde edemeyeceğimiz için yaklaşık bir bölüm arayacağız:
27: 8 = 3 ve kalan 3.
Burada hata 3/8'e eşittir, birden küçüktür, yani yaklaşık bölüm (3) dezavantajlı bir şekilde doğru bulunmuştur. Bölme işlemine devam edelim: kalan 3'ü onluğa bölersek 30 onluk elde ederiz; bunları 8'e bölün.
Bölümde onda biri yerine 3, geri kalanda da onda 6 aldık. Eğer kendimizi 3,3 sayısıyla sınırlandırıp geri kalan 6'yı atarsak, onda birinden daha az bir hataya izin vermiş oluruz. Neden? Çünkü 3,3'e 6'nın 8'e bölünmesi sonucunu eklediğimizde tam oran elde edilecektir; bu bölme 6/80 sonucunu verecektir ki bu da onda birden azdır. (Kontrol edin!) Dolayısıyla bölümde kendimizi onda birlerle sınırlandırırsak bölümü bulduğumuzu söyleyebiliriz. onda birine kadar doğru(bir dezavantajla).
Başka bir ondalık basamak bulmak için bölme işlemine devam edelim. Bunu yapmak için onda biri 6'yı yüzlüğe bölüyoruz ve 60 yüzde biri elde ediyoruz; bunları 8'e bölün.
Üçüncü sırada yer alan bölümde ise 7, geri kalan yüzde 4 çıktı; bunları atarsak yüzde birden daha az bir hataya izin vereceğiz, çünkü yüzde 4'ün 8'e bölümü yüzde birden küçüktür. Bu gibi durumlarda bölümün bulunduğunu söylüyorlar yüzde birine kadar doğru(bir dezavantajla).
Şimdi baktığımız örnekte, tam bölümün ondalık kesir olarak ifade edilmesini sağlayabiliriz. Bunun için son kalan yüzde 4'ü binde birlere bölüp 8'e bölmek yeterlidir.
Ancak çoğu durumda kesin bir oran elde etmek mümkün değildir ve kişinin kendisini yaklaşık değerlerle sınırlaması gerekir. Şimdi bu örneğe bakacağız:
40: 7 = 5,71428571...
Sayının sonuna konulan noktalar bölmenin tamamlanmadığını yani eşitliğin yaklaşık olduğunu gösterir. Genellikle yaklaşık eşitlik şu şekilde yazılır:
40: 7 = 5,71428571.
Sekiz ondalık basamaklı bölümü aldık. Ancak bu kadar büyük bir doğruluk gerekmiyorsa, kendinizi bölümün yalnızca tamamıyla, yani 5 sayısıyla (daha kesin olarak 6) sınırlayabilirsiniz; daha fazla doğruluk için onda biri dikkate alınabilir ve bölüm 5,7'ye eşit olabilir; herhangi bir nedenle bu doğruluk yetersizse, yüzde birlerde durup 5,71 vb. Alabilirsiniz. Tek tek bölümleri yazalım ve isimlendirelim.
İlk yaklaşık bölüm bire kadar doğru 6.
İkinci » » » onda bire kadar 5.7.
Üçüncü » » » yüzüncüden 5,71'e kadar.
Dördüncü » » » binde bire kadar 5.714.
Bu nedenle, bazıları için doğru olan yaklaşık bir bölümü bulmak için, örneğin 3. ondalık basamak (yani binde bire kadar), bu işaret bulunur bulunmaz bölmeyi durdurun. Bu durumda § 40'ta belirtilen kuralı hatırlamanız gerekir.
§ 113. Yüzdelerle ilgili en basit problemler.
Ondalık sayıları öğrendikten sonra birkaç yüzde problemi daha çözeceğiz.
Bu problemler kesirler bölümünde çözdüğümüz problemlere benziyor; ama şimdi yüzde birleri ondalık kesirler biçiminde, yani açıkça belirlenmiş bir payda olmadan yazacağız.
Öncelikle sıradan bir kesirden paydası 100 olan bir ondalık sayıya kolayca geçebilmeniz gerekir. Bunu yapmak için payı paydaya bölmeniz gerekir:
Aşağıdaki tablo, % (yüzde) işaretli bir sayının, paydası 100 olan bir ondalık kesirle nasıl değiştirildiğini göstermektedir:
Şimdi birkaç sorunu ele alalım.
1. Verilen bir sayının yüzdesini bulmak.
Görev 1. Bir köyde sadece 1.600 kişi yaşıyor. Okul çağındaki çocukların sayısı toplam nüfusun %25'ini oluşturmaktadır. Bu köyde okul çağında kaç çocuk var?
Bu problemde 1.600'ün %25'ini veya 0,25'ini bulmanız gerekir. Sorun şu şekilde çarpılarak çözülür:
1.600 0,25 = 400 (çocuklar).
Bu nedenle 1.600'ün %25'i 400'dür.
Bu görevi net bir şekilde anlamak için her yüz nüfusa karşılık 25 okul çağındaki çocuğun bulunduğunu hatırlamakta fayda var. Dolayısıyla okul çağındaki tüm çocukların sayısını bulmak için önce 1.600 sayısında kaç yüz olduğunu bulabilir (16), daha sonra 25'i yüzler sayısıyla çarpabilirsiniz (25 x 16 = 400). Bu şekilde çözümün geçerliliğini kontrol edebilirsiniz.
Görev 2. Tasarruf bankaları mevduat sahiplerine yıllık yüzde 2 getiri sağlıyor. Bir mevduat sahibi kasaya koyarsa yılda ne kadar gelir elde edecek: a) 200 ruble? b) 500 ruble? c) 750 ruble? d) 1000 rub.?
Dört durumda da, sorunu çözmek için belirtilen tutarların 0,02'sini hesaplamanız gerekecektir, yani. bu sayıların her birinin 0,02 ile çarpılması gerekecektir. Hadi şunu yapalım:
a) 200 0,02 = 4 (ovmak),
b) 500 0,02 = 10 (ovmak),
c) 750 0,02 = 15 (ovmak),
d) 1.000 0,02 = 20 (rub.).
Bu durumların her biri aşağıdaki hususlarla doğrulanabilir. Tasarruf bankaları yatırımcılara %2 oranında, yani tasarruflara yatırılan tutarın 0,02'si oranında gelir sağlar. Miktar 100 ruble olsaydı, bunun 0,02'si 2 ruble olurdu. Bu, her yüzün yatırımcıya 2 ruble getireceği anlamına geliyor. gelir. Bu nedenle, ele alınan her durumda, belirli bir sayıda kaç yüz olduğunu bulmak ve 2 rubleyi bu yüz sayısıyla çarpmak yeterlidir. Örnek a) 2 yüz tane var, yani
2 2 = 4 (ovmak).
Örnek d) 10 yüz tane var, bu da şu anlama geliyor:
2 10 = 20 (ovmak).
2. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.
Görev 1. Okul baharda toplam kayıt sayısının %6'sını temsil eden 54 öğrenciyi mezun etti. Geçen öğretim yılında okulda kaç öğrenci vardı?
Öncelikle bu görevin anlamını açıklayalım. Okul 54 öğrenci mezun etmiştir; bu da toplam öğrenci sayısının %6'sına, yani okuldaki tüm öğrencilerin yüzde 6'sına (0,06) denk gelmektedir. Bu, öğrencilerin (54) sayısı ve kesir (0,06) ile ifade edilen kısmını bildiğimiz ve bu kesirden tam sayıyı bulmamız gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla önümüzde bir sayıyı kesirinden bulmak gibi sıradan bir görev var (§90, paragraf 6). Bu tür problemler bölme yoluyla çözülür:
Bu, okulda sadece 900 öğrencinin olduğu anlamına geliyor.
Bu tür problemleri ters problemi çözerek kontrol etmek faydalıdır, yani. problemi çözdükten sonra, en azından kafanızda, birinci türden bir problemi çözmelisiniz (belirli bir sayının yüzdesini bulma): bulunan sayıyı alın ( 900) verildiği gibi ve çözülen problemde belirtilen yüzdeyi bulun, yani:
900 0,06 = 54.
Görev 2. Aile ay içinde yemeğe 780 ruble harcıyor, bu da babanın aylık kazancının %65'ine tekabül ediyor. Aylık gelirini belirleyin.
Bu görev öncekiyle aynı anlama sahiptir. Aylık kazancın ruble (780 ruble) cinsinden ifade edilen bir kısmını verir ve bu kısmın toplam kazancın %65'i yani 0,65'i olduğunu belirtir. Ve aradığınız şey tüm kazançlardır:
780: 0,65 = 1 200.
Bu nedenle gerekli gelir 1200 ruble.
3. Sayıların yüzdesini bulma.
Görev 1. Okul kütüphanesinde yalnızca 6.000 kitap bulunmaktadır. Bunların arasında matematikle ilgili 1.200 kitap var. Kütüphanedeki toplam kitap sayısının yüzde kaçı matematik kitaplarından oluşuyor?
Bu tür problemleri zaten ele aldık (§97) ve iki sayının yüzdesini hesaplamak için bu sayıların oranını bulup 100 ile çarpmanız gerektiği sonucuna vardık.
Problemimizde 1.200 ve 6.000 sayılarının yüzdelik oranını bulmamız gerekiyor.
Önce oranlarını bulalım, sonra bunu 100 ile çarpalım:
Böylece 1.200 ve 6.000 sayılarının yüzdesi 20 olur. Yani matematik kitapları tüm kitapların toplam sayısının %20'sini oluşturur.
Kontrol etmek için ters problemi çözelim: 6.000'in %20'sini bulalım:
6 000 0,2 = 1 200.
Görev 2. Tesisin 200 ton kömür alması gerekiyor. Şimdiden 80 ton teslim edildi. Fabrikaya kömürün yüzde kaçı teslim edildi?
Bu problem, bir sayının (80) diğerinin (200) yüzde kaçı olduğunu sorar. Bu sayıların oranı 80/200 olacaktır. Bunu 100 ile çarpalım:
Bu da kömürün yüzde 40'ının teslim edildiği anlamına geliyor.
Ondalık kesirle bölme, doğal sayıyla bölmeye indirgenir.
Bir sayıyı ondalık kesre bölme kuralı
Bir sayıyı ondalık kesirle bölmek için, hem bölen hem de bölendeki virgülü, bölende virgülden sonraki rakam sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir. Daha sonra doğal sayıya bölün.
Örnekler.
Ondalık sayıya bölün:
Ondalık sayıya bölmek için, hem bölünen hem de bölendeki ondalık noktayı, bölendeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar, yani bir basamak kadar sağa kaydırmanız gerekir. Şunu elde ederiz: 35.1: 1.8 = 351: 18. Şimdi bölmeyi köşeyle yapıyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Ondalık kesirleri bölmek için, hem bölünen hem de bölende virgülünü tek bir sağa kaydırıyoruz: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Şimdi bir doğal sayı gerçekleştiriyoruz. Sonuç: 14,76: 3,6 = 4,1.
Bir doğal sayıyı ondalık kesre bölmek için hem böleni hem de böleni, bölende virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir. Bu durumda bölene virgül yazılmadığından eksik karakter sayısını sıfırlarla dolduruyoruz: 70: 1,75 = 7000: 175. Ortaya çıkan doğal sayıları bir köşeyle bölün: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .
4) 0,1218: 0,058
Bir ondalık kesri diğerine bölmek için, hem bölünen hem de bölendeki virgülünü, bölende virgülden sonraki basamak sayısı kadar, yani üç basamak kadar sağa doğru hareket ettirin. Böylece, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Ondalık kesirle bölmenin yerini doğal sayıyla bölme aldı. Bir köşeyi paylaşıyoruz. Elimizde: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
Bu ışıkta ondalık sayıları bölme örneklerine bakalım.
Örnek.
Ondalık kesir 1,2'yi ondalık kesir 0,48'e bölün.
Çözüm.
Cevap:
1,2:0,48=2,5 .
Örnek.
Periyodik ondalık kesir 0.(504)'ü ondalık kesir 0,56'ya bölün.
Çözüm.
Periyodik bir ondalık kesiri sıradan bir kesire dönüştürelim: . Ayrıca son ondalık kesir olan 0,56'yı sıradan bir kesre dönüştürürüz, 0,56 = 56/100 elde ederiz. Artık orijinal ondalık kesirleri bölmekten normal kesirleri bölmeye geçebilir ve hesaplamaları tamamlayabiliriz: .
Ortaya çıkan sıradan kesri, payı paydaya bir sütunla bölerek ondalık kesire dönüştürelim:
Cevap:
0,(504):0,56=0,(900) .
Sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirleri bölme ilkesi periyodik olmayan ondalık kesirler sıradan kesirlere dönüştürülemediğinden, sonlu ve periyodik ondalık kesirleri bölme ilkesinden farklıdır. Sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirlerin bölünmesi, sonlu ondalık kesirlerin bölünmesine indirgenir; sayıları yuvarlama belli bir seviyeye kadar. Ayrıca, bölmenin yapıldığı sayılardan biri sonlu veya periyodik bir ondalık kesir ise, o zaman periyodik olmayan ondalık kesirle aynı rakama yuvarlanır.
Örnek.
Sonsuz periyodik olmayan ondalık sayıyı 0,779... sonlu ondalık sayı 1,5602'ye bölün.
Çözüm.
Periyodik olmayan sonsuz bir ondalık sayıyı bölmekten sonlu ondalık sayıları bölmeye geçebilmeniz için öncelikle ondalık sayıları yuvarlamanız gerekir. En yakın yüzlüğe yuvarlayabiliriz: 0,779…≈0,78 ve 1,5602≈1,56. Böylece, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Cevap:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Doğal bir sayıyı ondalık kesre bölmek (ve bunun tersi)
Bir doğal sayıyı ondalık kesre bölme ve ondalık kesri bir doğal sayıya bölme yaklaşımının özü, ondalık kesirleri bölmenin özünden farklı değildir. Yani, sonlu ve periyodik kesirler sıradan kesirler ile değiştirilir ve sonsuz periyodik olmayan kesirler yuvarlanır.
Örneklemek için, ondalık bir kesirin doğal bir sayıya bölünmesi örneğini düşünün.
Örnek.
Ondalık kesir 25,5'i doğal sayı 45'e bölün.
Çözüm.
25,5 ondalık kesirini 255/10=51/2 ortak kesiriyle değiştirerek bölme işlemi şuna indirgenir: bir kesri bir doğal sayıya bölmek: . Ondalık gösterimde elde edilen kesir 0,5(6) biçimindedir.
Cevap:
25,5:45=0,5(6) .
Ondalık kesri bir sütunla doğal bir sayıya bölmek
Sonlu ondalık kesirleri bir sütundaki doğal sayılara benzetmek suretiyle bölmek uygundur. doğal sayılar sütununa göre bölme. Bölme kuralını sunalım.
İle bir ondalık kesri bir sütun kullanarak bir doğal sayıya bölmek, gerekli:
- bölünen ondalık kesrin sağına birkaç rakam 0 ekleyin (bölme işlemi sırasında gerekirse istediğiniz sayıda sıfır ekleyebilirsiniz, ancak bu sıfırlara gerek olmayabilir);
- doğal sayılar sütununa göre tüm bölme kurallarına göre ondalık kesirin bir sütunu ile doğal bir sayıya göre bölme gerçekleştirin, ancak ondalık kesrin tüm kısmının bölünmesi tamamlandığında, o zaman bölüme koymanız gerekir virgül koyup bölmeye devam edin.
Hemen diyelim ki, sonlu bir ondalık kesirin doğal bir sayıya bölünmesi sonucunda ya sonlu bir ondalık kesir ya da sonsuz bir periyodik ondalık kesir elde edebilirsiniz. Nitekim bölünen kesrin 0 olmayan tüm basamaklarının bölünmesi tamamlandıktan sonra, ya kalan 0 olabilir ve son ondalık kesri elde ederiz, ya da kalanlar periyodik olarak tekrarlanmaya başlar ve bir sonuç elde ederiz. periyodik ondalık kesir.
Örnekleri çözerken, ondalık kesirleri bir sütundaki doğal sayılara bölmenin tüm inceliklerini anlayalım.
Örnek.
65.14 ondalık kesirini 4'e bölün.
Çözüm.
Ondalık kesri bir sütun kullanarak doğal bir sayıya bölelim. 65.14 kesirinin gösteriminde sağa birkaç sıfır ekleyelim ve 65.1400 eşit bir ondalık kesir elde edeceğiz (bkz. eşit ve eşit olmayan ondalık kesirler). Artık 65.1400 ondalık kesirinin tam sayı kısmını 4 doğal sayısına bir sütunla bölmeye başlayabilirsiniz: 
Bu, ondalık kesrin tam sayı kısmının bölünmesini tamamlar. Burada bölümde bir ondalık nokta koymanız ve bölmeye devam etmeniz gerekir: 
0 kalanını bulduk, bu aşamada sütuna bölme işlemi sona eriyor. Sonuç olarak 65.14:4=16.285 elde ederiz.
Cevap:
65,14:4=16,285 .
Örnek.
164,5'i 27'ye bölün.
Çözüm.
Ondalık kesri bir sütun kullanarak doğal bir sayıya bölelim. Parçanın tamamını böldükten sonra aşağıdaki resmi elde ederiz: 
Şimdi bölüme virgül koyup sütunla bölmeye devam ediyoruz: 
Artık 25, 7 ve 16 numaralı kalıntıların tekrarlanmaya başladığı, bölümde ise 9, 2 ve 5 rakamlarının tekrarlandığı açıkça görülüyor. Böylece, 164,5'i 27'ye bölmek bize periyodik ondalık sayıyı 6,0(925) verir.
Cevap:
164,5:27=6,0(925) .
Ondalık kesirlerin sütun bölümü
Ondalık kesirin ondalık kesirle bölünmesi, ondalık kesirin bir sütunla doğal bir sayıya bölünmesine indirgenebilir. Bunu yapmak için, bölenin bir doğal sayı haline gelmesi için, bölünen ve bölenin 10, 100 veya 1.000 vb. bir sayıyla çarpılması ve ardından bir sütunla bir doğal sayıya bölünmesi gerekir. Bunu bölme ve çarpma özelliklerinden dolayı yapabiliriz, çünkü a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) vb.
Başka bir deyişle, sondaki ondalık sayıyı sondaki ondalık sayıya bölmek, şunları yapmanız gerekir:
- payda ve bölende, virgülü bölendeki ondalık noktadan sonra mümkün olduğu kadar çok sağa hareket ettirin; eğer payda virgülü hareket ettirmek için yeterli işaret yoksa, gerekli sayıda işareti eklemeniz gerekir; sağa sıfırlar;
- Bundan sonra ondalık sütunla doğal sayıya bölün.
Bir örneği çözerken, bu ondalık kesre bölme kuralının uygulanmasını düşünün.
Örnek.
7,287 sütununu 2,1'e bölün.
Çözüm.
Bu ondalık kesirlerde virgülü bir basamak sağa kaydıralım; bu, ondalık kesir 7,287'yi ondalık kesir 2,1'e bölmekten, ondalık kesir 72,87'yi doğal sayı 21'e bölmemize izin verecektir. Sütunlara göre bölme işlemini yapalım: 
Cevap:
7,287:2,1=3,47 .
Örnek.
Ondalık sayı 16,3'ü ondalık sayı 0,021'e bölün.
Çözüm.
Bölen ve bölendeki virgülleri sağdaki üç yere taşıyın. Açıkçası, bölenin ondalık noktayı hareket ettirmek için yeterli rakamı yok, bu yüzden gerekli sayıda sıfırı sağa ekleyeceğiz. Şimdi 16300.0 kesirinin sütununu 21 doğal sayısına bölelim: 
Bu andan itibaren 4, 19, 1, 10, 16 ve 13 numaralı kalanlar tekrarlanmaya başlar, yani bölümdeki 1, 9, 0, 4, 7 ve 6 sayıları da tekrarlanacaktır. Sonuç olarak, periyodik ondalık kesir 776,(190476) elde ederiz.
Cevap:
16,3:0,021=776,(190476) .
Açıklanan kuralın, doğal bir sayıyı bir sütuna göre son ondalık kesre bölmenize izin verdiğini unutmayın.
Örnek.
Doğal sayı 3'ü ondalık kesir 5.4'e bölün.
Çözüm.
Ondalık virgülünü bir basamak sağa kaydırdıktan sonra 30,0 sayısını 54'e bölmeye ulaşırız. Sütunlara göre bölme işlemini yapalım: 
.
Bu kural sonsuz ondalık kesirleri 10, 100, ...'e bölerken de uygulanabilir. Örneğin, 3,(56):1,000=0,003(56) ve 593,374…:100=5,93374… .
Ondalık sayıları 0,1, 0,01, 0,001 vb.'ye bölme.
0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 vb. olduğundan, ortak bir kesirle bölme kuralından ondalık kesirin 0,1, 0,01, 0,001 vb. ile bölünmesi sonucu çıkar. belirli bir ondalık sayıyı 10, 100, 1000 vb. ile çarpmakla aynıdır. sırasıyla.
Yani bir ondalık kesri 0,1, 0,01, ...'e bölmek için virgülünü 1, 2, 3, ... hane sağa kaydırmanız gerekir ve ondalık kesirdeki rakamlar yeterli değilse ondalık noktayı taşımak için gerekli sayıyı sağdaki sıfırlara eklemeniz gerekir.
Örneğin, 5,739:0,1=57,39 ve 0,21:0,00001=21,000.
Sonsuz ondalık kesirleri 0,1, 0,01, 0,001 vb.'ye bölerken aynı kural uygulanabilir. Bu durumda bölme sonucu elde edilen kesrin periyodunda hata yapmamak için periyodik kesirleri bölerken çok dikkatli olmalısınız. Örneğin, 7,5(716):0,01=757,(167), çünkü ondalık kesirdeki virgül 7,5716716716... iki basamak sağa kaydırıldıktan sonra 757,167167 girişine sahip oluruz.... Sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirlerle her şey daha basittir: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Bir kesri veya karışık sayıyı ondalık sayıya bölmek veya tam tersi
Ortak bir kesri veya karışık sayıyı sonlu veya periyodik bir ondalık kesirle bölmenin yanı sıra sonlu veya periyodik bir ondalık kesiri ortak bir kesir veya karışık sayıyla bölmek, ortak kesirleri bölmeye gelir. Bunu yapmak için, ondalık kesirlerin yerini karşılık gelen sıradan kesirler alır ve karışık sayı, uygunsuz bir kesir olarak temsil edilir.
Sonsuz, periyodik olmayan bir ondalık kesiri ortak bir kesir veya karışık sayıya bölerken (veya tersi), ondalık kesirleri bölmeye devam etmeli, ortak kesir veya karışık sayıyı karşılık gelen ondalık kesirle değiştirmelisiniz.
Referanslar.
- Matematik: ders kitabı 5. sınıf için. genel eğitim kurumlar / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya. Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
Birçok öğrenci liseye geldiklerinde uzun bölme işleminin nasıl yapılacağını unuturlar. Bilgisayarlar, hesap makineleri, cep telefonları ve diğer cihazlar hayatımızın o kadar ayrılmaz bir parçası haline geldi ki, temel matematik işlemleri bazen bizi şaşkına çeviriyor. Peki insanlar birkaç on yıl önce tüm bu faydalar olmadan nasıl başa çıkıyorlardı? Öncelikle bölme işlemi için gerekli olan temel matematiksel kavramları hatırlamanız gerekir. Yani temettü, bölünecek olan sayıdır. Bölen – bölünecek sayı. Sonuç olarak ortaya çıkan şeye bölüm denir. Bir çizgiye bölmek için iki noktaya benzer bir sembol kullanın - “:” ve bir sütuna bölerken “∟” simgesini kullanın; buna köşe de denir.
Herhangi bir bölümün çarpma yoluyla kontrol edilebileceğini de hatırlamakta fayda var. Bölme sonucunu kontrol etmek için bunu bölenle çarpmanız yeterlidir; sonuç, bölünene karşılık gelen bir sayı olmalıdır (a: b=c; dolayısıyla c*b=a). Şimdi ondalık kesrin ne olduğu hakkında. Birimin 0,0, 1000 vb.'ye bölünmesiyle ondalık kesir elde edilir. Bu sayıların kaydedilmesi ve bunlarla yapılan matematiksel işlemler tam sayılarla aynıdır. Ondalık sayıları bölerken paydanın nerede olduğunu hatırlamaya gerek yoktur. Numarayı yazarken her şey netleşiyor. Önce tam sayı yazılır, virgülden sonra onda biri, yüzde biri, binde biri yazılır. Ondalık noktadan sonraki ilk rakam onlarcaya, ikincisi yüzlere, üçüncüsü binlere vb. karşılık gelir.
Her öğrenci ondalık sayıları ondalık sayılara nasıl böleceğini bilmelidir. Hem bölen hem de bölen aynı sayıyla çarpılırsa cevap, yani bölüm değişmeyecektir. Ondalık kesir 0,0, 1000 vb. ile çarpılırsa, tam sayıdan sonraki virgül konumu değiştirecektir - çarpılan sayıda sıfır olduğu için aynı sayıda basamakla sağa doğru hareket edecektir. Örneğin bir ondalık sayı 10 ile çarpıldığında virgül bir sayı sağa doğru hareket eder. 2,9: 6,7 - hem böleni hem de bölüneni 100 ile çarparız, 6,9: 3687 elde ederiz. En az bir sayının (bölen veya bölen) virgülden sonra rakamı kalmayacak şekilde çarpmak en iyisidir. yani en az bir sayıyı tamsayı yapın. Bir tamsayıdan sonra virgüllerin taşınmasına ilişkin birkaç örnek daha: 9,2: 1,5 = 2492: 2,5; 5.4:4.8 = 5344:74598.
Dikkat, ondalık kesrin sağ tarafına sıfır eklenirse değeri değişmez, örneğin 3,8 = 3,0. Ayrıca sayının en sonundaki sıfırlar sağdan kaldırılırsa kesrin değeri değişmeyecektir: 3,0 = 3,3. Ancak - 3.3 sayısının ortasındaki sıfırları kaldıramazsınız. Ondalık kesir bir sütundaki doğal sayıya nasıl bölünür? Bir sütundaki ondalık kesri doğal bir sayıya bölmek için, köşe ile uygun gösterimi yapmanız, bölmeniz gerekir. Bölümde tam sayının bölünmesi bittiğinde virgül konulmalıdır. Örneğin, 5,4|2 14 7,2 18 18 0 4 4 0Eğer bölendeki sayının ilk rakamı bölenden küçükse, ilk işlem mümkün olana kadar sonraki rakamlar kullanılır.
Bu durumda, temettü payının ilk rakamı 1'dir, 2'ye bölünemez, bu nedenle bölme için aynı anda 1 ve 5 olmak üzere iki rakamı kullanırız: 15'e 2, kalanla bölünür, bölüm olarak ortaya çıkar. 7, kalan 1 kalıyor. Sonra bölünenin bir sonraki basamağı olan 8'i kullanıyoruz. Bunu 1'e indirip 18'i 2'ye bölüyoruz. Bölüme 9 sayısını yazıyoruz. Geri kalanda hiçbir şey kalmıyor, yani 0 yazıyoruz. Kalan 4 sayısını aşağıya indirip bölene yani 2'ye bölüyoruz. Bölüme 2 yazıyoruz ve kalan yine 0 oluyor. Bu bölmenin sonucu 7.2 sayısı oluyor. Özel denir. Birkaç püf noktası biliyorsanız, bir ondalık sayının ondalık sayıya nasıl bölüneceği sorusunu çözmek oldukça kolaydır. Ondalık sayıları zihinsel olarak bölmek bazen oldukça zordur, bu nedenle işlemi kolaylaştırmak için uzun bölme kullanılır.
Bu bölme işleminde, ondalık kesri bir tamsayıya bölme veya bir dizeye bölme işleminde uygulanan kuralların tamamı geçerlidir. Çizginin sol tarafına böleni yazıp “köşe” sembolünü koyup böleni yazıp bölmeye başlıyorlar. Bölmeyi kolaylaştırmak ve bir tam sayıdan sonra virgülü uygun bir yere taşımak için onlarca, yüzler veya binlerle çarpabilirsiniz. Örneğin 9,2: 1,5 = 24920: 125. Dikkat, her iki kesir de 0,0 yani 1000 ile çarpılır. Bölen 10 ile çarpılırsa bölen de 10 ile çarpılır. Bu örnekte hem bölünen hem de bölen 100 ile çarpılmıştır. Daha sonra hesaplamayı ondalık sayıyı bölme örneğinde gösterildiği gibi yapın. doğal sayıya göre kesir. 0,1'e bölmek gerekirse; 0,1; 0,1 vb. hem böleni hem de böleni 0,0, 1000 ile çarpmak gerekir.
Çoğu zaman, bir bölüme bölünürken, yani cevapta sonsuz kesirler elde edilir. Bu durumda sayıyı onluğa, yüzde birliğe veya binde birliğe yuvarlamak gerekir. Bu durumda kural geçerlidir: Cevabın yuvarlanması gereken sayıdan sonra 5'ten küçük veya ona eşitse cevap aşağı yuvarlanır, ancak 5'ten büyükse yukarı yuvarlanır. Örneğin 5,5 sonucunu binde birine yuvarlamak istiyorsunuz. Bu, virgülden sonraki cevabın 6 sayısıyla bitmesi gerektiği anlamına gelir. 6'dan sonra 9 olur, bu da cevabı yukarı yuvarlayıp 5,7 elde ettiğimiz anlamına gelir. Ancak 5.5 cevabının binde bire değil onda birine yuvarlanması gerekiyorsa, cevap şu şekilde görünecektir - 5.2. Bu durumda 2, kendisinden sonra 3 geldiği ve 5'ten küçük olduğu için yukarıya yuvarlanmamıştır.