Ders. Türev. Türevin geometrik ve mekanik anlamı
Eğer bu limit mevcutsa fonksiyona bir noktada türevlenebilir denir. Bir fonksiyonun türevi (formül 2) ile gösterilir.
- Türevin geometrik anlamı. Fonksiyonun grafiğine bakalım. Şekil 1'den, fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki A ve B noktası için formül 3'ün yazılabildiği açıktır. AB sekantının eğim açısını içerir.
Dolayısıyla fark oranı sekantın eğimine eşittir. A noktasını sabitleyip B noktasını ona doğru hareket ettirirseniz, sınırsız olarak azalır ve 0'a yaklaşır ve AB sekantı AC teğetine yaklaşır. Dolayısıyla fark oranının limiti, A noktasındaki teğetin eğimine eşittir. Bu da şu sonuca varır.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun grafiğinin o noktadaki teğetinin eğimidir. Türevin geometrik anlamı budur.
- Teğet denklem . Fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet denklemini türetelim. Genel durumda, açısal katsayılı bir düz çizginin denklemi şu şekildedir: . B'yi bulmak için teğetin A noktasından geçmesi gerçeğinden yararlanırız: . Şöyle: . Bu ifadeyi b yerine değiştirerek teğet denklemi elde ederiz (formül 4).
Türevin geometrik değerini bulmak için y = f(x) fonksiyonunun grafiğini düşünün. Koordinatları (x, y) olan rastgele bir M noktası ve ona yakın bir N noktası (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) alalım. $\overline(M_(1) M)$ ve $\overline(N_(1) N)$ koordinatlarını ve M noktasından OX eksenine paralel düz bir çizgi çizelim.
$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ oranı, MN sekantının OX ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu $\alpha $1 açısının tanjantıdır. $\Delta $x sıfıra yaklaştıkça, N noktası M'ye yaklaşacak ve MN sekantının sınırlayıcı konumu, M noktasındaki eğriye MT teğeti olacaktır. Dolayısıyla, f`(x) türevi teğete eşittir M (x, y) noktasındaki eğriye teğetin OX eksenine pozitif yönde oluşturduğu $\alpha $ açısının - teğetin açısal katsayısı (Şekil 1).
Şekil 1. Fonksiyon grafiği
Formül (1)'i kullanarak değerleri hesaplarken işaretlerde hata yapmamak önemlidir çünkü artış negatif de olabilir.
Bir eğri üzerinde bulunan bir N noktası herhangi bir taraftan M'ye doğru yönelebilir. Dolayısıyla, Şekil 1'de teğete ters yön verilirse, $\alpha $ açısı $\pi $ miktarı kadar değişecektir ve bu, açının tanjantını ve buna bağlı olarak açısal katsayıyı önemli ölçüde etkileyecektir.
Çözüm
Buradan bir türevin varlığının y = f(x) eğrisine bir teğetin varlığıyla ilişkili olduğu ve açısal katsayının - tg $\alpha $ = f`(x) sonlu olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle tanjantın OY eksenine paralel olmaması gerekir, aksi takdirde $\alpha $ = $\pi $/2 olur ve açının tanjantı sonsuz olur.
Bazı noktalarda sürekli bir eğrinin OY eksenine teğeti olmayabilir veya paralel bir teğeti olabilir (Şekil 2). O halde fonksiyonun bu değerlerde türevi olamaz. Fonksiyon eğrisi üzerinde herhangi bir sayıda benzer nokta olabilir.
Şekil 2. Eğrinin istisnai noktaları
Şekil 2'yi düşünün. $\Delta $x'in negatif veya pozitif değerlerden sıfıra yöneldiğini varsayalım:
\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]
Bu durumda (1) bağıntılarının bir nihai sınırı varsa, bu şu şekilde gösterilir:
İlk durumda türev solda, ikinci durumda türev sağdadır.
Bir limitin varlığı sol ve sağ türevlerin denkliğini ve eşitliğini gösterir:
Sol ve sağ türevler eşit değilse, belirli bir noktada OY'ye paralel olmayan teğetler vardır (M1 noktası, Şekil 2). M2, M3 noktalarında ilişkiler (1) sonsuza doğru yönelmektedir.
M2'nin solunda yer alan N noktaları için, $\Delta $x $
$M_2$, $\Delta $x $>$ 0'ın sağında, ancak ifade aynı zamanda f(x + $\Delta $x) -- f(x) $'dır
Soldaki $M_3$ noktası için, $\Delta $x $$ 0 ve f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, yani. hem sol hem de sağdaki ifadeler (1) pozitiftir ve $\Delta $x -0 ve +0'a yaklaşırken +$\infty $ eğilimindedir.
(x=c) doğrusu üzerinde belirli noktalarda türevin bulunmaması durumu Şekil 3’te gösterilmektedir.
Şekil 3. Türev yok
Örnek 1
Şekil 4, fonksiyonun grafiğini ve $x_0$ apsis noktasındaki grafiğe teğetini göstermektedir. Fonksiyonun apsisteki türevinin değerini bulun.
Çözüm. Bir noktadaki türev, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranına eşittir. Teğet üzerinde koordinatları tam sayı olan iki nokta seçelim. Örneğin bunlar F (-3,2) ve C (-2,4) noktaları olsun.
Türev(bir noktada işlevler) - temel kavram diferansiyel hesap, fonksiyonun değişim oranını karakterize eden (belirli bir noktada). Olarak tanımlandı sınır bir fonksiyonun artışı ile artışı arasındaki ilişki argüman argüman artışı eğiliminde olduğunda sıfır eğer böyle bir sınır mevcutsa. Sonlu bir türevi olan (bir noktada) bir fonksiyona diferansiyellenebilir (o noktada) denir.
Türevi hesaplama işlemine denir farklılaşma. Ters işlem - bulma antiderivatif - entegrasyon.
Bir fonksiyon bir grafikle veriliyorsa, her noktadaki türevi, fonksiyonun grafiğine olan teğetinin tanjantına eşittir. Ve eğer fonksiyon bir formülle verilmişse, türev tablosu ve türev alma kuralları, yani türevi bulma kuralları size yardımcı olacaktır.
4. Karmaşık ve ters bir fonksiyonun türevi.
Şimdi verilsin karmaşık fonksiyon , yani değişken bir değişkenin fonksiyonudur ve değişken de bağımsız bir değişkenin fonksiyonudur.
Teorem . Eğer Ve türevlenebilir argümanlarının fonksiyonları, ardından karmaşık bir fonksiyon türevlenebilir bir fonksiyondur ve türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir:
.
İfade, bariz eşitlikten kolayca elde edilir 
(ve için geçerlidir), (diferansiyellenebilir fonksiyonun sürekliliği nedeniyle anlamına gelen) noktasındaki limite geçerek.
Türevi düşünmeye devam edelim ters fonksiyon.
Bir kümedeki türevlenebilir fonksiyonun bir değerler kümesi olsun ve kümede olsun ters fonksiyon .
Teorem
. Eğer bu noktada
türev
, o zaman ters fonksiyonun türevi
bu noktada
vardır ve bu fonksiyonun türevinin tersine eşittir: 
, veya
Bu formül geometrik değerlendirmelerden kolaylıkla elde edilebilir.
T 
Tıpkı teğet doğrunun eksene olan eğim açısının tanjantı olduğu gibi, yani aynı teğetin (aynı doğrunun) aynı noktada eksene olan eğim açısının tanjantı vardır.
Eğer keskin iseler, kör iseler o zaman 
.
Her iki durumda da 
. Bu eşitlik eşitliğe eşdeğerdir
5. Türevin geometrik ve fiziksel anlamı.
1) Türevin fiziksel anlamı.
Eğer y = f(x) fonksiyonu ve onun x argümanı fiziksel büyüklükler ise, o zaman türev, bir noktada y değişkeninin x değişkenine göre değişim oranıdır. Örneğin, eğer S = S(t), t zamanındaki bir noktanın kat ettiği mesafe ise, bunun türevi, o andaki hızdır. Eğer q = q(t), t zamanında iletkenin kesitinden akan elektrik miktarı ise, o zaman elektrik miktarındaki değişimin oranıdır, yani; Belirli bir andaki mevcut güç.
2) Türevin geometrik anlamı.
Bir eğri olsun, eğri üzerinde bir nokta olsun.
En az iki noktayı kesen herhangi bir doğruya sekant adı verilir.
Bir noktadaki bir eğriye teğet, eğer nokta eğri boyunca hareket ederken eğilim gösteriyorsa, bir sekantın sınırlayıcı konumudur.
Tanımdan açıktır ki, eğer bir noktada bir eğriye teğet varsa, o zaman bu tek noktadır.
y = f(x) eğrisini (yani y = f(x) fonksiyonunun grafiğini) düşünün. Gelin bu noktada 
dikey olmayan bir teğeti vardır. Denklemi: (bir noktadan geçen doğrunun denklemi) 
ve eğimi k) olan.
Açısal katsayı tanımına göre, düz çizginin eksene olan eğim açısı nerededir.
Sekantın eksene olan eğim açısı olsun. Teğet olduğundan ne zaman
Buradan,
Böylece, y = f(x) fonksiyonunun grafiğine noktada teğetin açısal katsayısı olduğunu bulduk. 
(bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamı). Bu nedenle, y = f(x) noktasındaki eğriye teğet denklemi 
şeklinde yazılabilir
GBPOU “St. Petersburg 4 Nolu Pedagoji Koleji”nde bir öğretmenin açık dersinin özeti
Martuseviç Tatyana Olegovna
Tarih: 29.12.2014.
Konu: Türevlerin geometrik anlamı.
Ders türü: yeni materyal öğrenmek.
Öğretim yöntemleri: görsel, kısmen arama.
Dersin amacı.
Bir fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet kavramını tanıtın, türevin geometrik anlamını öğrenin, teğet denklemini türetin ve nasıl bulunacağını öğretin.
Eğitim hedefleri:
Türevin geometrik anlamını anlamak; teğet denklemin türetilmesi; temel sorunları çözmeyi öğrenin;
“Türevin tanımı” konusundaki materyalin tekrarını sağlamak;
bilgi ve becerilerin kontrolü (öz kontrol) için koşullar yaratın.
Gelişimsel görevler:
karşılaştırma, genelleme ve ana şeyi vurgulama tekniklerini uygulama becerilerinin oluşumunu teşvik etmek;
matematiksel ufukların, düşünme ve konuşmanın, dikkat ve hafızanın gelişimini sürdürmek.
Eğitimsel görevler:
matematiğe olan ilgiyi teşvik etmek;
aktivite eğitimi, hareketlilik, iletişim becerileri.
Ders türü – BİT'i kullanan birleşik bir ders.
Teçhizat – multimedya kurulumu, sunumMicrosoftGüçNokta.
Ders aşaması
Zaman
Öğretmen faaliyetleri
Öğrenci etkinliği
1. Organizasyon anı.
Dersin konusunu ve amacını belirtin.
Konu: Türevlerin geometrik anlamı.
Dersin amacı.
Bir fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet kavramını tanıtın, türevin geometrik anlamını öğrenin, teğet denklemini türetin ve nasıl bulunacağını öğretin.
Öğrencileri sınıfta çalışmaya hazırlamak.
Sınıfta çalışmaya hazırlık.
Dersin konusunu ve amacını anlamak.
Not alma.
2. Temel bilgilerin tekrarlanması ve güncellenmesi yoluyla yeni materyal öğrenmeye hazırlık.
Temel bilgilerin tekrarlanması ve güncellenmesinin organizasyonu: türevin tanımı ve fiziksel anlamının formülasyonu.
Bir türevin tanımını formüle etmek ve fiziksel anlamını formüle etmek. Temel bilgilerin tekrarlanması, güncellenmesi ve pekiştirilmesi.
Tekrarın organizasyonu ve bir kuvvet fonksiyonunun ve temel fonksiyonların türevini bulma becerisinin geliştirilmesi.
Formülleri kullanarak bu fonksiyonların türevini bulma.
Doğrusal bir fonksiyonun özelliklerinin tekrarı.
Tekrarlama, çizimlerin algılanması ve öğretmenin ifadeleri
3. Yeni materyalle çalışmak: açıklama.
Fonksiyon artışı ile argüman artışı arasındaki ilişkinin anlamının açıklaması
Türevin geometrik anlamının açıklanması.
Görüntüler ve görsel yardımcılar kullanılarak sözlü açıklamalar yoluyla yeni materyalin tanıtılması: animasyonlu multimedya sunumu.
Açıklamanın algılanması, anlaşılması, öğretmenin sorularına cevap verilmesi.
Zorluk durumunda öğretmene bir soru formüle etmek.
Yeni bilginin algılanması, temel anlaşılması ve kavranması.
Zorluk durumunda öğretmene soruların formülasyonu.
Bir not oluşturma.
Türevin geometrik anlamının formülasyonu.
Üç vakanın değerlendirilmesi.
Not almak, çizim yapmak.
4. Yeni malzemeyle çalışmak.
Çalışılan materyalin temel olarak anlaşılması ve uygulanması, pekiştirilmesi.
Türev hangi noktalarda pozitiftir?
Negatif?
Sıfıra eşit mi?
Soruları bir programa göre yanıtlamak için bir algoritma bulma eğitimi.
Bir problemi çözmek için yeni bilgileri anlamak, anlamlandırmak ve uygulamak.
5. Çalışılan materyalin temel olarak anlaşılması ve uygulanması, pekiştirilmesi.
Görev koşullarının mesajı.
Görev koşullarının kaydedilmesi.
Zorluk durumunda öğretmene soru formüle etmek
6. Bilginin uygulanması: öğretme niteliğinde bağımsız çalışma.
Sorunu kendiniz çözün:
Edinilen bilginin uygulanması.
Bir çizimden türevi bulma problemini çözme konusunda bağımsız çalışma. Cevapların çiftler halinde tartışılması ve doğrulanması, zorluk durumunda öğretmene bir soru oluşturulması.
7. Yeni materyalle çalışmak: açıklama.
Bir fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet denkleminin türetilmesi.
Bir fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet denkleminin türetilmesinin, netlik sağlamak için bir multimedya sunumu kullanılarak ayrıntılı bir açıklaması ve öğrenci sorularının yanıtları.
Teğet denkleminin öğretmenle birlikte türetilmesi. Öğretmenin sorularına cevaplar.
Not almak, çizim oluşturmak.
8. Yeni materyalle çalışmak: açıklama.
Öğrencilerle yapılan bir diyalogda, belirli bir noktada belirli bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini bulmak için bir algoritmanın türetilmesi.
Öğretmenle diyalog halinde, belirli bir noktada belirli bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini bulmak için bir algoritma türetin.
Not alma.
Görev koşullarının mesajı.
Edinilen bilgilerin uygulanması konusunda eğitim.
Bir sorunu çözmenin yollarını aramayı ve bunların uygulanmasını organize etmek. Açıklama ile çözümün ayrıntılı analizi.
Görev koşullarının kaydedilmesi.
Eylem planının her bir maddesini uygularken sorunu çözmenin olası yolları hakkında varsayımlarda bulunmak. Sorunu öğretmenle birlikte çözeriz.
Sorunun çözümünü ve cevabını kaydediyoruz.
9. Bilginin uygulanması: öğretme niteliğinde bağımsız çalışma.
Bireysel kontrol. Gerektiğinde öğrencilere danışmanlık ve yardım.
Bir sunum kullanarak çözümü kontrol edin ve açıklayın.
Edinilen bilginin uygulanması.
Bir çizimden türevi bulma problemini çözme konusunda bağımsız çalışma. Cevapların çiftler halinde tartışılması ve doğrulanması, zorluk durumunda öğretmene bir soru oluşturulması
10. Ödev.
§48, problem 1 ve 3, çözümü anlayın ve çizimlerle birlikte bir not defterine yazın.
№ 860 (2,4,6,8),
Yorumlu ev ödevi mesajı.
Ev ödevi kaydediliyor.
11. Özetleme.
Türevin tanımını tekrarladık; türevin fiziksel anlamı; doğrusal bir fonksiyonun özellikleri.
Türevin geometrik anlamının ne olduğunu öğrendik.
Belirli bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktada teğet denkleminin nasıl türetileceğini öğrendik.
Ders sonuçlarının düzeltilmesi ve açıklanması.
Ders sonuçlarının listelenmesi.
12. Yansıma.
1. Dersi buldunuz: a) kolay; b) genellikle; c) zor.
a) Tamamen uzmanlaştım, uygulayabilirim;
b) bunu öğrenmiş ancak uygulamakta zorlanmış;
c) anlamadım.
3. Sınıfta multimedya sunumu:
a) materyale hakim olmaya yardımcı oldu; b) materyale hakim olmaya yardımcı olmadı;
c) malzemenin asimilasyonuna müdahale etti.
Yansıma yürütmek.