Not. Bu materyal, teoremi ve onun kanıtını ve ayrıca pratik örnekler kullanarak teoremin dışbükey bir çokgenin açılarının toplamına uygulanmasını gösteren bir dizi problemi içerir..

Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamına ilişkin teorem

.

Kanıt.

Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamına ilişkin teoremi kanıtlamak için, bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceye eşit olduğu zaten kanıtlanmış teoremi kullanıyoruz.

A 1 A 2... A n verilen bir dışbükey çokgen olsun ve n > 3. Çokgenin tüm köşegenlerini A 1'in tepe noktasından çizelim. Bunu n – 2 üçgene bölerler: Δ A 1 A 2 Bir 3, Δ Bir 1 Bir 3 Bir 4, ... , Δ Bir 1 Bir n – 1 Bir n . Bir çokgenin açılarının toplamı bu üçgenlerin tüm açılarının toplamına eşittir. Her üçgenin açılarının toplamı 180° olup, üçgen sayısı (n – 2)’dir. Bu nedenle, dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı A 1 A 2... An n 180°'ye (n – 2) eşittir.

Görev.

Dışbükey bir çokgenin üç açısı 80 derece ve geri kalanı 150 derecedir. Dışbükey çokgende kaç açı vardır?

Çözüm.

Teorem şunu belirtir: Dışbükey bir n-gon için açıların toplamı 180°(n-2)'dir .

Yani bizim durumumuz için:

180(n-2)=3*80+x*150, burada

Problemin koşullarına göre bize her biri 80 derecelik 3 adet açı veriliyor ve kalan açıların sayısı henüz tarafımızca bilinmiyor, dolayısıyla sayılarını x olarak gösteriyoruz.

Ancak sol taraftaki girişten çokgenin açı sayısını n olarak belirledik, onlardan problemin koşullarından üç açının değerlerini bildiğimiz için x = n-3 olduğu açıktır.

Yani denklem şöyle görünecek:

180(n-2)=240+150(n-3)

Ortaya çıkan denklemi çözüyoruz

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Cevap: 5 zirve

Görev.

Her bir açısı 120 dereceden küçük olan bir çokgenin kaç köşesi olabilir?

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için dışbükey bir çokgenin açılarının toplamına ilişkin teoremi kullanıyoruz.

Teorem şunu belirtir: Dışbükey bir n-gon için tüm açıların toplamı 180°(n-2)'dir .

Bu, bizim durumumuz için öncelikle problemin sınır koşullarını tahmin etmenin gerekli olduğu anlamına gelir. Yani her açının 120 dereceye eşit olduğunu varsayalım. Şunu elde ederiz:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (bu ifadeyi aşağıda ayrı ayrı ele alacağız)

Ortaya çıkan denkleme dayanarak şu sonuca varıyoruz: eğer açılar 120 dereceden küçükse, çokgenin açı sayısı altıdan azdır.

Açıklama:

180n - 120n = 360 ifadesine göre sağ taraftaki çıkanın 120n'den küçük olması şartıyla farkın 60n'den büyük olması gerekir. Bu nedenle bölme bölümü her zaman altıdan küçük olacaktır.

Cevap:çokgenin köşe sayısı altıdan az olacaktır.

Görev

Bir çokgende üç açının her biri 113 derece olup geri kalanlar eşittir ve derece ölçüleri tam sayıdır. Çokgenin köşe sayısını bulun.

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teoremi kullanıyoruz.

Teorem şunu belirtir: Dışbükey bir n-gon için tüm dış açıların toplamı 360°'dir .

Böylece,

3*(180-113)+(n-3)x=360

ifadenin sağ tarafı dış açıların toplamıdır, sol tarafta üç açının toplamı koşulla bilinir ve geri kalanın derece ölçüsü (üç açı bilindiğinden sırasıyla sayıları n-3) x olarak belirlenmiştir.

159, 53 ve 3 olmak üzere yalnızca iki çarpana ayrılır; 53 asal sayıdır. Yani başka faktör çifti yoktur.

Böylece n-3 = 3, n=6 yani çokgenin açı sayısı altı olur.

Cevap: altı köşe

Görev

Bir dışbükey çokgenin en fazla üç dar açısı olabileceğini kanıtlayın.

Çözüm

Bildiğiniz gibi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı 360 0'dır. Çelişki yoluyla ispat yapalım. Dışbükey bir çokgenin en az dört dar iç açısı varsa, dış açıları arasında en az dört geniş açı vardır; bu, çokgenin tüm dış açılarının toplamının 4 * 90 0 = 360 0'dan büyük olduğu anlamına gelir. Bir çelişkimiz var. Bu ifade kanıtlanmıştır.

Temel geometri dersinde dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamının 180° (n-2) olduğu kanıtlanmıştır. Bu ifadenin dışbükey olmayan çokgenler için de geçerli olduğu ortaya çıktı.

Teorem 3. Rastgele bir n-gon'un açılarının toplamı 180°'dir (n - 2).

Kanıt. Köşegenler çizerek çokgeni üçgenlere bölelim (Şekil 11). Bu tür üçgenlerin sayısı n-2'dir ve her üçgende açıların toplamı 180°'dir. Üçgenin açıları çokgenin açılarını oluşturduğundan çokgenin açılarının toplamı 180° (n - 2) olur.

Şimdi, muhtemelen A1A2…AnA1 kesişimlerine sahip, keyfi kapalı kesikli çizgileri ele alalım (Şekil 12, a). Bu tür kendi kendine kesişen kesikli çizgilere yıldız çokgenleri adını vereceğiz (Şekil 12, b-d).

Sayma açılarının yönünü saat yönünün tersine sabitleyelim. Kapalı bir çoklu çizginin oluşturduğu açıların, onun geçildiği yöne bağlı olduğunu unutmayın. Çokgenin geçiş yönü tersine çevrilirse çokgenin açıları, orijinal çokgenin açılarını 360°'ye kadar tamamlayan açılar olacaktır.

M, saat yönünde geçilebilen basit kapalı bir kesik çizgiden oluşan bir çokgen ise (Şekil 13, a), o zaman bu çokgenin açılarının toplamı 180°'ye (n - 2) eşit olacaktır. Kesikli çizgi saat yönünün tersine doğru ilerliyorsa (Şekil 13, b), o zaman açıların toplamı 180°'ye (n + 2) eşit olacaktır.

Böylece, basit bir kapalı kesik çizgi tarafından oluşturulan bir çokgenin açılarının toplamına ilişkin genel formül = 180° (n2) formuna sahiptir; burada açıların toplamı, n çokgenin açı sayısıdır, Kesikli çizginin geçildiği yöne göre “+” veya “-” alınır.

Görevimiz, kapalı (muhtemelen kendi kendine kesişen) kesikli bir çizginin oluşturduğu rastgele bir çokgenin açılarının toplamı için bir formül türetmek. Bunu yapmak için çokgenin derecesi kavramını tanıtıyoruz.

Bir çokgenin derecesi, bir noktanın kenarlarını tamamen geçtiğinde yaptığı devir sayısıdır. Ayrıca saat yönünün tersine yapılan dönüşler “+” işaretiyle, saat yönünde yapılan dönüşler ise “-” işaretiyle sayılır.

Basit bir kapalı çoklu çizgiden oluşan bir çokgenin, geçiş yönüne bağlı olarak +1 veya -1 derecesine sahip olduğu açıktır. Şekil 12a'daki kesikli çizginin derecesi ikiye eşittir. Yıldız şeklindeki yedigenlerin derecesi (Şekil 12, c, d) sırasıyla iki ve üçe eşittir.

Derece kavramı düzlemdeki kapalı eğriler için de benzer şekilde tanımlanır. Örneğin Şekil 14'te gösterilen eğrinin derecesi ikidir.

Bir çokgenin veya eğrinin derecesini bulmak için aşağıdaki gibi ilerleyebilirsiniz. Eğri boyunca ilerleyerek (Şekil 15, a), A1 noktasından başlayarak tam bir devrim yaptığımızı ve aynı A1 noktasına ulaştığımızı varsayalım. İlgili bölümü eğriden çıkaralım ve kalan eğri boyunca ilerlemeye devam edelim (Şekil 15, b). A2 noktasından başlayarak tekrar tam bir dönüş yapıp aynı noktaya ulaşırsak, eğrinin karşılık gelen bölümünü siler ve hareket etmeye devam ederiz (Şekil 15, c). Geçiş yönlerine bağlı olarak “+” veya “-” işaretli uzak bölümlerin sayısını sayarak gerekli eğri derecesini elde ederiz.

Teorem 4. Rastgele bir çokgen için formül geçerlidir

180° (n +2m),

burada açıların toplamı, n açı sayısı, m çokgenin derecesidir.

Kanıt. M poligonunun derecesi m olsun ve geleneksel olarak Şekil 16'da gösterilmiş olsun. M1, ..., Mk, içinden noktanın tam dönüş yaptığı basit kapalı kesikli çizgilerdir. A1, …, Ak, kesikli çizginin köşeleri olmayan, karşılık gelen kendi kesişim noktalarıdır. M1, …, Mk çokgenlerinin içerdiği M çokgeninin köşe sayısını sırasıyla n1, …, nk ile gösterelim. Bu çokgenlere M çokgeninin köşelerine ek olarak A1, ..., Ak köşeleri de eklendiğinden, M1, ..., Mk çokgenlerinin köşe sayısı n1+1, 'ye eşit olacaktır. .., nk+1 sırasıyla. O zaman açılarının toplamı 180° (n1+12), ..., 180° (nk+12) olacaktır. Kesikli çizgilerin geçme yönüne göre artı veya eksi alınır. M1, ..., Mk çokgenleri çıkarıldıktan sonra M çokgeninden kalan M0 çokgeninin açılarının toplamı 180°'ye eşittir (n-n1- ...-nk+k2). M0, M1, ..., Mk çokgenlerinin açılarının toplamları M çokgeninin açılarının toplamını verir ve A1, ..., Ak'ın her köşesinde ek olarak 360° elde ederiz. Bu nedenle eşitliğimiz var

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

burada m, M poligonun derecesidir.

Örnek olarak beş köşeli bir yıldızın açılarının toplamını hesaplamayı düşünün (Şekil 17, a). Karşılık gelen kapalı kesik çizginin derecesi -2'dir. Bu nedenle gerekli açıların toplamı 180'dir.

Bir n-gon Teoreminin açılarının toplamı. Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180 o (n-2)'dir. Kanıt. Dışbükey bir n-gon'un bir köşesinden onun tüm köşegenlerini çiziyoruz. Daha sonra n-gon n-2 üçgene bölünecek. Her üçgende açıların toplamı 180°'dir ve bu açılar n-gon'un açılarını oluşturur. Bu nedenle bir n-gon'un açılarının toplamı 180 o (n-2)'dir.

Teoremi kanıtlamanın ikinci yolu. Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180 o (n-2)'dir. İspat 2. O, dışbükey bir n-gon A 1 ...A n'nin bir iç noktası olsun. Bunu bu çokgenin köşelerine bağlayalım. Daha sonra n-gon n üçgene bölünecek. Her üçgende açıların toplamı 180 derecedir. Bu açılar n-gon'un açılarını ve diğer 360 dereceyi oluşturur. Bu nedenle bir n-gon'un açılarının toplamı 180 o (n-2)'dir.

Alıştırma 3 Dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamının 360 dereceye eşit olduğunu kanıtlayın. Kanıt. Bir dışbükey çokgenin dış açısı 180° eksi ona karşılık gelen iç açıya eşittir. Bu nedenle, dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı 180 o n eksi iç açıların toplamına eşittir. Dışbükey bir n-gon'un iç açılarının toplamı 180 o (n-2) olduğuna göre, dış açıların toplamı 180 o n o (n-2) = 360 o'ya eşit olacaktır.

Alıştırma 4 Düzgün bir üçgenin açıları nelerdir: a) üçgen; b) dörtgen; c) beşgen; d) altıgen; e) sekizgen; f) ongen; g) onikigen? Cevap: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; e) 135 o; f) 144 o; g) 150 o;

Alıştırma 12* Dışbükey bir n-gon'un sahip olabileceği en büyük dar açı sayısı nedir? Çözüm. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı 360 dereceye eşit olduğundan, dışbükey bir çokgenin üçten fazla geniş açısı olamaz, dolayısıyla üçten fazla iç dar açısı olamaz. Cevap. 3.

8. sınıfta, okuldaki geometri derslerinde öğrencilere ilk olarak dışbükey çokgen kavramı tanıtılır. Çok yakında bu figürün çok ilginç bir özelliğe sahip olduğunu öğrenecekler. Ne kadar karmaşık olursa olsun, bir dışbükey çokgenin tüm iç ve dış açılarının toplamı kesin olarak tanımlanmış bir değer alır. Bu makalede bir matematik ve fizik öğretmeni dışbükey bir çokgenin açıları toplamının neye eşit olduğundan bahsediyor.

Dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı

Bu formül nasıl kanıtlanır?

Bu ifadenin ispatına geçmeden önce hangi çokgenin dışbükey olarak adlandırıldığını hatırlayalım. Dışbükey çokgen, kenarlarından herhangi birini içeren bir çizginin tamamen bir tarafında yer alan bir çokgendir. Örneğin, bu şekilde gösterilen:

Çokgen belirtilen koşulu karşılamıyorsa, buna dışbükey olmayan denir. Örneğin şöyle:

Dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı eşittir ve bu çokgenin kenar sayısıdır.

Bu gerçeğin kanıtı, tüm okul çocukları tarafından iyi bilinen bir üçgendeki açıların toplamına ilişkin teoreme dayanmaktadır. Bu teoremin size de tanıdık geldiğinden eminim. Bir üçgenin iç açılarının toplamı dır.

Buradaki fikir, dışbükey bir çokgeni birkaç üçgene bölmektir. Bu farklı şekillerde yapılabilir. Hangi yöntemi seçtiğimize bağlı olarak kanıtlar biraz farklı olacaktır.

1. Bir köşeden çizilen tüm olası köşegenleri kullanarak dışbükey çokgeni üçgenlere bölün. O zaman n-gonumuzun üçgenlere bölüneceğini anlamak kolaydır:

Üstelik ortaya çıkan tüm üçgenlerin tüm açılarının toplamı, n-gonumuzun açılarının toplamına eşittir. Sonuçta ortaya çıkan üçgenlerdeki her açı, dışbükey çokgenimizin bir kısmi açısıdır. Yani gerekli miktar eşittir.

2. Ayrıca dışbükey çokgenin içinde bir nokta seçip onu tüm köşelere bağlayabilirsiniz. Sonra n-gonumuz üçgenlere bölünecek:

Üstelik bu durumda çokgenimizin açılarının toplamı, tüm bu üçgenlerin tüm açılarının toplamı eksi merkez açıya eşit olacaktır; bu da eşittir. Yani gerekli miktar yine eşittir.

Dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı

Şimdi şu soruyu soralım: “Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı nedir?” Bu soruya şu şekilde cevap verilebilir. Her dış köşe, karşılık gelen iç köşeye bitişiktir. Bu nedenle şuna eşittir:

O halde tüm dış açıların toplamı eşittir. Yani eşittir.

Yani çok komik bir sonuç elde ediliyor. Herhangi bir dışbükey n-genin tüm dış açılarını ardı ardına çizersek, sonuç tam olarak düzlemin tamamı olacaktır.

Bu ilginç gerçeği şu şekilde açıklayabiliriz. Bir dışbükey çokgenin bir noktaya birleşinceye kadar tüm kenarlarını orantılı olarak azaltalım. Bu gerçekleştikten sonra tüm dış açılar birbirinden ayrılarak tüm düzlemi dolduracaktır.

İlginç bir gerçek değil mi? Ve geometride buna benzer pek çok gerçek var. Öyleyse geometriyi öğrenin sevgili okul çocukları!

Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamının neye eşit olduğuna dair materyal Sergey Valerievich tarafından hazırlandı.

Kırık

Tanım

kırık çizgi veya kısaca, kırık çizgi, birinci bölümün uçlarından birinin ikinci bölümün sonu, ikinci bölümün diğer ucunun üçüncü bölümün sonu görevi göreceği şekilde sonlu bir bölüm dizisidir. Bu durumda bitişik bölümler aynı düz çizgi üzerinde yer almaz. Bu bölümlere kesikli çizginin bağlantıları denir.

Çoklu çizgi türleri

Kırık çizgiye denir kapalı, eğer ilk bölümün başlangıcı sonuncu bölümün sonu ile çakışıyorsa.

Kırık bir çizgi kendini kesebilir, kendine dokunabilir veya kendi üzerine binebilir. Eğer böyle bir tekillik yoksa, o zaman böyle bir kesikli çizgiye denir. basit.

Çokgenler

Tanım

Sınırladığı düzlemin bir kısmı ile birlikte basit kapalı kesikli çizgiye ne ad verilir? çokgen.

Yorum

Bir çokgenin her köşesinde, kenarları çokgenin belirli bir açısını tanımlar. Daha az genişletilebilir veya daha fazla genişletilebilir.

Mülk

Her çokgenin açısı $180^\circ$'dan küçüktür.

Kanıt

Bir $P$ poligonu verilsin.

Kesişmeyen bir düz çizgi çizelim. Poligona paralel olarak hareket ettireceğiz. Bir noktada, ilk kez $P$ çokgeniyle en az bir ortak noktası olan bir $a$ düz çizgisi elde edeceğiz. Çokgen bu doğrunun bir tarafında yer alır (bazı noktaları $a$ doğrusu üzerinde bulunur).

$a$ satırı çokgenin en az bir köşesini içerir. $a$ çizgisinin bir tarafında bulunan iki tarafı, içinde birleşir (bunlardan birinin bu çizgide yer alması durumu da dahil). Bu, bu tepe noktasındaki açının açılmış olandan daha küçük olduğu anlamına gelir.

Tanım

Çokgen denir dışbükey, eğer kendi tarafını içeren her satırın bir tarafında yer alıyorsa. Çokgen dışbükey değilse buna denir dışbükey olmayan.

Yorum

Dışbükey çokgen, çokgenin kenarlarını içeren çizgilerle sınırlanan yarım düzlemlerin kesişimidir.

Dışbükey çokgenin özellikleri

Dışbükey bir çokgenin tüm açıları $180^\circ$'dan küçüktür.

Dışbükey bir çokgenin herhangi iki noktasını (özellikle köşegenlerinden herhangi birini) birleştiren bir çizgi parçası bu çokgenin içinde bulunur.

Kanıt

İlk özelliği kanıtlayalım

$P$ dışbükey çokgenin herhangi bir $A$ açısını ve $A$ köşe noktasından gelen $a$ kenarını alın. $l$, $a$ kenarını içeren bir çizgi olsun. $P$ çokgeni dışbükey olduğundan, $l$ çizgisinin bir tarafında yer alır. Sonuç olarak, $A$ açısı da bu doğrunun bir tarafında yer alır. Bu, $A$ açısının gelişmiş açıdan küçük olduğu anlamına gelir, yani $180^\circ$'den küçüktür.

İkinci özelliği kanıtlayalım

$P$ dışbükey çokgeninin $A$ ve $B$ herhangi iki noktasını alın. $P$ poligonu birkaç yarım düzlemin kesişimidir. $AB$ segmenti bu yarım düzlemlerin her birinde bulunur. Bu nedenle $P$ poligonunda da yer alır.

Tanım

Bir çokgenin köşegeni bitişik olmayan köşelerini birleştiren bir segment olarak adlandırılır.

Teorem (bir n-gon'un köşegen sayısı hakkında)

Bir dışbükey $n$-gon'un köşegenlerinin sayısı $\dfrac(n(n-3))(2)$ formülüyle hesaplanır.

Kanıt

Bir n-gon'un her bir köşesinden $n-3$ köşegen çizmek mümkündür (komşu köşelere veya bu köşenin kendisine bir köşegen çizemezsiniz). Eğer bu tür olası bölümlerin tümünü sayarsak, $n$ köşe noktaları olduğundan, bunlardan $n\cdot(n-3)$ tane olacaktır. Ancak her köşegen iki kez sayılacaktır. Dolayısıyla, bir n-gon'un köşegen sayısı $\dfrac(n(n-3))(2)$'a eşittir.

Teorem (bir n-gon'un açılarının toplamı hakkında)

Bir dışbükey $n$-gon'un açılarının toplamı $180^\circ(n-2)$'dır.

Kanıt

$n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$'ı düşünün.

Bu çokgenin içinde keyfi bir $O$ noktası alalım.

Tüm $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ üçgenlerinin açılarının toplamı $180^\circ\cdot n$'a eşittir.

Öte yandan bu toplam, çokgenin tüm iç açıları ile toplam açının toplamıdır $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

O zaman söz konusu $n$-gon'un açılarının toplamı $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$'a eşittir.

Sonuçlar

Dışbükey olmayan bir $n$-gon'un açılarının toplamı $180^\circ(n-2)$'dır.

Kanıt

Tek açısı $\angle A_2$ dışbükey olmayan, yani $\angle A_2>180^\circ$ olan $A_1A_2\ldots A_n$ çokgenini düşünün.

Yakaladığı miktarın toplamını $S$ olarak gösterelim.

$A_1A_3$ noktalarını birleştirelim ve $A_1A_3\ldots A_n$ çokgenini ele alalım.

Bu çokgenin açılarının toplamı:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Bu nedenle, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Orijinal çokgenin birden fazla dışbükey olmayan açısı varsa, yukarıda açıklanan işlem bu tür açıların her biri için gerçekleştirilebilir ve bu, ifadenin kanıtlanmasına yol açacaktır.

Teorem (dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı üzerine)

Dışbükey bir $n$-gon'un dış açılarının toplamı 360$^\circ$'dir.

Kanıt

$A_1$ köşesindeki dış açı $180^\circ-\angle A_1$'a eşittir.

Tüm dış açıların toplamı şuna eşittir:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.