Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zenon'un açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ancak bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçekliğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi "bir kümede iki özdeş eleman olamaz" ama bir kümede özdeş elemanlar varsa böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaklar. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. Eğlencenin başladığı yer burasıdır.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paraların farklı miktarda kirleri var, kristal yapısı ve atomların düzeni her madeni para için benzersizdir...
Ve şimdi en ilginç soruyu soruyorum: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, ayrı sayılar içeren birkaç resme kesin. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı şamanların "kesme ve dikme kurslarıdır". Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resmin birleşimi: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
Paralel boru, 6 yüzü de paralelkenar olan geometrik bir şekildir.
Bu paralelkenarların türüne bağlı olarak, aşağıdaki paralel boru türleri ayırt edilir:
- doğrudan;
- eğimli;
- dikdörtgen.
Sağ paralel yüzlü, kenarları taban düzlemi ile 90° açı yapan dörtgen bir prizmadır.
Dikdörtgen paralel yüzlü, tüm yüzleri dikdörtgen olan dörtgen bir prizmadır. Küp, tüm yüzlerin ve kenarların birbirine eşit olduğu bir tür dörtgen prizmadır.
Bir figürün özellikleri onun özelliklerini önceden belirler. Bunlar aşağıdaki 4 ifadeyi içerir:
Yukarıdaki özelliklerin tümünü hatırlamak kolaydır, anlaşılması kolaydır ve geometrik gövdenin türüne ve özelliklerine göre mantıksal olarak türetilir. Ancak basit ifadeler, tipik USE görevlerini çözerken son derece yararlı olabilir ve testi geçmek için gereken zamandan tasarruf etmenizi sağlar.
Paralel borulu formüller
Sorunun cevabını bulmak için sadece şeklin özelliklerini bilmek yeterli değildir. Geometrik bir cismin alanını ve hacmini bulmak için bazı formüllere de ihtiyacınız olabilir.
Tabanların alanı, paralelkenarın veya dikdörtgenin karşılık gelen göstergesiyle aynı şekilde bulunur. Paralelkenarın tabanını kendiniz seçebilirsiniz. Kural olarak, problemleri çözerken tabanı dikdörtgen olan bir prizma ile çalışmak daha kolaydır.
Paralel borunun yan yüzeyini bulma formülüne test görevlerinde de ihtiyaç duyulabilir.
Tipik Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözme örnekleri
Görev 1.
Verilen: 3, 4 ve 12 cm boyutlarında dikdörtgen paralel yüzlü.
GerekliŞeklin ana köşegenlerinden birinin uzunluğunu bulun.
Çözüm: Geometrik bir problemin çözümü, üzerinde "verilen" ve istenen değerin gösterileceği doğru ve net bir çizimin yapılmasıyla başlamalıdır. Aşağıdaki şekil, görev koşullarının doğru yürütülmesine ilişkin bir örneği göstermektedir.
Yapılan çizimi inceledikten ve geometrik cismin tüm özelliklerini hatırlayarak tek doğru çözüm yöntemine geliyoruz. Paralelyüzün 4. özelliğini uygulayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
Basit hesaplamalardan sonra b2=169, dolayısıyla b=13 ifadesini elde ederiz. Görevin cevabı bulundu; onu aramak ve çizmek için 5 dakikadan fazla zaman harcamanıza gerek yok.
a, PP'nin tabanına doğru;
yüksekliğiyle.
- neyi bilmemiz gerekiyor, elimizde hangi veriler var?
- Dikdörtgen paralel yüzlünün özellikleri nelerdir?
- Pisagor Teoremi burada geçerli midir? Nasıl?
- Pisagor teoremini uygulamak için yeterli veri var mı, yoksa başka hesaplamalara mı ihtiyaç var?
Çapraz kare paralel yüzlü bir karenin (paralel yüzlü bir karenin özelliklerine bakınız) üç farklı tarafının karelerinin toplamına (genişlik, yükseklik, kalınlık) eşittir ve buna göre, paralel yüzlü bir karenin köşegenleri köküne eşittir bu miktar.
Geometride okul müfredatını hatırlıyorum, şunu söyleyebiliriz: paralel yüzün köşegeni, üç tarafının toplamından elde edilen kareköktür (bunlar küçük harflerle a, b, c ile gösterilir).
Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeninin uzunluğu, kenarlarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
9. sınıf okul müfredatından bildiğim kadarıyla, yanılmıyorsam ve hafızam beni yanıltmıyorsa, dikdörtgen bir paralelyüzün köşegeni, üç kenarın karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
köşegenin karesi genişlik, yükseklik ve uzunluğun karelerinin toplamına eşittir, bu formüle göre cevabı alıyoruz, köşegen üç farklı boyutunun toplamının kareköküne eşittir, harflerle ncz abc'yi belirtir
Dikdörtgen paralel uçlu (PP), tabanı dikdörtgen olan bir prizmadan başka bir şey değildir. Bir PP için tüm köşegenler eşittir; bu, köşegenlerden herhangi birinin aşağıdaki formül kullanılarak hesaplandığı anlamına gelir:
Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi dikkate alınarak başka bir tanım verilebilir:
PP köşegeni, Kartezyen koordinat sisteminde x, y ve z koordinatları ile belirtilen uzaydaki herhangi bir noktanın yarıçap vektörüdür. Bu noktaya ait yarıçap vektörü orijinden çizilir. Ve noktanın koordinatları, yarıçap vektörünün (PP'nin köşegenleri) koordinat eksenlerine izdüşümleri olacaktır. Çıkıntılar bu paralel yüzün köşeleriyle çakışıyor.
Dikdörtgen paralel uçlu, tabanında dikdörtgen olan 6 yüzden oluşan bir çokyüzlü türüdür. Köşegen, bir paralelkenarın zıt köşelerini birleştiren bir çizgi parçasıdır.
Bir köşegenin uzunluğunu bulma formülü, köşegenin karesinin paralelkenarın üç boyutunun karelerinin toplamına eşit olmasıdır.
İnternette paralelyüzdeki her şeyin tam listesini içeren iyi bir diyagram tablosu buldum. D ile gösterilen köşegeni bulmak için bir formül vardır.
Paralel boru için kenar, tepe noktası ve diğer önemli şeylerin bir görüntüsü var.
Dikdörtgen bir paralel borunun uzunluğu, yüksekliği ve genişliği (a,b,c) biliniyorsa, köşegen hesaplama formülü şöyle görünecektir:
Tipik olarak öğretmenler öğrencilerine basit bir formül sunmazlar, ancak yönlendirici sorular sorarak bu formülü kendi başlarına elde edebilmeleri için çaba gösterirler:
Genellikle öğrenciler sorulan soruları cevapladıktan sonra bu formülü kendi başlarına kolayca çıkarabilirler.
Dikdörtgen paralel borunun köşegenleri eşittir. Karşıt yüzlerinin köşegenlerinin yanı sıra. Köşegenin uzunluğu, bir köşeden çıkan paralelkenarın kenarlarının uzunluğu bilinerek hesaplanabilir. Bu uzunluk, kenarlarının uzunluklarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
Küboid, her biri dikdörtgen olan 6 yüzden oluşan çokyüzlülerden biridir. Köşegen, bir paralelkenarın zıt köşelerini birleştiren bir segmenttir. Dikdörtgen bir paralel yüzün uzunluğu, genişliği ve yüksekliği sırasıyla a, b, c olarak alınırsa köşegeninin (D) formülü şu şekilde görünecektir: D^2=a^2+b^2+c ^2.
Dikdörtgen paralel yüzlü bir köşegen zıt köşelerini birleştiren bir segmenttir. Yani elimizde küboid köşegeni d ve kenarları a, b, c olan. Paralel borunun özelliklerinden biri de kare olmasıdır. çapraz uzunluk d, üç boyutunun a, b, c karelerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla sonuç şu ki çapraz uzunluk aşağıdaki formül kullanılarak kolayca hesaplanabilir:
Ayrıca:
Paralelyüzün yüksekliği nasıl bulunur?
Küboid, her biri dikdörtgen olan 6 yüzden oluşan bir çokyüzlü türüdür. Buna karşılık köşegen, paralelkenarın zıt köşelerini birleştiren bir segmenttir. Uzunluğu iki şekilde tespit edilebilir.
İhtiyacın olacak
- Paralelkenarın tüm kenarlarının uzunluklarını bilmek.
Talimatlar
1. Yöntem 1. Kenarları a, b, c ve köşegeni d olan dikdörtgen bir paralelyüz verilmiştir. Paralelkenarın özelliklerinden birine göre köşegenin karesi, 3 kenarının karelerinin toplamına eşittir. Buradan köşegenin uzunluğunun belirli bir toplamdan kare çıkarılarak hesaplanabileceği sonucu çıkar (Şekil 1).
2. Yöntem 2. Dikdörtgen paralel borunun bir küp olması mümkündür. Küp, her yüzün bir kareyle temsil edildiği dikdörtgen bir paralel yüzlüdür. Sonuç olarak tüm kenarları eşittir. Daha sonra köşegeninin uzunluğunu hesaplama formülü şu şekilde ifade edilecektir: d = a*?3
Paralel uçlu, altı yüzün de paralelkenar veya dikdörtgen olduğu bir prizmanın özel bir durumudur. Dikdörtgen yüzlere sahip bir paralel uçlu da dikdörtgen olarak adlandırılır. Paralel borunun kesişen dört köşegeni vardır. A, b, c'nin üç kenarı verilirse, ek yapılar yaparak dikdörtgen bir paralel yüzün tüm köşegenlerini bulabilirsiniz.
Talimatlar
1. Dikdörtgen bir paralel yüzlü çizin. Bilinen verileri yazın: üç kenar a, b, c. İlk önce bir m köşegeni oluşturun. Bunu belirlemek için, tüm açılarının doğru olduğu dikdörtgen bir paralel borunun kalitesini kullanıyoruz.
2. Paralel borunun yüzlerinden birinin köşegenini n'yi oluşturun. Ünlü kenar, paralel yüzün istenilen köşegeni ve yüzün köşegeni birlikte bir a, n, m dik üçgeni oluşturacak şekilde inşaatı gerçekleştirin.
3. Yüzün oluşturulmuş köşegenini bulun. Bu, başka bir b, c, n dik üçgeninin hipotenüsüdür. Pisagor teoremine göre n² = c² + b². Bu ifadeyi hesaplayın ve elde edilen değerin karekökünü alın; bu, n yüzünün köşegeni olacaktır.
4. Paralel yüzlü m'nin köşegenini bulun. Bunu yapmak için a, n, m dik üçgeninde alışılmadık bir hipotenüs bulun: m² = n² + a². Bilinen değerleri yerine koyun ve karekökü hesaplayın. Ortaya çıkan sonuç paralel yüzlü m'nin ilk köşegeni olacaktır.
5. Benzer şekilde, paralel borunun diğer üç köşegenini de adım adım çizin. Ayrıca, hepsi için bitişik yüzlerin köşegenlerinin ek inşaatını gerçekleştirin. Oluşan dik üçgenlere bakarak ve Pisagor teoremini uygulayarak küboidin geri kalan köşegenlerinin değerlerini keşfedin.
Konuyla ilgili video
Birçok gerçek nesnenin paralel yüzlü bir şekli vardır. Örnekler oda ve havuzdur. Bu şekle sahip parçalar endüstride nadir değildir. Bu nedenle belirli bir şeklin hacmini bulma görevi sıklıkla ortaya çıkar.
Talimatlar
1. Paralel boru, tabanı paralelkenar olan bir prizmadır. Paralel uçlu bir yüzün yüzleri vardır - bu şekli oluşturan tüm düzlemler. Her birinin altı yüzü vardır ve bunların hepsi paralelkenardır. Karşıt kenarları birbirine eşit ve paraleldir. Ayrıca bir noktada kesişen ve onu ikiye bölen köşegenler vardır.
2. 2 tip paralelyüz vardır. Birincisinde tüm yüzler paralelkenar, ikincisi ise dikdörtgendir. Sonuncusuna dikdörtgen paralel yüzlü denir. Bütün yüzleri dikdörtgen olup, yan yüzleri tabana diktir. Dikdörtgen bir paralel yüzlünün tabanları kare olan yüzleri varsa buna küp denir. Bu durumda yüzleri ve kenarları eşittir. Kenar, herhangi bir çokyüzlünün paralel boru içeren bir tarafıdır.
3. Paralel borunun hacmini bulmak için tabanının ve yüksekliğinin alanını bilmeniz gerekir. Hacim, problem koşullarında hangi paralel yüzün ortaya çıktığına bağlı olarak bulunur. Sıradan bir paralel yüzlünün tabanında bir paralelkenar bulunurken, dikdörtgen olanın her zaman dik açıları olan bir dikdörtgen veya karesi vardır. Paralelkenarın tabanında bir paralelkenar varsa, hacmi şu şekilde bulunur: V = S * H, burada S, tabanın alanıdır, H, paralelkenarın yüksekliğidir. genellikle yan kenarıdır. Bir paralel yüzün tabanında dikdörtgen olmayan bir paralelkenar da olabilir. Planimetri kursundan paralelkenarın alanının şuna eşit olduğu bilinmektedir: S = a*h, burada h paralelkenarın yüksekliğidir, a tabanın uzunluğudur, yani. :V=a*hp*H
4. 2. durum ortaya çıkarsa, paralel yüzün tabanı dikdörtgen olduğunda hacim aynı formül kullanılarak hesaplanır, ancak tabanın alanı biraz farklı bir şekilde bulunur: V=S*H,S= a*b, burada a ve b kenarlar, sırasıyla dikdörtgen ve paralel yüzlü kenardır.V=a*b*H
5. Bir küpün hacmini bulmak için ilkel mantıksal yöntemlere rehberlik edilmelidir. Küpün tüm yüzleri ve kenarları eşit olduğundan ve küpün tabanında yukarıda belirtilen formüllerin rehberliğinde bir kare bulunduğundan aşağıdaki formülü türetebiliriz: V = a^3
Birbirine karşılıklı uzanan aynı uzunluktaki iki çift paralel parçanın oluşturduğu kapalı geometrik şekle paralelkenar denir. Tüm açıları 90°'ye eşit olan paralelkenara aynı zamanda dikdörtgen de denir. Bu şekilde, zıt köşeleri - köşegenleri birleştiren aynı uzunlukta iki parça çizebilirsiniz. Bu köşegenlerin uzunluğu çeşitli yöntemlerle hesaplanır.
Talimatlar
1. Komşu 2 kenarın uzunluğu biliniyorsa dikdörtgen(A ve B), o zaman köşegenin uzunluğunu (C) belirlemek çok basittir. Gerçek şu ki diyagonal kendisinin ve bu iki tarafın oluşturduğu üçgende dik açının karşısında yer alır. Bu, hesaplamalarda Pisagor teoremini uygulamamıza ve ön kenarların uzunluklarının karelerinin toplamının karekökünü bularak köşegenin uzunluğunu hesaplamamıza olanak tanır: C = v (A? + B?).
2. Sadece bir kenarın uzunluğu biliniyorsa dikdörtgen(A) ve onunla birlikte oluşan açının (?) boyutu diyagonal, daha sonra bu köşegenin (C) uzunluğunu hesaplamak için doğrudan trigonometrik fonksiyonlardan birini (kosinüs) kullanmanız gerekecektir. Ön tarafın uzunluğunu ünlü açının kosinüsüne bölün; bu istenen köşegen uzunluğu olacaktır: C=A/cos(?).
3. Bir dikdörtgen köşelerinin koordinatları ile verilirse, köşegeninin uzunluğunu hesaplama görevi bu koordinat sistemindeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmaya indirgenecektir. Koordinat eksenlerinin her birinde köşegenin izdüşümünü oluşturan üçgene Pisagor teoremini uygulayın. İki boyutlu koordinatlarda bir dikdörtgenin A(X?;Y?), B(X?;Y?), C(X?;Y?) ve D(X?;Y?) köşelerinden oluşması mümkündür. ). Daha sonra A ve C noktaları arasındaki mesafeyi hesaplamanız gerekir. Bu parçanın X eksenine izdüşümünün uzunluğu, |X?-X?| koordinat farkının modülüne ve Y eksenine izdüşümüne eşit olacaktır. – |E?-Y?|. Eksenler arasındaki açı 90°'dir, bundan bu iki çıkıntının bacak olduğu ve köşegenin uzunluğunun (hipotenüs) uzunluklarının kareleri toplamının kareköküne eşit olduğu sonucu çıkar: AC=v(( X?-X?)?+(Y?- Y?)?).
4. Köşegeni bulmak için dikdörtgenüç boyutlu bir koordinat sisteminde, önceki adımdakiyle aynı şekilde ilerleyin, yalnızca üçüncü koordinat eksenine projeksiyonun uzunluğunu formüle ekleyin: AC=v((X?-X?)?+(Y ?-Y?)?+(Z?-Z?)?).
Konuyla ilgili video
Birçoğunun hafızasında matematiksel bir şaka kaldı: Pisagor pantolonları her yöne eşittir. Hesaplamak için kullanın diyagonal dikdörtgen .
İhtiyacın olacak
- Bir kağıt parçası, bir cetvel, bir kalem, kökleri hesaplama işlevine sahip bir hesap makinesi.
Talimatlar
1. Dikdörtgen, açıları düzgün olan bir dörtgendir. Diyagonal dikdörtgen- iki zıt köşesini birleştiren düz bir çizgi parçası.
2. Cetvel ve kurşun kalemle desteklenen bir kağıt parçasına rastgele bir ABCD dikdörtgeni çizin. Bunu kare şeklinde bir defter sayfasında yapmak daha serindir - dik açıları çizmek daha kolay olacaktır. Köşeleri bir segmentle bağlayın dikdörtgen A ve C. Ortaya çıkan AC segmenti diyagonal sen dikdörtgen ABCD.
3. lütfen aklınızda bulundurun diyagonal AC, ABCD dikdörtgenini ABC ve ACD üçgenlerine böler. Ortaya çıkan ABC ve ACD üçgenleri dik üçgenlerdir çünkü ABC ve ADC açıları 90 dereceye eşittir (tanım gereği dikdörtgen). Pisagor teoremini hatırlayın - hipotenüsün karesi bacakların karelerinin toplamına eşittir.
4. Hipotenüs üçgenin dik açının karşısındaki tarafıdır. Bacaklar dik açıya bitişik bir üçgenin kenarlarıdır. ABC ve ACD üçgenleriyle ilgili olarak: AB ve BC, AD ve DC kenarlardır, AC her iki üçgenin evrensel hipotenüsüdür (istenen diyagonal). Sonuç olarak, AC kare = AB karesi + BC karesi veya AC kare = AD karesi + DC karesi. Kenar uzunluklarını değiştirin dikdörtgen Yukarıdaki formüle girin ve hipotenüsün uzunluğunu hesaplayın (köşegen) dikdörtgen).
5. Yanları diyelim dikdörtgen ABCD şu değerlere eşittir: AB = 5 cm ve BC = 7 cm. Verilen bir AC köşegeninin karesi dikdörtgen Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır: AC kare = AB karesi + BC karesi = 52+72 = 25 + 49 = 74 cm2. Bir hesap makinesi kullanarak 74'ün karekökünü hesaplayın. 8,6 cm (yuvarlak değer) elde etmelisiniz. Lütfen özelliklerden birine göre olduğunu unutmayın. dikdörtgen, köşegenleri eşittir. Yani 2. köşegen BD'nin uzunluğu dikdörtgen ABCD, AC köşegeninin uzunluğuna eşittir. Yukarıdaki örnekte bu değer 8,6 cm'dir.
Konuyla ilgili video
İpucu 6: Kenarları verilen bir paralelkenarın köşegeni nasıl bulunur?
Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir. Zıt açılarını birleştiren düz çizgilere köşegenler denir. Uzunlukları sadece şeklin kenarlarının uzunluklarına değil, aynı zamanda bu çokgenin köşelerindeki açıların değerlerine de bağlıdır, bu nedenle açılardan birinin doğruluğunu bilmeden köşegenlerin uzunluklarını hesaplayın; yalnızca istisnai durumlarda izin verilir. Bunlar özel paralelkenar durumlarıdır - kare ve dikdörtgen.
Talimatlar
1. Paralelkenarın tüm kenarlarının uzunlukları aynıysa (a), bu şekle kare de denilebilir. Tüm açılarının değerleri 90°'ye eşittir ve köşegenlerin uzunlukları (L) aynıdır ve bir dik üçgen için Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Karenin kenar uzunluğunu ikinin köküyle çarpın; sonuç köşegenlerinin her birinin uzunluğu olacaktır: L=a*?2.
2. Paralelkenarın koşullarda belirtilen uzunluk (a) ve genişliğe (b) sahip bir dikdörtgen olduğu biliniyorsa, bu durumda köşegenlerin (L) uzunlukları eşit olacaktır. Ve burada da hipotenüsün köşegen olduğu ve bacakların dörtgenin iki bitişik kenarı olduğu bir üçgen için Pisagor teoremini kullanın. Dikdörtgenin genişliğinin ve yüksekliğinin karelerinin toplamının kökünü alarak istediğiniz değeri hesaplayın: L=?(a?+b?).
3. Diğer tüm durumlarda, yalnızca kenar uzunlukları becerisi, her iki köşegenin uzunluğunu aynı anda içeren bir değer belirlemek için yeterlidir - tanım gereği bunların karelerinin toplamı, kenar karelerinin toplamının iki katına eşittir. uzunluklar. Paralelkenarın (a ve b) iki bitişik tarafının uzunluklarına ek olarak, aralarındaki açı (?) da biliniyorsa, bu, paralelkenarın karşıt köşelerini birleştiren herhangi bir parçanın uzunluklarını hesaplamamıza olanak sağlayacaktır. figür. Kosinüs teoremini kullanarak verilen açının karşısındaki köşegenin uzunluğunu (L?) bulun - bitişik kenarların uzunluklarının karelerini ekleyin, aynı uzunlukların çarpımını aralarındaki açının kosinüsüyle toplamdan çıkarın ve elde edilen değerden karekökü çıkarın: L? = ?(a?+b?-2*a*b*cos(?)). Başka bir köşegenin uzunluğunu (L?) bulmak için, bu adımın başında verilen paralelkenarın özelliğini kullanabilirsiniz - 2 kenarın uzunluğunun karelerinin toplamının iki katı, hesaplanan köşegenin karesini kenardan çıkarın. toplam ve elde edilen değerin kökünü alın. Bu formül genel olarak şu şekilde yazılabilir: L? = ?(a?+b?- L??) = ?(a?+b?-(a?+b?-2*a*b*cos(?))) = ?(a?+b?- a?-b?+2*a*b*cos(?)) = ?(2*a*b*cos(?))