Aynı düzleme dik olan iki doğru paraleldir. Paralel çizgiler

Bir düzlem ve onun üzerinde olmayan bir nokta verilsin:

Belirli bir noktadan belirli bir düzleme bırakılan dikey, belirli bir noktayı düzlemdeki bir noktaya bağlayan ve düzleme dik bir düz çizgi üzerinde uzanan bir bölümdür;
- düzlemde yatan bu parçanın ucuna dikin tabanı denir;
- bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bu noktadan düzleme çizilen bir dikmenin uzunluğudur;

Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen eğimli bir çizgi, belirli bir noktayı düzlem üzerinde düzleme dik olmayan bir noktaya bağlayan herhangi bir bölümdür;
- düzlemde yatan parçanın ucuna eğimli taban denir;

Aynı noktadan çizilen bir dikmenin ve bir eğik çizginin tabanlarını birleştiren doğru parçasına eğik izdüşüm denir.

Şekilde A noktasından AB dikmesi ve AC eğik çizgisi düzleme çizilmektedir. B noktası dikmenin tabanı, C noktası eğimli olanın tabanı, BC ise eğimli AC'nin düzleme izdüşümüdür.

Üç Dik Teorem:

Bir düzlem üzerinde çizilen düz bir çizgi ise eğimli taban, ona dik projeksiyonlar, o zaman diktir eğimli. Ve bunun tersi de geçerlidir: Bir düzlemdeki düz bir çizgi eğimli bir çizgiye dikse, o zaman diktir ve eğik projeksiyon.

Kesişen iki düzlem, bu düzlemlerin kesişme çizgisine dik olan üçüncü düzlem bunları dik çizgiler boyunca kesiyorsa dik olarak adlandırılır.

Örnek No.1

Bir üçgenin içine yazılan bir dairenin merkezinden, üçgenin düzlemine dik bir düz çizgi çizilir. Bu doğru üzerindeki her noktanın üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta olduğunu kanıtlayın.

Üçgenin kenarlarının çemberle temas noktaları A, B, C, çemberin merkezi O ve dik üzerindeki nokta S olsun. OA yarıçapı üçgenin kenarına dik olduğundan, üç dik teoremine göre SA segmenti bu tarafa diktir ve uzunluğu S noktasından üçgenin kenarına kadar olan mesafedir. Pisagor teoremine göre SA=, burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır. Benzer şekilde şunları buluyoruz: , yani S noktasından üçgenin kenarlarına olan tüm mesafeler eşittir.

Kontrol soruları:

1. Belirli bir noktadan bir düzleme bırakılan dikme nedir?
2. Eğik projeksiyon nedir?

Pratik kısım:

1. Verilen bir doğru a ve bir düzlem. Bir çizgi boyunca düzleme dik bir düzlem çizin.

2. Bir doğrunun düzleme paralel olması durumunda tüm noktalarının düzlemden aynı uzaklıkta olduğunu kanıtlayın.

3. Bir noktadan bir düzleme biri diğerinden 20 cm daha büyük olan iki eğik doğru çiziliyor. Eğik çıkıntılar 10 cm ve 30 cm'dir. Eğik olanları bulun.

4. Karenin bir kenarı 4 cm'dir. Karenin tüm köşelerine eşit uzaklıktaki nokta, köşegenlerinin kesişim noktasına 6 cm uzaklıktadır. Bu noktadan karenin köşelerine olan mesafeyi bulun.

5. Bir noktadan 10 cm ve 17 cm'ye eşit iki eğimli eğim çizilir.Bu eğimli olanların izdüşümleri arasındaki fark 9 cm'dir.

6. Bir noktadan bir düzleme 23 cm ve 33 cm'ye eşit iki eğimli eğim çizilir. Eğimli olanların izdüşümleri 2:3 oranında ise bu noktadan düzleme olan mesafeyi bulun.

8. a doğrusu ABC düzlemine diktir. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. MC'yi bulun.

9. ABC dik üçgeninin (C = 90°) bacakları 4 cm ve 3 cm'dir. M noktası, ABC üçgeninin düzleminden √6 cm uzaklıkta ve tüm köşelerinden aynı uzaklıkta bulunmaktadır. M noktasından üçgenin köşelerine olan mesafeyi bulun.

Edebiyat:

1. Matematik: Başlangıç ​​düzeyindeki kurumlar için ders kitabı. ve Çarşamba prof. eğitim / M.I. Bashmakov. –M.: Yayın Merkezi “Akademi”, 2010.

Bağımsız çalışma No. 5.

Yerleştirme ve permütasyon sayısını saymayı içeren problemleri çözme.

Dersin amacı: Örnek sayısının hesaplanmasını içeren problemlerin çözümüne yönelik yöntemlerde uzmanlaşmak

Teorik kısım:

Kombinatorik, belirli bir sonlu kümenin elemanlarını belirli kurallara göre seçme ve düzenleme problemlerini çözmeye adanmış matematiğin bir parçasıdır; Kombinatorik, sonlu bir kümeden elemanların seçilmesi ve bu elemanların belirli bir sıraya göre düzenlenmesi problemini çözer.

N - elemanların m - elemanlara () göre düzenlenmesi, belirli n - elemanların m - elemanlardan oluşan, elemanların kendisinde veya elemanların sırasına göre birbirinden farklı olan kombinasyonları olarak adlandırılır.

N(n-1)(n-2)…(n-m+1)

Örnek No. 1. 1...9 sayılarından kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?

N-elementlerin permütasyonları, bu n-elementlerin n-elementlere yerleşim sayısıdır.

N(n-1)(n-2)…1=n!

Örnek 2. 5 kitap bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?

N - elementlerin m - elementlere göre kombinasyonları, verilen n - elementlerin, birbirinden en az bir element ile farklı olan m - elementlerden oluşan kombinasyonlardır.

Örnek No. 3. Bir grupta 30 öğrenci var. Testi geçmek için üç gruba ayrılmaları gerekir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Kontrol soruları:

1. Kombinatoriğin hedeflerini ana hatlarıyla belirtin.

2. m'nin n elemanının kombinasyon sayısına ne denir?

3. n elemanın m'ye yerleştirilme sayısına ne denir?

4. n elemanın permütasyonuna ne denir?

Pratik kısım:

1. 25 kişilik bir grup, 4 öğrenciyi bilimsel ve uygulamalı bir konferansa kaç farklı şekilde gönderebilir?

2. On öğrenci el sıkıştı. Kaç el sıkışma oldu?

3. Yedi farklı renkteki malzemeden üç renkli çizgili bayrak kaç farklı şekilde yapılabilir?

4. Beş dilin herhangi birinden herhangi birine çeviri yapabilmek için kaç tane sözlük yayınlanması gerekir?

5. Hesaplayın:

6. Hesaplayın:

7. Hesaplayın: 5! + 6!

8. 4'ün 10 elemanının diziliş sayısını bulun.

9. Hesaplayın:

10. Otuz öğrenci fotoğraf alışverişinde bulundu. Toplamda kaç fotoğraf vardı?

11. Üç pozisyon için sekiz aday arasından üç kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?

12. Denklemi çözün:

13. İfadenin değerini hesaplayın:

14. İfadenin değerini hesaplayın.

5. Paralel çizgiler

İki doğruya denir paralel, eğer aynı düzlemde oldukları için kesişmiyorlarsa.

Doğruların paralelliği || işaretiyle gösterilir. (örneğin AB||CD).

Teorem. Aynı doğruya dik olan iki doğru paraleldir.

İspat: Eğer dikmeler bir noktada kesişiyorsa, bu noktadan itibaren bir doğru üzerine iki dikme çizilir ki bu imkansızdır.

İki düz çizginin üçüncü bir çizgiyle kesişmesiyle elde edilen açıların adları

Paralellik işaretleri.

İki düz çizgi üçüncü bir düz çizgiyle kesiştiğinde:

karşılık gelen açılar eşittir,

veya bazı çapraz açılar eşittir,

veya herhangi iki iç veya iki dış tek taraflı açının toplamı 180 dereceye eşittir,

o zaman iki doğru paraleldir.

Paralel doğrular aksiyomu.

Aynı noktadan aynı doğruya paralel iki farklı çizgi çizmek imkansızdır.

Sonuç 1. Bir doğru paralel doğrulardan biriyle kesişiyorsa diğeriyle de kesişir.

Sonuç 2. Üçüncüye paralel iki doğru paraleldir.

Sırasıyla paralel veya dik kenarları olan açılar.

Teorem. Bir açının kenarları sırasıyla başka bir açının kenarlarına paralelse, bu açılar ya eşittir ya da toplamı iki dik açıdır.

Teorem. Bir açının kenarları sırasıyla başka bir açının kenarlarına dik ise, bu açılar ya eşittir ya da iki dik açıya eşittir.

Bir üçgen ile bir çokgenin açılarının toplamı.

Teorem. Bir üçgenin açılarının toplamı iki dik açıya eşittir.

Sonuçlar

:

1. Bir üçgenin her dış açısı iki iç açısının toplamına eşittir.

2. Bir üçgenin iki açısı diğer üçgenin iki açısına eşitse üçüncü açılar da eşittir.

3. Bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı bir dik açıya eşittir.

Teorem. Açıların toplamı

n-gon 180*(n-2) derece.

Teorem. Bir çokgenin dış açılarının toplamı dört dik açıya eşittir.

2. C noktasında kesişen iki doğru verildiğinde, onlarla aynı düzlemde yer alan ve bu doğruların her biriyle ortak noktası olan üçüncü bir doğru var mı?

3.

4. İki paralel düzlem arasındaki mesafe 8 cm olup, aralarına uçları düzlemlere ait olacak şekilde uzunluğu 17 cm olan bir doğru parçası yerleştirilmiştir. Bu parçanın her bir düzleme izdüşümünü bulun.

5. Doğru ifadeyi oluşturmak için cümleyi tamamlayın:

Bilmiyorum

6. A ve b çizgileri diktir. A ve B noktaları a düz çizgisine, C ve D noktaları b düz doğrusuna aittir. AC ve BD düz çizgileri aynı düzlemde mi yer alıyor?

7. ABCDA1B1C1D1 küpünde AC ve B1D1 yüzlerinin köşegenleri çizilmiştir. bunların göreceli konumu nedir?

8. ABCDA1B1C1D1 küpünün kenarı m'ye eşittir. AB ve CC1 düz çizgileri arasındaki mesafeyi bulun.

A) 2m B) 1/2m C) m D) Bilmiyorum

9. İfadenin doğru olup olmadığını belirleyin:

A) evet B) hayır C) her zaman değil D) bilmiyorum

10. ABCDA1B1C1D1 küpünde BCD ve ВСС1В1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°

11. Tabana dik olan tek bir yüzü olan bir prizma var mıdır?

A) evet B) hayır C) bilmiyorum

12. Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeni yan kenarından daha az olabilir mi?

A) evet B) hayır C) bilmiyorum

13. Kenarı 10 olan bir küpün yan yüzey alanı nedir?

A) 40 B) 400 C) 100 D) 200

14. Köşegeni d ise küpün toplam yüzey alanı nedir?

A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2

15. Düzenli bir dörtgen piramidin kaç tane simetri düzlemi vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

16. Herhangi bir düzenli piramidin eksenel bölümü nedir?

A) eşkenar üçgen

B) dikdörtgen

B) yamuk

D) ikizkenar üçgen

lütfen testi çözmeme yardım edin

1. Birbiriyle çakışmayan iki farklı düzlemin kaç ortak doğrusu olabilir?
A) 1 B) 2 C) sonsuz sayıda D) hiçbiri E) Bilmiyorum
2. C noktasında kesişen iki doğru veriliyor. Bu doğrularla aynı düzlemde yer alan ve bu doğruların her biriyle ortak noktası olan üçüncü bir doğru var mı?
A) her zaman evet B) her zaman hayır C) yalanlar ama her zaman değil D) bilmiyorum
3. İfadenin doğru olup olmadığını belirleyin:
İki düzlem aynı doğruya paralel ise paraleldir.
A) evet B) hayır C) bilmiyorum D) her zaman değil
4. İki paralel düzlem arasındaki mesafe 8 cm olup, aralarına uçları düzlemlere ait olacak şekilde uzunluğu 17 cm olan bir doğru parçası yerleştirilmiştir. Bu parçanın her bir düzleme izdüşümünü bulun.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Bilmiyorum
5. Doğru ifadeyi oluşturmak için ifadeyi tamamlayın:
Birbirine dik iki düzlemden birinde yer alan bir doğru, bunların kesişim çizgisine dik ise...
A) başka bir düzleme paralel
B) başka bir düzlemle kesişir
B) başka bir düzleme dik
Bilmiyorum
6. a ve b çizgileri diktir. A ve B noktaları a düz doğrusuna, C ve D noktaları b düz doğrusuna aittir. AC ve BD düz çizgileri aynı düzlemde mi yer alıyor?
A) evet B) hayır C) her zaman değil D) bilmiyorum
7. ABCDA1B1C1D1 küpünde AC ve B1D1 yüzlerinin köşegenleri çizilmiştir. bunların göreceli konumu nedir?
A) kesişir B) kesişir C) paralel D) bilmiyorum
8. ABCDA1B1C1D1 küpünün kenarı m'ye eşittir. AB ve CC1 düz çizgileri arasındaki mesafeyi bulun.
A) 2m B) B) m D) Bilmiyorum
9. İfadenin doğru olup olmadığını belirleyin:
İki düz çizgi aynı düzlemle eşit açılar oluşturuyorsa bunlar paraleldir.
A) evet B) hayır C) her zaman değil D) bilmiyorum
10. ABCDA1B1C1D1 küpünde BCD ve ВСС1В1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Sadece bir tarafı tabana dik olan bir prizma var mıdır?
A) evet B) hayır C) bilmiyorum
12. Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeni yan kenarından küçük olabilir mi?
A) evet B) hayır C) bilmiyorum
13. Kenarı 10 olan bir küpün yan yüzeyinin alanı nedir?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Köşegeni d olan bir küpün toplam yüzey alanı nedir?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Düzenli bir dörtgen piramidin kaç tane simetri düzlemi vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Herhangi bir düzenli piramidin eksenel kesiti nedir?
A) eşkenar üçgen
B) dikdörtgen
B) yamuk
D) ikizkenar üçgen

Seçenek II 1. Üç ortak noktası olan iki düzlemin göreceli konumu hakkında ne söylenebilir?

aynı doğru üzerinde yer almayan noktalar?

2. İki farklı düzlemin yalnızca iki ortak noktası olabilir mi?

Doğrudan bir veB bir noktada kesişmek M. M noktasından geçmeyen bir c düz çizgisi bu doğrularla kesişiyor A Ve B. Bu üç doğrunun hepsi aynı düzlemde mi bulunuyor? Çizgilerin göreceli konumu nedir: 1) A 1 D Ve MN; 2) A 1 D Ve V1C; 3) MN Ve 1B1(Şekil 1). Doğrudan A Ve B düz bir çizgiyle geçti İle. Düz olabilir A Ve B paralel mi olacak? İki doğru aynı düzleme paraleldir. Bu doğruların birbirine paralel olduğunu söyleyebilir miyiz? Değilse, bunların göreceli konumu nedir? Şekil 2'de düz çizgiler var tip paralel. Puanlar A Ve İÇİNDE sırasıyla doğrudan türe aittir; B bir uçakta yatıyor α, a\\B. B ve c doğrularının göreceli konumu nedir? Verilen bir dörtgen ABCD ve uçak α. Onun köşegenleri AC Ve BD düzleme paralel α. Karşılıklı konum nedir AB ve uçaklar α? Yüzeyleri α ve β paraleldir. Bir noktada kesişiyor M dümdüz A Ve B düzlemle kesişmek α sırasıyla noktalarda İÇİNDE Ve A, ve düzlem β - noktalarda e Ve F Bir tutum bulun

10. Düzlük α paralel borunun tabanının köşegeninden ve üst tabanın kenarlarından birinin ortasından geçer. Bölüm türünü belirleyin.