Ortak kesrin tanımı

Tanım 1

Parça sayısını tanımlamak için ortak kesirler kullanılır. Ortak bir kesri tanımlamak için kullanılabilecek bir örneğe bakalım.

Elma 8$'lık hisselere bölündü. Bu durumda, her bir pay bir elmanın sekizde birini temsil eder, yani $\frac(1)(8)$. İki hisse $\frac(2)(8)$ ile, üç hisse $\frac(3)(8)$ vb. ile ve $8$ hisseler $\frac(8)(8)$ ile gösterilir. Sunulan girişlerin her birine denir sıradan kesir.

Sıradan bir kesrin genel bir tanımını verelim.

Tanım 2

Ortak kesir$\frac(m)(n)$ biçiminde bir notasyon olarak adlandırılır; burada $m$ ve $n$ herhangi bir doğal sayıdır.

Yaygın bir kesir için sıklıkla şu gösterimi bulabilirsiniz: $m/n$.

Örnek 1

Ortak kesir örnekleri:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Not 1

Sayılar $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ sıradan kesirler değildir çünkü yukarıdaki tanıma uymuyor.

Pay ve payda

Ortak bir kesir bir pay ve bir paydadan oluşur.

Tanım 3

Pay Sıradan bir kesir $\frac(m)(n)$, tek bir bütünden alınan eşit parçaların sayısını gösteren $m$ doğal sayısıdır.

Tanım 4

Payda Sıradan bir kesir $\frac(m)(n)$, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösteren $n$ doğal sayısıdır.

Şekil 1.

Pay kesir çizgisinin üstünde, payda ise kesir çizgisinin altında bulunur. Örneğin, $\frac(5)(17)$ ortak kesirinin payı $5$ sayısıdır ve paydası $17$ sayısıdır. Payda, ürünün 17$$'lık hisselere bölündüğünü, pay ise 5$$'lık hisselerin alındığını gösterir.

Paydası 1 olan kesir olarak doğal sayı

Ortak bir kesrin paydası bir olabilir. Bu durumda nesnenin bölünemez olduğu kabul edilir. tek bir bütünü temsil eder. Böyle bir kesrin payı kaç tane tam nesnenin alındığını gösterir. $\frac(m)(1)$ formunun sıradan bir kesri, $m$ doğal sayısı anlamına gelir. Böylece, sağlam temellere dayanan $\frac(m)(1)=m$ eşitliğini elde ederiz.

Eşitliği $m=\frac(m)(1)$ biçiminde yeniden yazarsak, bu, herhangi bir $m$ doğal sayısını sıradan bir kesir olarak temsil etmeyi mümkün kılacaktır. Örneğin, $5$ sayısı $\frac(5)(1)$ kesiriyle temsil edilebilir, $123\456$ sayısı $\frac(123\456)(1)$ kesiriyle temsil edilebilir.

Dolayısıyla, herhangi bir $m$ doğal sayısı, paydası $1$ olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve $\frac(m)(1)$ biçimindeki herhangi bir sıradan kesir, bir $m$ doğal sayısı ile değiştirilebilir.

Bölme işareti olarak kesirli çubuk

Bir nesneyi $n$ parça biçiminde temsil etmek, $n$ eşit parçaya bölmek demektir. Bir öğeyi $n$ hisselere böldükten sonra, $n$ kişi arasında eşit olarak paylaştırılabilir - her biri bir hisse alacaktır.

$n$ parçaya bölünmüş $m$ özdeş nesneler olsun. Bu $m$ öğeler, her kişiye $m$ öğelerin her birinden bir pay verilerek $n$ kişi arasında eşit olarak bölünebilir. Bu durumda, her kişi $\frac(1)(n)$'ın $m$ hissesini alacaktır, bu da $\frac(m)(n)$ ortak kesirini verir. $\frac(m)(n)$ ortak kesirinin, $m$ öğelerin $n$ kişiler arasında bölünmesini belirtmek için kullanılabileceğini bulduk.

Sıradan kesirler ile bölme arasındaki bağlantı, kesir çubuğunun bölme işareti olarak anlaşılabilmesiyle ifade edilir; $\frac(m)(n)=m:n$.

Sıradan bir kesir, tam bölme işlemi yapılmayan iki doğal sayının bölünmesinin sonucunu yazmayı mümkün kılar.

Örnek 2

Örneğin, 7$ elmanın 9$ kişiye bölünmesinin sonucu $\frac(7)(9)$ olarak yazılabilir, yani. herkes bir elmanın dokuzda yedisini alacak: $7:9=\frac(7)(9)$.

Eşit ve eşit olmayan kesirler, kesirlerin karşılaştırılması

İki sıradan kesri karşılaştırmanın sonucu, bunların eşitliği veya eşitsizliği olabilir. Adi kesirler eşit olduğunda bunlara eşit, aksi takdirde adi kesirlere eşit olmadığı denir.

eşit, eğer $a\cdot d=b\cdot c$ eşitliği doğruysa.

$\frac(a)(b)$ ve $\frac(c)(d)$ sıradan kesirlerine denir eşit olmayan, eğer $a\cdot d=b\cdot c$ eşitliği sağlanmıyorsa.

Örnek 3

$\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ kesirlerinin eşit olup olmadığını öğrenin.

Eşitlik sağlandı, bu da $\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ kesirlerinin eşit olduğu anlamına gelir: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$.

Bu örnek elmalar kullanılarak düşünülebilir: iki özdeş elmadan biri üç eşit paya, ikincisi ise 6$ paya bölünür. Bir elmanın altıda ikisinin $\frac(1)(3)$ pay oluşturduğu görülmektedir.

Örnek 4

$\frac(3)(17)$ ve $\frac(4)(13)$ normal kesirlerinin eşit olup olmadığını kontrol edin.

$a\cdot d=b\cdot c$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:

\ \

Eşitlik geçerli değil, yani $\frac(3)(17)$ ve $\frac(4)(13)$ kesirleri eşit değildir: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.

İki ortak kesri karşılaştırıp eşit olmadıklarını tespit ederek hangisinin diğerinden daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, sıradan kesirleri karşılaştırma kuralını kullanın: kesirleri ortak bir paydaya getirmeniz ve ardından paylarını karşılaştırmanız gerekir. Hangi kesrin payı büyükse o kesir de büyük olacaktır.

Koordinat ışınındaki kesirler

Sıradan kesirlere karşılık gelen tüm kesirli sayılar bir koordinat ışınında görüntülenebilir.

Koordinat ışınında $\frac(m)(n)$ kesrine karşılık gelen bir noktayı işaretlemek için, koordinatların orijininden uzunluğu $\ olan $m$ parçalarını pozitif yönde çizmek gerekir. frac(1)(n)$ bir birim segmentin kesri . Bu tür bölümler, bir birim bölümün $n$ eşit parçaya bölünmesiyle elde edilir.

Koordinat ışınında kesirli bir sayı görüntülemek için birim parçasını parçalara bölmeniz gerekir.

Şekil 2.

Eşit kesirler aynı kesirli sayı ile tanımlanır; eşit kesirler koordinat ışınındaki aynı noktanın koordinatlarını temsil eder. Örneğin, $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ koordinatları şunu tanımlar: Tüm yazılı kesirler eşit olduğundan koordinat ışınında aynı nokta.

Bir nokta daha büyük bir kesirli bir koordinatla tanımlanırsa, o zaman koordinatı daha küçük bir kesirli olan noktadan sağa yönlendirilen yatay koordinat ışınının sağında yer alacaktır. Örneğin, çünkü $\frac(5)(6)$ kesri $\frac(2)(6)$ kesirinden büyüktür, bu durumda $\frac(5)(6)$ koordinatına sahip nokta sağında bulunur $\frac(2) (6)$ koordinatına sahip nokta.

Benzer şekilde, koordinatı daha küçük olan bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda yer alacaktır.

Kesirler

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Kesirler lisede pek sıkıntı yaratmaz. Şu an için. Ta ki rasyonel üslü ve logaritmalı kuvvetlerle karşılaşıncaya kadar. Ve orada... Hesap makinesine basarsınız ve basarsınız ve hesap makinesi bazı sayıların tam ekranını gösterir. Üçüncü sınıftaki gibi kafanla düşünmek zorundasın.

Sonunda kesirleri bulalım! Peki, bunlarla ne kadar kafan karışabilir!? Üstelik her şey basit ve mantıklı. Bu yüzden, kesir türleri nelerdir?

Kesir türleri. Dönüşümler.

Üç tür kesir vardır.

1. Ortak kesirler , Örneğin:

Bazen yatay çizgi yerine eğik çizgi koyarlar: 1/2, 3/4, 19/5, vb. Burada bu yazımı sıklıkla kullanacağız. En üstteki numara aranır pay, daha düşük - payda. Eğer bu isimleri sürekli karıştırıyorsanız (olur...), kendinize şu cümleyi söyleyin: " Zzzzz Unutma! Zzzzz payda - bak zzzzz ah!" Bak, her şey hatırlanacak.)

Yatay veya eğimli çizgi şu anlama gelir: bölümüstteki sayıyı (pay) aşağıya (payda) doğru. Hepsi bu! Kısa çizgi yerine bölme işareti koymak oldukça mümkündür - iki nokta.

Tam bölünme mümkün olduğunda bu yapılmalıdır. Yani “32/8” kesri yerine “4” sayısını yazmak çok daha keyifli. Onlar. 32 basitçe 8'e bölünür.

32/8 = 32: 8 = 4

"4/1" kesirinden bahsetmiyorum bile. Bu da sadece "4". Tamamen bölünemiyorsa kesir olarak bırakıyoruz. Bazen tam tersi işlemi yapmanız gerekir. Tam sayıyı kesire dönüştürün. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.

2. Ondalık Sayılar , Örneğin:

Bu formda “B” görevlerinin cevaplarını yazmanız gerekecektir.

3. Karışık sayılar , Örneğin:

Lisede karışık sayılar pratikte kullanılmaz. Onlarla çalışabilmek için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Ancak bunu kesinlikle yapabilmeniz gerekiyor! Aksi takdirde bir problemde böyle bir sayıyla karşılaşırsınız ve donarsınız... Bir anda. Ancak bu prosedürü hatırlayacağız! Biraz daha aşağıda.

En çok yönlü ortak kesirler. Onlarla başlayalım. Bu arada, eğer bir kesir her türlü logaritmayı, sinüsü ve diğer harfleri içeriyorsa, bu hiçbir şeyi değiştirmez. Bir anlamda her şey Kesirli ifadelere sahip eylemlerin sıradan kesirli eylemlerden hiçbir farkı yoktur!

Bir kesrin temel özelliği.

Öyleyse gidelim! Başlangıç ​​olarak sizi şaşırtacağım. Kesir dönüşümlerinin tüm çeşitliliği tek bir özellik tarafından sağlanır! Buna denir bir kesrin temel özelliği. Hatırlamak: Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa (bölülürse) kesir değişmez. Onlar:

Yüzün morarıncaya kadar yazmaya devam edebileceğin açık. Sinüs ve logaritmaların kafanızı karıştırmasına izin vermeyin, bunlarla daha ayrıntılı olarak ilgileneceğiz. Önemli olan tüm bu çeşitli ifadelerin aynı kesir . 2/3.

Bütün bu dönüşümlere ihtiyacımız var mı? Evet! Şimdi kendiniz göreceksiniz. Başlangıç ​​olarak kesrin temel özelliğini kullanalım. kesirlerin azaltılması. Bu basit bir şey gibi görünebilir. Pay ve paydayı aynı sayıya bölün, işte bu kadar! Hata yapmak imkansızdır! Ama... insan yaratıcı bir varlıktır. Her yerde hata yapabilirsiniz! Hele ki 5/10 gibi bir kesri değil, her türlü harften oluşan kesirli bir ifadeyi azaltmanız gerekiyorsa.

Ekstra çalışma yapmadan kesirlerin doğru ve hızlı bir şekilde nasıl azaltılacağı özel Bölüm 555'te okunabilir.

Normal bir öğrenci pay ve paydayı aynı sayıya (veya ifadeye) bölme zahmetine girmez! Yukarıda ve aşağıda aynı olan her şeyin üstünü çiziyor! Tipik bir hatanın, deyim yerindeyse, bir gafın gizlendiği yer burasıdır.

Örneğin, ifadeyi basitleştirmeniz gerekir:

Burada düşünecek bir şey yok, üstteki “a” harfinin ve alttaki “2” harfinin üzerini çizin! Şunu elde ederiz:

Her şey doğru. Ama gerçekten bölünmüşsün Tümü pay ve Tümü payda "a"dır. Sadece üstünü çizmeye alışkınsanız, aceleyle ifadedeki "a" harfinin üstünü çizebilirsiniz.

ve tekrar al

Bu kategorik olarak doğru olmazdı. Çünkü burada Tümü"a" üzerindeki pay zaten paylaşılmadı! Bu oran azaltılamaz. Bu arada, böyle bir azalma öğretmen için ciddi bir zorluktur. Bu affedilmez! Hatırlıyor musun? Küçültürken bölmeniz gerekir Tümü pay ve Tümü payda!

Kesirlerin azaltılması hayatı çok daha kolaylaştırır. Bir yerde bir kesir elde edeceksiniz, örneğin 375/1000. Artık onunla çalışmaya nasıl devam edebilirim? Hesap makinesi olmadan mı? Çarp, diyelim, topla, karesini al!? Ve eğer çok tembel değilseniz ve dikkatlice beşe, beşe daha ve hatta kısaltılırken... kısaltırsanız, kısacası. Hadi 3/8'i alalım! Çok daha hoş, değil mi?

Bir kesrin ana özelliği, sıradan kesirleri ondalık sayılara ve bunun tersini dönüştürmenize olanak tanır hesap makinesi olmadan! Bu Birleşik Devlet Sınavı için önemli, değil mi?

Kesirler bir türden diğerine nasıl dönüştürülür?

Ondalık kesirlerle her şey basittir. Nasıl duyulursa öyle yazılır! 0,25 diyelim. Bu sıfır virgül yirmi beş yüzde bir. O halde şunu yazıyoruz: 25/100. Azaltıyoruz (pay ve paydayı 25'e bölüyoruz), normal kesri elde ediyoruz: 1/4. Tüm. Bu olur ve hiçbir şey azalmaz. 0.3 gibi. Bu onda üç, yani. 3/10.

Tamsayılar sıfır değilse ne olur? Önemli değil. Kesirin tamamını yazıyoruz virgül olmadan payda ve paydada - duyulanlar. Örneğin: 3.17. Bu üç virgül bin yedidir. Payda 317, paydada 100 yazarsak 317/100 elde ederiz. Hiçbir şey azalmaz, bu her şey demektir. Cevap bu. İlköğretim, Watson! Bütün söylenenlerden, yararlı bir sonuç: herhangi bir ondalık kesir ortak bir kesire dönüştürülebilir .

Ancak bazı kişiler hesap makinesi olmadan sıradan ondalık sayıya ters dönüşümü yapamazlar. Ve bu gerekli! Birleşik Devlet Sınavının cevabını nasıl yazacaksınız!? Dikkatlice okuyun ve bu süreçte uzmanlaşın.

Ondalık kesrin özelliği nedir? Onun paydası Her zaman maliyeti 10 veya 100 veya 1000 veya 10000 vb. Ortak kesirinizin paydası böyleyse sorun yok. Örneğin 4/10 = 0,4. Veya 7/100 = 0,07. Veya 12/10 = 1,2. Peki ya “B” bölümündeki görevin cevabı 1/2 olursa? Cevap olarak ne yazacağız? Ondalık sayılar gerekli...

Haydi hatırlayalım bir kesrin temel özelliği ! Matematik, pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmanıza olumlu bir şekilde izin verir. Bu arada, herhangi bir şey! Sıfır hariç elbette. O halde gelin bu özelliği lehimize kullanalım! Payda neyle çarpılabilir, yani? 2 yani 10 mu, 100 mü yoksa 1000 mi (daha küçükse daha iyidir elbette...)? Tabii ki saat 5'te. Paydayı çarpmaktan çekinmeyin (bu biz gerekli) 5 ile. Ancak bu durumda payın da 5 ile çarpılması gerekir. Bu zaten matematik talepler! 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5 elde ederiz. İşte bu.

Ancak her türlü payda karşımıza çıkıyor. Örneğin 3/16 kesiriyle karşılaşacaksınız. 16'yı neyle çarparak 100 veya 1000 olacağını bulmaya çalışın... İşe yaramıyor mu? Daha sonra 3'e 16'ya bölebilirsiniz. Hesap makinesinin yokluğunda, ilkokulda öğretildiği gibi bir kağıt parçası üzerinde köşeyle bölmeniz gerekecektir. 0,1875 elde ediyoruz.

Ayrıca çok kötü paydalar da var. Örneğin 1/3 kesirini iyi bir ondalık sayıya dönüştürmenin bir yolu yoktur. Hem hesap makinesinde hem de bir kağıt parçasında şunu elde ederiz: 0,3333333... Bu, 1/3'ün tam bir ondalık kesir olduğu anlamına gelir tercüme edilmedi. 1/7, 5/6 vb. ile aynı. Çevrilemeyen birçoğu var. Bu bizi başka bir yararlı sonuca getiriyor. Her kesir ondalık sayıya dönüştürülemez !

Bu arada, bu kendi kendini test etmek için yararlı bir bilgidir. "B" bölümünde cevabınızda ondalık kesir yazmalısınız. Ve örneğin 4/3'ü elde ettiniz. Bu kesir ondalık sayıya dönüşmez. Bu, yol boyunca bir yerde hata yaptığınız anlamına gelir! Geri dönüp çözümü kontrol edin.

Böylece sıradan ve ondalık kesirleri bulduk. Geriye kalan tek şey karışık sayılarla uğraşmak. Onlarla çalışmak için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Bu nasıl yapılır? Bir altıncı sınıf öğrencisini yakalayıp ona sorabilirsiniz. Ancak altıncı sınıf öğrencisi her zaman elinizin altında olmayacak... Bunu kendiniz yapmak zorunda kalacaksınız. Zor değil. Kesirli kısmın paydasını tam kısımla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir. Bu ortak kesrin payı olacaktır. Payda ne olacak? Payda aynı kalacaktır. Kulağa karmaşık geliyor ama gerçekte her şey basit. Bir örneğe bakalım.

Diyelim ki problemdeki sayıyı görünce dehşete düştünüz:

Sakince, paniğe kapılmadan düşünüyoruz. Parçanın tamamı 1. Birimdir. Kesirli kısım 3/7'dir. Dolayısıyla kesirli kısmın paydası 7'dir. Bu payda adi kesrin paydası olacaktır. Payını sayıyoruz. 7'yi 1 ile (tamsayı kısmı) çarpıyoruz ve 3'ü (kesirli kısmın payı) ekliyoruz. 10 alıyoruz. Bu ortak kesrin payı olacak. İşte bu. Matematiksel gösterimde daha da basit görünüyor:

Açık mı? O halde başarınızı güvence altına alın! Sıradan kesirlere dönüştürün. 10/7, 7/2, 23/10 ve 21/4 almalısınız.

Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya dönüştürmek olan ters işlem, lisede nadiren gereklidir. Peki öyleyse... Eğer lisede değilseniz özel Bölüm 555'e bakabilirsiniz. Bu arada burada bileşik kesirleri de öğreneceksiniz.

Eh, neredeyse hepsi bu. Kesir türlerini hatırladınız ve anladınız Nasıl bunları bir türden diğerine aktarın. Geriye şu soru kalıyor: Ne için bunu yap? Bu derin bilgiyi nerede ve ne zaman uygulamalı?

Cevap veriyorum. Herhangi bir örneğin kendisi gerekli eylemleri önerir. Örnekte sıradan kesirler, ondalık sayılar ve hatta karışık sayılar birbirine karıştırılırsa, her şeyi sıradan kesirlere dönüştürürüz. Her zaman yapılabilir. Eğer 0,8 + 0,3 gibi bir şey söylüyorsa, o zaman herhangi bir çeviri yapmadan bu şekilde sayarız. Neden ekstra çalışmaya ihtiyacımız var? Uygun olan çözümü seçiyoruz biz !

Görevin tamamı ondalık kesirlerden oluşuyorsa, ama ımm... bazı kötü olanlar, sıradan olanlara gidin, deneyin! Bak her şey yoluna girecek. Örneğin 0,125 sayısının karesini almanız gerekecek. Hesap makinesi kullanmaya alışmadıysanız bu o kadar kolay değil! Bir sütundaki sayıları çarpmanın yanı sıra virgülü nereye koyacağınızı da düşünmeniz gerekir! Kesinlikle kafanızda işe yaramayacak! Peki ya sıradan bir kesire geçersek?

0,125 = 125/1000. Bunu 5 oranında azaltıyoruz (bu yeni başlayanlar içindir). 25/200 alıyoruz. Bir kez daha 5'e kadar. 5/40 elde ederiz. Ah, hala küçülüyor! 5'e geri dönelim! 1/8 elde ederiz. Kolayca karesini alabiliriz (zihnimizde!) ve 1/64 elde edebiliriz. Tüm!

Bu dersi özetleyelim.

1. Üç tür kesir vardır. Ortak, ondalık ve karışık sayılar.

2. Ondalık sayılar ve karışık sayılar Her zaman sıradan kesirlere dönüştürülebilir. Ters aktarım her zaman değil olası

3. Bir görevde kullanılacak kesir türünün seçimi, görevin kendisine bağlıdır. Bir görevde farklı kesir türleri varsa en güvenilir şey sıradan kesirlere geçmektir.

Artık pratik yapabilirsiniz. Öncelikle bu ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Bunun gibi yanıtlar almalısınız (karmaşa içinde!):

Burada bitirelim. Bu dersimizde kesirlerle ilgili önemli noktalarda hafızamızı tazeledik. Ancak yenilenecek özel bir şey olmadığı da olur...) Birisi tamamen unutmuşsa veya henüz ustalaşmamışsa... O zaman özel bir Bölüm 555'e gidebilirsiniz. Tüm temel bilgiler burada ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Birçoğu aniden her şeyi anla başlıyorlar. Ve kesirleri anında çözerler).

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Makalede göstereceğiz kesirler nasıl çözülür basit ve anlaşılır örnekler kullanarak. Kesrin ne olduğunu bulalım ve düşünelim kesirleri çözme!

Konsept kesirler Ortaokul 6. sınıftan itibaren matematik derslerine dahil edilmektedir.

Kesirler ±X/Y şeklindedir, burada Y paydadır, bütünün kaç parçaya bölündüğünü, X pay ise bu parçalardan kaç tanesinin alındığını anlatır. Anlaşılır olması için pastayla ilgili bir örnek alalım:

İlk durumda pasta eşit şekilde kesilip yarısı alındı. 1/2. İkinci durumda pasta 7 parçaya bölündü, bunun 4 parçası alındı, yani. 4/7.

Bir sayının diğerine bölünen kısmı tam sayı değilse kesir olarak yazılır.

Örneğin 4:2 = 2 ifadesi bir tamsayı verir ancak 4:7 bir tama bölünemediğinden bu ifade 4/7 kesir olarak yazılır.

Başka bir deyişle kesir iki sayının veya ifadenin bölünmesini ifade eden ve kesirli eğik çizgi kullanılarak yazılan bir ifadedir.

Pay paydadan küçükse kesir doğru, tersi ise yanlış kesirdir. Bir kesir bir tam sayı içerebilir.

Örneğin 5 tam 3/4.

Bu giriş, 6'nın tamamını elde etmek için dört parçadan birinin eksik olduğu anlamına gelir.

Hatırlamak istersen 6. sınıf için kesirler nasıl çözülür? bunu anlamalısın kesirleri çözme, temel olarak birkaç basit şeyi anlamaya gelir.

• Kesir aslında bir kesrin ifadesidir. Yani verilen bir değerin bir bütünün hangi parçası olduğunun sayısal ifadesidir. Örneğin 3/5 kesri, bir bütünü 5 parçaya böldüğümüzde ve bu bütünün pay veya parça sayısının üç olduğunu ifade eder.
• Kesir 1'den küçük olabilir, örneğin 1/2 (veya esas olarak yarısı), o zaman doğrudur. Kesir 1'den büyükse, örneğin 3/2 (üç yarım veya bir buçuk), o zaman yanlıştır ve çözümü basitleştirmek için tam parçayı 3/2 = 1 tam 1 olarak seçmek bizim için daha iyidir. /2.
• Kesirler 1, 3, 10 ve hatta 100 ile aynı sayılardır, yalnızca sayılar tam sayı değil kesirdir. Sayılarla yapılan işlemlerin aynısını onlarla da gerçekleştirebilirsiniz. Kesirleri saymak artık zor değil ve bunu spesifik örneklerle daha ayrıntılı olarak göstereceğiz.

Kesirler nasıl çözülür? Örnekler.

Kesirlere çok çeşitli aritmetik işlemler uygulanabilir.

Bir kesri ortak paydaya indirgemek

Örneğin 3/4 ve 4/5 kesirlerini karşılaştırmanız gerekir.

Sorunu çözmek için önce en düşük ortak paydayı buluyoruz, yani. kesirlerin paydalarından her birine kalansız bölünebilen en küçük sayı

En küçük ortak payda(4.5) = 20

Daha sonra her iki kesrin paydası en küçük ortak paydaya indirgenir.

Cevap: 15/20

Kesirleri toplama ve çıkarma

İki kesirin toplamını hesaplamak gerekiyorsa, önce bunlar ortak bir paydaya getirilir, ardından paylar eklenir, payda değişmeden kalır. Kesirler arasındaki fark da aynı şekilde hesaplanır, tek fark payların çıkarılmasıdır.

Örneğin 1/2 ve 1/3 kesirlerinin toplamını bulmanız gerekiyor

Şimdi 1/2 ve 1/4 kesirleri arasındaki farkı bulalım

Kesirlerde Çarpma ve Bölme

Burada kesirleri çözmek zor değil, burada her şey oldukça basit:

• Çarpma - kesirlerin payları ve paydaları birlikte çarpılır;
• Bölme - önce ikinci kesrin tersini elde ederiz, yani. Payını ve paydasını değiştiririz, ardından elde edilen kesirleri çarparız.

Örneğin:

bu kadar kesirler nasıl çözülür, Tüm. Hala sorularınız varsa kesirleri çözme, belirsiz bir şey varsa yorumlara yazın, size kesinlikle cevap vereceğiz.

Öğretmen iseniz, belki ilkokul için bir sunum (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) indirmek sizin için yararlı olacaktır.

Kesirlerle okulda çalışmaya başlamadan çok daha önce karşılaşırız. Bir elmayı tam olarak ikiye bölersek meyvenin yarısını elde ederiz. Tekrar keselim - ¼ olacak. Bunlar kesirler. Ve her şey basit görünüyordu. Bir yetişkin için. Bir çocuk için (ve bu konu ilkokulun sonunda incelenmeye başlar), soyut matematiksel kavramlar hala korkutucu derecede anlaşılmazdır ve öğretmen, doğru ve yanlış kesrin, ortak ve ondalık sayının ne olduğunu, hangi işlemlerin yapılabileceğini açıkça açıklamalıdır. onlarla ve en önemlisi tüm bunlara neden ihtiyaç duyulduğu.

Ne tür kesirler vardır?

Okulda yeni bir konunun tanıtılması sıradan kesirlerle başlar. Üstteki ve alttaki iki sayıyı ayıran yatay çizgiyle kolayca tanınırlar. Üsttekine pay, alttakine ise payda denir. Ayrıca uygunsuz ve doğru sıradan kesirleri eğik çizgiyle yazmak için küçük harf seçeneği de vardır, örneğin: ½, 4/9, 384/183. Bu seçenek, satır yüksekliğinin sınırlı olduğu ve “iki katlı” giriş formunun kullanılmasının mümkün olmadığı durumlarda kullanılır. Neden? Evet çünkü daha kullanışlı. Bunu biraz sonra göreceğiz.

Sıradan kesirlerin yanı sıra ondalık kesirler de vardır. Bunları ayırt etmek çok basittir: Bir durumda yatay veya eğik çizgi kullanılıyorsa, diğerinde sayı dizilerini ayırmak için virgül kullanılır. Bir örneğe bakalım: 2.9; 163.34; 1.953. Sayıları sınırlandırmak için kasıtlı olarak ayırıcı olarak noktalı virgül kullandık. Bunlardan ilki şu şekilde okunacak: "iki virgül dokuz."

Yeni konseptler

Sıradan kesirlere dönelim. İki tipte gelirler.

Düzgün kesirin tanımı şu şekildedir: Payı paydasından küçük olan kesirdir. Bu neden önemli? Şimdi göreceğiz!

Birkaç elmanız var, yarıya bölünmüş. Toplam - 5 parça. Nasıl dersiniz: “iki buçuk” veya “beş buçuk” elmanız var mı? Elbette ilk seçenek kulağa daha doğal geliyor ve bunu arkadaşlarımızla konuşurken kullanacağız. Ama her kişinin kaç meyve alacağını hesaplamamız gerekirse, şirkette beş kişi varsa 5/2 sayısını yazıp 5'e böleriz - matematiksel açıdan bu daha net anlaşılır. .

Yani, doğru ve yanlış kesirleri adlandırmak için kural şudur: Bir kesirde tam kısım ayırt edilebiliyorsa (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), o zaman düzensizdir. ½, 13/16, 9/10 gibi bu yapılamıyorsa doğru olacaktır.

Bir kesrin temel özelliği

Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla aynı anda çarpılır veya bölünürse değeri değişmez. Düşünün: Pastayı 4 eşit parçaya bölüp size bir tane verdiler. Aynı pastayı sekiz parçaya bölüp sana ikisini verdiler. Gerçekten önemli mi? Sonuçta ¼ ile 2/8 aynı şeydir!

Kesinti

Matematik ders kitaplarındaki problemlerin ve örneklerin yazarları genellikle yazması zahmetli olan ancak aslında kısaltılabilen kesirler sunarak öğrencilerin kafasını karıştırmaya çalışırlar. İşte uygun bir kesir örneği: 167/334, öyle görünüyor ki, çok "korkutucu" görünüyor. Ama aslında bunu ½ olarak da yazabiliriz. 334 sayısı 167'ye kalansız bölünebilir - bu işlemi yaptıktan sonra 2 elde ederiz.

Karışık sayılar

Uygunsuz bir kesir, karışık bir sayı olarak temsil edilebilir. Bu, parçanın tamamının öne getirilerek yatay çizgi seviyesinde yazılmasıdır. Aslında ifade bir toplam şeklini alır: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 vb.

Parçanın tamamını çıkarmak için payı paydaya bölmeniz gerekir. Bölmenin geri kalanını en üste, çizginin üstüne ve tamamını ifadeden önce yazın. Böylece iki yapısal parça elde ederiz: tam birimler + doğru kesir.

Ters işlemi de gerçekleştirebilirsiniz - bunu yapmak için tamsayı kısmını paydayla çarpmanız ve elde edilen değeri paya eklemeniz gerekir. Karmaşık bir şey yok.

Çarpma ve bölme

İşin garibi, kesirleri çarpmak toplama yapmaktan daha kolaydır. Tek yapmanız gereken yatay çizgiyi uzatmak: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Bölme işleminde de her şey basittir: Kesirleri çapraz olarak çarpmanız gerekir: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Kesirleri Ekleme

Toplama yapmanız gerekiyorsa veya paydada farklı sayılar varsa ne yapmalısınız? Çarpma işleminde olduğu gibi aynısını yapmak işe yaramayacaktır - burada uygun kesirin tanımını ve özünü anlamalısınız. Terimleri ortak bir paydaya getirmek gerekiyor, yani her iki kesrin tabanının aynı sayılara sahip olması gerekiyor.

Bunu yapmak için kesirin temel özelliğini kullanmalısınız: her iki parçayı da aynı sayıyla çarpın. Örneğin, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Terimlerin hangi paydaya indirileceği nasıl seçilir? Bu, kesirlerin paydalarındaki her iki sayının katı olan minimum sayı olmalıdır: 1/3 ve 1/9 için 9 olacaktır; ½ ve 1/7 - 14 için, çünkü 2 ve 7'ye kalansız bölünebilen daha küçük bir değer yoktur.

Kullanım

Uygun olmayan kesirler ne için kullanılır? Sonuçta, tüm parçayı hemen seçmek, karışık bir sayı elde etmek ve bu işi bitirmek çok daha uygundur! İki kesri çarpmanız veya bölmeniz gerekiyorsa, düzensiz olanları kullanmanın daha karlı olduğu ortaya çıktı.

Şu örneği ele alalım: (2 + 3/17) / (37/68).

Görünüşe göre kesilecek hiçbir şey yok. Peki ya toplama sonucunu ilk parantez içine bileşik kesir olarak yazarsak? Bak: (37/17) / (37/68)

Artık her şey yerine oturuyor! Örneği her şey belli olacak şekilde yazalım: (37*68) / (17*37).

Pay ve paydadaki 37'yi iptal edelim ve son olarak üst ve alt kısmı 17'ye bölelim. Doğru ve yanlış kesirlerin temel kuralını hatırlıyor musunuz? Pay ve payda için aynı anda yaptığımız sürece bunları herhangi bir sayıyla çarpabilir ve bölebiliriz.

Böylece cevabı alıyoruz: 4. Örnek karmaşık görünüyordu, ancak cevap yalnızca bir sayı içeriyor. Bu matematikte sıklıkla olur. Önemli olan korkmamak ve basit kurallara uymaktır.

Yaygın Hatalar

Uygulama yaparken öğrenci sık yapılan hatalardan birini kolaylıkla yapabilir. Genellikle dikkatsizlik nedeniyle ve bazen de çalışılan materyalin henüz kafada uygun şekilde saklanmaması nedeniyle ortaya çıkarlar.

Çoğu zaman paydaki sayıların toplamı, bireysel bileşenlerini azaltmak istemenize neden olur. Örnekte diyelim ki: (13 + 2) / 13, parantezsiz (yatay çizgiyle) yazılmış, birçok öğrenci deneyimsizlik nedeniyle üstte ve altta 13'ü çiziyor. Ancak bu hiçbir koşulda yapılmamalıdır çünkü bu büyük bir hatadır! Toplama yerine çarpma işareti olsaydı cevapta 2 sayısını alırdık. Ancak toplama yaparken terimlerden biriyle hiçbir işlem yapılmasına izin verilmez, yalnızca toplamın tamamıyla işlem yapılmasına izin verilir.

Erkekler ayrıca kesirleri bölerken sıklıkla hata yaparlar. İndirgenemeyen iki tam kesir alıp birbirine bölelim: (5/6) / (25/33). Öğrenci bunu karıştırıp ortaya çıkan ifadeyi (5*25) / (6*33) şeklinde yazabilir. Ancak çarpma işleminde bu olur, ancak bizim durumumuzda her şey biraz farklı olacaktır: (5*33) / (6*25). Mümkün olanı azaltıyoruz ve cevap 11/10 olacak. Ortaya çıkan uygunsuz kesri ondalık sayı olarak yazıyoruz - 1.1.

Parantez

Herhangi bir matematiksel ifadede işlem sırasının, işlem işaretlerinin önceliğine ve parantezlerin varlığına göre belirlendiğini unutmayın. Diğer her şey eşit olduğunda eylemlerin sırası soldan sağa doğru sayılır. Bu aynı zamanda kesirler için de geçerlidir - pay veya paydadaki ifade kesinlikle bu kurala göre hesaplanır.

Sonuçta bu, bir sayının diğerine bölünmesinin sonucudur. Eşit olarak bölünmezlerse, kesir haline gelir - hepsi bu.

Bilgisayarda kesir nasıl yazılır

Standart araçlar her zaman iki “katmandan” oluşan bir kesir oluşturmaya izin vermediğinden, öğrenciler bazen çeşitli hilelere başvururlar. Örneğin pay ve paydaları Paint grafik düzenleyicisine kopyalayıp birbirine yapıştırarak aralarında yatay bir çizgi çiziyorlar. Elbette, gelecekte işinize yarayacak birçok ek özellik sağlayan daha basit bir seçenek de var.

Microsoft Word'ü açın. Ekranın üst kısmındaki panellerden birine "Ekle" denir - tıklayın. Sağ tarafta pencereyi kapat ve simge durumuna küçült simgelerinin bulunduğu tarafta “Formül” butonu bulunmaktadır. Tam olarak ihtiyacımız olan şey bu!

Bu işlevi kullanırsanız, ekranda klavyede olmayan herhangi bir matematiksel işareti kullanabileceğiniz ve kesirleri klasik biçimde yazabileceğiniz dikdörtgen bir alan görünecektir. Yani pay ve paydayı yatay bir çizgiyle bölmek. Hatta böylesine düzgün bir kesir yazmanın bu kadar kolay olmasına şaşırabilirsiniz.

Matematik öğren

Eğer 5-6. Sınıftaysanız, yakında birçok okul dersinde matematik bilgisi (kesirlerle çalışma yeteneği dahil!) gerekli olacaktır. Fizikteki hemen hemen her problemde, kimyada, geometride ve trigonometride maddelerin kütlesini ölçerken kesirler olmadan yapamazsınız. Yakında, ifadeleri kağıda bile yazmadan kafanızda her şeyi hesaplamayı öğreneceksiniz, ancak giderek daha karmaşık örnekler ortaya çıkacak. Öyleyse düzgün kesirin ne olduğunu ve onunla nasıl çalışılacağını öğrenin, müfredatınıza uyun, ödevinizi zamanında yapın, başarılı olacaksınız.

Bir birimin bir kısmına veya birkaç kısmına basit veya ortak kesir denir. Bir birimin bölündüğü eşit parça sayısına payda, alınan parça sayısına ise pay denir. Kesir şu şekilde yazılır:

Bu durumda a pay, b ise paydadır.

Pay, paydadan küçükse kesir 1'den küçüktür ve bu kesre gerçek kesir denir. Pay paydadan büyükse, kesir 1'den büyükse bu kesre uygunsuz kesir denir.

Bir kesrin payı ve paydası eşitse kesir eşittir.

1. Pay paydaya bölünebiliyorsa, bu kesir bölümün bölümüne eşittir:

Bölme bir kalanla yapılırsa, bu uygunsuz kesir karışık bir sayı ile temsil edilebilir, örneğin:

O halde 9 tamamlanmamış bir bölümdür (karışık bir sayının tamsayı kısmı),
1 - kalan (kesirli kısmın payı),
5 paydadır.

Tam sayılı bir sayıyı kesre dönüştürmek için tam sayının tamamını paydayla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir.

Ortaya çıkan sonuç ortak kesrin payı olacaktır, ancak payda aynı kalacaktır.

Kesirlerle işlemler

Kesir genişlemesi. Bir kesrin payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıyla çarptığınızda değeri değişmez.
Örneğin:

Bir kesri azaltmak. Bir kesrin payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıya bölerseniz değeri değişmez.
Örneğin:

Kesirlerin karşılaştırılması. Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan daha büyüktür:

Paydası aynı olan iki kesirden payı büyük olan daha büyüktür:

Payları ve paydaları farklı olan kesirleri karşılaştırmak için onları genişletmek, yani ortak bir paydaya getirmek gerekir. Örneğin aşağıdaki kesirleri düşünün:

Kesirlerde toplama ve çıkarma. Kesirlerin paydaları aynıysa, kesirleri toplamak için paylarını eklemeniz, kesirleri çıkarmak için paylarını çıkarmanız gerekir. Ortaya çıkan toplam veya fark, sonucun payı olacak, ancak payda aynı kalacaktır. Kesirlerin paydaları farklıysa öncelikle kesirleri ortak bir paydaya indirgemeniz gerekir. Tam sayılı sayılar toplanırken tam ve kesirli kısımları ayrı ayrı toplanır. Karışık sayıları çıkarırken, önce bunları bileşik kesirler biçimine dönüştürmeniz, ardından birini diğerinden çıkarmanız ve ardından gerekirse sonucu tekrar karma sayı biçimine dönüştürmeniz gerekir.

Kesirlerin Çarpılması. Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız ve ilk çarpımı ikinciye bölmeniz gerekir.

Kesirlerin bölünmesi. Bir sayıyı bir kesre bölmek için bu sayıyı ters kesirle çarpmanız gerekir.

Ondalık- bu, birin on, yüz, bin vb.'ye bölünmesinin sonucudur. parçalar. Sayının önce tam kısmı yazılır, sonra sağa bir virgül konur. Ondalık noktadan sonraki ilk rakam, ondalıkların sayısı, ikincisi yüzde birlerin sayısı, üçüncüsü binde birlerin sayısı vb. anlamına gelir. Ondalık noktadan sonraki sayılara ondalık sayılar denir.

Örneğin:

Ondalık Sayıların Özellikleri

Özellikler:

• Sağa sıfır eklerseniz ondalık kesir değişmez: 4,5 = 4,5000.
• Ondalık sayının sonundaki sıfırları kaldırırsanız ondalık sayı değişmez: 0,0560000 = 0,056.
• Ondalık sayı 10, 100, 1000 vb. artar. kez, virgül bir, iki, üç vb. hareket ettirilirse sağdaki pozisyonlar: 4,5 45 (kesir 10 kat arttı).
• Ondalık kesirler 10, 100, 1000 vb. azaltılır. kez, virgül bir, iki, üç vb. hareket ettirilirse soldaki pozisyonlar: 4,5 0,45 (kesir 10 kat azaldı).

Periyodik bir ondalık kesir, nokta adı verilen sonsuz sayıda tekrarlanan bir rakam grubunu içerir: 0,321321321321…=0,(321)

Ondalık sayılarla işlemler

Ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması, tam sayıların toplanması ve çıkarılmasıyla aynı şekilde çalışır; karşılık gelen ondalık sayıları alt alta yazmanız yeterlidir.
Örneğin:

Ondalık kesirlerin çarpılması birkaç aşamada gerçekleştirilir:

• Ondalık sayıları göz ardı ederek tam sayı olarak çarpıyoruz.
• Kural geçerlidir: Çarpımdaki ondalık basamakların sayısı, tüm faktörlerdeki ondalık basamakların toplamına eşittir.

Örneğin:

Faktörlerdeki ondalık basamakların toplamı şuna eşittir: 2+1=3. Şimdi ortaya çıkan sayının sonundan itibaren 3 rakamı saymanız ve bir ondalık nokta koymanız gerekiyor: 0,675.

Ondalık sayıları bölme. Ondalık kesirin bir tam sayıya bölünmesi: Bölen bölenden küçükse, bölümün tamsayı kısmına sıfır yazmanız ve ondan sonra bir ondalık virgül koymanız gerekir. Daha sonra, temettü payının ondalık noktasını hesaba katmadan, kesirli kısmın bir sonraki basamağını tam kısmına ekleyin ve temettü payının elde edilen tam kısmını tekrar bölenle karşılaştırın. Yeni sayı yine bölenden küçükse işlemin tekrarlanması gerekir. Bu işlem, elde edilen temettü bölenden büyük olana kadar tekrarlanır. Daha sonra tam sayılarda olduğu gibi bölme işlemi yapılır. Bölünen bölenden büyük veya ona eşitse önce tamamını bölün, bölümün sonucunu bölüme yazın ve virgül koyun. Bundan sonra tam sayılarda olduğu gibi bölme işlemine devam edilir.

Bir ondalık kesirin diğerine bölünmesi: İlk olarak, bölen ve bölendeki ondalık noktalar, bölendeki ondalık basamakların sayısına aktarılır, yani böleni bir tamsayı yaparız ve yukarıda açıklanan eylemler gerçekleştirilir.

Ondalık bir kesri ortak bir kesire dönüştürmek için, pay olarak ondalık noktadan sonraki sayıyı almanız ve payda olarak onun k'inci kuvvetini almanız gerekir (k, ondalık basamakların sayısıdır). Sıfır olmayan tam sayı kısmı sıradan bir kesirde saklanır; sıfır tamsayı kısmı atlanır.
Örneğin:

Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için bölme kurallarına uygun olarak payı paydaya bölmeniz gerekir.

Yüzde, bir birimin yüzde biri kadardır; örneğin: %5, 0,05 anlamına gelir. Oran, bir sayının diğerine bölümüdür. Oran, iki oranın eşitliğidir.

Örneğin:

Oranın temel özelliği: Oranın uç terimlerinin çarpımı orta terimlerinin çarpımına eşittir, yani 5x30 = 6x25. Karşılıklı olarak bağımlı iki miktar, miktarlarının oranı değişmeden kalırsa (orantılılık katsayısı) orantılı olarak adlandırılır.

Böylece aşağıdaki aritmetik işlemler tespit edilmiştir.
Örneğin:

Rasyonel sayılar kümesi pozitif ve negatif sayıları (tamsayılar ve kesirler) ve sıfırdan oluşur. Matematikte kabul edilen rasyonel sayıların daha kesin bir tanımı şudur: Bir sayı, a ve b'nin tam sayılar olduğu formun sıradan indirgenemez bir kesri olarak temsil edilebiliyorsa rasyonel olarak adlandırılır.

Negatif bir sayı için mutlak değer (modül), işaretinin “-” yerine “+” olarak değiştirilmesiyle elde edilen pozitif bir sayıdır; pozitif bir sayı ve sıfır için - sayının kendisi. Bir sayının modülünü belirtmek için bu sayının içinde yazıldığı iki düz çizgi kullanılır, örneğin: |–5|=5.

Mutlak değerin özellikleri

Bir sayının modülü verilsin , bunun için aşağıdaki özellikler doğrudur:

Tek terimli, her biri bir sayı, bir harf veya bir harfin kuvveti olan iki veya daha fazla faktörün çarpımıdır: 3 x a x b. Katsayı çoğunlukla sadece sayısal bir çarpan olarak adlandırılır. Monomlar aynıysa veya yalnızca katsayılar farklıysa benzer denir. Bir monomun derecesi onun tüm harflerinin üslerinin toplamıdır. Monomların toplamı arasında benzer olanlar varsa, toplam daha basit bir forma indirgenebilir: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Bu işleme benzer terimlerin getirilmesi veya parantezlerin dışına çıkarılması denir.

Bir polinom, monomların cebirsel toplamıdır. Bir polinomun derecesi, verilen polinomun içerdiği monomların derecelerinin en büyüğüdür.

Aşağıdaki kısaltılmış çarpma formülleri mevcuttur:

Çarpanlara ayırma yöntemleri:

Cebirsel kesir, A ve B'nin bir sayı, bir monom veya bir polinom olabileceği formun bir ifadesidir.

İki ifade (sayısal ve alfabetik) “=” işaretiyle birbirine bağlanırsa, bunların bir eşitlik oluşturduğu söylenir. İçinde yer alan harflerin izin verilen tüm sayısal değerleri için geçerli olan herhangi bir gerçek eşitliğe kimlik denir.

Denklem, içinde yer alan harflerin belirli değerleri için geçerli olan gerçek bir eşitliktir. Bu harflere bilinmeyenler (değişkenler) adı verilir ve bu denklemin kimliğe dönüştüğü değerlerine denklemin kökleri denir.

Bir denklemi çözmek onun tüm köklerini bulmak anlamına gelir. İki veya daha fazla denklemin kökleri aynıysa eşdeğer denir.

• sıfır denklemin köküydü;
• denklemin yalnızca sınırlı sayıda kökü vardı.

Temel cebirsel denklem türleri:

Doğrusal denklem ax + b = 0 için:

• a x 0 ise tek bir kök vardır x = -b/a;
• a = 0, b ≠ 0 ise kök yoktur;
• a = 0, b = 0 ise kök herhangi bir gerçek sayıdır.

Denklem xn = a, n N:

• n tek bir sayı ise, herhangi bir a için a/n'ye eşit bir gerçek kök vardır;
• n bir çift sayı ise 0 için iki kökü vardır.

Temel kimlik dönüşümleri: bir ifadenin kendisine tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesi; denklem terimlerinin bir taraftan diğer tarafa zıt işaretlerle aktarılması; Bir denklemin her iki tarafının sıfır dışında aynı ifadeyle (sayı) çarpılması veya bölünmesi.

Bir bilinmeyenli doğrusal denklem şu formda bir denklemdir: ax+b=0; burada a ve b bilinen sayılardır ve x bilinmeyen bir miktardır.

İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi şu şekildedir:

a, b, c, d, e, f sayıları verildiğinde; x, y bilinmiyor.

a, b, c, d sayıları bilinmeyenlerin katsayılarıdır; e, f serbest terimlerdir. Bu denklem sisteminin çözümü iki ana yöntemle bulunabilir: ikame yöntemi: bir denklemden bilinmeyenlerden birini katsayılar aracılığıyla ve diğer bilinmeyeni ifade ederiz ve ardından bunu ikinci denklemde yerine koyarız, önce son denklemi çözeriz; bir bilinmeyen buluyoruz, sonra bulunan değeri ilk denklemde yerine koyuyoruz ve ikinci bilinmeyeni buluyoruz; bir denklemi diğerine ekleme veya çıkarma yöntemi.

Köklerle yapılan işlemler:

Negatif olmayan bir a sayısının n'inci derecesinin aritmetik kökü, n'inci derecesi a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır. Belirli bir sayının n'inci derecesinin cebirsel kökü, bu sayının tüm köklerinin kümesidir.

İrrasyonel sayılar, rasyonel sayıların aksine, m ve n'nin tam sayılar olduğu m/n formunun sıradan indirgenemez kesirleri olarak temsil edilemez. Bunlar, herhangi bir hassasiyetle hesaplanabilen, ancak rasyonel bir sayıyla değiştirilemeyen yeni türde sayılardır. Geometrik ölçümlerin bir sonucu olarak ortaya çıkabilirler, örneğin: bir karenin köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranı eşittir.

İkinci dereceden bir denklem ikinci derece ax2+bx+c=0'ın cebirsel bir denklemidir; burada a, b, c'ye sayısal veya harf katsayıları verilir ve x bir bilinmeyendir. Bu denklemin tüm terimlerini a'ya bölersek sonuç x2+px+q=0 olur - indirgenmiş denklem p=b/a, q=c/a. Kökleri aşağıdaki formülle bulunur:

b2-4ac>0 ise iki farklı kök vardır, b2-4ac=0 ise iki eşit kök vardır; b2-4ac Modül içeren denklemler

Modüller içeren temel denklem türleri:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, burada f(x), g(x), fk(x), gk(x) fonksiyonları verilmiştir.