İleri geri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.
Hedef: Yalnızca çarpma işlemlerini içeren bir ifadeyi basitleştirmeyi öğrenin.
Görevler(Slayt 2):
- Çarpmanın birleşme özelliğini tanıtın.
- Hesaplamaları rasyonelleştirmek için çalışılan özelliği kullanma olasılığı hakkında bir fikir oluşturmak.
- “Matematik” konusunu kullanarak “hayat” problemlerini çözme olasılığı hakkında fikir geliştirmek.
- Entelektüel ve iletişimsel genel eğitim becerilerini geliştirin.
- Kişinin eylemlerinin sonuçlarını bağımsız olarak değerlendirme, kendini kontrol etme, kendi hatalarını bulma ve düzeltme yeteneği de dahil olmak üzere örgütsel genel eğitim becerilerini geliştirin.
Ders türü: yeni materyal öğrenmek.
Ders planı:
1. Organizasyon anı.
2. Sözlü sayma. Matematiksel ısınma.
Hattatlık hattı.
3. Dersin konusunu ve hedeflerini rapor edin.
4. Yeni materyali incelemeye hazırlık.
5. Yeni materyalin incelenmesi.
6. Beden eğitimi dakikası
7. N'nin konsolidasyonu üzerinde çalışın. m.sorunun çözülmesi.
8. İşlenen konunun tekrarı.
9. Ders özeti.
10. Yansıma
11. Ödev.
Teçhizat: görev kartları, görsel materyal (tablolar), sunum.
DERSLER SIRASINDA
I. Organizasyon anı
Zil çaldı ve durdu.
Ders başlıyor.
Sessizce masana oturdun
Herkes bana baktı.
II. Sözlü sayma
– Sözlü olarak sayalım:
1) “Komik papatyalar” (Slayt 3-7 çarpım tablosu)
2) Matematiksel ısınma. Oyun “Garip olanı bulun” (Slayt 8)
- 485 45 864 947 670 134 (Gruplara göre sınıflandırma EKSTRA 45 - iki haneli, 670 - numara kaydında 4 rakamı yoktur).
- 9 45 72 90 54 81 27 22 18 (9 tek hanelidir, 22 9'a bölünemez)
Hattatlık hattı. Numaraları dönüşümlü olarak not defterinize yazın: 45 22 670 9
– Yazılan en düzgün sayının altını çizin
III. Dersin konusunu ve hedeflerini rapor edin.(Slayt 9)
–
Dersin tarihini ve konusunu yazın.
– Dersimizin hedeflerini okuyun
IV. Yeni materyali incelemeye hazırlanma
a) İfade doğru mu?
Tahtaya yaz:
(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7
– Kullanılan toplama özelliğini adlandırın. (İşbirlikçi)
– Birleşen mülk nasıl bir fırsat sağlıyor?
Kombinasyon özelliği, yalnızca toplama içeren ifadelerin parantez olmadan yazılmasını mümkün kılar.
43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17
– Bu durumda toplama işleminin hangi özelliklerini uygulayacağız?
Kombinasyon özelliği, yalnızca toplama içeren ifadelerin parantez olmadan yazılmasını mümkün kılar. Bu durumda hesaplamalar herhangi bir sırayla yapılabilir.
– Bu durumda toplama işleminin diğer bir özelliğine ne ad verilir? (Değişmeli)
– Bu ifade zorluk yaratıyor mu? Neden? (İki basamaklı bir sayıyı tek basamaklı bir sayıyla çarpmayı bilmiyoruz)
V. Yeni materyalin incelenmesi
1) İfadelerin yazıldığı sıraya göre çarpma işlemi yaparsak zorluklar ortaya çıkar. Bu zorlukların üstesinden gelmemize ne yardımcı olacak?
(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6
2) Ders kitabına göre çalışın s. 70, Sayı. 305 (Kurt ve Tavşan'ın alacağı sonuçlarla ilgili tahmininizi yapın. Hesaplamaları yaparak kendinizi sınayın).
3) Sayı 305. İfadelerin değerlerinin eşit olup olmadığını kontrol edin. Sözlü olarak.
Tahtaya yaz:
(5 2) 3 ve 5 (2 3)
(4 7) 5 ve 4 (7 5)
4) Bir sonuç çıkarın. Kural.
İki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz.
– Çarpmanın birleşme özelliğini açıklayın.
– Çarpmanın birleşme özelliğini örneklerle açıklayın
5) Takım Çalışması
Tahtada: (8 3) 2, (6 3) 3, 2 (4 7)
VI. Fizminutka
1) Oyun "Ayna". (Slayt 10)
Aynam söyle bana
Bana tüm gerçeği söyle.
Dünyadaki herkesten daha mı akıllıyız?
En komik ve en komik?
Benden sonra tekrar et
Yaramaz fiziksel egzersizlerin komik hareketleri.
2) “Keskin Gözler” gözleri için fiziksel egzersiz.
– 7 saniye boyunca gözlerinizi kapatın, sağa, sonra sola, yukarı, aşağı bakın, ardından gözlerinizle saat yönünde 6, saat yönünün tersine 6 daire yapın.
VII. Öğrenilenlerin pekiştirilmesi
1) Ders kitabına göre çalışın. sorunun çözümü. (Slayt 11)
(s. 71, sayı 308) Metni okuyunuz. Bunun bir görev olduğunu kanıtlayın. (Bir koşul, bir soru var)
– Bir koşul veya soru seçin.
– Sayısal verileri adlandırın. (Üç, 6, üç litre)
- Ne demek istiyorlar? (Üç kutu. 6 kutu, her kutuda 3 litre meyve suyu bulunur)
– Yapısal olarak bu görev nedir? (Bileşik problem, çünkü problemin sorusuna hemen cevap vermek imkansızdır veya çözüm bir ifade oluşturmayı gerektirir)
– Görev türü? (Sıralı eylemler için bileşik görev))
– Bir ifade oluşturarak sorunu kısa bir not olmadan çözün. Bunu yapmak için aşağıdaki kartı kullanın:
Yardım kartı
– Bir deftere sorunun çözümü şu şekilde yazılabilir: (3 6) 3
– Sorunu bu sırayla çözebilir miyiz?
(3 6) 3 = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (l).
3 (3 6) = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (l)
Cevap: Tüm kutularda 54 litre meyve suyu bulunmaktadır.
2) Çiftler halinde çalışın (kartları kullanarak): (Slayt 12)
– İşaretleri hesaplamadan yerleştirin:
(15 * 2) *4 15 * (2 * 4) (–Hangi özellik?)
(8 * 9) * 6 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 (4 * 2) * 3
Kontrol edin: (Slayt 13)
(15 * 2) * 4 = 15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6 > 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 < 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 > 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 = (4 * 2) * 3
3) Bağımsız çalışma (bir ders kitabı kullanarak)
(s. 71, Sayı 307 – seçeneklere göre)
1. yüzyıl (8 2) 2 = (6 2) 3 = (19 1) 0 =
2. yüzyıl (7 3) 3 = (9 2) 4 = (12 9) 0 =
Muayene:
1. yüzyıl (8 2) 2 = 32 (6 2) 3 = 36 (19 1) 0 = 0.
2. yüzyıl (7 3) 3 = 63 (9 2) 4 = 72 (12 9) 0 = 0
Çarpmanın özellikleri:(Slayt 14).
- Değişme özelliği
- Eşleşen mülk
– Çarpmanın özelliklerini neden bilmeniz gerekiyor? (Slayt 15).
- Hızlı saymak
- Rasyonel bir sayma yöntemi seçin
- Sorunları çözmek için
VIII. Kapsanan materyalin tekrarı. "Yel değirmenleri".(Slayt 16, 17)
- 485, 583 ve 681 sayılarını 38 artırın ve üç sayısal ifade yazın (seçenek 1)
- 583, 545 ve 507 sayılarını 38'e düşürün ve üç sayısal ifade yazın (seçenek 2)
485
+ 38
523583
+ 38
621681
+ 38
719583
– 38
545545
– 38
507507
– 38
469
Öğrenciler ödevleri seçeneklere göre tamamlarlar (iki öğrenci ödevleri ek kurullarda çözer).
Akran değerlendirmesi.
IX. Ders özeti
– Bugün sınıfta ne öğrendin?
– Çarpmanın birleşme özelliğinin anlamı nedir?
X. Yansıma
– Çarpmanın çağrışımsal özelliğinin anlamını anladığını kim düşünüyor? Kimler sınıftaki çalışmalarından memnun? Neden?
– Hala ne üzerinde çalışması gerektiğini kim bilebilir?
- Çocuklar, eğer dersi beğendiyseniz, yaptığınız işten memnunsanız, o zaman ellerinizi dirseklerinize koyun ve bana avuçlarınızı gösterin. Ve eğer bir şeye üzüldüysen, avucunun arkasını bana göster.
XI. Ev ödevi bilgileri
– Hangi ödevi almak istersiniz?
İsteğe bağlı olarak:
1. Kuralı öğrenin s. 70
2. Yeni bir konu hakkında çözümü olan bir ifade bulun ve yazın
Çarpmanın birleştirici özelliği
Hedefler:öğrencilere çarpma işleminin ilişkisel özelliğini tanıtmak; sayısal ifadeleri analiz ederken çarpma işleminin ilişkisel özelliğini kullanmayı öğretmek; Toplamanın özelliklerini ve çarpmanın değişme özelliğini tekrarlayın; bilgi işlem becerilerini geliştirmek; Analiz etme ve akıl yürütme yeteneğini geliştirin.
Konu sonuçları:
Çarpmanın ilişkisel özelliğini tanımak, çalışılan özelliği hesaplamaları rasyonelleştirmek için kullanma olasılığı hakkında fikir oluşturmak.
Meta konu sonuçları:
Düzenleyici: Göreve uygun olarak eyleminizi planlayın, öğrenme görevini kabul edin ve kaydedin.
Bilişsel: sorunları çözmek için işaret-sembolik araçları, modelleri ve diyagramları kullanın; sorunları çözmenin çeşitli yollarına odaklanın; analojiler kurun.
İletişim: sözlü ve yazılı konuşma cümleleri oluşturun, kendi fikrinizi oluşturun, sorular sorun ve cevaplayın, fikrinizin doğruluğunu kanıtlayın.
Kişisel: Benlik saygısı yeteneğini geliştirmek, materyale hakim olma başarısını arttırmak.
Ders türü: yeni materyal öğrenmek.
Teçhizat: Görev kartları, görsel materyal (tablolar), sunum.
DERSLER SIRASINDA
BEN . Zamanı organize etmek(duygusal ruh hali)
Uzun zamandır beklenen çağrı geldi
Ders başlıyor.
Hepinizin dinlenmeye vakti var mıydı?
Ve şimdi - devam edin, işe başlayın!
Arkadaşlar, sınıfta birbirimizin dikkatli, aklı başında ve çalışkan olmasını dileyelim. Birbirimizi gülümseyerek selamlayalım ve derse başlayalım.
II. Temel bilgilerin güncellenmesi + Hedef belirleme
Tahtada konunun eksik kaydı var ______________________ çarpma özelliği
Eksik kayda bakarak sınıfta ne yapacağımızı ve bugünkü dersin konusunun ne olduğunu düşünün. (Çocukların muhakemesi)
Bugün, zihinsel hesaplama görevlerini ve sayfalarınızdaki ders kartları - ders kartlarınızdaki görevleri tamamlayarak adını öğreneceğimiz yeni çarpma özelliğiyle tanışacağız, sayısal ifadeleri analiz ederken çarpmanın yeni özelliğini kullanmayı öğreneceğiz. ; Toplama ve çarpma işleminin değişme özelliğini tekrarlayalım;; Hesaplama becerilerini, analiz etme ve akıl yürütme yeteneğini geliştireceğiz.
Görevleri tamamlamak ve sonuçlara varmak için çiftler halinde ve bağımsız olarak birlikte ve yaratıcı bir şekilde çalışacağız.
Kartlarınızda her görevden sonra çalışmanızı değerlendirmeniz gerekecek. Görevi hatasız tamamladıysanız kendinize bir + vereceksiniz, başarısız olursanız - o zaman -
buna neden ihtiyacımız var?
Edinilen bilgiyi nerede uygulayabiliriz?
Atasözü
Matematik öğretmek zihni keskinleştirmektir
Bu atasözünün anlamını nasıl anlıyorsunuz?
“Matematik sonradan öğretilmelidir çünkü zihni düzene sokar”
M. Lomonosov
III. Sözlü sayma
1. Oyun “Gerçek yalandır.” Çocuklar + veya - işaretini gösterir
6 ile 5 sayılarının toplamı 12'dir
16 ile 6 sayıları arasındaki fark 9'dur
9'un 5 artması 14'e eşittir
100 üç basamaklı en büyük sayıdır
Küp üç boyutlu bir şekildir
Dikdörtgen düz bir şekildir
Tahtada C harfi açılıyor
2. Yaratıcılık görevi
Gökkuşağının renk sayısını öğrencinin favori notuna ekleyin.
Bir haftadaki gün sayısını bir yıldaki ay sayısına ekleyin.
Tahtada 0 harfi açılıyor
3.Mantık görevi
Bahçede 2 huş ağacı, 4 elma ağacı, 5 kiraz yetişiyordu. Bahçede kaç tane meyve ağacı vardı? H harfi tahtada açılıyor
4.Aşağıdaki şekiller hangi gruplara ayrılabilir?
Tahtada E harfi açılıyor
Tahtada T harfi açılıyor
A harfi tahtada açılıyor
7. Bu şekillerin alanlarının aynı olduğunu söyleyebilir miyiz?
Tahtada T harfi açılıyor
8. Çiftler halinde çalışın: Sayıları iki gruba ayırın.
Her grubu artan sırada yazın (Takım çalışmasının işareti) e
499 75 345 24 521 86
Tahtada E harfi açılıyor
9. Bağımsız iş
Kartı doldurun
L harfi tahtada açılıyor
10. İstediğiniz işareti seçin (+ veya )
6 artır
3 kat artır
Tahtada b harfi açılıyor
11. ,
2 6… 6 + 6 + 6
5 6…6 4
8 6… 6 8
H harfi tahtada açılıyor
12. Hangi sayısal ifade gereksizdir? Neden?
(2 +7) 0 365 0
(9 2) 1 (94-26) 0
Tahtada O harfi açılıyor
13.Ön çalışma
Eksik sayıları doldurun:
– Toplama ve çarpmanın hangi özellikleri görevi tamamlamanıza yardımcı oldu? (Toplamanın değişmeli ve birleşimsel özellikleri; çarpmanın değişmeli özelliği.)Tahtada E harfi açılıyor
Konu panoda açılıyorBağlaç çarpma özelliği
Fizminutka
Başlangıç olarak bizİle Sen
Başlangıç olarak sen ve ben
Sadece başımızı çeviriyoruz.
(Başınızı çevirin.)
Ayrıca vücudu döndürüyoruz.
Elbette bunu yapabiliriz.
(Sağa ve sola döner.)
Sonunda ulaştı
Yukarı ve yanlara.
Biz boyun eğdik.
(Yukarı ve yanlara doğru esneme.)
III. Yeni materyal yayınlama
1. Eğitim sorununun beyanı
Bu sütundaki ifadelerin anlamlarının aynı olduğunu söyleyebilir miyiz?
(İfadeler 1 ve 2 için toplamanın birleşimsel özelliği geçerlidir - 2 bitişik terim bir toplamla değiştirilebilir ve ifadelerin anlamları aynı olacaktır;
3 ve 1 ifadesi - toplamanın değişme özelliği uygulandı
4 ve 2 ifadesi değişme özelliğidir.)
-Veri hesaplamak için hangi özellikler geçerlidir?
ifade?
(Değişmeli ve ilişkisel özellik)
- Bu sütundaki ifadelerin anlamlarının aynı olduğunu söylemek mümkün müdür?
Cevaplamamız gereken soru bu.
Bugün öğreneceğiz Çarpma işleminde birleştirme özelliğini kullanmak mümkün müdür?)
2. Yeni bilginin birincil asimilasyonu
Tüm küçük karelerin sayısını farklı şekillerde sayın ve bunu bir ifade olarak yazın.
1 yol:(6*4)*2 = 24*2=48
(Bir dikdörtgende 6 kare var, 6'yı 4 ile çarparak bir satırda kaç kare olduğunu buluyoruz. Sonucu 2 ile çarparak iki satırda kaç kare olduğunu buluruz).
Yöntem 2: 6*(4*2)= 6*8=48
(Öncelikle eylemi parantez içinde - 4 * 2 gerçekleştiriyoruz, yani iki satırda kaç tane dikdörtgen olduğunu öğreniyoruz. Bir dikdörtgende 6 kare vardır. Elde edilen sonuçla 6'yı çarparak sorulan soruyu cevaplıyoruz.)
Sonuç: Dolayısıyla her iki ifade de resimde kaç tane küçük kare bulunduğunu göstermektedir.
Bunun anlamı: (6*4)*2=6*(4*2) - çarpmanın ilişkisel özelliği
Çarpmanın birleştirici özelliğinin formülasyonuna aşinalık ve bunun toplamanın birleştirici özelliğinin formülasyonu ile karşılaştırılması.
IV. İlk anlama kontrolü
Ders kitabınızın 50. sayfasını açın ve 160 numarayı bulun.
Her resmin altındaki sayısal eşitliklerin ne anlama geldiğini açıklayın?
(4*3)*2= 4*(3*2)
(3 kareye 4 kar tanesi yerleştirildi ve 2 sıra alındı veya ya da her biri 2 sıra olan 3 kareye 4 kar tanesi yerleştirildi.)
(6 kare 5 sıra aldı ve 2 büyük kareye yerleştirildi veya 6 kare, 5 sıra iki büyük kareye yerleştirildi)
Kuralı okuyalım:
Birincil konsolidasyonYönetim kurulunda çalışmak
161 sayısını bulun (1 sütun)
Görevi okumak: ( Her ifadeyi üç tek basamaklı sayının çarpımı olarak yazın)
162 sayısını bulun (1 sütun)
Görevi okuma : Her sütundaki ifadelerin değerlerinin aynı olduğu doğru mu?
Birleştirici özelliği kullanarak satırlar halinde bağımsız olarak çalışıyoruz (tahtada kontrol edin): İki sayının çarpımını üçte bir ile çarpmak için, birinci sayıyı ikinci ve üçüncü sayıların çarpımı ile çarpabilirsiniz.
Dersi özetlemek.
Değerlendirme
Dersin başında karşılaştığımız sayısal ifadelere dönelim. Söyleyin bu sütundaki ifadelerin anlamlarının aynı olduğunu söylemek mümkün mü?
Bugün sınıfta hangi keşfi yaptınız? Nerede kullanılabilir?
(Çarpmanın yeni özelliğiyle tanıştık) İki sayının çarpımını üçte bir ile çarpmak için, birinci sayıyı ikinci ve üçüncü sayıların çarpımı ile çarpabilirsiniz.
Ödev: kural s.50, no 163 *Ünlü kişilerin matematikle ilgili atasözlerini veya sözlerini bulun.
Derecelendirme.
Kartında eksisi olmayanlara “5” puan verilir.
1-2 eksiği olan herkes “4” alır
3-5 eksi – “3”
5'ten fazla eksi – “2”
Refleks
Cümleyi bitir
Bugün sınıfta ben.....
Benim için en zor şey şuydu…..
Bugün şunu farkettim...
Bugün öğrendim...
Kendin için karar ver
Tam sayılarda toplama, çarpma, çıkarma ve bölme işlemlerini tanımladık. Bu eylemler (işlemler), özellikler adı verilen bir takım karakteristik sonuçlara sahiptir. Bu makalede, bu eylemlerin diğer tüm özelliklerinin takip ettiği tam sayıları toplama ve çarpmanın temel özelliklerine ve ayrıca tam sayıları çıkarma ve bölme özelliklerine bakacağız.
Sayfada gezinme.
Tam sayıların toplanmasının başka çok önemli özellikleri de vardır.
Bunlardan biri sıfırın varlığıyla ilgilidir. Tam sayıların eklenmesinin bu özelliği şunu belirtir: Herhangi bir tam sayıya sıfır eklemek o sayıyı değiştirmez. Toplamanın bu özelliğini şu harfleri kullanarak yazalım: a+0=a ve 0+a=a (bu eşitlik toplamanın değişme özelliğinden dolayı doğrudur), a herhangi bir tam sayıdır. Sıfır tamsayısına toplamanın nötr elemanı denildiğini duyabilirsiniz. Birkaç örnek verelim. −78 tamsayısı ile sıfırın toplamı −78'dir; Pozitif tam sayı olan 999'u sıfıra eklerseniz sonuç 999 olur.
Şimdi, herhangi bir tam sayı için zıt bir sayının varlığıyla ilişkili olan tam sayıların toplanmasına ilişkin başka bir özelliğin formülasyonunu vereceğiz. Herhangi bir tam sayının karşısındaki sayıyla toplamı sıfırdır. Bu özelliği yazmanın gerçek biçimini verelim: a+(−a)=0, burada a ve −a zıt tamsayılardır. Örneğin 901+(−901) toplamı sıfırdır; benzer şekilde, zıt tamsayılar -97 ve 97'nin toplamı sıfırdır.
Tam sayılarla çarpmanın temel özellikleri
Tam sayıların çarpımı, doğal sayıların çarpımının tüm özelliklerine sahiptir. Bu özelliklerin başlıcalarını sıralayalım.
Sıfırın toplamaya göre nötr bir tam sayı olması gibi, bir de tamsayı çarpımına göre nötr bir tam sayıdır. Yani, herhangi bir tam sayıyı bir ile çarpmak, çarpılan sayıyı değiştirmez. Yani 1·a=a, burada a herhangi bir tamsayıdır. Son eşitlik a·1=a olarak yeniden yazılabilir, bu bize çarpmanın değişme özelliğini yapmamızı sağlar. İki örnek verelim. 556 ile 1 tam sayısının çarpımı 556'dır; bir ile negatif tamsayı −78'in çarpımı −78'e eşittir.
Tam sayıları çarpmanın bir sonraki özelliği sıfırla çarpmayla ilgilidir. Herhangi bir a tamsayısını sıfırla çarpmanın sonucu sıfırdır yani a·0=0 . 0·a=0 eşitliği, tamsayılarla çarpmanın değişme özelliğinden dolayı da doğrudur. a=0 olduğu özel durumda, sıfır ile sıfırın çarpımı sıfıra eşittir.
Tam sayıların çarpımı için öncekinin tersi özelliği de doğrudur. İddia ediyor ki Faktörlerden en az biri sıfıra eşitse iki tam sayının çarpımı sıfıra eşittir. Kelimenin tam anlamıyla bu özellik şu şekilde yazılabilir: a·b=0, eğer a=0 veya b=0 veya hem a hem de b aynı anda sıfıra eşitse.
Tam sayıların toplamaya göre çarpımının dağılma özelliği
Tamsayıların ortak eklenmesi ve çarpılması, belirtilen iki eylemi birbirine bağlayan toplamaya göre çarpmanın dağılma özelliğini dikkate almamızı sağlar. Toplama ve çarpmayı birlikte kullanmak, toplama işlemini çarpmadan ayrı olarak ele aldığımızda gözden kaçıracağımız ek olasılıkların önünü açar.
Dolayısıyla, çarpma işleminin toplama işlemine göre dağılım özelliği, bir a tam sayısının çarpımının iki a ve b tam sayısının toplamına eşit olduğunu, a b ve a c çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir; a·(b+c)=a·b+a·c. Aynı özellik başka bir biçimde yazılabilir: (a+b)c=ac+bc .
Tam sayıları toplamaya göre çarpmanın dağılma özelliği, toplamanın birleştirici özelliğiyle birlikte, bir tam sayının üç veya daha fazla tam sayının toplamı ile çarpımını ve ardından tam sayıların toplamının toplamla çarpımını belirlememize olanak tanır.
Ayrıca tamsayıların toplama ve çarpma işlemlerinin diğer tüm özelliklerinin belirttiğimiz özelliklerden elde edilebileceğini, yani bunların yukarıda belirtilen özelliklerin sonuçları olduğunu unutmayın.
Tam sayılarda çıkarma işleminin özellikleri
Ortaya çıkan eşitlikten ve tam sayıların toplama ve çarpma özelliklerinden, tam sayıların çıkarılmasına ilişkin aşağıdaki özellikler takip edilir (a, b ve c keyfi tam sayılardır):
- Tam sayıların çıkarılması genel olarak değişme özelliğine sahip DEĞİLDİR: a−b≠b−a.
- Eşit tam sayıların farkı sıfırdır: a−a=0.
- Belirli bir tam sayıdan iki tam sayının toplamını çıkarma özelliği: a−(b+c)=(a−b)−c .
- İki tam sayının toplamından bir tam sayı çıkarma özelliği: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Çarpmanın çıkarma işlemine göre dağılma özelliği: a·(b−c)=a·b−a·c ve (a−b)·c=a·c−b·c.
- Ve tamsayılarda çıkarma işleminin diğer tüm özellikleri.
Tam sayıların bölünmesinin özellikleri
Tam sayıları bölmenin anlamını tartışırken, tam sayıları bölmenin çarpma işleminin tersi olduğunu öğrendik. Şu tanımı verdik: Tam sayıları bölmek, bilinen bir çarpımdan ve bilinen bir faktörden bilinmeyen bir faktör bulmaktır. Yani, c·b çarpımı a'ya eşit olduğunda, a tam sayısının b tam sayısına bölümünün bölümüne c tamsayısını deriz.
Bu tanım ve yukarıda tartışılan tamsayılar üzerindeki işlemlerin tüm özelliklerinin yanı sıra, tamsayıları bölmenin aşağıdaki özelliklerinin geçerliliğini belirlemeyi mümkün kılar:
- Hiçbir tam sayı sıfıra bölünemez.
- Sıfırı sıfırdan farklı bir tamsayıya bölme özelliği: 0:a=0.
- Eşit tam sayıları bölme özelliği: a:a=1; burada a, sıfır dışında herhangi bir tam sayıdır.
- Rasgele bir tamsayı a'yı bire bölme özelliği: a:1=a.
- Genel olarak, tam sayıların bölünmesi değişme özelliğine sahip DEĞİLDİR: a:b≠b:a .
- İki tam sayının toplamını ve farkını bir tam sayıya bölmenin özellikleri: (a+b):c=a:c+b:c ve (a−b):c=a:c−b:c, burada a, b ve c, hem a hem de b'nin c'ye bölünebildiği ve c'nin sıfır olmadığı tamsayılardır.
- İki a ve b tam sayısının çarpımını sıfırdan farklı bir c tam sayısına bölme özelliği: (a·b):c=(a:c)·b, eğer a c'ye bölünebilirse; (a·b):c=a·(b:c) , eğer b c'ye bölünebiliyorsa; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , eğer hem a hem de b c'ye bölünebilirse.
- Bir a tam sayısını iki b ve c tam sayısının çarpımına bölme özelliği (a , b ve c sayıları a'nın b c'ye bölünmesi mümkün olacak şekildedir): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
- Tam sayıları bölmenin diğer özellikleri.
İki doğal sayının çarpımının değişme özelliğinin geçerliliğini doğrulayan bir örneği ele alalım. İki doğal sayının çarpımının anlamından yola çıkarak 2 ile 6 sayılarının çarpımını ve 6 ile 2 sayılarının çarpımını hesaplayalım ve çarpma sonuçlarının eşitliğini kontrol edelim. 6 ve 2 sayılarının çarpımı 6+6 toplamına eşittir, toplama tablosundan 6+6=12 sonucunu buluruz. Ve 2 ile 6 sayılarının çarpımı 2+2+2+2+2+2 toplamına eşittir, bu da 12'ye eşittir (gerekirse üç veya daha fazla sayının toplanmasıyla ilgili makaleye bakın). Bu nedenle 6·2=2·6.
Burada iki doğal sayının çarpımının değişme özelliğini gösteren bir resim bulunmaktadır.
Doğal sayıların çarpımının birleşim özelliği.
Doğal sayıları çarpmanın birleşimsel özelliğini dile getirelim: belirli bir sayıyı iki sayının belirli bir çarpımı ile çarpmak, belirli bir sayıyı birinci faktörle çarpmak ve ortaya çıkan sonucu ikinci faktörle çarpmakla aynıdır. Yani, a·(b·c)=(a·b)·c a, b ve c herhangi bir doğal sayı olabilir (öncelikle değerleri hesaplanan ifadeler parantez içine alınmıştır).
Doğal sayıları çarpmanın birleşme özelliğini doğrulamak için bir örnek verelim. 4·(3·2) çarpımını hesaplayalım. Çarpmanın anlamına göre 3·2=3+3=6, ardından 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 elde ederiz. Şimdi (4·3)·2'yi çarpalım. 4·3=4+4+4=12 olduğuna göre (4·3)·2=12·2=12+12=24. Dolayısıyla 4·(3·2)=(4·3)·2 eşitliği doğrudur ve söz konusu özelliğin geçerliliğini doğrular.
Doğal sayıların çarpımının birleşme özelliğini gösteren bir çizim gösterelim.
Bu paragrafın sonuç kısmında, çarpma işleminin çağrışımsal özelliğinin, üç veya daha fazla doğal sayının çarpımını benzersiz bir şekilde belirlememize izin verdiğini not ediyoruz.
Çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliği.
Aşağıdaki özellik toplama ve çarpmayı birbirine bağlar. Şu şekilde formüle edilir: İki sayının belirli bir toplamını belirli bir sayıyla çarpmak, birinci terim ile belirli bir sayının çarpımını ikinci terim ve belirli bir sayıyla toplamakla aynıdır. Bu, çarpma işleminin toplama işlemine göre dağılma özelliği olarak adlandırılan özelliktir.
Harfler kullanılarak, çarpmanın toplamaya göre dağılım özelliği şu şekilde yazılır: (a+b)c=ac+bc(a·c+b·c ifadesinde önce çarpma yapılır, sonra toplama yapılır; bununla ilgili daha ayrıntılı bilgi makalede yazılmıştır), burada a, b ve c keyfi doğal sayılardır. Çarpmanın değişme özelliğinin kuvvetinin, çarpmanın dağılma özelliğinin aşağıdaki biçimde yazılabileceğini unutmayın: a·(b+c)=a·b+a·c.
Doğal sayıların çarpımının dağılma özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. (3+4)·2=3·2+4·2 eşitliğinin geçerliliğini kontrol edelim. (3+4) 2=7 2=7+7=14 ve 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14'e sahibiz, dolayısıyla eşitlik ( 3+ 4) 2=3 2+4 2 doğrudur.
Çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliğine karşılık gelen bir şekil gösterelim.
Çarpmanın çıkarmaya göre dağılma özelliği.
Çarpmanın anlamına bağlı kalırsak, n'nin birden büyük isteğe bağlı bir doğal sayı olduğu 0·n çarpımı, her biri sıfıra eşit olan n terimin toplamıdır. Böylece, 
. Toplamanın özellikleri, son toplamın sıfır olduğunu söylememize izin verir.
Dolayısıyla herhangi bir n doğal sayısı için 0·n=0 eşitliği sağlanır.
Çarpmanın değişme özelliğinin geçerli kalması için, herhangi bir n doğal sayısı için n·0=0 eşitliğinin geçerliliğini de kabul ediyoruz.
Bu yüzden, sıfır ile bir doğal sayının çarpımı sıfırdır, yani 0 n=0 Ve n·0=0 burada n keyfi bir doğal sayıdır. Son ifade, bir doğal sayı ile sıfırın çarpımı özelliğinin bir formülasyonudur.
Sonuç olarak bu paragrafta tartışılan çarpma özelliğine ilişkin birkaç örnek vereceğiz. 45 ile 0 sayılarının çarpımı sıfıra eşittir. 0'ı 45.970 ile çarparsak yine sıfır elde ederiz.
Artık doğal sayıların çarpımının gerçekleştirildiği kuralları incelemeye güvenle başlayabilirsiniz.
Kaynakça.
- Matematik. Genel eğitim kurumlarının 1., 2., 3., 4. sınıflarına yönelik ders kitapları.
- Matematik. Genel eğitim kurumlarının 5. sınıflarına yönelik ders kitapları.
Kareli kağıda kenarları 5 cm ve 3 cm olan bir dikdörtgen çizelim ve bunu kenarları 1 cm olan karelere bölelim (Şek. 143). Dikdörtgende bulunan hücrelerin sayısını sayalım. Bu örneğin şu şekilde yapılabilir.
Bir kenarı 1 cm olan karelerin sayısı 5*3'tür. Bu tür karelerin her biri dört hücreden oluşur. Dolayısıyla toplam hücre sayısı (5*3)*4 olur.
Aynı sorun farklı şekilde çözülebilir. Dikdörtgenin beş sütununun her biri bir kenarı 1 cm olan üç kareden oluşur. Dolayısıyla bir sütunda 3*4 hücre bulunur. Dolayısıyla toplamda 5*(3*4) hücre olacaktır.
Şekil 143'teki hücrelerin sayılması iki şekilde gösterilmektedir çarpmanın birleşme özelliği 5, 3 ve 4 sayıları için. Elimizde: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4) var.
İki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için birinci sayıyı ikinci ve üçüncü sayıların çarpımı ile çarpabilirsiniz.
(ab)c = a(bc)
Çarpmanın değişmeli ve birleşimsel özelliklerinden, birkaç sayı çarpılırken faktörlerin yer değiştirip parantez içine alınabileceği ve böylece hesaplamaların sırasının belirlenebileceği sonucu çıkar.
Örneğin aşağıdaki eşitlikler doğrudur:
abc = cba,
17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).
Şekil 144'te AB doğru parçası yukarıda tartışılan dikdörtgeni bir dikdörtgen ve bir kareye bölmektedir.
Kenarı 1 cm olan karelerin sayısını iki şekilde sayalım.
Bir tarafta ortaya çıkan kare bunlardan 3 * 3'ünü, dikdörtgen ise 3 * 2'yi içeriyor. Toplamda 3 * 3 + 3 * 2 kare elde ediyoruz. Öte yandan bu dikdörtgenin üç satırının her birinde 3+2 kare bulunmaktadır. O halde toplam sayıları 3 * (3 + 2) olur.
3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2'ye eşittir Çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliği.
Bir sayıyı iki sayının toplamı ile çarpmak için bu sayıyı her toplamayla çarpabilir ve elde edilen çarpımları ekleyebilirsiniz.
Bu özellik tam anlamıyla şu şekilde yazılır:
a(b + c) = ab + ac
Çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliğinden şu sonuç çıkar:
ab + ac = a(b + c).
Bu eşitlik, P = 2 a + 2 b formülünün aşağıdaki biçimde yazılacak bir dikdörtgenin çevresini bulmasını sağlar:
P = 2 (a + b).
Dağıtım özelliğinin üç veya daha fazla terim için geçerli olduğunu unutmayın. Örneğin:
a(m + n + p + q) = am + an + ap + su.
Çarpmanın çıkarma işlemine göre dağılım özelliği de doğrudur: eğer b > c veya b = c ise, o zaman
a(b - c) = ab - ac
Örnek 1 . Uygun bir şekilde hesaplayın:
1 ) 25 * 867 * 4 ;
2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .
1) Çarpmanın önce değişmeli, sonra birleşmeli özelliklerini kullanırız:
25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .
2) Elimizde:
329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .
Örnek 2 . Ifadeyi basitleştir:
1) 4 a * 3 b;
2) 18m – 13m.
1) Çarpmanın değişmeli ve birleşmeli özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
4 a * 3 b = (4 * 3) * ab = 12 ab.
2) Çarpmanın çıkarma işlemine göre dağılma özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:
18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.
Örnek 3 . 5 (2 m + 7) ifadesini parantez içermeyecek şekilde yazın.
Çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliğine göre:
5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.
Bu dönüşüme denir parantez açma.
Örnek 4 . 125 * 24 * 283 ifadesinin değerini kolay bir şekilde hesaplayın.
Çözüm. Sahibiz:
125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .
Örnek 5 . Çarpma işlemini yapın: 3 gün 18 saat * 6.
Çözüm. Sahibiz:
3 gün 18 saat * 6 = 18 gün 108 saat = 22 gün 12 saat.
Örneği çözerken, çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliği kullanıldı:
3 gün 18 saat * 6 = (3 gün + 18 saat) * 6 = 3 gün * 6 + 18 saat * 6 = 18 gün + 108 saat = 18 gün + 96 saat + 12 saat = 18 gün + 4 gün + 12 saat = 22 gün 12 saat.