Doğrudan entegrasyonla çözülen denklemler
Aşağıdaki diferansiyel denklemi göz önünde bulundurun:
.
N kere integral alıyoruz.
;
;
ve benzeri. Ayrıca şu formülü de kullanabilirsiniz:
.
Doğrudan çözülebilen diferansiyel denklemlere bakın entegrasyon > > >
Bağımlı değişken y'yi açıkça içermeyen denklemler
Değiştirme denklemin sırasını bir azaltır. İşte .
Açıkça bir fonksiyon içermeyen yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere bakın > > >
Bağımsız değişken x'i açıkça içermeyen denklemler
.
'nin bir fonksiyonu olduğunu düşünüyoruz.
.
Daha sonra
Benzer şekilde diğer türevler için de. Sonuç olarak denklemin sırası bir azaltılır.
Açık bir değişken içermeyen daha yüksek dereceli diferansiyel denklemlere bakın > > >
Y, y′, y′′, ...'ye göre homojen denklemler
,
Bu denklemi çözmek için yerine koyma işlemini yaparız
.
'nin bir fonksiyonu nerede?
Daha sonra
Benzer şekilde türevleri vb. dönüştürüyoruz. Sonuç olarak denklemin sırası bir azaltılır.
Bir fonksiyona ve onun türevlerine göre homojen olan yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere bakınız > > > Yüksek mertebeden doğrusal diferansiyel denklemler:
(1)
,
düşünelim
(2)
,
n'inci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklem
bağımsız değişkenin fonksiyonları nerede. Bu denklemin n tane doğrusal bağımsız çözümü olsun. O halde denklem (1)'in genel çözümü şu şekildedir:
Bir fonksiyona ve onun türevlerine göre homojen olan yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere bakınız > > > keyfi sabitler nerede. Fonksiyonların kendisi temel bir çözüm sistemi oluşturur.:
.
Temel çözüm sistemi
,
n'inci dereceden doğrusal homojen bir denklemin n tane doğrusal bağımsız çözümü vardır.
n'inci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem
Bu denklemin belirli (herhangi) bir çözümü olsun. O halde genel çözüm şu şekildedir:
homojen denklemin (1) genel çözümü nerede?
(3)
.
Sabit katsayılı ve bunlara indirgenebilen doğrusal diferansiyel denklemler
(2)
.
Sabit katsayılı doğrusal homojen denklemler Bunlar formun denklemleridir::
(4)
.
İşte gerçek sayılar. Bu denkleme genel bir çözüm bulmak için, temel bir çözüm sistemi oluşturan n adet doğrusal bağımsız çözüm bulmamız gerekir. Daha sonra genel çözüm formül (2) ile belirlenir: Formda bir çözüm arıyoruz., o zaman temel çözüm sistemi şu şekildedir:
.
Varsa karmaşık kök
,
o zaman ayrıca karmaşık bir eşlenik kök de vardır.
Bu iki kök, karmaşık çözümler yerine temel sisteme dahil ettiğimiz ve çözümlerine karşılık gelir.Çoklu kökler
çokluklar doğrusal olarak bağımsız çözümlere karşılık gelir: .Çoklu karmaşık kökler
.
çokluklar ve bunların karmaşık eşlenik değerleri doğrusal olarak bağımsız çözümlere karşılık gelir:
Özel homojen olmayan kısmı olan doğrusal homojen olmayan denklemler
,
Formun bir denklemini düşünün 1
s derece polinomları nerede 2
ve s
; - kalıcı.Öncelikle homojen denklemin (3) genel bir çözümünü arıyoruz. Karakteristik denklem (4) ise
,
kök içermiyor
;
;
sonra şu formda belirli bir çözüm ararız: 1
s derece polinomları nerede 2
.
Nerede s - s'nin en büyüğü Karakteristik denklem (4) ise
.
bir kökü var
.
çokluk varsa, o zaman şu biçimde belirli bir çözüm ararız:
Bundan sonra genel çözüme ulaşıyoruz:
1)
Sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan denklemler.
Burada üç olası çözüm var.
.
Bernoulli yöntemi
,
Öncelikle homojen denklemin sıfırdan farklı bir çözümünü buluyoruz - 1
Daha sonra oyuncu değişikliğini yapıyoruz
2)
x değişkeninin bir fonksiyonu nerede?.
u için yalnızca u'nun x'e göre türevlerini içeren bir diferansiyel denklem elde ederiz.
,
İkame işlemini gerçekleştirerek n denklemini elde ederiz.
3)
- sipariş..
Doğrusal ikame yöntemi
(2)
.
Bir değişiklik yapalım
,
karakteristik denklemin (4) köklerinden biri nerede. Sonuç olarak, sabit mertebe katsayılarına sahip doğrusal homojen olmayan bir denklem elde ederiz.
Bu ikameyi tutarlı bir şekilde uygulayarak orijinal denklemi birinci dereceden bir denkleme indirgeyebiliriz.
Lagrange sabitlerinin değişimi yöntemi
.
Bu yöntemde öncelikle homojen denklemi (3) çözüyoruz. Onun çözümü şuna benziyor:
.
Ayrıca sabitlerin x değişkeninin fonksiyonları olduğunu varsayıyoruz.
O halde orijinal denklemin çözümü şu şekildedir:
bilinmeyen işlevler nerede. Orijinal denklemi yerine koyarak ve bazı kısıtlamalar getirerek fonksiyon türlerini bulabileceğimiz denklemler elde ederiz.
Euler denklemi
Doğrusal diferansiyel sistemler denklemler.
Diferansiyel denklem sistemine denir doğrusal, bilinmeyen fonksiyonlara ve türevlerine göre doğrusal ise. sistem N-1. dereceden doğrusal denklemler şu şekilde yazılmıştır:
Sistem katsayıları sabittir.
Bu sistemi matris formunda yazmak uygundur: ,
bir argümana bağlı olarak bilinmeyen fonksiyonların sütun vektörü nerede.
Bu fonksiyonların türevlerinin sütun vektörü.
Serbest üyelerin sütun vektörü.
Katsayı matrisi.
Teorem 1: Eğer tüm matris katsayıları A belirli aralıklarla ve sonra her m'nin bazı mahallelerinde süreklidir. 
TS&E koşulları karşılanmıştır. Sonuç olarak, bu tür her noktadan tek bir integral eğri geçer.
Aslında bu durumda sistemin sağ tarafları argümanlar kümesine göre süreklidir ve kapalı aralıktaki süreklilik nedeniyle (A matrisinin katsayılarına eşit) göre kısmi türevleri sınırlıdır.
SLD'leri çözme yöntemleri
1. Bir diferansiyel denklem sistemi, bilinmeyenleri ortadan kaldırarak tek bir denkleme indirgenebilir.
Örnek: Denklem sistemini çözün: 
(1)
Çözüm: hariç tutmak z bu denklemlerden. Elimizdeki ilk denklemden. İkinci denklemde yerine koyarsak, 
basitleştirmeden sonra şunu elde ederiz: 
.
Bu denklem sistemi (1) ikinci dereceden tek bir denkleme indirgenir. Bu denklemden bulduktan sonra sen, bulunmalı z, eşitliği kullanarak.
2. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir denklem sistemini çözerken, genellikle daha yüksek dereceden bir denklem elde edilir, bu nedenle birçok durumda sistemi bularak çözmek daha uygundur. entegre kombinasyonlar.
Devamı 27b
Örnek: Sistemi çöz 
Çözüm:
Bu sistemi Euler yöntemini kullanarak çözelim. Özelliği bulmak için determinantı yazalım.
denklem: , (sistem homojen olduğundan önemsiz olmayan bir çözüme sahip olması için bu determinantın sıfıra eşit olması gerekir). Karakteristik bir denklem elde ediyoruz ve köklerini buluyoruz: 
Genel çözüm şudur: 
;
- özvektör.
Çözümünü yazıyoruz: 
;
- özvektör.
Çözümünü yazıyoruz: 
;
Genel çözümü elde ediyoruz: 
.
Kontrol edelim:
hadi : bulalım ve onu bu sistemin ilk denklemine koyalım, yani. .
Şunu elde ederiz:
- gerçek eşitlik.
Doğrusal fark. n'inci dereceden denklemler. N'inci dereceden homojen olmayan bir doğrusal denklemin genel çözümüne ilişkin teorem.
N'inci dereceden doğrusal bir diferansiyel denklem şu şekilde bir denklemdir: (1)
Bu denklemin bir katsayısı varsa, ona bölerek denkleme ulaşırız: (2) .
Genellikle türden denklemler (2). Diyelim ki ur-i'de (2) tüm olasılıklar ve ayrıca f(x) belirli aralıklarla sürekli (a,b). Daha sonra TS&E'ye göre denklem (2) başlangıç koşullarını karşılayan benzersiz bir çözüme sahiptir: , , …, için. Burada - aralıktaki herhangi bir nokta (a,b), ve hepsi - verilen herhangi bir sayı. Denklem (2) TC&E'yi karşılıyor , bu nedenle yok özel çözümler.
Def.: özel noktalar =0 olan noktalardır.
Doğrusal bir denklemin özellikleri:
- Bağımsız değişkendeki herhangi bir değişiklik için doğrusal bir denklem aynı kalır.
- İstenilen fonksiyonun herhangi bir doğrusal değişimi için doğrusal bir denklem aynı kalır.
Def: denklemde ise (2) koymak f(x)=0, sonra formun bir denklemini elde ederiz: (3) , buna denir homojen denklem homojen olmayan denkleme göre (2).
Doğrusal diferansiyel operatörünü tanıtalım: (4). Bu operatörü kullanarak denklemi kısa biçimde yeniden yazabilirsiniz. (2) Ve (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operatör (4) aşağıdaki basit özelliklere sahiptir:
Bu iki özellikten bir sonuç çıkarılabilir: .
İşlev y=y(x) homojen olmayan denklemin bir çözümüdür (2), Eğer L(y(x))=f(x), Daha sonra f(x) denklemin çözümü denir. Yani denklemin çözümü (3) fonksiyon denir y(x), Eğer L(y(x))=0 dikkate alınan aralıklarla.
Dikkate almak homojen olmayan doğrusal denklem: , L(y)=f(x).
Bir şekilde belirli bir çözüm bulduğumuzu varsayalım.
Yeni bir bilinmeyen fonksiyon tanıtalım z formüle göre: , belirli bir çözüm nerede.
Bunu denklemde yerine koyalım: , parantezleri açalım ve şunu elde edelim.
Ortaya çıkan denklem şu şekilde yeniden yazılabilir: 
Orijinal denklemin özel bir çözümü olduğundan, o zaman .
Böylece homojen bir denklem elde ettik. z. Bu homojen denklemin genel çözümü doğrusal bir kombinasyondur: burada fonksiyonlar homojen denklemin temel çözüm sistemini oluşturur. Değiştirme z yerine koyma formülünden şunu elde ederiz: 
(*) fonksiyon için sen– orijinal denklemin bilinmeyen fonksiyonu. Orijinal denklemin tüm çözümleri (*) içinde yer alacaktır.
Böylece homojen olmayan doğrunun genel çözümü elde edilir. Denklem, homojen bir doğrusal denklemin genel çözümünün ve homojen olmayan bir denklemin bazı özel çözümlerinin toplamı olarak temsil edilir.
(diğer tarafta devam)
30. Diferansiyel çözümünün varlık teoremi ve tekliği. denklemler
Teorem: Denklemin sağ tarafı dikdörtgen içinde sürekli ise 
ve sınırlıdır ve aynı zamanda Lipschitz koşulunu da karşılamaktadır: , N=sabit, o zaman başlangıç koşullarını karşılayan ve segment üzerinde tanımlanan benzersiz bir çözüm vardır 
, Nerede .
Kanıt:
Metrik uzayın tamamını düşünün İLE, noktalarının tümü aralıkta tanımlanan y(x) olası sürekli fonksiyonlardır grafikleri dikdörtgenin içinde yer alır ve mesafe eşitlikle belirlenir: 
. Bu uzay sıklıkla matematiksel analizde kullanılır ve denir. düzgün yakınsama uzayı, çünkü bu uzayın metriğindeki yakınsaklık düzgündür.
Diferansiyeli değiştirelim. verilen başlangıç koşullarıyla eşdeğer bir integral denkleme denklem: 
ve operatörü düşünün bir(y), bu denklemin sağ tarafına eşit: 
. Bu operatör her sürekli fonksiyona atama yapar
Lipschitz eşitsizliğini kullanarak mesafeyi yazabiliriz. Şimdi aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olacağı birini seçelim: .
O halde öyle bir seçim yapmalısınız ki. Böylece bunu gösterdik.
Büzülme eşlemeleri ilkesine göre, tek bir nokta veya aynı anlama gelen tek bir fonksiyon vardır; verilen başlangıç koşullarını karşılayan bir diferansiyel denklemin çözümü.
N-inci sıra
Teorem. Eğer y 0- homojen bir denklemin çözümü L[y]=0, y 1- karşılık gelen homojen olmayan denklemin çözümü L[y] = f(x), o zaman toplam y 0 + y 1 bu homojen olmayan denklemin çözümüdür.
Homojen olmayan denklemin genel çözümünün yapısı aşağıdaki teorem ile belirlenir.
Teorem. Eğer e- denklemin özel çözümü L[y] = f(x) sürekli katsayılarla, 
- karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü L[y] = 0, daha sonra bu homojen olmayan denklemin genel çözümü aşağıdaki formülle belirlenir:
Yorum. Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünü yazmak için, bu denkleme özel bir çözüm ve karşılık gelen homojen denklemin genel bir çözümünü bulmak gerekir.
Doğrusal homojen olmayan denklemler N
Doğrusal homojen olmayan denklemi düşünün N-inci dereceden sabit katsayılı
Nerede 1, bir 2, …, BİR- gerçek sayılar. Karşılık gelen homojen denklemi yazalım
Homojen olmayan denklemin genel çözümü aşağıdaki formülle belirlenir:
Homojen bir denklemin genel çözümü y 0özel bir çözüm bulabiliriz e aşağıdaki basit durumlarda belirsiz katsayılar yöntemiyle bulunabilir:
Genel durumda, keyfi sabitlerin değiştirilmesi yöntemi kullanılır.
Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi
Doğrusal homojen olmayan denklemi düşünün N-değişken katsayılı sıra
Bu denkleme özel bir çözüm bulmak zor çıkıyorsa ancak karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü biliniyorsa, homojen olmayan denklemin genel çözümü bulunabilir. keyfi sabitlerin değişimi yöntemi.
Karşılık gelen homojen denklem olsun
genel bir çözümü var
Formdaki homojen olmayan denklem için genel bir çözüm arayacağız.
Nerede y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x) genel çözümüne dahil edilen homojen bir denklemin doğrusal olarak bağımsız çözümleridir ve C1(x), C2(x), …, Cn(x)- bilinmeyen işlevler. Bu fonksiyonları bulmak için onları bazı koşullara tabi tutalım.
Türevini bulalım
İkinci parantez içindeki toplamın sıfıra eşit olmasını istiyoruz, yani
İkinci türevi bulalım
ve bunu talep edeceğiz
Benzer bir işlemi sürdürerek şunu elde ederiz:
Bu durumda ikinci parantez içindeki toplamın sıfırlanması istenemez çünkü fonksiyonlar C1(x), C2(x), …, Cn(x) zaten tabi n-1 koşullar, ancak yine de orijinal homojen olmayan denklemi karşılamanız gerekir.