Olasılıklara ilişkin eylemler. Olasılık teorisindeki basit problemler

A.A. Halafyan

OLASILIK TEORİSİ

VE MATEMATİKSEL İSTATİSTİK

ders metinleri

Krasnodar 2008

Olasılığın istatistiksel tanımı

Olasılıkları klasik tanım kullanılarak hesaplanamayan geniş bir olay sınıfı vardır. Her şeyden önce, bunlar eşit olmayan sonuçlara sahip olaylardır (örneğin, zarın “haksız” olması, madalyonun düzleşmesi vb.). Bu gibi durumlarda, denemelerde bir olayın meydana gelme sıklığının sayılmasına dayalı olarak olasılığın istatistiksel olarak belirlenmesi yararlı olabilir.

Tanım 2.A olayının meydana gelme istatistiksel olasılığı, bu olayın gerçekleştirilen n denemede meydana gelme göreceli sıklığıdır, yani

(A) = W( A) = a/n,

Nerede ( A) – olasılığın istatistiksel olarak belirlenmesi; W( A) – bağıl frekans; N – gerçekleştirilen testlerin sayısı; M – olayın gerçekleştiği deneme sayısı A göründü. İstatistiksel olasılığın deneysel, deneysel bir özellik olduğunu unutmayın.

Üstelik ne zaman N → ∞, (A) → P( A), örneğin, Buffon'un (XVIII. Yüzyıl) deneylerinde, 4040 madeni para atışı ile armanın ortaya çıkma sıklığının göreceli sıklığı 0.5069 olarak ortaya çıktı, Pearson'un (XIX. Yüzyıl) 23000 atışla yapılan deneylerinde – 0,5005.

Olasılığın geometrik tanımı

Klasik tanımın uygulanmasını sınırlayan diğer bir dezavantajı, sınırlı sayıda olası sonucu varsaymasıdır. Bazı durumlarda bu dezavantaj, geometrik olasılık tanımı kullanılarak ortadan kaldırılabilir. Örneğin düz bir şekil olsun G düz bir figürün parçasını oluşturur G(Şekil 3).

Yerleştirmek G rastgele bir nokta atılıyor. Bu, bölgedeki tüm noktaların G Oraya atılan rastgele bir noktanın ona çarpıp çarpmaması açısından "eşittir". Bir olayın olasılığını varsayarsak A– atılan nokta vuruşları G bu rakamın alanıyla orantılı Çavuş ve bölgeye göre konumuna bağlı değildir G, formdan da değil G, bulacağız

R(A) = Çavuş/SG

Nerede SG– bölgenin alanı G. Ama bölgelerden beri G Ve G tek boyutlu, iki boyutlu, üç boyutlu ve çok boyutlu olabilir, o halde bölgenin ölçüsünü şu şekilde ifade edebiliriz: ölçü geometrik olasılığın daha genel bir tanımını verebiliriz

P = ölçüm / ölçüm.

Kanıt.

R(V/A) = R(İÇİNDEÇ A)/R(A) = R(AÇ İÇİNDE)/R(A) = {P(a/b)R(İÇİNDE)}/R(A) = {R(A)R(İÇİNDE)}/R(A) = R(İÇİNDE).

Tanım 4'ten, bağımlı ve bağımsız olayların olasılıklarını çarpmaya yönelik formüller takip etmektedir.

Sonuç 1. Birkaç olayın ortak olarak ortaya çıkma olasılığı, bunlardan birinin olasılığı ile diğerlerinin koşullu olasılıklarının çarpımına eşittir ve sonraki her olayın olasılığı, önceki tüm olayların zaten ortaya çıktığı varsayımına göre hesaplanır:

P(A 1 A 2 … Bir n)= P(1)P A1(bir 2)P A1A2(bir 3)…P A1A2…An-1(Bir).

Tanım 6. A 1, A 2, ..., A n olayları, eğer bunlardan herhangi ikisi bağımsızsa ve bu olaylardan herhangi biri ve diğer olayların herhangi bir kombinasyonu (ürünleri) bağımsızsa toplu olarak bağımsızdır..

Sonuç 2. Birbirinden bağımsız birçok olayın bir arada meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:

P(A 1 A 2 … Bir n) = P(A 1)P(A 2)… P(A N).

Kanıt.

P(A 1 A 2 … A n) = P(A 1 · A 2 … A n) = P(A 1)P(A 2 … A n).=…= P(A 1)P(A 2)… P(Bir).

Tanım 7. Olay A 1, A 2,… A n, ikili olarak uyumsuzsa tam bir olay grubu oluşturur (bir ben∩bir j= Ø, herhangi biri için ben ≠ j)ve birlikte şekilleniyoruz Ω, onlar. .

Teorem 2. Eğer olaylar A 1, A 2,… Bir n tam bir etkinlik grubu oluşturmak, R(bir ben) > 0 (belirlenmeyeceğinden P(B/bir ben))), o zaman bir olayın olasılığı BÎ S, bir olayın meydana gelmesine ilişkin koşulsuz olasılıkların çarpımlarının toplamı olarak tanımlanır. bir ben Bir olayın meydana gelmesinin koşullu olasılıkları üzerine B, yani

. (1)

Kanıt. Olaylardan bu yana bir ben ikili olarak uyumsuzsa, olayla kesişmeleri B aynı zamanda ikili olarak uyumsuzdur, yani B∩A ben Ve B∩A j– ile uyumsuz yani. Dağıtılabilirlik özelliğini kullanma ((È bir ben)Ç İÇİNDE = È( A ben Ç İÇİNDE)), etkinlik B olarak temsil edilebilir . Toplama aksiyomu 3'ü ve olasılıkları çarpma formülünü kullanalım, şunu elde ederiz:

Formül (1)'e toplam olasılık formülü denir.

Toplam olasılık formülünden, aşağıdaki ek varsayım altında Bayes formülünü elde etmek kolaydır: P(B)>0

Nerede k = 1, 2, …, N.

Kanıt.P(A k /B) = P(A k ∩ B)/P(B)

Olayların olasılıkları P(bir ben), Ben =1, 2, …, Nönceki olasılıklar denir, yani deneyden önceki olayların olasılıkları ve bu olayların koşullu olasılıkları P(bir k/B), arka olasılıklar olarak adlandırılır, yani sonucu olayın meydana geldiği deneyimin bir sonucu olarak açıklığa kavuşturuldu İÇİNDE.

Görev. Ticaret şirketi üç üreticiden en yeni cep telefonlarını aldı Alcatel, Siemens, Motorola'nın 1: 4: 5 oranında. Uygulama, 1., 2., 3. üreticiden alınan telefonların, garanti süresi boyunca sırasıyla vakaların %98, %88 ve %92'sinde onarım gerektirmeyeceğini göstermiştir. Satışa çıkan telefonun garanti süresi boyunca tamire ihtiyaç duymaması, satılan telefonun garanti süresi içinde tamir gerektirmesi ve telefonun büyük olasılıkla hangi üreticiden geldiği olasılığını bulun.

Örnek 1.

Örnek 2.

Tanım 1. Olasılık uzayının rastgele değişkeni (Ω, S, P) herhangi bir X fonksiyonudur(w) , için tanımlanmış wÎΩ, ve öyle ki tüm gerçek x() için set ( w : X(w) < x}принадлежит полю S. Başka bir deyişle, böyle herhangi bir olay için olasılık belirlenir P(X(w)< X) = P(X < X).

Rastgele değişkenleri büyük Latin harfleriyle göstereceğiz X, e, Z, ..., ve rastgele değişkenlerin değerleri küçük Latin harfleriyle yazılmıştır X, sen, z...

Tanım 2. Bir rastgele değişken X, yalnızca bazı ayrık kümelerden değer alıyorsa ayrık olarak adlandırılır. Başka bir deyişle x'in sonlu veya sayılabilir sayıda değeri vardır. 1 , X 2 , …, öyle ki P(X = X ben) = ben ³ 0, Ben = 1, 2…, Veå ben = 1.

Bir rastgele değişkenin değerleri ve karşılık gelen olasılıklar biliniyorsa, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasının belirlendiğini söyleriz.

Üst kısmında rastgele değişkenlerin değerlerinin ve alt kısmında karşılık gelen olasılıkların bulunduğu bir tablo derlenirse, ayrık dağılım yasasını belirten rastgele değişkenin bir dağılım serisini elde ederiz. rastgele değişken.

Örnek 3. 2 yazı-tura atışı sırasında arma kaybına ilişkin bir dağılım serisi derleyelim. Olası sonuçlar – GG, GR, RG, RR. Olası sonuçlardan, armanın 0, 1 ve 2 kez görünebileceği ve buna karşılık gelen olasılıkların – ¼, ½, ¼ olduğu açıktır. Daha sonra dağıtım serisi şu şekli alacaktır:

Tanım 3.Bir X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonuna F fonksiyonu denir(X), x'e bağlı olarak Î R ve olayın olasılığına eşit bir değer almak w, şu X < X yani, F(X) = P(w: X(w)< X } = P(X < X).

Tanımdan, herhangi bir rastgele değişkenin bir dağılım fonksiyonuna sahip olduğu anlaşılmaktadır.

Düzgün dağılım

Tanım 1. Rastgele değişken X, değerleri kabul etmek 1, 2, …, n, düzgün bir dağılıma sahiptir, eğer P m = P(X = M) = 1/N,

M = 1, …, N.

Şurası açık ki.

Aşağıdaki problemi düşünün. N toplar, bunlardan M beyaz toplar. Rastgele alındı N toplar. Çıkarılanlar arasında olma olasılığını bulun M beyaz toplar.

Bunu görmek kolaydır.

Poisson dağılımı

Tanım 4. Rastgele değişken X, parametreyle bir Poisson dağılımına sahiptir. ben, Eğer , m = 0, 1, …

Σp m = 1 olduğunu gösterelim. .

Binom dağılımı

Tanım 5.Bir rastgele değişken X'in binom dağılımına sahip olması durumunda , M = 0, 1, …, N,

Nerede N– Bernoulli şemasına göre test sayısı, M– başarı sayısı, R– tek bir sonuçta başarı olasılığı, Q = 1–p.

Bernoulli dağılımı

Tanım 6.Rastgele değişken X, P ise Bernoulli dağılımına sahiptir.(X= M) = Öğleden sonra = p m q n - m, M = 0, 1, …, N.

Genel olarak M Ve N Bernoulli formülünü kullanarak hesaplama yapmak sorunlu hale gelir. Bu nedenle bazı durumlarda Bernoulli formülünü uygun, yaklaşık bir asimptotik formülle değiştirmek mümkündür. Yani eğer N- büyük ama R o zaman küçük .

Poisson teoremi. Eğer N® ¥ ve P® 0, yani n.p.® l, o zaman .

Kanıt. l n = olarak gösterelim n.p. teoremin koşullarına göre , Daha sonra

Şu tarihte: N® ¥, l n m® l M,

Buradan teoremin ifadesini elde ederiz. P n(M) ® en N ® ¥.

Poisson formülü Bernoulli formülüne iyi bir yaklaşımdır; npq£ 9. Eğer iş npq büyükse, o zaman hesaplamak için R n (m) Moivre-Laplace'ın yerel teoremini kullanın.

Moivre-Laplace'ın yerel teoremi.İzin vermek PО(0;1) sabittir, değer eşit şekilde sınırlıdır, yani $ s, |x m |<с . Daha sonra

Nerede b(n;m) sonsuz küçük bir miktardır ve .

Teoremin koşullarından şu sonuç çıkıyor: ,

Nerede , .

Hesaplamak R n (m) daha önce verilen formüle göre fonksiyon tabloları kullanılır

Sorun 1. Üç müşteri birbiri ardına bir giyim mağazasına giriyor. Yönetici, giren bir ziyaretçinin alışveriş yapma olasılığının 0,3 olduğunu tahmin ediyor. Satın alma işlemi gerçekleştiren ziyaretçi sayısını gösteren bir seri oluşturun.

Çözüm.

x ben
ben	0,343	0,441	0,189	0,027

Sorun 2. Herhangi bir bilgisayarın kırılma olasılığı 0,01'dir. Arızalı bilgisayarların sayısı için toplam 25'ten oluşan bir dağıtım serisi oluşturun.

Çözüm.

Sorun 3. Arabalar satış showroom'una 10'ar adetlik gruplar halinde geliyor. Teslim alınan 10 araçtan sadece 5'i kalite ve güvenlik kontrolüne tabi tutuluyor. Tipik olarak teslim alınan 10 araçtan 2'si kalite ve güvenlik standartlarını karşılamıyor. Kontrol edilen 5 arabadan en az birinin reddedilme olasılığı nedir?

Çözüm. P = P (1) + P (2) = + =0,5556 + 0,2222 = 0,7778

Kanıt.

Sorun 1. Rastgele seçilen bir cihazın ek ayar gerektirme olasılığı 0,05'tir. Bir cihaz grubunun rastgele kontrolü sırasında, seçilen cihazların en az %6'sının ayarlanması gerektiği tespit edilirse, grubun tamamı revizyon için iade edilir. Partiden inceleme için 500 cihaz seçilirse serinin iade edilme olasılığını belirleyin.

Çözüm. Ayarlanması gereken seçili cihazların sayısı %6'dan fazla ise parti iade edilecektir; M 1 = 500 × 6/100 = 30. Sonraki: P = 0,05: Q = 0,95; n.p.= 25; 4.87. Cihazın ek konfigürasyon gerektirmesi durumunda bunu bir başarı olarak görüyoruz.

Moivre-Laplace integral teoremini uygulayalım.

Görev 2. Kusurlu ürünlerin göreceli sıklığının, bunların meydana gelme olasılığından 0,01'den fazla farklı olmayacağının 0,95 olasılıkla ifade edilebilmesi için kaç ürünün seçilmesi gerektiğini belirleyin.

Çözüm. Sorunu çözmek için matematiksel model olarak Bernoulli şemasını seçip formül (4)'ü kullanıyoruz. Böyle bir şey bulmamız lazım N böylece eşitlik (4) sağlanır, eğer e = 0,01, b = 0,95 ise p olasılığı bilinmemektedir.

F(X b) = (1 + 0,95) / 2 = 0,975. Uygulama tablosunu kullanarak şunu buluyoruz: X b = 1,96. Daha sonra formül (4)'ü kullanarak şunu buluruz: N= ¼ × 1,96 2 /0,01 2 = 9600.

Düzgün dağılım

Tanım 5. Segment üzerinde bir değer alan sürekli bir rastgele değişken X, eğer dağılım yoğunluğu şu şekilde ise düzgün bir dağılıma sahiptir:

. (1)

Bunu doğrulamak kolaydır,

Bir rastgele değişken düzgün dağılıyorsa, belirli bir aralıktan değer alma olasılığı aralığın sayı doğrusundaki konumuna bağlı değildir ve bu aralığın uzunluğuyla orantılıdır.

X dağılım fonksiyonunun şu forma sahip olduğunu gösterelim.

. (2)

İzin vermek XÎ (–¥, A), Daha sonra F(X) = .

İzin vermek XÎ [ A,B], Daha sonra F(X) = .

İzin vermek X Î ( B,+¥], ardından F(X) = = 0 + .

Ortancayı bulalım X 0,5. Sahibiz F(X 0,5) = 0,5, dolayısıyla

Yani, düzgün dağılımın medyanı segmentin ortasıyla çakışmaktadır. Şekil 1 yoğunluk grafiğini göstermektedir R(X) ve dağıtım fonksiyonları F(X)

Eşit dağıtım için.

Normal dağılım

Tanım 7. Sürekli bir rastgele değişken, a, s olmak üzere iki parametreyle normal dağılıma sahiptir;

, s>0. (5)

Bir rastgele değişkenin normal dağılıma sahip olduğu kısaca şu şekilde yazılacaktır: X ~ N(A;S).

Hadi bunu gösterelim P(X) - yoğunluk

(Ders 6'da gösterilmiştir).

Normal bir dağılımın yoğunluk grafiğine (Şekil 3) normal eğri (Gauss eğrisi) adı verilir.

Dağıtım yoğunluğu düz bir çizgiye göre simetriktir X = A. Eğer X® ¥, ardından R(X) ® 0. s azaldıkça grafik simetri eksenine doğru “daralır” X = A.

Normal dağılım olasılık teorisi ve uygulamalarında özel bir rol oynar. Bunun nedeni, olasılık teorisinin merkezi limit teoremine göre, belirli koşullar sağlandığında çok sayıda rastgele değişkenin toplamının “yaklaşık” bir normal dağılıma sahip olmasıdır.

Çünkü – normal dağılım yasasının parametrelerle yoğunluğu A= 0 ve s =1 ise fonksiyon = F(X), olasılığı hesaplamak için kullanılır , normal dağılımın parametrelerle dağılım fonksiyonudur A= 0 ve s =1.

Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu X keyfi parametrelerle A, s aracılığıyla ifade edilebilir F(X) – normal rastgele değişkenin parametrelerle dağılım fonksiyonu A= 0 ve s =1.

İzin vermek X ~ N(A;s), o zaman

. (6)

İntegral işaretinin altındaki değişkenleri değiştirelim, şunu elde ederiz:

F(X) = . (7)

Olasılık teorisinin pratik uygulamalarında, bir rastgele değişkenin belirli bir aralıktan değer alma olasılığını bulmak genellikle gereklidir. Formül (7)'ye uygun olarak, bu olasılık Laplace fonksiyonunun tablolaştırılmış değerlerinden bulunabilir.

Normal bir rastgele değişkenin medyanını bulalım X ~ N(A;S). Dağılım yoğunluğu p(x) eksene göre simetrik olduğundan X = A, O

R(X < A) = P(X > A) = 0,5.

Bu nedenle normal bir rastgele değişkenin medyanı parametreyle çakışır. A:

X 0,5 = A.

Görev 1. Metro trenleri her 2 dakikada bir hareket etmektedir. Yolcu belirli bir zamanda platforma girer. Treni beklemek zorunda kalacağı X süresi, (0, 2) min alanına eşit yoğunlukla dağıtılan rastgele bir değişkendir. Bir yolcunun bir sonraki tren için 0,5 dakikadan fazla beklemek zorunda kalmama olasılığını bulun.

Çözüm. Açıkça görülüyor ki p(x)= 1/2. O zaman P 0,5 = P( 1,5 2) = = 0,25

Görev 2. Volzhsky Otomobil Fabrikası yeni bir motoru piyasaya sürüyor. Yeni motorlu bir arabanın ortalama kilometresinin σ = 30 bin km standart sapması ile 160 bin km olduğu varsayılmaktadır. İlk tamirden önceki km sayısının olma olasılığı nedir? Otomobilin kilometresi 100 bin km arasında değişecek. 180 bin km'ye kadar.

Çözüm. P(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

Dispersiyon özellikleri

1.C sabitinin varyansı şuna eşittir: 0,DC = 0, İLE = yapı.

Kanıt.DC = M(İLE– M.C.) 2 = M(İLE– İLE) = 0.

2.D(Müşteri Deneyimi) = İLE 2 DX.

Kanıt. D(Müşteri Deneyimi) = M(Müşteri Deneyimi) 2 – M 2 (Müşteri Deneyimi) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X) = İLE 2 DX.

3. Eğer X ve Y – bağımsız rastgele değişkenler, O

Kanıt.

4. Eğer X 1 , X 2 , … bağımlı değiller o zaman .

Bu özellik Özellik 3 kullanılarak tümevarımla kanıtlanabilir.

Kanıt. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Kanıt. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Bağımsız rastgele değişkenler olsun ve , .

Yeni bir rastgele değişken oluşturalım, matematiksel beklentiyi ve varyansı bulalım e.

; .

Yani, ne zaman N®¥ n adet bağımsız özdeş dağıtılmış rastgele değişkenin aritmetik ortalamasının matematiksel beklentisi değişmeden kalır, matematiksel beklenti a'ya eşit olur, varyans ise sıfıra doğru yönelir.

Aritmetik ortalamanın istatistiksel kararlılığının bu özelliği, büyük sayılar yasasının temelini oluşturur.

Normal dağılım

İzin vermek X normal dağılıma sahiptir. Daha önce, 11. derste (örnek 2) şu şekilde gösterilmiştir:

O halde Y ~ N(0,1).

Buradan ve sonra, önce bulalım DY.

Buradan

DX= D(S e+A) = s2 DY= s 2 , s X= s. (2)

Poisson dağılımı

Bilindiği üzere

Buradan,

Düzgün dağılım

biliniyor ki .

Daha önce bunu göstermiştik, formülü kullanalım.

Kanıt.

Eşitlik zincirindeki son integral 0'a eşittir, çünkü problemin koşullarından şu sonuç çıkar: p(MX+t) – göre bile işlev görür T (p(MX+t)= p(MX-t)), A t 2 bin +1– tek işlev.

Normal ve düzgün dağılım yasalarının yoğunlukları simetrik olduğundan X= MX, bu durumda tek mertebedeki tüm merkezi momentler 0'a eşittir.

Teorem 2. Eğer X~N(A,s), o zaman .

Bir rastgele değişkenin momentleri ne kadar çok bilinirse, dağıtım yasasını o kadar ayrıntılı olarak anlarız. Olasılık teorisinde ve matematiksel istatistikte, 3. ve 4. derecenin merkezi momentlerine dayanan iki sayısal özellik en sık kullanılır. Bunlar bir rastgele değişkenin çarpıklık katsayısı ve basıklığıdır.

Tanım 3. Bir rastgele değişken X'in asimetri katsayısı sayıdır b = .

Asimetri katsayısı normalleştirilmiş rastgele değişkenin merkezi ve başlangıç momentidir e, Nerede . Bu ifadenin geçerliliği aşağıdaki ilişkilerden kaynaklanmaktadır:

Rastgele bir değişkenin çarpıklığı X rastgele değişkenin asimetrisine eşit e = α X + β

α işaretine kadar. Bu, rastgele değişkenlerin normalleştirilmesinin bir sonucu olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. X+ b ve X aynı rastgele değişkene yol açar e imzalanacak kadar

Olasılık dağılımı asimetrikse ve grafiğin "uzun kısmı" gruplandırma merkezinin sağında yer alıyorsa, o zaman β( X) > 0; Grafiğin “uzun kısmı” soldaysa β( X) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0.

Basıklık kavramı, bir yoğunluk eğrisinin veya dağılım çokgeninin normal yoğunluğa kıyasla daha fazla veya daha az "pürüzsüzlüğünü" karakterize etmek için kullanılır.

Tanım 4. Bir rastgele değişken X'in basıklığı miktardır

Rastgele bir değişkenin basıklığı X normalleştirilmiş rastgele değişkenin 4. sırasının başlangıç ve merkezi momentleri ile sayı3 arasındaki farka eşittir, yani. . Bunu gösterelim:

Rastgele bir değişkenin basıklığı X rastgele değişkenin basıklığına eşit

e = α X + β.

Normal bir rastgele değişkenin basıklığını bulalım X.

Eğer X~N(A,s), sonra ~ (0,1).

Dolayısıyla, normal dağılımlı bir rastgele değişkenin basıklığı 0'a eşittir. Eğer dağılım yoğunluğu tek modlu ise ve aynı varyansa sahip normal dağılım yoğunluğundan daha "zirveye" sahipse, o zaman g( X) > 0, eğer aynı koşullar altında daha az “zirveye” sahipse, o zaman g( X) < 0.

Büyük Sayılar Yasası

Büyük sayılar kanunu, rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasının matematiksel beklentilerin aritmetik ortalamasına yakınlaşmasının koşullarını belirler.

Tanım 1. Rastgele değişkenlerin dizisi sayıya p olasılığında yakınsak denir B, Eğer
.

Bu eşitsizlikteki limite geçelim ve şunu elde edelim:

.

Aralık tahmini

Eğer bir örneklemden bilinmeyen bir parametrenin nokta tahmini elde ediliyorsa, elde edilen tahminden gerçek bir parametre olarak bahsetmek oldukça risklidir. Bazı durumlarda, parametre tahmininin yayılmasını elde ettikten sonra parametrenin gerçek değerinin aralık tahmininden bahsetmek daha uygundur. Bunu açıklamak için, normal dağılımın matematiksel beklentisi için bir güven aralığının oluşturulmasını ele alalım.

Bunu gösterdik – matematiksel beklenti için en iyi tahmin (kesinlikle doğru) MX= Q, dolayısıyla a = normal dağılım P parametresi için de kesinlikle doğru bir tahmindir; burada T– Laplace fonksiyonunun argümanının değeri; F(T) = , e = .

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Olasılık teorisi ve matematik

matematiksel istatistikler. M.: Yüksekokul, 1991.

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A.İstatistik teorisi ile olasılık teorisinin temelleri. M.: Birlik, 2001.

3. Szekely G. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikteki paradokslar. M.: Mir, 1990.

4. Kremer N.Ş. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik. M.: Birlik, 2001

5. Smirnov N.V. Dunin-Barkovsky I.V. Teknik uygulamalar için olasılık teorisi ve matematiksel istatistik dersi. M.: Nauka, 1969.

6. Ampirik formüllerin oluşturulması için istatistiksel yöntemler. M.: Yüksekokul, 1988.

DERS 1. OLASILIK TEORİLERİ. TARİH. OLASILIĞIN KLASİK TANIMI.. 3

DERS 2. OLASILIKLARIN TOPLANMASI VE ÇARPILMASI TEOREMLERİ. OLASILIĞIN İSTATİSTİKSEL, GEOMETRİK TANIMI.. 8

DERS 3. OLASILIK TEORİSİNİN AKSİYOMATİK YAPIMI. KOLMOGOROV'UN AKSİYOMATİKLERİ.. 14

DERS 4. RASTGELE DEĞİŞKEN. DAĞITIM FONKSİYONU... 17

DERS 5. AYRIK RASTGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMLARI... 21

DERS 6. MOIVRE – LAPLACE INTEGRAL TEOREMİ, BERNOULLI TEOREMİ.. 26

DERS 7. SÜREKLİ RASTGELE DEĞİŞKENLER... 29

DERS 8. ÇOK BOYUTLU RASTGELE DEĞİŞKEN KAVRAMI... 35

DERS 9. ÇOK BOYUTLU BİR RASTGELE DEĞİŞKENİN DAĞITIM FONKSİYONU... 39

DERS 10. İKİ BOYUTLU BİR RASGELE DEĞİŞKENİN OLASILIK YOĞUNLUĞUNUN ÖZELLİKLERİ 43

DERS 11. RASTGELE DEĞİŞKENLERİN FONKSİYONLARI... 48

DERS 12. İKİ RASTGELE DEĞİŞKENİN TOPLAMININ YOĞUNLUĞU ÜZERİNE TEOREM.. 52

DERS 13. ÖĞRENCİ, FISCHER DAĞILIMLARI RASTGELEDİR.

Olasılık teorisi testinin cevapları Matematik disiplinlerini okuyan birinci sınıf öğrencilerine yardımcı olacaktır. Ödevler çok sayıda teorik materyali kapsamaktadır ve çözümlerinin gerekçesi her öğrenci için faydalı olacaktır.
Problem 1. Tüm kenarları boyalı olan bir küp, aynı büyüklükte 1000 küp halinde kesiliyor. Rastgele çizilen bir küpün aşağıdaki özelliklere sahip olma olasılığını belirleyin:
a) bir boyalı kenar;
b) iki gölgeli yüz.

Hesaplamalar: Bir küp aynı büyüklükte küpler halinde kesilirse tüm yüzler 100 kareye bölünür. (Yaklaşık olarak resimdeki gibi)
Ayrıca, duruma göre küpün bir gölgeli yüzü olmalıdır - bu, küplerin dış yüzeye ait olması gerektiği ancak küpün kenarlarında (2 gölgeli yüzey) ve köşelerde bulunmaması gerektiği anlamına gelir - üç gölgeli yüzeye sahiptirler yüzeyler.
Dolayısıyla gerekli miktar 8*8 boyutunda bir karedeki 6 yüz ile küp sayısının çarpımına eşittir.
6*8*8=384 – 1 boyalı yüzeyi olan küpler.
Olasılık, olumlu olayların sayısının toplam sayılarına eşittir P=384/1000=0,384.
b) İki gölgeli yüzün kenarları boyunca küpün köşeleri olmayan küpler bulunur. Bir kenarda bu tür 8 küp olacak. Küpte toplam 12 kenar vardır, dolayısıyla iki gölgeli yüz
8*12=96 küp.
Ve onları 1000'in arasından çıkarma olasılığı eşittir
P=96/1000=0,096.
Bu görev çözüldü ve bir sonrakine geçiyoruz.
Görev 2. A, A, A, N, N, C harfleri aynı kartlara yazılmıştır. Kartları rastgele bir sıraya yerleştirdiğimizde ANANAS kelimesini elde etme olasılığı nedir?
Hesaplamalar: Daima bilinenlerden yola çıkarak mantık yürütmelisiniz. A, 2-H ve 1 – C olmak üzere 3 harf verildiğinde toplamda 6 adet “ananas” kelimesi için harf seçmeye başlayalım. İlk harf A'dır ve bunu 6 üzerinden 3 şekilde seçebiliriz. Çünkü bilinen 6 harf arasında 3 adet A harfi vardır. Bu nedenle A'yı ilk çekme olasılığı
P 1 =3/6=1/2.
İkinci harf H ama unutmamalıyız ki A çekildikten sonra seçilebilecek 5 harf kalıyor. Bu nedenle 2 H sayısını çekme olasılığı eşittir
P2 =2/5.
Geriye kalan 4 olasılık arasından bir sonraki A olasılığı çekilir
P3 =2/4.
Daha sonra olasılıktan H çıkarılabilir
P4 =1/3.
Sona yaklaştıkça olasılık da artar ve A'yı zaten çıkarabiliriz.
P5 =1/2.
Bundan sonra geriye yalnızca bir C kartı kaldığı için onu çekme olasılığı yüzde 100'dür veya
P 6 =1.
ANANAS kelimesinin oluşma olasılığı olasılıkların çarpımına eşittir
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
Olasılık teorisindeki benzer problemler buna dayanmaktadır.
Görev 3. Satıcı, bir ürün partisinden rastgele numuneler seçer. Rastgele alınan bir ürünün en yüksek kalitede olma olasılığı 0,8'dir. Seçilen 3 ürün arasında en yüksek kaliteye sahip iki ürünün olma olasılığını bulunuz?
Hesaplamalar: Bu örnek Bernoulli formülünün uygulanmasına dayanmaktadır.
p=0.8; q=1-0,8=0,2.
Formülü kullanarak olasılığı hesaplıyoruz

Formül diliyle anlatmazsan ikisi olumlu, biri olumsuz üç olayın birleşimini yapmak zorunda kalırsın. Bu ürünlerin toplamı olarak yazılabilir.

Her iki seçenek de eşdeğerdir, yalnızca birincisi tüm görevlerde, ikincisi ise dikkate alınana benzer görevlerde uygulanabilir.
Problem 4. Beş atıcıdan ikisi hedefi 0,6 olasılıkla, üçü ise 0,4 olasılıkla vurdu. Hangisi daha muhtemel: Rastgele seçilen bir atıcı hedefi vuruyor mu vurmuyor mu?
Hesaplamalar: Toplam olasılık formülünü kullanarak atıcının vurma olasılığını belirliyoruz.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Olasılık P'den küçük<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Vurmama olasılığı

veya
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.
Problem 5. Sınava gelen 20 öğrenciden 10'u mükemmel hazırlanmış (tüm soruları biliyordu), 7'si iyi hazırlanmış (her biri 35 soru biliyordu) ve 3'ü kötü hazırlanmıştı (10 soru). Programda 40 soru bulunmaktadır. Rastgele çağrılan bir öğrenci biletteki üç soruyu yanıtladı. Hazırlıklı olma olasılığı nedir?
a) mükemmel;
b) kötü.

Hesaplamalar: Sorunun özü, öğrencinin biletteki üç soruyu, yani sorulan her şeyi yanıtlamasıdır, ancak şimdi bunları alma olasılığının ne olduğunu hesaplayacağız.
Öğrencinin üç soruyu doğru cevaplama olasılığını bulalım. Bu, öğrenci sayısının tüm gruba oranı ile tüm olasılar arasında bildikleri bilet çekme olasılıklarının çarpımı olacaktır.

Şimdi bir öğrencinin “mükemmel” hazırlanmış bir gruba ait olma olasılığını bulalım. Bu, ön olasılığın ilk teriminin olasılığın kendisine oranına eşdeğerdir.

Bir öğrencinin kötü hazırlanmış bir gruba ait olma olasılığı oldukça küçük olup 0,00216'ya eşittir.

Bu görev tamamlandı. Sınavlarda ve testlerde yaygın olduğu için bunu iyi anlayın ve nasıl hesaplayacağınızı unutmayın.
Soru 6. Bir madeni para 5 kez atılıyor. Armanın 3 defadan az görünme olasılığını bulunuz?
Hesaplamalar: Armanın veya kuyrukların çizilme olasılığı 0,5'e eşdeğerdir. 3 defadan az olması, armanın 0, 1 veya 2 defa görünebileceği anlamına gelir. “Veya” işlemlerde her zaman toplama yöntemiyle olasılık cinsinden ifade edilir.
Bernoulli formülünü kullanarak olasılıkları buluyoruz

p=q=0,5 olduğundan olasılık şu şekildedir:

Olasılık 0,5'tir.
Sorun 7. Metal terminalleri damgalarken standart olanların ortalama% 90'ı elde edilir. 900 terminalden en az 790, en fazla 820 terminalin standart olma olasılığını bulun.
Hesaplamalar: Hesaplamalar yapılmalıdır

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik

1. Olasılık teorisinin konusu ve ekonomik ve teknik sorunların çözümündeki önemi. Olasılık ve tanımı

Uzun bir süre boyunca insanlık faaliyetleri için yalnızca sözde deterministik kalıpları inceledi ve kullandı. Ancak tesadüfi olaylar bizim isteğimiz olmadan hayatımıza girip sürekli etrafımızı sardığından, üstelik hemen hemen tüm doğa olayları doğası gereği tesadüfi olduğundan, bunları nasıl inceleyeceğimizi öğrenmek ve bu amaçla çalışma yöntemleri geliştirmek gerekir.

Nedensel ilişkilerin tezahür biçimine göre, doğa ve toplum yasaları iki sınıfa ayrılır: deterministik (önceden belirlenmiş) ve istatistiksel.

Örneğin, gök mekaniği yasalarına dayanarak, güneş sistemindeki gezegenlerin şu anda bilinen konumlarına dayanarak, zaman içinde herhangi bir noktadaki konumları neredeyse kesin bir şekilde tahmin edilebilir; güneş ve ay tutulmaları da dahil olmak üzere, çok doğru bir şekilde tahmin edilebilir. Bu deterministik yasaların bir örneğidir.

Ancak tüm olaylar doğru bir şekilde tahmin edilemez. Bu nedenle, uzun vadeli iklim değişiklikleri ve kısa vadeli hava değişiklikleri, başarılı tahminlerin nesneleri değildir; birçok yasa ve kalıp deterministik bir çerçeveye çok daha az uyuyor. Bu tür yasalara istatistik yasaları denir. Bu yasalara göre sistemin gelecekteki durumu kesin olarak belirlenmemekte, yalnızca belirli bir olasılıkla belirlenmektedir.

Olasılık teorisi, diğer matematik bilimleri gibi, uygulamanın ihtiyaçlarından yola çıkılarak yeniden canlandırıldı ve geliştirildi. Kitlesel rastgele olayların doğasında bulunan kalıpları inceliyor.

Olasılık teorisi, belirli bir koşullar kümesi yeniden üretildiğinde birçok kez tekrarlanabilen kütlesel rastgele olayların özelliklerini inceler. Herhangi bir rastgele olayın ana özelliği, doğası ne olursa olsun, onun meydana gelme olasılığı veya ölçüsüdür.

Gözlemlediğimiz olaylar (olgular) üç türe ayrılabilir: güvenilir, imkansız ve rastgele.

Olması kesin olan olaya kesin denir. Olmayacağını bildiğimiz olaya imkansız denir. Rastgele bir olay, gerçekleşebilecek veya gerçekleşmeyebilecek bir olaydır.

Olasılık teorisi, rastgele bir olay üzerindeki tüm nedenlerin etkisini hesaba katmak imkansız olduğundan, tek bir olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini tahmin etme görevini kendisine vermez. Öte yandan, yeterince büyük sayıda homojen rastgele olayın, spesifik doğalarına bakılmaksızın belirli kalıplara, yani olasılıksal kalıplara tabi olduğu ortaya çıktı.

Dolayısıyla olasılık teorisinin konusu, kütlesel homojen rastgele olayların olasılıksal modellerinin incelenmesidir.

Kütlesel rastgele olaylarla ilgili bazı problemler, 17. yüzyılın başlarında uygun matematik araçları kullanılarak çözülmeye çalışılıyordu. Çeşitli şans oyunlarının gidişatını ve sonuçlarını inceleyen B. Pascal, P. Fermat ve H. Huygens, 17. yüzyılın ortalarında klasik olasılık teorisinin temellerini attılar. Çalışmalarında olasılık ve rastgele değişkenin matematiksel beklentisi kavramlarını örtülü olarak kullanmışlardır. Sadece 18. yüzyılın başında. J. Bernoulli olasılık kavramını formüle eder.

Olasılık teorisi daha fazla başarıyı Moivre, Laplace, Gauss, Poisson ve diğerlerine borçludur.

P.L. gibi Rus ve Sovyet matematikçiler olasılık teorisinin gelişimine büyük katkılarda bulundular. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov, S.N. Bernstein, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov, vb.

Olasılık teorisinin gelişiminde özel bir yer, önde gelen temsilcileri akademisyen V.I. olan Özbek ekolüne aittir. Romanovsky, S.Kh. Sirazhdinov, T.A. Sarymsakov, T.A. Azlarov, Ş.K. Farmanov, profesör I.S. Badalbaev, M.U. Gafurov, S.A. Haşimov ve diğerleri.

Daha önce de belirtildiği gibi, olasılık teorisinin ortaya çıkmasına katkıda bulunan uygulama ihtiyaçları, onun bir bilim olarak gelişimini beslemiş ve giderek daha fazla dal ve bölümün ortaya çıkmasına yol açmıştır. Matematiksel istatistik, görevi bir örneklemden genel popülasyonda var olan özellikleri belirli bir güvenilirlik derecesiyle yeniden oluşturmak olan olasılık teorisine dayanmaktadır. Rastgele süreçler teorisi, kuyruk teorisi, bilgi teorisi, güvenilirlik teorisi, ekonometrik modelleme vb. bilim dalları olasılık teorisinden ayrılmıştır.

Olasılık teorisinin en önemli uygulama alanları ekonomik ve teknik bilimlerdir. Şu anda, olasılık teorisine dayalı modelleme, korelasyon ve regresyon analizi modelleri, yeterlilik ve "hassas" uyarlanabilir modeller olmadan ekonomik ve teknik olayların incelenmesini hayal etmek zordur.

Trafik akışlarında meydana gelen olaylar, araba bileşenlerinin güvenilirlik derecesi, yollarda araba kazaları, yol tasarımı sürecindeki belirsizlikleri nedeniyle çeşitli durumlar, olasılık teorisi yöntemleri kullanılarak incelenen problemler kapsamına dahildir.

Olasılık teorisinin temel kavramları deneyim veya deney ve olaylardır. Belirli koşullar ve koşullar altında gerçekleştirilen eylemlere deney diyoruz. Bir deneyin her spesifik uygulamasına test denir.

Bir deneyin akla gelebilecek her sonucuna temel olay denir ve ile gösterilir. Rastgele olaylar belirli sayıda temel olaydan oluşur ve A, B, C, D,... ile gösterilir.

Öyle ki bir dizi temel olay

1) Bir deneyin sonucunda her zaman temel olaylardan biri meydana gelir;

2) bir deneme sırasında, temel olayların uzayı adı verilen ve ile gösterilen yalnızca bir temel olay meydana gelecektir.

Dolayısıyla herhangi bir rastgele olay, temel olaylar uzayının bir alt kümesidir. Temel olayların uzayının tanımı gereği, güvenilir bir olay şu şekilde belirtilebilir: İmkansız bir olay ile gösterilir.

Örnek 1: Bir zar atılıyor. Bu deneye karşılık gelen temel olayların uzayı aşağıdaki biçimdedir:

Örnek 2. Torbanın içinde 2 kırmızı, 3 mavi ve 1 beyaz olmak üzere toplam 6 top olsun. Deney, bir kavanozdan rastgele topların çekilmesinden ibarettir. Bu deneye karşılık gelen temel olayların uzayı aşağıdaki biçimdedir:

temel olayların aşağıdaki anlamlara sahip olduğu yerlerde: - beyaz bir top belirdi; - kırmızı bir top belirdi; - mavi bir top belirdi. Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:

A - beyaz bir topun görünümü;

B - kırmızı bir topun görünümü;

C - mavi bir topun görünümü;

D - renkli (beyaz olmayan) bir topun görünümü.

Burada bu olayların her birinin şu veya bu derecede olasılıklara sahip olduğunu görüyoruz: bazıları daha büyük, diğerleri daha az. Açıkçası, B olayının olasılık derecesi A olayınınkinden daha yüksektir; olaylar C - olaylardan B; D olayları - C olaylarına göre. Olayları olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırmak için, elbette, her olayla belirli bir sayıyı ilişkilendirmek gerekir; bu sayı ne kadar büyükse, olay o kadar olasıdır.

Bu sayıyı A olayının olasılığı olarak adlandırıyoruz. Şimdi olasılığın tanımını verelim.

Temel olayların uzayı sonlu bir küme olsun ve elemanları da olsun. Bunların eşit derecede olası temel olaylar olduğunu varsayacağız; her temel olayın diğerlerinden daha fazla gerçekleşme şansı yoktur. Bilindiği gibi her A rastgele olayı bir alt küme olarak temel olaylardan oluşur. Bu temel olaylara A'nın lehine denir.

A olayının olasılığı formülle belirlenir

burada m, A için uygun temel olayların sayısıdır, n ise dahil edilen tüm temel olayların sayısıdır.

Örnek 1 A'da çift sayıda puanın atılacağı olayı belirtiyorsa, o zaman

Örnek 2'de olayların olasılıkları aşağıdaki değerlere sahiptir:

Olasılığın tanımından aşağıdaki özellikler çıkar:

1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

Gerçekten de eğer bir olay güvenilirse, o zaman tüm temel olaylar onu destekler. Bu durumda m=n ve dolayısıyla

2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Aslında bir olay imkansızsa, o zaman tek bir temel olay bile onu desteklemez. Bu durumda m=0 ve dolayısıyla

3. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.

Aslına bakılırsa, temel olayların toplam sayısının yalnızca bir kısmı rastgele bir olayı desteklemektedir. Bu durumda ve dolayısıyla ve dolayısıyla,

Yani herhangi bir olayın olasılığı eşitsizlikleri karşılar

Bir olayın göreceli sıklığı, olayın meydana geldiği deneme sayısının gerçekte gerçekleştirilen toplam deneme sayısına oranıdır.

Böylece A olayının bağıl sıklığı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada m olayın meydana gelme sayısıdır, n ise toplam deneme sayısıdır.

Olasılık ve göreceli sıklık tanımlarını karşılaştırdığımızda şu sonuca varıyoruz: Olasılığın tanımı testlerin gerçekten yapılmasını gerektirmez; bağıl frekansın belirlenmesi, testlerin gerçekten gerçekleştirildiğini varsayar.

Örnek 3. Rastgele seçilen 80 özdeş parçadan 3'ü hatalı parça olarak belirlendi. Arızalı parçaların göreceli sıklığı

Örnek 4. Yıl içerisinde tesislerden birinde 24 denetim gerçekleştirilmiş ve 19 yasa ihlali kayıt altına alınmıştır. Yasa ihlallerinin göreceli sıklığı

Uzun vadeli gözlemler, deneyler, her birinde test sayısı oldukça fazla olan aynı koşullar altında gerçekleştirilirse, göreceli frekansın çok az değiştiğini (ne kadar az olursa, o kadar çok test yapılır), belirli bir sabit etrafında dalgalandığını göstermiştir. sayı. Bu sabit sayının olayın gerçekleşme olasılığı olduğu ortaya çıktı.

Dolayısıyla, eğer bağıl frekans deneysel olarak belirlenirse, elde edilen sayı yaklaşık bir olasılık değeri olarak alınabilir. Bu olasılığın istatistiksel tanımıdır.

Sonuç olarak olasılığın geometrik tanımına bakalım.

Temel olayların uzayı, bir düzlemde veya uzayda belirli bir alan olarak ve A'nın da bunun alt kümesi olarak kabul edilirse, o zaman A olayının olasılığı, A'nın alanlarının veya hacimlerinin oranı olarak dikkate alınacak ve şu şekilde bulunacaktır: aşağıdaki formüllere göre:

Tekrar ve kontrole yönelik sorular:

1. Nedensel ilişkilerin tezahür biçimine göre doğa ve toplum yasaları hangi sınıflara ayrılır?

2. Ne tür etkinlikler ayrılabilir?

3. Olasılık teorisinin konusu nedir?

4. Olasılık teorisinin gelişim tarihi hakkında ne biliyorsunuz?

5. Olasılık teorisinin ekonomik ve teknik problemler açısından önemi nedir?

6. Deney, test, temel olay ve olay nedir, nasıl belirlenir?

7. Temel olayların uzayına ne denir?

8. Bir olayın olasılığı nasıl belirlenir?

9. Olasılığın hangi özelliklerini biliyorsunuz?

10. Bir olayın göreceli sıklığı hakkında ne biliyorsunuz?

11. Olasılığın istatistiksel tanımının özü nedir?

12. Olasılığın geometrik tanımı nedir?

A.N.'nin biyografisi ve eserleri.

Temel olasılık teorisi, olasılık teorisinin yalnızca sonlu sayıda olayın olasılıklarıyla ilgilenmesi gereken kısmıdır. Matematiksel bir disiplin olarak olasılık teorisi...

Vektör uzayı. Doğrusal programlama problemlerini grafiksel olarak çözme

Şimdi birkaç doğrusal programlama problemine bakalım ve bunları grafiksel olarak çözelim. Problem 1. maksimum Z = 1+ - , . Çözüm. Bu problemin eşitsizlik sistemi tarafından tanımlanan yarım düzlemlerin ortak noktalarının olmadığını unutmayın (Şekil 2).