çokgen ne demek? Düzenli çokgen

Konu: “Çokgen türleri”

9. sınıf

SHL No.20

Öğretmen: Kharitonovich T.I. Dersin amacı: çokgen türlerini incelemek.

Öğrenme görevi:öğrencilerin çokgenler hakkındaki bilgilerini güncellemek, genişletmek ve genelleştirmek; bir çokgenin “bileşenleri” hakkında bir fikir oluşturmak; normal çokgenlerin (üçgenden n-gon'a) kurucu elemanlarının sayısı üzerine bir çalışma yürütmek;

Gelişimsel görev: analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma, hesaplama becerilerini geliştirme, sözlü ve yazılı matematiksel konuşma, hafıza, ayrıca düşünme ve öğrenme faaliyetlerinde bağımsızlık, çiftler ve gruplar halinde çalışma yeteneği geliştirmek; araştırma ve eğitim faaliyetleri geliştirmek;

Eğitim görevi: Bağımsızlığı, aktiviteyi, verilen işin sorumluluğunu, hedefe ulaşmada azim geliştirmek.

Ekipman: interaktif beyaz tahta (sunum)

Ders ilerlemesi

Sunumu gösteren: “Çokgenler”

“Doğa matematiğin dilini, bu dilin harflerini… matematiksel şekilleri konuşur.” G. Galliley

Dersin başında sınıf çalışma gruplarına ayrılır (bizim durumumuzda 3 gruba ayrılmıştır).

1.Çağrı aşaması-

a) öğrencilerin konu hakkındaki bilgilerini güncellemek;

b) çalışılan konuya ilgi uyandırmak, her öğrenciyi eğitim faaliyetlerine motive etmek.

Teknik: Oyun “Buna inanıyor musun…”, metinle çalışmanın organizasyonu.

Çalışma biçimleri: ön, grup.

“Buna inanıyor musun?”

1. ... "çokgen" kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin "birçok açısı" olduğunu mu gösteriyor?

2. ... bir üçgen, bir düzlem üzerindeki çeşitli geometrik şekiller arasında ayırt edilen geniş bir çokgenler ailesine mi aittir?

3. ... kare düzgün bir sekizgen midir (dört kenar + dört köşe)?

Bugün dersimizde çokgenler hakkında konuşacağız. Bu şeklin kapalı bir kesikli çizgi ile sınırlı olduğunu ve bunun da basit, kapalı olabileceğini öğreniyoruz. Çokgenlerin düz, düzgün veya dışbükey olabileceği gerçeğinden bahsedelim. Düz çokgenlerden biri, uzun zamandır aşina olduğunuz bir üçgendir (öğrencilere çokgenleri, kesikli çizgiyi gösteren posterler gösterebilir, farklı türlerini gösterebilir, ayrıca TSO'yu da kullanabilirsiniz).

2. Konsept aşaması

Amaç: Yeni bilgi edinmek, anlamak, seçmek.

Teknik: zikzak.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Grubun her üyesine dersin konusuyla ilgili bir metin verilir ve metin hem öğrencilerin zaten bildiği bilgileri hem de tamamen yeni bilgileri içerecek şekilde derlenir. Metinle birlikte öğrencilere cevapları bu metinde bulunması gereken sorular verilir.

Çokgenler. Çokgen türleri.

Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu gizemli Bermuda Şeytan Üçgeni'ni kim duymadı? Ancak çocukluğumuzdan beri bize tanıdık gelen üçgen pek çok ilginç ve gizemli şeyle doludur.

Zaten bildiğimiz, kenarlara (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar) ve açılara (dar, geniş, dikdörtgen) bölünmüş üçgen türlerine ek olarak, üçgen, üzerindeki birçok farklı geometrik şekil arasında ayırt edilen geniş bir çokgen ailesine aittir. uçak.

“Çokgen” kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin “birçok açısı” olduğunu belirtir. Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değil.

A1A2...An kesikli çizgisi, A1,A2,...An noktalarından ve bunları birbirine bağlayan A1A2, A2A3,... parçalarından oluşan bir şekildir. Noktalara çoklu çizginin köşeleri denir ve bölümlere çoklu çizginin bağlantıları denir. (ŞEKİL 1)

Kendi kendine kesişme noktaları yoksa kesikli bir çizgiye basit denir (Şekil 2, 3).

Uçları çakışıyorsa sürekli çizgiye kapalı denir. Kırık bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4)

Basit bir kapalı kesikli çizgiye, komşu bağlantıları aynı düz çizgide yer almıyorsa çokgen adı verilir (Şekil 5).

“Çok” kelimesi yerine belirli bir sayıyı (örneğin 3) değiştirin. Bir üçgen elde edeceksiniz. Veya 5. Sonra - bir beşgen. Ne kadar çok açı varsa o kadar da kenar olduğuna dikkat edin, dolayısıyla bu şekillere pekala çok kenarlı şekiller denilebilir.

Kırık çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, kesik çizginin bağlantılarına ise çokgenin kenarları denir.

Çokgen, düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış (Şekil 6).

Düzlem çokgen veya çokgen alan, bir çokgen tarafından sınırlanan bir düzlemin sonlu kısmıdır.

Bir çokgenin bir kenarının uçları olan iki köşesine bitişik denir. Bir tarafın sonu olmayan köşeler komşu değildir.

N köşesi ve dolayısıyla n kenarı olan bir çokgene n-gon denir.

Her ne kadar bir çokgenin en az kenar sayısı 3 olsa da, üçgenler birbirine bağlandıklarında başka şekiller de oluşturabilirler ve bunlar da çokgenlerdir.

Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren parçalara köşegenler denir.

Bir çokgene, kenarını içeren herhangi bir doğruya göre aynı yarım düzlemde yer alıyorsa dışbükey denir. Bu durumda düz çizginin kendisinin YARIM DÜZLEME ait olduğu kabul edilir.

Belirli bir tepe noktasındaki dışbükey çokgenin açısı, kenarlarının bu tepe noktasında yakınlaşmasıyla oluşan açıdır.

Teoremi kanıtlayalım (dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı hakkında): Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 1800*(n - 2)'ye eşittir.

Kanıt. n=3 durumunda teorem geçerlidir. A1A2...A n verilen bir dışbükey çokgen ve n>3 olsun. İçine köşegenler çizelim (bir köşeden). Çokgen dışbükey olduğundan bu köşegenler onu n – 2 üçgene böler. Bir çokgenin açılarının toplamı bu üçgenlerin tüm açılarının toplamına eşittir. Her üçgenin açılarının toplamı 1800 ve bu üçgenlerin sayısı 2'dir. Dolayısıyla dışbükey n üçgeni A1A2...A n'nin açılarının toplamı 1800* (n - 2) olur. Teorem kanıtlandı.

Belirli bir tepe noktasındaki bir dışbükey çokgenin dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç açısına bitişik açıdır.

Tüm kenarları eşit ve tüm açıları eşitse, dışbükey bir çokgene düzenli denir.

Böylece kareye farklı bir ad verilebilir - normal bir dörtgen. Eşkenar üçgenler de düzenlidir. Bu tür figürler, binaları süsleyen ustaların uzun zamandır ilgisini çekmektedir. Mesela parke üzerine güzel desenler yaptılar. Ancak parke yapmak için normal çokgenlerin tümü kullanılamaz. Parke normal sekizgenlerden yapılamaz. Gerçek şu ki, her açı 1350'ye eşittir. Ve eğer herhangi bir nokta bu tür iki sekizgenin tepe noktası ise, o zaman onların payı 2700 olacaktır ve üçüncü sekizgenin oraya sığabileceği yer yoktur: 3600 - 2700 = 900. Ama bir kare için bu yeterlidir. Bu nedenle normal sekizgen ve karelerden parke yapabilirsiniz.

Yıldızlar da doğrudur. Beş köşeli yıldızımız normal bir beşgen yıldızdır. Ve eğer kareyi merkezin etrafında 450 derece döndürürseniz, düzgün bir sekizgen yıldız elde edersiniz.

Kırık çizgi nedir? Çoklu çizginin köşelerinin ve bağlantılarının ne olduğunu açıklayın.

Hangi kesikli çizgiye basit denir?

Hangi kırık çizgiye kapalı denir?

Çokgene ne denir? Çokgenin köşelerine ne ad verilir? Çokgenin kenarlarına ne denir?

Hangi çokgene düz denir? Çokgenlere örnekler veriniz.

N – kare nedir?

Bir çokgenin hangi köşelerinin bitişik, hangilerinin bitişik olmadığını açıklayın.

Bir çokgenin köşegeni nedir?

Hangi çokgene dışbükey denir?

Bir çokgenin hangi açılarının dış, hangilerinin iç olduğunu açıklayın?

Hangi çokgene düzenli denir? Düzgün çokgenlere örnekler veriniz.

Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı nedir? Kanıtla.

Öğrenciler metinle çalışır, sorulan soruların cevaplarını arar, ardından aynı konularda çalışmaların yapıldığı uzman grupları oluşturulur: öğrenciler ana noktaları vurgular, destekleyici bir özet hazırlar ve bilgileri bunlardan birinde sunar. grafik formları. Çalışmanın tamamlanmasının ardından öğrenciler çalışma gruplarına geri dönerler.

3. Yansıma aşaması -

a) kişinin bilgisinin değerlendirilmesi, bilginin bir sonraki adımına meydan okuma;

b) alınan bilgilerin anlaşılması ve benimsenmesi.

Resepsiyon: araştırma çalışması.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Çalışma grupları, önerilen soruların her bölümünü yanıtlayacak uzmanları içerir.

Çalışma grubuna dönen uzman, sorularının yanıtlarını diğer grup üyelerine sunar. Grup, çalışma grubunun tüm üyeleri arasında bilgi alışverişinde bulunur. Böylece her çalışma grubunda uzmanların çalışmaları sayesinde çalışılan konu hakkında genel bir anlayış oluşturulur.

Öğrenci araştırma çalışması– tabloyu doldurmak.

Düzenli çokgenler Çizim Kenar sayısı Köşe sayısı Tüm iç açıların toplamı İç derece ölçüsü. açı Dış açının derece ölçüsü Köşegen sayısı

A) üçgen

B) dörtgen

B) beş delikli

D) altıgen

D) n-gon

Dersin konusuyla ilgili ilginç problemleri çözme.

1) Her birinin iç açısı 1350 olan düzgün çokgenin kaç kenarı vardır?

2) Belirli bir çokgenin tüm iç açıları birbirine eşittir. Bu çokgenin iç açılarının toplamı 3600, 3800 olabilir mi?

3) Açıları 100,103,110,110,116 derece olan bir beşgen yapılabilir mi?

Dersi özetlemek.

Ödevin kaydedilmesi: SAYFA 66-72 Sayı 15,17 VE GÖREV: BİR DÖRTGENDE, ÜÇ ÜÇGENE BÖLECEK DÜZ BİR ÇİZGİ ÇİZİN.

Test şeklinde yansıma (interaktif beyaz tahtada)

Bu dersimizde yeni bir konuya başlayacağız ve bize yeni bir kavram tanıtacağız: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. Daha sonra bir çokgenin iç açılarının toplamına ilişkin teorem, bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem gibi en önemli gerçekleri kanıtlayacağız. Sonuç olarak, ileriki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız.

Konu: Dörtgenler

Ders: Çokgenler

Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dik, ikizkenar ve düzgün üçgen gibi özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık rakamlardan bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler.

Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen

İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.

Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey çokgen

Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.

Tanım.Düzenli çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir.

Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen.

Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir; bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2).

Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir.

Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı.

Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen

Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler.

Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'de bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir.

Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var.

Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa.

Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür.

Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede?

Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon.

Pirinç. 4. Dışbükey n-gon

Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. N-gon'u üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur:

Q.E.D.

İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Pirinç. 5.

N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamı ile iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu da açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb.

Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , …, dış açılardır.

Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon gösterelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin.

Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon

Çünkü Dış açı iç açıya bitişik olarak bağlanır ve aynı durum geri kalan dış açılar için de geçerlidir. Daha sonra:

Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoremden ilginç bir gerçek çıkar: dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı, açılarının (kenarlarının) sayısına eşittir. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.

Referanslar

Alexandrov M.S. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com ().

Ev ödevi

Konu, öğrenci yaşı: geometri, 9. sınıf

Dersin amacı: çokgen türlerini incelemek.

Eğitim görevi: Öğrencilerin çokgenler hakkındaki bilgilerini güncellemek, genişletmek ve genelleştirmek; bir çokgenin “bileşenleri” hakkında bir fikir oluşturmak; normal çokgenlerin (üçgenden n-gon'a) kurucu elemanlarının sayısı üzerine bir çalışma yürütmek;

Gelişimsel görev: analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma, hesaplama becerilerini, sözlü ve yazılı matematiksel konuşmayı, hafızayı, ayrıca düşünme ve öğrenme faaliyetlerinde bağımsızlığı, çiftler ve gruplar halinde çalışma yeteneğini geliştirme; araştırma ve eğitim faaliyetleri geliştirmek;

Eğitim görevi: Bağımsızlığı, aktiviteyi, verilen işin sorumluluğunu, hedefe ulaşmada azim geliştirmek.

Ders ilerlemesi: tahtaya yazılan alıntı

“Doğa matematiğin dilini, bu dilin harflerini… matematiksel şekilleri konuşur.” G. Galliley

Dersin başında sınıf çalışma gruplarına ayrılır (bizim durumumuzda her biri 4 kişilik gruplara ayrılmıştır - grup üye sayısı soru grubu sayısına eşittir).

1.Çağrı aşaması-

Hedefler:

a) öğrencilerin konu hakkındaki bilgilerini güncellemek;

b) çalışılan konuya ilgi uyandırmak, her öğrenciyi eğitim faaliyetlerine motive etmek.

Teknik: Oyun “Buna inanıyor musun…”, metinle çalışmanın organizasyonu.

Çalışma biçimleri: ön, grup.

“Buna inanıyor musun?”

1. ... "çokgen" kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin "birçok açısı" olduğunu mu gösteriyor?

2. ... bir üçgen, bir düzlem üzerindeki pek çok farklı geometrik şekil arasından ayrılan çokgenlerden oluşan geniş bir aileye mi aittir?

3. ... kare düzgün bir sekizgen midir (dört kenar + dört köşe)?

2. Konsept aşaması

Amaç: Yeni bilgi edinmek, anlamak, seçmek.

Teknik: zikzak.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Çokgenler. Çokgen türleri.

“Çokgen” kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin “birçok açısı” olduğunu belirtir. Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değil.

A 1 A 2 ...A n kesikli çizgisi, A 1, A 2, ...A n noktalarından ve bunları bağlayan A 1 A 2, A 2 A 3,.... parçalarından oluşan bir şekildir. Noktalara çoklu çizginin köşeleri denir ve bölümlere çoklu çizginin bağlantıları denir. (Şekil 1)

Kendi kendine kesişme noktaları yoksa kesikli bir çizgiye basit denir (Şekil 2, 3).

Uçları çakışıyorsa sürekli çizgiye kapalı denir. Kırık bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4).

Basit, kapalı bir kesikli çizgiye, komşu bağlantıları aynı düz çizgide yer almıyorsa çokgen adı verilir (Şekil 5).

Kırık çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, kesik çizginin bağlantılarına ise çokgenin kenarları denir.

Çokgen, düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış (Şekil 6).

Düzlem çokgen veya çokgen alan, bir çokgen tarafından sınırlanan bir düzlemin sonlu kısmıdır.

Bir çokgenin bir kenarının uçları olan iki köşesine bitişik denir. Bir tarafın sonu olmayan köşeler komşu değildir.

N köşesi ve dolayısıyla n kenarı olan bir çokgene n-gon denir.

Her ne kadar bir çokgenin en az kenar sayısı 3 olsa da, üçgenler birbirine bağlandıklarında başka şekiller de oluşturabilirler ve bunlar da çokgenlerdir.

Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren parçalara köşegenler denir.

Bir çokgene, kenarını içeren herhangi bir doğruya göre aynı yarım düzlemde yer alıyorsa dışbükey denir. Bu durumda düz çizginin kendisinin yarım düzleme ait olduğu kabul edilir.

Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki açısı, kenarlarının bu tepe noktasında yakınlaşmasıyla oluşan açıdır.

Teoremi kanıtlayalım (dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı hakkında): Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180 0 *(n - 2)'ye eşittir.

Kanıt. n=3 durumunda teorem geçerlidir. A 1 A 2 ...A n verilen bir dışbükey çokgen ve n>3 olsun. İçine köşegenler çizelim (bir köşeden). Çokgen dışbükey olduğundan bu köşegenler onu n – 2 üçgene böler. Bir çokgenin açılarının toplamı bu üçgenlerin tüm açılarının toplamına eşittir. Her üçgenin açılarının toplamı 180 0'a eşittir ve bu üçgenlerin sayısı n 2'dir. Dolayısıyla dışbükey bir n-gon A 1 A 2 ...A n'nin açılarının toplamı 180'e eşittir. 0 * (n - 2). Teorem kanıtlandı.

Belirli bir tepe noktasındaki bir dışbükey çokgenin dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç açısına bitişik açıdır.

Tüm kenarları eşit ve tüm açıları eşitse, dışbükey bir çokgene normal denir.

Böylece kareye farklı bir ad verilebilir - normal bir dörtgen. Eşkenar üçgenler de düzenlidir. Bu tür figürler, binaları süsleyen ustaların uzun zamandır ilgisini çekmektedir. Mesela parke üzerine güzel desenler yaptılar. Ancak parke yapmak için normal çokgenlerin tümü kullanılamaz. Parke normal sekizgenlerden yapılamaz. Gerçek şu ki, her açı 135 0'a eşittir. Ve eğer bir nokta bu tür iki sekizgenin tepe noktasıysa, o zaman bunlar 270 0'ı açıklayacaktır ve üçüncü sekizgenin oraya sığabileceği hiçbir yer yoktur: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ancak bir kare için bu yeterlidir. Bu nedenle normal sekizgen ve karelerden parke yapabilirsiniz.

Yıldızlar da doğrudur. Beş köşeli yıldızımız normal bir beşgen yıldızdır. Ve eğer kareyi merkezin etrafında 45° döndürürseniz, düzgün bir sekizgen yıldız elde edersiniz.

1 grup

Kırık çizgi nedir? Çoklu çizginin köşelerinin ve bağlantılarının ne olduğunu açıklayın.

Hangi kesikli çizgiye basit denir?

Hangi kırık çizgiye kapalı denir?

Çokgene ne denir? Çokgenin köşelerine ne ad verilir? Çokgenin kenarlarına ne denir?

2. grup

Hangi çokgene düz denir? Çokgenlere örnekler veriniz.

N – kare nedir?

Bir çokgenin hangi köşelerinin bitişik, hangilerinin bitişik olmadığını açıklayın.

Bir çokgenin köşegeni nedir?

3 grup

Hangi çokgene dışbükey denir?

Bir çokgenin hangi açılarının dış, hangilerinin iç açı olduğunu açıklayın?

Hangi çokgene düzenli denir? Düzgün çokgenlere örnekler veriniz.

4 grup

Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı nedir? Kanıtla.

3. Yansıma aşaması -

a) kişinin bilgisinin değerlendirilmesi, bilginin bir sonraki adımına meydan okuma;

b) alınan bilgilerin anlaşılması ve benimsenmesi.

Resepsiyon: araştırma çalışması.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Çalışma grupları, önerilen soruların her bölümünü yanıtlayacak uzmanları içerir.

Öğrencilerin araştırma çalışmaları - tablonun doldurulması.

Düzenli çokgenler	Çizim	Kenar sayısı	Köşe sayısı	Tüm iç açıların toplamı	Derece ölçüsü iç açı	Dış açının derece ölçüsü	Köşegen sayısı
A) üçgen
B) dörtgen
B) beş çubuk
D) altıgen
D) n-gon

Dersin konusuyla ilgili ilginç problemleri çözme.

Bir dörtgende, onu üç üçgene bölecek şekilde düz bir çizgi çizin.
Her bir iç açısı 135° olan düzgün çokgenin kaç kenarı vardır?
Belirli bir çokgenin tüm iç açıları birbirine eşittir. Bu çokgenin iç açılarının toplamı 360 0, 380 0'a eşit olabilir mi?

Dersi özetlemek. Ev ödevi kaydediliyor.

Üçgen, kare, altıgen - bu rakamlar neredeyse herkes tarafından bilinmektedir. Ancak herkes normal çokgenin ne olduğunu bilmiyor. Ancak bunların hepsi aynıdır. Düzgün çokgen, açıları ve kenarları eşit olan çokgendir. Bu tür pek çok şekil var ama hepsi aynı özelliklere sahip ve aynı formüller onlara uygulanıyor.

Düzenli çokgenlerin özellikleri

İster kare ister sekizgen olsun, herhangi bir normal çokgen bir dairenin içine yazılabilir. Bu temel özellik genellikle bir figür oluştururken kullanılır. Ayrıca bir çokgenin içine bir daire yazılabilir. Bu durumda temas noktalarının sayısı kenar sayısına eşit olacaktır. Düzenli bir çokgene yazılan dairenin kendisiyle ortak bir merkeze sahip olması önemlidir. Bu geometrik şekiller aynı teoremlere tabidir. Düzenli bir n-gon'un herhangi bir kenarı onu çevreleyen R çemberinin yarıçapıyla ilişkilidir. Bu nedenle aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: a = 2R ∙ sin180°. Sayesinde çokgenin sadece kenarlarını değil aynı zamanda çevresini de bulabilirsiniz.

Normal çokgenin kenar sayısı nasıl bulunur?

Herhangi biri, bağlandığında kapalı bir çizgi oluşturan, birbirine eşit belirli sayıda bölümden oluşur. Bu durumda ortaya çıkan şeklin tüm açıları aynı değere sahiptir. Çokgenler basit ve karmaşık olarak ikiye ayrılır. İlk grup bir üçgen ve bir kareden oluşur. Karmaşık çokgenlerin daha fazla kenarı vardır. Bunlar aynı zamanda yıldız şeklindeki figürleri de içerir. Karmaşık düzgün çokgenler için, kenarlar bir daire içine yazılarak bulunur. Bir kanıt verelim. İsteğe bağlı sayıda kenarı olan normal bir çokgen çizin n. Etrafına bir daire çizin. R yarıçapını ayarlayın. Şimdi size bir miktar n-gon verildiğini hayal edin. Açılarının noktaları daire üzerinde bulunuyorsa ve birbirine eşitse, kenarlar şu formül kullanılarak bulunabilir: a = 2R ∙ sinα: 2.

Yazılı bir düzgün üçgenin kenar sayısını bulma

Eşkenar üçgen düzgün bir çokgendir. Aynı formüller kare ve n-gon için de geçerlidir. Kenar uzunlukları eşitse bir üçgen düzgün kabul edilir. Bu durumda açılar 60⁰ olur. Kenar uzunluğu a olan bir üçgen oluşturalım. Ortancasını ve yüksekliğini bilerek kenarlarının değerini bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, a = x: cosα formülünü kullanarak bulma yöntemini kullanacağız; burada x, medyan veya yüksekliktir. Üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan a = b = c elde ederiz. O zaman şu ifade doğru olacaktır: a = b = c = x: cosα. Benzer şekilde, bir ikizkenar üçgenin kenarlarının değerini de bulabilirsiniz, ancak verilen yükseklik x olacaktır. Bu durumda kesinlikle şeklin tabanına yansıtılmalıdır. Yani, x yüksekliğini bildiğimizde, a = b = x: cosα formülünü kullanarak ikizkenar üçgenin a kenarını buluruz. A'nın değerini bulduktan sonra c tabanının uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Pisagor teoremini uygulayalım. c tabanının yarısının değerini arayacağız: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. O halde c = 2xtanα. Bu basit yolla herhangi bir yazılı çokgenin kenar sayısını bulabilirsiniz.

Bir daire içine yazılan bir karenin kenarlarının hesaplanması

Diğer yazılı normal çokgenler gibi, karenin de kenarları ve açıları eşittir. Üçgen için de aynı formüller geçerlidir. Köşegen değerini kullanarak karenin kenarlarını hesaplayabilirsiniz. Bu yöntemi daha ayrıntılı olarak ele alalım. Köşegenin bir açıyı ikiye böldüğü bilinmektedir. Başlangıçta değeri 90 dereceydi. Böylece bölündükten sonra iki tane oluşur. Tabandaki açıları 45 dereceye eşit olacaktır. Buna göre, karenin her bir tarafı eşit olacaktır, yani: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, burada e, karenin köşegeni veya sonrasında oluşan dik üçgenin tabanıdır. bölüm. Bir karenin kenarlarını bulmanın tek yolu bu değildir. Bu rakamı bir daire içine yazalım. Bu R çemberinin yarıçapını bildiğimiz için karenin kenarını buluyoruz. Bunu şu şekilde hesaplayacağız: a4 = R√2. Normal çokgenlerin yarıçapları R = a: 2tg (360 o: 2n) formülü kullanılarak hesaplanır; burada a, kenarın uzunluğudur.

Bir n-gon'un çevresi nasıl hesaplanır

Bir n-gon'un çevresi tüm kenarlarının toplamıdır. Hesaplaması kolaydır. Bunu yapmak için tüm tarafların anlamlarını bilmeniz gerekir. Bazı çokgen türleri için özel formüller vardır. Çevreyi çok daha hızlı bulmanızı sağlarlar. Herhangi bir normal çokgenin eşit kenarları olduğu bilinmektedir. Bu nedenle çevresini hesaplamak için bunlardan en az birini bilmek yeterlidir. Formül, şeklin kenar sayısına bağlı olacaktır. Genel olarak şuna benzer: P = an, burada a yan değer ve n ise açı sayısıdır. Örneğin, bir kenarı 3 cm olan normal bir sekizgenin çevresini bulmak için bunu 8 ile çarpmanız gerekir, yani P = 3 ∙ 8 = 24 cm, bir kenarı 5 cm olan bir altıgen için hesaplıyoruz. şu şekildedir: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Ve böylece her çokgen için.

Paralelkenar, kare ve eşkenar dörtgenin çevresini bulma

Normal bir çokgenin kaç kenarı olduğuna bağlı olarak çevresi hesaplanır. Bu görevi çok daha kolay hale getirir. Nitekim diğer figürlerden farklı olarak bu durumda tüm taraflarını aramanıza gerek yok, bir tanesi yeterli. Aynı prensibi kullanarak dörtgenlerin, yani kare ve eşkenar dörtgenin çevresini buluyoruz. Bunların farklı rakamlar olmasına rağmen formül aynıdır: P = 4a, burada a kenardır. Bir örnek verelim. Bir eşkenar dörtgenin veya karenin bir kenarı 6 cm ise çevresini şu şekilde buluruz: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Bir paralelkenar için yalnızca karşılıklı kenarlar eşittir. Bu nedenle çevresi farklı bir yöntem kullanılarak bulunur. Yani şeklin a uzunluğunu ve b genişliğini bilmemiz gerekiyor. Daha sonra P = (a + b) ∙ 2 formülünü uyguluyoruz. Tüm kenarların ve aralarındaki açıların eşit olduğu paralelkenara eşkenar dörtgen denir.

Eşkenar ve dik üçgenin çevresini bulma

Doğru olanın çevresi P = 3a formülü kullanılarak bulunabilir; burada a, kenarın uzunluğudur. Bilinmiyorsa medyan aracılığıyla bulunabilir. Bir dik üçgende yalnızca iki kenar eşit değere sahiptir. Temel Pisagor teoremi aracılığıyla bulunabilir. Üç tarafın da değerleri bilindikten sonra çevreyi hesaplıyoruz. a ve b'nin eşit kenarlar ve c'nin taban olduğu P = a + b + c formülünü kullanarak bulunabilir. Bir ikizkenar üçgende a = b = a, yani a + b = 2a olduğunu ve bu durumda P = 2a + c olduğunu hatırlayın. Örneğin ikizkenar üçgenin bir kenarı 4 cm ise tabanını ve çevresini bulalım. Hipotenüsün değerini Pisagor teoremini kullanarak = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm olarak hesaplıyoruz. Şimdi P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm çevresini hesaplayın.

Düzenli çokgenin açıları nasıl bulunur

Düzenli bir çokgen her gün hayatımızda karşımıza çıkar; örneğin düzgün kare, üçgen, sekizgen. Görünüşe göre bu figürü kendi başınıza inşa etmekten daha kolay bir şey yok. Ancak bu yalnızca ilk bakışta basittir. Herhangi bir n-gonu oluşturmak için açılarının değerini bilmeniz gerekir. Ama onları nasıl bulabilirim? Eski bilim adamları bile düzenli çokgenler oluşturmaya çalıştılar. Bunları çemberlere nasıl yerleştireceklerini buldular. Daha sonra gerekli noktalar işaretlenerek düz çizgilerle birleştirildi. Basit rakamlar için inşaat sorunu çözüldü. Formüller ve teoremler elde edildi. Örneğin Öklid, ünlü eseri “Başlangıç”ta 3-, 4-, 5-, 6- ve 15-gonlarla ilgili problemlerin çözümüyle ilgilendi. Bunları oluşturmanın ve açıları bulmanın yollarını buldu. 15-gon için bunun nasıl yapılacağına bakalım. Öncelikle iç açılarının toplamını hesaplamanız gerekir. S = 180⁰(n-2) formülünü kullanmak gerekir. Yani bize 15-gon veriliyor, bu da n sayısının 15 olduğu anlamına geliyor. Bildiğimiz verileri formülde yerine koyarsak S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ elde ederiz. 15-gon'un tüm iç açılarının toplamını bulduk. Şimdi her birinin değerini almanız gerekiyor. Toplamda 15 açı var 2340⁰: 15 = 156⁰ hesabını yapıyoruz. Bu, her iç açının 156⁰'ye eşit olduğu anlamına gelir; şimdi bir cetvel ve pergel kullanarak normal bir 15-gon oluşturabilirsiniz. Peki ya daha karmaşık n-gon'lar? Yüzyıllar boyunca bilim insanları bu sorunu çözmek için çabaladılar. Sadece 18. yüzyılda Carl Friedrich Gauss tarafından bulundu. Bir 65537-gon inşa etmeyi başardı. O zamandan beri sorunun resmi olarak tamamen çözüldüğü kabul edildi.

Radyan cinsinden n-gon açılarının hesaplanması

Elbette çokgenlerin açılarını bulmanın birkaç yolu vardır. Çoğu zaman derece cinsinden hesaplanırlar. Ancak radyan cinsinden de ifade edilebilirler. Bu nasıl yapılır? Aşağıdaki gibi ilerlemeniz gerekiyor. Öncelikle normal bir çokgenin kenar sayısını buluyoruz, sonra bundan 2 çıkarıyoruz. Bu, n - 2 değerini elde ettiğimiz anlamına geliyor. Bulunan farkı n ("pi" = 3,14) sayısıyla çarpın. Şimdi geriye kalan tek şey, elde edilen sonucu n-gon'daki açı sayısına bölmektir. Örnek olarak aynı ongeni kullanarak bu hesaplamaları ele alalım. Yani n sayısı 15'tir. S = n(n - 2) formülünü uygulayalım : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Elbette bir açıyı radyan cinsinden hesaplamanın tek yolu bu değildir. Açıyı derece olarak 57,3'e bölebilirsiniz. Sonuçta bu, bir radyana kaç derecenin eşdeğer olduğudur.

Derece cinsinden açıların hesaplanması

Derece ve radyanın yanı sıra normal çokgenin açılarını da derece cinsinden bulmayı deneyebilirsiniz. Bu şu şekilde yapılır. Toplam açı sayısından 2 çıkarın ve elde edilen farkı normal çokgenin kenar sayısına bölün. Bulunan sonucu 200 ile çarpıyoruz. Bu arada, derece gibi bir açı ölçü birimi pratikte kullanılmıyor.

N-gonların dış açılarının hesaplanması

Herhangi bir normal çokgen için iç poligonun yanı sıra dış açıyı da hesaplayabilirsiniz. Değeri diğer rakamlarla aynı şekilde bulunur. Yani düzgün bir çokgenin dış açısını bulmak için iç açının değerini bilmeniz gerekir. Ayrıca bu iki açının toplamının her zaman 180 dereceye eşit olduğunu biliyoruz. Bu nedenle hesaplamaları şu şekilde yapıyoruz: 180⁰ eksi iç açının değeri. Farkı buluyoruz. Bitişik açının değerine eşit olacaktır. Örneğin karenin iç açısı 90 derecedir yani dış açısı 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ olacaktır. Gördüğümüz gibi bulmak zor değil. Dış açı sırasıyla +180⁰ ile -180⁰ arasında bir değer alabilir.