Şekillerin benzerliği nedir? Benzer şekillerin özellikleri

Geometri

Rakamların benzerliği

Benzer şekillerin özellikleri

Teorem. Bir şekil bir şekle benzediğinde ve bir şekil bir şekle benzediğinde, o zaman şekiller ve benzer.
Benzerlik dönüşümünün özelliklerinden, benzer şekiller için karşılık gelen açıların eşit olduğu ve karşılık gelen bölümlerin orantılı olduğu sonucu çıkar. Örneğin benzer üçgenlerde ABC Ve :
; ; ;
.

Üçgenlerin benzerlik belirtileri

Teorem 1. Bir üçgenin iki açısı sırasıyla ikinci üçgenin iki açısına eşitse, bu üçgenler benzerdir.
Teorem 2. Bir üçgenin iki kenarı ikinci üçgenin iki kenarıyla orantılıysa ve bu kenarların oluşturduğu açılar eşitse üçgenler benzerdir.
Teorem 3. Bir üçgenin kenarları ikinci üçgenin kenarlarıyla orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.
Bu teoremlerden problemlerin çözümünde faydalı olan gerçekler çıkar.
1. Bir üçgenin bir kenarına paralel ve diğer iki kenarıyla kesişen bir doğru, buna benzer bir üçgeni ondan keser.
Resimde.

2. Benzer üçgenler için karşılık gelen öğeler (yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar vb.) karşılık gelen kenarlar olarak ilişkilidir.
3. Benzer üçgenlerin çevreleri karşılık gelen kenarlarla ilişkilidir.
4. Eğer HAKKINDA- yamuk köşegenlerinin kesişme noktası ABCD, O .
Yamuk şeklindeki şekilde ABCD:.

5. Yamuğun kenarlarının devamı ise ABCD bir noktada kesişmek k, sonra (şekle bakın) .
.

Dik üçgenlerin benzerliği

Teorem 1. Dik üçgenlerin dar açıları eşitse, bunlar benzerdir.
Teorem 2. Bir dik üçgenin iki bacağı ikinci dik üçgenin iki bacağıyla orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.
Teorem 3. Bir dik üçgenin kenarı ve hipotenüsü ikinci dik üçgenin kenarı ve hipotenüsüyle orantılıysa, bu tür üçgenler benzerdir.
Teorem 4. Bir dik açının tepe noktasından çizilen dik üçgenin yüksekliği, üçgeni buna benzer iki dik üçgene böler.
resimde .

Dik üçgenlerin benzerliğinden aşağıdaki sonuç çıkar.
1. Bir dik üçgenin bacağı, hipotenüs ile bu bacağın hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır:
; ,
veya
; .
2. Dik açının tepesinden çizilen dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır:
, veya .
3. Üçgenin açıortayının özelliği:
Bir üçgenin açıortayı (keyfi), üçgenin karşı kenarını diğer iki kenarla orantılı parçalara böler.
Resimdeki B.P.- açıortay.
, veya .

Eşkenar ve ikizkenar üçgenler arasındaki benzerlikler

1. Tüm eşkenar üçgenler benzerdir.
2. İkizkenar üçgenlerin kenarları arasındaki açılar eşitse bunlar benzerdir.
3. İkizkenar üçgenlerin orantılı bir tabanı ve kenarı varsa, bunlar benzerdir.

SOYUT

Konuyla ilgili: “Rakamların benzerliği”

Tamamlanmış:

öğrenci

Kontrol edildi:

1. Benzerlik dönüşümü

2. Benzerlik dönüşümünün özellikleri

3. Şekillerin benzerliği

4. Üçgenlerin iki açıdaki benzerlik işareti

5. İki taraftaki üçgenlerin benzerlik işareti ve aralarındaki açı

6. Üç kenardaki üçgenlerin benzerlik işareti

7. Dik üçgenlerin benzerliği

8. Bir daire içine yazılan açılar

9. Bir dairenin akor bölümlerinin ve sekantlarının orantılılığı

10. “Şekillerin benzerliği” konusundaki sorunlar

1. BENZERLİK DÖNÜŞÜMÜ

Bir F şeklinin bir F" şekline dönüştürülmesi, eğer bu dönüşüm sırasında noktalar arasındaki mesafeler aynı sayıda değişiyorsa benzerlik dönüşümü olarak adlandırılır (Şekil 1). Bu, eğer F şekli, benzerlik dönüşümü sırasında X", Y"şekli F" noktalarına dönüşür, sonra X"Y" = k-XY olur ve k sayısı tüm X, Y noktaları için aynıdır. k sayısına denir. benzerlik katsayısı. k = l için benzerlik dönüşümü açıkça bir harekettir.

F belirli bir şekil ve O sabit bir nokta olsun (Şekil 2). F şeklinin rastgele bir X noktasından geçen bir OX ışınını çizelim ve bunun üzerine k·OX'a eşit bir OX" parçasını çizelim, burada k pozitif bir sayıdır. Her bir X noktasının bulunduğu F şeklinin dönüşümü Belirtilen şekilde inşa edilen X noktasına giden "O merkezine göre homotetik" olarak adlandırılır. k sayısına homotetik katsayısı, F ve F" rakamlarına ise homotetik denir.

Teorem 1. Homotetiklik bir benzerlik dönüşümüdür

Kanıt. O homotelik merkezi, k homotetik katsayısı, X ve Y şeklin iki keyfi noktası olsun (Şekil 3)

Şekil 3 Şekil 4

Homotetik olarak, X ve Y noktaları, OX ve OY ışınları üzerinde sırasıyla X" ve Y" noktalarına gider ve OX" = k·OX, OY" = k·OY. Bu, OX" = kOX, OY" = kOY vektör eşitliklerini ifade eder.

Bu eşitlikleri terim terim çıkararak şunu elde ederiz: OY"-OX" = k (OY-OX).

OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY olduğuna göre X"Y" = kХY. Bu, /X"Y"/=k /XY/ anlamına gelir, yani. X"Y" = kXY. Sonuç olarak homotetiklik, benzerliğin dönüşümüdür. Teorem kanıtlandı.

Benzerlik dönüşümü, makine parçalarının, yapıların, saha planlarının vb. çizimleri yapılırken pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu görüntüler, hayali görüntülerin tam boyutlu benzer dönüşümleridir. Benzerlik katsayısına ölçek denir. Örneğin bir arazi kesiti 1:100 ölçekte gösteriliyorsa bu, planda 1 santimetrenin zeminde 1 m'ye karşılık geldiği anlamına gelir.

Görev. Şekil 4'te arazinin 1:1000 ölçekli planı görülmektedir. Mülkün boyutlarını belirleyin (uzunluk ve genişlik).

Çözüm. Plandaki arsanın uzunluğu ve genişliği 4 cm ve 2,7 cm'dir. Plan 1:1000 ölçekli yapıldığından arsanın boyutları sırasıyla 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm ='dir. 40 m.

2. BENZERLİK DÖNÜŞÜMÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Tıpkı harekette olduğu gibi, benzerlik dönüşümü sırasında, aynı doğru üzerinde bulunan üç A, B, C noktasının yine aynı doğru üzerinde bulunan üç A 1, B 1, C 1 noktasına gittiği kanıtlanmıştır. Ayrıca, B noktası A ve C noktaları arasında yer alıyorsa, B 1 noktası A 1 ve C 1 noktaları arasında yer alır. Buradan, benzerlik dönüşümünün çizgileri düz çizgilere, yarım çizgileri yarım çizgilere ve parçaları parçalara dönüştürdüğü sonucu çıkar.

Benzerlik dönüşümünün yarım çizgiler arasındaki açıları koruduğunu kanıtlayalım.

Aslında ABC açısının k katsayısı ile benzerlik dönüşümüyle A 1 B 1 C 1 açısına dönüştürülmesine izin verin (Şekil 5). ABC açısını, homotelik katsayısı k olan B köşesine göre bir homotetik dönüşüme tabi tutalım. Bu durumda A ve C noktaları A 2 ve C 2 noktalarına taşınacaktır. A 2 BC 2 ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri üçüncü kritere göre eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden A 2 BC 2 ve A 1 B 1 C 1 açılarının eşit olduğu sonucu çıkar. Bu, ABC ve A 1 B 1 C 1 açılarının eşit olduğu anlamına gelir ve bunun kanıtlanması gerekir.

3. ŞEKİLLERİN BENZERLİĞİ

İki şekil, benzerlik dönüşümü ile birbirine dönüştürülürse benzer olarak adlandırılır. Şekillerin benzerliğini belirtmek için özel bir simge kullanılır: ∞. F∞F" gösterimi şu şekilde okunur: "F şekli, F şekline benzer."

F 1 şeklinin F 2 şekline ve F 2 şeklinin F 3 şekline benzer olması durumunda F 1 ve F 3 şekillerinin benzer olduğunu kanıtlayalım.

X 1 ve Y 1, F 1 şeklinin iki keyfi noktası olsun. F 1 şeklini F 2'ye dönüştüren benzerlik dönüşümü, bu noktaları X 2, Y 2 noktalarına dönüştürür; bunun için X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1'dir.

F 2 şeklini F 3'e dönüştüren benzerlik dönüşümü, X 2, Y 2 noktalarını, X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2 olan X 3, Y 3 noktalarına dönüştürür.

Eşitliklerden

X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

bundan X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 çıkıyor. Bu, iki benzerlik dönüşümünün ardışık olarak gerçekleştirilmesiyle elde edilen F 1 rakamının F 3'e dönüştürülmesinin benzerlik olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak F 1 ve F 3 rakamları benzerdir ve bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Üçgenlerin benzerliğine ilişkin gösterimde: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - benzerlik dönüşümüyle birleştirilen köşelerin karşılık gelen yerlerde olduğu, yani A'nın A 1'e, B'nin B 1'e ve C'nin C'ye gittiği varsayılır. 1.

Benzerlik dönüşümünün özelliklerinden, benzer şekiller için karşılık gelen açıların eşit olduğu ve karşılık gelen bölümlerin orantılı olduğu sonucu çıkar. Özellikle benzer ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri için

A=A 1, B=B 1, C=C 1

4. ÜÇGENLERİN İKİ AÇIYA GÖRE BENZERLİKLERİNİN ANLAMI

Teorem 2. Bir üçgenin iki açısı diğer üçgenin iki açısına eşitse bu üçgenler benzerdir.

Kanıt. ABC ve A 1 B 1 C 1 A=A 1, B=B 1 üçgenleri olsun. ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 olduğunu kanıtlayalım.

İzin vermek . A 1 B 1 C 1 üçgenini k benzerlik katsayısına sahip bir benzerlik dönüşümüne, örneğin homotete tabi tutalım (Şekil 6). Bu durumda, ABC üçgenine eşit belirli bir A 2 B 2 C 2 üçgeni elde ederiz. Aslında benzerlik dönüşümü açıları koruduğu için A 2 = A 1, B 2 = B 1 olur. Bu, ABC ve A üçgenlerinin 2 B 2 C 2 A = A 2, B = B 2'ye sahip olduğu anlamına gelir. Sonra, A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. Sonuç olarak, ABC ve A 2 B 2 C 2 üçgenleri ikinci kritere göre (yan ve komşu açılardan) eşittir.

A 1 B 1 C 1 ve A 2 B 2 C 2 üçgenleri homotetik ve dolayısıyla benzer olduğundan ve A 2 B 2 C 2 ve ABC üçgenleri eşit ve dolayısıyla da benzer olduğundan, A 1 B 1 C 1 ve ABC üçgenleri benzerdir . Teorem kanıtlandı.

Görev. ABC üçgeninin AB kenarına paralel bir düz çizgi, AC kenarını A 1 noktasında ve BC kenarını B 1 noktasında kesiyor. Δ ABC ~ ΔA 1 B 1 C olduğunu kanıtlayın.

Çözüm (Şekil 7). ABC ve A 1 B 1 C üçgenlerinin C tepe noktasında ortak bir açısı vardır ve CA 1 B 1 ve CAB açıları, AB ve A 1 B 1 paralellerinin AC sekantına karşılık gelen açılarına eşittir. Bu nedenle, iki açıda ΔАВС~ΔА 1 В 1 С.

5. İKİ TARAFINDAKİ ÜÇGENLERİN BENZERLİĞİNİN VE ARASINDAKİ AÇININ ÖNEMİ

Teorem 3. Bir üçgenin iki kenarı diğer üçgenin iki kenarıyla orantılıysa ve bu kenarların oluşturduğu açılar eşitse üçgenler benzerdir.

İspat (Teorem 2'nin ispatına benzer). ABC ve A 1 B 1 C 1 C=C 1 ve AC=kA 1 C 1, BC=kB 1 C 1 üçgenleri olsun. ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 olduğunu kanıtlayalım.

A 1 B 1 C 1 üçgenini k benzerlik katsayısına sahip bir benzerlik dönüşümüne, örneğin homotete tabi tutalım (Şekil 8).

Bu durumda, ABC üçgenine eşit belirli bir A 2 B 2 C 2 üçgeni elde ederiz. Aslında benzerlik dönüşümü açıları koruduğu için C 2 = = C 1 olur. Bu, ABC ve A üçgenlerinin 2 B 2 C 2 C=C 2'ye sahip olduğu anlamına gelir. Sonra, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC. Sonuç olarak, ABC ve A 2 B 2 C 2 üçgenleri ilk kritere göre (iki kenar ve aralarındaki açı) eşittir.

Görev. Dar açısı C olan ABC üçgeninde AE ve BD yükseklikleri çizilmiştir (Şekil 9). ΔABC~ΔEDC olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. ABC ve EDC üçgenlerinin ortak köşe açısı C'dir. Bu açıya komşu olan üçgenlerin kenarlarının orantılılığını kanıtlayalım. EC = AC cos γ, DC = BC cos γ elimizde. Yani üçgenlerde C açısına komşu kenarlar orantılıdır. Bu, iki tarafta ΔABC~ΔEDC ve aralarındaki açı anlamına gelir.

6. ÜÇ TARAFLI ÜÇGENLERİN BENZERLİĞİNİN ANLAMI

Teorem 4. Bir üçgenin kenarları diğer üçgenin kenarlarıyla orantılıysa bu üçgenler benzerdir.

İspat (Teorem 2'nin ispatına benzer). ABC ve A 1 B 1 C 1 AB = kA 1 B 1, AC = kA 1 C 1, BC = kB 1 C 1 üçgenleri olsun. ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 olduğunu kanıtlayalım.

A 1 B 1 C 1 üçgenini k benzerlik katsayısına sahip bir benzerlik dönüşümüne, örneğin homotete tabi tutalım (Şekil 10). Bu durumda, ABC üçgenine eşit belirli bir A 2 B 2 C 2 üçgeni elde ederiz. Aslında üçgenlerde karşılık gelen kenarlar eşittir:

A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC.

Sonuç olarak, üçgenler üçüncü kritere göre (üç tarafta) eşittir.

Görev. Benzer üçgenlerin çevrelerinin karşılık gelen kenarlar olarak ilişkili olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. ABC ve A 1 B 1 C 1 benzer üçgenler olsun. O halde A 1 B 1 C 1 üçgeninin kenarları ABC üçgeninin kenarlarıyla orantılıdır, yani A 1 B 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. Bu eşitlikleri terim terim topladığımızda şunu elde ederiz:

A 1 B 1 + B 1 C1 +A 1 C1 =k(AB+BC+AC).

yani üçgenlerin çevreleri karşılık gelen kenarlar olarak ilişkilidir.

7. DİKDÖRTGEN ÜÇGENLERİN BENZERLİĞİ

Dik üçgenin bir dik açısı vardır. Dolayısıyla Teorem 2'ye göre iki dik üçgenin benzer olabilmesi için her birinin dar açılarının eşit olması yeterlidir.

Dik üçgenlerin benzerliği için bu testi kullanarak üçgenlerdeki bazı ilişkileri kanıtlayacağız.

ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgen olsun. Dik açının tepe noktasından CD yüksekliğini çizelim (Şekil 11).

ABC ve CBD üçgenlerinin B köşe noktasında ortak bir açıları vardır. Bu nedenle benzerdirler: ΔABC~ΔCBD. Üçgenlerin benzerliğinden karşılık gelen kenarların orantılı olduğu sonucu çıkar:

Bu ilişki genellikle şu şekilde formüle edilir: Bir dik üçgenin bir kenarı, hipotenüs ile bu bacağın hipotenüse izdüşümü arasındaki orantılı ortalamadır.

ACD ve CBD dik üçgenleri de benzerdir. A ve C köşelerinde eşit dar açılara sahiptirler. Bu üçgenlerin benzerliğinden kenarlarının orantılılığı şu şekildedir:

Bu ilişki genellikle şu şekilde formüle edilir: Bir dik açının tepesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, I bacaklarının hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır.

Bir üçgenin açıortayının şu özelliğini kanıtlayalım: Bir üçgenin açıortayı karşı kenarı diğer iki kenara orantılı parçalara böler.

CD, ABC üçgeninin ortaortayı olsun (Şekil 12). ABC üçgeni AB tabanına sahip ikizkenar ise, o zaman açıortayın belirtilen özelliği açıktır, çünkü bu durumda CD açıortayı aynı zamanda medyandır.

AC≠BC olduğu genel durumu ele alalım. A ve B köşelerinden AF ve BE dikmelerini CD doğrusu üzerine bırakalım.

ACF ve VSE dik üçgenleri C köşesinde eşit dar açılara sahip oldukları için benzerdir. Üçgenlerin benzerliğinden kenarların orantılılığı şu şekildedir:

ADF ve BDE dik üçgenleri de benzerdir. D köşesindeki açıları düşey açılara eşittir. Üçgenlerin benzerliğinden kenarların orantılılığı gelir:

Bu eşitliği öncekiyle karşılaştırırsak şunu elde ederiz:

yani AD ve BD doğru parçaları AC ve BC kenarlarıyla orantılıdır ve bunun kanıtlanması gerekir.

8. BİR ÇEVRE İÇİNDEKİ AÇILAR

Açı, düzlemi iki parçaya ayırır. Parçaların her birine düzlem açısı denir. Şekil 13'te a ve b kenarlarına sahip düzlem açılarından biri gölgelendirilmiştir. Kenarları ortak olan düzlem açılarına tümler denir.

Bir düzlem açısı bir yarım düzlemin parçasıysa, derece ölçüsüne aynı kenarlara sahip sıradan bir açının derece ölçüsü denir. Bir düzlem açısı bir yarım düzlem içeriyorsa, derece ölçüsü 360° - α olarak alınır; burada α, ek bir düzlem açısının derece ölçüsüdür (Şekil 14).

Pirinç. 13 Şekil 14

Bir dairedeki merkezi açı, merkezinde bir tepe noktası bulunan bir düzlem açıdır. Dairenin düzlem açısının içinde yer alan kısmına, bu merkezi açıya karşılık gelen dairenin yayı denir (Şekil 15). Bir daire yayının derece ölçüsü, karşılık gelen merkez açının derece ölçüsüdür.

Pirinç. 15 Şek. 16

Tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları bu daireyle kesişen açıya daire içine yazılı açı denir. Şekil 16'daki BAC açısı bir dairenin içine yazılmıştır. A köşesi çember üzerinde yer alır ve kenarları çemberi B ve C noktalarında keser. Ayrıca A açısının BC kirişine dayandığı da söylenir. BC düz çizgisi daireyi iki yaya böler. Bu yayların A noktasını içermeyen merkez açısına karşılık gelen merkez açıya, verilen yazılı açıya karşılık gelen merkez açı denir.

Teorem 5. Bir dairenin içine yazılan açı, karşılık gelen merkez açının yarısına eşittir.

Kanıt. Öncelikle açının kenarlarından birinin dairenin merkezinden geçtiği özel durumu ele alalım (Şekil 17, a). AOB üçgeni ikizkenardır çünkü OA ve OB kenarlarının yarıçapları eşittir. Bu nedenle üçgenin A ve B açıları eşittir. Ve bunların toplamı üçgenin O köşesindeki dış açısına eşit olduğundan, üçgenin B açısı AOC açısının yarısına eşittir ki bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Genel durum, BD yardımcı çapının çizilmesiyle dikkate alınan özel duruma indirgenir (Şekil 17, b, c). Şekil 17, b'de sunulan durumda, ABC= CBD+ ABD= ½ COD + ½ AOD= ½ AOC.

Şekil 17, c'de sunulan durumda,

ABC= CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

Teorem tamamen kanıtlanmıştır.

9. BİR ÇEMİNİN Akor BÖLÜMLERİNİN VE SEKTÖRLERİNİN ORANTILILIĞI

Bir çemberin AB ve CD kirişleri S noktasında kesişiyorsa

ToAS·BS=CS·DS.

Öncelikle ASD ve CSB üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayalım (Şekil 19). Yazılı açılar DCB ve DAB Teorem 5'in sonucu olarak eşittir. ASD ve BSC açıları dikey açılara eşittir. Belirtilen açıların eşitliğinden ASZ ve CSB üçgenlerinin benzer olduğu anlaşılmaktadır.

Üçgenlerin benzerliğinden orantı gelir

AS BS = CS DS, bunu kanıtlamamız gerekiyordu

Şekil 19 Şekil 20

P noktasından, daireyi sırasıyla A, B ve C, D noktalarında kesen bir daireye iki kesen çizilirse, o zaman

A ve C noktaları, kesenlerin P noktasına en yakın daire ile kesişme noktaları olsun (Şekil 20). PAD ve PCB üçgenleri benzerdir. P köşesinde ortak bir açıları vardır ve daire içine yazılan açıların özelliğine göre B ve D köşelerindeki açılar eşittir. Üçgenlerin benzerliğinden orantı gelir

Dolayısıyla PA·PB=PC·PD, kanıtlanması gereken şey budur.

10. “Şekillerin benzerliği” konusundaki sorunlar

Konuyla ilgili: “Rakamların benzerliği”

Tamamlanmış:

Kontrol edildi:

1. Benzerlik dönüşümü

2. Benzerlik dönüşümünün özellikleri

3. Şekillerin benzerliği

4. Üçgenlerin iki açıdaki benzerlik işareti

5. İki taraftaki üçgenlerin benzerlik işareti ve aralarındaki açı

6. Üç kenardaki üçgenlerin benzerlik işareti

7. Dik üçgenlerin benzerliği

8. Bir daire içine yazılan açılar

9. Bir dairenin akor bölümlerinin ve sekantlarının orantılılığı

10. “Şekillerin benzerliği” konusundaki sorunlar

1. BENZERLİK DÖNÜŞÜMÜ

Bir F şeklinin bir F" şekline dönüşümü, eğer bu dönüşüm sırasında noktalar arasındaki mesafeler aynı sayıda değişiyorsa benzerlik dönüşümü olarak adlandırılır (Şekil 1). Bu, bir noktanın keyfi X, Y noktalarının F şekli, F" şeklinin X", Y" noktalarına dönüşür, sonra X"Y" = k-XY olur ve k sayısı tüm X, Y noktaları için aynıdır. k sayısına benzerlik katsayısı denir. k = l için benzerlik dönüşümü açıkça bir harekettir.

Teorem 1. Homotetiklik bir benzerlik dönüşümüdür

Kanıt. O homotelik merkezi olsun, k homotetik katsayısı olsun, X ve Y şeklin keyfi iki noktası olsun (Şekil 3)

Şekil 3 Şekil 4

Homotetik olarak, X ve Y noktaları, OX ve OY ışınları üzerinde sırasıyla X" ve Y" noktalarına gider ve OX" = k·OX, OY" = k·OY. Bu, OX" = kOX, OY" = kOY vektör eşitliklerini ifade eder.

Bu eşitlikleri terim terim çıkararak şunu elde ederiz: OY"-OX" = k (OY-OX).

OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY olduğuna göre X"Y" = kХY. Bu, /X"Y"/=k /XY/ anlamına gelir, yani. X"Y" = kXY. Sonuç olarak homotetiklik, benzerliğin dönüşümüdür. Teorem kanıtlandı.

Görev. Şekil 4'te arazinin 1:1000 ölçekli planı görülmektedir. Mülkün boyutlarını belirleyin (uzunluk ve genişlik).

Çözüm. Plandaki arsanın uzunluğu ve genişliği 4 cm ve 2,7 cm'dir. Plan 1:1000 ölçekli yapıldığından arsanın boyutları sırasıyla 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm ='dir. 40 m.

2. BENZERLİK DÖNÜŞÜMÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Benzerlik dönüşümünün yarım çizgiler arasındaki açıları koruduğunu kanıtlayalım.

Üçgenlerin medyanları; 4. , burada BH ve B1H1 üçgenlerin yükseklikleridir. §5. Deneysel çalışma Deneysel çalışmanın amacı: Lisede “Benzer üçgenler” konusunun incelenmesinin metodolojik özelliklerini belirlemek. Fikir: Metodolojik özellikleri belirlemek için, geliştirilen metodolojiyi kullanarak birkaç ders yürütmek, eğitimin sonunda bir test yapmak ve analiz üzerine yargılanabilecek bir test yapmak gerekir...

Pozitivizm. Pozitivistler için yalnızca nicel yöntemler kullanılarak elde edilenler doğrudur ve test edilmiştir. Yalnızca matematik ve doğa bilimleri bilim olarak kabul edilirken, sosyal bilimler mitoloji alanına dahil ediliyor. Neopositivizm, Neopositivistler pedagojinin zayıflığını, gerçek gerçeklerden ziyade işe yaramaz fikirlerin ve soyutlamaların hakimiyetinde görmesinde görürler. Parlak...

Eşit şekillerin ne olduğunu zaten biliyoruz: bunlar üst üste bindirilerek birleştirilebilen şekillerdir. Ancak hayatta daha çok eşitlerle değil, benzer figürlerle karşılaşıyoruz. Örneğin hem madeni para hem de Güneş daire şeklindedir. Benzerler ama eşit değiller. Bu tür rakamlara benzer denir. Bu dersimizde hangi şekillere benzer denildiğini ve hangi özelliklere sahip olduklarını öğreneceğiz.

Konuyu anlamakta zorluk çekiyorsanız dersi izlemenizi ve

Thales teoremi

Açının kenarları paralel düz çizgilerle orantılı parçalara kesilir (bkz. Şekil 5). Yani:

Segment uzunluklarının toplamı için de benzer bir ilişki yazılabilir:

Pirinç. 5. Thales teoreminin örneği

Karşılık gelen açıları eşit olan iki üçgeni ve , düşünün (bkz. Şekil 6):

Pirinç. 6. Açıları eşit olan üçgenler

Üçgenlerde eşit açıların karşısında bulunan kenarlara denir benzer.

Benzer kenarları listeleyelim: ve (eşit açıların karşısında yer alır) ve (eşit açıların karşısında yer alır) ve (eşit açıların karşısında yer alır).

Tanım

İki üçgen denir benzer, eğer karşılık gelen açılar eşitse ve benzer kenarlar orantılıysa:

Dahası , burası nerede üçgen benzerlik katsayısı.

Örnekler

Her homotelik bir benzerliktir.
Her hareket (aynı olanlar dahil) aynı zamanda bir katsayılı benzerlik dönüşümü olarak da düşünülebilir. k = 1 .

Resimdeki benzer figürler aynı renklere sahiptir.

İlgili tanımlar

Özellikler

Metrik uzaylarda aynı N-boyutlu Riemannian, sözde Riemannian ve Finsler uzaylarında benzerlik, uzayın metriğini sabit bir faktöre kadar kendi içine alan bir dönüşüm olarak tanımlanır.

N boyutlu Öklid, sözde Öklid, Riemann, sözde Riemann veya Finsler uzayının tüm benzerlikleri kümesi şu şekildedir: R-üye Lie dönüşümleri grubu, karşılık gelen uzayın benzer (homotetik) dönüşümleri grubu olarak adlandırılır. Belirtilen türlerdeki alanların her birinde R-benzer Lie dönüşümlerinin üye grubu şunları içerir ( R− 1) -üyeli normal hareket alt grubu.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Benzer şekiller”in neler olduğuna bakın: BENZER ŞEKİLLER - Karşılık gelen doğrusal elemanların orantılı olduğu ve aralarındaki açıların eşit olduğu, yani aynı şekle sahip, farklı boyutlara sahip olan şekiller...

Büyük Politeknik Ansiklopedisi Karşılık gelen noktaların merkeze uzaklıkları orantılı ise iki homolojik şekle grup adı verilir. Buradan G. figürlerinin benzer figürler olduğu ve benzer şekilde konumlandırıldığı veya benzer ve ters konumlandırıldığı açıktır. Bunda homolojinin merkezi... ...

Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biridir. İçindekiler 1 İfade 2 Kanıt ... Vikipedi

Tentür Kalkanı Kalkan sahibi Kalkan sahibi (slogan) ... Wikipedia

İngiltere, Kilpeck'teki kiliseden ünlü Sheela na Gig (İngilizce: Sheela na Gig) çıplak kadınların heykelsi görüntüleri, genellikle ... Vikipedi'de büyütülmüş

- ... Vikipedi

İkinci kez siyahların ülkesine gitmeyi planlıyordum, cehennem ikliminin ilk yolculuğumda beni neredeyse öldürdüğü gerçeğine aldırış etmeden. Bu yolculuğa çok karışık duygularla çıktım ve çeşitli... ... Hayvan yaşamından kurtulamadım. Nispeten net bir içeriğe ve nispeten net bir şekilde tanımlanmış bir kapsama sahip genel bir isim. P. örneğin “kimyasal element”, “yasa”, “yerçekimi kuvveti”, “astronomi”, “şiir” vb.'dir. P denebilecek bu isimler arasında belirgin bir sınır vardır...

Felsefi Ansiklopedi

Planimetri terimlerinin tanımları burada toplanmıştır. Bu sözlükteki (bu sayfada) terimlere yapılan atıflar italik yazılmıştır. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Vikipedi

Planimetri terimlerinin tanımları burada toplanmıştır. Bu sözlükteki (bu sayfada) terimlere yapılan atıflar italik yazılmıştır. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Vikipedi

Peygamberler ve mucize yaratanlar. Tasavvufla ilgili eskizler, V. E. Rozhnov. Moskova, 1977. Politizdat. Sahibinin bağlayıcılığı. Durumu iyi. Spiritüalizm ve astroloji, teosofi ve okültizm - bu kelimeler dergi ve gazetelerin sayfalarında sürekli olarak bulunabilir...
Sayı, şekil, boyut. 4 ila 5 yaş arası çocukların bulunduğu sınıflar için. Oyun ve çıkartmalar içeren bir kitap, Dorofeeva A.. Albüm “Hesap. Biçim. Yedi Cüceler Okulu serisinin beşinci yılı olan Büyüklük, her dersin eğlenceli bir şekilde işlendiği ve çocuklara bir şeyler vermeye devam eden bir gelişim rehberidir…