Sonunda bu geniş ve uzun zamandır beklenen konuyu ele aldım. analitik geometri. Öncelikle yüksek matematiğin bu bölümü hakkında biraz bilgi verelim... Artık sayısız teorem, bunların kanıtları, çizimleri vb. içeren bir okul geometri dersini hatırlıyorsunuzdur. Öğrencilerin önemli bir kısmı için sevilmeyen ve çoğunlukla anlaşılması güç bir konu olan ne saklanmalı? Garip bir şekilde analitik geometri daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. “Analitik” sıfatı ne anlama geliyor? Hemen aklıma iki klişe matematik tabiri geliyor: “grafiksel çözüm yöntemi” ve “analitik çözüm yöntemi.” Grafik yöntemi elbette grafiklerin ve çizimlerin yapımıyla ilişkilidir. Analitik veya yöntem sorunları çözmeyi içerir daha çok cebirsel işlemler yoluyla. Bu bağlamda, analitik geometrinin hemen hemen tüm problemlerini çözmeye yönelik algoritma basit ve şeffaftır; çoğu zaman gerekli formülleri dikkatlice uygulamak yeterlidir - ve cevap hazır! Hayır elbette çizim olmadan bunu yapamayacağız, ayrıca malzemenin daha iyi anlaşılması için gereksiz yere alıntı yapmaya çalışacağım.
Yeni açılan geometri dersleri teorik olarak tamamlanmış gibi görünmüyor; pratik problemlerin çözümüne odaklanıyor. Derslerime yalnızca benim bakış açıma göre pratik açıdan önemli olan şeyleri dahil edeceğim. Herhangi bir alt bölüm hakkında daha kapsamlı yardıma ihtiyacınız varsa, aşağıdaki oldukça erişilebilir literatürü öneririm:
1) Şaka değil, birkaç neslin aşina olduğu bir şey: Geometri üzerine okul ders kitabı, yazarlar – L.S. Atanasyan ve Şirketi. Bu okul soyunma odası askısı zaten 20 (!) yeniden basımdan geçti ve bu elbette sınır değil.
2) 2 ciltte geometri. Yazarlar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu lise için edebiyat, ihtiyacın olacak ilk cilt. Nadiren karşılaşılan görevler görüş alanımdan çıkabilir ve öğreticinin çok değerli yardımı olacaktır.
Her iki kitap da çevrimiçi olarak ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca sayfada bulabileceğiniz hazır çözümlerle arşivimi kullanabilirsiniz. Yüksek matematikteki örnekleri indirin.
Araçlar arasında yine kendi gelişimimi öneriyorum - yazılım paketi Analitik geometride hayatı büyük ölçüde kolaylaştıracak ve çok zaman kazandıracak.
Okuyucunun temel geometrik kavram ve şekillere aşina olduğu varsayılmaktadır: nokta, doğru, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini hatırlamanız tavsiye edilir, tekrarlayıcılara merhaba)
Şimdi sırasıyla ele alacağız: vektör kavramı, vektörlerle eylemler, vektör koordinatları. Devamını okumanızı tavsiye ederim en önemli makale Vektörlerin nokta çarpımı ve ayrıca Vektör ve vektörlerin karışık çarpımı. Yerel bir görev - bu bağlamda bir segmentin bölünmesi - de gereksiz olmayacaktır. Yukarıdaki bilgilere dayanarak ustalaşabilirsiniz. düzlemdeki bir doğrunun denklemiİle en basit çözüm örnekleri, izin verecek geometri problemlerini çözmeyi öğrenin. Aşağıdaki makaleler de faydalıdır: Uzayda bir düzlemin denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak yol boyunca standart görevler dikkate alınacaktır.
Vektör kavramı. Ücretsiz vektör
Öncelikle bir vektörün okuldaki tanımını tekrarlayalım. Vektör isminde yönlendirilmiş başlangıcı ve bitişinin belirtildiği bir bölüm:
Bu durumda parçanın başı nokta, parçanın sonu ise noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yönçok önemli, eğer oku parçanın diğer ucuna hareket ettirirseniz bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör. Vektör kavramını fiziksel bir bedenin hareketiyle özdeşleştirmek uygundur: Kabul etmelisiniz ki bir enstitünün kapısından girmek veya bir enstitünün kapısından çıkmak tamamen farklı şeylerdir.
Bir düzlemin veya uzayın bireysel noktalarını sözde olarak düşünmek uygundur. sıfır vektör. Böyle bir vektör için son ve başlangıç çakışır.
!!! Not: Burada ve ayrıca vektörlerin aynı düzlemde bulunduğunu veya uzayda yer aldıklarını varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.
Tanımlar: Birçoğu, adında ok bulunmayan çubuğu hemen fark etti ve üstte de bir ok olduğunu söyledi! Doğru, bunu bir okla yazabilirsiniz: , ancak bu da mümkündür gelecekte kullanacağım giriş. Neden? Görünüşe göre bu alışkanlık pratik nedenlerden dolayı gelişti; okuldaki ve üniversitedeki atıcılarımın çok farklı boyutlarda ve tüylü olduğu ortaya çıktı. Eğitim literatüründe bazen çivi yazısıyla hiç uğraşmazlar, ancak harfleri kalın harflerle vurgularlar: , böylece bunun bir vektör olduğunu ima ederler.
Bu stilistikti ve şimdi vektör yazmanın yolları hakkında:
1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir: 
ve benzeri. Bu durumda ilk harf mutlaka vektörün başlangıç noktasını, ikinci harf ise vektörün bitiş noktasını belirtir.
2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Özellikle, vektörümüz kısa olması açısından küçük bir Latin harfiyle yeniden tasarlanabilir.
Uzunluk veya modül sıfır olmayan bir vektöre parçanın uzunluğu denir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır. Mantıksal.
Vektörün uzunluğu modül işaretiyle gösterilir: ,
Biraz sonra bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz (ya da kime bağlı olarak tekrarlayacağız).
Bu, tüm okul çocuklarının aşina olduğu, vektörler hakkında temel bilgilerdi. Analitik geometride, sözde bedava vektör.
Basitçe söylemek gerekirse - vektör herhangi bir noktadan çizilebilir:
Bu tür vektörleri eşit olarak adlandırmaya alışkınız (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısına göre bunlar AYNI VEKTÖR veya bedava vektör. Neden ücretsiz? Çünkü problemleri çözerken, şu veya bu "okul" vektörünü ihtiyacınız olan uçağın veya uzayın HERHANGİ bir noktasına "bağlayabilirsiniz". Bu çok harika bir özellik! Rastgele uzunlukta ve yönde yönlendirilmiş bir parça hayal edin; sonsuz sayıda "klonlanabilir" ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında HER YERDE mevcuttur. Şöyle bir öğrenci söylüyor: Her hoca vektöre önem verir. Sonuçta, bu sadece esprili bir kafiye değil, her şey neredeyse doğru - oraya yönlendirilmiş bir bölüm de eklenebilir. Ama sevinmek için acele etmeyin, çoğu zaman acı çekenler öğrencilerin kendisidir =)
Bu yüzden, bedava vektör- Bu birçok aynı yönlendirilmiş bölümler. Paragrafın başında verilen bir vektörün okul tanımı: “Yönlendirilmiş bir parçaya vektör denir…” anlamına gelir. özel belirli bir kümeden alınan ve düzlem veya uzaydaki belirli bir noktaya bağlanan yönlendirilmiş bir bölüm.
Fizik açısından bakıldığında serbest vektör kavramının genellikle yanlış olduğu ve uygulama noktasının önemli olduğu unutulmamalıdır. Aslında, benim aptal örneğimi geliştirmeye yetecek kadar aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan darbesi farklı sonuçlara yol açar. Fakat, özgür olmayan vektörler ayrıca vyshmat sürecinde de bulunur (oraya gitmeyin :)).
Vektörlerle yapılan eylemler. Vektörlerin doğrusallığı
Bir okul geometri kursu, vektörlerle birlikte bir dizi eylemi ve kuralı kapsar: Üçgen kuralına göre toplama, paralelkenar kuralına göre toplama, vektör farkı kuralı, bir vektörün bir sayı ile çarpılması, vektörlerin skaler çarpımı vb. Başlangıç noktası olarak analitik geometri problemlerinin çözümüyle özellikle ilgili olan iki kuralı tekrarlayalım.
Üçgen kuralını kullanarak vektörleri ekleme kuralı
Sıfır olmayan iki rastgele vektörü düşünün ve: 
Bu vektörlerin toplamını bulmanız gerekiyor. Tüm vektörlerin serbest kabul edilmesi nedeniyle vektörü bir kenara koyuyoruz. son vektör: 
Vektörlerin toplamı vektördür. Kuralın daha iyi anlaşılması için, buna fiziksel bir anlam verilmesi tavsiye edilir: Bir cismin önce vektör boyunca, sonra da vektör boyunca ilerlemesine izin verin. O zaman vektörlerin toplamı, başlangıcı kalkış noktasında ve sonu varış noktasında olmak üzere ortaya çıkan yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Dedikleri gibi, vücut, toplamın ortaya çıkan vektörü boyunca bir zikzak boyunca veya belki de otopilotta çok eğilerek yoluna gidebilir.
Bu arada, eğer vektör ertelenirse başladı vektör, o zaman eşdeğerini elde ederiz paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.
İlk olarak vektörlerin eşdoğrusallığı hakkında. İki vektör denir eşdoğrusal, eğer aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa. Kabaca söylemek gerekirse paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak bunlarla ilgili olarak her zaman “doğrusal” sıfatı kullanılır.
İki eşdoğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yöne yönlendirilirse, bu tür vektörlere denir. ortak yönetmen. Oklar farklı yönleri gösteriyorsa vektörler zıt yönler.
Tanımlar: Vektörlerin doğrusallığı olağan paralellik sembolüyle yazılır: , detaylandırma mümkündür: (vektörler birlikte yönlendirilir) veya (vektörler zıt yönlendirilir).
iş bir sayı üzerindeki sıfır olmayan bir vektör, uzunluğu eşit olan bir vektördür ve ve vektörleri, ile birlikte ve zıt olarak yönlendirilir.
Bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını bir resim yardımıyla anlamak daha kolaydır: 
Daha ayrıntılı olarak bakalım:
1) Yön. Çarpan negatifse, vektör yön değiştirir tam tersine.
2) Uzunluk. Çarpan veya içinde yer alıyorsa, vektörün uzunluğu azalır. Yani vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğunun yarısı kadardır. Çarpanın modülü birden büyükse vektörün uzunluğu artar bazen.
3) Lütfen şunu unutmayın tüm vektörler eşdoğrusaldır, bir vektör diğeri aracılığıyla ifade edilirken, örneğin . Bunun tersi de doğrudur: Eğer bir vektör bir diğeri aracılığıyla ifade edilebiliyorsa, bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayıyla çarparsak eşdoğrusal hale geliriz(orijinaline göre) vektör.
4) Vektörler birlikte yönlendirilir. Vektörler ve ayrıca birlikte yönlendirilirler. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörüne göre zıt yönlüdür.
Hangi vektörler eşittir?
İki vektör aynı yöndeyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir. Eş yönlülüğün, vektörlerin eşdoğrusallığını ima ettiğini unutmayın. Eğer şöyle dersek tanım hatalı (gereksiz) olacaktır: "İki vektör eğer aynı doğru üzerindeyse, eş yönlüyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir."
Serbest vektör kavramı açısından bakıldığında, önceki paragrafta tartışıldığı gibi eşit vektörler aynı vektördür.
Düzlemde ve uzayda vektör koordinatları
İlk nokta düzlemdeki vektörleri dikkate almaktır. Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini gösterelim ve koordinatların başlangıç noktasından başlayarak çizelim. Bekar vektörler ve:
Vektörler ve ortogonal. Ortogonal = Dik. Terimlere yavaş yavaş alışmanızı öneririm: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz eşdoğrusallık Ve diklik.
Tanım: Vektörlerin ortogonalliği olağan diklik sembolüyle yazılır, örneğin: .
Göz önünde bulundurulan vektörlere denir koordinat vektörleri veya ort. Bu vektörler oluşur temel bir uçakta. Çoğu kişi için temelin ne olduğu sezgisel olarak açıktır; daha ayrıntılı bilgi makalede bulunabilir; Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve kökeni tüm sistemi tanımlar - bu, üzerinde tam ve zengin bir geometrik yaşamın kaynadığı bir tür temeldir.
Bazen inşa edilmiş temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri dik olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani. temel vektörlerin uzunlukları bire eşittir.
Tanım: temel genellikle parantez içinde yazılır; kesin sırayla temel vektörler listelenmiştir, örneğin: . Koordinat vektörleri yasak yeniden düzenleyin.
Herhangi düzlem vektör tek yolşu şekilde ifade edilir: 
, Nerede - sayılar bunlara denir vektör koordinatları bu temelde. Ve ifadenin kendisi 
isminde vektör ayrışmasıtemelde .
Servis edilen akşam yemeği:
Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Çizim, bir vektörü tabana ayrıştırırken az önce tartışılanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralı: ve;
2) Üçgen kuralına göre vektörlerin toplanması: .
Şimdi düzlemdeki herhangi bir noktadan vektörü zihinsel olarak çizin. Çürümesinin “amansızca onu takip edeceği” çok açık. İşte, vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi kendisiyle birlikte taşır." Bu özellik elbette her vektör için geçerlidir. Temel (serbest) vektörlerin başlangıç noktasından itibaren çizilmesine gerek olmaması komiktir; örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve hiçbir şey değişmez! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok, çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve beklenmedik bir yerde size bir "kredi" çekecektir.
Vektörler, bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını tam olarak gösterir; vektör, temel vektörle eş yönlüdür, vektör, temel vektörün tersi yöndedir. Bu vektörler için koordinatlardan biri sıfıra eşittir, bunu şu şekilde titizlikle yazabilirsiniz:
Ve bu arada temel vektörler şöyle: (aslında kendileri aracılığıyla ifade ediliyorlar).
Ve son olarak: , . Bu arada, vektör çıkarma nedir ve neden çıkarma kuralından bahsetmedim? Lineer cebirde bir yerde, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarmanın toplamanın özel bir durumu olduğunu belirtmiştim. Böylece “de” ve “e” vektörlerinin açılımları kolaylıkla toplam olarak yazılabilir: , 
. Bu durumlarda üçgen kuralına göre vektörlerin eski güzel toplamının ne kadar net çalıştığını görmek için çizimi takip edin.
Formun dikkate alınan ayrıştırması 
bazen vektör ayrıştırması denir ort sisteminde(yani birim vektörlerden oluşan bir sistemde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir; aşağıdaki seçenek yaygındır:
Veya eşittir işaretiyle:
Temel vektörlerin kendisi şu şekilde yazılır: ve
Yani vektörün koordinatları parantez içinde gösterilmiştir. Pratik problemlerde her üç gösterim seçeneği de kullanılır.
Konuşup konuşmamak konusunda tereddüt ettim ama yine de söyleyeyim: vektör koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle ilk sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz. Aslında ve iki farklı vektördür.
Uçağın koordinatlarını bulduk. Şimdi üç boyutlu uzayda vektörlere bakalım, burada hemen hemen her şey aynı! Sadece bir koordinat daha ekleyecek. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi bir vektörle sınırlayacağım ve basitlik açısından onu orijinden ayıracağım: 
Herhangi 3 boyutlu uzay vektörü tek yol ortonormal bir temele göre genişletin: 
, bu temelde vektörün (sayı) koordinatları nerededir.
Resimden örnek: 
. Burada vektör kurallarının nasıl çalıştığını görelim. Öncelikle vektörü şu sayıyla çarpın: (kırmızı ok), (yeşil ok) ve (ahududu oku). İkinci olarak, burada birkaç, bu durumda üç vektörün eklenmesine ilişkin bir örnek verilmiştir: . Toplam vektör başlangıç noktasından (vektörün başlangıcı) başlar ve son varış noktasında (vektörün sonu) biter.
Üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de doğal olarak özgürdür; vektörü zihinsel olarak başka herhangi bir noktadan ayırmaya çalışın ve onun ayrışmasının "onunla kalacağını" anlayacaksınız.
Düz kasaya benzer, yazıya ek olarak 
parantezli versiyonlar yaygın olarak kullanılmaktadır: ya .
Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü eksikse, onların yerine sıfırlar konur. Örnekler:
vektör (titizlikle 
) – hadi yazalım;
vektör (titizlikle) – yazın;
vektör (titizlikle 
) – hadi yazalım.
Temel vektörler aşağıdaki gibi yazılır:
Belki de analitik geometri problemlerini çözmek için gereken minimum teorik bilginin tamamı budur. Çok fazla terim ve tanım olabilir o yüzden çaydanlık yapanların bu bilgileri tekrar okuyup anlamalarını öneririm. Ve herhangi bir okuyucunun, materyali daha iyi özümsemesi için zaman zaman temel derse başvurması yararlı olacaktır. Eşdoğrusallık, ortogonallik, ortonormal temel, vektör ayrıştırması - bunlar ve diğer kavramlar gelecekte sıklıkla kullanılacaktır. Tüm teoremleri dikkatlice (ve kanıt olmadan) şifrelediğim için sitedeki materyallerin geometri üzerine teorik testi veya kolokyumu geçmek için yeterli olmadığını - bilimsel sunum tarzının zararına, ancak anlayışınıza bir artı - not ediyorum. konu. Detaylı teorik bilgi almak için lütfen Profesör Atanasyan'ın önünde eğilin.
Ve pratik kısma geçiyoruz:
Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlardaki vektörlerle yapılan işlemler
Tamamen otomatik olarak değerlendirilecek görevlerin ve formüllerin nasıl çözüleceğini öğrenmeniz önemle tavsiye edilir. ezberlemek, bunu bilerek hatırlamanıza bile gerek yok, kendileri hatırlayacaklardır =) Bu çok önemlidir, çünkü analitik geometrinin diğer problemleri en basit temel örneklere dayanmaktadır ve piyon yemeye fazladan zaman harcamak can sıkıcı olacaktır. . Gömleğinizin üst düğmelerini iliklemenize gerek yok; okuldan aşina olduğunuz birçok şey var.
Materyalin sunumu hem uçak hem de uzay açısından paralel bir seyir izleyecek. Çünkü tüm formülleri... kendiniz göreceksiniz.
İki noktadan bir vektör nasıl bulunur?
Düzlemin iki noktası verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir: 
Uzayda iki nokta verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:
Yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektörün başlangıcı.
Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulma formüllerini yazın. Dersin sonunda formüller.
Örnek 1
Düzlemin iki noktası verildiğinde ve . Vektör koordinatlarını bulun
Çözüm: ilgili formüle göre:
Alternatif olarak aşağıdaki giriş kullanılabilir:
Buna estetik karar verecek:
Şahsen ben kaydın ilk versiyonuna alışkınım.
Cevap:
Koşula göre, bir çizim oluşturmak gerekli değildi (ki bu analitik geometri problemleri için tipiktir), ancak kuklalar için bazı noktaları açıklığa kavuşturmak için tembel olmayacağım: 
Kesinlikle anlamalısın nokta koordinatları ve vektör koordinatları arasındaki fark:
Nokta koordinatları– bunlar dikdörtgen koordinat sistemindeki sıradan koordinatlardır. Sanırım herkes 5-6. sınıftan itibaren koordinat düzleminde noktaların nasıl çizileceğini biliyor. Her noktanın düzlemde kesin bir yeri vardır ve hiçbir yere taşınamazlar.
Vektörün koordinatları– bu, bu durumda temele göre genişlemesidir. Herhangi bir vektör serbesttir, yani istenirse veya gerekliyse onu düzlemdeki başka bir noktadan kolaylıkla uzaklaştırabiliriz. İlginçtir ki vektörler için eksen veya dikdörtgen koordinat sistemi oluşturmanıza gerek yoktur; sadece bir tabana, bu durumda düzlemin ortonormal tabanına ihtiyacınız vardır.
Noktaların koordinatları ile vektörlerin koordinatlarının kayıtları benzer görünmektedir: , ve koordinatların anlamı kesinlikle farklı ve bu farkın çok iyi farkında olmalısınız. Bu fark elbette uzay için de geçerli.
Bayanlar ve baylar, ellerimizi dolduralım:
Örnek 2
a) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
b) Puan verilir 
Ve . Vektörleri bulun ve .
c) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
d) Puan verilir. Vektörleri bulun 
.
Belki bu yeterlidir. Bunlar kendi başınıza karar vermeniz için örneklerdir, ihmal etmemeye çalışın, işe yarayacaktır ;-). Çizim yapmaya gerek yoktur. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.
Analitik geometri problemlerini çözerken önemli olan nedir? Ustaca yapılan “iki artı iki eşittir sıfır” hatasını yapmamak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Bir yerde hata yaptıysam hemen özür dilerim =)
Bir segmentin uzunluğu nasıl bulunur?
Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi modül işaretiyle gösterilir.
Düzlemin iki noktası verilirse ve o zaman parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.
Uzayda iki nokta verilirse, parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.
Not: Karşılık gelen koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır
Örnek 3
Çözüm: ilgili formüle göre:
Cevap: 
Netlik sağlamak için bir çizim yapacağım 
Segment – bu bir vektör değil ve tabii ki onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca ölçekli çizim yaparsanız: 1 birim. = 1 cm (iki dizüstü bilgisayar hücresi), o zaman ortaya çıkan cevap, parçanın uzunluğu doğrudan ölçülerek normal bir cetvelle kontrol edilebilir.
Evet çözüm kısa ama burada açıklığa kavuşturmak istediğim birkaç önemli nokta daha var:
Öncelikle cevaba boyutu koyuyoruz: “birimler”. Koşul ne olduğunu söylemiyor; milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, matematiksel olarak doğru bir çözüm, genel formülasyon olacaktır: "birimler" - "birimler" olarak kısaltılır.
İkinci olarak, yalnızca ele alınan görev için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:
lütfen aklınızda bulundurun önemli teknik – çarpanı kökün altından kaldırmak. Hesaplamalar sonucunda bir sonuç elde ediyoruz ve iyi bir matematik stili, faktörün (mümkünse) kökün altından çıkarılmasını içerir. Süreç daha ayrıntılı olarak şöyle görünür: 
. Elbette cevabı olduğu gibi bırakmak bir hata olmayacaktır - ancak bu kesinlikle bir eksiklik ve öğretmen açısından saçma sapan bir argüman olacaktır.
İşte diğer yaygın durumlar: 
Genellikle kök oldukça büyük bir sayı üretir; örneğin . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hesap makinesini kullanarak sayının 4'e bölünüp bölünmediğini kontrol ederiz: . Evet, tamamen bölünmüştü, dolayısıyla: 
. Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: 
. Sayının son rakamı tek olduğundan üçüncü kez 4'e bölmek elbette işe yaramayacaktır. Dokuza bölmeye çalışalım: . Sonuç olarak:
Hazır.
Çözüm: kökün altında bir bütün olarak çıkarılamayan bir sayı alırsak, o zaman faktörü kökün altından kaldırmaya çalışırız - hesap makinesinde sayının şu şekilde bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 vb.
Çeşitli problemleri çözerken sıklıkla köklerle karşılaşılır; öğretmenin yorumlarına göre çözümlerinizi sonuçlandırırken daha düşük not almaktan ve gereksiz sorunlardan kaçınmak için her zaman faktörleri kökün altından çıkarmaya çalışın.
Köklerin karesini almayı ve diğer kuvvetleri de tekrarlayalım: 
Genel biçimde kuvvetlerle çalışmanın kuralları bir okul cebir ders kitabında bulunabilir, ancak verilen örneklerden her şeyin veya neredeyse her şeyin zaten açık olduğunu düşünüyorum.
Uzayda bir segmentle bağımsız çözüm görevi:
Örnek 4
Puanlar ve verilir. Segmentin uzunluğunu bulun.
Çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?
Bir düzlem vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır.
Bir uzay vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır. 
.
X2 - x1 koordinatlarındaki değişiklik genellikle Δx12 sembolüyle gösterilir (“delta x bir, iki” şeklinde okunur). Bu giriş, t1 anından t2 anına kadar geçen süre boyunca cismin koordinatındaki değişimin Δx12 = x2 - x1 olduğu anlamına gelir. Böylece, eğer cisim seçilen koordinat sisteminin X ekseninin pozitif yönünde hareket ediyorsa (x2 > x1), o zaman Δx12 >
Şek. Şekil 45, X ekseninin negatif yönünde hareket eden bir B nokta gövdesini göstermektedir; t1'den t2'ye kadar olan süre boyunca, x1 koordinatı daha büyük olan bir noktadan x2 koordinatı daha küçük olan bir noktaya hareket eder. Sonuç olarak, dikkate alınan süre boyunca B noktasının koordinatındaki değişiklik Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m olacaktır. Bu durumda yer değiştirme vektörü, negatif yönde yönlendirilecektir. X ekseni ve modülü |Δx12| 3 m'ye eşit. Ele alınan örneklerden aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.
Ele alınan örneklerde (bkz. Şekil 44 ve 45), gövde her zaman bir yönde hareket ediyordu.
Fizikte yer değiştirme modülü nasıl bulunur? (Belki de bazı evrensel formüller vardır?)
Dolayısıyla kat ettiği yol, cismin koordinatlarındaki değişim modülüne ve yer değiştirme modülüne eşittir: s12 = |Δx12|.
t0 = 0'dan t2 = 7 s'ye kadar olan zaman aralığında cismin koordinatlarındaki değişimi ve yer değiştirmesini belirleyelim. Tanıma uygun olarak koordinat değişimi Δx02 = x2 - x0 = 2 m >
Şimdi cismin t0 = 0'dan t2 = 7 s'ye kadar aynı sürede kat ettiği yolu belirleyelim. İlk olarak, gövde bir yönde 8 m (koordinat değişim modülü Δx01'e karşılık gelir) ve ardından ters yönde 6 m (bu değer Δx12 koordinat değişim modülüne karşılık gelir) hareket etti. Bu da cismin toplamda 8 + 6 = 14 (m) yol kat ettiği anlamına gelir. Yolun tanımı gereği, t0'dan t2'ye kadar olan zaman aralığı boyunca cisim s02 = 14 m'lik bir mesafe kat etmiştir.
Sonuçlar
Bir noktanın belirli bir süre içindeki hareketi, başlangıcı noktanın ilk konumuyla ve sonu noktanın son konumuyla çakışan düz bir çizginin yönlendirilmiş bir parçasıdır.
Sorular
Egzersizler
Vektörler, vektörlerle yapılan eylemler
Pisagor teoremi kosinüs teoremi
Vektörün uzunluğunu ile göstereceğiz. Bir sayının modülü de benzer bir gösterime sahiptir ve bir vektörün uzunluğuna genellikle bir vektörün modülü denir.
, Neresi 
.
Böylece, 
.
Bir örneğe bakalım.
:
.
Böylece, vektör uzunluğu 
.
Vektör Uzunluğunu Hesapla 
, buradan, 
Sayfanın başı
Örneklerin çözümlerine bakalım.
.
Hareketli
:
:
.
.
Sayfanın başı
Böylece, .
veya ,veya ,
Bunu çözecek zamanın yok mu?
Bir çözüm sipariş edin
Sayfanın başı
Şu ana kadar sadece doğrusal ve düzgün hareketi dikkate aldık. Bu durumda, nokta gövdeleri seçilen referans sisteminde X koordinat ekseninin pozitif veya negatif yönünde hareket etmiştir. Cismin hareket yönüne bağlı olarak örneğin t1 anından itibaren geçen süre boyunca şunu bulduk. t2 anına kadar cismin koordinatındaki değişiklik (x2 - x1) pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir (eğer x2 = x1 ise).
X2 - x1 koordinatlarındaki değişiklik genellikle Δx12 sembolüyle gösterilir (“delta x bir, iki” şeklinde okunur). Bu giriş, t1 anından t2 anına kadar geçen süre boyunca cismin koordinatındaki değişimin Δx12 = x2 - x1 olduğu anlamına gelir. Böylece, eğer cisim seçilen koordinat sisteminin X ekseninin pozitif yönünde hareket ediyorsa (x2 > x1), o zaman Δx12 > 0. Eğer hareket X ekseninin (x21) negatif yönünde meydana geldiyse, o zaman Δx12
Hareketin sonucunu bir vektör miktarı kullanarak belirlemek uygundur. Böyle bir vektör miktarı yer değiştirmedir.
Bir noktanın belirli bir süre içindeki hareketi, başlangıcı noktanın ilk konumuyla ve sonu noktanın son konumuyla çakışan düz bir çizginin yönlendirilmiş bir parçasıdır.
Herhangi bir vektör niceliği gibi yer değiştirme de modül ve yön ile karakterize edilir.
Bir noktanın t1'den t2'ye kadar olan zaman periyodundaki hareket vektörünü şu şekilde kaydedeceğiz: Δx12.
Bunu bir örnekle açıklayalım. Bir A noktasının (nokta gövdesi) X ekseninin pozitif yönünde hareket etmesine ve t1'den t2'ye kadar bir süre boyunca x1 koordinatlı bir noktadan daha büyük x2 koordinatlı bir noktaya hareket etmesine izin verin (Şekil 44). Bu durumda, yer değiştirme vektörü X ekseninin pozitif yönünde yönlendirilir ve büyüklüğü, söz konusu zaman periyodu boyunca koordinattaki değişime eşittir: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 M.
Şek. Şekil 45, X ekseninin negatif yönünde hareket eden bir B nokta gövdesini göstermektedir.
t1'den t2'ye kadar olan zaman periyodunda, x1 koordinatı daha büyük olan bir noktadan x2 koordinatı daha küçük olan bir noktaya hareket eder. Sonuç olarak, dikkate alınan süre boyunca B noktasının koordinatındaki değişiklik Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m olacaktır. Bu durumda yer değiştirme vektörü, negatif yönde yönlendirilecektir. X ekseni ve modülü |Δx12| 3 m'ye eşit. Ele alınan örneklerden aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.
Bir yönde doğrusal hareket sırasında hareket yönü, hareket yönü ile çakışmaktadır.
Yer değiştirme vektörünün modülü, söz konusu zaman periyodu boyunca vücudun koordinatlarındaki değişimin modülüne eşittir.
Günlük yaşamda, hareketin nihai sonucunu tanımlamak için “yol” kavramı kullanılır. Genellikle yol S sembolüyle gösterilir.
Yol, söz konusu zaman periyodu boyunca bir nokta cismin kat ettiği mesafenin tamamıdır.
Her mesafe gibi yol da negatif olmayan bir miktardır. Örneğin, ele alınan örnekte (bkz. Şekil 44) A noktasının kat ettiği yol üç metreye eşittir. B noktasının kat ettiği mesafe de üç metredir.
Ele alınan örneklerde (bkz. Şekil 44 ve 45), gövde her zaman bir yönde hareket ediyordu. Dolayısıyla kat ettiği yol, cismin koordinatlarındaki değişim modülüne ve yer değiştirme modülüne eşittir: s12 = |Δx12|.
Eğer cisim her zaman bir yönde hareket ediyorsa, kat ettiği yol yer değiştirme modülüne ve koordinat değişim modülüne eşittir.
Söz konusu süre içerisinde vücudun hareket yönü değişmesi durumunda durum değişecektir.
Şek. Şekil 46, bir nokta cismin t0 = 0 anından t2 = 7 s anına kadar nasıl hareket ettiğini göstermektedir. t1 = 4 s anına kadar hareket X ekseninin pozitif yönünde düzgün olarak gerçekleşmiştir. Bunun sonucunda Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m koordinatlarında değişiklik meydana gelmiştir. cisim t2 = 7 s anına kadar X ekseninin negatif yönünde hareket etmeye başlamıştır. Bu durumda koordinatlarındaki değişim Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m olur. Bu hareketin grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 47.
t0 = 0'dan t2 = 7 s'ye kadar olan zaman aralığında cismin koordinatlarındaki değişimi ve yer değiştirmesini belirleyelim. Tanıma göre Δx02 koordinatındaki değişiklik = x2 - x0 = 2 m > 0. Dolayısıyla Δx02 yer değiştirmesi X ekseninin pozitif yönünde yönlendirilir ve modülü 2 m'ye eşittir.
Şimdi cismin t0 = 0'dan t2 = 7 s'ye kadar aynı sürede kat ettiği yolu belirleyelim. İlk olarak, gövde bir yönde 8 m (koordinat değişim modülü Δx01'e karşılık gelir) ve ardından ters yönde 6 m (bu değer Δx12 koordinat değişim modülüne karşılık gelir) hareket etti.
Yörünge
Bu da cismin toplamda 8 + 6 = 14 (m) yol kat ettiği anlamına gelir. Yolun tanımı gereği, t0'dan t2'ye kadar olan zaman aralığı boyunca cisim s02 = 14 m'lik bir mesafe kat etmiştir.
Analiz edilen örnek şu sonuca varmamızı sağlar:
Bir cismin dikkate alınan süre boyunca hareketinin yönünü değiştirmesi durumunda, yol (vücudun kat ettiği tüm mesafe), hem cismin yer değiştirme modülünden hem de koordinatlarındaki değişim modülünden daha büyüktür. vücut.
Şimdi cismin, t2 = 7 s süresinden sonra, Şekil 2'de gösterilen yasaya göre t3 = 8 s'ye kadar X ekseninin negatif yönünde hareketine devam ettiğini hayal edin. 47 noktalı çizgi. Sonuç olarak, t3 = 8 s anında cismin koordinatı x3 = 3 m'ye eşit oldu. Bu durumda cismin t0'dan t3'e kadar olan zaman dilimi içindeki hareketinin belirlenmesi kolaydır. s, Δx13 = 0'a eşittir.
Bir cismin sadece hareketi sırasındaki yer değiştirmesini biliyorsak, o zaman cismin bu süre zarfında nasıl hareket ettiğini söyleyemeyeceğimiz açıktır. Örneğin, bir cismin yalnızca başlangıç ve son koordinatlarının eşit olduğu biliniyorsa, o zaman bu cismin hareket sırasında yer değiştirmesinin sıfır olduğunu söylerdik. Bu bedenin hareketinin doğası hakkında daha spesifik bir şey söylemek imkansızdır. Bu koşullar altında vücut genellikle tüm süre boyunca hareketsiz kalabilir.
Bir cismin belirli bir süre içindeki hareketi yalnızca vücudun başlangıç ve son koordinatlarına bağlıdır ve bu süre zarfında vücudun nasıl hareket ettiğine bağlı değildir.
Sonuçlar
Bir noktanın belirli bir süre içindeki hareketi, başlangıcı noktanın ilk konumuyla ve sonu noktanın son konumuyla çakışan düz bir çizginin yönlendirilmiş bir parçasıdır.
Bir nokta cismin hareketi yalnızca cismin son ve başlangıç koordinatları tarafından belirlenir ve cismin söz konusu zaman dilimi boyunca nasıl hareket ettiğine bağlı değildir.
Yol, söz konusu zaman periyodu boyunca bir nokta gövdesinin kat ettiği mesafenin tamamıdır.
Eğer cisim hareket sırasında hareket yönünü değiştirmediyse, bu cismin kat ettiği yol yer değiştirme modülüne eşittir.
Eğer cisim dikkate alınan süre boyunca hareketinin yönünü değiştirmişse, yol hem cismin yer değiştirme modülünden hem de cismin koordinatlarındaki değişim modülünden daha büyüktür.
Yol her zaman negatif olmayan bir miktardır. Yalnızca söz konusu süre boyunca vücudun hareketsiz olması (hareketsiz durması) durumunda sıfıra eşittir.
Sorular
- Hareket nedir? Neye bağlıdır?
- Yol nedir? Neye bağlıdır?
- Bir yol, vücudun hareket yönünü değiştirmeden düz bir çizgide hareket ettiği aynı zaman diliminde hareket eden ve değişen koordinatlardan nasıl farklıdır?
Egzersizler
- Şekil 2'de sunulan hareket yasasını grafiksel biçimde kullanmak. Şekil 47'de vücudun farklı zaman aralıklarındaki hareketinin (yön, hız) doğasını açıklamaktadır: t0'dan t1'e, t1'den t2'ye, t2'den t3'e.
- Proton köpeği t0 = 0 zamanında evden dışarı koştu ve ardından t4 = 4 s zamanında sahibinin komutuyla koşarak geri döndü. Protonun her zaman düz bir çizgide ilerlediğini ve hız büyüklüğü |v| = 4 m/s, grafiksel olarak belirleyin: a) t0 = 0'dan t6 = 6 s'ye kadar geçen süre boyunca Protonun koordinatlarındaki ve yolundaki değişimi; b) Protonun t2 = 2 s'den t5 = 5 s'ye kadar olan zaman aralığındaki yolu.
Vektörler, vektörlerle yapılan eylemler
Bir vektörün uzunluğunu bulma, örnekler ve çözümler.
Tanım gereği, bir vektör yönlendirilmiş bir parçadır ve belirli bir ölçekte bu parçanın uzunluğu, vektörün uzunluğudur. Böylece düzlemde ve uzayda bir vektörün uzunluğunu bulma görevi, karşılık gelen parçanın uzunluğunu bulmaya indirgenir. Bu sorunu çözmek için geometrinin tüm araçları elimizdedir, ancak çoğu durumda bu yeterlidir. Pisagor teoremi. Onun yardımıyla, bir vektörün uzunluğunu dikdörtgen koordinat sistemindeki koordinatlarından hesaplamak için bir formülün yanı sıra, bir vektörün uzunluğunu başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarından bulmak için bir formül elde edebilirsiniz. Vektör bir üçgenin kenarı olduğunda uzunluğu şu şekilde bulunabilir: kosinüs teoremi Diğer iki tarafın uzunlukları ve aralarındaki açı biliniyorsa.
Koordinatlardan bir vektörün uzunluğunu bulma.
Vektörün uzunluğunu ile göstereceğiz.
fiziksel sözlük (kinematik)
Bir sayının modülü de benzer bir gösterime sahiptir ve bir vektörün uzunluğuna genellikle bir vektörün modülü denir.
Koordinatları kullanarak düzlemdeki bir vektörün uzunluğunu bularak başlayalım.
Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi olan Oxy'yi tanıtalım. İçinde bir vektör belirtilmiş ve koordinatları olsun. Bir vektörün uzunluğunu koordinatlar aracılığıyla bulmamızı sağlayan bir formül elde ederiz ve .
Vektörü orijinden (O noktasından) çizelim. A noktasının koordinat eksenlerine izdüşümlerini sırasıyla ve olarak gösterelim ve köşegeni OA olan bir dikdörtgen düşünelim.
Pisagor teoremine göre eşitlik doğrudur , Neresi . Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki vektör koordinatlarının tanımından şunu iddia edebiliriz: ve ve yapı itibariyle OA uzunluğunun vektörün uzunluğuna eşit olduğunu, dolayısıyla, .
Böylece, Bir vektörün uzunluğunu bulma formülü düzlemdeki koordinatlarına göre şu şekle sahiptir .
Vektör koordinat vektörlerinde bir ayrışma olarak temsil edilirse , daha sonra uzunluğu aynı formül kullanılarak hesaplanır çünkü bu durumda katsayılar ve, belirli bir koordinat sistemindeki vektörün koordinatlarıdır.
Bir örneğe bakalım.
Kartezyen koordinat sisteminde verilen vektörün uzunluğunu bulun.
Koordinatlardan vektörün uzunluğunu bulmak için formülü hemen uygulayın. :
Şimdi vektörün uzunluğunu bulma formülünü elde ediyoruz uzaydaki dikdörtgen Oxyz koordinat sistemindeki koordinatlarına göre.
Vektörü orijinden itibaren çizelim ve A noktasının koordinat eksenlerine izdüşümlerini ve olarak gösterelim. Daha sonra, OA'nın köşegen olacağı kenarlara dikdörtgen bir paralel yüzlü inşa edebiliriz.
Bu durumda (OA dikdörtgen bir paralel borunun köşegeni olduğundan) . Vektörün koordinatlarını belirlemek eşitlikler yazmamızı sağlar ve OA uzunluğu vektörün istenen uzunluğuna eşittir, dolayısıyla, .
Böylece, vektör uzunluğu uzayda koordinatlarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir yani formülle bulunur .
Vektör Uzunluğunu Hesapla , dikdörtgen koordinat sisteminin birim vektörleri nerede.
Bize formun koordinat vektörlerine bir vektör ayrıştırması veriliyor , buradan, . Daha sonra, koordinatlardan bir vektörün uzunluğunu bulma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
Sayfanın başı
Bir vektörün başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatları boyunca uzunluğu.
Başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatları verilirse bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?
Önceki paragrafta, bir vektörün uzunluğunu düzlemdeki ve üç boyutlu uzaydaki koordinatlarından bulmak için formüller elde ettik. Daha sonra vektörün koordinatlarını başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarından bulursak bunları kullanabiliriz.
Dolayısıyla, düzlemde ve noktaları verilmişse, vektörün koordinatları vardır ve uzunluğu formülle hesaplanır ve noktaların koordinatlarından bir vektörün uzunluğunu bulma formülü ve üç boyutlu uzay formuna sahiptir.
Örneklerin çözümlerine bakalım.
Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde ise vektörün uzunluğunu bulun .
Düzlemdeki başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarından bir vektörün uzunluğunu bulmak için formülü hemen uygulayabilirsiniz. :
İkinci çözüm ise noktaların koordinatları üzerinden vektörün koordinatlarını belirleyip formülü uygulamaktır. :
.
Vektörün uzunluğunun hangi değerlerde eşit olduğunu belirleyin. .
Vektörün başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarından uzunluğu şu şekilde bulunabilir:
Vektör uzunluğunun elde edilen değerini eşitleyerek gerekli olanları hesaplıyoruz:
Sayfanın başı
Kosinüs teoremini kullanarak bir vektörün uzunluğunu bulma.
Bir vektörün uzunluğunu bulmayı içeren problemlerin çoğu koordinatlarla çözülür. Ancak vektörün koordinatları bilinmediğinde başka çözümler aramak zorunda kalırız.
İki vektörün uzunluğunun ve aralarındaki açının (veya açının kosinüsünün) bilinmesine izin verin ve veya vektörünün uzunluğunu bulmanız gerekir. Bu durumda, ABC üçgenindeki kosinüs teoremini kullanarak, vektörün istenen uzunluğuna eşit olan BC tarafının uzunluğunu hesaplayabilirsiniz.
Söylenenleri netleştirmek için örneğin çözümünü analiz edelim.
Ve vektörlerinin uzunlukları sırasıyla 3 ve 7'ye, aralarındaki açı ise eşittir. Vektörün uzunluğunu hesaplayın.
Vektörün uzunluğu ABC üçgeninde BC kenarının uzunluğuna eşittir. Koşuldan bu üçgenin AB ve AC kenarlarının uzunluklarını (karşılık gelen vektörlerin uzunluklarına eşittirler) ve aralarındaki açıyı biliyoruz, dolayısıyla kosinüs teoremini uygulamak için yeterli veriye sahibiz:
Böylece, .
Yani, bir vektörün uzunluğunu koordinatlardan bulmak için formülleri kullanırız veya ,
vektörün başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarına göre - veya ,
bazı durumlarda kosinüs teoremi sonuca yol açar.
Bunu çözecek zamanın yok mu?
Bir çözüm sipariş edin
Sayfanın başı
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Yüksek matematik. Birinci cilt: doğrusal cebir ve analitik geometrinin unsurları.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. 7 – 9. Sınıflar: Genel eğitim kurumları için ders kitabı.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Ortaokul 10-11. sınıflar için ders kitabı.
Dersleri Ara
Skaler kare vektör
Bir vektör kendisiyle çarpılırsa ne olur?
Numara aranır skaler kare vektördür ve ile gösterilir.
Böylece, skaler kare vektörbelirli bir vektörün uzunluğunun karesine eşittir:
Veya birim vektör (normalleştirilmiş bir vektör uzayının birim vektörü), normu (uzunluğu) bire eşit olan bir vektördür. Birim vektör ... Vikipedi
- (ort) uzunluğu seçilen ölçeğin birimine eşit olan vektör... Büyük Ansiklopedik Sözlük
- (ort), uzunluğu seçilen ölçeğin birimine eşit olan bir vektör. * * * BİRİM VEKTÖR BİRİM VEKTÖR (ort), uzunluğu seçilen ölçeğin birimine eşit olan bir vektör... Ansiklopedik Sözlük
Ort, uzunluğu seçilen ölçeğin birimine eşit olan bir vektör. Herhangi bir a vektörü, ona eşdoğrusal olan bir E.v.'den elde edilebilir. e (skaler) λ sayısıyla çarpılarak, yani a = λe. Ayrıca bkz. Vektör hesabı... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- (ort), uzunluğu seçilen ölçeğin birimine eşit olan vektör... Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük
Orth: Vikisözlük'te "orth" makalesi vardır Orth veya iki başlı köpek Orth, Typhon ile Cerberus'un kardeşi Echidna'nın çocuğu. Ort ... Vikipedi
A; m. Ort] 1. Korna. Yüzeye doğrudan erişimi olmayan yatay bir yeraltı maden açıklığı. 2. Matematik. Uzunluğu bire eşit olan bir vektör. * * * birim vektör I (Yunanca orthós düz kelimesinden gelir), birim vektörle aynıdır. II (Almanca... ... Ansiklopedik Sözlük
Birim vektör- Bu vektör Mutlak değeri (modülü) birliğe eşit olan. Bir birim vektörü belirtmek için e alt simgesini kullanacağız. Yani eğer bir vektör veriliyorsa. A, o zaman birim vektörü vektör olacaktır A e. Bu birim vektör, vektörün kendisiyle aynı yöndedir. A ve modülü bire eşittir, yani a e = 1.
Açıkça, A= bir A e (bir - vektör modülü A). Bu, bir skaleri bir vektörle çarpma işleminin gerçekleştirildiği kuraldan kaynaklanır.
Birim vektörler genellikle bir koordinat sisteminin koordinat eksenleriyle ilişkilendirilir (özellikle Kartezyen koordinat sisteminin eksenleriyle). Bunların yönleri vektörler karşılık gelen eksenlerin yönleriyle çakışır ve kökenleri genellikle koordinat sisteminin kökeni ile birleştirilir.
Sana şunu hatırlatmama izin ver Kartezyen koordinat sistemi uzayda, geleneksel olarak koordinatların kökeni adı verilen bir noktada kesişen karşılıklı dik eksenlerden oluşan üçlüye denir. Koordinat eksenleri genellikle X, Y, Z harfleriyle gösterilir ve sırasıyla apsis ekseni, ordinat ekseni ve uygulama ekseni olarak adlandırılır. Descartes'ın kendisi, üzerine apsislerin çizildiği yalnızca bir eksen kullandı. Kullanım değeri sistemler baltalar öğrencilerine aittir. Bu nedenle ifade Kartezyen koordinat sistemi tarihsel olarak yanlış. Konuşmak daha iyi dikdörtgen koordinat sistemi veya ortogonal koordinat sistemi. Ancak gelenekleri değiştirmeyeceğiz ve gelecekte Kartezyen ve dikdörtgen (dik) koordinat sistemlerinin bir ve aynı olduğunu varsayacağız.
Birim vektör X ekseni boyunca yönlendirilen , gösterilir Ben, birim vektör Y ekseni boyunca yönlendirilmiş olarak gösterilir J, A birim vektör Z ekseni boyunca yönlendirilmiş olarak gösterilir k. Vektörler Ben, J, k denir ort(Şekil 12, sol), tek modülleri var, yani
ben = 1, j = 1, k = 1.
Eksenler ve birim vektörleri dikdörtgen koordinat sistemi bazı durumlarda farklı adları ve tanımları vardır. Böylece, apsis ekseni X'e teğet eksen adı verilebilir ve birim vektörü gösterilir. τ (Yunanca küçük harf tau), ordinat ekseni normal eksendir, birim vektörü gösterilir N, uygulama ekseni binormal eksendir, birim vektörü gösterilir B. Öz aynı kalırsa neden isimleri değiştirelim?
Gerçek şu ki, örneğin mekanikte cisimlerin hareketini incelerken dikdörtgen koordinat sistemi çok sık kullanılıyor. Dolayısıyla, koordinat sisteminin kendisi sabitse ve hareketli bir nesnenin koordinatlarındaki değişiklik bu sabit sistemde takip ediliyorsa, o zaman genellikle eksenler X, Y, Z olarak gösterilir ve bunların eksenleri birim vektörleri sırasıyla Ben, J, k.
Ancak çoğu zaman, bir nesne bir tür eğrisel yol boyunca (örneğin bir daire içinde) hareket ettiğinde, bu nesneyle birlikte hareket eden koordinat sistemindeki mekanik süreçleri dikkate almak daha uygundur. Böyle hareketli bir koordinat sistemi için diğer eksen adları ve bunların birim vektörleri kullanılır. Bu böyle. Bu durumda X ekseni bu nesnenin halihazırda bulunduğu noktadaki yörüngeye teğetsel olarak yönlendirilir. Ve sonra bu eksene artık X ekseni değil, teğet eksen adı veriliyor ve birim vektörü artık belirlenmiyor Ben, A τ . Y ekseni yörüngenin eğrilik yarıçapı boyunca yönlendirilir (bir daire içinde hareket durumunda - dairenin merkezine). Yarıçap teğete dik olduğundan, eksene normal eksen denir (dik ve normal aynı şeydir). Bu eksenin birim vektörü artık gösterilmiyor J, A N. Üçüncü eksen (eski adıyla Z) önceki ikisine diktir. Bu orthlu bir iki normal B(Şekil 12, sağ). Bu arada, bu durumda böyle dikdörtgen koordinat sistemi genellikle "doğal" veya doğal olarak anılır.
Geometride bir vektör, Öklid uzayında yönlendirilmiş bir parça veya sıralı bir nokta çiftidir. ortom vektör normalleştirilmiş bir vektör uzayının birim vektörü veya normu (uzunluğu) bire eşit olan bir vektördür.
İhtiyacın olacak
- Geometri bilgisi.
Talimatlar
İlk önce uzunluğu hesaplamanız gerekir vektör. Bilindiği üzere uzunluk (modül) vektör koordinatların karelerinin toplamının kareköküne eşittir. Koordinatları a(3, 4) olan bir vektör verilsin. O halde uzunluğu |a| = (9 + 16)^1/2 veya |a|=5.
Ort'u bulmak için vektör a, her birini uzunluğuna bölmeniz gerekir. Sonuç, orth veya birim vektör adı verilen bir vektör olacaktır. İçin vektör a(3, 4) ort, a(3/5, 4/5) vektörü olacaktır. Vektör a' birim olacaktır vektör A.
Ort'un doğru bulunup bulunmadığını kontrol etmek için aşağıdakileri yapabilirsiniz: Ortaya çıkan ort'un uzunluğunu bulun; eğer bire eşitse, o zaman her şey doğru bulundu; değilse, o zaman hesaplamalara bir hata girmiştir. Birim vektör a`nın doğru bulunup bulunmadığını kontrol edelim. Uzunluk vektör a` şuna eşittir: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Yani uzunluk vektör a` bire eşittir, bu birim vektörün doğru bulunduğu anlamına gelir.