Üçgenin açıortayı, üçgenin bir açısını iki eşit açıya bölen bir parçadır. Örneğin bir üçgenin açısı 120 0 ise, bir açıortay çizerek her biri 60 0 olan iki açı oluşturacağız.
Ve bir üçgende üç açı olduğundan üç açıortay çizilebilir. Hepsinin tek bir kesme noktası var. Bu nokta üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir. Başka bir deyişle bu kesişme noktasına üçgenin iç merkezi denir.
Bir iç ve dış açının iki açıortayı kesiştiğinde 90 0'lik bir açı elde edilir. Üçgende dış açı, üçgenin iç açısına komşu olan açıdır.
Pirinç. 1. 3 açıortay içeren bir üçgen
Ortay, karşı tarafı, yanlara bağlanan iki parçaya böler:
$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$
Açıortay noktaları açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, bu da açının kenarlarından aynı uzaklıkta oldukları anlamına gelir. Yani, açıortayın herhangi bir noktasından üçgenin açısının her bir kenarına dik açılar bırakırsak, bu dikmeler eşit olacaktır.
Bir tepe noktasından ortanca, açıortay ve yükseklik çizerseniz, ortanca en uzun bölüm, yükseklik ise en kısa bölüm olacaktır.
Bisektörün bazı özellikleri
Bazı üçgen türlerinde açıortay özel özelliklere sahiptir. Bu öncelikle ikizkenar üçgen için geçerlidir. Bu şeklin iki özdeş tarafı vardır ve üçüncüsüne taban denir.
Bir ikizkenar üçgenin açısının tepe noktasından tabana bir açıortay çizerseniz, hem yükseklik hem de medyan özelliklerine sahip olacaktır. Buna göre, açıortayın uzunluğu ortancanın uzunluğu ve yüksekliği ile çakışmaktadır.
Tanımlar:
- Yükseklik- Bir üçgenin köşesinden karşı kenara çizilen dikme.
- Medyan– Bir üçgenin tepe noktası ile karşı kenarın ortasını birleştiren doğru parçası.
Pirinç. 2. İkizkenar üçgendeki açıortay
Bu aynı zamanda eşkenar üçgen, yani üç kenarın eşit olduğu üçgen için de geçerlidir.
Örnek ödev
ABC üçgeninde: BR açıortaydır; AB = 6 cm, BC = 4 cm ve RC = 2 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğunu çıkarın.
Pirinç. 3. Üçgende açıortay
Çözüm:
Açıortay üçgenin kenarını belirli bir oranda böler. Bu oranı kullanıp AR'yi ifade edelim. Daha sonra üçüncü kenarın uzunluğunu, açıortayın bu kenarı böldüğü parçaların toplamı olarak buluruz.
- $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
- $RC=(6\over(4))*2=3 cm$
Daha sonra tüm segment AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 cm.
Alınan toplam puan: 107.
Ders konusu
Açıortay
Ders Hedefleri
Okul çocuklarının bir açının açıortayı ve özellikleri hakkındaki bilgilerini geliştirmek;
Bir açının açıortayı hakkında yeni bilgiler verin;
Öğrencilerin, açıortay özelliklerine ilişkin teoremin farklı yollarla kanıtlanabileceği konusundaki bilgilerini genişletin;
Mantıksal düşünmeyi, matematik bilimlerine ilgiyi, azim ve analiz yeteneğini geliştirin.
Ders Hedefleri
Öğrencilerin bir açının açıortayı hakkındaki bilgilerini genişletin;
Çizim araçlarını kullanarak açıortay oluşturma becerilerini güçlendirin;
Bu konuyla ilgili ek ve ilginç bilgiler edinin;
Teoremin matematiğin gelişimindeki önemi hakkında bilgi verin;
Problemleri çözerek edinilen bilgileri pekiştirmek;
Azim, merak ve matematik bilimlerini inceleme arzusunu geliştirmek.
Ders Planı
1. Bir açının açıortayı ile ilgili dersin ana konusunun açıklanması;
2. İşlenen konunun tekrarı;
3. Açıortay hakkında ilginç bilgiler.
4. Tarihsel arka plan, Yunan geometrisi.
5. Ödev.
Açıortay
Bugünkü dersimizi açıortaylar konusuna ayıracağız. Ortayörün tanımlarını hatırlayalım.
Açıortay, bir açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.
Basitçe söylemek gerekirse açıortay, bir açıyı ikiye bölen çizgidir.
Bir açının açıortayı, açının tepesinden çıkan ve onu iki eşit açıya bölen ışındır.
Fransızcadan tercüme edilen “ortay” kelimesi, bir açıyı ikiye bölen veya eşit olarak ikiye bölen şey anlamına gelir.
Bir üçgenin açıortayı
Bir açının açıortayına ek olarak, bir üçgenin açıortayı da vardır, çünkü bir üçgen sırasıyla üç adede kadar açı içerir, her üçgenin üç farklı açıortayı olabilir.
Bir üçgenin açıortayı nedir? Bir üçgenin açıortayı, üçgenin tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan açıortayın segmentidir.
Açıortay üçgenin bazı benzersiz özellikleri vardır. Örneğin karşı tarafı diğer iki tarafla orantılı parçalara böler.
Dik üçgene gelince, akut açıların açıortayları kesiştiğinde tam olarak 45 derecelik bir açı oluşturur.
Ek olarak, bir üçgenin açıortaylarının, üçgenin içine yazılan dairenin tam merkezinde kesişmeleri gibi bir özelliğini de unutmamak gerekir.
En ilginç şey, bir ikizkenar üçgen için tabana çizilen çizginin açıortay, kenarortay ve yükseklik olmasıdır. Buna göre ters kural şudur: Eğer üçgenin bir köşesinden çizilen medyan, yükseklik ve açıortay çakışırsa, o zaman bir ikizkenar üçgenimiz olur.
Bir dik ve ikizkenar üçgenin hangi özelliklerini hatırlayabiliyorsunuz?
Bisektörün inşaatı
Açıortay, derece ölçüsünü kullanan bir iletki kullanılarak oluşturulur. Açıortayı oluşturmaya başlamak için derece ölçüsünü alıp ikiye böleriz ve yarım açının derece ölçüsünü tepe noktasının bir tarafına koyarız ve ardından ikinci yarı verilen açının açıortayı olur.
Derece ölçüsü doksan derece olan belirli bir açıyı alıyoruz ve açıortayı kullanarak 45 derecelik iki yapısal açı elde ediyoruz.
Düz açı, açıyı 2 dik açıya bölmek için bir açıortay kullanır. Bir açıortay oluştururken geniş açı onu 2 dar açıya böler.
Ortayörün tanımından, bunun bir açıyı ikiye bölen bir ışın olduğunu biliyoruz. Bir açıortay oluşturmak için bu, açıyı ikiye bölmeniz gerektiği anlamına gelir.
Açıortay oluşturma algoritması
1. İlk önce, merkezi açının tepe noktasında olacak ve kenarları kesişecek şekilde bir daire çizin.
3. Bu açının içinde kesişme noktaları olacak şekilde yarıçaplı 2 daire çizin.
4. Şimdi açının tepesinden bu dairelerin kesişim noktasından geçecek şekilde bir ışın çiziyoruz. Bu ışın bu açının ortaydır.
Şimdi ortaya çıkan ışının bu açının açıortayı olduğunu kanıtlamaya çalışalım. Bir tarafı ortak olan, yani 3p'de elde ettiğimiz, tepe noktasından dairelerin kesişme noktasına kadar olan bir segment olan iki üçgen örneğini ele alalım.
Karşılık gelen kenarların 2. çifti, 1. adımda elde edilen, açının tepe noktasından dairenin kenarlarıyla kesişme noktalarına giden bölümlerdir.
Karşılık gelen üçüncü kenar çifti sırasıyla 1p'de elde edilen segmentlerdir. dairenin kesişme noktalarından dairelerin kesişme noktasına kadar, ancak 3p'de elde edildi.
Bu nedenle, bu bölümlerin 2 çifti, bir veya iki dairenin yarıçapları olduklarından ancak aynı yarıçapa sahip olduklarından eşittir. Bundan üçgenlerin üç tarafının da eşit olduğu sonucu çıkar. Üçgenler eşit olduğunda açılarının da eşit olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla tepe noktasında iki yeni açı ve problemin koşullarına göre verilen açılar eşittir, dolayısıyla oluşturulan ışın bir açıortay olacaktır.
Açıortay hakkında ilginç bilgiler
Yunanca'dan tercüme edildiğinde ezberleme sanatı anlamına gelen, anımsatıcı adı verilen bir bilim olduğunu biliyor muydunuz? Ve bir açıortayın tanımını daha iyi hatırlamak için, açıortayın köşelerin etrafında koşan ve köşeyi ikiye bölen bir fare olduğuna göre anımsatıcı bir kural vardır.
Arşimed'in açıortay teoremini de kullandığını biliyor muydunuz? On ikigen, 24gen vb. cisimlerin yarım kenarlarının uzunluğunu belirlemek için tabanı kenarlarla orantılı parçalara bölmek için bunu kullandı.
Açıortay efsanesi
İki Açı ve Bir Açının Hikayesi veya Bitişik Bir Açının Oluşumu.
Bir gün iki köşe aynı meydanda buluştu. En eski açı yaklaşık 130 dereceydi ve en küçüğü ise yalnızca elliydi. Bu bir peri masalı olduğu için yılların yerine dereceleri koyacağız. Böylece tanıştılar ve hangisinin daha iyi ve daha önemli olduğunu tartışmaya başladılar. Yaşlı, daha yaşlı, daha akıllı olduğu ve 130°'lik ömrü boyunca daha fazlasını gördüğü için önceliğin kendisinden yana olduğuna inanıyordu. Genç olan ise tam tersine kendisinin daha genç olduğunu, dolayısıyla daha güçlü ve daha dayanıklı olduğunu ısrarla vurguladı. Anlaşmazlığın sonsuza kadar sürmemesi için bir turnuva düzenlemeye karar verdiler. Bisector bu yarışmalardan haberdar oldu ve aynı zamanda düşmanlarını da yenip Geometri'ye liderlik etmeye karar verdi.
Ve artık 2 kornerin oynanacağı turnuvanın uzun zamandır beklenen zamanı geldi. Savaşların tüm hızıyla devam ettiği anda Bisector ortaya çıktı ve katılmaya karar verdi. Ancak daha sonra yaşlı Angle, Bisector'la savaşa girdi, ardından genç olan da katıldı ve zafer yine de Bisector'ın tarafında oldu.
Teorem. Bir üçgenin bir iç açısının açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.
Kanıt. ABC üçgenini (Şekil 259) ve B açısının açıortayını düşünün. C tepe noktasından, BC açıortayına paralel, AB tarafının devamı ile M noktasında kesişene kadar düz bir CM çizgisi çizin. BK ABC açısının açıortayı olduğuna göre . Ayrıca paralel çizgiler için karşılık gelen açılar ve paralel çizgiler için çapraz açılar olarak. Dolayısıyla ve bu nedenle - ikizkenar, nereden . Bir açının kenarlarıyla kesişen paralel çizgilerle ilgili teoreme göre, elde ederiz ve elde ederiz ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.
ABC üçgeninin B dış açısının açıortayı (Şekil 260) benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden, açıortayın AC tarafının devamı ile kesiştiği L noktasına kadar olan AL ve CL bölümleri, orantılıdır. üçgenin kenarları:
Bu özellik öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: Şekil 2'de. Şekil 260'da BL açıortayına paralel bir yardımcı düz çizgi SM çizilmiştir. Okuyucunun kendisi, VMS ve VSM açılarının ve dolayısıyla VMS üçgeninin VM ve BC kenarlarının eşitliğine ikna olacak ve ardından gerekli oran hemen elde edilecektir.
Bir dış açının açıortayının karşı tarafı da bitişik kenarlarla orantılı parçalara böldüğünü söyleyebiliriz; segmentin "dış bölünmesine" izin vermeyi kabul etmeniz yeterlidir.
AC doğru parçasının (devamında) dışında yer alan L noktası, onu dışsal olarak aşağıdaki ilişkiye göre böler: Böylece, bir üçgenin açısının ortaortayları (iç ve dış), karşı tarafı (iç ve dış) orantılı parçalara böler. bitişik taraflar.
Problem 1. Yamuğun kenarları 12 ve 15'e, tabanları 24 ve 16'ya eşittir. Yamuğun büyük tabanı ve uzatılmış kenarlarının oluşturduğu üçgenin kenarlarını bulun.
Çözüm. Şekil 2'deki notasyonda. 261'de, yan tarafın devamı niteliğindeki doğru parçası için bir orantımız var, buradan da kolaylıkla bulabiliriz. Benzer şekilde, üçgenin ikinci kenarını da büyük tabana denk gelecek şekilde belirliyoruz.
Problem 2. Yamuğun tabanları 6 ve 15'tir. Tabanlara paralel olan ve kenarlarını 1:2 oranında bölen doğru parçasının küçük tabanın köşelerinden sayılan uzunluğu nedir?
Çözüm. Şekil 2'ye bakalım. 262, bir yamuğu tasvir ediyor. Küçük tabanın C köşesinden AB kenarına paralel bir çizgi çizerek paralelkenarı yamuktan kesiyoruz. O zamandan beri buradan buluyoruz. Bu nedenle, bilinmeyen KL doğru parçasının tamamı eşittir. Bu sorunu çözmek için yamuğun yan kenarlarını bilmemize gerek olmadığını unutmayın.
Problem 3. ABC üçgeninin B iç açısının açıortayı AC kenarını A ve C köşelerinden ne kadar uzakta parçalara ayırıyor? B dış açısının açıortayı AC uzantısıyla kesişecek mi?
Çözüm. B açısının açıortaylarının her biri AC'yi aynı oranda böler, ancak biri içten, diğeri dıştan. AC devamı ile B dış açısının açıortayının kesişme noktasını L ile gösterelim. AK'den beri Bilinmeyen AL uzaklığını gösterelim ve o zaman bir orantı elde etmiş oluruz. Bunun çözümü bize gerekli uzaklığı verir.
Çizimi kendiniz tamamlayın.
Egzersizler
1. Tabanları 8 ve 18 olan bir yamuk, tabanlara paralel düz çizgilerle eşit genişlikte altı şeride bölünmüştür. Yamuğu şeritlere bölen düz parçaların uzunluklarını bulun.
2. Üçgenin çevresi 32'dir. A açısının açıortayı BC kenarını 5 ve 3'e eşit parçalara böler. Üçgenin kenar uzunluklarını bulun.
3. İkizkenar üçgenin tabanı a, kenarı b'dir. Tabanın köşelerinin açıortaylarının kenarlarla kesişme noktalarını birleştiren parçanın uzunluğunu bulun.
Bir üçgenin bir açısının ortayağı nedir? Bu soruya bazılarının ağzından köşelerde koşan ve köşeyi ikiye bölen meşhur fare çıkıyor." Eğer cevap "mizah" olacaksa belki doğrudur. Ama bilimsel açıdan bakıldığında Görünüşe göre bu sorunun cevabı şu olmalı: Şöyle bir şey: Bir açının tepesinden başlayıp ikincisini iki eşit parçaya bölmek." Geometride bu şekil, üçgenin karşı tarafıyla kesişene kadar açıortayın bir parçası olarak da algılanır. Bu bir yanılgı değil. Bir açının açıortayı hakkında tanımı dışında başka ne bilinmektedir?
Noktaların herhangi bir geometrik yeri gibi, kendine has özellikleri vardır. Bunlardan ilki daha ziyade bir işaret bile değil, kısaca şu şekilde ifade edilebilecek bir teoremdir: “Karşısındaki taraf bir açıortay ile iki parçaya bölünürse, bunların oranı orantıya karşılık gelecektir. büyük bir üçgenin kenarları.”
Sahip olduğu ikinci özellik: tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasına iç merkez denir.
Üçüncü işaret: Bir üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları, üç yazılı daireden birinin merkezinde kesişir.
Bir üçgenin açıortayının dördüncü özelliği, her biri eşitse ikincisinin ikizkenar olmasıdır.
Beşinci işaret aynı zamanda bir ikizkenar üçgenle ilgilidir ve açıortay çiziminde tanınması için ana kılavuzdur, yani: bir ikizkenar üçgende aynı anda medyan ve yükseklik görevi görür.
Açıortay bir pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulabilir:
Altıncı kural, ikincisini yalnızca mevcut açıortaylarla kullanarak bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğunu belirtir; tıpkı bir küpün ikiye katlanmasının, bir dairenin karesinin alınmasının ve bir açının üçe bölünmesinin bu şekilde inşa edilmesinin imkansız olduğu gibi. Kesin olarak konuşursak, bunların hepsi bir üçgenin açıortayının özellikleridir.
Önceki paragrafı dikkatlice okuduysanız, belki bir cümle ilginizi çekmiştir. "Bir açının üçe bölünmesi nedir?" - muhtemelen soracaksın. Trisektör açıortay'a biraz benzer, ancak ikincisini çizerseniz açı iki eşit parçaya bölünecek ve bir üç bölüm oluştururken üçe bölünecektir. Doğal olarak bir açının açıortayını hatırlamak daha kolaydır çünkü üçe bölme okulda öğretilmemektedir. Ama tamlık adına, size de anlatacağım.
Daha önce de söylediğim gibi, bir trisektör yalnızca pergel ve cetvelle oluşturulamaz, Fujita kuralları ve bazı eğriler kullanılarak oluşturulabilir: Pascal salyangozları, dörtgenler, Nicomedes konkoidleri, konik kesitler,
Bir açının üçe bölünmesiyle ilgili problemler nevsis kullanılarak oldukça basit bir şekilde çözülür.
Geometride açı üçektörleriyle ilgili bir teorem vardır. Buna Morley teoremi denir. Ortada yer alan her açının üçektörlerinin kesişme noktalarının köşeler olacağını belirtmektedir.
Büyük bir üçgenin içindeki küçük siyah üçgen her zaman eşkenar olacaktır. Bu teorem 1904 yılında İngiliz bilim adamı Frank Morley tarafından keşfedildi.
Bir açıyı bölmeyle ilgili öğrenebileceğiniz şeyler şunlardır: Bir açının üçe bölücüsü ve ortayı her zaman ayrıntılı açıklamalar gerektirir. Ancak burada henüz açıklamadığım birçok tanım verildi: Pascal salyangozu, Nicomedes konkoidi vb. Emin olun onlar hakkında yazılacak daha çok şey var.
Ortaokulun sayısız dersi arasında “geometri” gibi bir konu vardır. Geleneksel olarak bu sistematik bilimin kurucularının Yunanlılar olduğuna inanılmaktadır. Bugün, Yunan geometrisine temel denir, çünkü en basit formları incelemeye başlayan kişi oydu: düzlemler, düz çizgiler ve üçgenler. Dikkatimizi ikincisine, daha doğrusu bu şeklin açıortayına odaklayacağız. Zaten unutmuş olanlar için, bir üçgenin açıortayı, üçgenin köşelerinden birinin açıortayının, onu ikiye bölen ve tepe noktasını karşı tarafta bulunan bir noktaya bağlayan bir parçasıdır.
Bir üçgenin açıortayının, belirli problemleri çözerken bilmeniz gereken bir takım özellikleri vardır:
- Bir açının açıortayı, açıya bitişik kenarlardan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.
- Bir üçgende açıortay, açının karşısındaki kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler. Örneğin, bir MKB üçgeni verildiğinde, K açısından bir açıortay çıkar ve bu açının tepe noktasını MB'nin karşı tarafındaki A noktasına bağlar. Bu özelliği ve üçgenimizi analiz ettiğimizde MA/AB=MK/KB elde ederiz.
- Bir üçgenin üç açısının açıortaylarının kesiştiği nokta, aynı üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir.
- Bir dış ve iki iç açının açıortaylarının tabanları, dış açının açıortayının üçgenin karşı kenarına paralel olmaması koşuluyla aynı düz çizgi üzerindedir.
- Eğer birin iki ortası varsa o zaman bu
Üç açıortay verilirse, pusula yardımıyla bile onlardan bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğu unutulmamalıdır.
Çoğu zaman, problemleri çözerken bir üçgenin açıortayı bilinmez, ancak uzunluğunu belirlemek gerekir. Bu sorunu çözmek için açıortay tarafından ikiye bölünen açıyı ve bu açıya komşu kenarları bilmeniz gerekir. Bu durumda gerekli uzunluk, köşeye bitişik kenarların çarpımının iki katı ile açının kosinüsünün ikiye bölünmesinin köşeye bitişik kenarların toplamına oranı olarak tanımlanır. Örneğin aynı MKB üçgeni verildiğinde. Açıortay K açısından çıkar ve MV'nin karşı tarafıyla A noktasında kesişir. Ortayörün çıktığı açı y ile gösterilir. Şimdi kelimelerle söylenen her şeyi bir formül halinde yazalım: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
Bir üçgenin açıortayının çıktığı açının değeri bilinmiyorsa ancak tüm kenarları biliniyorsa, o zaman açıortayın uzunluğunu hesaplamak için yarı çevre adını vereceğimiz ve ile ifade edeceğimiz ek bir değişken kullanacağız. P harfi: P=1/2*(MK+KB+MB). Bundan sonra, açıortay uzunluğunun belirlendiği önceki formülde bazı değişiklikler yapacağız, yani kesir payına, köşeye bitişik kenarların uzunluklarının çarpımının yarı çevre ile iki katını koyacağız. ve üçüncü kenarın uzunluğunun yarı çevreden çıkarıldığı bölüm. Paydayı değiştirmeden bırakacağız. Formül formunda şu şekilde görünecektir: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
Bir ikizkenar üçgenin açıortayının genel özelliklerinin yanı sıra kendine ait birkaç özelliği de vardır. Bunun nasıl bir üçgen olduğunu hatırlayalım. Böyle bir üçgenin iki eşit kenarı ve tabana bitişik eşit açıları vardır. Bundan, bir ikizkenar üçgenin yan taraflarına düşen açıortayların birbirine eşit olduğu sonucu çıkar. Ayrıca tabana indirilen açıortay hem yükseklik hem de ortancadır.