Başlangıç ​​koşullarını sağlayan bir diferansiyel denklemin özel çözümü. Diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklemlerin çözümü. Çevrimiçi hizmetimiz sayesinde her tür ve karmaşıklıktaki diferansiyel denklemleri çözebilirsiniz: homojen olmayan, homojen, doğrusal olmayan, doğrusal, birinci, ikinci dereceden, ayrılabilir veya ayrılamayan değişkenlere sahip vb. Diferansiyel denklemlerin çözümünü analitik biçimde ayrıntılı bir açıklamayla birlikte alırsınız. Birçok kişi ilgileniyor: Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmek neden gerekli? Bu tür denklem matematik ve fizikte çok yaygındır ve burada diferansiyel denklemi hesaplamadan birçok problemi çözmek imkansızdır. Diferansiyel denklemler ekonomi, tıp, biyoloji, kimya ve diğer bilimlerde de yaygındır. Böyle bir denklemi çevrimiçi olarak çözmek, görevlerinizi büyük ölçüde basitleştirir, size materyali daha iyi anlama ve kendinizi test etme fırsatı verir. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenin avantajları. Modern bir matematik hizmeti web sitesi, her türlü karmaşıklıktaki diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenize olanak tanır. Bildiğiniz gibi çok sayıda diferansiyel denklem türü vardır ve her birinin kendine özgü çözüm yöntemleri vardır. Hizmetimizde, herhangi bir düzen ve türdeki diferansiyel denklemlerin çözümlerini çevrimiçi olarak bulabilirsiniz. Çözüme ulaşmak için başlangıç ​​verilerini doldurup “Çözüm” butonuna tıklamanızı öneririz. Hizmetin işleyişindeki hatalar hariçtir, böylece doğru cevabı aldığınızdan %100 emin olabilirsiniz. Hizmetimizle diferansiyel denklemleri çözün. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözün. Varsayılan olarak böyle bir denklemde y fonksiyonu x değişkeninin bir fonksiyonudur. Ancak kendi değişken adınızı da belirleyebilirsiniz. Örneğin, bir diferansiyel denklemde y(t)'yi belirtirseniz hizmetimiz, y'nin t değişkeninin bir fonksiyonu olduğunu otomatik olarak belirleyecektir. Diferansiyel denklemin tamamının sırası, denklemde mevcut fonksiyonun türevinin maksimum derecesine bağlı olacaktır. Böyle bir denklemi çözmek, istenen fonksiyonu bulmak anlamına gelir. Hizmetimiz diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaktır. Denklemi çözmek sizin açınızdan fazla çaba gerektirmez. Denklemin sol ve sağ taraflarını gerekli alanlara girip “Çözüm” butonuna tıklamanız yeterli. Girerken, bir fonksiyonun türevi kesme işaretiyle belirtilmelidir. Birkaç saniye içinde diferansiyel denklemin hazır ayrıntılı çözümünü alacaksınız. Hizmetimiz tamamen ücretsizdir. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler. Bir diferansiyel denklemin sol tarafında y'ye bağlı bir ifade, sağ tarafında ise x'e bağlı bir ifade varsa, bu tür bir diferansiyel denklem ayrılabilir değişkenli olarak adlandırılır. Sol taraf y'nin bir türevini içerebilir; bu tür diferansiyel denklemlerin çözümü, denklemin sağ tarafının integrali ile ifade edilen bir y fonksiyonu biçiminde olacaktır. Sol tarafta y fonksiyonunun bir diferansiyeli varsa, bu durumda denklemin her iki tarafı da entegre edilir. Bir diferansiyel denklemdeki değişkenler ayrılmadığında, ayrılmış bir diferansiyel denklem elde etmek için bunların ayrılması gerekecektir. Doğrusal diferansiyel denklem. Fonksiyonu ve tüm türevleri birinci dereceden olan bir diferansiyel denkleme doğrusal denir. Denklemin genel formu: y'+a1(x)y=f(x). f(x) ve a1(x), x'in sürekli fonksiyonlarıdır. Bu tür diferansiyel denklemlerin çözülmesi, iki diferansiyel denklemin ayrı değişkenlerle integralinin alınmasına indirgenir. Diferansiyel denklemin sırası. Bir diferansiyel denklem birinci, ikinci ve n. mertebeden olabilir. Bir diferansiyel denklemin sırası, içerdiği en yüksek türevin sırasını belirler. Hizmetimizde birinci, ikinci, üçüncü vb. diferansiyel denklemleri çevrimiçi olarak çözebilirsiniz. emir. Denklemin çözümü herhangi bir y=f(x) fonksiyonu olacaktır, bunu denklemde yerine koyarsanız bir özdeşlik elde edersiniz. Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma sürecine entegrasyon denir. Cauchy sorunu. Diferansiyel denklemin kendisine ek olarak y(x0)=y0 başlangıç ​​koşulu da verilirse buna Cauchy problemi denir. Denklemin çözümüne y0 ve x0 göstergeleri eklenir ve keyfi bir C sabitinin değeri belirlenir ve ardından bu C değerinde denklemin özel bir çözümü belirlenir. Bu, Cauchy probleminin çözümüdür. Cauchy problemi aynı zamanda fizik ve mekanikte çok yaygın olan sınır koşulları problemi olarak da adlandırılmaktadır. Ayrıca Cauchy problemini kurma, yani denklemin tüm olası çözümlerinden verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan bir bölüm seçme olanağınız da vardır.

Başvuru

Öğrencilerin ele aldıkları konuyu pekiştirmeleri için diferansiyel denklemleri web sitesinde çevrimiçi olarak çözme. Ve pratik becerilerinizi geliştirin. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Difurs çevrimiçi, çevrimiçi matematik çözme. Çevrimiçi matematik problemlerine adım adım çözümler. Bir diferansiyel denklemin derecesi veya derecesi, içerdiği türevlerin en yüksek mertebesidir. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Diferansiyel denklem çözme işlemine entegrasyon denir. Bilinmeyen bir fonksiyonun bulunması, elde edilen integralin bilinen fonksiyonlar cinsinden son formda ifade edilip edilmediğine bakılmaksızın, karelemeye yol açabiliyorsa, bir diferansiyel denklemin integrali alınması sorunu çözülmüş sayılır. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Tüm diferansiyel denklemler, yalnızca bir argümanın fonksiyonlarını (ve türevlerini) içeren sıradan diferansiyel denklemlere (ODE) ve girdi fonksiyonlarının birçok değişkene bağlı olduğu kısmi diferansiyel denklemlere (PDE) ayrılabilir. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Ayrıca rastgele süreçleri içeren stokastik diferansiyel denklemler (SDE'ler) de vardır. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Türevlerin, fonksiyonların ve bağımsız değişkenlerin kombinasyonlarına bağlı olarak diferansiyel denklemler doğrusal ve doğrusal olmayan, sabit veya değişken katsayılı, homojen veya homojen olmayan olarak ayrılır. Uygulamaların önemi nedeniyle, yarı doğrusal (daha yüksek türevlere göre doğrusal) kısmi diferansiyel denklemler ayrı bir sınıfta sınıflandırılır. Diferansiyel denklemlerin çözümleri genel ve özel çözümlere ayrılır. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Genel çözümler, belirlenmemiş sabitleri ve kısmi diferansiyel denklemler için, ek entegrasyon koşullarından (normal diferansiyel denklemler için başlangıç ​​koşulları, kısmi diferansiyel denklemler için başlangıç ​​ve sınır koşulları) iyileştirilebilen bağımsız değişkenlerin keyfi fonksiyonlarını içerir. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Belirtilen sabit ve belirsiz fonksiyonların tipi belirlendikten sonra çözümler özel hale gelir. Sıradan diferansiyel denklemlere yönelik çözüm arayışı, uygulamalarda sıklıkla karşılaşılan ve bilinen temel işlevlerle ifade edilemeyen işlevler olan özel işlevler sınıfının oluşturulmasına yol açtı. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Özellikleri detaylı olarak incelendi, değer tabloları derlendi, karşılıklı ilişkiler belirlendi vb. . Numaralandırılmış sayılar kümesi araştırılabilir. Verilen problemin en iyi cevabı. İlk yaklaşım olarak, Diferansiyel denklemlerde yakınsama bölgesine giden vektörün, bulunan üst limiti bulmadan nasıl bulunacağı. Artan matematiksel fonksiyonlar için seçim açıktır. Araştırma düzeyinin üzerinde ilerlemeci bir yöntem vardır. Problemin başlangıç ​​koşulunu diferansiyel denklemlerin çözümüyle uyumlu hale getirmek, benzersiz bir şekilde seçilmiş bir değer bulmanıza yardımcı olacaktır. Bilinmeyeni anında tespit edebiliyor olabilir. Bir matematik probleminin çözümünü belirlemeye ilişkin önceki örnekte olduğu gibi, doğrusal diferansiyel denklemler, belirli bir problemin belirli bir zaman dilimi içindeki cevabıdır. Araştırma prosedürünün sürdürülmesi yerel olarak belirlenmemiştir. Her öğrenci için bir örnek bulunacak ve diferansiyel denklemlerin çözümü sorumlu kişiye atanan kişi tarafından en az iki değerden belirlenecektir. Belirli bir segmentte genel değere sahip bir fonksiyon alın ve hangi eksende boşluk olacağı konusunda uyarıda bulunun. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi inceleyerek, başlangıç ​​koşulları sağlandığı takdirde sonucun ne kadar önemli olduğunu açıkça göstermek mümkündür. Görevin yerel olarak tanımı olmadığından, işlev tanımından bir alanı çıkarmak imkansızdır. Bir denklem sisteminden bulunan cevap, genel anlamda sayılabilir bir değişken içerir ancak bir diferansiyel denklemi çevrimiçi olarak çözmek, söz konusu koşulu belirleme eylemi olmadan doğal olarak mümkün olacaktır. Segment aralığının yanında, diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenin, öğrencilerin bilgilerinin kesildiği anda araştırma sonucunu nasıl olumlu yönde ilerletebileceğini görebilirsiniz. En iyisi her zaman genel kabul görmüş bir iş yaklaşımından gelmez. 2x düzeyinde, gerekli tüm doğrusal diferansiyel denklemleri doğal bir temsilde gözden geçirmek faydalıdır, ancak sayısal değeri hesaplayabilmek, bilginin gelişmesiyle sonuçlanacaktır. Matematikte her yönteme göre, homojen veya karmaşık gibi doğası farklı ifadelerle sunulan diferansiyel denklemler vardır. Fonksiyon çalışmasının genel bir analizini gerçekleştirdikten sonra, diferansiyelleri bir dizi olasılık olarak çözmenin değerlerde açık bir hatayı temsil ettiği açıkça ortaya çıkıyor. Buradaki gerçek apsis çizgilerinin üzerindeki boşlukta yatıyor. Karmaşık bir fonksiyonun tanım alanının bir yerinde, tanımının bir noktasında, doğrusal diferansiyel denklemler, cevabı analitik biçimde sunabilecektir. yani genel anlamda öz olarak. Değişken değiştirildiğinde hiçbir şey değişmez. Ancak cevaba özel bir ilgiyle bakmanız gerekiyor. Esasen, hesap makinesi sonuçta ilişkiyi, yani diferansiyel denklemlerin çözümünün global değerle nasıl orantılı olduğunu ve istenen çözümün sınırları dahilinde nasıl belirlendiğini değiştirir. Bazı durumlarda büyük bir hata uyarısı kaçınılmazdır. Çevrimiçi diferansiyel denklemler problemin genel bir fikrini hayata geçirir, ancak sonuçta vektör çarpımının olumlu yönlerinin mümkün olan en kısa sürede sağlanması gerekir. Matematikte sayılar teorisindeki kavram yanılgıları nadir değildir. Kesinlikle bir çek gerekli olacaktır. Doğal olarak, bu hakkı kendi alanlarındaki profesyonellere vermek daha iyidir ve deneyimleri muazzam ve olumlu olduğu için diferansiyel denklemi çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaklardır. Şekillerin yüzeyleri ve alanı arasındaki fark, görmenizi sağlayacak çevrimiçi diferansiyel denklemleri çözmek değil, kesişmeyen nesneler kümesi, çizginin eksene paralel olacağı şekildedir. Sonuç olarak iki kat daha fazla değer elde edebilirsiniz. Açık olmasa da, biçimsel gösterimin doğruluğuna ilişkin anlayışımız, hem görüş alanında hem de sonucun kalitesinin kasıtlı olarak fazla tahmin edilmesiyle ilişkili olarak doğrusal diferansiyel denklemleri içerir. Tüm öğrencilerin ilgisini çeken bir konu üzerine düzenlenen panel tartışması birkaç kez gözden geçirilir. Derslerin tamamı boyunca, eğer gerçekle çelişmiyorsa, dikkatimizi diferansiyel denklemlere ve ilgili bilimsel çalışma alanlarına yoğunlaştıracağız. Yolculuğun başında birçok adımdan kaçınılabilir. Diferansiyel denklemleri çözmek öğrenciler için temelde yeni bir şeyse, eskisi hiç unutulmuyor, aksine yüksek bir gelişme hızıyla geleceğe doğru ilerliyor. Başlangıçta matematikteki problemin koşulları farklılık gösterir, ancak bu sağdaki paragrafta belirtilmiştir. Tanım gereği belirlenen süre geçtikten sonra, vektör hareketinin çeşitli düzlemlerine orantılı bağımlı bir sonuç olasılığı göz ardı edilemez. Bu kadar basit bir durum, lineer diferansiyel denklemlerin hesap makinesinde genel formda anlatılmasıyla aynı şekilde düzeltilebilir, daha hızlı olur ve hesaplamaların mahsup edilmesi hatalı bir görüşe yol açmaz. Teoriye göre isimlendirilen yalnızca beş vaka, olup bitenlerin sınırlarını zorlayabilir. Diferansiyel denklem çözümümüz, fonksiyon uzayını ayrıştırmanın ilk aşamalarında sayılardaki değeri manuel olarak hesaplamanıza yardımcı olacaktır. Doğru yerlerde dört çizginin temas noktasını genel anlamda temsil etmek gerekir. Ancak görevi değiştirmek zorunda kalırsanız karmaşıklığı eşitlemek kolay olacaktır. Başlangıç ​​verileri, bitişik ayağı tasarlamak için yeterlidir ve çevrimiçi diferansiyel denklemler sola hizalı görünür ve yüzey, vektörün rotoruna doğru tek taraflı yönlendirilir. Üst sınırın üzerinde belirlenen koşulun ötesinde sayısal değerler mümkündür. Oranın genel değerindeki üç bilinmeyeni kullanarak matematiksel formülü dikkate alıp diferansiyel denklemi çevrimiçi çözmek mümkündür. Yerel hesaplama yöntemi geçerli olarak kabul edilmektedir. Koordinat sistemi düzlemin bağıl hareketinde dikdörtgendir. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi genel çözümü, açıkça belirtilen bir fonksiyonun grafiğinin üzerinde bulunan tüm düz çizgi üzerinde matris tanımlarının hesaplamalı olarak yürütülmesi lehine açık bir şekilde bir sonuç çıkarmamıza olanak tanır. Hareket vektörünü üç yarım kürenin temas noktasına uygularsanız çözüm açıkça görülebilir. Silindir, dikdörtgenin kenar etrafında döndürülmesiyle elde edilir ve doğrusal diferansiyel denklemler, hareket yasasının verilen ifadelerine göre noktanın hareket yönünü gösterebilecektir. Başlangıç ​​verileri doğrudur ve matematikteki problem tek bir basit koşul altında değiştirilebilir. Ancak koşullar nedeniyle, ortaya konulan alt görevin karmaşıklığı nedeniyle diferansiyel denklemler, sayısal uzayların üç boyutlu uzay düzeyinde hesaplanması sürecini basitleştirir. Aksini kanıtlamak kolaydır ancak verilen örnekte olduğu gibi bundan kaçınılabilir. Yüksek matematikte aşağıdaki noktalar sağlanır: Bir problem basitleştirilmiş bir forma indirgendiğinde, öğrenciler tarafından mümkün olan en büyük çaba gösterilmelidir. Üst üste bindirilmiş çizgiler dikkate alınır. Diferansiyellerin çözümü konusunda, söz konusu yöntemin eğri bir çizgi üzerindeki avantajı halen devam etmektedir. İlk önce ihtiyacınız olmayan bir şeyi fark ederseniz, o zaman matematik formülü ifadeye yeni bir anlam yaratacaktır. Amaç, profesör tarafından belirlenen görevleri çözmek için en uygun yaklaşımdır. Basitleştirilmiş formdaki doğrusal diferansiyel denklemlerin beklenen sonucu aşacağını varsaymamalısınız. Sonlu bileşimli bir yüzeye üç vektör yerleştiriyoruz. birbirine dik. Ürünü hesaplayalım. Daha fazla sayıda sembol ekleyelim ve elde edilen ifadeden fonksiyonun tüm değişkenlerini yazalım. Bir orantı var. Hesaplamanın bitiminden önceki birkaç eylem, diferansiyel denklemlerin çözümüne hemen kesin bir cevap vermeyecek, ancak yalnızca y ekseni boyunca ayrılan süre geçtikten sonra verecektir. Fonksiyondan dolaylı olarak belirtilen süreksizlik noktasının soluna, en iyi artan vektöre dik bir eksen çizeriz ve çevrimiçi diferansiyel denklemleri matematiksel nesnenin alt yüzünün en küçük sınır değeri boyunca yerleştiririz. Ekstra argümanı fonksiyon kesme alanına ekleriz. Eğri çizginin bulunduğu noktaların sağında ortak paydaya indirgemek için yazdığımız formüller diferansiyel denklemi online çözmenize yardımcı olacaktır. Çözülemeyen sorunlara teoriden pratiğe ışık tutacak tek doğru yaklaşımı genel durumda net bir şekilde ele alacağız. Verilen noktaların koordinatları yönündeki çizgiler karenin en uç noktasını asla kapatmaz, ancak diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmek öğrencilere, bize ve bu alana yeni başlayanlara matematik çalışma konusunda yardımcı olacaktır. Bir alanın tüm önemli satırlarına bir değer argümanı yerleştirme olasılığından bahsediyoruz. Prensip olarak, bekleneceği gibi, lineer diferansiyel denklemlerimiz, verilen anlamın tek bir kavramına izole edilmiş bir şeydir. Öğrencilere yardımcı olmak için benzer hizmetler arasında en iyi hesaplayıcılardan biri. Tüm kursları alın ve kendiniz için en iyisini seçin.

=

Belirli integralleri bulurken karşı karşıya kaldığımız görevi hatırlayalım:

veya dy = f(x)dx. Onun çözümü:

ve iş belirsiz integralin hesaplanmasına gelir. Pratikte daha karmaşık bir görevle daha sık karşılaşılır: fonksiyonun bulunması senşeklinde bir ilişkiyi sağladığı biliniyorsa

Bu ilişki bağımsız değişkenle ilgilidir X, bilinmeyen işlev sen ve mertebeye kadar türevleri N dahil, denir .

Bir diferansiyel denklem, şu veya bu dereceden türevlerin (veya diferansiyellerin) işareti altındaki bir fonksiyonu içerir. En yüksek sıraya sıra denir (9.1) .

Diferansiyel denklemler:

- ilk sipariş,

İkinci derece

- beşinci derece vb.

Belirli bir diferansiyel denklemi karşılayan fonksiyona çözümü denir , veya integral . Bunu çözmek, tüm çözümlerini bulmak anlamına gelir. Gerekli fonksiyon için ise sen tüm çözümleri veren bir formül elde etmeyi başardık, sonra onun genel çözümünü bulduğumuzu söylüyoruz , veya genel integral .

Genel çözüm içerir N keyfi sabitler ve benziyor

ile ilgili bir ilişki elde edilirse x, y Ve N izin verilmeyen bir biçimde keyfi sabitler sen -

bu durumda böyle bir ilişkiye denklem (9.1)'in genel integrali denir.

Cauchy sorunu

Her özel çözüme, yani belirli bir diferansiyel denklemi karşılayan ve keyfi sabitlere bağlı olmayan her özel fonksiyona özel çözüm denir. , veya kısmi bir integral. Genel çözümlerden özel çözümler (integraller) elde etmek için sabitlere belirli sayısal değerler verilmelidir.

Belirli bir çözümün grafiğine integral eğrisi denir. Tüm kısmi çözümleri içeren genel çözüm, bir integral eğri ailesidir. Birinci dereceden bir denklem için bu aile, denklem için keyfi bir sabite bağlıdır. N-inci sipariş - itibaren N keyfi sabitler.

Cauchy problemi denklem için özel bir çözüm bulmaktır. N-th sipariş, tatmin edici N başlangıç ​​koşulları:

bununla n sabiti c 1, c 2,..., cn belirlenir.

1. dereceden diferansiyel denklemler

Türevine göre çözülmemiş 1. dereceden diferansiyel denklem için şu forma sahiptir:

veya nispeten izin verilen için

Örnek 3.46. Denklemin genel çözümünü bulun

Çözüm. Bütünleşerek şunu elde ederiz

burada C keyfi bir sabittir. C'ye belirli sayısal değerler atarsak belirli çözümler elde ederiz, örneğin,

Örnek 3.47. 100 r tahakkuk tabi olarak bankaya yatırılan para miktarının arttığını düşünün Yıllık bileşik faiz. Başlangıçtaki para miktarı Yo olsun ve sonunda Yx olsun X yıllar. Faiz yılda bir kez hesaplanırsa,

burada x = 0, 1, 2, 3,.... Faiz yılda iki kez hesaplandığında şunu elde ederiz:

burada x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Faiz hesaplanırken N yılda bir kez ve eğer x 0, 1/n, 2/n, 3/n,... sıralı değerlerini alır, ardından

1/n = h'yi belirtin, o zaman önceki eşitlik şöyle görünecektir:

Sınırsız büyütme ile N(saatte ) limitte sürekli faiz tahakkuku ile para miktarını artırma sürecine geliyoruz:

Dolayısıyla sürekli değişimle açıkça görülüyor ki X para arzındaki değişim kanunu 1. dereceden diferansiyel denklem ile ifade edilir. Y x bilinmeyen bir fonksiyon olduğunda, X- bağımsız değişken, R- devamlı. Bu denklemi çözelim, bunun için şu şekilde yeniden yazalım:

Neresi , veya , burada P, e C'yi belirtir.

Y(0) = Yo başlangıç ​​koşullarından P: Yo = Pe o'yu buluruz, buradan Yo = P olur. Bu nedenle çözüm şu şekildedir:

İkinci ekonomik sorunu ele alalım. Makroekonomik modeller aynı zamanda gelir veya Y çıktısındaki değişiklikleri zamanın fonksiyonu olarak tanımlayan 1. dereceden doğrusal diferansiyel denklemlerle de tanımlanır.

Örnek 3.48. Milli gelir Y'nin değeriyle orantılı bir oranda artmasına izin verin:

ve devlet harcamalarındaki açığın orantı katsayısı ile gelir Y ile doğru orantılı olmasına izin verin Q. Harcama açığı ulusal borcun artmasına neden olur D:

Başlangıç ​​koşulları Y = Yo ve D = Do t = 0'da. İlk denklemden Y= Yoe kt. Y'yi değiştirerek dD/dt = qYoe kt elde ederiz. Genel çözüm şu şekildedir:
D = (q/ k) Yoe kt +С, burada С = sabit, başlangıç ​​koşullarından belirlenir. Başlangıç ​​koşullarını yerine koyarak Do = (q/ k)Yo + C elde ederiz. Yani son olarak,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

bu, ulusal borcun aynı oranda arttığını gösteriyor k Milli gelirle aynı.

En basit diferansiyel denklemleri ele alalım N mertebeden, bunlar formun denklemleridir

Genel çözümü kullanılarak elde edilebilir. N kez entegrasyonlar.

Örnek 3.49. y """ = cos x örneğini düşünün.

Çözüm. Bütünleşerek şunu buluruz

Genel çözüm şu şekildedir:

Doğrusal diferansiyel denklemler

Ekonomide yaygın olarak kullanılırlar; bu tür denklemleri çözmeyi düşünelim. Eğer (9.1) şu şekle sahipse:

o zaman buna doğrusal denir, burada рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) fonksiyonları verilir. f(x) = 0 ise (9.2)'ye homojen, aksi takdirde homojen olmayan denir. Denklemin (9.2) genel çözümü, herhangi bir özel çözümünün toplamına eşittir. y(x) ve buna karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü:

Eğer р o (x), р 1 (x),..., р n (x) katsayıları sabitse, o zaman (9.2)

(9.4) sabit mertebe katsayılarına sahip doğrusal diferansiyel denklem olarak adlandırılır N .

(9.4) için şu forma sahiptir:

Genelliği kaybetmeden, p o = 1'i ayarlayabilir ve (9.5) formunu şu şekilde yazabiliriz:

k'nin bir sabit olduğu y = e kx formunda bir çözüm (9.6) arayacağız. Sahibiz: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Ortaya çıkan ifadeleri (9.6)'da yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

(9.7) cebirsel bir denklemdir, bilinmeyeni k, karakteristik denir. Karakteristik denklemin derecesi vardır N Ve N aralarında hem çoklu hem de karmaşık olabilen kökler. k 1 , k 2 ,..., k n gerçek ve farklı olsun, o zaman - özel çözümler (9.7) ve genel

Sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün:

Karakteristik denklemi şu şekildedir:

(9.9)

diskriminantı D = p 2 - 4q, D'nin işaretine bağlı olarak üç durum mümkündür.

1. Eğer D>0 ise, k 1 ve k 2 (9.9) kökleri gerçel ve farklıdır ve genel çözüm şu şekildedir:

Çözüm. Karakteristik denklem: k 2 + 9 = 0, dolayısıyla k = ± 3i, a = 0, b = 3, genel çözüm şu şekildedir:

y = C 1 çünkü 3x + C 2 sin 3x.

2. dereceden doğrusal diferansiyel denklemler, P fiyatındaki değişim oranının stok büyüklüğüne bağlı olduğu, mal stokları içeren web tipi bir ekonomik model incelenirken kullanılır (bkz. Paragraf 10). Arz ve talep fiyatın doğrusal fonksiyonlarıysa, yani

a reaksiyon hızını belirleyen bir sabittir, bu durumda fiyat değişimi süreci diferansiyel denklemle tanımlanır:

Belirli bir çözüm için sabit alabiliriz

anlamlı denge fiyatı Sapma homojen denklemi karşılar

(9.10)

Karakteristik denklem aşağıdaki gibi olacaktır:

Terimin pozitif olması durumunda. Haydi belirtelim . Karakteristik denklemin kökleri k 1,2 = ± i w, dolayısıyla genel çözüm (9.10) şu şekildedir:

burada C ve keyfi sabitlerdir, başlangıç ​​koşullarından belirlenirler. Zaman içinde fiyat değişimi yasasını elde ettik:

Diferansiyel denkleminizi girin, türevi girmek için apostroa "" kullanılır, çözümü almak için gönder tuşuna basın

Bu çevrimiçi hesap makinesi, diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenize olanak tanır. Fonksiyonun türevini kesme işaretiyle belirten uygun alana denkleminizi girmeniz ve "denklem çöz" düğmesine tıklamanız yeterlidir. Ve popüler WolframAlpha web sitesi temelinde uygulanan sistem ayrıntılı bilgi verecektir. diferansiyel denklem çözme tamamen ücretsiz. Ayrıca, olası çözümlerin tüm kümesinden, verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen bölümü seçmek için bir Cauchy problemi tanımlayabilirsiniz. Cauchy problemi ayrı bir alana girilir.

Diferansiyel denklem

Varsayılan olarak denklemdeki işlev sen bir değişkenin fonksiyonudur X. Ancak değişken için kendi tanımınızı belirleyebilirsiniz; örneğin denklemde y(t) yazarsanız hesap makinesi bunu otomatik olarak tanıyacaktır. sen bir değişkenden bir fonksiyon var T. Hesap makinesi yardımıyla şunları yapabilirsiniz diferansiyel denklemleri çöz her türlü karmaşıklık ve türde: homojen ve homojen olmayan, doğrusal veya doğrusal olmayan, birinci dereceden veya ikinci ve daha yüksek dereceden, ayrılabilir veya ayrılamayan değişkenlere sahip denklemler, vb. Çözüm farklılığı Denklem analitik biçimde verilmiştir ve ayrıntılı bir açıklamaya sahiptir. Diferansiyel denklemler fizik ve matematikte çok yaygındır. Bunları hesaplamadan birçok problemi (özellikle matematiksel fizikte) çözmek imkansızdır.

Diferansiyel denklemleri çözmenin aşamalarından biri fonksiyonların entegrasyonu. Diferansiyel denklemleri çözmek için standart yöntemler vardır. Denklemleri ayrılabilir y ve x değişkenlerine sahip bir forma indirgemek ve ayrılan fonksiyonları ayrı ayrı entegre etmek gerekir. Bunu yapmak için bazen belirli bir değişiklik yapılması gerekir.