Diferansiyel denklemlerin çözümü. Çevrimiçi hizmetimiz sayesinde her tür ve karmaşıklıktaki diferansiyel denklemleri çözebilirsiniz: homojen olmayan, homojen, doğrusal olmayan, doğrusal, birinci, ikinci dereceden, ayrılabilir veya ayrılamayan değişkenlere sahip vb. Diferansiyel denklemlerin çözümünü analitik biçimde ayrıntılı bir açıklamayla birlikte alırsınız. Birçok kişi ilgileniyor: Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmek neden gerekli? Bu tür denklem matematik ve fizikte çok yaygındır ve burada diferansiyel denklemi hesaplamadan birçok problemi çözmek imkansızdır. Diferansiyel denklemler ekonomi, tıp, biyoloji, kimya ve diğer bilimlerde de yaygındır. Böyle bir denklemi çevrimiçi olarak çözmek, görevlerinizi büyük ölçüde basitleştirir, size materyali daha iyi anlama ve kendinizi test etme fırsatı verir. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenin avantajları. Modern bir matematik hizmeti web sitesi, her türlü karmaşıklıktaki diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenize olanak tanır. Bildiğiniz gibi çok sayıda diferansiyel denklem türü vardır ve her birinin kendine özgü çözüm yöntemleri vardır. Hizmetimizde, herhangi bir düzen ve türdeki diferansiyel denklemlerin çözümlerini çevrimiçi olarak bulabilirsiniz. Çözüme ulaşmak için başlangıç verilerini doldurup “Çözüm” butonuna tıklamanızı öneririz. Hizmetin işleyişindeki hatalar hariçtir, böylece doğru cevabı aldığınızdan %100 emin olabilirsiniz. Hizmetimizle diferansiyel denklemleri çözün. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözün. Varsayılan olarak böyle bir denklemde y fonksiyonu x değişkeninin bir fonksiyonudur. Ancak kendi değişken adınızı da belirleyebilirsiniz. Örneğin, bir diferansiyel denklemde y(t)'yi belirtirseniz hizmetimiz, y'nin t değişkeninin bir fonksiyonu olduğunu otomatik olarak belirleyecektir. Diferansiyel denklemin tamamının sırası, denklemde mevcut fonksiyonun türevinin maksimum derecesine bağlı olacaktır. Böyle bir denklemi çözmek, istenen fonksiyonu bulmak anlamına gelir. Hizmetimiz diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaktır. Denklemi çözmek sizin açınızdan fazla çaba gerektirmez. Denklemin sol ve sağ taraflarını gerekli alanlara girip “Çözüm” butonuna tıklamanız yeterli. Girerken, bir fonksiyonun türevi kesme işaretiyle belirtilmelidir. Birkaç saniye içinde diferansiyel denklemin hazır ayrıntılı çözümünü alacaksınız. Hizmetimiz tamamen ücretsizdir. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler. Bir diferansiyel denklemin sol tarafında y'ye bağlı bir ifade, sağ tarafında ise x'e bağlı bir ifade varsa, bu tür bir diferansiyel denklem ayrılabilir değişkenli olarak adlandırılır. Sol taraf y'nin bir türevini içerebilir; bu tür diferansiyel denklemlerin çözümü, denklemin sağ tarafının integrali ile ifade edilen bir y fonksiyonu biçiminde olacaktır. Sol tarafta y fonksiyonunun bir diferansiyeli varsa, bu durumda denklemin her iki tarafı da entegre edilir. Bir diferansiyel denklemdeki değişkenler ayrılmadığında, ayrılmış bir diferansiyel denklem elde etmek için bunların ayrılması gerekecektir. Doğrusal diferansiyel denklem. Fonksiyonu ve tüm türevleri birinci dereceden olan bir diferansiyel denkleme doğrusal denir. Denklemin genel formu: y'+a1(x)y=f(x). f(x) ve a1(x), x'in sürekli fonksiyonlarıdır. Bu tür diferansiyel denklemlerin çözülmesi, iki diferansiyel denklemin ayrı değişkenlerle integralinin alınmasına indirgenir. Diferansiyel denklemin sırası. Bir diferansiyel denklem birinci, ikinci ve n. mertebeden olabilir. Bir diferansiyel denklemin sırası, içerdiği en yüksek türevin sırasını belirler. Hizmetimizde birinci, ikinci, üçüncü vb. diferansiyel denklemleri çevrimiçi olarak çözebilirsiniz. emir. Denklemin çözümü herhangi bir y=f(x) fonksiyonu olacaktır, bunu denklemde yerine koyarsanız bir özdeşlik elde edersiniz. Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma sürecine entegrasyon denir. Cauchy sorunu. Diferansiyel denklemin kendisine ek olarak y(x0)=y0 başlangıç koşulu da verilirse buna Cauchy problemi denir. Denklemin çözümüne y0 ve x0 göstergeleri eklenir ve keyfi bir C sabitinin değeri belirlenir ve ardından bu C değerinde denklemin özel bir çözümü belirlenir. Bu, Cauchy probleminin çözümüdür. Cauchy problemi aynı zamanda fizik ve mekanikte çok yaygın olan sınır koşulları problemi olarak da adlandırılmaktadır. Ayrıca Cauchy problemini kurma, yani denklemin tüm olası çözümlerinden verilen başlangıç koşullarını karşılayan bir bölüm seçme olanağınız da vardır.
Belirli integralleri bulurken karşı karşıya kaldığımız görevi hatırlayalım:
veya dy = f(x)dx. Onun çözümü:
ve iş belirsiz integralin hesaplanmasına gelir. Pratikte daha karmaşık bir görevle daha sık karşılaşılır: fonksiyonun bulunması senşeklinde bir ilişkiyi sağladığı biliniyorsa
Bu ilişki bağımsız değişkenle ilgilidir X, bilinmeyen işlev sen ve mertebeye kadar türevleri N dahil, denir .
Bir diferansiyel denklem, şu veya bu dereceden türevlerin (veya diferansiyellerin) işareti altındaki bir fonksiyonu içerir. En yüksek sıraya sıra denir (9.1) .
Diferansiyel denklemler:
- ilk sipariş,
İkinci derece
- beşinci derece vb.
Belirli bir diferansiyel denklemi karşılayan fonksiyona çözümü denir , veya integral . Bunu çözmek, tüm çözümlerini bulmak anlamına gelir. Gerekli fonksiyon için ise sen tüm çözümleri veren bir formül elde etmeyi başardık, sonra onun genel çözümünü bulduğumuzu söylüyoruz , veya genel integral .
Genel çözüm içerir N keyfi sabitler ve benziyor
ile ilgili bir ilişki elde edilirse x, y Ve N izin verilmeyen bir biçimde keyfi sabitler sen -
bu durumda böyle bir ilişkiye denklem (9.1)'in genel integrali denir.
Cauchy sorunu
Her özel çözüme, yani belirli bir diferansiyel denklemi karşılayan ve keyfi sabitlere bağlı olmayan her özel fonksiyona özel çözüm denir. , veya kısmi bir integral. Genel çözümlerden özel çözümler (integraller) elde etmek için sabitlere belirli sayısal değerler verilmelidir.
Belirli bir çözümün grafiğine integral eğrisi denir. Tüm kısmi çözümleri içeren genel çözüm, bir integral eğri ailesidir. Birinci dereceden bir denklem için bu aile, denklem için keyfi bir sabite bağlıdır. N-inci sipariş - itibaren N keyfi sabitler.
Cauchy problemi denklem için özel bir çözüm bulmaktır. N-th sipariş, tatmin edici N başlangıç koşulları:
bununla n sabiti c 1, c 2,..., cn belirlenir.
1. dereceden diferansiyel denklemler
Türevine göre çözülmemiş 1. dereceden diferansiyel denklem için şu forma sahiptir:
veya nispeten izin verilen için
Örnek 3.46. Denklemin genel çözümünü bulun
Çözüm. Bütünleşerek şunu elde ederiz
burada C keyfi bir sabittir. C'ye belirli sayısal değerler atarsak belirli çözümler elde ederiz, örneğin,
Örnek 3.47. 100 r tahakkuk tabi olarak bankaya yatırılan para miktarının arttığını düşünün Yıllık bileşik faiz. Başlangıçtaki para miktarı Yo olsun ve sonunda Yx olsun X yıllar. Faiz yılda bir kez hesaplanırsa,
burada x = 0, 1, 2, 3,.... Faiz yılda iki kez hesaplandığında şunu elde ederiz:
burada x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Faiz hesaplanırken N yılda bir kez ve eğer x 0, 1/n, 2/n, 3/n,... sıralı değerlerini alır, ardından
1/n = h'yi belirtin, o zaman önceki eşitlik şöyle görünecektir:
Sınırsız büyütme ile N(saatte ) limitte sürekli faiz tahakkuku ile para miktarını artırma sürecine geliyoruz:
Dolayısıyla sürekli değişimle açıkça görülüyor ki X para arzındaki değişim kanunu 1. dereceden diferansiyel denklem ile ifade edilir. Y x bilinmeyen bir fonksiyon olduğunda, X- bağımsız değişken, R- devamlı. Bu denklemi çözelim, bunun için şu şekilde yeniden yazalım:
Neresi , veya , burada P, e C'yi belirtir.
Y(0) = Yo başlangıç koşullarından P: Yo = Pe o'yu buluruz, buradan Yo = P olur. Bu nedenle çözüm şu şekildedir:
İkinci ekonomik sorunu ele alalım. Makroekonomik modeller aynı zamanda gelir veya Y çıktısındaki değişiklikleri zamanın fonksiyonu olarak tanımlayan 1. dereceden doğrusal diferansiyel denklemlerle de tanımlanır.
Örnek 3.48. Milli gelir Y'nin değeriyle orantılı bir oranda artmasına izin verin:
ve devlet harcamalarındaki açığın orantı katsayısı ile gelir Y ile doğru orantılı olmasına izin verin Q. Harcama açığı ulusal borcun artmasına neden olur D:
Başlangıç koşulları Y = Yo ve D = Do t = 0'da. İlk denklemden Y= Yoe kt. Y'yi değiştirerek dD/dt = qYoe kt elde ederiz. Genel çözüm şu şekildedir:
D = (q/ k) Yoe kt +С, burada С = sabit, başlangıç koşullarından belirlenir. Başlangıç koşullarını yerine koyarak Do = (q/ k)Yo + C elde ederiz. Yani son olarak,
D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),
bu, ulusal borcun aynı oranda arttığını gösteriyor k Milli gelirle aynı.
En basit diferansiyel denklemleri ele alalım N mertebeden, bunlar formun denklemleridir
Genel çözümü kullanılarak elde edilebilir. N kez entegrasyonlar.
Örnek 3.49. y """ = cos x örneğini düşünün.
Çözüm. Bütünleşerek şunu buluruz
Genel çözüm şu şekildedir:
Doğrusal diferansiyel denklemler
Ekonomide yaygın olarak kullanılırlar; bu tür denklemleri çözmeyi düşünelim. Eğer (9.1) şu şekle sahipse:
o zaman buna doğrusal denir, burada рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) fonksiyonları verilir. f(x) = 0 ise (9.2)'ye homojen, aksi takdirde homojen olmayan denir. Denklemin (9.2) genel çözümü, herhangi bir özel çözümünün toplamına eşittir. y(x) ve buna karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü:
Eğer р o (x), р 1 (x),..., р n (x) katsayıları sabitse, o zaman (9.2)
(9.4) sabit mertebe katsayılarına sahip doğrusal diferansiyel denklem olarak adlandırılır N .
(9.4) için şu forma sahiptir:
Genelliği kaybetmeden, p o = 1'i ayarlayabilir ve (9.5) formunu şu şekilde yazabiliriz:
k'nin bir sabit olduğu y = e kx formunda bir çözüm (9.6) arayacağız. Sahibiz: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Ortaya çıkan ifadeleri (9.6)'da yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
(9.7) cebirsel bir denklemdir, bilinmeyeni k, karakteristik denir. Karakteristik denklemin derecesi vardır N Ve N aralarında hem çoklu hem de karmaşık olabilen kökler. k 1 , k 2 ,..., k n gerçek ve farklı olsun, o zaman - özel çözümler (9.7) ve genel
Sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün:
Karakteristik denklemi şu şekildedir:
(9.9)
diskriminantı D = p 2 - 4q, D'nin işaretine bağlı olarak üç durum mümkündür.
1. Eğer D>0 ise, k 1 ve k 2 (9.9) kökleri gerçel ve farklıdır ve genel çözüm şu şekildedir:
Çözüm. Karakteristik denklem: k 2 + 9 = 0, dolayısıyla k = ± 3i, a = 0, b = 3, genel çözüm şu şekildedir:
y = C 1 çünkü 3x + C 2 sin 3x.
2. dereceden doğrusal diferansiyel denklemler, P fiyatındaki değişim oranının stok büyüklüğüne bağlı olduğu, mal stokları içeren web tipi bir ekonomik model incelenirken kullanılır (bkz. Paragraf 10). Arz ve talep fiyatın doğrusal fonksiyonlarıysa, yani
a reaksiyon hızını belirleyen bir sabittir, bu durumda fiyat değişimi süreci diferansiyel denklemle tanımlanır:
Belirli bir çözüm için sabit alabiliriz
anlamlı denge fiyatı Sapma homojen denklemi karşılar
(9.10)
Karakteristik denklem aşağıdaki gibi olacaktır:
Terimin pozitif olması durumunda. Haydi belirtelim . Karakteristik denklemin kökleri k 1,2 = ± i w, dolayısıyla genel çözüm (9.10) şu şekildedir:
burada C ve keyfi sabitlerdir, başlangıç koşullarından belirlenirler. Zaman içinde fiyat değişimi yasasını elde ettik:
Diferansiyel denkleminizi girin, türevi girmek için apostroa "" kullanılır, çözümü almak için gönder tuşuna basınBu çevrimiçi hesap makinesi, diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenize olanak tanır. Fonksiyonun türevini kesme işaretiyle belirten uygun alana denkleminizi girmeniz ve "denklem çöz" düğmesine tıklamanız yeterlidir. Ve popüler WolframAlpha web sitesi temelinde uygulanan sistem ayrıntılı bilgi verecektir. diferansiyel denklem çözme tamamen ücretsiz. Ayrıca, olası çözümlerin tüm kümesinden, verilen başlangıç koşullarına karşılık gelen bölümü seçmek için bir Cauchy problemi tanımlayabilirsiniz. Cauchy problemi ayrı bir alana girilir.
Diferansiyel denklem
Varsayılan olarak denklemdeki işlev sen bir değişkenin fonksiyonudur X. Ancak değişken için kendi tanımınızı belirleyebilirsiniz; örneğin denklemde y(t) yazarsanız hesap makinesi bunu otomatik olarak tanıyacaktır. sen bir değişkenden bir fonksiyon var T. Hesap makinesi yardımıyla şunları yapabilirsiniz diferansiyel denklemleri çöz her türlü karmaşıklık ve türde: homojen ve homojen olmayan, doğrusal veya doğrusal olmayan, birinci dereceden veya ikinci ve daha yüksek dereceden, ayrılabilir veya ayrılamayan değişkenlere sahip denklemler, vb. Çözüm farklılığı Denklem analitik biçimde verilmiştir ve ayrıntılı bir açıklamaya sahiptir. Diferansiyel denklemler fizik ve matematikte çok yaygındır. Bunları hesaplamadan birçok problemi (özellikle matematiksel fizikte) çözmek imkansızdır.
Diferansiyel denklemleri çözmenin aşamalarından biri fonksiyonların entegrasyonu. Diferansiyel denklemleri çözmek için standart yöntemler vardır. Denklemleri ayrılabilir y ve x değişkenlerine sahip bir forma indirgemek ve ayrılan fonksiyonları ayrı ayrı entegre etmek gerekir. Bunu yapmak için bazen belirli bir değişiklik yapılması gerekir.