Merkezi limit teoremi (CLT), dağıtım kanunları arasındaki bağlantıyı kuran ikinci grup limit teoremleridir. rastgele değişkenlerin toplamları ve onun nihai biçimi - normal dağılım kanunu.
Şimdiye kadar çok sayıda testin ortalama özelliklerinin kararlılığından, daha doğrusu form toplamlarının kararlılığından sık sık bahsettik.
Ancak şunu belirtmek gerekir ki değer 
Rastgele, bu da bazı dağıtım kanunlarına sahip olduğu anlamına geliyor. İçeriği bu dikkat çekici gerçeğin oluşturduğu ortaya çıktı
genel adı altında birleştirilen başka bir teorem grubu merkezi sınırteorem Oldukça genel koşullar altında dağıtım kanunu 
normal yasaya yakın.
Değerden beri 
miktardan farklı
sadece sabit bir faktör 
daha sonra genel anlamda CLT'nin içeriği aşağıdaki gibi formüle edilebilir.
Çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin toplamının çok değişkenli dağılım
Genel koşullar normal dağılım yasasına yakındır.
Normal dağılıma sahip rastgele değişkenlerin pratikte (yalnızca olasılık teorisinde değil aynı zamanda çok sayıda uygulamada) yaygın olarak kullanıldığı bilinmektedir. Bu fenomeni ne açıklıyor? Böyle bir "olgu"nun cevabı ilk olarak seçkin Rus matematikçi A.M. tarafından verildi. 1901'de Lyapunov: "Lyapunov'un merkezi limit teoremi." Lyapunov'un cevabı CLT'nin içinde bulunduğu koşullarda yatıyor (aşağıya bakınız).
CLT'nin doğru bir formülasyonunu hazırlamak için kendimize iki soru soralım:
1.
“Toplamın dağıtım kanunu” ifadesinin tam anlamı nedir? 
normal yasaya “yakın” mı?
2. Bu yakınlık hangi koşullar altında geçerlidir?
Bu soruları cevaplamak için sonsuz bir rastgele değişkenler dizisini düşünün: 
R.v dizimizin "kısmi toplamlarını" oluşturalım. 
(23)
Her rastgele değişkenden 
“normalleştirilmiş” rastgele değişkene geçelim
(24)
Biz şunu tespit ettik (bkz. T.8. paragraf 3, eşitlikler (19)) 
.
İlk sorunun cevabı artık limit eşitliğine göre formüle edilebilir.
(25)
,
(
,
yani r.v.'nin dağıtım yasası. 
büyüme ile 
normal yasaya yaklaşır 
. 
yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahip olduğundan, değer şu şekildedir: 
yaklaşık olarak normal dağılıma sahip,
(26)
Birkaç r.v.'nin toplamının olasılığını belirlemek için formül. belirlenen sınırlar dahilinde olacaktır. CPT sıklıkla şu amaçlarla kullanılır: 
Miktarlara uygulanması gereken şartlara ilişkin 
Aşağıdaki değerlendirmeler yapılabilir. 
Farkı göz önünde bulunduralım 
R.v.'nin sapmasını elde ederiz. 
matematiksel beklentisinden. Miktarlara uygulanan koşulların genel anlamı 
bireysel sapmalar mı bu 
toplam sapmaya kıyasla eşit derecede küçük olmalıdır
Limit ilişkisinin geçerli olduğu bu koşulların tam formülasyonu M.A. 1901'de Lyapunov. 
Aşağıdaki gibidir. 
Her bir miktar için 
-
« sayılar sonludur (unutmayın).
bir dağılım r.v var. 
,
üçüncü derecenin merkezi anı" 
Eğer o zaman diziyi söyleyeceğiz
tatmin eder 
Lyapunov'un durumu.
Özellikle, rastgele değişkenlerin toplamında her terimin aynı dağılıma sahip olduğu durumlar için CLT; her şey ve
o zaman Lyapunov koşulu sağlanır
Yani pratikte bu CLT durumu en sık kullanılır. Çünkü matematiksel istatistiklerde r.v.'nin herhangi bir rastgele örneği. “örnekler” aynı popülasyondan alındığı için aynı dağılımlara sahiptir.Bu durumu CLT'nin ayrı bir beyanı olarak formüle edelim.
Teorem 10.7 (CPT).Rastgele değişkenler olsun 
bağımsız, eşit 
dağıtılmış, sınırlı matematiksel beklentiye sahip 
ve varyans
(27)
Daha sonra bu r.v.'nin ortalanmış ve normalleştirilmiş toplamının dağılım fonksiyonu. en 
standart normal rastgele değişkenin dağılım fonksiyonuna yönelir: 
Bu özel durumda, terimlerin tekdüze "küçüklüğünün" nasıl ortaya çıktığını anlamak iyidir, 
değer nerede 
siparişi var 
ve değer
emir
dolayısıyla birinci miktarın ikinciye oranı 0'a yönelir.Artık merkezi limit teoremini A.M. şeklinde formüle edebiliriz. Lyapunova. 
Teorem 10.8. (Lyapunova).
(28)
,
Eğer sıra 
bağımsız rastgele değişkenlerin sayısı Lyapunov koşulunu karşılıyorsa limit ilişkisi geçerlidir 
herhangi biri için 
.
Ve 
, sırasında ( 
CPT A.M.'yi kanıtlamak için şunu belirtmek gerekir. Lyapunov, karakteristik fonksiyonlar teorisine dayanan özel bir yöntem geliştirdi. Bu yöntemin matematiğin diğer dallarında çok faydalı olduğu ortaya çıktı (örneğin Borodin kitabındaki CLT'nin ispatına bakın). Bu kitapta fonksiyon üretme ve rasgele değişkenlerin sayısal özelliklerinin hesaplanmasına yönelik bazı uygulamalar hakkında kısa bilgiler vereceğiz.
Ölçüm hatası hakkında kısa bilgi. Aynı nesnenin, aynı ölçüm cihazıyla, aynı özenle (aynı koşullar altında) tekrarlanan ölçümlerinde her zaman aynı sonuçların elde edilemediği bilinmektedir. Ölçüm sonuçlarının dağılması, ölçüm sürecinin dikkate alınması mümkün olmayan veya tavsiye edilmeyen çok sayıda faktörden etkilenmesinden kaynaklanmaktadır. Bu durumda bizi ilgilendiren bir niceliği ölçerken ortaya çıkan hata çoğu zaman her biri toplamın oluşumuna yalnızca küçük bir katkı sağlayan çok sayıda bağımsız terimin toplamı olarak düşünülebilir. Ancak bu gibi durumlar bizi tam olarak Lyapunov teoreminin uygulanabilirliğine götürür ve ölçülen büyüklüğün hatasının dağılımının normal dağılımdan çok az farklı olmasını bekleyebiliriz.
Daha genel olarak hata, her biri beklenen değerinden çok az farklı olan çok sayıda rastgele argümanın bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonu doğrusallaştırarak, yani onu doğrusal bir işlevle değiştirerek tekrar önceki duruma geliyoruz.
Ölçüm sonuçlarının istatistiksel işlenmesinde birikmiş deneyim aslında çoğu pratik durumda bu gerçeği doğrulamaktadır.
Benzer bir akıl yürütme, üretilen bitmiş ürünü (ürün) belirleyen parametrelerin seri üretimde standart değerlerden sapmalarında normal bir dağılım görünümünü açıklamaktadır.
Aşağıdaki örneği düşünün.Örnek 5. 
Bağımsız rastgele değişkenler 
Segmente eşit olarak dağıtılır. R.v.'nin dağıtım yasasını bulun. 
ve bunun olasılığı daÇözüm. 
CPT'nin koşulları karşılanmıştır, bu nedenle r.v.
yaklaşık olarak bir dağıtım yoğunluğuna sahiptir
M.o. için bilinen formüllere göre. ve tekdüze dağılım durumunda varyansı buluruz: O zaman
Birçok TV problemi, belirli koşullar altında normale yakın bir dağılıma sahip olan bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının incelenmesiyle ilgilidir. Bu koşullar merkezi limit teoremi (CLT) ile ifade edilir.
ξ 1, ξ 2, …, ξ n, … bağımsız rastgele değişkenlerin bir dizisi olsun. Haydi belirtelim
n η = ξ 1 + ξ 2 +…+ ξ n. CTP'nin ξ 1, ξ 2, ..., ξ n, ... dizisine uygulanabileceğini söylüyorlar.
eğer n → ∞ dağılım yasası η n normale yöneliyorsa:
CLT'nin özü: Rastgele değişkenlerin sayısındaki sınırsız artışla, toplamlarının dağılım yasası normale döner.
Lyapunov'un merkezi limit teoremi
Büyük sayılar kanunu, rastgele değişkenlerin toplamının dağılım limit kanununun şeklini incelemez. Bu soru, adı verilen bir grup teorem içinde ele alınmaktadır. merkezi limit teoremi. Her biri farklı dağılımlara sahip olabilen rastgele değişkenlerin toplamının dağılım yasasının, terim sayısı yeterince büyük olduğunda normale yaklaştığını ileri sürmektedirler. Bu, normal hukukun pratik uygulamalar için önemini açıklamaktadır.
Karakteristik fonksiyonlar.
Merkezi limit teoremini kanıtlamak için karakteristik fonksiyonlar yöntemi kullanılır.
Tanım 14.1.Karakteristik fonksiyon rastgele değişken Xçağrılan fonksiyon
G(T) = M (e itX) (14.1)
Böylece, G (T) bazı karmaşık rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini temsil eder U = e itX, değerle ilişkili X. Özellikle eğer X bir dağılım serisi tarafından belirtilen ayrık bir rastgele değişkendir, o zaman
. (14.2)
Dağıtım yoğunluğuna sahip sürekli bir rastgele değişken için F(X)
(14.3)
Örnek 1. Let X– bir zar atımıyla elde edilen 6 puanın sayısı. Daha sonra formül (14.2)'ye göre G(T) = 
Örnek 2. Normal yasaya göre dağıtılan normalleştirilmiş sürekli rastgele değişken için karakteristik fonksiyonu bulun 
. Formül (14.3)'e göre (formülü kullandık) 
ve ne Ben² = -1).
Karakteristik fonksiyonların özellikleri.
1. İşlev F(X) bilinen fonksiyon kullanılarak bulunabilir G(T) formüle göre
(14.4)
(dönüşüm (14.3) denir Fourier dönüşümü ve dönüşüm (14.4) – ters Fourier dönüşümü).
2. Rastgele değişkenler ise X Ve e ilişkiyle ilgili Y = aX, o zaman karakteristik fonksiyonları ilişkiyle ilişkilidir.
erkek (T) = gx (en). (14.5)
3. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının karakteristik fonksiyonu, terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir: için
Teorem 14.1 (aynı şekilde dağıtılan terimler için merkezi limit teoremi). Eğer X 1 , X 2 ,…, Xp,… - aynı dağılım yasasına sahip bağımsız rastgele değişkenler, matematiksel beklenti T ve varyans σ 2, ardından sınırsız artışla N miktarın dağıtım yasası sonsuza kadar normale yaklaşır.
Kanıt.
Sürekli rastgele değişkenler için teoremi kanıtlayalım X 1 , X 2 ,…, Xp(ayrık miktarlar için kanıt benzerdir). Teoremin koşullarına göre terimlerin karakteristik fonksiyonları aynıdır: 
Daha sonra, özellik 3'e göre toplamın karakteristik fonksiyonu Yn Fonksiyonu genişletecek gx(T) Maclaurin serisinde:
, nerede .
Bunu varsayarak T= 0 (yani orijini noktaya taşıyın) T), O .
(Çünkü T= 0). Elde edilen sonuçları Maclaurin formülünde yerine koyarsak şunu buluruz:
.
Şundan farklı yeni bir rastgele değişken düşünün: Yn herhangi bir dağılım için N 0'a eşittir. Yn Ve Zn doğrusal bir ilişkiyle ilişkili olduğunu kanıtlamak yeterlidir. Zn normal bir yasaya göre dağıtılır veya aynı şey olan karakteristik fonksiyonu, normal bir yasanın karakteristik fonksiyonuna yaklaşır (bkz. örnek 2). Karakteristik fonksiyonların özelliğine göre
Ortaya çıkan ifadenin logaritmasını alalım:
Nerede 
Bunu bir sıraya koyalım N→ ∞, kendimizi açılımın iki terimiyle sınırlandırırsak ln(1 - k) ≈ - k.
Son limitin 0 olduğu yer, çünkü . Buradan, 
yani 
- normal dağılımın karakteristik fonksiyonu. Yani terim sayısında sınırsız bir artışla miktarın karakteristik fonksiyonu Zn normal yasanın karakteristik işlevine sınırsız bir şekilde yaklaşır; bu nedenle dağıtım kanunu Zn(Ve Yn) sınırsız normale yaklaşır. Teorem kanıtlandı.
A.M Lyapunov daha genel bir formdaki koşullar için merkezi limit teoremini kanıtladı:
Teorem 14.2 (Lyapunov teoremi). Rastgele değişken ise X aşağıdaki koşulun sağlandığı çok sayıda karşılıklı bağımsız rastgele değişkenin toplamıdır:
Nerede bk– üçüncü mutlak merkezi büyüklük momenti X k, A dk o zaman onun varyansı X normale yakın bir dağılıma sahiptir (Lyapunov koşulu, her terimin toplam üzerindeki etkisinin ihmal edilebilir olduğu anlamına gelir).
Pratikte, olasılıksal hesaplamalar nispeten düşük doğruluk gerektirdiğinden, merkezi limit teoremini yeterince az sayıda terimle kullanmak mümkündür. Deneyimler, on veya daha az terimin toplamı için dağılım yasasının normal bir yasayla değiştirilebileceğini göstermektedir.
Yukarıda tartışılan büyük sayılar yasası, çok sayıda rastgele değişkenin ortalamasının belirli sabitlere yaklaştığı gerçeğini ortaya koyar ancak bu, rastgele değişkenlerin toplam eyleminin bir sonucu olarak ortaya çıkan modelleri sınırlamaz. Bazı çok genel koşullar altında çok sayıda rastgele değişkenin birleşik eyleminin belirli bir y'ye, yani normal y dağılım yasasına yol açtığı ortaya çıktı.
Merkezi limit teoremi normal bir dağılım yasasının ortaya çıktığı koşulları belirlemeye adanmış bir teoremler grubudur. Bu teoremler arasında en önemli yer Lyapunov teoremine aittir.
Lyapunov'un teoremi. Eğer X ( , X ъ ..., , her birinin matematiksel bir beklentisi vardır M(X g) = A,
dağılım 0(Хд= a 2, üçüncü dereceden mutlak merkezi moment Ve 
o zaman miktarın dağıtım kanunu 
ne zaman n -> ah sınırsız
ancak matematiksel beklenti ve varyansla normale yaklaşır
Teoremi kanıt olmadan kabul ediyoruz.
Toplam dağıtım yasasının sınırsız yaklaşımı 
n için normal yasaya -> oo normal hukukun özelliklerine uygun olarak şu anlama gelir:
burada Ф(r) Laplace fonksiyonudur (2.11).
(6.20) koşulunun anlamı, toplamın şu şekilde olmaması gerektiğidir:
saçılmayı etkileyen terimler Yukarı Diğerlerinin etkisi ile karşılaştırıldığında ezici bir çoğunlukla büyüktür ve etkisi diğerlerinin toplam etkisi ile karşılaştırıldığında çok küçük olan çok sayıda rastgele terim olmamalıdır. Böylece, Her bir terimin özgül ağırlığı, terim sayısı arttıkça sıfıra doğru yönelmelidir.
Yani, örneğin bir apartmanın her dairesinde hane halkı ihtiyaçları için aylık elektrik tüketimi şu şekilde temsil edilebilir: Nçeşitli rastgele değişkenler. Her dairedeki elektrik tüketimi, değeri açısından diğerlerinden keskin bir şekilde öne çıkmıyorsa, Lyapunov teoremine dayanarak tüm evin elektrik tüketiminin, yani. toplam N bağımsız rastgele değişkenler, yaklaşık olarak normal dağılım yasasına sahip bir rastgele değişken olacaktır. Örneğin, evin binalarından birinde bir bilgisayar merkezi bulunuyorsa, elektrik tüketimi seviyesi ev ihtiyaçları için her daireyle kıyaslanamayacak kadar yüksekse, o zaman tüm evin elektrik tüketiminin yaklaşık olarak normal dağılımına ilişkin sonuç (6.20) koşulu ihlal edildiğinden hatalı olacaktır çünkü bilgisayar merkezinin elektrik tüketimi tüm tüketim miktarının oluşumunda baskın rol oynayacaktır.
Başka bir örnek. Makinelerin istikrarlı ve iyi işleyen çalışması, işlenen malzemenin homojenliği vb. Ürün kalitesindeki değişiklik, üretim hatasının çok sayıda rastgele değişkenin toplam eyleminin sonucu olması nedeniyle normal dağılım yasası biçimini alır: makine, alet, işçi vb. hatası.
Sonuçlar. Eğer X ( , X 2 , ..., X n - bağımsız rastgele değişkenler, eşit matematiksel beklentilere sahip olan M(X () = A, dağılım 0(X,) = a 2 ve üçüncünün mutlak merkezi momentleri
daha sonra miktarın dağıtım yasasını sıralayın
en n -> ile süresiz olarak normale yaklaşıyor
kanun.
Kanıt, koşulun (6.20) kontrol edilmesine indirgenir:
dolayısıyla eşitlik (6.21) de geçerlidir. ?
özellikle, tüm rastgele değişkenler X) eşit olarak dağıtılırsa, o zaman toplamlarının dağılım yasası normal yasaya süresiz olarak yaklaşır: n -> oo.
Bu ifadeyi (0, 1) aralığında düzgün bir dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenlerin toplanması örneğiyle açıklayalım. Böyle bir rastgele değişkenin dağılım eğrisi Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.2, A.Şek. 6.2, B bu tür iki rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluğunu gösterir (bkz. örnek 5.9) ve Şekil 2'de. 6.2, V- bu tür üç rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluğu (grafiği (0; 1), (1; 2) ve (2; 3) aralıklarındaki üç parabol bölümünden oluşur ve ancak zaten normal bir eğriye benzemektedir) .
Bu türden altı rastgele değişkeni toplarsanız, pratikte normalden farklı olmayan olasılık yoğunluğuna sahip bir rastgele değişken elde edersiniz.
Şimdi kanıtlama fırsatımız var Moivre'nin yerel ve integral teoremleri - Laplace(bkz. paragraf 2.3).
Rastgele değişkeni düşünün 
- olayın meydana gelme sayısı N her birinde aynı p olasılığıyla ortaya çıkabilen bağımsız denemeler, yani. X = T - matematiksel beklentinin geçerli olduğu binom dağılım yasasına sahip bir rastgele değişken M(X) = pr ve varyans O(X) = pr.
Rastgele değişken 7, tıpkı X rastgele değişkeni gibi, genel olarak konuşursak, ayrıktır, ancak büyük bir sayı için N testleri, değerleri apsis eksenine o kadar yakın yerleştirilmiştir ki, olasılık yoğunluğu ср(х) ile sürekli olarak kabul edilebilir.
Matematiksel beklenti ve dağılım özelliklerini kullanarak rastgele değişken 7'nin sayısal özelliklerini bulalım:
Rastgele değişkenin olması nedeniyle X bağımsız alternatif rastgele değişkenlerin toplamıdır (bkz. paragraf 4.1), rastgele değişken 2 aynı zamanda bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerin toplamını temsil eder ve bu nedenle büyük bir sayı için merkezi limit teoremine dayanır N parametrelerle normal yasaya yakın bir dağılıma sahiptir bir = 0, 2 = 1. Normal yasanın (4.32) özelliğini kullanarak, eşitlikleri (4.33) dikkate alarak şunu elde ederiz:
İnanmak 
, elde ettiklerimizi dikkate alarak,
parantez içindeki çift eşitsizliğin eşitsizliğe eşdeğer olduğu aSonuç olarak formül (6.22)'den şunu elde ederiz: Moivre - Laplace'ın integral formülü (2.10):
Olasılık R t p olay A olacak T her defasında N bağımsız testler yaklaşık olarak şu şekilde yazılabilir:
Daha az Şurada: yaklaşık eşitlik ne kadar doğru olursa olsun. Minimum (tamsayı) - 1. Bu nedenle (6.23) ve (6.22) formüllerini dikkate alarak şunu yazabiliriz:
Nerede 
Küçük Dg için elimizde
burada f(g), parametrelerle birlikte standart normal dağılımlı bir rastgele değişkenin yoğunluğudur bir = 0 ve 2 = 1, yani
Formülden varsayıyorum
(6.25) eşitliği (6.24) dikkate alarak elde ederiz yerel Moivre - Laplace formülü (2.7):
Yorum. İstatistiksel araştırmalarda merkezi limit teoremini uygularken biraz dikkatli olunmalıdır. Yani eğer miktar N -> oo her zaman normal bir yasa vardır
dağılım, o zaman ona yakınsama oranı, terimlerinin dağılım türüne önemli ölçüde bağlıdır. Dolayısıyla, örneğin, yukarıda belirtildiği gibi, düzgün dağılmış rastgele değişkenleri toplarken, zaten 6-10 terimle, normal yasaya yeterli yakınlık elde edilebilirken, x2 dağıtılmış rastgele terimlerin toplamı 100'den fazla olduğunda aynı yakınlığa ulaşmak mümkündür. şartlara ihtiyaç duyulacaktır.
Merkezi limit teoremine dayanarak, Bölüm 2'de ele alınanların olduğu ileri sürülebilir. Dağıtım yasalarına sahip 4 rastgele değişken - binom, Poisson, hipergeometrik, e)(“ki-kare”), B(Öğrenci testi), n -> oo asimptotik olarak normal şekilde dağıtılır.
Merkezi limit teoremi (CLT), dağıtım kanunları arasındaki bağlantıyı kuran ikinci grup limit teoremleridir. rastgele değişkenlerin toplamları ve onun nihai biçimi - normal dağılım kanunu.
Şimdiye kadar çok sayıda testin ortalama özelliklerinin kararlılığından, daha doğrusu form toplamlarının kararlılığından sık sık bahsettik.
Ancak şunu belirtmek gerekir ki değer 
Rastgele, bu da bazı dağıtım kanunlarına sahip olduğu anlamına geliyor. İçeriği bu dikkat çekici gerçeğin oluşturduğu ortaya çıktı
genel adı altında birleştirilen başka bir teorem grubu merkezi sınırteorem Oldukça genel koşullar altında dağıtım kanunu 
normal yasaya yakın.
Değerden beri 
miktardan farklı
sadece sabit bir faktör 
daha sonra genel anlamda CLT'nin içeriği aşağıdaki gibi formüle edilebilir.
Çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin toplamının çok değişkenli dağılım
Genel koşullar normal dağılım yasasına yakındır.
Normal dağılıma sahip rastgele değişkenlerin pratikte (yalnızca olasılık teorisinde değil aynı zamanda çok sayıda uygulamada) yaygın olarak kullanıldığı bilinmektedir. Bu fenomeni ne açıklıyor? Böyle bir "olgu"nun cevabı ilk olarak seçkin Rus matematikçi A.M. tarafından verildi. 1901'de Lyapunov: "Lyapunov'un merkezi limit teoremi." Lyapunov'un cevabı CLT'nin içinde bulunduğu koşullarda yatıyor (aşağıya bakınız).
CLT'nin doğru bir formülasyonunu hazırlamak için kendimize iki soru soralım:
1.
“Toplamın dağıtım kanunu” ifadesinin tam anlamı nedir? 
normal yasaya “yakın” mı?
2. Bu yakınlık hangi koşullar altında geçerlidir?
Bu soruları cevaplamak için sonsuz bir rastgele değişkenler dizisini düşünün: 
R.v dizimizin "kısmi toplamlarını" oluşturalım. 
(23)
Her rastgele değişkenden 
“normalleştirilmiş” rastgele değişkene geçelim
(24)
Biz şunu tespit ettik (bkz. T.8. paragraf 3, eşitlikler (19)) 
.
İlk sorunun cevabı artık limit eşitliğine göre formüle edilebilir.
(25)
,
(
,
yani r.v.'nin dağıtım yasası. 
büyüme ile 
normal yasaya yaklaşır 
. 
yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahip olduğundan, değer şu şekildedir: 
yaklaşık olarak normal dağılıma sahip,
(26)
Birkaç r.v.'nin toplamının olasılığını belirlemek için formül. belirlenen sınırlar dahilinde olacaktır. CPT sıklıkla şu amaçlarla kullanılır: 
Miktarlara uygulanması gereken şartlara ilişkin 
Aşağıdaki değerlendirmeler yapılabilir. 
Farkı göz önünde bulunduralım 
R.v.'nin sapmasını elde ederiz. 
matematiksel beklentisinden. Miktarlara uygulanan koşulların genel anlamı 
bireysel sapmalar mı bu 
toplam sapmaya kıyasla eşit derecede küçük olmalıdır
Limit ilişkisinin geçerli olduğu bu koşulların tam formülasyonu M.A. 1901'de Lyapunov. 
Aşağıdaki gibidir. 
Her bir miktar için 
-
« sayılar sonludur (unutmayın).
bir dağılım r.v var. 
,
üçüncü derecenin merkezi anı" 
Eğer o zaman diziyi söyleyeceğiz
tatmin eder 
Lyapunov'un durumu.
Özellikle, rastgele değişkenlerin toplamında her terimin aynı dağılıma sahip olduğu durumlar için CLT; her şey ve
o zaman Lyapunov koşulu sağlanır
Yani pratikte bu CLT durumu en sık kullanılır. Çünkü matematiksel istatistiklerde r.v.'nin herhangi bir rastgele örneği. “örnekler” aynı popülasyondan alındığı için aynı dağılımlara sahiptir.Bu durumu CLT'nin ayrı bir beyanı olarak formüle edelim.
Teorem 10.7 (CPT).Rastgele değişkenler olsun 
bağımsız, eşit 
dağıtılmış, sınırlı matematiksel beklentiye sahip 
ve varyans
(27)
Bu özel durumda, terimlerin tekdüze "küçüklüğünün" nasıl ortaya çıktığını anlamak iyidir, 
standart normal rastgele değişkenin dağılım fonksiyonuna yönelir: 
Bu özel durumda, terimlerin tekdüze "küçüklüğünün" nasıl ortaya çıktığını anlamak iyidir, 
değer nerede 
siparişi var 
ve değer
emir
dolayısıyla birinci miktarın ikinciye oranı 0'a yönelir.Artık merkezi limit teoremini A.M. şeklinde formüle edebiliriz. Lyapunova. 
Teorem 10.8. (Lyapunova).
(28)
,
Eğer sıra 
bağımsız rastgele değişkenlerin sayısı Lyapunov koşulunu karşılıyorsa limit ilişkisi geçerlidir 
herhangi biri için 
.
Ve 
, sırasında ( 
CPT A.M.'yi kanıtlamak için şunu belirtmek gerekir. Lyapunov, karakteristik fonksiyonlar teorisine dayanan özel bir yöntem geliştirdi. Bu yöntemin matematiğin diğer dallarında çok faydalı olduğu ortaya çıktı (örneğin Borodin kitabındaki CLT'nin ispatına bakın). Bu kitapta fonksiyon üretme ve rasgele değişkenlerin sayısal özelliklerinin hesaplanmasına yönelik bazı uygulamalar hakkında kısa bilgiler vereceğiz.
Ölçüm hatası hakkında kısa bilgi. Aynı nesnenin, aynı ölçüm cihazıyla, aynı özenle (aynı koşullar altında) tekrarlanan ölçümlerinde her zaman aynı sonuçların elde edilemediği bilinmektedir. Ölçüm sonuçlarının dağılması, ölçüm sürecinin dikkate alınması mümkün olmayan veya tavsiye edilmeyen çok sayıda faktörden etkilenmesinden kaynaklanmaktadır. Bu durumda bizi ilgilendiren bir niceliği ölçerken ortaya çıkan hata çoğu zaman her biri toplamın oluşumuna yalnızca küçük bir katkı sağlayan çok sayıda bağımsız terimin toplamı olarak düşünülebilir. Ancak bu gibi durumlar bizi tam olarak Lyapunov teoreminin uygulanabilirliğine götürür ve ölçülen büyüklüğün hatasının dağılımının normal dağılımdan çok az farklı olmasını bekleyebiliriz.
Daha genel olarak hata, her biri beklenen değerinden çok az farklı olan çok sayıda rastgele argümanın bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonu doğrusallaştırarak, yani onu doğrusal bir işlevle değiştirerek tekrar önceki duruma geliyoruz.
Ölçüm sonuçlarının istatistiksel işlenmesinde birikmiş deneyim aslında çoğu pratik durumda bu gerçeği doğrulamaktadır.
Benzer bir akıl yürütme, üretilen bitmiş ürünü (ürün) belirleyen parametrelerin seri üretimde standart değerlerden sapmalarında normal bir dağılım görünümünü açıklamaktadır.
Aşağıdaki örneği düşünün.Örnek 5. 
Bağımsız rastgele değişkenler 
Segmente eşit olarak dağıtılır. R.v.'nin dağıtım yasasını bulun. 
ve bunun olasılığı daÇözüm. 
CPT'nin koşulları karşılanmıştır, bu nedenle r.v.
yaklaşık olarak bir dağıtım yoğunluğuna sahiptir
M.o. için bilinen formüllere göre. ve tekdüze dağılım durumunda varyansı buluruz: O zaman
Uygulamalardaki birçok rastgele değişken, zayıf bağımlı birkaç rastgele faktörün etkisi altında oluştuğundan dağılımları normal kabul edilir. Bu durumda faktörlerden hiçbirinin baskın olmaması koşulunun sağlanması gerekir. Bu durumlarda merkezi limit teoremleri normal dağılımın kullanımını doğrular.
Ansiklopedik YouTube
-
1 / 5
Sonlu beklenti ve varyansa sahip, bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerden oluşan sonsuz bir dizi olsun. İkincisini belirtelim μ (\displaystyle \mu ) Ve σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)), sırasıyla. Ayrıca izin ver
. S n − μ n σ n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))\to N(0,1) ) adresindeki dağıtıma göre,Nerede N (0 , 1) (\displaystyle N(0,1))- sıfır matematiksel beklenti ve standart sapmanın bire eşit olduğu normal dağılım. Birincinin örnek ortalamasını sembolize ederek n (\displaystyle n) miktarlar yani X ¯ n = 1 n ∑ ben = 1 n X ben (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=1)^( n)X_(i)) merkezi limit teoreminin sonucunu şu şekilde yeniden yazabiliriz:
n X ¯ n - μ σ → N (0 , 1) (\displaystyle (\sqrt (n))(\frac ((\bar (X))_(n)-\mu )(\sigma ))\to N(0,1)) dağıtım yoluyla n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).Yakınsama oranı Berry-Esseen eşitsizliği kullanılarak tahmin edilebilir.
Notlar
- Gayri resmi olarak konuşursak, klasik merkezi limit teoremi şunu belirtir: n (\displaystyle n) bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler, şuna yakın bir dağılıma sahiptir: N (n μ , n σ 2) (\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^(2))). Eşdeğer olarak, X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n)) yakın bir dağılıma sahiptir N (μ , σ 2 / n) (\displaystyle N(\mu ,\sigma ^(2)/n)).
- Standart normal dağılımın dağılım fonksiyonu sürekli olduğundan, bu dağılıma yakınsaklık, dağılım fonksiyonlarının standart normal dağılımın dağılım fonksiyonuna noktasal yakınsamasına eşdeğerdir. Koyarak Z n = S n − μ n σ n (\displaystyle Z_(n)=(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n)))), alıyoruz F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R (\displaystyle F_(Z_(n))(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb (R) ), Nerede Φ (x) (\displaystyle \Phi (x))- standart normal dağılımın dağılım fonksiyonu.
- Klasik formülasyondaki merkezi limit teoremi karakteristik fonksiyonlar yöntemiyle (Levi'nin süreklilik teoremi) kanıtlanır.
- Genel olarak konuşursak, dağıtım fonksiyonlarının yakınsaması yoğunlukların yakınsaması anlamına gelmez. Ancak bu klasik durumda durum budur.
Yerel C.P.T.
Klasik formülasyonun varsayımları altında, ek olarak rastgele değişkenlerin dağılımının da olduğunu varsayalım. ( X ben ) ben = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) mutlak olarak süreklidir, yani yoğunluğa sahiptir. O zaman dağılım da kesinlikle süreklidir ve dahası,
f Z n (x) → 1 2 π e - x 2 2 (\displaystyle f_(Z_(n))(x)\to (\frac (1)(\sqrt (2\pi)))\,e^ (-(\frac (x^(2))(2)))) en n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ),Nerede f Z n (x) (\displaystyle f_(Z_(n))(x))- rastgele bir değişkenin yoğunluğu Z n (\displaystyle Z_(n)) ve sağ tarafta standart normal dağılımın yoğunluğu var.
genellemeler
Klasik merkezi limit teoreminin sonucu, tam bağımsızlık ve eşit dağılımdan çok daha genel durumlar için geçerlidir.
C. P. T. Lindeberg
Bağımsız rastgele değişkenlere izin verin X 1 , … , X n , … (\displaystyle X_(1),\ldots ,X_(n),\ldots ) aynı olasılık uzayında tanımlanır ve sonlu beklentilere ve varyanslara sahiptir: E [ X ben ] = μ ben , D [ X ben ] = σ ben 2 (\displaystyle \mathbb (E) =\mu _(i),\;\mathrm (D) =\sigma _(i)^( 2)).
İzin vermek S n = ∑ ben = 1 n X ben (\displaystyle S_(n)=\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)).
Daha sonra E [ S n ] = m n = ∑ ben = 1 n μ ben , D [ S n ] = s n 2 = ∑ ben = 1 n σ ben 2 (\displaystyle \mathbb (E) =m_(n)=\sum \ sınırlar _(i=1)^(n)\mu _(i),\;\mathrm (D) =s_(n)^(2)=\sum \limits _(i=1)^(n)\ sigma_(i)^(2)).
Ve yapılmasına izin ver Lindeberg durumu:
∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ ben = 1 n E [ (X ben − μ ben) 2 s n 2 1 ( | X ben − μ ben | > ε s n ) ] = 0 , (\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _(n\to \infty )\sum \limits _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[(\frac ((X_(i)-\ mu _(i))^(2))(s_(n)^(2)))\,\mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_ (n)\))\sağ]=0,)Nerede 1 ( | X ben - μ ben | > ε s n ) (\displaystyle \mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_(n)\))) fonksiyon - göstergesi.
dağıtım yoluyla n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).Ts. P. T. Lyapunova
C.P.T. Lindeberg'in temel varsayımlarının karşılanmasına izin verin. Rastgele değişkenler olsun ( X ben ) (\displaystyle \(X_(i)\)) sonlu bir üçüncü anımız var. Daha sonra sıra tanımlanır
r n 3 = ∑ ben = 1 n E [ |.X ben – μ ben |
3 ] (\displaystyle r_(n)^(3)=\sum _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[|X_(i)-\mu _(i)|^(3 )\Sağ]) (Sınır ise), lim n → ∞ r n s n = 0 (\displaystyle \lim \limits _(n\to \infty )(\frac (r_(n))(s_(n))))=0) Lyapunov durumu n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).S n - m n s n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n)))\to N(0,1))
dağıtım yoluyla Martingaller için C.P.T. Süreç olsun
(X n) n ∈ N (\displaystyle (X_(n))_(n\in \mathbb (N) ))sınırlı artışlara sahip bir martingale'dir. Özellikle şunu varsayalım:
E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , (\displaystyle \mathbb (E) \left=0,\;n\in \mathbb (N) ,\;X_(0)\eşdeğer 0,) ve artışlar eşit şekilde sınırlıdır, yani. ∃ C > 0 ∀ n ∈ N | Lyapunov durumu n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).