Kenarları olan üçgen MNP MP=6\sqrt(3) ve MN=NP sağ MNPM_(1)N_(1)P_(1) prizmasının tabanında yer alır. K noktası NN_(1) kenarında NK:N_(1)K=3:4 olacak şekilde seçilir. Bu durumda MNP düzlemi ile MKP düzlemi arasındaki açı 60^(\circ) olur.
a) MN ve M_1P_1 düz çizgileri arasındaki mesafenin prizmanın yan kenarına eşit olduğunu kanıtlayın.
b) KP=9 verildiğinde, MN ile M_(1)P_(1) düz çizgileri arasındaki mesafeyi hesaplayın.
Çözümü gösterÇözüm
a) MN doğrusu \left (MNN_(1) \right) , \left (M_(1)P_(1) \right) düzleminde yer alır ve \left (MNN_(1) \right) ile M_(1) noktasında kesişir ) ), o halde, çarpık çizgiler kriterine göre, MN ve M_(1)P_(1) çarpık çizgilerdir.
MNP ve M_(1)N_(1)P_(1) düzlemleri prizmanın tabanları gibi paraleldir. Koşula göre prizma düzdür, bu da her bir yan kenarın tabanlara dik olduğu anlamına gelir, dolayısıyla MN ve M_(1)P_(1) kesişen çizgiler arasındaki mesafedir ve bunun kanıtlanması gerekiyordu.
b) NH\perp MP çizelim, o zaman NH ikizkenar \bigtriangleup MNP'deki yükseklik ve ortancadır. KH ortanca \bigtriangleup MKP'dir. NH, KH'nin \left (MPN \right) ve NH\perp MP üzerine izdüşümüdür. Bu nedenle KH\perp MP (üç dik teoremine göre).
\angle KHN, dihedral açı KMPN'nin doğrusal açısıdır, buradan \angle KHN = 60^(\circ) .
\bigtriangleup KPH ayağında KH=\sqrt(KP^(2)-PH^(2))= \sqrt(81-27)=\sqrt(54)=3\sqrt(6).
Görev C2 #29
Dik prizmanın tabanı ikizkenar üçgendir
Eklendi 22.03.2011 23:17
Durum:
ABCA1B1C1 düz prizmasının tabanında, BC tabanı 3'e eşit olan ABC ikizkenar üçgeni bulunur. Prizmanın yan yüzeyi 32'dir. CB1'den paralel olarak geçen düzlemin prizmasının kesit alanını bulun. AD tabanının yüksekliği. A'dan kesit düzlemine olan mesafe 6/5'tir.Çözüm:
1. Kesit konusunu ele alalım. AD'ye paralel olduğundan düzlemi AD'ye paralel olan ve CB1'in ortasından geçen LK düz çizgisine aittir. LK segmenti AD'ye eşittir ve K, CB1'in orta noktası olduğundan L, AA1'in orta noktasıdır.
2. L, AA1'in orta noktası olduğuna göre LC = LB1, yani CLB1 üçgeni ikizkenardır ve bulmamız gereken alanı CB1*LK/2'ye eşittir.
3. x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1 olsun.
Daha sonra prizmanın yan yüzeyinin alanının 32'ye ve BC = 3'e eşit olduğu koşullardan şunu elde ederiz:
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32 veya
Y*(3+karek(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. A noktasından CLB1 düzlemine olan AH mesafesi, A noktasından CB1'e paralel olan ve L noktasından geçen LM düz çizgisine olan mesafeye eşittir.
LAM, AM = DC = 3/2, AL = y/2 olan bir dik üçgendir.
Onun alanı
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Buradan anlıyoruz
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*karek((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Denklemden. (2)
prizmanın yüksekliğinin y = 4 olduğunu buluyoruz.
6. Denklemden. (1)
y'yi bildiğimizde prizmanın tabanının yüksekliğinin x = 2 olduğunu buluruz.
7. CLB1 üçgeninin alanı
S = x*karek(3^2+y^2)/2 = 2*karek(9+16)/2 = 5
Görev C2 #29
Dik prizmanın tabanı ikizkenar üçgendir
Eklendi 22.03.2011 23:17
Durum:
ABCA1B1C1 düz prizmasının tabanında, BC tabanı 3'e eşit olan ABC ikizkenar üçgeni bulunur. Prizmanın yan yüzeyi 32'dir. CB1'den paralel olarak geçen düzlemin prizmasının kesit alanını bulun. AD tabanının yüksekliği. A'dan kesit düzlemine olan mesafe 6/5'tir.Çözüm:
1. Kesit konusunu ele alalım. AD'ye paralel olduğundan düzlemi AD'ye paralel olan ve CB1'in ortasından geçen LK düz çizgisine aittir. LK segmenti AD'ye eşittir ve K, CB1'in orta noktası olduğundan L, AA1'in orta noktasıdır.
2. L, AA1'in orta noktası olduğuna göre LC = LB1, yani CLB1 üçgeni ikizkenardır ve bulmamız gereken alanı CB1*LK/2'ye eşittir.
3. x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1 olsun.
Daha sonra prizmanın yan yüzeyinin alanının 32'ye ve BC = 3'e eşit olduğu koşullardan şunu elde ederiz:
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32 veya
Y*(3+karek(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. A noktasından CLB1 düzlemine olan AH mesafesi, A noktasından CB1'e paralel olan ve L noktasından geçen LM düz çizgisine olan mesafeye eşittir.
LAM, AM = DC = 3/2, AL = y/2 olan bir dik üçgendir.
Onun alanı
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Buradan anlıyoruz
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*karek((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Denklemden. (2)
prizmanın yüksekliğinin y = 4 olduğunu buluyoruz.
6. Denklemden. (1)
y'yi bildiğimizde prizmanın tabanının yüksekliğinin x = 2 olduğunu buluruz.
7. CLB1 üçgeninin alanı
S = x*karek(3^2+y^2)/2 = 2*karek(9+16)/2 = 5