“Kare ve Dikdörtgen” - Dikdörtgenin alanı. Temel soru. Diğer şekillerin alanlarının ölçülmesi. Bir odanın alanı nasıl bulunur? Alan Dikdörtgenin alanı. Okulumuzda farklı sınıflarda kaç öğrenci eğitim alabiliyor? Uzunluğu (a) genişlikle (b) çarpın. Sorunlu konular. 11.sınıf (16 kişi) hangi sınıflarda eğitim görebilir?
“Toplamın karesi ve farkın karesi” - Pekiştirme: VII. 16 – 36 ve 25 – 45 arasındaki iki farkı ele alalım. Topladığımızda 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4 elde ederiz. - 2 4 + ()? = 5? - 2 5 + ()?, (4 –)? = (5 –)?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Hatayı bulun. İki ifadenin toplamının ve farkının karesi. Öğrenmenin tek yolu eğlenmektir. İleri eğitim kurslarında öğretmenler için ders.
“Dikdörtgen ve Kare” - Bir dikdörtgenin çevresini hesaplayın. Tüm kenarları eşit olan dikdörtgene kare denir. Karenin çevresi şu formülle hesaplanır: P=4a. Karenin çevresi 32 cm'dir. Karenin bir kenarını bulunuz. Bir karenin S'si 81 cm2'ye eşittir. Karenin kenarı nedir? Karşıt tarafları adlandırın? Bir dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına dikdörtgenin çevresi denir.
"İnanılmaz Kareler" - Dört kenarın tamamı aynı uzunluktadır. Peri masalı: Kuşlar: Fil. Muhteşem kare. Yelkenli. Giderken “Size hoş rüyalar diliyorum!” dedi. Ada çok uzaktaydı ve çok küçüktü. Origami karesinin temelleri. Orada tek kelime etmeden durdu... Bu intikamdır! Bot. 5. Ev. Ben daha yaşlıyım, ben bir kareyim. Kağıt peri masalı.
“İki dalganın girişimi” - Açık şeritler - dalgalar birbirini güçlendirdi (maksimum genlik). Tıraş makinesi, yağ filminin yüzey gerilimi sayesinde su üzerinde tutulur. Neden? Thomas Young'ın deneyimi. ABD'nin New Mexico şehrinde bulunan radyo teleskop interferometresi. Sabun filmleri. Aydınlatıcı optik. Farklı renkteki ışık farklı dalga boylarına karşılık gelir.
“Karelerin farkı” - Ders konusu: “Karelerin farkı.” Matematiksel dikte. Örnek 1. Çarpmayı yapın: (3x – 2y)(3x + 2y). “Kareler farkı” ve “kareler farkı” terimlerini karıştırmayın. Kareler farkı. 4) m sayısı ile x ve y sayılarının çift çarpımı arasındaki fark. Hızlı hesaplamalar için kareler farkı formülü kullanılır.
45 şeker, 20 rubleye satın alabileceğiniz aynı miktarda rubleye mal oluyor. 50 rubleye kaç şeker satın alabilirsin?
Cevap: 75 şeker.
Çözüm.İzin vermek X- bir şekerin ruble cinsinden maliyeti. Sonra 45 X= 20/X, Neresi X= 2/3. O zaman 50 ruble için 50/ satın alabilirsiniz X= 75 şeker.
Kriterler.
Denklem 45 doğrudur X= 20/X, ancak çözerken veya daha sonra aritmetik bir hata yapıldı: 5 puan.
Çözüm, bir şekerin fiyatının 2/3 olduğunu belirtir ve bu maliyetin problemin koşullarına uyup uymadığını kontrol eder ve doğru cevabı alır: 4 puan.
Sadece doğru cevap verilir: 1 puan.
Görev 2. (7 puan)
Zhenya, 1'den 10'a kadar olan sayıları dairenin etrafına belirli bir sırayla yerleştirdi ve Dima, sayıların arasındaki her boşluğa bunların toplamını yazdı. Dima'nın yazdığı tüm sayıların farklı çıkması mümkün müydü?
Cevap: O olabilir.
Aşağıda bir sayı yerleştirme örneği gösterilmektedir.
Kriterler. Herhangi bir doğru çözüm: 7 puan.
Yalnızca doğru cevap veya doğru cevap ve yanlış örnek verilir: 0 puan.
Görev 3. (7 puan)
Tablo 8'in bazı hücrelerinde mümkün mü? × 8 tanesini yazın ve geri kalanı sıfırdır, böylece tüm sütunlarda farklı bir miktar olur ve tüm satırlarda aynı olur mu?
Cevap: Olabilmek.
Çözüm. Her satırdaki sayıların toplamı şuna eşit olsun: X. O halde tablodaki tüm sayıların toplamı 8'dir X yani toplam toplam 8'e bölünür. Sütunların 0'dan 8'e kadar birim içerebileceğini unutmayın. 0'dan 8'e kadar olan tüm sayıların toplamı 36'dır. 8'in katını elde etmek için 36'dan 4 çıkarmanız gerekir. Dolayısıyla örneğimizde tam olarak 4 birim içeren bir sütun olmamalıdır.
Aşağıda bir örnek gösterilmektedir (başka örnekler de vardır).
Kriterler. Herhangi bir açıklama olmasa bile her doğru örnek: 7 puan.
Tüm sütunlardaki toplamın sıfır olmaması durumunda örneğin mevcut olmadığı kanıtlanmıştır: 4 puan.
Görev 4. (7 puan)
İki karenin ortak bir köşe noktası vardır. Segmentlerin oranını bulun AB Ve CDşekilde gösterilmiştir.
Cevap:
Çözüm. Bırakın nokta Ö- iki karenin ortak köşesi ve kenarları eşittir A Ve B. Karelerin köşegenleri eşittir Ve sırasıyla. Ayrıca, ∠ MORİNA.= ∠COB+ ∠BOİ= ∠COB+ 45° = ∠COB+ ∠AOC= ∠AOB. üçgenler AOB Ve MORİNA. genel açıları ve bu açıdaki orantılı kenarları benzerdir.
Buradan, AB: CD=
Kriterler. Herhangi bir doğru çözüm: 7 puan.
Oran doğru hesaplanmadı ABİle CD, A CDİle AB(sırasıyla cevap): 7 puan.
Üçgenlerin benzerliği kanıtlandı AOB Ve MORİNA., ancak daha fazla sonuç yok veya gerekli ilişki yanlış bulundu: 6 puan.
Kanıtlanmıştır ki ∠ AOB= ∠MORİNA., ancak daha fazla ilerleme yok: 1 puan.
Yalnızca özel bir durum dikkate alınır (örneğin, karelerin kenarları aynı olduğunda veya iki karenin bazı kenarları arasındaki açı 90° olduğunda): 0 puan.
Yalnızca doğru cevap verilir: 0 puan.
Görev 5. (7 puan)
Sayılar a, b, c Ve Döyle mi A+B= C+d ≠ 0, AC= BD. Kanıtla A+ C= B+ D.
Çözüm. Eğer bir ≠ 0, sonra yerine koy C= b d/a, alıyoruz
Buradan B= C Ve A+ C= B+ D.
Eğer A= 0 ise b ≠ 0 (aksi halde A+ B= 0), dolayısıyla D= 0 (başlangıçtan itibaren) AC= BD). Ama sonra eşitlik A+ B= C+ D olarak yeniden yazıldı B= C gerekli eşitlik buradan gelir.
Başka çözümler de mümkündür.
Kriterler. Herhangi bir doğru çözüm: 7 puan.
Doğru çözüm, formun bir ifadesini dikkate alır bd a(veya benzeri) ancak paydanın sıfıra eşit olması durumu dikkate alınmaz: 5 puan.
Kanıtlanmıştır ki ( A+C) 2 = (B+D) 2 , ancak durum ( A+C) = — (B+ D): 3 puan.
Yalnızca belirli sayısal değerlerin durumu dikkate alınır A, B, C, D: 0 puan.
Görev 6. (7 puan)
Güzergah boyunca 60 adet yol levhası bulunmaktadır. Her birinin üzerinde kalan 59 karaktere olan mesafelerin toplamı yazılır. Tabelaların üzerinde 60 farklı doğal sayının yazılması mümkün mü? (Karakterler arasındaki mesafelerin mutlaka tam sayı olması gerekmez.)
Cevap:İmkansız.
Çözüm.İşaretleri sırasıyla 1'den 60'a kadar numaralandıralım. 30 ve 31 numaralı işaretlerin üzerinde yazan sayıların aynı olduğunu ispatlayalım.
Geriye kalan işaretleri formun çiftlerine bölelim k Ve k+ 31: 1 ve 32, 2 ve 33, . . . , 29 ve 60. Hem 30 hem de 31 burcundan bir çiftin burcuna olan mesafelerin toplamına dikkat edin. k Ve k+ 31 karakterler arasındaki mesafeye eşittir k Ve k+ 31. 30 ve 31 numaralı burçlardaki sayı, 29 çiftin tümünün burçlarına olan mesafelerin ve 30 ve 31 numaralı burçların arasındaki mesafenin toplamına eşit olduğundan, 30 ve 31 numaralı burçlardaki sayılar aynıdır.
Kriterler. Herhangi bir doğru çözüm: 7 puan.
Ortadaki iki sütunda (30. ve 31. sütunlarda) yazılan sayıların eşit olduğu belirtiliyor ancak kanıtlanamıyor: 2 puan.
Özel durumlar örneğini kullanarak kesinlikle eşit sayıların olacağı gösterilmiştir: 0 puan.
Yalnızca doğru cevap verilir: 0 puan.
1. O merkezli bir çemberde, AOB ve COD merkez açıları eşit olacak şekilde iki AB ve CD kirişi çiziliyor. OK ve OL dikmeleri bu akorların üzerine bırakılır. OK ve OL'nin eşit olduğunu kanıtlayın.
2. AC kirişinin O orta noktasından geçen bir dairede, AB ve CD yayları eşit olacak şekilde bir BD kirişi çizilir. O'nun BD kirişinin orta noktası olduğunu kanıtlayın.
3. Merkezi I ve J olan çemberlerin ortak noktaları yoktur. Bu dairelerin iç ortak teğeti, merkezlerini birleştiren doğru parçasını m:n oranında böler. Bu dairelerin çaplarının m:n oranında olduğunu kanıtlayın.
4. Bir ABC dar üçgeninin AA1 ve BB1 yükseklikleri E noktasında kesişir. AA1B1 ve ABB1 açılarının eşit olduğunu kanıtlayın.
5. Geniş açısı ACB olan bir ABC üçgeninde AA1 ve BB1 yükseklikleri çizilmiştir. A1CB1 ve ACB üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın.
6. Merkezi E ve F noktaları olan çemberler C ve D noktalarında kesişir ve E ve F noktaları CD doğrusunun aynı tarafında yer alır. CD ⊥ EF olduğunu kanıtlayın.
7. İki eşkenar üçgenin köşe noktaları ortaktır. Şekilde işaretlenen AB ve CD doğru parçalarının eşit olduğunu kanıtlayın.
8. ABC dar üçgeninde B açısı 60°'dir. A, C noktalarının, ABC üçgeninin çevrel merkezinin ve ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesişme noktasının aynı çember üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.
9. Çember, ∠C = 90° olan ABC üçgeninin AB kenarına ve sırasıyla A ve B noktalarının AC ve BC kenarlarının uzantılarına teğettir. ABC üçgeninin çevresinin bu dairenin çapına eşit olduğunu kanıtlayın.
10. Bir ABC dar üçgeninde A, C noktaları, çevrel merkezi O ve iç çemberin merkezi I aynı çember üzerinde yer alır. ABC açısının 60° olduğunu kanıtlayın.
11. ABCD dörtgeninin etrafında bir dairenin çevrelenebileceği ve bu dörtgenin AD ve BC kenarlarının uzantılarının K noktasında kesiştiği bilinmektedir. KAB ve KCD üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın.
12. Bir üçgenin kenarortayının onu alanları birbirine eşit iki üçgene böldüğünü kanıtlayın.
13. Geniş açısı ACB olan bir ABC üçgeninde AA1 ve BB1 yükseklikleri çizilmiştir. A1CB1 ve ACB üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın.
14. ABCD paralelkenarında BE ve DF dikmeleri AC köşegenine çizilmiştir (şekle bakınız). BFDE'nin paralelkenar olduğunu kanıtlayın.
15. ABCD paralelkenarında E noktası AB kenarının orta noktasıdır. EC=ED olduğu bilinmektedir. Bu paralelkenarın dikdörtgen olduğunu kanıtlayın.
16. İki karenin köşe noktaları ortaktır. Şekilde işaretlenen doğru parçalarının eşit olduğunu kanıtlayınız.
17. Paralelkenarın kenarlarının orta noktaları eşkenar dörtgenin köşeleridir. Bu paralelkenarın dikdörtgen olduğunu kanıtlayın.
18. ABCD paralelkenarında BH ve BE yükseklikleri sırasıyla AD ve CD kenarlarına BH = BE olacak şekilde çizilmiştir. ABCD'nin eşkenar dörtgen olduğunu kanıtlayın.
19. ABCD paralelkenarında AC ve BD köşegenleri K noktasında kesişir. ABCD paralelkenarının alanının AKD üçgeninin alanının dört katı olduğunu kanıtlayın.
20. ABCD paralelkenarının içinde rastgele bir E noktası seçin. BEC ve AED üçgenlerinin alanlarının toplamının paralelkenarın alanının yarısına eşit olduğunu kanıtlayın.
21. ABCD dörtgeninin etrafında bir dairenin çevrelenebileceği ve bu dörtgenin AB ve CD kenarlarının uzantılarının M noktasında kesiştiği bilinmektedir. MBC ve MDA üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın.
22. ABCD yamuğunun BC ve AD tabanları sırasıyla 5 ve 20'dir, BD = 10. CBD ve ADB üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayın.
23. Dışbükey bir ABCD dörtgeninde BCA ve BDA açıları eşittir. ABD ve ACD açılarının da eşit olduğunu kanıtlayın.
24. Tabanları AD ve BC olan bir ABCD yamuğunda köşegenler O noktasında kesişiyor. AOB ve COD üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu kanıtlayın.
©2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfa oluşturulma tarihi: 2017-12-12
Verilen: ∆ABC ve ∆ A1В1С1; AB=___; AC=___; Ð İLE=____=_____.
Kanıtlamak: ∆ABC=_____.
Kanıt:
Açık ( AC) konuyu bir kenara bırak D Bu yüzden CD=AC.. ∆ABC=∆BCD, Çünkü:
1) _____ - ortak taraf;
2) AC.=CD- inşaat yoluyla;
3) Р DIA=_______ => _____ temelinde AB=_____.
Aynı şekilde A1В1С1
________________________________________________________
Şuna sahibiz:
1) AB
2) BD=____, ________________________'den beri;
3) reklam=____, ________________________'den beri;
O halde üçgenlerin üçüncü kriterine göre: ∆ ABD=_____.
Böylece, elimizde ∆ var ABC ve ∆ A1В1С1:
AB=___
AC=___ => ∆_____=∆______.
Ð A=___
Görev 8.
∆ olduğunu biliyorsanız tabloyu doldurun ABC=∆A1В1С1.
Görev 9.
Ek sorunları çözün:
1. Eşit segmentler AB Ve CD her birinin ortasında kesişir. Açıların eşitliğini kanıtlayın ACB Ve DBC. Çizim yapmak.
2. İki kenara dayalı üçgenlerin ve bir köşeden gelen kenarortayların eşitliğini kanıtlayın. Çizim yapmak.
3. Bir kenara göre üçgenlerin eşitliğini, bu kenara çizilen kenarortayı ve kenarortayın oluşturduğu açıları kanıtlayınız. Çizim yapmak.
4. Puanlar A, B, C, D aynı düz çizgi üzerinde uzanır (Şekil 3.7). ∆ ise bunu kanıtlayın OR1=∆OR2, o zaman ∆ CDE1 =∆CDE2 .
5. Eşit üçgenler ABC Ve A1В1С1üstlerden İÇİNDE Ve 1'DE bisektörler çizilir BD Ve B1 D1 . Üçgenlerin eşitliğini kanıtlayın MİA Ve C1 B1 D1 . Çizim yapmak. Sorunu farklı şekillerde çözün. Çözümünüzü yaratıcı bir şekilde çerçeveleyin.
Görev 10.
Aşağıda problem ve beş çözümü (1-5) ile birlikte bir diyagram bulunmaktadır. Her çözümü göz önünde bulundurun (Şekil 3.8). İçlerinde hangi üçgenlerin eşitlik işaretleri kullanılıyor? Çözümlerden biri için bir plan yapın ve onu yaratıcı bir şekilde tasarlayın.
üçgenler ABC VeKÖTÜ eşittir. Onların taraflarıreklam VeM.Ö. bir noktada kesişmek HAKKINDA.Üçgenlerin olduğunu kanıtlayın AOC VeBOİ da eşittir.
Çözüm şeması:
§4. Ek görevler
s1. Pratik içerikle ilgili sorunlar
Birçok pratik ve teorik durumda, üçgenlerin eşitliğinin bilinen işaretlerini kullanmak uygundur.
GÖREV 1. Üçgen pencere camının köşelerinden biri kırıldı. Kırık cam parçasını hayatta kalan kısımdan kesmesi için bir camcıya sipariş vermek mümkün müdür? Hangi ölçümleri almalıyım? Bir pergel ve cetvel kullanarak bu üçgeni oluşturun.
Öğrenciler gruplar halinde çalışırlar. Her grup bir karar hazırlar. Sorunu çözen ilk grup, çözümünü savunuyor.
GÖREV 2. Marangozun üçgen şekilli bir deliği doldurması gerekiyor. Yama yapmak için kaç beden ve hangilerini çıkarması gerekir? Delik şu şekle sahipse neyi ölçmelidir: a) dik üçgen, b) eşkenar üçgen, c) ikizkenar üçgen, d) çeşitkenar üçgen.
Tüm öğrencilere önerilen 4 üçgen türü verilir. Yama yapmak için hangi boyutların kaldırılması gerektiğini sözlü olarak öğrenmek gerekir.
GÖREV 3. Annem iki kızına atkı yapmak için 1 metre genişliğinde 1 metre kumaş aldı. Bu kumaş parçasını iki eşit parçaya bölün, kızlarınızın tartışmamasına dikkat edin (eşarplar eşittir) ve yaptıklarınızın doğruluğunu kanıtlayın.
Bir kumaş parçası şu şekle sahip olursa herhangi bir şey değişir mi:
· Dikdörtgen,
· Paralelkenar.
GÖREV 4.Üç köy B, C, D, C, B köyünün 7 km güneybatısında ve D köyü, V'nin 4 km doğusunda olacak şekilde yerleştirilmiştir. Diğer üç köy A, K, M, K köyü, B köyünün 4 km kuzeyinde yer alacak şekilde yerleştirilmiştir. M ve A köyü M'nin 7 km güneydoğusundadır. Bir çizim yapın ve C ve D noktaları arasındaki mesafenin K ve A noktaları arasındaki mesafeyle aynı olduğunu kanıtlayın.
GÖREV 5. Okul atölyesinde telden uzunlukları 4,7,10,13 cm olan dört çubuk yapılmıştır. Dört çubuktan üçünü uçlarıyla birleştirerek hangi üç çubuğun üçgen oluşturabileceğini ve hangilerinin kullanamayacağını bulun. . Bulgularınızı açıklayın.
p2. GIA metinlerinden üçgenlerin eşitlik işaretlerinin uygulanmasına ilişkin görevler
Görev 1. O merkezli bir çember içine iki eşit AB ve CD kirişi çiziliyor. OK ve OL dik açıları sırasıyla bu akorların üzerine indirilir (Şekil 4.1). OK ve OL'nin eşit olduğunu kanıtlayın.
DIV_ADBLOCK234">
https://pandia.ru/text/80/260/images/image061.png" genişlik = "316" yükseklik = "152">
Görev 4. ABCD yamuğunun AD tabanının orta M'si diğer tabanın uçlarından eşit uzaklıktadır (Şekil 4.4). ABCD yamuğunun ikizkenar olduğunu kanıtlayın.
Görev 5. Paralelkenarın kenarlarının orta noktaları eşkenar dörtgenin köşeleridir (Şekil 4.5). Bu paralelkenarın dikdörtgen olduğunu kanıtlayın.
Görev 6. Paralelkenarın kenarlarının orta noktaları dikdörtgenin köşeleridir (Şekil 4.6). Bu paralelkenarın eşkenar dörtgen olduğunu kanıtlayın.
Görev 7. Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açıların açıortaylarının eşit olduğunu kanıtlayın (Şekil 4.7).
Sorun 8. Zıt açıların açıortayları bir paralelkenarda çizilir (Şekil 4.8). Paralelkenarın içerdiği açıortay parçalarının eşit olduğunu kanıtlayın.