ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Сегодня мы выведем формулу объема наклонной призмы с помощью интеграла.
Вспомним, что такое призма и какая призма называется наклонной?
ПРИЗМА — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани (боковые) — параллелограммы.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, то призма прямая, в противном случае призма называется наклонной.
Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
1) Рассмотрим треугольную наклонную призму ВСЕВ2С2Е2. Объем данной призмы равен V, площадь основания — S, высота — h.
Воспользуемся формулой: объем равен интеграл от 0 до h S от икс дэ икс.
V= , где площадь перпендикулярного оси Ох сечения. Выберем ось Ох, причем точка О — начало координат и лежит в плоскости ВСЕ (нижнее основание наклонной призмы). Направление оси Ох перпендикулярно плоскости ВСЕ. Тогда ось Ох пересечет плоскость в точке h, и проведем плоскость Е1 параллельную основаниям наклонной призмы и перпендикулярную оси Ох. Поскольку плоскости параллельны и боковые грани — это параллелограммы, то ВЕ= , СЕ=С1Е1=С2Е2; ВС=В1С1=В2С2
Откуда следует, что треугольники ВСЕ = E2 равны по трем сторонам. Если треугольники равны, значит, равны их площади. Площадь произвольного сечения S(х) равна площади основания Sосн.
В данном случае площадь основания является постоянной. В качестве пределов интегрирования возьмем 0 и h. Получаем формулу: объем равен интеграл от 0 до h S от икс дэ икс или интеграл от 0 до h площади основания от икс дэ икс, площадь основания - это константа (постоянная величина), мы можем вынести ее за знак интеграла и получится, что интеграл от 0 до h дэ икс равен аш минус 0:
Получается, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
2) Докажем эту формулу для произвольной n- угольной наклонной призмы. Для доказательства возьмем пятиугольную наклонную призму. Выполним разбиения наклонной призмы на несколько треугольных призм, в данном случае — на три (так же, как при доказательстве теоремы об объеме прямой призмы). Обозначим объем наклонной призмы за V. Тогда объем наклонной призмы будет состоять из суммы объемов трех треугольных призм (по свойству объемов).
V=V1+V2+V3, а объем треугольной призмы мы ищем по формуле: объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
Значит, объем наклонной призмы равен сумме произведений площадей основания на высоту, выносим высоту h за скобки (так как она одинаковая у трех призм) и получаем:
Теорема доказана.
Боковое ребро наклонной призмы — 4 см, составляет с плоскостью основания угол 30°.Стороны треугольника, которые лежат в основании, равны 12, 12, и 14 см. Найти объем наклонной призмы.
Дано: — наклонная призма,
АВ = 12 см, ВС = 12 см, АС = 14 см, В = 4 см, BK = 30° .
Найти: V - ?
Дополнительное построение: В наклонной призме проведем высоту Н.
Мы знаем, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
В основании наклонной призмы лежит произвольный треугольник, у которого известны все стороны, значит, применим формулу Герона: площадь треугольника равна квадратному корню из произведения пэ на разность пэ и а, на разность пэ и бэ, на разность пэ и цэ, где пэ — полупериметр треугольника, который ищем по формуле: половина суммы всех сторон а, в и с:
считаем полупериметр:
Подставим значение полупериметра в формулу площади основания, упростим и получим ответ: семь корней из 95.
Рассмотрим ΔB H. Он прямоугольный, так как Н - высота наклонной призмы. Из определения синуса, катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла
значение синус 30° равен одной второй, значит
Мы узнали, что
А высота Н - высота наклонной призмы — равна 2.
Следовательно, объем равен
Наклонная призма – это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию.
Слайд 8 из презентации «Призма 10 класс» . Размер архива с презентацией 194 КБ.Геометрия 10 класс
краткое содержание других презентаций«Векторы геометрия 10 класс» - Ас аn am. Вырази вектор. Сумма векторов. Действия с векторами. Вектор – как направленный отрезок. Векторы в пространстве. CB CM. Геометрия 10 класс. Вектора. Шагаева Анна Борисовна МОУ «Барагашская СОШ».
«Прямая и плоскость» - 10.Если плоскость проходит через данную прямую. Параллельность прямых и плосткостей в пространстве. Прямые. Следствие из аксиомы. Дано:?, А?, В?, а, А а, В а. Доказать: а? Доказательство: Аксиома: имеются 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Параллельность прямой и плоскости. Следствие из теоремы. Свойства параллельных прямых. Плоскости. 30.
«Тригонометрические формулы» - И. Государственное Образовательное Учреждение Лицей №1523 ЮАО г.Москва. По тригонометрическим функциям угла?. ? ? (0; ? / 2). Формулы приведения. Преобразование тригонометрических выражений (вывод тригонометрических формул). ? ? (? / 2; ?). Лекция № 5. I-a. Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс.
«Египетские пирамиды» - Египетские пирамиды являются правильными. Докажите равенство треугольников РОА, РОВ, РОС,РОМ. Изобразите правильную пирамиду РАВСМ. Гипотеза. Цель: научиться определять параметры правильной пирамиды. Автор: Зеленцов Роман 10а класс. Пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии. Пирамида Мейдум. МОУ СОШ с.Становое. 2008 год. Что означает владение математикой? Исследования. Задание.
«Геометрия Правильные многогранники» - Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений. Понятие правильного многогранника. Правильный додекаэдр. Египетские пирамиды. E. Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Соответствие правильных многогранников стихиям. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240. Применение. D. Состоит из четырех равносторонних треугольников. Вода. C. Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов.
«Звездчатые многогранники» - Содержание. Ученицы 10 «А» класса Савчук Веры. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Определение звездчатого многогранника. Отсюда октаэдр имеет и второе название «stella octangula Кеплера». Додекаэдр. Виды звездчатых многогранников. Икосаэдр. Проект