พิจารณานิพจน์ในรูปแบบ ax 2 + bx + c โดยที่ a, b, c เป็นจำนวนจริง และ a แตกต่างจากศูนย์ นิพจน์ทางคณิตศาสตร์นี้เรียกว่าตรีโกณมิติกำลังสอง
จำได้ว่าขวาน 2 เป็นเทอมนำหน้าของตรีโกณมิติกำลังสองนี้ และ a คือสัมประสิทธิ์นำหน้า
แต่ตรีโกณมิติกำลังสองไม่ได้มีทั้งสามพจน์เสมอไป ยกตัวอย่างนิพจน์ 3x 2 + 2x โดยที่ a=3, b=2, c=0
มาดูฟังก์ชันกำลังสองกัน y=ax 2 +in+c โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลขใดๆ ก็ตาม ฟังก์ชันนี้เป็นกำลังสองเนื่องจากมีเทอมของดีกรี 2 นั่นก็คือ x กำลังสอง
การสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองนั้นค่อนข้างง่าย เช่น คุณสามารถใช้วิธีแยกกำลังสองสมบูรณ์ได้
ลองพิจารณาตัวอย่างการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y เท่ากับ -3x 2 - 6x + 1
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สิ่งแรกที่เราจำได้คือรูปแบบสำหรับการแยกกำลังสองสมบูรณ์ในรูปตรีโกณมิติ -3x 2 - 6x + 1
ลองเอา -3 ออกจากวงเล็บสำหรับสองเทอมแรกกัน เรามี -3 คูณผลรวม x กำลังสองบวก 2x แล้วบวก 1 เมื่อบวกและลบหนึ่งในวงเล็บ เราจะได้สูตรผลรวมกำลังสองซึ่งสามารถยุบได้ เราได้ -3 คูณด้วยผลรวม (x+1) กำลังสอง ลบ 1 บวก 1 เมื่อเปิดวงเล็บแล้วบวกพจน์ที่คล้ายกัน เราจะได้นิพจน์: -3 คูณด้วยกำลังสองของผลรวม (x+1) บวก 4
เรามาสร้างกราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์โดยการย้ายไปยังระบบพิกัดเสริมที่มีจุดกำเนิด ณ จุดที่มีพิกัด (-1; 4)
ในรูปจากวิดีโอ ระบบนี้จะแสดงด้วยเส้นประ ให้เราเชื่อมโยงฟังก์ชัน y เท่ากับ -3x2 กับระบบพิกัดที่สร้างขึ้น เพื่อความสะดวกเรามายึดจุดควบคุมกัน ตัวอย่างเช่น (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12) ในเวลาเดียวกัน เราจะแยกพวกมันออกจากระบบพิกัดที่สร้างขึ้น พาราโบลาที่ได้รับระหว่างการก่อสร้างคือกราฟที่เราต้องการ ในภาพคือพาราโบลาสีแดง
เมื่อใช้วิธีการแยกกำลังสองสมบูรณ์ เรามีฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบ: y = a*(x+1) 2 + m
กราฟของพาราโบลา y = ax 2 + bx + c สามารถหาได้ง่ายจากพาราโบลา y = ax 2 โดยการแปลแบบขนาน สิ่งนี้ได้รับการยืนยันโดยทฤษฎีบทที่สามารถพิสูจน์ได้โดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ของทวินาม นิพจน์ ax 2 + bx + c หลังจากการแปลงต่อเนื่องกันจะกลายเป็นนิพจน์ในรูปแบบ: a*(x+l) 2 + m มาวาดกราฟกัน ลองทำการเคลื่อนที่แบบขนานของพาราโบลา y = ax 2 โดยจัดตำแหน่งจุดยอดกับจุดด้วยพิกัด (-l; m) สิ่งสำคัญคือ x = -l ซึ่งหมายถึง -b/2a ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงนี้คือแกนของพาราโบลา ax 2 + bx + c จุดยอดของมันอยู่ที่จุดที่มี abscissa x ศูนย์เท่ากับลบ b หารด้วย 2a และพิกัดคำนวณโดยใช้สูตรยุ่งยาก 4ac - b 2 /. แต่คุณไม่จำเป็นต้องจำสูตรนี้ เนื่องจากเมื่อแทนค่า Abscissa ลงในฟังก์ชัน เราก็จะได้พิกัด
ในการหาสมการของแกน ทิศทางของกิ่งก้าน และพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
ลองใช้ฟังก์ชัน y = -3x 2 - 6x + 1 เมื่อเขียนสมการแกนของพาราโบลาแล้ว จะได้ x = -1 และค่านี้คือพิกัด x ของจุดยอดของพาราโบลา สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหาการบวช เมื่อแทนค่า -1 ลงในฟังก์ชัน เราจะได้ 4 จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุด (-1; 4)
กราฟของฟังก์ชัน y = -3x 2 - 6x + 1 ได้มาจากการถ่ายโอนกราฟของฟังก์ชัน y = -3x 2 แบบขนาน ซึ่งหมายความว่ากราฟดังกล่าวมีพฤติกรรมคล้ายกัน ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นลบ ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ลง
เราจะเห็นว่าสำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = ax 2 + bx + c คำถามที่ง่ายที่สุดคือคำถามสุดท้าย นั่นคือ ทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา ถ้าสัมประสิทธิ์ a เป็นบวก กิ่งก้านก็จะสูงขึ้น และถ้าเป็นลบ กิ่งก้านก็จะห้อยลง
คำถามที่ยากรองลงมาคือคำถามแรก เนื่องจากต้องมีการคำนวณเพิ่มเติม
และอันที่สองนั้นยากที่สุดเนื่องจากนอกเหนือจากการคำนวณแล้วคุณยังต้องมีความรู้เกี่ยวกับสูตรโดยที่ x เป็นศูนย์และ y เป็นศูนย์
มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 - x + 1 กันดีกว่า
เราทราบได้ทันทีว่ากราฟเป็นรูปพาราโบลา กิ่งก้านชี้ขึ้น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นำคือ 2 และนี่คือจำนวนบวก จากการใช้สูตร เราพบว่า Abscissa x เป็นศูนย์ ซึ่งเท่ากับ 1.5 ในการค้นหาพิกัด โปรดจำไว้ว่า y 0 เท่ากับฟังก์ชัน 1.5 เมื่อคำนวณ เราจะได้ -3.5
สูงสุด - (1.5;-3.5) แกน - x=1.5 ลองหาคะแนน x=0 และ x=3 กัน ย=1. มาทำเครื่องหมายประเด็นเหล่านี้กัน จากจุดที่ทราบสามจุด เราสร้างกราฟที่ต้องการ
ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชัน ax 2 + bx + c คุณต้อง:
หาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาแล้วทำเครื่องหมายไว้ในรูป จากนั้นจึงวาดแกนของพาราโบลา
บนแกนโอ้ ให้หาจุดสองจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกนของพาราโบลา ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้และทำเครื่องหมายไว้บนระนาบพิกัด
สร้างพาราโบลาผ่านจุดสามจุด หากจำเป็น คุณสามารถเพิ่มจุดอีกสองสามจุดแล้วสร้างกราฟตามจุดเหล่านั้นได้
ในตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน -2x 2 + 8x - 5 บนเซ็กเมนต์
ตามอัลกอริทึม: a=-2, b=8 ซึ่งหมายความว่า x ศูนย์คือ 2 และ y ศูนย์คือ 3 (2;3) คือจุดยอดของพาราโบลา และ x=2 คือแกน
ลองใช้ค่า x=0 และ x=4 แล้วค้นหาพิกัดของจุดเหล่านี้ นี่คือ -5 เราสร้างพาราโบลาและพิจารณาว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ -5 ที่ x=0 และค่าที่ใหญ่ที่สุดคือ 3 ที่ x=2
มีการศึกษาบทเรียนในหัวข้อ “ฟังก์ชัน y=ax^2 กราฟและคุณสมบัติของมัน” ในหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในระบบบทเรียนในหัวข้อ “ฟังก์ชัน” บทเรียนนี้ต้องมีการเตรียมการอย่างรอบคอบ กล่าวคือวิธีการสอนดังกล่าวจะให้ผลดีอย่างแท้จริง
ผู้เขียนบทเรียนวิดีโอนี้จะช่วยครูเตรียมตัวสำหรับบทเรียนในหัวข้อนี้อย่างแน่นอน เขาพัฒนาวิดีโอสอนโดยคำนึงถึงข้อกำหนดทั้งหมด เนื้อหาจะถูกเลือกตามอายุของนักเรียน มันไม่ได้โอเวอร์โหลด แต่ค่อนข้างกว้างขวาง ผู้เขียนอธิบายเนื้อหาโดยละเอียดโดยเน้นประเด็นที่สำคัญกว่า ประเด็นทางทฤษฎีแต่ละประเด็นมีตัวอย่างเพื่อให้การรับรู้สื่อการศึกษามีประสิทธิภาพและมีคุณภาพดีขึ้นมาก
ครูสามารถใช้บทเรียนในบทเรียนพีชคณิตปกติในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เป็นขั้นตอนหนึ่งของบทเรียน - คำอธิบายเนื้อหาใหม่ ครูจะไม่ต้องพูดหรือบอกอะไรในช่วงเวลานี้ สิ่งที่เขาต้องทำคือเปิดบทเรียนวิดีโอนี้และให้แน่ใจว่านักเรียนตั้งใจฟังและบันทึกประเด็นสำคัญ
เด็กนักเรียนยังสามารถใช้บทเรียนนี้เมื่อเตรียมบทเรียนอย่างอิสระรวมถึงการศึกษาด้วยตนเอง
ระยะเวลาบทเรียนคือ 8:17 นาที ในตอนต้นของบทเรียน ผู้เขียนตั้งข้อสังเกตว่าฟังก์ชันที่สำคัญอย่างหนึ่งคือฟังก์ชันกำลังสอง จากนั้นฟังก์ชันกำลังสองก็ถูกนำมาใช้จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความของมันได้รับพร้อมกับคำอธิบาย
จากนั้น ผู้เขียนแนะนำให้นักเรียนรู้จักขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันกำลังสอง สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องจะปรากฏบนหน้าจอ หลังจากนั้น ผู้เขียนจะพิจารณาตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสองในสถานการณ์จริง โดยจะพิจารณาปัญหาทางกายภาพเป็นพื้นฐาน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเส้นทางขึ้นอยู่กับเวลาอย่างไรในระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ
หลังจากนี้ ผู้เขียนพิจารณาฟังก์ชัน y=3x^2 ตารางค่าของฟังก์ชันนี้และฟังก์ชัน y=x^2 จะปรากฏบนหน้าจอ ตามข้อมูลในตารางเหล่านี้ กราฟฟังก์ชันจะถูกสร้างขึ้น ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายที่ปรากฏในกรอบของวิธีการรับกราฟของฟังก์ชัน y=3x^2 จาก y=x^2
เมื่อพิจารณากรณีพิเศษสองกรณี ตัวอย่างของฟังก์ชัน y=ax^2 ผู้เขียนมาถึงกฎว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟ y=x^2 อย่างไร
ต่อไปเราจะพิจารณาฟังก์ชัน y=ax^2 โดยที่ a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.
แล้วผลที่ตามมาก็มาจากคุณสมบัติ มีสี่คน แนวคิดใหม่ปรากฏขึ้นในหมู่พวกเขา - จุดยอดของพาราโบลา ต่อไปนี้เป็นข้อสังเกตที่ระบุว่าการแปลงใดบ้างที่เป็นไปได้สำหรับกราฟของฟังก์ชันนี้ หลังจากนี้ เราจะพูดถึงวิธีการหากราฟของฟังก์ชัน y=-f(x) จากกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และ y=af(x) จาก y=f(x) .
นี่เป็นการสรุปบทเรียนที่มีสื่อการเรียนรู้ ยังคงรวมเข้าด้วยกันโดยเลือกงานที่เหมาะสมขึ้นอยู่กับความสามารถของนักเรียน
ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ งานเกี่ยวกับคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสองทำให้เกิดปัญหาร้ายแรง นี่ค่อนข้างแปลกเพราะพวกเขาศึกษาฟังก์ชันกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จากนั้นตลอดไตรมาสแรกของชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 พวกเขา "ทรมาน" คุณสมบัติของพาราโบลาและสร้างกราฟสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ
นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเมื่อบังคับให้นักเรียนสร้างพาราโบลาพวกเขาไม่ได้อุทิศเวลาในการ "อ่าน" กราฟนั่นคือพวกเขาไม่ได้ฝึกทำความเข้าใจข้อมูลที่ได้รับจากรูปภาพ เห็นได้ชัดว่าสันนิษฐานว่าหลังจากสร้างกราฟหนึ่งหรือสองกราฟแล้ว นักเรียนที่ฉลาดจะค้นพบและกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรและลักษณะของกราฟ ในทางปฏิบัติสิ่งนี้ไม่ได้ผล สำหรับภาพรวมดังกล่าวจำเป็นต้องมีประสบการณ์ที่จริงจังในการวิจัยขนาดเล็กทางคณิตศาสตร์ซึ่งแน่นอนว่านักเรียนเกรดเก้าส่วนใหญ่ไม่มี ในขณะเดียวกันผู้ตรวจการของรัฐเสนอให้กำหนดสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์โดยใช้ตาราง
เราจะไม่เรียกร้องสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จากเด็กนักเรียนและจะเสนออัลกอริธึมหนึ่งในการแก้ปัญหาดังกล่าว
ดังนั้นฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y = ขวาน 2 + bx + cเรียกว่าสมการกำลังสอง กราฟของมันคือพาราโบลา ตามชื่อหมายถึงคำหลักคือ ขวาน 2- นั่นคือ กไม่ควรเท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือ ( ขและ กับ) สามารถเท่ากับศูนย์ได้
เรามาดูกันว่าสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลต่อรูปลักษณ์ของพาราโบลาอย่างไร
การพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ที่ง่ายที่สุด ก- เด็กนักเรียนส่วนใหญ่ตอบอย่างมั่นใจ:“ ถ้า ก> 0 แล้วกิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และถ้า ก < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ก > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
ในกรณีนี้ ก = 0,5
และตอนนี้สำหรับ ก < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
ในกรณีนี้ ก = - 0,5
ผลกระทบของสัมประสิทธิ์ กับนอกจากนี้ยังง่ายต่อการติดตาม สมมติว่าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์= 0 แทนศูนย์ลงในสูตร:
ย = ก 0 2 + ข 0 + ค = ค- ปรากฎว่า ย = ค- นั่นคือ กับคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y โดยปกติแล้ว จุดนี้จะหาได้ง่ายบนกราฟ และพิจารณาว่าอยู่เหนือศูนย์หรือต่ำกว่า นั่นคือ กับ> 0 หรือ กับ < 0.
กับ > 0:
y = x 2 + 4x + 3
กับ < 0
y = x 2 + 4x - 3
ตามนั้น ถ้า กับ= 0 ดังนั้นพาราโบลาจะต้องผ่านจุดกำเนิด:
y = x 2 + 4x
ยากขึ้นด้วยพารามิเตอร์ ข- จุดที่เราจะพบนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเท่านั้น ขแต่ยังมาจาก ก- นี่คือยอดพาราโบลา Abscissa ของมัน (พิกัดแกน เอ็กซ์) พบได้จากสูตร x ใน = - b/(2a)- ดังนั้น, b = - 2ax นิ้ว- นั่นคือเราดำเนินการดังนี้: เราค้นหาจุดยอดของพาราโบลาบนกราฟ กำหนดเครื่องหมายของ abscissa นั่นคือเรามองไปทางขวาของศูนย์ ( x เข้า> 0) หรือไปทางซ้าย ( x เข้า < 0) она лежит.
อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ใช่ทั้งหมด เราต้องใส่ใจกับสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ด้วย ก- นั่นคือ ดูว่ากิ่งก้านของพาราโบลาหันไปทางไหน และหลังจากนั้นตามสูตรเท่านั้น b = - 2ax นิ้วกำหนดสัญญาณ ข.
ลองดูตัวอย่าง:
กิ่งก้านชี้ขึ้นซึ่งหมายความว่า ก> 0 พาราโบลาตัดแกน ที่ต่ำกว่าศูนย์นั่นคือ กับ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x เข้า> 0. ดังนั้น b = - 2ax นิ้ว = -++ = -. ข < 0. Окончательно имеем: ก > 0, ข < 0, กับ < 0.
การนำเสนอ “ฟังก์ชัน y=ax 2 กราฟและคุณสมบัติของมัน” เป็นสื่อช่วยด้านภาพที่สร้างขึ้นเพื่อประกอบคำอธิบายของครูในหัวข้อนี้ การนำเสนอนี้จะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง คุณสมบัติของฟังก์ชัน คุณลักษณะของการพล็อต และการประยุกต์ใช้วิธีการต่างๆ ที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ในทางปฏิบัติ
เนื้อหานี้จะช่วยให้ครูเพิ่มประสิทธิภาพการสอนและให้โอกาสในการแบ่งเวลาในบทเรียนอย่างมีเหตุผลมากขึ้น โดยให้ความชัดเจนในระดับสูง ด้วยความช่วยเหลือของเอฟเฟกต์แอนิเมชั่น การเน้นแนวคิดและจุดสำคัญด้านสี ความสนใจของนักเรียนจะมุ่งเน้นไปที่วิชาที่กำลังศึกษา และการจดจำคำจำกัดความและแนวทางการให้เหตุผลที่ดีขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาได้สำเร็จ
การนำเสนอเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อการนำเสนอและแนวคิดของฟังก์ชันกำลังสอง เน้นความสำคัญของหัวข้อนี้ นักเรียนจะถูกขอให้จำนิยามของฟังก์ชันกำลังสองว่าเป็นการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันของรูปแบบ y=ax 2 +bx+c ซึ่งเป็นตัวแปรอิสระและเป็นตัวเลข โดยมี a≠0 แยกกันในสไลด์ที่ 4 มีการบันทึกไว้สำหรับการจดจำว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือแกนทั้งหมดของค่าจริง ตามอัตภาพ ข้อความนี้เขียนแทนด้วย D(x)=R
ตัวอย่างของฟังก์ชันกำลังสองคือการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในวิชาฟิสิกส์ ซึ่งเป็นสูตรสำหรับการพึ่งพาเส้นทางระหว่างการเคลื่อนที่ตรงเวลาด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ในเวลาเดียวกัน ในบทเรียนฟิสิกส์ นักเรียนจะต้องศึกษาสูตรสำหรับการเคลื่อนที่ประเภทต่างๆ ดังนั้นนักเรียนจึงจำเป็นต้องมีความสามารถในการแก้ปัญหาดังกล่าว ในสไลด์ที่ 5 นักเรียนจะได้รับการเตือนว่าเมื่อร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร่งและเมื่อเริ่มต้นของเวลา นับระยะทางที่เดินทางและความเร็วของการเคลื่อนไหว จากนั้นการพึ่งพาการทำงานที่แสดงถึงการเคลื่อนไหวดังกล่าวจะแสดงโดยสูตร S = (ที่ 2)/2+วี 0 t+S 0 . ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของการเปลี่ยนสูตรนี้เป็นฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดหากค่าความเร่ง = 8, ความเร็วเริ่มต้น = 3 และเส้นทางเริ่มต้น = 18 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ S=4t 2 +3t+18
สไลด์ 6 ตรวจสอบรูปแบบของฟังก์ชันกำลังสอง y=ax 2 ซึ่งแสดงไว้ที่ ถ้า =1 ฟังก์ชันกำลังสองจะมีรูปแบบ y=x 2 สังเกตได้ว่ากราฟของฟังก์ชันนี้จะเป็นพาราโบลา
ส่วนถัดไปของการนำเสนอเป็นเรื่องเกี่ยวกับการวางแผนฟังก์ชันกำลังสอง เสนอให้พิจารณาพล็อตฟังก์ชัน y=3x 2 ขั้นแรกตารางระบุความสอดคล้องระหว่างค่าฟังก์ชันและค่าอาร์กิวเมนต์ มีข้อสังเกตว่าความแตกต่างระหว่างกราฟที่สร้างขึ้นของฟังก์ชัน y=3x 2 และกราฟของฟังก์ชัน y=x 2 ก็คือ แต่ละค่าจะมากกว่าค่าที่สอดคล้องกันสามเท่า ความแตกต่างนี้ได้รับการติดตามอย่างดีในมุมมองตาราง บริเวณใกล้เคียง ในการแสดงภาพกราฟิก จะมองเห็นความแตกต่างในการลดแคบของพาราโบลาได้ชัดเจนเช่นกัน
สไลด์ถัดไปจะดูการพล็อตฟังก์ชันกำลังสอง y=1/3 x 2 ในการสร้างกราฟคุณต้องระบุค่าของฟังก์ชันตามจำนวนจุดในตาราง สังเกตว่าแต่ละค่าของฟังก์ชัน y=1/3 x 2 น้อยกว่าค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน y=x 2 ถึง 3 เท่า ความแตกต่างนี้นอกเหนือจากตารางแล้วยังมองเห็นได้ชัดเจนในกราฟ พาราโบลาของมันถูกขยายเมื่อเทียบกับแกนพิกัดมากกว่าพาราโบลาของฟังก์ชัน y=x 2
ตัวอย่างช่วยให้เข้าใจกฎทั่วไป ซึ่งคุณสามารถสร้างกราฟที่เกี่ยวข้องได้ง่ายและรวดเร็วยิ่งขึ้น ในสไลด์ที่ 9 มีการเน้นกฎแยกต่างหากว่าสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y=ax 2 ได้ ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์โดยการยืดหรือทำให้กราฟแคบลง ถ้า a>1 กราฟจะขยายจากแกน x ไปเป็นปัจจัย ถ้า 0 ข้อสรุปเกี่ยวกับความสมมาตรของกราฟของฟังก์ชัน y=ax 2 และ y=-ax2 (ที่ ≠0) สัมพันธ์กับแกน Abscissa จะถูกเน้นแยกกันบนสไลด์ 12 เพื่อการท่องจำ และแสดงไว้อย่างชัดเจนบนกราฟที่เกี่ยวข้อง ต่อไป แนวคิดของกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y=x 2 ขยายไปสู่กรณีทั่วไปของฟังก์ชัน y=ax 2 โดยระบุว่ากราฟดังกล่าวจะเรียกว่าพาราโบลาด้วย สไลด์ 14 กล่าวถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง y=ax 2 เมื่อเป็นบวก สังเกตว่ากราฟของมันตัดผ่านจุดกำเนิด และจุดทั้งหมดยกเว้นอยู่ในระนาบครึ่งบน มีการบันทึกความสมมาตรของกราฟที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดโดยระบุว่าค่าตรงข้ามของอาร์กิวเมนต์นั้นสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันเดียวกัน ระบุว่าช่วงการลดลงของฟังก์ชันนี้คือ (-∞;0) และฟังก์ชันเพิ่มขึ้นจะดำเนินการตามช่วงเวลา ค่าของฟังก์ชันนี้ครอบคลุมส่วนที่เป็นบวกทั้งหมดของแกนจริง นั่นคือ เท่ากับศูนย์ที่จุด และไม่มีค่ามากที่สุด สไลด์ 15 อธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชัน y=ax 2 หากเป็นค่าลบ สังเกตว่ากราฟของมันก็ผ่านจุดกำเนิดเช่นกัน แต่จุดทั้งหมดของมัน ยกเว้น อยู่ในระนาบครึ่งล่าง กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนและค่าตรงข้ามของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่เท่ากันของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาและลดลงตาม ค่าของฟังก์ชันนี้อยู่ในช่วงเวลา ซึ่งเท่ากับศูนย์ ณ จุดหนึ่ง และไม่มีค่าต่ำสุด เมื่อสรุปคุณลักษณะที่พิจารณาแล้ว ในสไลด์ที่ 16 จะได้ข้อสรุปว่ากิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลงและขึ้นไปที่ พาราโบลามีความสมมาตรรอบแกน และจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดตัดกับแกน จุดยอดของพาราโบลา y=ax 2 คือจุดกำเนิด นอกจากนี้ ข้อสรุปที่สำคัญเกี่ยวกับการแปลงพาราโบลายังแสดงอยู่ในสไลด์ที่ 17 โดยนำเสนอตัวเลือกสำหรับการแปลงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง สังเกตว่ากราฟของฟังก์ชัน y=ax 2 ถูกแปลงโดยการแสดงกราฟสัมพันธ์กับแกนแบบสมมาตร นอกจากนี้ยังสามารถบีบอัดหรือยืดกราฟที่สัมพันธ์กับแกนได้อีกด้วย สไลด์สุดท้ายสรุปข้อสรุปทั่วไปเกี่ยวกับการแปลงกราฟของฟังก์ชัน ข้อสรุปจะนำเสนอว่ากราฟของฟังก์ชันได้มาจากการแปลงแบบสมมาตรรอบแกน และกราฟของฟังก์ชันจะได้มาจากการบีบอัดหรือยืดกราฟเดิมออกจากแกน ในกรณีนี้จะสังเกตการยืดแรงดึงจากแกนในกรณีที่เมื่อใด โดยการบีบอัดแกน 1/a ครั้ง กราฟจะถูกสร้างขึ้นในกรณี ครูสามารถใช้การนำเสนอ “ฟังก์ชัน y=ax 2, กราฟและคุณสมบัติของมัน” เป็นตัวช่วยในการมองเห็นในบทเรียนพีชคณิต นอกจากนี้คู่มือเล่มนี้ยังครอบคลุมหัวข้อต่างๆ เป็นอย่างดี ทำให้มีความเข้าใจเนื้อหาในเชิงลึก จึงสามารถเสนอให้นักศึกษาสามารถศึกษาด้วยตนเองได้ เนื้อหานี้จะช่วยให้ครูอธิบายระหว่างการเรียนทางไกลด้วย
