กาลิเลโอ กาลิเลอีเขียนไว้ในหนังสือ Discourses and Mathematical Proofs เมื่อปี 1638 ว่าโซ่ที่ห้อยอยู่บนตะปูสองตัวจะมีรูปทรงพาราโบลา เขามั่นใจในสิ่งนี้และบางทีนั่นอาจเป็นเหตุผลว่าทำไมเขาถึงไม่ "ไปถึงจุดต่ำสุด" ของความจริงและไม่ได้ค้นพบเส้นโค้งใหม่ - เส้นลูกโซ่ เส้นโค้งนี้อธิบายไว้ใน 50 ปีต่อมาโดย Huygens, Leibniz และ Jacob Bernoulli พวกเขาเป็นคนแรกที่ได้สูตรของเส้นโค้งและตรวจสอบคุณสมบัติของมัน

รูปที่ 1 แสดงเส้นโค้งสามเส้น

เมื่อมองแวบแรก สิ่งเหล่านี้คือเส้นโค้งที่แตกต่างกัน รูปร่างต่างกัน ในความเป็นจริงนี่คือเส้นโค้งเดียวกัน - เส้นลูกโซ่และถ้าคุณเพิ่มขนาดของเส้นที่สอง 2 เท่าและเส้นที่สาม 4 เท่าจากนั้นเมื่อซ้อนทับบนเส้นแรกเส้นโค้งทั้งหมดจะรวมกันเป็นเส้นเดียว

ในเว็บไซต์วิทยาศาสตร์ยอดนิยมที่รู้จักกันดี "Mathematical Etudes" ภาพร่าง "Chain Line" พูดถึงเส้นโค้งนี้: "หากคุณเลือกพารามิเตอร์ในสมการในทางใดทางหนึ่ง จุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจะกลิ้งโดยไม่เลื่อนไปตามส่วนโค้งของ สายโซ่จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงพอดี!” เป็นที่ชัดเจนว่าต้องบรรลุเป้าหมายใด แต่จะทำอย่างไรวลีนี้หากไม่เงียบ ๆ อย่างน้อยก็ไม่ได้เสนอวิธีที่มีเหตุผลที่สุด “การเลือกในทางใดทางหนึ่ง” นี้คืออะไร? สมมุติว่าพวกเขาหยิบมันขึ้นมา แล้วไงต่อ? แก้สมการและเขียนเส้นโค้งใช่ไหม? และถ้าขนาดของวงล้อเปลี่ยนไปให้เลือกแก้ไขและสร้างอีกครั้ง? หรือบางทีคำเหล่านี้อาจหมายถึง "สาระสำคัญของวิธีการไม่เปิดเผยความรู้"?

ฉันเสนอวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้:

1. การใช้สูตร Y=a chX/a เราสร้างเส้นลูกโซ่ด้วยพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง เช่น เท่ากับ 10 มม. (รูปที่ 2)
2. ที่ระยะห่างจากจุดยอดเท่ากับ a(√2-1) เราจะวาดคอร์ดแนวนอน ให้เราวัดความยาวของส่วนโค้งที่คอร์ดรองรับ มันควรจะเท่ากับ 2a;
3. ลองคัดลอกเส้นโค้งที่สร้างขึ้นเป็นส่วนใหม่ ตัดส่วนที่ขยายออกไปเกินส่วนนั้นออกแล้วหมุน 180° ส่วนนี้จะเป็นส่วนหนึ่งของ "ถนน" สำหรับล้อสี่เหลี่ยม
4. มาสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 2a กัน
5. โดยการกลิ้งสี่เหลี่ยมไปตามส่วนของเส้นโซ่เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวตั้งของจุดศูนย์กลาง

หากทราบขนาดของล้อสี่เหลี่ยมล่วงหน้าเราจะปรับขนาดแบบร่างตามสัดส่วนที่ต้องการ แต่เราจะบันทึกกราฟที่สร้างขึ้นของเส้นลูกโซ่และจะใช้เพิ่มเติมเพื่อจุดประสงค์ที่คล้ายกัน ไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟเส้นด้วยพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน เนื่องจากเส้นโซ่เป็นเส้นโค้งที่มีรูปร่างมั่นคง

อย่างไรก็ตาม เส้นโค้งที่แสดงในรูปที่ 2 สร้างขึ้นโดยใช้เพียง 69 จุด และถึงแม้จะมีสิ่งนี้ แต่ก็มีความแม่นยำที่ดี: ส่วนโค้งที่ตัดโดยคอร์ดมีขนาด 19.9999634224 มม. โดยมีขนาดที่คำนวณได้ 20 มม.

แล้วรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ล่ะ? สำหรับหินทั้งหมด (ยกเว้นรูปสามเหลี่ยม) คุณสามารถสร้าง "หินปู" ของคุณเองจากส่วนของเส้นโซ่ ซึ่งหินเหล่านี้จะกลิ้งไปโดยไม่มีจุดศูนย์กลางสั่น ขั้นตอนการก่อสร้างแตกต่างจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กน้อย: ใช้เส้นลูกโซ่ที่สร้างไว้ก่อนหน้านี้ด้วย (รูปที่ 2) แต่ตำแหน่งของคอร์ดจะถูกกำหนดโดยแทนเจนต์กับเส้นโค้ง (สำหรับรูปหกเหลี่ยมเช่นที่มุมของ 30 และ -30 องศา) และขนาดของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมจะถูกกำหนดโดยการวัดส่วนโค้ง นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่ามีเพียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้นที่มีการพึ่งพา: ด้านเท่ากับสองเท่าของพารามิเตอร์ของโซ่

นอกจากนี้ยังน่าสนใจที่จะเห็นว่าเส้นโค้งอื่นๆ จะแสดงเป็น "หินปู" สำหรับล้อสี่เหลี่ยมอย่างไร สิ่งที่ได้รับการทดสอบ ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรีแคสสินี และวงรีหลายวงที่มีรูปร่างมั่นคง ตามที่คาดไว้ ไม่มีสิ่งที่ "เหมาะ" อีกต่อไป ผลการก่อสร้างและการคำนวณปฏิสัมพันธ์ของล้อสี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง 400 มม. โดยมีเส้นโค้งบางส่วนสรุปไว้ในตารางที่ 1

ตารางที่ 1

อย่างที่คุณเห็น เส้นโค้งวงกลมและพาราโบลาที่รู้จักกันดีนั้นด้อยกว่าเพทายและไซโคลนที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก หรือจะมีมากกว่านั้น... และสายโซ่... - ไร้คู่แข่ง!

การแนะนำ

ฉันเลือกหัวข้อต่อไปนี้เป็นหัวข้องานวิจัยของฉัน: "Chain Line"เส้นโซ่โค้งนั้นน่าสนใจมากในการศึกษา แต่การค้นหาวรรณกรรมที่อุทิศให้กับมันไม่ใช่เรื่องง่ายนัก

นักวิทยาศาสตร์ศึกษาบรรทัดนี้มาเป็นเวลานานมาก อย่างไรก็ตาม แม้ในสมัยของเรา มันยังถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาหลายอย่าง ไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟิสิกส์ สถาปัตยกรรม และสาขาวิชาอื่น ๆ อีกมากมายด้วย ในความคิดของฉัน หัวข้อนี้น่าสนใจและมีความเกี่ยวข้อง

นักวิทยาศาสตร์เช่น Galileo Galilei, Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernouli และคนอื่นๆ ศึกษาสายโซ่

วัตถุประสงค์ของงานวิจัยนี้ เป็นคำอธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของสายโซ่

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้จึงมีการกำหนดสิ่งต่อไปนี้:งาน:

1. วิเคราะห์วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และการศึกษาในหัวข้อวิจัยเพื่อเน้นแนวคิดและข้อความหลัก

2. จัดระบบและสรุปเนื้อหาในหัวข้อวิจัยเพื่อระบุกลุ่มคุณสมบัติของสายโซ่

3. พิสูจน์ข้อความที่จำเป็นในหัวข้อวิจัย

4. สร้างการเชื่อมโยงระหว่างหัวข้อวิจัยกับหลักสูตรเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

5. พัฒนาการนำเสนอด้วยคอมพิวเตอร์ในหัวข้อ “Chain line”

วิธีการวิจัยหลัก กลายเป็นการวิเคราะห์เชิงทฤษฎี

วรรณกรรมในการศึกษา;

ความสำคัญในทางปฏิบัติ ถูกกำหนดโดยความเป็นไปได้ที่จะใช้ผลการวิจัยนี้ในกระบวนการศึกษาภายในสาขาวิชา "เรขาคณิต" และ "เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์"

1.ข้อมูลทางประวัติศาสตร์

ในหนังสือของกาลิเลโอเรื่อง “Conversations and Mathematical Proofs...” ซึ่งตีพิมพ์เป็นครั้งแรกเป็นภาษาอิตาลีในเมืองไลเดนของเนเธอร์แลนด์ในปี 1638 มีการเสนอวิธีการสร้างพาราโบลาดังต่อไปนี้: “ให้เราตอกตะปูสองตัวเข้ากับผนังที่บริเวณ ความสูงเท่ากันเหนือขอบฟ้าและอยู่ห่างจากกันเพื่อให้เท่ากับสองเท่าของความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ต้องการสร้างกึ่งพาราโบลา ระหว่างตะปูตัวหนึ่งกับอีกตัวหนึ่งเราจะแขวนโซ่บาง ๆ ไว้ซึ่งจะห้อยลงมาและมีความยาวจนจุดต่ำสุดอยู่ห่างจากระดับตะปูในระยะห่างเท่ากับความสูงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โซ่ที่ห้อยอยู่นี้จะถูกจัดเรียงเป็นรูปพาราโบลา (รูปที่ 1) เพื่อว่าด้วยการทำเครื่องหมายบนผนังด้วยเส้นประเราจะได้พาราโบลาที่ผ่าครึ่งโดยตั้งฉากผ่านตรงกลาง เส้นเชื่อมตะปูทั้งสองข้าง”

รูปที่ 1
วิธีนี้ง่ายและชัดเจนแต่ไม่ถูกต้อง กาลิเลโอเองก็เข้าใจสิ่งนี้ ที่จริงแล้ว หากคุณสร้างพาราโบลาตามกฎทั้งหมด ก็จะมีช่องว่างระหว่างพาราโบลากับห่วงโซ่
เพียงครึ่งศตวรรษหลังจากการตีพิมพ์หนังสือของกาลิเลโอ เจค็อบคนโตในบรรดาพี่น้องนักคณิตศาสตร์สองคน เบอร์นูลลี จาค็อบก็ค้นพบสูตรที่แน่นอนสำหรับห่วงโซ่ที่หย่อนคล้อยตามทฤษฎีเท่านั้น เขาใช้เวลาในการสื่อสารวิธีแก้ปัญหาของเขาและท้าทายนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ แนวทางแก้ไขที่ถูกต้องได้รับการเผยแพร่ในปีถัดมา ค.ศ. 1691 Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz และ Johann Bernoulli น้องชายของ Jacob ในการแก้ปัญหาพวกเขาทั้งหมดใช้กฎของกลศาสตร์ประการแรกและประการที่สองเครื่องมืออันทรงพลังของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นเมื่อเร็ว ๆ นี้นั่นคืออนุพันธ์และอินทิกรัล
ฮอยเกนส์เรียกว่าเส้นโค้งซึ่งมีโซ่แขวนอยู่ที่ปลายทั้งสองข้างซึ่งอยู่ในแนวลูกโซ่
เนื่องจากโซ่มีความยาวต่างกัน และปลายของโซ่สามารถแขวนไว้ในระยะห่างที่ต่างกัน - บางครั้งก็ใกล้กว่าหรือไกลกว่านั้น - ดังนั้นจึงไม่มีเพียงสายโซ่เดียว แต่มีสายโซ่หลายเส้น แต่พวกมันทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน เช่น วงกลมใดๆ ก็มีความคล้ายคลึงกัน

2. แนวคิดของเส้นโซ่และสมการ

คำจำกัดความ 1. สายโซ่ เรียกว่าเส้นโค้งแบน ซึ่งมีรูปร่างสอดคล้องกับด้ายหนักที่ไม่สามารถยืดออกได้และมีความยืดหยุ่นสม่ำเสมอ ซึ่งยึดอยู่ที่ปลายทั้งสองข้างและความหย่อนคล้อยภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง
เส้นโซ่มีรูปร่างเหมือนพาราโบลา

เรื่องนี้คิดมานานแล้ว ต้นศตวรรษที่ 17กาลิเลโอ กาลิเลอีแสดงความสงสัยว่าโซ่ห้อยนั้นแท้จริงแล้วเป็นรูปพาราโบลา อย่างไรก็ตาม มีการพิสูจน์อย่างเข้มงวดและข้อสรุปที่แม่นยำเพียงครึ่งศตวรรษต่อมาหลังจากนั้นไอแซกนิวตันก็อทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซพัฒนารากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

แนวทางแก้ไขปัญหาโซ่อุปทานได้รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1691คริสเตียน ฮอยเกนส์, ก็อทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซและโยฮันน์ เบอร์นูลลี.

ด้านล่างนี้เราจะดูที่มาของสมการ catenary และความแปรผันบางส่วน

ให้ด้ายที่มีความหนาสม่ำเสมอถูกแขวนไว้ที่จุดต่างๆเอ, บี ซึ่งสามารถมีความสูงต่างกันได้ (รูปที่ 1.2)

ให้เราพิจารณาความสมดุลขององค์ประกอบขนาดเล็กตามอำเภอใจของเธรดที่มีความยาวΔ ส .

องค์ประกอบนี้ถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงแบบกระจาย, โดยที่ความหนาแน่นรวมของวัสดุด้ายคือความเร่งของแรงโน้มถ่วงก − พื้นที่หน้าตัดของด้ายและแรงดึงต ( x ) และต ( x+ Δ x ), ตามลำดับในจุดx และ (x+ Δ x ).

สภาวะสมดุลสำหรับองค์ประกอบความยาวที่เลือกΔ ส ในการฉายภาพบนแกนวัว และเฮ้ย ถูกเขียนในรูปแบบ:

.

จากสมการแรกจะเห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบแนวนอนของแรงดึงต ( x ) มีค่าคงที่เสมอ:

เมื่อเปลี่ยนเป็นดิฟเฟอเรนเชียลในสมการที่สอง เราสามารถเขียนมันได้ในรูปแบบ:

.

เพราะว่าแล้วเราก็ได้

หรือ.

ให้เราคำนึงด้วยว่าสมการสมดุลจึงเขียนในรูปแบบอนุพันธ์เป็น

องค์ประกอบความยาว Δส สามารถแสดงได้ด้วยสูตร

เป็นผลให้เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์โซ่ตรวน:

หรือ.

สมการนี้ช่วยให้สามารถลดลำดับได้ กำหนดแล้วย" = ซ เรามานำเสนอในรูปแบบของสมการอันดับหนึ่ง:

สมการสุดท้ายแก้ได้โดยวิธีแยกตัวแปร

ตรงนี้เราเขียนแทนด้วย 1/ก .
เส้นสัมผัสกันของเส้นโซ่ที่จุดด้านล่างขนานกับแกนวัว - เพราะฉะนั้น,

จากที่นี่เรากำหนดค่าคงที่ค 1 :

ดังนั้นเราจึงได้สมการดังต่อไปนี้:

ลองคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยนิพจน์คอนจูเกตดู

เราได้รับ:

เมื่อบวกกับสมการก่อนหน้า เราจะพบนิพจน์สำหรับซี = ย" :

เรารวมเข้าด้วยกันอีกครั้งและได้รับการแสดงออกที่สวยงามขั้นสุดท้ายสำหรับรูปร่างของโซ่:

ดังนั้นจึงอธิบายสายโซ่โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก . รูปร่างของมันถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์โดยเฉพาะซึ่งการพึ่งพาจะแสดงในรูปที่ 1.3

รูปที่.1.3

3. คุณสมบัติของสายโซ่

1. ความยาวส่วนโค้ง(ภาคผนวก 1)ของเส้นลูกโซ่จากจุดยอดไปยังจุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับเส้นโครงของพิกัดของจุดนี้ไปยังเส้นสัมผัสกันที่วาด ณ จุดนี้

การพิสูจน์:

1.ความยาวสเส้นอาร์กเชนที่วัดจากจุดยอด A เท่ากับเส้นโครงมม' กำหนดRM บนแทนเจนต์มท .( ข้าว.3)

2. ส==มม'= ((1) หรือส = ก.

3.ด้วยการอุปสมบทRM=ย อัตราส่วนการเชื่อมต่อส่วนโค้ง 4. ส่วนหลังตามมาจากสมการโซ่และ (1) และ

อ่านง่ายจากรูปสามเหลี่ยมRM'M , ที่ไหนPM = ย , มม' = ส และRM' = ก (ตามคุณสมบัติหลักของผืนดิน)

2. รัศมีความโค้ง(ภาคผนวก 1)ที่จุดใดก็ได้บนเส้นลูกโซ่เท่ากับความยาวของเส้นปกติที่จุดนั้น

การพิสูจน์:

1. รัศมีความโค้งเอ็มเค = ร สายโซ่เท่ากับส่วนนพ. ความปกติจากจุดหนึ่งม ถึงอาจารย์ใหญ่เอ็กซ์'เอ็กซ์ และแสดงออกมาเป็นสูตร

ร=เอ็มดี=

หรือร = ก.

3. หากเส้นโซ่ม้วนเป็นเส้นตรง จุดศูนย์กลางของความโค้งที่สัมพันธ์กับจุดที่สัมผัสจะเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา

การพิสูจน์:

1. การกำหนดพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นลูกโซ่, พิกัดทั้งสองและแกนแอบซิสซาเราจะได้:

4. พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นลูกโซ่ สองพิกัดและแกน x เป็นสัดส่วนกับความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน

การพิสูจน์:

1. พื้นที่ส"สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง"โอแอมป์ ( โอเอ = ก - จุดยอดพิกัดRM - จบการบวชม ส่วนโค้งส = ) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านก , ส ดังนั้น

ส = เป็น = .

5. ผลรวมของความโค้งของเส้นลูกโซ่ ณ จุดที่เส้นสัมผัสกันตั้งฉากกันคือค่าคงที่ของเส้นลูกโซ่แต่ละเส้น

การพิสูจน์:

1. ให้เป็นจุดของเส้นลูกโซ่ ซึ่งเส้นสัมผัสกันตั้งฉากกัน เราได้หาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแล้ว

2.เนื่องจากความตั้งฉากของแทนเจนต์ (2)

แต่ตามส== มม ′= (= ก= ,

โดยที่ความยาวของส่วนโค้งวัดจากด้านบนของเส้นโซ่ถึงจุด เมื่อเราแทนที่นิพจน์เหล่านี้ด้วยความเท่าเทียมกัน (2) เราจะได้

หรือ,

จากนั้นขึ้นอยู่กับร = ก จะมี.

6. ฟิล์มสบู่ที่ขึงไว้บนวงแหวนสองวงจะเกิดเป็นรูปเป็นร่าง - พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของสายโซ่

4. การศึกษาเส้น catenary ที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์โดยใช้วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เส้นใดๆ ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์จะถูกพิจารณาในปริภูมิ โดยสามารถกำหนดสมการเวกเตอร์ได้จากอาร์กิวเมนต์สเกลาร์หนึ่งตัว ซึ่งเป็นสมการโดยนัยของแบบฟอร์มเอฟ ( x , ย )=0, จุดตัดของพื้นผิวทั้งสอง สมการเชิงขั้ว

วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ช่วยให้คุณตรวจสอบเส้นสำหรับ:

การกำหนดองค์ประกอบที่มาพร้อมกับเส้นของรูปสามเหลี่ยม

การกำหนดความโค้งและแรงบิด

การเขียนสมการธรรมชาติของเส้นตรง

การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้น

สะดวกกว่าในการใช้วิธีการเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์กับสมการพาราเมตริก ซึ่งเป็นเส้นที่ต่อจากสมการเวกเตอร์โดยตรงจากอาร์กิวเมนต์สเกลาร์ตัวเดียว

มาศึกษาเส้นโซ่โดยใช้วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์กัน

สำหรับสิ่งนี้:

จากสมการโดยนัยเราจะไปยังสมการพาราเมตริก

กำหนดพารามิเตอร์

3) ค้นหาเวกเตอร์พื้นฐานที่มาพร้อมกับตรีโกณมิติของเส้นโค้ง

4) เขียนสมการองค์ประกอบของสามเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมที่มาพร้อมกับเส้นโค้ง:

สมการแทนเจนต์

สมการปกติ

สมการไบนอร์มอล

สมการของระนาบการสั่น

สมการระนาบปกติ

สมการของระนาบที่แก้ไขได้

5) ค้นหาความโค้งและแรงบิดของเส้นโซ่ ณ จุดใดก็ได้

6) เขียนสมการของเส้นโซ่ในพาราเมทริเซชันตามธรรมชาติ

ดังนั้นสมการของเส้นโซ่จึงมีรูปแบบ

สมการพาราเมตริกของเส้นโซ่

เส้นอยู่ในเครื่องบินเอ็กซ์โอวาย , z =0 .

1. เรามาพิจารณาว่าการกำหนดพารามิเตอร์ประเภทใด: เป็นธรรมชาติหรือโดยพลการ

ลองหาอนุพันธ์เทียบกับที :

.

2. ลองหาเวกเตอร์ของอนุพันธ์ตัวแรก ตัวที่สอง และตัวที่สาม

3. เรามาค้นหาเวกเตอร์พื้นฐานของตรีโกณมิติที่มาคู่กัน:

เวกเตอร์แทนเจนต์หน่วย

เวกเตอร์หน่วยของชีวปกติ

เวกเตอร์ปกติหลักของหน่วย

4. มาเขียนสมการขององค์ประกอบของตรีเฮดรอนที่มาคู่กัน:

ก) สมการแทนเจนต์ (ภาคผนวก 1) กับเส้นโซ่ที่จุดใดก็ได้มีรูปแบบ:

ข) สมการของเส้นปกติหลัก (ภาคผนวก 1) กับเส้นโซ่ที่จุดใดก็ได้มีรูปแบบ:

ค) สมการไบนอร์มัล (ภาคผนวก 1) กับเส้นลูกโซ่ที่จุดใดก็ได้มีรูปแบบ:

จ)สมการของระนาบการสั่น:

เพราะz =0 , เครื่องบินอ็อกซี่ - ติดต่อเครื่องบิน

ฉ) สมการของระนาบตั้งฉาก (ภาคผนวก 1)

ก) สมการของระนาบการยืด:

5. มาหาความโค้งกันเค (ภาคผนวก 1) และแรงบิด (ภาคผนวก 1):

6. ลองเขียนสมการของเส้นโซ่ด้วยพาราเมทริเซชันตามธรรมชาติ:

ดังนั้น ผลการศึกษาคุณสมบัติของเส้นโซ่โดยวิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ทำให้สามารถพิสูจน์คุณสมบัติของเส้นโซ่ในลักษณะเส้นแบนดังต่อไปนี้ได้

ทฤษฎีบท 1 ระนาบการสั่นของเส้นแบนเกิดขึ้นพร้อมกับระนาบของเส้น (ดูสมการของระนาบการสั่นของสายโซ่ข้อ 4(จ)).

ทฤษฎีบท 2 เส้นปกติหลักของเส้นระนาบจะอยู่ที่ระนาบของเส้นนั้น (ดูสมการปกติหลักของสายโซ่ข้อ 4(ข)).

ทฤษฎีบท 3 แรงบิดของเส้นแบนทุกจุดเป็นศูนย์ (ดูแรงบิดของเส้น catenary จุดที่ 5)

ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทสนทนากับทฤษฎีบทที่ 3

ทฤษฎีบท 4 - ถ้าทุกจุดของเส้นเรียบมีแรงบิดเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นนั้นแบน

การพิสูจน์:

1. ให้ที่แต่ละจุดของเส้น γ ที่กำหนดโดยสมการ, แรงบิดของมันเท่ากับศูนย์

2. จากสูตร Frenet สุดท้ายจะตามมาว่า ที่ไหน ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรส . จากนั้นจากตัวตน จากที่นี่ หรือในพิกัด: , ที่ไหน, – พิกัด.

3. ดังนั้น จุดทั้งหมด γ จึงอยู่ในระนาบที่กำหนดโดยสมการ ซึ่งหมายความว่า γ เป็นเส้นแบน

ความคิดเห็น สำหรับเส้นแบนที่เรามีx = 0 ดังนั้นสูตรของ Frenet จึงอยู่ในรูปแบบ:

ผลการศึกษาคุณสมบัติของสายโซ่สามารถแสดงผลเป็นรูปวาดได้

อ็อกซี่ เครื่องบินสั่น

เครื่องบินปกติ

ระนาบยืด

5. การสมัคร

ประตูสู่ทิศตะวันตก

ไม่มีใครรู้ว่าใครก่อนเกาดีพยายามสร้างแบบจำลองกลับหัวของอาคารในอนาคตด้วยการแขวนตุ้มน้ำหนักไว้บนเส้นด้าย แต่สถาปนิกสมัยใหม่บางคนก็ใช้วิธีนี้ บนชายฝั่งของเมืองมีซุ้มโค้งสูง 630 ฟุตอันน่าทึ่ง ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของจุดเปลี่ยนในประวัติศาสตร์และภูมิศาสตร์ของอเมริกา ครั้งหนึ่งเซนต์หลุยส์เชื่อมโยงดินแดนที่มีประชากรค่อนข้างหนาแน่นทางตะวันออกของแม่น้ำมิสซิสซิปปี้กับป่าอันกว้างใหญ่อันกว้างใหญ่ของตะวันตก

ซุ้มประตูนี้ออกแบบโดยสถาปนิกที่มีชื่อเสียงที่สุดคนหนึ่งในสหรัฐอเมริกา ในความร่วมมือกับนักคณิตศาสตร์และวิศวกร Hannskarl Bandel ( , พ.ศ. 2468–2536) ในแง่หนึ่ง ชะตากรรมของพวกเขาคล้ายกัน ทั้ง Saarinen และ Bandel เกิดนอกอเมริกา - เป็นคนแรกครั้งที่สองเข้า - จากนั้นทั้งสองก็ข้ามมหาสมุทร คนแรกไปเรียนหนังสือในปี พ.ศ. 2477 และครั้งที่สองหลังสงครามเพื่อหางานทำ ที่นี่พวกเขาแต่ละคนพบโชคของเขา และทั้งคู่ก็พบกัน

ตามการกระตุ้นเตือนของบันเดล ซาริเนนเลือกรูปทรงของเส้นโซ่สำหรับส่วนโค้งของเขา ซึ่งมีความสูงเท่ากับความกว้างที่ฐาน มันดูสวยงามแม้ว่าการออกแบบจะค่อนข้างขัดกับสัญชาตญาณก็ตาม ท้ายที่สุดแล้วโซ่ที่ถูกปล่อยไว้กับตัวเองมีแนวโน้มที่จะครอบครองตำแหน่งในอวกาศนั่นเอง มีน้อยมาก กล่าวคือ จุดศูนย์ถ่วงต่ำมาก เมื่อพลิกกลับ จุดศูนย์ถ่วงต่ำจะกลายเป็นสูงและพลังงานขั้นต่ำจะกลายเป็นสูงสุด

ความขัดแย้งที่นี่ชัดเจน งานของสถาปนิกไม่ได้อยู่ที่การบรรลุพลังงานขั้นต่ำของโครงสร้างเลย - จำเป็นต้องมีความยั่งยืน และถึงแม้ว่าพลังงานศักย์ขั้นต่ำจะสอดคล้องกับตำแหน่งสมดุลที่มั่นคง แต่ตำแหน่งนี้ไม่ได้เป็นเพียงตำแหน่งเดียว ตำแหน่งสมดุลอีกตำแหน่งหนึ่งสอดคล้องกับพลังงานศักย์สูงสุด ซึ่งเป็นสิ่งที่เราสังเกตเห็นเมื่อกลับเส้นโซ่ เช่นเดียวกับเมื่อสรุปวิธีที่Gaudíใช้

สาเหตุของความสมดุลสามารถประเมินได้โดยการวิเคราะห์ไม่ใช่พลังงาน แต่เป็นการกระจายของแรง ดังที่คุณทราบ หากคุณจัดการเพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับกองกำลัง ภาพจะมีรายละเอียดและชัดเจนมากกว่าภาพที่ได้จากการศึกษาพลังงานเพียงอย่างเดียวเสมอ ในห่วงโซ่แขวนลอย แรงสามแรงกระทำต่อแต่ละจุดเชื่อมต่อ: แรงโน้มถ่วงและพลังของการเสียรูปยืดหยุ่นจากเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดทั้งสอง ความสมดุลเกิดขึ้นได้เมื่อผลรวมของแรงทั้งสามเป็นศูนย์

ความคล่องตัวของโซ่ช่วยให้มั่นใจได้ว่าแรงยืดหยุ่นที่ปลายของแต่ละข้อต่อจะยืดออกเท่านั้น กล่าวคือ พวกมันจะหันไปในแนวสัมผัสกับเส้นเสมอ

แน่นอนว่าจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงหากคุณแขวนส่วนโค้งที่มั่นคงที่มีรูปร่างเหมือนกันแทนโซ่: ความเค้นที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงจะถูกกระจายไปในลักษณะที่แรงจะกระทำเป็นรูปสัมผัสเสมอ

พวกเขาจะยืดส่วนโค้งออก แต่จะไม่พยายามหักมันไปไหน ถ้าเราพลิกโค้งตอนนี้ก็แทบจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงอีกเลย แรงตึงจะถูกแทนที่ด้วยแรงอัด แต่จะกระทำที่แต่ละจุดของส่วนโค้งในแนวสัมผัสเท่านั้น หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน โหลดบนหน้าตัดที่วาดที่จุดใดก็ได้ของส่วนโค้งจะตั้งฉากกับระนาบส่วน ข้อสรุปนี้ดูแปลกเป็นพิเศษสำหรับจุดสูงสุด: พื้นที่หน้าตัดตรงนั้นเป็นแนวตั้ง และแรงที่กระทำต่อจุดนั้นจะตั้งฉากกับแรงโน้มถ่วง

แต่ละจุดเชื่อมต่อในโซ่จะได้รับผลกระทบจากแรงสามประการ: แรงตึงจากเพื่อนบ้านและแรงโน้มถ่วง เมื่อลดขนาดลิงค์

แรงโน้มถ่วงมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่แรงดึงไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ พวกมันจะขนานกัน

มีรูปร่างคล้ายเส้นลูกโซ่ เป็นที่น่าสังเกตว่าโซ่ใกล้กับ กว่าจะเป็นสายโซ่ เนื่องจากช่วงสะพานมีน้ำหนักมากกว่าโซ่มาก

บทสรุป

เป้าหมายหลักของงานคือเป้าหมายศึกษาคุณสมบัติของสายโซ่

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จึงได้ดำเนินการดังต่อไปนี้:วิเคราะห์วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และการศึกษาและเน้นแนวคิดและข้อความพื้นฐาน มีการเน้นกลุ่มคุณสมบัติ ทฤษฎีบทและข้อความในหัวข้อการวิจัยได้รับการพิสูจน์แล้ว ศึกษาคุณสมบัติของเส้นโซ่โดยใช้วิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เมื่อสรุปผลการทำงานแล้วสามารถสังเกตได้ว่าบรรลุเป้าหมายและได้ดำเนินการงานในย่อหน้าที่เกี่ยวข้องของงานแล้ว

เนื้อหาที่นำเสนอในงานนี้สามารถใช้ได้ทั้งนักเรียนในกระบวนการศึกษาภายใต้กรอบสาขาวิชา “เรขาคณิต” และ “เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์” ตลอดจนโดยเด็กนักเรียนในกระบวนการศึกษาภายใต้กรอบวิชาเลือกวิชาคณิตศาสตร์

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

Vygodsky M.Ya. คู่มือคณิตศาสตร์ชั้นสูง§517 อ.:AST: แอสเทล, 2549.

กาลิเลโอ กาลิเลโอ. การสนทนาและการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับวิทยาศาสตร์สาขาใหม่สองสาขาที่เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์และการเคลื่อนไหวในท้องถิ่นของ Signor G. Galilei Linceo นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์คนแรกของแกรนด์ดุ๊กผู้เงียบสงบที่สุดแห่งทัสคานี พร้อมแอพพลิเคชั่นเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุต่างๆ – ล.: Gostekhizd., 1934. หน้า. 273-274.

Markushevich A.I. "เส้นโค้งมหัศจรรย์" อ.: Nauka, 1978.p.91

ลูสเตอร์นิค พี.เอ. เส้นที่สั้นที่สุด ปัญหาการเปลี่ยนแปลง ซีรีส์ “การบรรยายยอดนิยมด้านคณิตศาสตร์” ฉบับที่ 19, §19 ม.-ล.: Gostekhizd. 1955.

เมอร์คิน ดี.อาร์. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับกลไกของเส้นใยยืดหยุ่น อ.: วิทยาศาสตร์. 1980. น. 135.

ซาเวลอฟ เอ.เอ. เส้นโค้งแบน อ.: วรรณกรรม Gosizdfiz-mat. 1960. 213-216.

Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. การบรรยายเรื่องเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ อ.: โลโก้, 2552.

Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. โทโพโลยีเบื้องต้น เอสพีจียู, 2550.

Golovanov N.N., Ilyutko D.P., Nosovsky G.V., Fomenko A.T. เรขาคณิตคอมพิวเตอร์ อ.: ศูนย์สำนักพิมพ์ "Academy", 2549

ภาคผนวก 1

คำจำกัดความ 1. สายโซ่ เรียกว่า เส้นโค้งแบนซึ่งมีรูปร่างสอดคล้องกับด้ายหนักที่ไม่สามารถยืดออกได้และมีความยืดหยุ่นสม่ำเสมอ แก้ไขที่ปลายทั้งสองข้างและความหย่อนคล้อยภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง

คำจำกัดความ 2 . แทนเจนต์เรียกว่า ผ่านจุดบนเส้นโค้งและประจวบกับจุดนี้จนถึงลำดับที่หนึ่ง, (เป็นลักษณะตัวเลขของความยาวของเส้นโค้งนี้ ในอดีตการคำนวณความยาวของเส้นโค้งเรียกว่า ยืดผมคดเคี้ยว หากความยาวของเส้นโค้งมีอยู่จริงและมีจำนวนจำกัด เส้นโค้งนั้นก็จะเรียกว่าเป็นแก้ไขได้, มิฉะนั้น -ไม่สามารถแก้ไขได้- มีการระบุความยาวของส่วนโค้งส.

คำนิยาม 7 ความโค้ง - กำหนดลักษณะของเส้นโค้ง (พื้นผิว) ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดที่กำหนดจากเส้นสัมผัสกัน (ระนาบแทนเจนต์) ความโค้งหมายถึงวัตถุที่มีลักษณะทั่วไปมากกว่า มีการระบุความโค้ง

คำจำกัดความ 8 แรงบิด ความโค้งที่สอง การวัดความเบี่ยงเบนของเส้นโค้งเชิงพื้นที่จาก มีการระบุแรงบิด

คำนิยาม 9 . มันเรียกว่าชีวปกติ ปกติ เส้นโค้งในอวกาศตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งหลัก ปกติ .

คำนิยาม 10. ระนาบที่ผ่านเส้นแทนเจนต์และค่าปกติที่จุดที่กำหนดบนเส้นโค้งเรียกว่า สัมผัสเครื่องบิน ณ จุดนี้.

คำนิยาม 11. เครื่องบินปกติ ไปยังเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด - ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกันที่ลากผ่านจุดเดียวกัน

คำนิยาม 12 . ระนาบยืด ระนาบที่ผ่านแทนเจนต์และไบนอร์มัล ณ จุดที่กำหนดม เส้นโค้งเชิงพื้นที่

เส้นโซ่เป็นเส้นโค้งเหนือธรรมชาติรูปร่างซึ่งอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงด้วยด้าย (โซ่) ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ยืดหยุ่น และยืดไม่ได้และหนักซึ่งมีปลายคงที่ (ดูรูปที่ 10)

เพื่อให้ได้สมการของเส้นโซ่ เราจะเลือกองค์ประกอบที่มีขนาดเล็กที่สุดของเกลียวจากจุด A (x, y) ไปยังจุด B (x+dx, y+dy) และพิจารณาระบบแรงที่กระทำต่อมัน

ข้าว. 10

ที่จุด A ความตึงจะกระทำต่อเกลียว โดยพุ่งเข้าหาเส้นโค้งในแนวสัมผัส ให้เราแสดงโดย และส่วนประกอบตามแกนพิกัด ดังนั้น ณ จุด B จึงเกิดความตึงเครียดกับส่วนประกอบ และ นอกจากนี้ องค์ประกอบ AB ยังอยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วง ซึ่งชี้ลงในแนวตั้งลงในแนวตั้งและมีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ p=qds โดยที่ ds คือส่วนต่างของส่วนโค้ง AB และ q คือน้ำหนักของความยาวหนึ่งหน่วยของเกลียว เพื่อให้ระบบแรงอยู่ในสมดุล จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของเส้นโครงบนแต่ละแกนของแรงกระทำทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ เราได้รับสมการประมาณการแรงบนแกน Ox ให้เป็นศูนย์:

H+(H+dH)=0 หรือ dH=0,

เหล่านั้น. องค์ประกอบแนวนอนของความตึงด้ายเป็นค่าคงที่

เราได้รับแรงฉายไปที่แกน Oy:

V-qds+(V+dV)=0 หรือ dV=qds

ในทางกลับกัน แทนด้วย "a" มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด A กับแกน Ox เราได้รับ:

ลองแยกความแตกต่างความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วยความเคารพ x โดยคำนึงถึงว่า H=const:

เมื่อพิจารณาว่า dV=qds และ (ดู) เราได้สมการเชิงอนุพันธ์ดังต่อไปนี้: โดยที่แสดงว่าให้เราหาคำตอบทั่วไปของสมการนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะทำการทดแทน: . จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: . เมื่อรวมความเสมอภาคสุดท้ายกับ x เราจะได้: เพราะฉะนั้น และในที่สุดก็:

เรามีครอบครัวสายโซ่ โดยการเลือกค่าคงที่ใดๆ c1 และ c2 เพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น เราจะได้สมการที่จำเป็นสำหรับเส้นย้อยของเธรด

สมมติว่าค่าคงที่ c1 และ c2 ถูกเลือกไว้แล้ว สมการ catenary สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ มาแปลงพิกัดกัน: เช่น จุด (-c1, c2) ถือเป็นจุดกำเนิดใหม่ ในระบบพิกัดใหม่ สมการของเส้นโซ่ซึ่งคงสัญกรณ์ก่อนหน้าสำหรับพิกัดใหม่จะอยู่ในรูปแบบ:

หากเราใช้จุดล่างสุดของเส้นลูกโซ่เป็นจุดเริ่มต้นของพิกัด ดังนั้น c1=0, c2=a และสุดท้ายสมการของเส้นลูกโซ่จะอยู่ในรูปแบบ:

เส้นโซ่เป็นเส้นโค้งแบนซึ่งรูปร่างนั้นใช้ด้ายหนักที่มีความยืดหยุ่นเป็นเนื้อเดียวกันและไม่สามารถยืดออกได้ซึ่งปลายของมันถูกยึดไว้ที่สองจุด (ประมาณรูปร่างนี้ถูกยึดโดยโซ่, สายโทรเลข, การหย่อนคล้อยภายใต้อิทธิพล ของแรงโน้มถ่วง) เส้นโซ่เป็นเส้นโค้งเหนือธรรมชาติ สมการของมันคือ y = achx โดยที่ chx คือโคไซน์ไฮเปอร์โบลิก

สมการในพิกัดคาร์ทีเซียน:

ความยาวของส่วนโค้งจากจุดยอดถึงจุดใดก็ได้ M (x; y):

พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นลูกโซ่ พิกัดสองตัวและแกน x:

รัศมีความโค้ง:

การใช้งาน:

โค้ง. เส้นโซ่แบบกลับหัวเป็นรูปทรงที่เหมาะสำหรับส่วนโค้ง ส่วนโค้งที่เป็นเนื้อเดียวกันในรูปแบบของเส้น catenary แบบกลับด้านจะพบเฉพาะการเสียรูปจากแรงอัดเท่านั้น แต่จะไม่แตกหัก บนซุ้มโค้งในเมืองเซนต์หลุยส์ มีสูตรเขียนเป็นฟุต:

นี่คือหน่วยเป็นเมตร

สะพาน. สะพานหลังค่อมมีรูปร่างใกล้เคียงกับเส้นโซ่ เป็นที่น่าสังเกตว่าโซ่ของสะพานแขวนมีรูปร่างเหมือนพาราโบลา ไม่ใช่เส้นโซ่ เนื่องจากช่วงสะพานมีน้ำหนักมากกว่าโซ่มาก

เกลียวอาร์คิมีดีน

เกลียวอาร์คิมิดีสเป็นเส้นโค้งแบนซึ่งอธิบายโดยจุดที่เคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอจากจุดศูนย์กลาง 0 ไปตามรัศมีการหมุนสม่ำเสมอ

การสร้างเกลียวอาร์คิมีดีนด้วยขั้นตอน S ที่กำหนด - ระยะทางจากศูนย์กลาง 0 ถึงจุดที่ VIII ดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้:

• 1. จากจุดศูนย์กลาง 0 ให้วาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับขั้นตอน S ของเกลียวแล้วแบ่งขั้นตอนและวงกลมออกเป็นหลายส่วนเท่า ๆ กัน โดยจะมีหมายเลขการหาร
• 2. จากศูนย์กลาง 0 ด้วยรัศมี 01, 02, 03, ... วาดส่วนโค้งจนกระทั่งตัดกับรัศมีที่สอดคล้องกันที่จุด I, II, III, ...;
• 3. จุดผลลัพธ์เป็นของวงก้นหอยอาร์คิมิดีสโดยมีขั้นตอน S และจุดศูนย์กลาง 0 ที่กำหนด

สมการของวงก้นหอยอาร์คิมีดีนในระบบพิกัดเชิงขั้วเขียนได้ดังนี้:

โดยที่ k คือการกระจัดของจุด M ตามแนวรังสี r เมื่อหมุนด้วยมุมเท่ากับหนึ่งเรเดียน เลี้ยวเส้นตรง 2? สอดคล้องกับออฟเซ็ต a = |BM| = |แมสซาชูเซตส์| = 2พัน?. เลข a เรียกว่า พิทช์เกลียว สมการวงก้นหอยอาร์คิมีดีนสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

เมื่อลำแสงหมุนทวนเข็มนาฬิกาจะได้เกลียวทางขวา (เส้นสีน้ำเงิน) เมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกาจะได้เกลียวทางซ้าย (เส้นสีเขียว) กิ่งก้านทั้งสองของเกลียว (ขวาและซ้าย) อธิบายได้ด้วยสมการเดียว ค่าบวก? เกลียวขวาตรงกับเกลียวซ้าย หากจุด M เคลื่อนที่ไปตาม UV เส้นตรงจากค่าลบผ่านจุดศูนย์กลางการหมุน O และต่อไปเป็นค่าบวกตาม UV เส้นตรง จากนั้นจุด M จะอธิบายทั้งสองกิ่งของเกลียว

รังสี OV ที่ดึงมาจากจุดเริ่มต้น O ตัดกับเกลียวเป็นจำนวนอนันต์ - จุด B, M, A และอื่นๆ ระยะห่างระหว่างจุด B และ M, M และ A เท่ากับระยะพิทช์เกลียว

เมื่อเกลียวคลายออก ระยะห่างจากจุด O ถึงจุด M มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในขณะที่ระยะห่างของเกลียวยังคงที่ (จำกัด) นั่นคือ ยิ่งอยู่ห่างจากศูนย์กลางมากเท่าไร การหมุนของเกลียวก็จะยิ่งมีรูปร่างเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น วงกลม.