ความเร็วเฉลี่ยและค่าทันที ปัญหาเกี่ยวกับวัตถุที่ตกอย่างอิสระ: ตัวอย่างการแก้ปัญหาทางจลนศาสตร์

3.1. การเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง

3.1.1. การเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง- การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงโดยมีความเร่งคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง:

3.1.2. การเร่งความเร็ว()- ปริมาณเวกเตอร์ทางกายภาพแสดงว่าความเร็วจะเปลี่ยนแปลงไปเท่าใดใน 1 วินาที

ในรูปแบบเวกเตอร์:

โดยที่ความเร็วเริ่มต้นของร่างกายคือความเร็วของร่างกายในขณะนั้น ที.

ในการฉายภาพลงบนแกน วัว:

โดยที่เส้นโครงของความเร็วเริ่มต้นบนแกนคือที่ไหน วัว, - การฉายภาพความเร็วของร่างกายลงบนแกน วัวในช่วงเวลาหนึ่ง ที.

สัญญาณของเส้นโครงขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์และแกน วัว.

3.1.3. กราฟฉายความเร่งเทียบกับเวลา

ด้วยการเคลื่อนที่สลับกันอย่างสม่ำเสมอ ความเร่งจะคงที่ ดังนั้นมันจึงปรากฏเป็นเส้นตรงขนานกับแกนเวลา (ดูรูป):

3.1.4. ความเร็วระหว่างการเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ

ในรูปแบบเวกเตอร์:

ในการฉายภาพลงบนแกน วัว:

สำหรับการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ:

สำหรับสโลว์โมชั่นที่สม่ำเสมอ:

3.1.5. กราฟฉายความเร็วเทียบกับเวลา

กราฟการฉายภาพความเร็วเทียบกับเวลาเป็นเส้นตรง

ทิศทางการเคลื่อนไหว: หากกราฟ (หรือบางส่วน) อยู่เหนือแกนเวลา แสดงว่าวัตถุกำลังเคลื่อนที่ในทิศทางบวกของแกน วัว.

ค่าความเร่ง: ยิ่งค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงมากขึ้น (ยิ่งชันขึ้นหรือลง) โมดูลการเร่งความเร็วก็จะยิ่งมากขึ้น การเปลี่ยนแปลงความเร็วเมื่อเวลาผ่านไปอยู่ที่ไหน

จุดตัดกับแกนเวลา: หากกราฟตัดกับแกนเวลา ก่อนที่จุดตัดจะเคลื่อนที่ช้าลง (การเคลื่อนที่ช้าสม่ำเสมอ) และหลังจากจุดตัดกัน กราฟจะเริ่มเร่งความเร็วในทิศทางตรงกันข้าม (การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ)

3.1.6. ความหมายทางเรขาคณิตของพื้นที่ใต้กราฟในแกน

พื้นที่ใต้กราฟเมื่ออยู่บนแกน เฮ้ยความเร็วล่าช้าและอยู่บนแกน วัว- เวลาคือเส้นทางที่ร่างกายเดินทาง

ในรูป 3.5 แสดงกรณีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ เส้นทางในกรณีนี้จะเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู: (3.9)

3.1.7. สูตรคำนวณเส้นทาง

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ	การเคลื่อนไหวช้าเท่ากัน
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

สูตรทั้งหมดที่นำเสนอในตารางจะทำงานเฉพาะเมื่อรักษาทิศทางการเคลื่อนที่ไว้เท่านั้น นั่นคือจนกว่าเส้นตรงจะตัดกับแกนเวลาบนกราฟของการฉายภาพความเร็วเทียบกับเวลา

หากมีทางแยกเกิดขึ้น การเคลื่อนไหวจะแบ่งออกเป็นสองขั้นตอนได้ง่ายขึ้น:

ก่อนข้าม (เบรก):

หลังทางแยก (เร่ง, เคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม)

ในสูตรด้านบน - เวลาตั้งแต่เริ่มต้นการเคลื่อนไหวจนถึงจุดตัดกับแกนเวลา (เวลาก่อนหยุด) - เส้นทางที่ร่างกายเดินทางจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวไปจนถึงจุดตัดที่มีแกนเวลา - เวลาที่ผ่านไป จากช่วงเวลาที่ข้ามแกนเวลาถึงช่วงเวลานี้ ที, - เส้นทางที่ร่างกายได้เดินทางไปในทิศทางตรงกันข้ามในช่วงเวลาที่ผ่านไปจากช่วงเวลาที่ข้ามแกนเวลาถึงช่วงเวลานี้ ที, - โมดูลของเวกเตอร์การกระจัดตลอดเวลาของการเคลื่อนไหว ล- เส้นทางที่ร่างกายเดินทางระหว่างการเคลื่อนไหวทั้งหมด

3.1.8. การเคลื่อนไหวในวินาทีที่ 3

ในช่วงเวลานี้ร่างกายจะเดินทางเป็นระยะทางต่อไปนี้:

ในช่วงเวลานี้ร่างกายจะเดินทางเป็นระยะทางต่อไปนี้:

จากนั้นในช่วงที่ ๓ ร่างกายจะเดินทางได้ระยะทางดังต่อไปนี้

ช่วงเวลาใดก็ได้ที่สามารถใช้เป็นช่วงเวลาได้ บ่อยที่สุดด้วย

จากนั้นใน 1 วินาที ร่างกายจะเดินทางเป็นระยะทางต่อไปนี้:

ใน 2 วินาที:

ใน 3 วินาที:

หากเราพิจารณาให้ดีเราจะเห็นว่า เป็นต้น

ดังนั้นเราจึงได้สูตรมาว่า

กล่าวโดยนัย: เส้นทางที่วัตถุเคลื่อนที่ผ่านในช่วงเวลาต่อเนื่องกันมีความสัมพันธ์กันเป็นชุดของเลขคี่ และไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเร่งที่วัตถุเคลื่อนที่ เราเน้นย้ำว่าความสัมพันธ์นี้ถูกต้องสำหรับ

3.1.9. สมการพิกัดของร่างกายสำหรับการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอ

สมการพิกัด

สัญญาณของการประมาณการความเร็วและความเร่งเริ่มต้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งสัมพัทธ์ของเวกเตอร์และแกนที่สอดคล้องกัน วัว.

ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องเพิ่มสมการในการเปลี่ยนการฉายภาพความเร็วบนแกนลงในสมการ:

3.2. กราฟปริมาณจลนศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

3.3. ร่างกายตกฟรี

โดยการตกอย่างอิสระ เราหมายถึงแบบจำลองทางกายภาพต่อไปนี้:

1) การตกเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง:

2) ไม่มีการต้านทานอากาศ (ในปัญหาบางครั้งพวกเขาเขียนว่า "ละเลยความต้านทานอากาศ");

3) วัตถุทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงมวล ตกลงด้วยความเร่งเท่ากัน (บางครั้งเพิ่ม "โดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของร่างกาย" แต่เรากำลังพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุเท่านั้น ดังนั้น รูปร่างของร่างกายจึงไม่ถูกนำอีกต่อไป เข้าบัญชี);

4) ความเร่งของแรงโน้มถ่วงมุ่งลงด้านล่างอย่างเคร่งครัดและเท่ากันบนพื้นผิวโลก (ในปัญหาที่เรามักถือว่าเพื่อความสะดวกในการคำนวณ)

3.3.1. สมการการเคลื่อนที่ในการฉายภาพบนแกน เฮ้ย

ต่างจากการเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงแนวนอน เมื่องานบางอย่างไม่ได้เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ ในการตกอย่างอิสระ วิธีที่ดีที่สุดคือใช้สมการที่เขียนเป็นการฉายภาพบนแกนทันที เฮ้ย.

สมการพิกัดของร่างกาย:

สมการการฉายภาพความเร็ว:

ตามกฎแล้วเมื่อเกิดปัญหาจะสะดวกในการเลือกแกน เฮ้ยด้วยวิธีต่อไปนี้:

แกน เฮ้ยพุ่งขึ้นในแนวตั้ง;

ต้นกำเนิดเกิดขึ้นพร้อมกับระดับของโลกหรือจุดต่ำสุดของวิถี

ด้วยตัวเลือกนี้ สมการและจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3.4. การเคลื่อนไหวในเครื่องบิน อ็อกซี่.

เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของร่างกายด้วยความเร่งเป็นเส้นตรง อย่างไรก็ตาม การเคลื่อนที่แบบแปรผันสม่ำเสมอไม่ได้จำกัดอยู่เพียงเท่านี้ เช่น การโยนศพให้ทำมุมกับแนวนอน ในปัญหาดังกล่าวจำเป็นต้องคำนึงถึงการเคลื่อนไหวในสองแกนพร้อมกัน:

หรือในรูปแบบเวกเตอร์:

และเปลี่ยนการฉายภาพความเร็วทั้งสองแกน:

3.5. การประยุกต์แนวคิดเรื่องอนุพันธ์และอินทิกรัล

เราจะไม่ให้คำจำกัดความโดยละเอียดของอนุพันธ์และอินทิกรัลที่นี่ ในการแก้ปัญหา เราจำเป็นต้องมีสูตรชุดเล็กๆ เท่านั้น

อนุพันธ์:

ที่ไหน ก, บีและนั่นคือค่าคงที่

ส่วนประกอบ:

ตอนนี้เรามาดูกันว่าแนวคิดเรื่องอนุพันธ์และอินทิกรัลนำไปใช้กับปริมาณทางกายภาพอย่างไร ในทางคณิตศาสตร์ อนุพันธ์แสดงด้วย """ ในฟิสิกส์ อนุพันธ์เทียบกับเวลาแสดงด้วย "∙" เหนือฟังก์ชัน

ความเร็ว:

นั่นคือความเร็วเป็นอนุพันธ์ของเวกเตอร์รัศมี

สำหรับการฉายภาพความเร็ว:

การเร่งความเร็ว:

นั่นคือความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็ว

สำหรับการฉายภาพความเร่ง:

ดังนั้นหากรู้กฎการเคลื่อนที่ เราก็สามารถหาทั้งความเร็วและความเร่งของร่างกายได้อย่างง่ายดาย

ทีนี้ลองใช้แนวคิดเรื่องอินทิกรัลกัน

ความเร็ว:

นั่นคือ ความเร็วสามารถหาได้จากอินทิกรัลเวลาของการเร่งความเร็ว

เวกเตอร์รัศมี:

นั่นคือ สามารถหาเวกเตอร์รัศมีได้โดยการหาอินทิกรัลของฟังก์ชันความเร็ว

ดังนั้นหากทราบฟังก์ชันนี้ เราก็สามารถค้นหาทั้งความเร็วและกฎการเคลื่อนที่ของร่างกายได้อย่างง่ายดาย

ค่าคงที่ในสูตรถูกกำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้น - ค่าและช่วงเวลา

3.6. สามเหลี่ยมความเร็วและสามเหลี่ยมการกระจัด

3.6.1. สามเหลี่ยมความเร็ว

ในรูปเวกเตอร์ที่มีความเร่งคงที่ กฎการเปลี่ยนแปลงความเร็วมีรูปแบบ (3.5):

สูตรนี้หมายความว่าเวกเตอร์เท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และผลรวมเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นรูปได้เสมอ (ดูรูป)

ในแต่ละปัญหา สามเหลี่ยมความเร็วจะมีลักษณะเป็นของตัวเอง ขึ้นอยู่กับเงื่อนไข การเป็นตัวแทนนี้ทำให้สามารถใช้ข้อพิจารณาทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหา ซึ่งมักจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

3.6.2. สามเหลี่ยมของการเคลื่อนไหว

ในรูปเวกเตอร์ กฎการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่จะมีรูปแบบดังนี้

เมื่อแก้ไขปัญหา คุณสามารถเลือกระบบอ้างอิงในวิธีที่สะดวกที่สุด ดังนั้น โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถเลือกระบบอ้างอิงในลักษณะที่ว่า เราวางจุดกำเนิดของระบบพิกัดไว้ที่จุดนั้น ที่ที่ร่างกายตั้งอยู่ ณ ขณะแรกๆ แล้ว

นั่นคือเวกเตอร์เท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของเวกเตอร์และให้เราพรรณนามันในรูป (ดูรูป)

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ สามเหลี่ยมการกระจัดจะมีรูปร่างของตัวเอง ขึ้นอยู่กับเงื่อนไข การเป็นตัวแทนนี้ทำให้สามารถใช้ข้อพิจารณาทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหา ซึ่งมักจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ส่วนที่ 1

การคำนวณความเร็วขณะนั้น

1. เริ่มต้นด้วยสมการในการคำนวณความเร็วขณะหนึ่ง คุณจำเป็นต้องรู้สมการที่อธิบายการเคลื่อนไหวของวัตถุ (ตำแหน่งของมันในช่วงเวลาหนึ่ง) นั่นคือสมการด้านหนึ่งคือ s (การเคลื่อนไหวของร่างกาย) และ อีกด้านเป็นพจน์ที่มีตัวแปร t (เวลา) ตัวอย่างเช่น:
   

   ส = -1.5t 2 + 10t + 4

   • ในสมการนี้: การกระจัด = วินาที- การกระจัดคือเส้นทางที่วัตถุเดินทาง ตัวอย่างเช่น ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ไปข้างหน้า 10 เมตร และถอยหลัง 7 เมตร ดังนั้น การกระจัดรวมของร่างกายคือ 10 - 7 = 3ม(และที่ 10 + 7 = 17 ม.) เวลา = เสื้อ- โดยปกติจะวัดเป็นวินาที

2. คำนวณอนุพันธ์ของสมการในการค้นหาความเร็วชั่วขณะของวัตถุซึ่งมีการเคลื่อนที่ตามสมการข้างต้น คุณจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของสมการนี้ อนุพันธ์คือสมการที่ช่วยให้คุณคำนวณความชันของกราฟ ณ จุดใดก็ได้ ( ณ เวลาใดก็ได้) หากต้องการค้นหาอนุพันธ์ ให้แยกฟังก์ชันดังนี้ ถ้า y = a*x n ดังนั้นอนุพันธ์ = a*n*x n-1- กฎนี้ใช้กับแต่ละพจน์ของพหุนาม

   • กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์ของแต่ละเทอมที่มีตัวแปร t เท่ากับผลคูณของตัวประกอบ (หน้าตัวแปร) และกำลังของตัวแปร คูณด้วยตัวแปรจนได้กำลังเท่ากับกำลังเดิมลบ 1 พจน์อิสระ (คำที่ไม่มีตัวแปร ซึ่งก็คือตัวเลข) จะหายไปเนื่องจากคูณด้วย 0 ในตัวอย่างของเรา:
     

     ส = -1.5t 2 + 10t + 4
     (2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3t 1 + 10t 0
     -3t+10

3. แทนที่ "s" ด้วย "ds/dt" เพื่อแสดงว่าสมการใหม่เป็นอนุพันธ์ของสมการดั้งเดิม (นั่นคือ อนุพันธ์ของ s กับ t) อนุพันธ์คือความชันของกราฟ ณ จุดหนึ่ง (ณ จุดหนึ่งของเวลา) ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาความชันของเส้นที่อธิบายโดยฟังก์ชัน s = -1.5t 2 + 10t + 4 ที่ t = 5 เพียงแทน 5 ลงในสมการอนุพันธ์

   • ในตัวอย่างของเรา สมการอนุพันธ์ควรมีลักษณะดังนี้:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. แทนค่า t ที่เหมาะสมลงในสมการอนุพันธ์เพื่อหาความเร็วขณะหนึ่ง ณ จุดใดเวลาหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการค้นหาความเร็วขณะนั้นที่ t = 5 ให้แทน 5 (สำหรับ t) ลงในสมการอนุพันธ์ ds/dt = -3 + 10 จากนั้นจึงแก้สมการ:
   

   ds/dt = -3t + 10
   DS/DT = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 เมตร/วินาที

   • โปรดทราบหน่วยวัดของความเร็วขณะนั้น: m/s เนื่องจากเราได้รับค่าของการกระจัดเป็นเมตร และเวลาเป็นวินาที และความเร็วเท่ากับอัตราส่วนของการกระจัดต่อเวลา ดังนั้นหน่วยวัด m/s จึงถูกต้อง

   ส่วนที่ 2

   การประเมินความเร็วชั่วขณะแบบกราฟิก

   1. สร้างกราฟแสดงการกระจัดของร่างกายในบทที่แล้ว คุณคำนวณความเร็วชั่วขณะโดยใช้สูตร (สมการอนุพันธ์ที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาความชันของกราฟที่จุดใดจุดหนึ่ง) ด้วยการวางแผนกราฟการเคลื่อนไหวของวัตถุ คุณสามารถค้นหาความโน้มเอียงของมัน ณ จุดใดก็ได้และด้วยเหตุนี้ กำหนดความเร็วทันที ณ จุดใดจุดหนึ่ง.

      • แกน Y คือการกระจัด และแกน X คือเวลา พิกัดของจุด (x, y) ได้มาจากการแทนที่ค่าต่างๆ ของ t ลงในสมการการกระจัดดั้งเดิมและคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของ s
      • กราฟอาจอยู่ต่ำกว่าแกน X หากกราฟการเคลื่อนที่ของร่างกายตกต่ำกว่าแกน X แสดงว่าร่างกายกำลังเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้ามจากจุดที่การเคลื่อนไหวเริ่มต้นขึ้น โดยทั่วไปกราฟจะไม่ขยายเกินแกน Y (ค่า x ลบ) - เราไม่ได้วัดความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ย้อนเวลากลับไป!

   2. เลือกจุด P และจุด Q ใกล้กับจุดนั้นบนกราฟ (เส้นโค้ง)ในการหาความชันของกราฟที่จุด P เราใช้แนวคิดเรื่องลิมิต ขีดจำกัด - สถานะที่ค่าของเส้นตัดผ่าน 2 จุด P และ Q ที่วางอยู่บนเส้นโค้งมีแนวโน้มเป็นศูนย์

      • ตัวอย่างเช่น พิจารณาประเด็นต่างๆ ป(1,3)และ ถาม(4,7)และคำนวณความเร็วขณะนั้นที่จุด P

   3. ค้นหาความชันของส่วน PQความชันของส่วน PQ เท่ากับอัตราส่วนของความแตกต่างในค่าพิกัด y ของจุด P และ Q ต่อความแตกต่างในค่าพิกัด x ของจุด P และ Q กล่าวอีกนัยหนึ่ง H = (y Q - y P)/(x Q - x P)โดยที่ H คือความชันของส่วน PQ ในตัวอย่างของเรา ความชันของส่วน PQ คือ:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      ฮ = (7 - 3)/(4 - 1)
      ฮ = (4)/(3) = 1.33

   4. ทำซ้ำขั้นตอนนี้หลายๆ ครั้ง โดยนำจุด Q เข้าใกล้จุด P มากขึ้นยิ่งระยะห่างระหว่างจุดสองจุดน้อยลง ความชันของส่วนที่เป็นผลก็จะยิ่งใกล้กับความชันของกราฟที่จุด P มากขึ้น ในตัวอย่างของเรา เราจะคำนวณจุด Q ด้วยพิกัด (2,4.8), (1.5,3.95) ) และ (1.25,3.49) (พิกัดของจุด P ยังคงเหมือนเดิม):
      

      ถาม = (2,4.8):ฮ = (4.8 - 3)/(2 - 1)
      ฮ = (1.8)/(1) = 1.8

      ถาม = (1.5,3.95):ชม = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
      ฮ = (.95)/(.5) = 1.9

      ถาม = (1.25,3.49):ชม = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
      ฮ = (.49)/(.25) = 1.96

   5. ยิ่งระยะห่างระหว่างจุด P และ Q น้อยลง ค่าของ H ก็จะยิ่งใกล้กับความชันของกราฟที่จุด P มากขึ้นเท่านั้น หากระยะห่างระหว่างจุด P และ Q น้อยมาก ค่าของ H จะเท่ากับความชันของ กราฟที่จุด P เนื่องจากเราไม่สามารถวัดหรือคำนวณระยะห่างที่น้อยมากระหว่างจุดสองจุดได้ วิธีกราฟิกจึงให้ค่าประมาณความชันของกราฟที่จุด P

      • ในตัวอย่างของเรา เมื่อ Q เข้าใกล้ P เราได้รับค่าต่อไปนี้ของ H: 1.8; 1.9 และ 1.96 เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้มีแนวโน้มเป็น 2 เราจึงบอกได้ว่าความชันของกราฟที่จุด P เท่ากับ 2 .
      • โปรดจำไว้ว่าความชันของกราฟ ณ จุดที่กำหนดจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (ซึ่งใช้ในการพล็อตกราฟ) ที่จุดนั้น กราฟแสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง และตามที่ระบุไว้ในส่วนที่แล้ว ความเร็วของวัตถุในขณะนั้นเท่ากับอนุพันธ์ของสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้ ดังนั้น เราสามารถระบุได้ว่าที่ t = 2 ความเร็วขณะนั้นคือ 2 เมตร/วินาที(นี่คือการประมาณการ)

   ส่วนที่ 3

   ตัวอย่าง

   1. คำนวณความเร็วชั่วขณะที่ t = 4 หากการเคลื่อนที่ของร่างกายอธิบายได้ด้วยสมการ s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9ตัวอย่างนี้คล้ายกับปัญหาจากส่วนแรก โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเรามีสมการลำดับที่สาม (แทนที่จะเป็นสมการลำดับที่สอง)

      • ขั้นแรก มาคำนวณอนุพันธ์ของสมการนี้กัน:
        

        ส = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        ส = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) - 6t + 2

      • ทีนี้ลองแทนค่า t = 4 ลงในสมการอนุพันธ์:
        

        ส = 15t (2) - 6t + 2
        15(4) (2) - 6(4) + 2
        15(16) - 6(4) + 2
        240 - 24 + 2 = 22 เมตร/วินาที

   2. ให้เราประมาณค่าของความเร็วขณะนั้น ณ จุดที่มีพิกัด (1.3) บนกราฟของฟังก์ชัน s = 4t 2 - tในกรณีนี้จุด P มีพิกัด (1,3) และจำเป็นต้องค้นหาพิกัดหลายจุดของจุด Q ซึ่งอยู่ใกล้กับจุด P จากนั้นเราคำนวณ H และค้นหาค่าประมาณของความเร็วขณะนั้น

      • ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดของ Q ที่ t = 2, 1.5, 1.1 และ 1.01
        

        ส = 4t 2 - เสื้อ

        เสื้อ = 2:ส = 4(2) 2 - (2)
        4(4) - 2 = 16 - 2 = 14 ดังนั้น ถาม = (2.14)

        เสื้อ = 1.5:ส = 4(1.5) 2 - (1.5)
        4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5 ดังนั้น ถาม = (1.5,7.5)

        เสื้อ = 1.1:ส = 4(1.1) 2 - (1.1)
        4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74 ดังนั้น ถาม = (1.1,3.74)

        เสื้อ = 1.01:ส = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704 ดังนั้น ถาม = (1.01,3.0704)

นี่คือปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ ซึ่งเท่ากับตัวเลขขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มในช่วงเวลาอันสั้น:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเร็วชั่วขณะคือเวกเตอร์รัศมีในช่วงเวลาหนึ่ง

เวกเตอร์ความเร็วชั่วขณะนั้นจะมีทิศทางสัมผัสกับวิถีการเคลื่อนที่ของร่างกายในทิศทางการเคลื่อนที่ของร่างกายเสมอ

ความเร็วขณะนั้นให้ข้อมูลที่แม่นยำเกี่ยวกับการเคลื่อนไหว ณ จุดเวลาที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เมื่อขับรถในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง คนขับจะดูที่มาตรวัดความเร็วแล้วเห็นว่าอุปกรณ์แสดงความเร็ว 100 กม./ชม. หลังจากนั้นครู่หนึ่ง เข็มวัดความเร็วจะชี้ไปที่ 90 กม./ชม. และไม่กี่นาทีต่อมา - ไปที่ 110 กม./ชม. การอ่านมาตรวัดความเร็วที่ระบุไว้ทั้งหมดเป็นค่าของความเร็วทันทีของรถ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ความเร็วในแต่ละช่วงเวลาและแต่ละจุดของวิถีจะต้องทราบเมื่อเทียบท่าสถานีอวกาศ เมื่อเครื่องบินลงจอด ฯลฯ

แนวคิดเรื่อง "ความเร็วชั่วขณะ" มีความหมายทางกายภาพหรือไม่ ความเร็วเป็นลักษณะของการเปลี่ยนแปลงในอวกาศ อย่างไรก็ตาม เพื่อพิจารณาว่าการเคลื่อนไหวเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร จำเป็นต้องสังเกตการเคลื่อนไหวสักระยะหนึ่ง แม้แต่เครื่องมือที่ทันสมัยที่สุดสำหรับการวัดความเร็ว เช่น การติดตั้งเรดาร์ ก็สามารถวัดความเร็วในช่วงเวลาหนึ่งได้ แม้ว่าจะค่อนข้างน้อย แต่ก็ยังคงเป็นช่วงเวลาที่จำกัด ไม่ใช่ช่วงเวลาหนึ่ง สำนวน "ความเร็วของร่างกาย ณ เวลาที่กำหนด" ไม่ถูกต้องจากมุมมองของฟิสิกส์ อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องความเร็วชั่วขณะนั้นสะดวกมากในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ และมีการใช้อยู่ตลอดเวลา

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ความเร็วทันใจ”

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย	กฎการเคลื่อนที่ของจุดในเส้นตรงกำหนดโดยสมการ ค้นหาความเร็วขณะนั้นของจุด 10 วินาทีหลังจากเริ่มการเคลื่อนไหว
สารละลาย	ความเร็วชั่วขณะของจุดหนึ่งคือเวกเตอร์รัศมีในเวลา ดังนั้น สำหรับความเร็วชั่วขณะเราสามารถเขียนได้: หลังจากเริ่มการเคลื่อนไหว 10 วินาที ความเร็วขณะนั้นจะมีค่าดังนี้:
คำตอบ	หลังจากเริ่มเคลื่อนที่ 10 วินาที ความเร็วขณะนั้นของจุดคือ m/s

ตัวอย่างที่ 3

ออกกำลังกาย	วัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเพื่อให้พิกัด (หน่วยเป็นเมตร) เปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย หลังจากเริ่มเคลื่อนไหวกี่วินาทีร่างกายจะหยุด?
สารละลาย	ลองหาความเร็วขณะหนึ่งของร่างกาย:

กลิ้งลำตัวลงในระนาบเอียง (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. กลิ้งตัวลงตามระนาบเอียง ()

การตกอย่างอิสระ (รูปที่ 3)

การเคลื่อนไหวทั้งสามประเภทนี้ไม่เหมือนกัน กล่าวคือ ความเร็วจะเปลี่ยนไป ในบทเรียนนี้ เราจะดูการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ

การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ -การเคลื่อนไหวทางกลซึ่งร่างกายเคลื่อนที่เป็นระยะทางเท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ

การเคลื่อนไหวเรียกว่าไม่สม่ำเสมอซึ่งร่างกายเดินทางไปในเส้นทางที่ไม่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน

ข้าว. 5. การเคลื่อนไหวไม่สม่ำเสมอ

งานหลักของช่างเครื่องคือการกำหนดตำแหน่งของร่างกายในเวลาใดก็ได้ เมื่อร่างกายเคลื่อนไหวไม่สม่ำเสมอ ความเร็วของร่างกายจะเปลี่ยนไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเรียนรู้ที่จะอธิบายการเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกาย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มีการแนะนำแนวคิดสองประการ: ความเร็วเฉลี่ยและความเร็วชั่วขณะ

ความจริงของการเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกายระหว่างการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอนั้นไม่จำเป็นต้องนำมาพิจารณาเสมอไป เมื่อพิจารณาถึงการเคลื่อนไหวของร่างกายบนเส้นทางส่วนใหญ่โดยรวม (ความเร็วในแต่ละช่วงเวลาคือ ไม่สำคัญสำหรับเรา) สะดวกในการแนะนำแนวคิดเรื่องความเร็วเฉลี่ย

ตัวอย่างเช่น คณะผู้แทนเด็กนักเรียนเดินทางจากโนโวซีบีสค์ไปโซซีโดยรถไฟ ระยะทางระหว่างเมืองเหล่านี้โดยรถไฟคือประมาณ 3,300 กม. ความเร็วของรถไฟตอนเพิ่งออกจากโนโวซีบีสค์คือ หมายความว่าระหว่างการเดินทางความเร็วเป็นเช่นนี้หรือเปล่า เหมือนกัน แต่อยู่ที่ทางเข้าโซชี [M1]- เป็นไปได้ไหมที่มีข้อมูลแค่นี้ถึงบอกว่าจะต้องใช้เวลาเดินทาง (รูปที่ 6) ไม่แน่นอน เนื่องจากชาวโนโวซีบีร์สค์รู้ว่าจะใช้เวลาประมาณ 84 ชั่วโมงเพื่อไปถึงโซชี

ข้าว. 6. ตัวอย่างภาพประกอบ

เมื่อพิจารณาถึงการเคลื่อนไหวของร่างกายบนเส้นทางส่วนใหญ่โดยรวม จะสะดวกกว่าที่จะแนะนำแนวคิดเรื่องความเร็วเฉลี่ย

ความเร็วปานกลางพวกเขาเรียกอัตราส่วนของการเคลื่อนไหวทั้งหมดที่ร่างกายทำต่อเวลาที่เกิดการเคลื่อนไหวนี้ (รูปที่ 7)

ข้าว. 7. ความเร็วเฉลี่ย

คำจำกัดความนี้ไม่สะดวกเสมอไป ตัวอย่างเช่น นักกีฬาวิ่ง 400 ม. - หนึ่งรอบเท่านั้น การกระจัดของนักกีฬาคือ 0 (รูปที่ 8) แต่เราเข้าใจว่าความเร็วเฉลี่ยของเขาไม่สามารถเป็นศูนย์ได้

ข้าว. 8. การกระจัดเป็น 0

ในทางปฏิบัติ แนวคิดเรื่องความเร็วภาคพื้นดินเฉลี่ยมักถูกใช้บ่อยที่สุด

ความเร็วภาคพื้นดินเฉลี่ยคืออัตราส่วนของเส้นทางทั้งหมดที่ร่างกายเดินทางต่อเวลาที่เส้นทางนั้นเดินทาง (รูปที่ 9)

ข้าว. 9. ความเร็วภาคพื้นดินเฉลี่ย

มีคำจำกัดความของความเร็วเฉลี่ยอีกประการหนึ่ง

ความเร็วเฉลี่ย- นี่คือความเร็วที่ร่างกายต้องเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอเพื่อที่จะครอบคลุมระยะทางที่กำหนดในเวลาเดียวกับที่ร่างกายเคลื่อนที่ผ่านไปอย่างไม่สม่ำเสมอ

จากวิชาคณิตศาสตร์ เรารู้แล้วว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตคืออะไร สำหรับหมายเลข 10 และ 36 จะเท่ากับ:

เพื่อหาความเป็นไปได้ในการใช้สูตรนี้เพื่อหาความเร็วเฉลี่ย เรามาแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน

งาน

นักปั่นจักรยานปีนทางลาดด้วยความเร็ว 10 กม./ชม. ใช้เวลา 0.5 ชั่วโมง จากนั้นจะลดลงด้วยความเร็ว 36 กม./ชม. ใน 10 นาที ค้นหาความเร็วเฉลี่ยของนักปั่นจักรยาน (รูปที่ 10)

ข้าว. 10. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

ที่ให้ไว้:; ; ;

หา:

สารละลาย:

เนื่องจากหน่วยวัดความเร็วเหล่านี้คือ กม./ชม. เราจะหาความเร็วเฉลี่ยเป็น กม./ชม. ดังนั้นเราจะไม่แปลงปัญหาเหล่านี้เป็น SI ลองแปลงเป็นชั่วโมง.

ความเร็วเฉลี่ยคือ:

เส้นทางเต็ม () ประกอบด้วยเส้นทางขึ้นเนิน () และลงเนิน ():

เส้นทางขึ้นเนินมีดังนี้:

เส้นทางลงจากทางลาดคือ:

เวลาที่ใช้ในการเดินทางตลอดเส้นทางคือ:

คำตอบ:.

จากคำตอบของปัญหา เราพบว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตในการคำนวณความเร็วเฉลี่ย

แนวคิดเรื่องความเร็วเฉลี่ยไม่ได้มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาหลักของกลศาสตร์เสมอไป กลับไปสู่ปัญหาเรื่องรถไฟไม่อาจกล่าวได้ว่าหากความเร็วเฉลี่ยตลอดการเดินทางของรถไฟเท่ากับ แล้วเมื่อผ่านไป 5 ชั่วโมงก็จะอยู่ที่ระยะทาง จากโนโวซีบีสค์

ความเร็วเฉลี่ยที่วัดได้ในระยะเวลาอันสั้นเรียกว่า ความเร็วของร่างกายทันที(เช่น มาตรวัดความเร็วของรถยนต์ (รูปที่ 11) แสดงความเร็วในขณะนั้น)

ข้าว. 11. มาตรวัดความเร็วรถยนต์แสดงความเร็วทันที

มีคำจำกัดความของความเร็วชั่วขณะอีกประการหนึ่ง

ความเร็วทันที– ความเร็วของการเคลื่อนที่ของร่างกายในช่วงเวลาที่กำหนด ความเร็วของร่างกาย ณ จุดที่กำหนดของวิถี (รูปที่ 12)

ข้าว. 12. ความเร็วทันใจ

เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้ได้ดีขึ้น ลองดูตัวอย่าง

ให้รถเคลื่อนตัวตรงไปตามส่วนของทางหลวง เรามีกราฟของการฉายการกระจัดเทียบกับเวลาสำหรับการเคลื่อนไหวที่กำหนด (รูปที่ 13) มาวิเคราะห์กราฟนี้กัน

ข้าว. 13. กราฟของการกระจัดเทียบกับเวลา

กราฟแสดงว่าความเร็วของรถไม่คงที่ สมมติว่าคุณต้องค้นหาความเร็วชั่วขณะของรถยนต์คันหนึ่งหลังจากเริ่มสังเกต 30 วินาที (ณ จุดนั้น ก- จากคำนิยามของความเร็วชั่วขณะ เราจะหาขนาดของความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาตั้งแต่ ถึง หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้พิจารณาส่วนของกราฟนี้ (รูปที่ 14)

ข้าว. 14. กราฟของการกระจัดเทียบกับเวลา

เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการค้นหาความเร็วชั่วขณะ ให้เราค้นหาโมดูลความเร็วเฉลี่ยสำหรับช่วงเวลา จาก ถึง สำหรับสิ่งนี้ เราจะพิจารณาส่วนของกราฟ (รูปที่ 15)

ข้าว. 15. กราฟของการกระจัดเทียบกับเวลา

เราคำนวณความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาที่กำหนด:

เราได้รับสองค่าของความเร็วทันทีของรถ 30 วินาทีหลังจากเริ่มการสังเกต ความแม่นยำมากขึ้นจะเป็นค่าที่ช่วงเวลาน้อยลงนั่นคือ หากเราลดช่วงเวลาภายใต้การพิจารณาให้รุนแรงยิ่งขึ้น ความเร็วของรถ ณ จุดนั้นทันที กจะได้กำหนดได้แม่นยำยิ่งขึ้น

ความเร็วขณะหนึ่งเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดังนั้นนอกเหนือจากการค้นหามัน (ค้นหาโมดูลของมัน) ยังจำเป็นต้องรู้ว่ามันถูกกำกับอย่างไร

(ที่ ) – ความเร็วขณะนั้น

ทิศทางของความเร็วขณะนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางการเคลื่อนที่ของร่างกาย

หากวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้ง ความเร็วขณะนั้นจะถูกส่งตรงไปยังวิถีการเคลื่อนที่ ณ จุดที่กำหนด (รูปที่ 16)

แบบฝึกหัดที่ 1

ความเร็วในขณะนั้น () สามารถเปลี่ยนทิศทางได้เท่านั้น โดยไม่เปลี่ยนขนาดหรือไม่

สารละลาย

เมื่อต้องการแก้ไขปัญหานี้ ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ร่างกายเคลื่อนที่ไปตามทางโค้ง (รูปที่ 17) เรามาทำเครื่องหมายจุดวิถีการเคลื่อนที่กันดีกว่า กและช่วงเวลา บี- ขอให้เราสังเกตทิศทางของความเร็วขณะนั้นที่จุดเหล่านี้ (ความเร็วขณะนั้นถูกกำหนดทิศทางในแนวสัมผัสไปยังจุดวิถี) ปล่อยให้ความเร็วและมีขนาดเท่ากันและเท่ากับ 5 m/s

คำตอบ: อาจจะ.

ภารกิจที่ 2

ความเร็วในขณะนั้นสามารถเปลี่ยนแปลงได้เพียงขนาดเท่านั้น โดยไม่เปลี่ยนทิศทางหรือไม่?

สารละลาย

ข้าว. 18. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

รูปที่ 10 แสดงว่า ณ จุดนั้น กและตรงจุด บีความเร็วในขณะนั้นอยู่ในทิศทางเดียวกัน หากร่างกายเคลื่อนไหวด้วยความเร่งสม่ำเสมอแล้ว

คำตอบ:อาจจะ.

ในบทนี้ เราเริ่มศึกษาการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ ซึ่งก็คือการเคลื่อนไหวด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน ลักษณะของการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอคือความเร็วเฉลี่ยและความเร็วขณะนั้น แนวคิดเรื่องความเร็วเฉลี่ยมีพื้นฐานมาจากการทดแทนการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอทางจิตด้วยการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอ บางครั้งแนวคิดเรื่องความเร็วเฉลี่ย (ดังที่เราได้เห็น) ก็สะดวกมาก แต่ไม่เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาหลักของกลศาสตร์ ดังนั้นจึงมีการนำแนวคิดเรื่องความเร็วชั่วขณะมาใช้

บรรณานุกรม

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. ซอตสกี้. ฟิสิกส์ 10. - ม.: การศึกษา, 2551.
2. เอ.พี. ริมเควิช. ฟิสิกส์. ปัญหาเล่ม 10-11 - ม.: อีแร้ง, 2549.
3. โอ้ย ซาฟเชนโก. ปัญหาฟิสิกส์ - ม.: เนากา, 2531.
4. เอ.วี. Peryshkin, V.V. เคราคลิส. หลักสูตรฟิสิกส์ ต. 1. - ม.: รัฐ ครู เอ็ด นาที การศึกษาของ RSFSR, 1957

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "School-collection.edu.ru" ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Virtulab.net" ()

การบ้าน

1. คำถาม (1-3, 5) ท้ายย่อหน้าที่ 9 (หน้า 24) G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. ซอตสกี้. ฟิสิกส์ 10 (ดูรายการการอ่านที่แนะนำ)
2. เป็นไปได้ไหมที่ทราบความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่ง เพื่อค้นหาการกระจัดที่วัตถุกระทำระหว่างส่วนใดๆ ของช่วงเวลานี้
3. อะไรคือความแตกต่างระหว่างความเร็วชั่วขณะระหว่างการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอและความเร็วชั่วขณะระหว่างการเคลื่อนที่ไม่สม่ำเสมอ?
4. ขณะขับรถ มาตรวัดความเร็วจะถูกอ่านทุกนาที เป็นไปได้ไหมที่จะระบุความเร็วเฉลี่ยของรถยนต์จากข้อมูลเหล่านี้
5. นักปั่นจักรยานขี่หนึ่งในสามของเส้นทางด้วยความเร็ว 12 กม. ต่อชั่วโมง ขี่ในสามเส้นทางที่สองด้วยความเร็ว 16 กม. ต่อชั่วโมง และขี่ในสามเส้นทางสุดท้ายด้วยความเร็ว 24 กม. ต่อชั่วโมง หาความเร็วเฉลี่ยของจักรยานตลอดการเดินทาง ให้คำตอบเป็น กม./ชม